APPLICAZIONIAPPLICAZIONI

En

ergi

a po

ten

zial

ePARTICELLA NELLA BUCAinfinita finita

Esiste una probabilità finita di trovare la particella in una zona classicamente proibita

decade esponenzialmente

infiniti livelli

nulla sulle pareti

livelli in numero finito

simile come forma, ma penetra nelle pareti.

Poiché la Ψ penetra nelle pareti, per la particella è come se la buca fosse più grande.Livelli più ravvicinati.

Elettroni negli atomi: modello particella nella buca finita

Solo per energie elevate si ha sovrapposizione delle funzioni d’onda

Solo gli elettroni di valenza contribuiscono al legame chimico.

Atomi e molecole e modello particella nella buca finita

Una buca quantica è un “sandwich” fatto da due differenti semiconduttori in cui l’energia degli elettroni è differente, e la cui struttura atomica è così simile che possono crescere insieme senza un’apprezzabile densità di difetti:

Usata in molti dispositivi elettronici (alcuni transistor, diodi, laser a stato solido)

Energia elettronica

Posizione

Materiale A (AlGaAs) Materiale B (GaAs)

Esempio di una buca di potenziale microscopica un semiconduttore a “buca quantistica”

Si depositano differenti strati di atomi su di un substrato cristallino

AlGaAs GaAs AlGaAs

U(x)

x

Al

As

Ga

Un elettrone ha meno energia in GaAs che in AlGaAs. Può essere intrappolato nella buca.

“ingegneria su nanoscala”

Celle effusive

Processo: epitassia con fasci molecolari

Buche quantiche come queste sono usate come

• diodi che emettono luce (LED)

• diodi laser (usati nel lettori cd)

RIFLETTANZA TOTALELegge di Snell n1 sin θ1 = n2 sin θ2

Tunneling ottico L’onda che subisce riflessione totale all’interno del

materiale in realtà penetra nell’aria per alcune lunghezze d’onda.

RIFLETTANZA TOTALE ATTENUATA

radiazione rivelatore

onda evanescente

MOTO VIBRAZIONALEMOTO VIBRAZIONALE

x spostamento

F = - k xmoto armonico

k: costante di forzaPosizione di equilibrio

POTENZIALE

Spostamento, x

En

ergi

a P

oten

zial

e, V

2

2

1kxV

dx

dVF

Se la curvatura di V è molto grande attorno al minimo, k è grande

En

ergi

a p

oten

zial

e

x=R-Re

k grande

k piccolo

txx

xm

k

dt

xd

dt

xdmkx

dt

xdm

dx

dV

maF

cos0

2

2

2

2

2

2

TRATTAZIONE CLASSICA

x0-x0x0

En

ergi

a P

oten

zial

e, V

202

1kxE

Spostamento, x

La frequenza dipende solo da m e k

L’ampiezza x0 può essere qualsiasim

k

2

1

2

A parità di costante di forza k, al crescere di m la frequenza diminuisce: effetto isotopico

m

k

2

1

2

C-H 3000 cm-1

C-D 2100 cm-1

A parità di massa m, al crescere della costante di forza k la frequenza cresce

PROPRIETA’ dell’oscillatore armonico classicoEnergia: E = T + V = ½kx0

2 = qualsiasi valore

se x0 = 0, E = 0

Probabilità:

x+x0-x0

P(x)

0

Punti di inversione classici

E = ½kx02

n=3

n=2

n=1

Particella nella scatola: tanto più grande è L, tanto più vicini sono i livelli

Nel potenziale armonico, al crescere di V(x) il sistema è meno confinato.I livelli per il potenziale armonico sono equispaziati.

E

1

2

3

2

5

2

7

2

x

9

2

11

2

v 0

v 1

v 2

v 3

v 4

v 5

v 6

...,2,1,0v

)2

1v(

E

TRATTAZIONE QUANTISTICA

I livelli energetici di un oscillatore armonico sono ugualmente spaziati con separazione ħ, con = (k/m)½. Anche nello stato a più bassa energia, un oscillatore ha E > 0

Livelli discreti ed equispaziati

Anche quando v = 0, c’è ancora energia in quantità

Energia vibrazionale di punto zero

2

10 E

Autofunzioni

Le autofunzioni dell’oscillatore armonico sono simili a quelle della particella nella scatola, ma

• vanno a zero solo all’infinito penetrando nella barriera di potenziale. Il potenziale V(x) va all’infinito solo a distanza infinita.

• mentre nella scatola T = costante, per l’oscillatore armonico T varia [ T = E – V(x) ] e quindi la curvatura della è più complessa.

Ψv = polinomio di Hermite . e-ax2

Funzione d’onda Ψ e distribuzione di probabilità Ψ2 per lo stato a più bassa energia

v = 0

E = ½kx02

x

P(x)

0 +x0-x0

Punti di inversione classici

Probabilità classica e quantistica

Classica

P(x) minima a x=0

P(x) = 0 oltre x0

Quantistica (n=0)

P(x) massima a x=0

P(x) 0 oltre x0

La probabilità di trovare la particella al di fuori dei punti classici di inversione del moto è diversa da zero

Effetto Tunnel – penetrazione in zone classicamente proibite

v = 1

Funzione d’onda Ψ e distribuzione di probabilità Ψ2 per il primo stato eccitato

Funzioni d’onda dei primi 4 statiNumero dei nodi = numero quantico vSi alternano funzioni simmetriche ed antisimmetriche rispetto ad x = 0Data la simmetria del potenziale V(-x)=V(x) |(-x)|2 =|(x)|2

(-x) = ±(x)

v=0

v=1

v=2

v=3

x x

||2

Principio di corrispondenza

ωΔE

0,1,2,3v

ω2

1v=E

2

2

2

22

8mL1)(2nΔE

1,2,3n8mL

n=E

Confronto dei livelli energetici

E

v=0

v=1

v=2

v=3

v=4

v=5

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

Particella nella scatola Oscillatore armonico

Energia di punto zero

2

1

2

3

2

5

2

7

2

11

2

9

2

2

8mL

2

2

84mL

2

2

89mL

2

2

816

mL

2

2

825

mL

OSCILLATORE ARMONICO

Vibrazione delle molecole biatomiche

Vibrazione delle molecole poliatomiche

Moti vibrazionali nei solidi

Decomposizione del campo elettromagnetico in oscillatori