Ann. Univ. Ferr~ra - Sez. VII - Sc. Mat. Vol. XXIV, 17-24 (1978)

Un'estensione del teorema di dualith di Poincar6 (*).

F l gA~ C A M A R T I N I (**)

I n questo lavoro si generalizza la dualit'~ di Poincar6 a spazi topologici localmente omeomorf i con insiemi unalitici reali u-dimensionali (brevemente : spazi K~R~) clotati di singol~rit~ isolate; non si suppone necessar iamente che tall spazi siano orientabil i n6 che siano muni t i d i u n a s t ru t tu ra anali t ica globale; inoltre la s t ru t t u r a anali t ica locale degli intorni dei pun t i singolari

non 5 essenziale in quanto tale, m a solo per la part icolare topologia del suo suppor to (Teorema 2).

La teoria cosi svi luppata , appl ica ta in part icolare agli spazi di dimen- sione 1 mos t ra come, pur valendo sempre per essi la dualit~ di Poincar6 in senso general izzato (Osservazione 5), non vale invece quella ordinaria anehe se lo sp~zio ~ orientabile (Esempio 6). Pe r oppor tuni spazi KSR, (di dimensione abbas tanza alta) si d~ poi un criterio sufficiente, in te rmini di gruppi di omologia locale, affinch6 essi siano var ie ts omologiche (Co- rollario 8).

Da notare che, r i spet to ad un analogo r isul tato o t t enu to da L. KAUP in [6] il Teorema 2 del presente lavoro si d imos t ra prescindendo da l res is tenza di normalizz~zioni topologiche (nel senso di[6]) .

Desidero r ingraziare il dr. F. CATA:NESE per aver seguito lo svolgimento del lavoro e per gli utili suggerimenti sul l '~rgomento.

I n t u t t e le considerazioni seguenti K sarg un anello principale fissato e l 'omologia usat~, salvo esplicito avviso, sarg quella di Borel:Moore (cfr. [2]).

1 . - DEFI~IZIO~I (a) Uno spazio topologico localmente compat to , di dimensione coomologica n, si dirg di t ipo VS~ se contiene un aper to U omeomorfo ad una var ie tg topologica di dimensione n (even tua lmente non connessa,) cui il complementa re , che denot iamo con S, nbbia dimensione < n - - 1 .

(*) Lavoro eseguito come borsista del C.N.R. nell'ainbito del G.N.S.A.G.A. (**) Indirizzo dell'autore: Istituto matcmatico ,(L. Tonclli~, via Derna 1,

56100 Pisa.

1 8 FtCANCA M A R T I N I

Con JCj(X) indichiumo il fascio generato dal pref~seio V->Hs(V, K); JC,,(X) sara de t to il 1aseio degli orientamenti.

(b) Supponiamo che in uno spazio X di t ipo VS~ ogni x e S abbia un intorno aper to U, omeomorfo con un insieme analit ico reale di dimen- sione pu ra n: diremo allora che X 6 di t ipo VSR~; se poi per ogni x E S si ha JC~(X)]~. ~-- K di remo che X ~ di t ipo V,~R,.

I1 principale r isul tato che vogliumo d imost ra re ~ il seguente:

2. - TEOREM~X. Sia X uno spazio di tipo VS~ in cui l'insieme S ~ costituito solo da si~,golaritd isolate. Esiste per ogni p c Z un omomor/ismo naturale:

A]~: H~(X, J~.(X)) ---> Hn--~(X, K)

bigettivo per p----O, iniettivo per p ~ 1.

(a) Se JC~_~(X)~-O, ~]~ ~ surgettivo; se JCn_~+l(X)----0, A~ ~ iniettivo.

(b) Se X ~ di tipo VSR~ allora A . ~ surgettivo e se inoltre ciaseuna sin- golaritde non sconnette gli intorni di un suo sistema /ondamentale, allora A , bigettivo e z]~-i ~ surgettivo.

(c) Se X ~ di tipo V S R . e se supponiamo che per un intero d, 2 ~ d <~ n -- 1, sia JCj(X)~--0 per ogni j <d, allora:

z]~ ~ bigettivo se p < d - - 1 oppure p ~ n - - ( d - - 1); A~ ~ iniettivo e A~-d ~ surgettivo.

Spazi di t ipo V~R~ sono ad esempio le va r ie ta topologiche e gli spazi analit ici complessi loca lmente irriducibili; in ques t 'u l t imo caso consideriamo infat t i x ~ S e U~ della definizione 1.b sia irriducibile; allora l ' ins ieme dei pun t i non singolari di U~ ~ una va r ie ta connessa (e orientabile), ed essendo cod S ~ 2 , dalla sequenza esa t ta della differenza per l 'omologia di Borel- Moore (cfr.[2]) si ha H ~ . ( U ~ ) ~ H ~ ( U ~ \ S ) ~ _ K ; ana logamente si ha H2,~(U~) ~ K per un s i s tema fondamenta le di in torni aper t i e irriducibili di x in U~, {Ui}iEI , e quindi JE2~(X)lv = K.

Osserviamo che ogni spazio di t ipo V~_R~ ~ una var ie ta topologica. Un esempio di spazio di t ipo V~R,~ in dimensione dispari, in cui il comple-

m e n t a r e dell 'unico pun to singolare 6 una va r i e t a non orientabile, si pub costruire nel modo seguente: consideriamo in R s l ' iperpiano x6 ~ 1 e in esso il p rodot to M • ~, dove M 6 il nastro di M6bius; il bordo di M • S ~ sara il toro T e per ogni pun to P c T consideriamo il segmento che con- giunge P con l 'origine; se C 6 il luogo di det t i segment i , siu X--~ (M • S ~) (_J C

T

lo spazio o t tenuto (( incollando ~) C e M • S 1 lungo il bordo T: se consideriamo

U N ' ~ S T ~ N S I O N ~ D:EL T:EOR~;MA :DI DUALIT)k DI ~OINC&I~]~ 10

in X un in to rno a p e r t o U ( o p p o r t u n a m e n t e piccolo) del l 'or igine, esso

o m e o m o r f o con il cono su T e quindi JCs(X)I ~ = K, m a X, e o n t e n e n d o la so t tova r i e t~ a p e r t a M • ~, non g or ien tab i le .

Un a l t ro e s emp io g forn i to da l l ' ipersuper f ic ie di R 6 def in i ta da l l ' equaz ione :

9t 2 - - lO[8(x 2 + y'- + z ~) - - 3(x 2 -~- y~ -[- z 2 + u 2 + v2)]t zr

+ 25(x~ + y~-+ z ~ + u ~ + v'-)~ = O;

essa ha l 'o r ig ine c o m e unico p u n t o s ingolare ed 5 t o p o l o g i c a m e n t e un cono su S z • $2; in ques to caso il T e o r e m a 2 p e r m e t t e di a f f e rmare che A~ ~ biget-

t ivo se p = 0 , 1 , 4 , 5 , in i e t t ivo se p = 2 e su rge t t i vo se p = 3 . I n i z i a m o col p r o v a r e t m r i su l t a to pifi gene ra l e :

3. - PROPOSIZIONE. Sia X uno spazio di tipo VS~ con singolarit5 isolate.

Indichiamo con C*(X) il duale della risoluzione canonica ir~iettiva del fascio

costante K su X (sard allora JC , (X)= JCj(e*(X)) cfr. [23).

(a) Si ha per ogni p e Z un isomor]ismo naturale:

dove

! A~: H~_~(X, K) ~ A~ 0 B~

(Le definizioni degli o m o m o r f i s m i d~ e d,+l v e r r a n n o meglio prec is~te nel corso

del la d imos t raz ione) .

(b) Come conseguenza di (a) si ha un omomor[ismo naturale:

/J~: H~(X, JC,(X)) --> H~_~(X, K)

ehe ~ bigettivo se p - = O, iniettivo se p ~ 1.

DI~I[OfiTI~AZIONE. Se p ~ 0 la b i g e t t i v i t h di Ao v iene d i m o s t r ~ t a in [2],

p e r t u t t i gli sp~zi di d imens ione fini ta. Sia ~B : C*(X) ; ~5 g fiacco (cfr. [2]) al lor~ H~(X, :5) ~ 0 p e r ogni p > 1

(cfr. [5], I I , 4.4.3) e qu ind i pe r il T e o r e m a 4.6.1 di [5] I I , esiste u n a sequenza

20 FRANCA ~ARTINI

spettra~le in cui E~ "q = H ' ( X , J~(:5)) e i l cu i t e r m i n e E~ ~ il m o d u l o g r ~ d u a t o

,~ssocinto ~d H*(F(.,~)) cou filtra, z ione cunonic~; i no l t r e , poich5 lu d i m e n s i o n e

di X 5 f ini te , si ha c o n v e r g e n z u regola.re ([5] p . 195) ossia E~ = l i m E~. Si h a :

E : '~ = U~(X, ~e,(X))

(1) E ~ ' ~ : 0 se p : ~ O e q : / :O

O,q E 2 : ( ~ n _ q ( X ) x q=]{=O.

~cG3

L e u l t i m e de l le (1) si h a n n o pe rchb J ~ ( X ) b c o n c e n t r a t o su S se q ~: n.

F i s s i a m o p > 0 e c o n s i d e r i a m o , p e r r>~2

si h a a l lor~

(2)

(3)

(4)

D ~

si h a

B Y . . . . - 1 _> ErV,o __> E ~ + r . - - r + 1 ; r

E ~ , o - - _ _ E ~ . O ,

~,0 19,0 E~+: = ... = Eoo �9

1.0 O s s e r v i ~ m o che se p : 1 si h~ E~ - -

0 - - E ~ "2v-2 --+ -'pE~ d:o ) _pE ~'0 ---k __~E 2~~ + 1 ----

~.0 ~,0 0 ,~--1 . E~+ 1 = E~ /d~(E 2 ),

0,~-1 E0,~-i si h a po i E 2 = ~ e in conc lus ione :

E~;O ~.o o.~-: = E 2 /d~,(E2 ) . (5)

Si h a po i

( 6 ) - - E ~ + I ; E ~ + 2 - - E = .

- - E ~ ~ "

0 (se p > 2 )

0 / / ] - - ~ - - l . 2 p 0,~ d~+~ ]7]~+1,0 ] ~ 2 ~ - t - 2 , - - ~ _ 0

si h a E~+ 2~ : Kerd~ +1; si p r o v ~ pot che ~+1.0_~+: = E~+:.o e in conc lus ione si h~

(7) E~L" = K e r (E ~ ~+'> E ~ + : ' ~

Osse rv i~mo che H,~_~(X, K) H~(F(,~)) ,,o.~ = = E ~ (~)E~; ~ p e r cui da (1),

(5) e (7) si ha l~ t es i (a). L ' i n i e t t i v i t s di 41 segue sub i t o du l l ' o s s e rva z ione (4).

UN~ESTENSION:E DEL TEOR:EM~- DI DUALITk DI POINCAR~ 21

4. - P~OPOSIZm.~E. Sia x un punto non isolato di uno spazio di tipo VSR~:

allora Jgo(X)~ =-O. Se inoltre x non sconnette gli intorni di un suo sistema

]ondame~tale, allora Jg~(X). = O.

DI~0STRAZIONE. Pe r [4] 2.4 esiste un s is tema fondamentMe di intorni aper t i e r e l a t i vamen te compat t i {U,~}~N del pun to x ta le ehe U,~ ~ U~+I, U~ ~ contra t t i le a x e U ~ \ U ~ = OU~ g u n r e t r a t to di deformazione di U , , \ x . Si ha la sequenza esa t ta per l 'omologia di Borel-Moore:

o = Hi(F,.) -+ H~(U,.) -~ Ho(U,. \U, .) 2~. Ho(F,.) -+ Ho(~,,J

Ho(U..\x) K

Poichg U~ e OU~ sono eompat t i e H L C per [3], V, 11.9 l 'omologia g quella singolare e al lom ~ g surget t iva, da eui Jeo(X)~ = 0. Se inoltre Ho(U,~\x) = K,

g anche inie t t iva , da cui J~(X)~ = 0.

5. - - OSSEI~VAZIONE. Se lo spazio X della proposizione 3 g di t ipo VS~

si ha H2(X, Jg~(X)) ~- 0 e quindi per l ' in ie t t iv i t~ di A~:

Ho(X, K) ~ H~(X, Set(X)) | (| x~8

Se X ~ anehe VSR~, per la proposizione 4 si ha, per ogni x, J Q ( X ) ~ 0, e quindi si ha la dualitY:

HI_~(X, K) ~/P(X1, Sel(X))

dove p = O, 1 sono gli uniei valori significativi d i p .

6. - Es~:~l)IO. Sia X la lemniseata (~ ad ot to ~ definita in R 2 dell 'equazione

y2__x2(l__x 2 ) = 0

X g c o m p a t t a ed H L C per cui l 'omologia di Borel-Moore g quella singolare

([3], V, 11.9); si ha dunque:

Hi(X, K) ~_ K | K ~_ H~ SOl(X))

Ho(X , K) ~_ g ~_ HI(X, ~l(X))

perb, pur essendo X orientabile, non vale la dualith di Poinear~: infat t i

Ho(X, R) = 11, ma H~(X, R) = (HI(X, R))* = R @ R .

22 FRANCA MARTINI

P r i m a di d imostrare il Teo rema 2 abbiamo bisogno, oltre che delle pro- posizioni 3 e 4, di aleuni altr i r isul tat i per gli sp~zi V~qR,, con singolarits isolate.

7. - P]~oPOSlZIO~]~. Sia x una singolaritd isolata di uno spazio X di tipo VSR~; allora esiste per ogni i con 2 < i < n - - 1 un isomorlismo:

J~(X)~---- H o m (JC~_~+I(X)~, K) Q E x t (J~,~_~(X)~, K ) .

DIMOSTRAZIO~E. Consideriamo in U~ un s is tema fondamenta le {U,,~}~N di intorni di x, come nellu proposizione 4. Pe r ogni m e N e per ogni i < n - - 1 , d~lla sequenza esut ta di coomologia della coppi~ (U~, U,~\x) si ha l ' isomorfismo: H~-*(Um\x) ~ Hn-*+~(U~, Urn\x).

Poich5 J~(X)lv.---- K, anche J~.(X)lum\,-~ K per ogni m e allora, sup- ponendo senza restrizione che x siu l 'unico pun to singolare in U., p e r

duulit~ di Poincar6 si ha H~-~(Um\x)~-H~(U.~\x). Se inoltre si ha i~>2 ~llor~, per la sequenzn esa t ta della differenza si

ha H, (Um\x)~H~(U~); in conelusione si ha

excisione

H~-~+~(U~, U~\x) ~ H~-~+~(U~, U~\x) ~_H~(U.,)

e passando al l imite

H"-~+~(U~, U~\x)=JG~(X)~ per ogni 2 < i < n - - 1 .

Dulla formula universale dei coefficienti nel euso relutivo si ha lu sequenza esat tu (( spli t t ing ~> ([3], V, 12.7)

o - ~ E x t (H;_,(U~, U~\x), K) -~

--> H'-~+~( U~, U~\x) -+ H o m (H:_,+~(U~, U~\x), K) -> 0

che, tenuto conto dell ' isomorfismo fi: H~(U~, U~\x)~_JC~(X)x ci d~ lo tesi. (I1 fa t to che fl sia un isomorfismo si d imos t ra per ogni j seguendo la l ines che viene usatu in [4] pe r il c~so j ------ n.)

8. CO]~OT,LA~I0. Sia x singolarit~ isolata di uno sp~zio X di t ipo V,gR,~ (n>~3) e si~ d un intero ta le che 2 < d < n - - 1; si~ JC~(X)~= 0 per ogni j < d .

Allor~ JC~(X), ---- 0 per ogni n -- d -5 1 < i < n - - 1. Se inoltre d >1 n/2 ul lor~ in un intorno di x, X 6 un~ v~riet~ omologic~.

l~oti~mo infine che ques t 'u l t imo fa t to g sempre b~n~lmente vero per spgzi di t ipo VSRI, e cosi pure per spazi di t ipo V,gR2 con singolarit~ isolate, come risult~ dall~ seguente

UN~lgSTlgNSION]~ DIgL TlgOR~MA ])I DUALIT)k DI POINCAR~ 23

9. OSSEI~VAZlO~E. Sia X di t ipo V S R , , con n v a l ; sia ~ r u n a sin-

golar i t~ i so la ta ; a l lora ~ , ( X ) ~ = 0 ; i n fa t t i , con le ' no t az ion i p receden t i ,

essendo n > 2 si ha H,(U,~) = H ~ ( U m \ x ) e K = 3E~(X)~= l i m H~(Um) = )-

= l im H~(U,~\x); allora per m > N Urn\x, che g u n a va r i e t s o r ien tab i le , >

connessa e q u i n d i per la proposiz ione 4 si ha ~ ( X ) , = 0.

La d imos t r az ione del Teo rema 2 segue ora i m m e d i a t a m e n t e da 3, 8 e 9.

Pervenuto in Redazione il 5 luglio 1977.

RIASSUNTO

In questo lavoro si generalizza la dualits di Poincar6 a spazi topologici local- mente omeomorfi con insiemi anMitiei reali n-dimensionali con singolarit~ isolate; tali spazi non sono in generale orientabili, nb sono munit i di una s t rut tura analitica globale.

Rispetto ad un analogo risultato di L. KAuP ([6]), il nostro Teorema 2 si dimostra a prescindere dall'esistenza di normalizzazioni topologiche (nel senso di [6]).

SUMMARY

In this paper we generalize Poinear6 duali ty to topological spaces locally homeo- morphie with real analytic n-dimensional sets with isolated singularities; these spaces are in general neither orientable nor globally analytic.

Compared with a similar result of L. KAtrP ([6]), our Theorem 2 is proved without supposing the existence of a topological normalization (in the sense of [6]).

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24 FRANCA MARTINI

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