MC420 Didattica della matematica

Corso di laurea in Matematica a.a. 2018-19

Dal rigore all’assiomatica: logica, intuizione

1. La tensione fra rigore e vincolo con lo studio della natura

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2. La svolta assiomatica e il bourbakismo nel Novecento

1. La tensione tra rigore e intuizione Nell’Ottocento

“Il secolo del rigore”: precisione nel ragionamento (logica), perfezione nelle dimostrazioni, presentazione inattaccabile

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Intuizione e sviluppo della matematica: centralità del rapporto tra matematica e studio della natura

La trasformazione del concetto di movimento con la sostituzione del concetto empirico con il concetto matematico ipostatizzato è inevitabile se dobbiamo sottoporre il movimento al numero per trattarlo matematicamente e costruire una fisica matematica. Ma ciò non basta. Reciprocamente le matematiche stesse debbono essere trasformate (ed è merito immortale di Newton di aver compiuto questa trasformazione). Gli enti matematici debbono essere, in certo senso, avvicinati alla fisica, sottoposti al moto e considerati non nel loro “essere”, ma nel loro “divenire” o nel loro “flusso”.

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Alexandre Koyré, Studi newtoniani (1968)

Alexandré Koyré (1892-1964)

La matematica attraversa la Rivoluzione Scientifica del Seicento

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

Si tende spesso ad attribuire alle formule algebriche un’estensione indefinita, mentre, in realtà, la maggior parte di queste formule sussiste soltanto sotto certe condizioni e per determinati valori delle quantità che racchiudono. Determinando queste condizioni e questi valori e fissando in modo preciso il senso delle notazioni di cui mi servo, faccio sparire ogni incertezza; e allora le diverse formule non rappresentano altro che delle relazioni fra le quantità reali, relazioni che è sempre facile verificare attraverso le sostituzione dei numeri alle quantità stesse […] ! Per quel che concerne i metodi, io ho cercato di conferire ad essi tutto il rigore che è richiesto in geometria, in modo da non ricorrere mai alle ragioni ricavate dalle generalità dell’algebra. Le ragioni di questo tipo non possono essere considerate altro che come induzioni atte a far presagire talvolta la verità, ma che si accordano poco con la tanto vantata esattezza delle scienze matematiche. !

Augustin Cauchy Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique (Parigi 1821)

Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851)

Adrien-Marie Legendre(1752-1833)

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

Se la materia ci sfugge, come nel caso dell’aria e della luce, per la sua estrema rarefazione, se i corpi sono posti lontano da noi, nell’immensità dello spazio, se l’uomo vuole conoscere lo spettacolo dei cieli in epoche successive separate da un gran numero di secoli, se le azioni della gravità e del calore si esercitano all'interno del globo solido a profondità che saranno sempre inaccessibili, l’Analisi matematica può ancora cogliere le leggi di questi fenomeni. Essa li rende presenti e misurabili, e sembra essere una facoltà della ragione umana destinata a supplire alla brevità della vita ed alla imperfezione dei sensi; e cosa ancora più importante, essa procede allo stesso modo nello studio di tutti i fenomeni; li interpreta con lo stesso linguaggio, come per attestare l’unità e la semplicità del piano dell'universo, e rendere ancor più manifesto l’ordine immutabile che presiede a tutte le cause naturali. […] !

Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822)

È vero che Fourier è dell’opinione che gli oggetti principali della matematica sono la pubblica utilità e la spiegazione dei fenomeni naturali; ma uno scienziato come lui dovrebbe sapere che l’unico oggetto della scienza è l’onore dello spirito umano e in questa prospettiva un problema di teoria dei numeri vale tanto quanto una questione sul sistema planetario.

!Lettera di Karl Gustav Jacob Jacobi

a Adrien-Marie Legendre, 2 luglio 1839 !

Herbert Pieper (a cura di), Korrespondenz Adrien-Marie Legendre–Carl Gustav Jacob Jacobi. Correspondence mathématique entre Legendre et Jacobi, B. G. Teubner, Stuttgart–

Leipzig, 1998.

Per fondare questa teoria, era necessario in primo luogo distinguere e definire con precisione le proprietà elementari che determinano l'azione del calore. Ho constatato poi che tutti i fenomeni che dipendono da questa azione si riducono ad un numero assai piccolo di fatti generali e semplici, e, per questa via, ogni questione fisica di questo genere è ricondotta ad una ricerca di Analisi matematica. […] I principi di questa teoria sono dedotti, come quelli della meccanica razionale, da un piccolo numero di fatti primordiali, di cui i geometri non considerano la causa, ma che accettano come risultato delle osservazioni comuni e confermate da tutte le esperienze. Le equazioni differenziali della propagazione del calore esprimono le condizioni più generali e riconducono le questioni fisiche a problemi di Analisi pura, e questo è proprio l'oggetto della teoria. Esse non vengono dimostrate meno rigorosamente delle equazioni generali dell'equilibrio e del moto. È per rendere questo confronto più chiaro che noi abbiamo sempre preferito delle dimostrazioni analoghe a quelle dei teoremi che servono da fondamento alla Statica ed alla Dinamica. […] Dopo aver stabilito queste equazioni differenziali occorreva ottenerne gli integrali […]. Questa ricerca non lascia niente di vago e di indeterminato nelle soluzioni; essa le conduce fino alle ultime applicazioni numeriche, condizione necessaria di ogni ricerca e senza la quale non si giungerebbe altro che a trasformazioni inutili. […] Lo studio approfondito della Natura è la fonte più feconda delle scoperte matematiche. Non soltanto questo studio, offrendo alla ricerche un fine determinato, ha il vantaggio di escludere le questioni vaghe e i calcoli inutili; esso è anche un mezzo sicuro per costruire l’Analisi stessa, e per scoprirne gli elementi che più ci preme di conoscere, e che questa scienza deve sempre conservare: questi elementi fondamentali sono quelli che si riproducono negli effetti naturali. […] Considerata da questo punto di vista, l’Analisi matematica è estesa quanto la Natura; essa definisce tutti i rapporti sensibili, misura i tempi, gli spazi, le forze, le temperature; questa scienza difficile si forma con lentezza, ma conserva tutti i principi che essa ha via via acquisito; essa si accresce e si consolida senza sosta, fra tanti cambiamenti ed errori dello spirito umano. Il suo attributo principale è la chiarezza; essa non ha assolutamente simboli per esprimere le nozioni confuse. Essa avvicina i fenomeni più diversi e scopre le analogie segrete che li uniscono.

Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822)

2. La svolta assiomatica e il bourbakismo nel Novecento

Teoria di galois: Dalla risoluzione delle equazioni algebriche allo studio delle strutture

Geometria: Geometrie non euclidee, approccio di Riemann

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Teoria degli insiemi e l’infinito attuale

Nuovi sviluppi

Jules Henri Poincaré (1854-1912)

Il convegno internazionale dei matematici di Parigi 1900

DAvid Hilbert (1862-1943)

Diventando rigorosa la Scienza matematica assume un carattere artificiale che colpisce chiunque; essa dimentica le sue origini storiche; si vede come possono essere risolti i problemi, non si vede più come e perché si pongono. Ciò dimostra che la logica non basta; che la Scienza della dimostrazione non è la Scienza intera e che l’intuizione deve conservare il suo ruolo come complemento, starei per dire come contrappeso o come contravveleno della logica.

[…] ho già avuto occasione di insistere sul ruolo che deve conservare

l’intuizione nell’insegnamento delle Scienze matematiche. Senza di essa, le giovani menti non riuscirebbero a iniziarsi all’intelligenza delle Matematiche; non apprenderebbero ad amarle e vi scorgerebbero soltanto una vana logomachia; e soprattutto, senza di essa non diventerebbero mai capaci di applicarle !Poincaré, Conferenza nel Congresso internazionale dei Matematici di

Parigi, 1900.

Hilbert, “I problemi futuri della matematica” Conferenza nel Congresso internazionale dei Matematici di Parigi, 1900.

libertà conquistata con il metodo assiomatico (autonomia del ragionamento matematico) ! Hilbert, Grundlangen der Geometrie (1899)

• Moritz Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie (1882) • Giuseppe Veronese Fondamenti della geometria (1891) • Peano, Principii della geometria (1899)

!‣definizioni, assiomi, proposizioni ‣indipendenza, coerenza e completezza degli assiomi

! evitare di rompere i vincoli con l’intuizione, con le scienze

sperimentali !!

Penso che sia una approssimazione relativamente buona della verità – che è t roppo compl icata per consent i re nient’altro che delle approssimazioni – dire che le idee matematiche hanno origine nei fatti empirici, sebbene la genealogia sia talvolta lunga e oscura. Ma, non appena esse sono state così concepite, l’argomento inizia a vivere di una vita peculiare per proprio conto ed è paragonabile a una tematica creativa, g o v e r n a t a d a m o t i v a z i o n i q u a s i esclusivamente estetiche, piuttosto che a qualsiasi altra cosa, e in particolare a una scienza empirica.

! John Von Neumann

(1903-1957) The mathematician (1947)

Tuttavia, vi è un altro aspetto che, a mio avviso, deve essere sottolineato. Quando una disciplina matematica viaggia lontano dalla sua sorgente empirica o se, ancor di più, appartiene a una seconda o a una terza generazione ispirata soltanto indirettamente da idee provenienti dalla “realtà”, è esposta a gravi rischi. Essa diventa sempre di più puramente estetizzante, sempre più puramente l’art pour l’art.

Questo può non essere un male, se il campo di ricerca è circondato da soggetti correlati che conservano connessioni empiriche più strette, o se la disciplina è sotto l’influenza di persone con una sensibilità eccezionalmente sviluppata. Ma vi è il grave pericolo che il soggetto si sviluppi lungo la linea di minima resistenza, che la corrente, così lontana dalla sua sorgente, si separi in una moltitudine di branche insignificanti, e che disciplina diventi una massa disorganizzata di dettagli e di complessità. In altre parole, a una grande distanza dalla sua sorgente empirica, o dopo molti incroci “astratti”, un soggetto matematico corre il pericolo di degenerare. All’inizio lo stile è di solito classico; quando mostra segni di diventare barocco allora il segnale di pericolo è acceso. Sarebbe facile dare esempi, delineare evoluzioni specifiche verso il barocco e l’ultra-barocco, ma questo sarebbe troppo tecnico.

Ad ogni modo, quando questo stadio è raggiunto, a mio avviso, il solo rimedio è un ritorno rigeneratore alla sorgente: l’iniezione di idee più o meno direttamente empiriche. Sono convinto che questa è sempre stata una condizione necessaria per conservare freschezza e vitalità alla disciplina e che tale rimarrà anche nel futuro.

! John Von Neumann (1903-1957), The mathematician (1947)

Università di nincago?

Il gruppo Nicolas Bourbaki e l’architettura della matematica (1835-1980s)

Jean Dieudonné (1906-1992) Les méthodes axiomatiques modernes et les fondements des mathématiques, Revue scientifique, 72, 548-690.

– necessità assoluta di presentare i ragionamenti sotto forma assiomatica, cioè sotto una forma in cui le proposizioni si concatenano in virtù delle sole regole della logica, facendo volontariamente astrazione di tutte le “evidenze” intuitive che possono suggerire alla mente i termini che vi figurano

!– è visibile che, nei ragionamenti fatti fino ad

allora, si insinuavano considerazioni intuitive ad ogni passo, e che i sistemi di assiomi che si pretendeva fossero alla base di questi ragionamenti erano insufficienti per svilupparli con pieno rigore

!!!

il dovere di «ogni matematico intellettualmente probo»

Il matematico moderno si sente perfettamente in pace con la sua coscienza e non si preoccupa affatto di tutti gli pseudoproblemi che hanno preoccupato i suoi predecessori. La logica e la Teoria degli insiemi classiche, che formano la base del suo linguaggio, sono da molto tempo sistematizzate in modo da rispondere a tutti i suoi bisogni, esorcizzando completamente i “paradossi” che terrorizzavano i contemporanei di Cantor [...].

Da questo punto di vista, si può senz’altro sostenere che, per il matematico, è più interessante dimostrare matematicamente che una teoria è contraddittoria (il che è un teorema), che dimostrare metamatematicamente che essa non lo è (il che significa semplicemente che non vi è alcuna speranza che si dimostri mai matematicamente che la teoria è contraddittoria). Tutte le questioni, come la non contraddizione delle teorie, e in generale tutto ciò che concerne la teoria della dimostrazione fanno parte ora di una scienza completamente separata dalla matematica, la metamatematica; questa nuova disciplina non cessa di svilupparsi e ha già fornito numerosi risultati nuovi e interessanti; ma è perfettamente lecito al matematico ignorarla del tutto senza essere per nulla preoccupato nelle sue ricerche.

!Dieudonné, Congrès Internationale de Philosophie des Sciences (1949)

dalle assiomatiche “univalenti“ all’assiomatizzazione della matematica Elements de mathématique !

dalle discipline/branche alle strutture della matematica !

• strutture algebriche • strutture d’ordine • strutture topologiche

L’architettura della matematica secondo i bourbakisti

Bourbaki (1949) Foundation of mathematics for the working mathematician, Journal of Symbolic Logic, 14, 1-8.

dalle assiomatiche “univalenti“ all’assiomatizzazione della matematica Elements de mathématique !

dalle discipline/branche alle strutture della matematica !

• strutture algebriche • strutture d’ordine • strutture topologiche

“una riserva di forme astratte”

Fare la teoria assiomatica di una struttura data significa dedurre le conseguenze logiche degli assiomi della struttura, vietandosi ogni altra ipotesi sugli elementi considerati (in particolare, ogni ipotesi sulla loro “natura” propria)

!Bourbaki, L’architecture des mathématiques (1948) in Le Lionnais, F. (a

cura di) Les grands courants de la pensée mathématique (Cahiers du Sud), p. 41

L’architettura della matematica secondo i bourbakisti

Tre implicazioni dell’approccio bourbakista; !(a) modifica radicalmente l’immagine della matematica il che suggerisce un cambiamento profondo delle modalità dell’insegnamento; !(b) per l’enfasi che pone sul ricorso all’assiomatica, mira a trasformare la ricerca matematica in un’attività standardizzata in cui l’intuizione/il ”gusto“ ha pochissimo posto, se non nella determinazione degli assiomi fondamentali; !(c) dissocia completamente la matematica dallo studio della natura e dalle applicazioni. !(d)una storia della matematica bourbakista (1969), separata dalla storiografia

Bourbaki, L’architecture des mathématiques (1948) in Le Lionnais, F. (a cura di) Les grands courants de la pensée mathématique (Cahiers du Sud), p. 41

Le “strutture” sono degli strumenti per il matematico; non appena egli ha scorto, tra gli elementi che studia, delle relazioni soddisfacenti agli assiomi di una struttura di un tipo noto, egli dispone subito di tutto l’arsenale dei teoremi generali relativi alle strutture di questo tipo, laddove, prima, doveva penosamente fabbricarsi da sé i suoi mezzi d’attacco la cui potenza dipendeva dal suo talento personale, e che erano ingombri spesso di ipotesi inutilmente restrittive, provenienti dalla specificità del problema studiato. Si potrebbe dunque dire che il metodo assiomatico non è altro che il “sistema di Taylor” delle matematiche

• scomparsa della geometria dal panorama della matematica, completamente riassorbita entro le strutture algebriche e topologiche (il trattato bourbakista non contiene una sola figura e un solo esempio o esercizio di carattere geometrico-intuitivo). !• visione “aristocratica” della matematica pura; il calcolo

delle probabilità, la statistica, l’analisi numerica spariscono e vengono respinte nel campo della “matematica applicata”, da considerarsi come un insieme di discipline empiriche.

Cosa è la matematica?

rilevanti implicazioni sull’insegnamento: !– sodalizio con Jean Piaget (1896-1980) – polemica con René Thom (1923-2002) – “stile” di insegnamento universitario

La lezione è basata sul capitolo 10 di Pensare in matematica (2012) di G. Israel e A. Millán Gasca Si vedano anche le letture 9.1 (Koyré) e 9.2 (Fourier) del capitolo 9.

Approfondimenti e riferimenti bibliografici completi di tutti i brani si trovano nel libro Il bourbakismo (2013) di G. Israel, autopubblica su amazon qui (è disponibile una anteprima)

Su John von Neumann !

“Il mondo come gioco matematico. La vita e le idee di

John von Neumann” di G. Israel e A. Millán Gasca (Bollati Boringhieri, Torino, 2008,Premio Peano di letture

matematiche, tr. ingl. Birkhaüser 2009)

Il nuovo concetto di movimento che si afferma così vittoriosamente nella scienza classica è un concetto molto semplice; tanto semplice che – sebbene sia di un impiego molto facile quando ne abbiamo l’abitudine, come l’abbiamo tutti – è molto difficile da cogliere e capire pienamente, anche per noi. […] questo concetto sostituisce una nozione puramente matematica a una nozione fisica: contrariamente alla concezione pre-galileiana e pre-cartesiana che concepiva il movimento come una specie di divenire, come un genere di processo che influisce sui corpi che gli sono soggetti, in opposizione al riposo che non era un processo, la concezione nuova – o classica – interpreta il movimento come un genere di essere, cioè non come un processo ma come uno status, uno stato altrettanto permanente e indistruttibile del riposo, e che, non diversamente da questo, non influisce sui corpi in moto. [… questo movimento] non è il movimento dei corpi della nostra esperienza, non lo incontriamo nella vita quotidiana. È il moto dei corpi geometrici (archimedei) nello spazio astratto. Per questo non ha nulla a che vedere col cambiamento. Il “movimento” dei corpi geometrici nello spazio geometrico non cambia nulla; i “luoghi” in uno spazio siffatto sono equivalenti e persino identici. […]

La trasformazione del concetto di movimento con la sostituzione del concetto empirico con il concetto matematico ipostatizzato è inevitabile se dobbiamo sottoporre il movimento al numero per trattarlo matematicamente e costruire una fisica matematica. Ma ciò non basta. Reciprocamente le matematiche stesse debbono essere trasformate (ed è merito immortale di Newton di aver compiuto questa trasformazione). Gli enti matematici debbono essere, in certo senso, avvicinati alla fisica, sottoposti al moto e considerati non nel loro “essere”, ma nel loro “divenire” o nel loro “flusso”.

! Alexandre Koyré, Studi newtoniani (1968)

Occorre vedere e comprendere le curve e le figure della geometria non come costruite a partire da altri elementi geometrici né come ritagliate nello spazio per intersezione di corpi geometrici e di piani, e neppure come rappresentando un’immagine spaziale delle relazioni di struttura che esprimono direttamente le formule algebriche, ma come generate o descritte dal movimento nello spazio di punti o di linee. Noi qui abbiamo a che fare, beninteso, con un movimento senza rapporto con il tempo o, cosa ancor più strana, con un movimento che si svolge in un tempo in temporale, nozione altrettanto paradossale di quella di un cambiamento senza cambiamento. E tuttavia è soltanto facendo procedere in un tempo intemporale un cambiamento che non cambia, che possiamo trattare – effettivamente oltre che intellettualmente – delle realtà come la velocità, l’accelerazione o la direzione di un mobile in un punto qualsiasi della sua traiettoria o viceversa, in un istante qualsiasi del movimento che descrive questa traiettoria.

Storia appassionante, quella degli sforzi dello spirito umano, dei suoi successi e dei suoi scacchi, per formulare queste idee nuove e strane e per costruire, o, come ha detto giustamente Spinoza, per forgiare gli strumenti e i modelli nuovi del pensiero e della comprensione. Questa storia occupa i cinquant’anni che separano il Discorso sul Metodo [di Descartes] dai Principia Mathematica [di Newton]. Una generazione di grandi pensatori – ci limitiamo a menzionare Cavalieri, Fermat, Pascal, Wallis, Barrow, Huygens – hanno dato il loro contributo al successo finale.

! Alexandre Koyré, Studi newtoniani (1968)

Le “strutture” sono degli strumenti per il matematico; non appena egli ha scorto, tra gli elementi che studia, delle relazioni soddisfacenti agli assiomi di una struttura di un tipo noto, egli dispone subito di tutto l’arsenale dei teoremi generali relativi alle strutture di questo tipo, laddove, prima, doveva penosamente fabbricarsi da sé i suoi mezzi d’attacco la cui potenza dipendeva dal suo talento personale, e che erano ingombri spesso di ipotesi inutilmente restrittive, provenienti dalla specificità del problema studiato. Si potrebbe dunque dire che il metodo assiomatico non è altro che il “sistema di Taylor” delle matematiche

!!Bourbaki, L’architecture des mathématiques (1948) in Le Lionnais, F. (a cura di)

Les grands courants de la pensée mathématique (Cahiers du Sud), p. 41

Le cause primordiali non ci sono affatto note, ma esse sono soggette a leggi semplici e costanti che possono essere scoperte tramite l'osservazione, e il cui studio è l'oggetto della Filosofia naturale. Il calore penetra, come la gravità, tutte le sostanze dell'Universo; i suoi raggi occupano tutte le parti dello spazio. Lo scopo della nostra Opera è di esporre le leggi matematiche cui obbedisce questo elemento. Questa teoria sarà d’ora in poi una delle branche più importanti della Fisica generale. Le conoscenze che i popoli più antichi avevano potuto acquisire nel campo della Meccanica razionale non ci sono pervenute, e la storia di questa scienza, fatta eccezione per i primi teoremi sull'armonia, non risale al di là delle scoperte di Archimede. Questo grande geometra spiegò i principi matematici dell’equilibrio dei solidi e dei fluidi. Passarono circa diciotto secoli prima che Galileo, primo inventore delle teorie dinamiche, scoprisse le leggi del moto dei gravi. Newton racchiuse in questa nuova scienza tutto il sistema dell'universo. I successori di questi filosofi hanno dato a queste teorie un’estensione e un’ampiezza mirabili; ci hanno insegnato che i fenomeni più diversi sono soggetti ad un piccolo numero di leggi fondamentali, che si riproducono in tutti gli atti della natura. Si è visto che gli stessi principi reggono tutti i moti degli astri, la loro forma, le diversità dei loro corsi, l’equilibrio e l'oscillazione della luce, le azioni capillari; le ondulazioni dei liquidi e infine, gli effetti più composti di tutte le forze naturali, ed è stato confermato il pensiero di Newton: «Quod tam paucis tam multa praestet geometria gloriatur». Ma quale che sia l’estensione delle teorie meccaniche, esse non si applicano agli effetti del calore. Questi formano una categoria speciale di fenomeni che non possono essere spiegati con i principi del moto e dell'equilibrio. Da molto tempo si possiedono strumenti ingegnosi atti a misurare molti di questi effetti; si sono raccolte osservazioni preziose, ma non si conoscono così altro che risultati parziali e non la dimostrazione matematica delle leggi che li comprendono tutti. Ho dedotto queste leggi attraverso un lungo studio e il confronto attento dei fatti noti fino ad oggi; li ho osservati tutti di nuovo, nel corso di molti anni, con gli strumenti più precisi di cui si sia mai fatto uso.

Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822)

Assiomatica e Bourbakismo Nell’Novecento

Intuizione e studio della natura: la visione classica della matematica !

L’assiomatizzazione dell’aritmetica e della geometria e il programma formalista di Hilbert

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il gruppo Bourbaki

La logica del tutto pura non ci condurrebbe ad altro che a tautologie; essa non può creare nulla di nuovo: non è da essa soltanto che può uscire alcuna scienza.

L’intuizione non può darci il rigore, e neanche la certezza.

1° Due quantità uguali ad una terza sono uguali tra loro. 2° Se un teorema è vero per il numero 1 e se si dimostra che è vero per n +1, purché lo

sia per n, esso sarà vero per tutti i numeri interi. 3° Se su una retta il punto C si trova tra A e B e il punto D tra A e C, il punto si troverà

tra A e B. 4° Per un punto si può condurre soltanto una parallela a una retta. !Tutti e quattro debbono essere attribuiti all’intuizione, e tuttavia il primo è l’enunciato

di una delle regole della logica formale; il secondo è un autentico giudizio sintetico a priori, è il fondamento dell’induzione matematica rigorosa; il terzo fa appello all’immaginazione; il quarto è una definizione mascherata. !Chi dubiterà dell’Aritmetica [la pura intuizione del numero]?

La tensione intuizione/logica

Dove si cela l’intuizione in matematica?

Poincaré, Conferenza nel Congresso internazionale dei Matematici di Parigi, 1900.

La teoria del calore di Fourier è uno dei primi esempi dell’applicazione dell’analisi alla fisica. Prendendo le mosse da ipotesi semplici, che non sono altro che fatti sperimentali generalizzati, Fourier dedusse una serie di conseguenze che costituiscono, prese insieme, una teoria completa e coerente. I risultati che ottenne sono certamente interessanti in sé ma quel è più interessante è il metodo di cui egli fece uso per ricavarli e che costituirà sempre un modello per tutti coloro che desiderano coltivare una branca qualsiasi della fisica matematica. Aggiungo che il libro di Fourier è di importanza capitale nella storia della matematica e che l’analisi pura gli deve forse di più dell’analisi applicata !Poincaré, Théorie analytique de la propagation de la chaleur (Parigi 1895)]

lo studio della Natura: escludere le questioni vaghe e i calcoli senza sbocco

Le Matematiche non sono un gioco puramente astratto dello spirito, ma sono, al contrario, in stretta connessione con la realtà concreta.[...] È sempre a contatto della Natura che l’analisi matematica si è rinnovata; non è grazie che a questo contatto permanente che essa ha potuto sfuggire al pericolo di divenire un puro simbolismo che gira su se stesso.

!Émile Borel (1871-1956) L’imaginaire et le réel

en mathématique et en physique (Paris 1952)