Fisica in uno spazio-tempo curvo 1Consideriamo ora la fisica della gravitazione in uno spazio-tempo curvo.

Come per il caso Newtoniano le domande sono due. (1) In che modo il campo gravitazionale influenza il comportamento della materia ?(2) In che modo la materia determina il campo gravitazionale ? In ambito Newtoniano, le risposte sono date dalla II legge della dinamica e dalla legge

di gravitazione universale. In forma differenziale:

In RG troviamo due relazioni analoghe che descrivono come la curvatura dello spazio-tempo agisce sulla materia e su come la materia modifica la curvatura dello spazio-

tempo. Cercheremo di giustificarle sulla base di principi fisici noti.

Operativamente per generalizzare le leggi della Fisica in presenza di uno spazio-tempo curvo si puo’ applicare il Principio di Minimo Accoppiamento:

1. Si considera una legge fisica valida in un sistema inerziale ed in uno spazio piatto.2. La si esprime in una forma (tensoriale) indipendente dalle coordinate.3. Si sostiene che la nuova legge e’ valida in uno spazio curvo.

Fisica in uno spazio-tempo curvo 2Operativamente:

(1) si considera una legge fisica valida in uno spazio piatto,(2) si sostituisce la metrica di Minkowski con quella dello spazio-tempo in esame (3) si sostituiscono le derivate parziali con le derivate covarianti

Es: 1: Moto di caduta libera con traiettoria xµ(l). In uno spazio piatto:

che in generale non rappresenta una equazione tensoriale (dxµ/dl e’ un vettore, le sue derivate seconde no). Il membro a sinistra puo’ essere riscritto come

in cui abbiamo sostituito la derivata parziale con quella covariante. L’equazione del moto di caduta libera e’ dato dall’equazione dellegeodetiche che, quindi, rappresenta quindi la versione RG della II equazione di Newton.

Fisica in uno spazio-tempo curvo 3Esempio 2: la legge di conservazione dell’energia-momento in relativita’ speciale (o Quella di conservazione del momento in ambito Newtoniano) diventa, sostituendo le derivate parziali con le derivate covarianti, la legge di conservazione dell’energia momento per uno spazio curvo:

Tuttavia un conto e’ generalizzare le equazioni da uno spazio piatto ad uno curvo ed un altro e’ sostenere che il risultato rappresenta l’azione di un campo gravitazionale.

Benche’ la corrispondenza gravita’ = curvatura debba, in ultima analisi, essere postulata, possiamo tuttavia giustificarla inferendola, per analogia, dal limite Newtoniano. Consideriamo le equazioni del moto (Newton) e delle geodetiche (RG).

Prendiamo il limite Newtoniano in cui: 1)Le particelle si muovono lentamente v<<c2)Il campo gravitazionale e’ debole e provoca piccole perturbazioni allo spazio piatto3)Il campo gravitazionale e’ statico

Fisica in uno spazio-tempo curvo 4La richiesta che una particella si muova lentamente implica:

In questo caso l’equazione delle geodetiche si semplifica:

Dalla condizione di staticita’ del campo :

Dalla condizione di campo debole decomponiamo la metrica in Minkowski + perturbazione:

Dalla definizione di metrica inversa:

Da tutte queste relazioni otteniamo i simboli di Cristoffel Gµ00 :

Fisica in uno spazio-tempo curvo 5Siamo ora in grado di scrivere esplicitamente l’equazione delle geodetiche

Dalla staticita’ della metrica perturbata ( ) si ottiene per la componente µ=0

Mentre per le componenti spaziali ottieniamo

Dividendo per (dt/dt)2

Che risulta identica all’equazione di Newton a patto di imporre

Ovvero di associare alla metrica il campo gravitazionale secondo la relazione

Equazioni di Einstein 1Le Equazioni di Einstein (o di campo) specificano il modo in cui la metrica risponde all’energia-momento del sistema. Al pari delle Equazioni di Maxwell non possono

essere ricavate ma devono essere postulate. Tuttavia possono essere motivate con varie argomentazioni. Una di queste, che coincide con la motivazione di Einstein,

e’ che esse generalizzino l’equazione di Poisson per il campo gravitazionale

in cui, a sinistra ci deve essere un tensore che contiene derivate seconde della metrica.

Ovviamente il Laplaciano non e’ un operatore ben definito in uno spazio curvo.Chiediamo: quali caratteristiche deve avere l’equazione che generalizza quella di

Poisson ? Il membro a sinistra e’ un operatore differenziale del secondo ordine. Quello a destra specifica la distribuzione spaziale della massa. In RG vogliamo

1) una relazione tra tensori 2) considerare energia e momento, che sappiamo esere quantificate dal tensore omonimo 3) sostituire il potenziale gravitazionale

con un tensore che specifichi le proprieta’ della metrica. L’equazione che cerchiamo dovra’ avere una forma del tipo

Equazioni di Einstein 2Quali opzioni abbiamo per il primo menbro ? 1) Il d’Alambertiano della metrica. Che

pero’ risulta essere nullo per la compatibilita’ della metrica. 2) il tensore di Riemann. Che effettivamente contiene derivate seconde della metrica. Pero’ e’ un

tensore (1,3) mentre Tµn e’ (0,2). Sappiamo pero’ formare un tensore (0,2) partendo dal tensore di Riemann: il tensore di Ricci Rµn. In questo modo si ottiene:

Questa fu la proposta che lo stesso Einstein fece inizialmente. Tuttavia questa relazione presenta un legato alla conservazione dell’energia.

La seconda relazione non e’ valida in una geometria qualsiasi. Infatti per l’identita’ di Bianchi (la terza relazione) questo ansatz implica che

La derivata covariante di uno scalare e’ uguale alla derivata parziale. Percio’ l’ultima relazione implica che la traccia T sia costante in tutto lo spazio tempo. Ma cio’ e’ difficile da giustificare visto che T e’ diverso da zero in presenza di materia…..

Equazioni di Einstein 3Conosciamo pero’ un altro tensore che si forma a partire dal tensore di Ricci e che e’

automaticamente conservato: il tensore di Einstein:

In cui il membro a destra e’ un tensore simmetrico di ordine (0,2) che si conserva cosi’ come il membro a sinistra e’ pure un tensore simmetrico di indice (0,2) costruito

dalla metrica e dalle sue derivate prime e seconde.

Con questa proposta le equazioni di campo assumono quindi la forma

Contraendo gli indici nell’eq. di Einstein otteniamo R=-kT. E l’equazione diventa

La costante di proporzionalita’ k puo’ essere infine ottenuta richiedendo che, nel limiteNewtoniano, le equazioni di Einstein si riducano all’equazione di Poisson.

che nel vuotosi riduce a

Equazioni di Einstein 4

In cui l’ultima equazione e’ ottenuta esplicitando il tensore di Ricci. Questa diventauguale all’equazione di Poisson se (come abbiamo gia’ visto) e se

possiamo quindi scrivere le Equazioni di Einstein nella loro forma canonica:

Vediamo allora cosa accade nel limite Newtoniano. Nel caso non relativistico p=0poiche’ il termine di pressione diventa importante quando le particelle viaggiano a

velocita’ vicine a quelle della luce. Consideriamo quindi un fluido di polvere

Nel sistema di riferimento del fluido Uµ=(U0,0,0,0) possiamo ricavare le componenti tipo tempo di Uµ utilizzando la condizione di normalizzazione gµnUnUµ=-1. Nel limite di campo debole (g00=-1+h00) otteniamo, al primo ordine in h00 : U0=1+1/2 h00~1 ed U0=-1 . Percio’otteniamo . La sua traccia sara’

e l’equazione di campo proposta si modifica

da a

Equazioni di Einstein 5Le medesime equazioni possono essere ricavate attraverso una formulazioneLagrangiana del problema, ovvero minimizzando l’azione di Hilbert-Einstein

Le equazioni di Einstein possono essere pensate come un set di equazioni differenziali del secondo ordine e accoppiate per il tensore metrico. Per la simmetria del problema le equazioni indipendenti sono 10 che si riducono a 6 grazie all’identita’ di Bianchi.Sono equazioni differenziali estremamente complicate. Contengono somme eprodotti del tensore metrico e delle sue derivate prime e seconde. Inoltre, il tensoreenergia–momento a sua volta dipende dal tensore metrico. Infine sono equazioni non lineari cosi’ che, a differenza del caso Newtoniano, due soluzioni non possono essere sovrapposte per formarne una terza. Ne consegue che, a meno di non introdurreforti ipotesi di simmetria nella metrica, la soluzione analitica risulta impossibile.Va notato che la nonlinearita’ delle equazioni di Einstein e’ in qualche modo implicitanel principio di Equivalenza. In gravita’ Newtoniana il potenziale dovuto a 2 puntimassa e’ la somma dei potenziali delle 2 masse. In RG la gravita’ deve accoppiarsi con se’ stessa se vogliamo che la massa gravitazionale di un atomo (costituito da 2 particelle legate) sia uguale alla sua massa inerziale (pari alla massa delle singole particelle meno l’energia di legame). La non linearita’ e’ l’espressione dell’accoppiamento della gravita’ con se’ stessa.

La costante cosmologica 1

Una caratteristica della relativita’ generale e’ che la sorgente del campo gravitazionale e’ il tensore energia momento. In fisica non-gravitazionale, invece, quello che conta sono le variazioni di energia-momento, non il valore assoluto di questa quantita’.Questa caratteristica di GR permette atutte le forme di energia, compresa quella del Vuoto Quantisico di produrre effetti gravitazionali. Un’eventuale energia del vuoto non ha direzioni preferenziali. Si puo’ quindi avere una densita’ di energia diversa da zero se il tensore energia-momento associato all’energia di vuoto e’ invariante per trasformazione di Lorentz in coordinate localmente inerziali. L’invarianza di Lorentz implica che il tensore energia momento corrispondente sia proporzionale alla metrica, ovvero: dal momento che il T. di Minkowski e’ il solo tensore (0,2) invariante per trasformazioni di Lorentz. Generalizzando a coordinate non inerziali otteniamo l’espressione:Confrontando questa espressione con il tensore energia-momento per un fluido perfetto

vediamo che il vuoto puo’ essere descritto come un fluido perfettamente isotropo con pressione negativa in presenza del quale le eq. di Einstein diventano:

La costante cosmologica 2

Poco dopo l’introduzione della RG Einstein cerco’ delle soluzioni cosmologiche statiche poiche’ il pregiudizio teorico era che l’universo fosse statico e non si espandesse. In presenza di una densita’ di materia, pero’, non le equazioni non ammettono sono soluzioni statiche. Per forzare questa soluzione Einstein introdusse un nuovo termine nelle equazioni:

Con questo nuovo termine scalare L detto Costante Cosmologica le equazioni di Einstein mantengono tutte le loro proprieta’ (relazioni tra tensori, conservazioni etc.) ed ammettono soluzioni statiche. La costante cosmologica divenne obsoleta quando si scopri’ che l’Universo non e’ statico, ma espande. Tuttavia spostando il termine di costante cosmologica nel membro a destra, ovvero inserendolo nel tensore Energia Momento possiamo reinterpretare L in termini di energia di vuoto a patto di porre

Vedremo quali sono le importanti conseguenze di queste osservazioni alla luce delle nuove evidenze sperimentali di un Universo in fase di espansione accelerata.