Consideriamo ora la fisica della gravitazione in uno spazio-tempo curvo. Come per il caso Newtoniano le domande sono due.

(1)  In che modo il campo gravitazionale influenza il comportamento della materia ? (2) In che modo la materia determina il campo gravitazionale ?

In ambito Newtoniano, le risposte sono la II legge della dinamica e la legge di gravitazione universale. O, in forma differenziale:

€

! a g = −∇φ ∇2φ = 4πGρIn RG troveremo due relazioni analoghe che descrivono come la curvatura dello spazio-

tempo agisce sulla materia e su come la materia modifica la curvatura dello spazio-tempo. Cercheremo di giustificarle sulla base di principi fisici noti.

Operativamente per generalizzare le leggi della Fisica in presenza di uno spazio-tempo curvo si puo’ applicare il Principio di Minimo Accoppiamento:

1.  Si considera una legge fisica valida in un sistema inerziale ed in uno spazio piatto. 2.  La si esprime in una forma (tensoriale) indipendente dalle coordinate 3.  Si sostiene che la nuova legge e’ valida in uno spazio curvo

Operativamente: (1)  si considera una legge fisica valida in uno spazio piatto, (2) si sostituisce la metrica di Minkowski con quella dello spazio-tempo in esame (3) si sostituiscono le derivate parziali con le derivate covarianti

€

ηµν → gµν ∂µ →∇µ

Es: 1: il moto di caduta libera con traiettoria xµ(λ) in uno spazio piatto obbedisce a:

€

d2xµ

dλ2=dxν

dλ∂νdxµ

dλ→dxν

dλ∇ν

dxµ

dλ→d2xµ

dλ2+Γρσ

µ dx ρ

dλdxσ

dλ€

d2xµ

dλ2= 0

che in generale non rappresenta una equazione tensoriale (dxµ/dλ e’ un vettore, le sue derivate seconde no). Il membro a sinistra puo’ essere riscritto come

in cui abbiamo sostituito la derivata parziale con quella covariante. L’equazione del moto di caduta libera diventa l’equazione delle geodetiche che rappresenta quindi la versione relativistica dell’equazione di Newton:

€

d2xµ

dλ2+Γρσ

µ dx ρ

dλdxσ

dλ= 0

   

€

∂µTµν = 0→∇µT

µν = 0

Esempio 2: la legge di conservazione dell’energia-momento in relativita’ speciale (o Quella di conservazione del momento in ambito Newtoniano) diventa, sostituendo le derivate parziali con le derivate covarianti, la legge di conservazione dell’energia momento per uno spazio curvo:

Un conto e’ generalizzare le equazioni da uno spazio piatto ad uno curvo ed un altro e’ sostenere che il risultato rappresenta l’azione di un campo gravitazionale. Benche’ la corrispondenza gravita’ = curvatura debba, in ultima analisi, essere postulata, possiamo tuttavia giustificarla inferendola, per analogia, dal limite Newtoniano. Consideriamo le equazioni del moto (N) / equazione delle geodetiche (RG).

Consideriamo il limite Newtoniano in cui: 1)  Le particelle si muovono lentamente v<<c 2)  Il campo gravitazionale e’ debole e provoca piccole perturbazioni allo spazio piatto 3)  Il campo e’ statico

La richiesta che una particella si muova lentamente implica:

€

Γ00µ = −

12ηµν∂ν h00

€

dx i

dτ<<

dtdτ

E l’equazione delle geodetiche si semplifica:

€

d2xµ

dτ 2 +Γ00µ dtdτ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

= 0

Dalla condizione di staticita’ del campo :

€

∂0gµν = 0

€

Γ00µ = −

12gµλ∂λg00

Dalla condizione di campo debole decomponiamo la metrica in Minkowski + perturbazione:

€

gµν =ηµν + hµν ; hµν <<1

Dalla definizione di metrica inversa:

€

gµν gνσ = δµ

σ →gµν =ηµν − hµν

Da tutte queste relazioni otteniamo i simboli di Christoffel:

Siamo ora in grado di scrivere esplicitamente l’equazione delle geodetiche

€

g00 = −(1+ 2φ)

€

d2xµ

dτ 2 =12ηµλ∂λh00

dtdτ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

Dalla staticita’ della metrica perturbata ( ) si ottiene per la componente µ=0

€

∂0h00 = 0

€

d2t

dτ 2 = 0 → dtdτ

= const

€

d2x i

dt 2=12∂ih00

Mentre per le componenti spaziali ottieniamo

Dividendo per (dt/dτ)2

€

d2x i

dτ 2=12

dtdτ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

∂ih00

Che risulta identica all’equazione di Newton a patto di imporre

€

h00 = −2φOvvero di associare alla metrica il campo gravitazionale secondo la relazione

Le Equazioni di Einstein (o di campo) specificano il modo in cui la metrica risponde all’energia-momento del sistema. Al pari delle Equazioni di Maxwell devono essere

postulate. Tuttavia possono essere motivate con varie argomentazioni. Una di queste, che coincide con la motivazione di Einstein, e’ che queste equazioni

generalizzino l’equazione di Poisson per il campo gravitazionale Newtoniano

   

€

∇2φ = 4πGρ

Ma deve essere completamente tensoriale.    

€

∇2g[ ]µν∝Tµν

Ma ovviamente il Laplaciano non e’ un operatore ben definito in uno spazio curvo. Quali caratteristiche deve avere l’equazione che stiamo cercando ? Nel membro a sinistra c’e’ un operatore differenziale del secondo ordine e nel membro a destra una misura della distribuzione della massa. In ambito relativistico vogliamo una

relazione tra tensori. La generalizzazione della densita’ di massa e’ data dal tensore energia momento. Il potenziale gravitazionale, invece, dovrebbe essere

sostituito dal tensore metrico o da una quantita’ derivata. L’equazione che cerchiamo dovra’ quindi avere una forma del tipo

Il primo membro deve essere un Tensore che contiene derivate seconde della metrica. Opzione 1) il d’Alambertiano della metrica. Che pero’ e’ nullo per la compatibilita’

della metrica. Opzione 2) il tensore di Riemann. Che contiene derivate seconde della metrica ma e’ di ordine 4. Possiamo pero’ formare un tensore (0,2) possiamo

farlo da quello di Riemann in modo univoco: il tensore di Ricci. Ottenendo

€

Rµν = kTµν

Effettivamente lo stesso Einstein propose inizialmente un’equazione simile. La relazione precedente ha pero’ un problema legato alla conservazione dell’energia.

€

∇µTµν = 0 →∇µRµν = 0; ∇µRµν ≡12∇νR

La seconda relazione non e’ valida in una geometria qualsiasi. Infatti per l’identita’ di Bianchi (la terza relazione) questo ansatz implica che

€

R = gµνRµν = kgµνTµν = kT →∇νT = 0La derivata covariante di uno scalare e’ uguale alla derivata parziale. Percio’ l’ultima

relazione implica che la traccia T sia costante in tutto lo spazio tempo. Ma cio’ e’ difficile da giustificare visto che T e’ diverso da zero in presenza di materia mentre

si annulla nel vuoto….

Conosciamo pero’ un altro tensore che si forma a partire dal tensore di Ricci e che e’ automaticamente conservato: il tensore di Einstein:

In cui il membro a destra e’ un tensore simmetrico di ordine (0,2) che si conserva cosi’ come il membro a sinistra e’ pure un tensore simmetrico di indice (0,2) costruito

dalla metrica e dalle sue derivate prime e seconde.

€

Gµν = Rµν −12Rgµν ; ∇µGµν = 0

€

Rµν −12Rgµν = kTµν

Le equazioni di campo proposte assumono quindi la forma

Contraendo gli indici nell’eq. di Einstein otteniamo R=-kT. E l’equazione diventa

€

Rµν = k(Tµν −12Tgµν )

La costante di proporzionalita’ k puo’ essere infine ottenuta richiedendo che, nel limite Newtoniano, l’equazione di Einstein si riduca all’equazione di Poisson.

che nel vuoto si riduce a

€

Rµν = 0

   

€

Rµν −12Rgµν = 8πGTµν

In cui l’ultima equazione e’ ottenuta esplicitando il tensore di Ricci. Questa diventa uguale all’equazione di Poisson se (come abbiamo gia’ visto) e se

possiamo quindi scrivere le Equazioni di Einstein nella loro forma canonica:

Vediamo allora cosa accade nel limite Newtoniano. Nel caso non relativistico p=0 poiche’ il termine di pressione diventa importante quando le particelle viaggiano a

velocita’ vicine a quelle della luce. Consideriamo quindi un fluido di polvere

Nel sistema di riferimento del fluido Uµ=(U0,0,0,0) possiamo ricavare le componenti tipo tempo di Uµ utilizzando la condizione di normalizzazione gµνUνUµ=-1. Nel limite di campo debole (g00=-1+h00) otteniamo, al primo ordine in h00 : U0=1+1/2 h00~1 ed U0=-1 . Percio’otteniamo . La sua traccia sara’ e l’equazione di campo proposta si modifica

da a €

T00 = ρ€

Tµν = ρUµUν

€

T = g00T00 = −T00 = −ρ

€

R00 =12kρ →∇2h00 = −kρ

€

h00 = −2φ

€

k = 8πG€

Rµν = k(Tµν −12Tgµν )

Le medesime equazioni possono essere ricavate attraverso una formulazione Lagrangiana del problema, ovvero minimizzando l’Azione di Hilbert-Einstein

Le equazioni di Einstein possono essere pensate come un set di equazioni differenziali del secondo ordine e accoppiate per il tensore metrico. Per la simmetria del problema le equazioni indipendenti sono 10 che si riducono a 6 per l’identita’ di Bianchi Come equazioni differenziali sono estremamente complicate. Contengono somme e prodotti del tensore metrico e delle sue derivate prime e seconde. Inoltre, il tensore energia–momento puo’ a sua volta dipendere dal tensore metrico. Infine sono equazioni non lineari cosi’ che, a differenza del caso Newtoniano, due soluzioni non possono essere sovrapposte a formarne una terza. Ne consegue che, a meno di non introdurre forti ipotesi di simmetria nella metrica, la soluzione analitica risulta impossibile. Va notato che la nonlinearita’ delle equazioni di Einstein e’ in qualche modo implicita nel principio di Equivalenza. In gravita’ Newtoniana il potenziale dovuto a 2 punti massa e’ la somma dei potenziali delle 2 masse. In RG la gravita’ deve accoppiarsi con se’ stessa se vogliamo che la massa gravitazionale di un atomo (costituito da 2 particelle legate) sia uguale alla sua massa inerziale (pari alla massa delle singole particelle meno l’energia di legame). La non linearita’ e’ l’espressione dell’accoppiamento della gravita’ con se’ stessa.

€

SH = −g∫ Rdnx

Una caratteristica della relativita’ generale e’ che la sorgente del campo gravitazionale e’ l’intero tensore energia momento. In fisica non-gravitazionale, invece, quello che conta sono le variazioni di energia-momento, non il valore assoluto di questa quantita’. Questa caratteristica permette ad una eventuale Energia del Vuoto di produrre effetti gravitazionali. Un eventuale energia del vuoto non dovrebbe mostrare direzioni preferenziali. Si puo’ avere una densita’ di energia diversa da zero se il tensore energia-momento associato all’energia di vuoto e’ invariante per trasformazione di Lorentz in coordinate localmente inerziali. L’invarianza di Lorentz implica che il tensore energia momento corrispondente sia proporzionale alla metrica, ovvero: Generalizzando a coordinate non inerziali otteniamo: Confrontando questa espressione con il tensore energia-momento per un fluido perfetto vediamo che il vuoto puo’ essere rappresentato da un fluido perfettamente isotropo con pressione negativa e le eq. di Einstein diventano €

Tµν(Vac ) = −ρVacηµν

€

Tµν(Vac ) = −ρVacgµν

€

Tµν(M ) = (ρ + p)UµUν + pgµν

€

pVac = −ρVac

€

Rµν −12Rgµν = 8πG Tµν

(M ) − ρVacgµν( )

Poco dopo l’introduzione della RG Einstein cerco’ delle soluzioni cosmologiche statiche poiche’ il pregiudizio teorico era che l’universo fosse statico e non espandesse. Einstein cercava soluzioni in presenza di un termine di materia. In questo caso, pero’, non ci sono soluzioni statiche. Per trovarle Einstein introdusse un nuovo termine Λ

Con questo nuovo termine scalare Λ detto Costante Cosmologica le equazioni di Einstein mantengono tutte le loro proprieta’ (relazioni tra tensori, conservazione etc.). La costante cosmologica divenne obsoleta quando si scopri’ che l’universo non e’ statico, ma espande. Tuttavia vale la pena di notare che, spostando il termine di costante cosmologica nel membro a destra, possiamo reinterpretare Λ in termini di energia di vuoto a patto di porre

Vedremo quali sono le importanti conseguenze di queste osservazioni alla luce delle nuove evidenze sperimentali di un universo in fase di espansione accelerata.

€

ρVac =Λ8πG

€

Rµν −12Rgµν +Λgµν = 8πGTµν

(M )