Cosa impara un Matematico dalla FisicaDal potenziale newtoniano alla superradianza

Claudio Dappiaggi & Nicolo Drago

14 11 2017

D&D 14 11 2017 1 / 9

Motivazioni 1

“Io volevo studiare la Fisica del Modello Standard.Ai tempi la Matematica non mi interessava proprio.” [S. M.]

“Perche al Liceo non avevo capito cosa fosse ne l’una ne l’altra.Io volevo costruire acceleratori.” [F.M. F]

“Ai tempi credevo mi interessasse di piu la Fisica.Con il senno di poi cambierei scelta.” [M. B.]

“Mai preso in considerazione Matematica.” [F. B.]

“Perche ero giovane e inesperto.” [G. C.]

1Tutti gli intervistati hanno una Laurea. Alcuni di loro hanno pure una vita normale.D&D 14 11 2017 2 / 9

Gli obiettivi

* Presentare il gruppo di Fisica Matematica di Pavia;

* Mostrare come la Matematica e la Fisica siano in dualita(con un esempio pratico!);

* Conciliare la pennichella pomeridiana dei non interessati;

* Passare il tempo aspettando il seminario di Claudio.

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La Fisica Matematica a Pavia

Triennale

Magistrale

Dottorato

RTIAssegnistaProf.ssaAssociata

Prof.Ordinario

A. Monteverdi

A. Marveggio

R. Longhi

F. Bussola S. Rutili

N. Drago

H. FerreiraC. Dappiaggi

A. Marzuoli

M. Carfora

P. Rinaldi

M. Lanfranchi

A. MartaL. Apad(ula)

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Il potenziale Newtoniano in Meccanica Quantistica

Hamiltoniana : H =p2

2m− κ

|x |, κ ,m > 0 , x ∈ R3 ,

H e simmetrica :⟨φ|Hψ

⟩=

⟨Hφ|ψ

⟩∀ψ, φ ∈ L2(R3) ,

Spettro : λ ∈ σ(H) ={

possibili valori dell’energia},

Approccio : cercare gli autovettori i.e. ψλ tale che Hψλ = λψλ .

Theorem (Potenziale Newtoniano in Rd , d = 3)

σ(H) =

{− κ2m

2~n2

∣∣∣∣ n = 1, 2, . . .

}.

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Il potenziale Newtoniano in Meccanica Quantistica

Hamiltoniana : H =p2

2m− κ

|x |, κ ,m > 0 , x ∈ R3 ,

H e simmetrica :⟨φ|Hψ

⟩=

⟨Hφ|ψ

⟩∀ψ, φ ∈ L2(R3) ,

Spettro : λ ∈ σ(H) ={

possibili valori dell’energia},

Approccio : cercare gli autovettori i.e. ψλ tale che Hψλ = λψλ .

Theorem (Potenziale Newtoniano in Rd , d = 3)

σ(H) =

{− κ2m

2~n2

∣∣∣∣ n = 1, 2, . . .

}.

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Il potenziale Newtoniano in Meccanica Quantistica

Hamiltoniana : H =p2

2m− κ

|x |, κ ,m > 0 , x ∈ R3 ,

H e simmetrica :⟨φ|Hψ

⟩=

⟨Hφ|ψ

⟩∀ψ, φ ∈ L2(R3) ,

Spettro : λ ∈ σ(H) ={

possibili valori dell’energia},

Approccio : cercare gli autovettori i.e. ψλ tale che Hψλ = λψλ .

Theorem (Potenziale Newtoniano in Rd , d = 3)

σ(H) =

{− κ2m

2~n2

∣∣∣∣ n = 1, 2, . . .

}.

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Il potenziale Newtoniano in Meccanica Quantistica

Hamiltoniana : H =p2

2m− κ

|x |, κ ,m > 0 , x ∈ R3 ,

H e simmetrica :⟨φ|Hψ

⟩=

⟨Hφ|ψ

⟩∀ψ, φ ∈ L2(R3) ,

Spettro : λ ∈ σ(H) ={

possibili valori dell’energia},

Approccio : cercare gli autovettori i.e. ψλ tale che Hψλ = λψλ .

Theorem (Potenziale Newtoniano in Rd , d = 3)

σ(H) =

{− κ2m

2~n2

∣∣∣∣ n = 1, 2, . . .

}.

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Il potenziale Newtoniano in d = 1, 2-dim

H =p2

2m− κ

|x |, κ,m > 0 , x ∈ Rd , d = 1, 2 .

1959 Loundon: l’atomo di idrogeno per d = 1 ha 2 autovettori per ogniautovalore, tranne il ground che ha infinita energia di legame;

1966 Andrews espresse perplessita per via dell’infinita energia di legame delground ;

1969 Haines & Roberts calcolarono nuovi autovettori, ottenendo unospettro continuo;

1976 Andrews critico H&R, non accettando uno spettro continuo;

1985 Spector & Lee presentarono un argomento relativistico che escludevail prolema del ground con infinita energia di legame.

. . . Un’altra serie di lavori hanno discusso questo “semplice” problema.

2009 de Oliveira & Verri hanno individuato l’origine delle controversie nellascarsa attenzione per i dettagli matematici del problema.

D&D 14 11 2017 6 / 9

Il potenziale Newtoniano in d = 1, 2-dim

H =p2

2m− κ

|x |, κ,m > 0 , x ∈ Rd , d = 1, 2 .

1959 Loundon: l’atomo di idrogeno per d = 1 ha 2 autovettori per ogniautovalore, tranne il ground che ha infinita energia di legame;

1966 Andrews espresse perplessita per via dell’infinita energia di legame delground ;

1969 Haines & Roberts calcolarono nuovi autovettori, ottenendo unospettro continuo;

1976 Andrews critico H&R, non accettando uno spettro continuo;

1985 Spector & Lee presentarono un argomento relativistico che escludevail prolema del ground con infinita energia di legame.

. . . Un’altra serie di lavori hanno discusso questo “semplice” problema.

2009 de Oliveira & Verri hanno individuato l’origine delle controversie nellascarsa attenzione per i dettagli matematici del problema.

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Il potenziale Newtoniano in d = 1, 2-dim

H =p2

2m− κ

|x |, κ,m > 0 , x ∈ Rd , d = 1, 2 .

1959 Loundon: l’atomo di idrogeno per d = 1 ha 2 autovettori per ogniautovalore, tranne il ground che ha infinita energia di legame;

1966 Andrews espresse perplessita per via dell’infinita energia di legame delground ;

1969 Haines & Roberts calcolarono nuovi autovettori, ottenendo unospettro continuo;

1976 Andrews critico H&R, non accettando uno spettro continuo;

1985 Spector & Lee presentarono un argomento relativistico che escludevail prolema del ground con infinita energia di legame.

. . . Un’altra serie di lavori hanno discusso questo “semplice” problema.

2009 de Oliveira & Verri hanno individuato l’origine delle controversie nellascarsa attenzione per i dettagli matematici del problema.

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Il potenziale Newtoniano in d = 1, 2-dim

H =p2

2m− κ

|x |, κ,m > 0 , x ∈ Rd , d = 1, 2 .

1959 Loundon: l’atomo di idrogeno per d = 1 ha 2 autovettori per ogniautovalore, tranne il ground che ha infinita energia di legame;

1966 Andrews espresse perplessita per via dell’infinita energia di legame delground ;

1969 Haines & Roberts calcolarono nuovi autovettori, ottenendo unospettro continuo;

1976 Andrews critico H&R, non accettando uno spettro continuo;

1985 Spector & Lee presentarono un argomento relativistico che escludevail prolema del ground con infinita energia di legame.

. . . Un’altra serie di lavori hanno discusso questo “semplice” problema.

2009 de Oliveira & Verri hanno individuato l’origine delle controversie nellascarsa attenzione per i dettagli matematici del problema.

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Il potenziale Newtoniano in d = 1, 2-dim

H =p2

2m− κ

|x |, κ,m > 0 , x ∈ Rd , d = 1, 2 .

1959 Loundon: l’atomo di idrogeno per d = 1 ha 2 autovettori per ogniautovalore, tranne il ground che ha infinita energia di legame;

1966 Andrews espresse perplessita per via dell’infinita energia di legame delground ;

1969 Haines & Roberts calcolarono nuovi autovettori, ottenendo unospettro continuo;

1976 Andrews critico H&R, non accettando uno spettro continuo;

1985 Spector & Lee presentarono un argomento relativistico che escludevail prolema del ground con infinita energia di legame.

. . . Un’altra serie di lavori hanno discusso questo “semplice” problema.

2009 de Oliveira & Verri hanno individuato l’origine delle controversie nellascarsa attenzione per i dettagli matematici del problema.

D&D 14 11 2017 6 / 9

Il potenziale Newtoniano in d = 1, 2-dim

H =p2

2m− κ

|x |, κ,m > 0 , x ∈ Rd , d = 1, 2 .

1959 Loundon: l’atomo di idrogeno per d = 1 ha 2 autovettori per ogniautovalore, tranne il ground che ha infinita energia di legame;

1966 Andrews espresse perplessita per via dell’infinita energia di legame delground ;

1969 Haines & Roberts calcolarono nuovi autovettori, ottenendo unospettro continuo;

1976 Andrews critico H&R, non accettando uno spettro continuo;

1985 Spector & Lee presentarono un argomento relativistico che escludevail prolema del ground con infinita energia di legame.

. . . Un’altra serie di lavori hanno discusso questo “semplice” problema.

2009 de Oliveira & Verri hanno individuato l’origine delle controversie nellascarsa attenzione per i dettagli matematici del problema.

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Il potenziale Newtoniano in d = 1, 2-dim

H =p2

2m− κ

|x |, κ,m > 0 , x ∈ Rd , d = 1, 2 .

1959 Loundon: l’atomo di idrogeno per d = 1 ha 2 autovettori per ogniautovalore, tranne il ground che ha infinita energia di legame;

1966 Andrews espresse perplessita per via dell’infinita energia di legame delground ;

1969 Haines & Roberts calcolarono nuovi autovettori, ottenendo unospettro continuo;

1976 Andrews critico H&R, non accettando uno spettro continuo;

1985 Spector & Lee presentarono un argomento relativistico che escludevail prolema del ground con infinita energia di legame.

. . . Un’altra serie di lavori hanno discusso questo “semplice” problema.

2009 de Oliveira & Verri hanno individuato l’origine delle controversie nellascarsa attenzione per i dettagli matematici del problema.

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L’approccio matematico

Il problema e ∞-dimensionale.

H e simmetrica :⟨φ|Hψ

⟩=

⟨Hφ|ψ

⟩∀ψ, φ =⇒ H = H∗.

Caso finito dimensionale (Rn)

autoaggiunto

ess. autoaggiunto

(((((((

((ess. autoaggiunto

simmetrico

∃!σ(H) ∃�!σ(H)teoria

pratica

√caso d = 3 † caso d = 1, 2

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L’approccio matematico

Il problema e ∞-dimensionale.

H e simmetrica :⟨φ|Hψ

⟩=

⟨Hφ|ψ

⟩∀ψ, φ =⇒ H ⊆ H∗.

Caso ∞-dimensionale (L2(Rd))

autoaggiunto

ess. autoaggiunto((((

(((((

ess. autoaggiunto

simmetrico

∃!σ(H) ∃�!σ(H)teoria

pratica

√caso d = 3 † caso d = 1, 2

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L’approccio matematico

Il problema e ∞-dimensionale.

H e simmetrica :⟨φ|Hψ

⟩=

⟨Hφ|ψ

⟩∀ψ, φ =⇒ H ⊆ H∗.

Caso ∞-dimensionale (L2(Rd))

autoaggiunto

ess. autoaggiunto((((

(((((

ess. autoaggiunto

simmetrico

∃!σ(H) ∃�!σ(H)

teoria

pratica

√caso d = 3 † caso d = 1, 2

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L’approccio matematico

Il problema e ∞-dimensionale.

H e simmetrica :⟨φ|Hψ

⟩=

⟨Hφ|ψ

⟩∀ψ, φ =⇒ H ⊆ H∗.

Caso ∞-dimensionale (L2(Rd))

autoaggiunto

ess. autoaggiunto((((

(((((

ess. autoaggiunto

simmetrico

∃!σ(H) ∃�!σ(H)teoria

pratica

√caso d = 3 † caso d = 1, 2

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L’approccio matematico

Il problema e ∞-dimensionale.

H e simmetrica :⟨φ|Hψ

⟩=

⟨Hφ|ψ

⟩∀ψ, φ =⇒ H ⊆ H∗.

Caso ∞-dimensionale (L2(Rd))

autoaggiunto

ess. autoaggiunto((((

(((((

ess. autoaggiunto

simmetrico

∃!σ(H) ∃�!σ(H)

teoria

pratica

√caso d = 3 † caso d = 1, 2

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L’approccio fisico

H =p2

2m+ V (x) =

p2

2m+ − κ

|x |

Intuito fisico: se d = 1, 2, − κ

|x |non e il giusto potenziale!

Dimensione d 3 2 1

Potenziale V − κ

|x |κ ln |x | κ|x |

Theorem (Potenziale Newtoniano in Rd , d = 1, 2)

H2 =p2

m2+ κ ln |x | , x ∈ R2 ; H1 =

p2

m2+ κ|x | , x ∈ R ,

sono essenzialmente autoaggiunte.

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L’approccio fisico

H =p2

2m+ V (x) =

p2

2m+ − κ

|x |

Intuito fisico: se d = 1, 2, − κ

|x |non e il giusto potenziale!

Dimensione d 3 2 1

Potenziale V − κ

|x |κ ln |x | κ|x |

Theorem (Potenziale Newtoniano in Rd , d = 1, 2)

H2 =p2

m2+ κ ln |x | , x ∈ R2 ; H1 =

p2

m2+ κ|x | , x ∈ R ,

sono essenzialmente autoaggiunte.

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L’approccio fisico

H =p2

2m+ V (x) =

p2

2m+ − κ

|x |

Intuito fisico: se d = 1, 2, − κ

|x |non e il giusto potenziale!

Dimensione d 3 2 1

Potenziale V − κ

|x |κ ln |x | κ|x |

Theorem (Potenziale Newtoniano in Rd , d = 1, 2)

H2 =p2

m2+ κ ln |x | , x ∈ R2 ; H1 =

p2

m2+ κ|x | , x ∈ R ,

sono essenzialmente autoaggiunte.

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Morale

Un cattivo intuito fisico porta a misteriose controversie.

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Morale

Il rigore matematico a volte aiuta.

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Morale

I problemi in Matematica riflettono aspetti della Fisica.

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Morale

Un buon intuito fisico evita svangate di conti inutili.

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