Università Degli Studi di Pisa

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Matematica

TESI DI LAUREA

Una classe di modelli della teoria dei

campi reali chiusi con esponenziazione

CandidatoLorenzo Luperi Baglini

Relatore ControrelatoreProf. Mauro Di Nasso Prof. Alessandro Berarducci

Anno Accademico 2005/2006

Indice

1 Introduzione 3

2 Sviluppo storico e risultati inerenti i campi reali chiusi 62.1 Come si é arrivati ad interessarsi a queste strutture? . . . . . . 62.2 Alcune proprietà di Th(Rexp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Modelli di Texp: le serie di potenze

logaritmo-esponenziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Risultati Preliminari 113.1 Gruppi Ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Richiami di teoria degli ordinali . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Valutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Campi Esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Campo delle Serie Generalizzate di Hahn 164.1 Gruppo di Hahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Le serie generalizzate di Hahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 K((G)) é un anello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 K((G)) é un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.5 Valutazione di K((G)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.6 Decomposizioni in K((G)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.7 Gruppo di Hahn κ-limitato e campo delle serie di Hahn κ-

limitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 κ-sima potenza lessicograca iterata di una catena 255.1 Costruzione della κ-sima potenza lessicograca di una catena . 255.2 Due teoremi di estensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Costruzione del logaritmo 296.1 Logaritmo sinistro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Logaritmo delle unità positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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6.3 Logaritmo su R(((RΓκ)κ))κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Rango Logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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Capitolo 1

Introduzione

Un ambito di ricerca della logica contemporanea si propone di generaliz-zare il classico risultato di Tarski sulla decidibilità della teoria del campo deinumeri reali Th(R). Già il logico polacco aveva posto il problema di stabilirecosa succeda alla teoria di R se si considera anche la funzione esponenziale.Il tentativo di rispondere a questa domanda ha prodotto due loni di ricer-ca: uno volto a capire se tale teoria Th(Rexp) sia o meno decidibile, l'altroa ricercare dei modelli non standard della teoria Texp, teoria dei campi realichiusi a cui si aggiunga una funzione exp che soddis gli usuali assiomi di unesponenziale. Il primo ha portato a determinare altre proprietà importantidi Th(Rexp), tra cui impossibilità di eliminazione dei quanticatori, modelcompleteness, o-minimalità. La determinazione di una classe di modelli nonstandard di Texp é invece l'argomento di questa tesi.I prototipi di campi reali chiusi sono i campi di serie generalizzate di HahnK((G)), costituiti dalle serie a coecienti in un campo K ed esponenti in ungruppo G, con K reale chiuso e G divisibile. Uno dei risultati centrali riguar-danti la chiusura reale é che qualsiasi campo reale chiuso K é sottocampodi R((G)), dove G é il gruppo delle classi archimedee di K. Appare naturaleallora chiedersi se esista un G in modo che su R((G)) sia possibile denireuna funzione esponenziale.In un loro articolo del 1996, Salma Kuhlmann, Franz-Victor Kuhlmann eSaharon Shelah dimostrarono che, per K archimedeo e G non banale, non épossibile denire un esponenziale su tutto K((G)), e che quindi nessun cam-po R((G)) non può essere un modello di Texp per nessuna scelta non banaledi G.Questa tesi si concentra su di un risultato positivo pubblicato nell'aprile2005 da Salma Kuhlmann e Saharon Shelah: si dimostrerà come, scegliendoopportunamente un gruppo ordinato G, sia possibile denire un logaritmosurgettivo (e dunque, per inversione, un esponenziale), pur di restringersi ad

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un sottocampo naturale di R((G)).Dopo aver richiamato le nozioni alla base della tesi, tra cui quelle di gruppoordinato, valutazione, campo esponenziale e alcuni risultati di teoria degliordinali, si introdurranno i gruppi di Hahn GΓ. Questi gruppi sono costituitidalle funzioni f : Γ → G aventi supporto bene ordinato (dove il supportodi una funzione f é denito come l'insieme degli elementi γ ∈ Γ per cuif(γ) 6= 0). Si considereranno poi i campi di serie generalizzate di Hahn, chesono costituiti dalle serie di K((G)) aventi supporto bene ordinato in G (ilsupporto é l'insieme degli esponenti dei termini della serie aventi coecientenon nullo). Particolare attenzione sarà dedicata alla dimostrazione che glioggetti in questione siano campi, verica che, in letteratura, presenta moltospesso imprecisioni. Sarà denita la valutazione archimedea standard, e saràmostrato come nei campi di Hahn questa assuma una forma particolarmentesemplice. Si mostrerà come sia possibile decomporre la parte positiva delgruppo moltiplicativo e il gruppo additivo di K((G)). Ci concentreremo poisul sottoanello del campo delle serie generalizzate di HahnK((G))κ costituitodalle serie con supporto di cardinalità inferiore ad un cardinale non numera-bile regolare κ ssato, e si dimostrerà che tale sottoanello é un sottocampo.Un analoga restrizione sarà posta sui gruppi di Hahn, richiedendo in quelcaso che sia il supporto delle funzioni ad essere κ-limitato. K((G))κ sarà ilsottocampo di K((G)) su cui deniremo una funzione esponenziale.Ai ni della costruzione sarà introdotto il concetto di κ-sima potenza lessi-cograca iterata di una catena: si descriverà un procedimento induttivo percostruire, a partire da un insieme totalmente ordinato Γ0, una nuova catenaΓk che abbia Γ0 come sottocatena e che sia isomorfa, come catena ordinata,al gruppo di Hahn κ-limitato (RΓk)κ. Si studieranno poi le correlazioni traopportune classi di automorsmi di Γ0 e di Γκ.Si farà poi vedere come costruire un logaritmo sinistro dal gruppo molti-plicativo ordinato dei monomi di K((G)) al gruppo addittivo delle serie adesponenti strettamente negativi su R(((RΓ)κ))κ nell'ipotesi di Γ catena iso-morfa a (RΓ)<0

κ , e come si possa costruire un logaritmo dalle unità positive diR((G)) (cioé dagli elementi positivi di K((G)) aventi tutti gli esponenti≥0)all'anello di valutazione (costituito dalle serie con esponenti tutti ≥0), loga-ritmo denibile nel caso del tutto generale di G divisibile.Data ora Γ0 catena, e costruitane la κ-sima potenza lessicograca iterata, siconsidererà il campo delle serie generalizzate di Hahn κ-limitate R(((RΓκ)κ))e vi si denirà esplicitamente un logaritmo surgettivo ponendo, per a=tgr(1+

ε), log(a):=log(r) +∑

γ∈Γ−gγtl(γ) +∑+∞

i=1 (−1)(i−1) εi

i, ottenendo così un mo-

dello di Texp. Al ne di studiare l'eventuale unicità del logaritmo, si introdur-rà la nozione di rango logaritmico, e la si sfrutterà per mostrare che, partendo

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da Γ0=κ~∐Q, R(((RΓκ)κ))κ ammette una famiglia di 2κ esponenziali distinti.

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Capitolo 2

Sviluppo storico e risultati

inerenti i campi reali chiusi

2.1 Come si é arrivati ad interessarsi a queste

strutture?

In contrasto con Godel, che pochi anni prima aveva sbalordito il mondodimostrando la indecidibilità della teoria dei numeri naturali, Tarski dimostròla decidibilità della teoria dei numeri reali, e quella della geometria elemen-tare euclidea.Il linguaggio piú naturale su cui studiare i reali é quello degli anelli ordinati:L=+,-,·,<,0,1. L'insieme delle formule su L si forma partendo da quelledel tipo p(a1, ..., an)=q(a1, ..., an) e p(a1, ..., an)<q(a1, ..., an), con p, q polino-mi in n variabili a coecienti in Z, e chiudendo questo insieme rispetto aiconnettivi booleani e ai quanticatori ∃ e ∀. Una formula in cui non appaianovariabili libere si dirà una sentenza.Un famoso e importantissimo teorema di Tarski dice che la teoria al primoordine del campo dei numeri reali é decidibile: data una qualsiasi L-sentenza,c'é un algoritmo per stabilire se questa sia o meno vera in R. La dimostra-zione di questo risultato procede in due passi: per prima cosa viene mostratoche le L-formule ammettono eliminazione dei quanticatori; si ottiene quindiche qualsiasi L-formula é equivalente ad una che sia combinazione booleananita di uguaglianze e disuguaglianze di polinomi a coecienti in Z. Si nisceosservando che questo tipo di formule é decidibile. Si può infatti dimostrareche la decidibilità delle formule prive di quanticatori può ricondursi a quel-la di formule che siano combinazioni booleane nite di formule decidibili deltipo m = n o m > n, con m ed n interi.Questo secondo passaggio porta con sé una informazione notevole: dato che

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la decisione delle formule, al primo ordine, dipende solo da Z, si avrà chequalsiasi formula priva di variabili libere é vera per tutti i campi reali chiusise e soltanto se é vera per almeno uno di essi. L'importanza di un risultatodi questo tipo merita di essere sottolineata: infatti ci consente, per dimo-strare una qualche proprietà complicata di R, di ricondursi alla ricerca di unmodello non standard di R in cui sia facile determinare il grado di verità ditale proprietà.La decidibilità di R diede a Tarski lo spunto per porsi un ulteriore doman-da: se prendiamo Lexp = L ∪ exp il linguaggio degli anelli ordinati a cuisi aggiunga una funzione esponenziale, la Lexp-teoria del primo ordine di RTh(Rexp) é ancora decidibile?Da questa domanda hanno preso spunto due loni di ricerca: uno volto a stu-diare le proprietà di Lexp, un'altro a determinare dei modelli non standarddi Texp, la Lexp teoria che consiste degli assiomi di campo reale chiuso a cuisi aggiungono gli assiomi che deniscono un esponenziale, nella speranza chelo studio di questi modelli suggerisca una assiomatizzazione ricorsivamenteenumerabile di Th(Rexp), e dia quindi risposta aermativa alla domanda po-sta da Tarski.

2.2 Alcune proprietà di Th(Rexp)Se tentiamo di ripetere gli argomenti che portano alla decidibilità di

Th(R) siamo costretti a fermarci subito: già l'eliminazione dei quanticatorinon funziona! Un esempio di formula per la quale i quanticatori non sianoeliminabili é stata scoperta da Van den Dries: y > 0∧∃w(wy = x∧z = yew).Ma se anche si riuscissero ad eliminare i quanticatori, sarebbe molto dici-le riuscire a costruire un algoritmo che decida formule esponenziali del tipoee

2+5 − e2 = e7e−e−7.

I matematici che più si sono avvicinati a risolvere il problema della decidi-bilità di Th(R) sono stati Wilkie, Macintyre e Ressayre: Wilkie e Macintyrehanno dimostrato che la congettura di Schanuel (se λ1, ..., λn sono elementi diC linearmente indipendenti su Q, (λ1, ..., λn, e

λ1 , ..., eλn) ha grado di trascen-denza almeno n su Q) implica la decidibilità di Th(Rexp), mentre Ressayreha dimostrato che la decidibilità di Th(Rexp) equivale a quella della teoriadei reali a cui si aggiunga un esponenziale denito soltanto su [0,1].Un grande passo avanti fu fatto nel 1991 da Wilkie: é vero che Th(Rexp) nonammette eliminazione dei quanticatori, ma é model-completa, cioé ogni for-mula é equivalente ad una in cui l'unico quanticatore che appare é l'∃. Infat-ti il teorema di Wilkie aerma che, data ψ(x1, ..., xn) Lexp-formula, esistono

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m ≥ n e f1, ..., fs ∈ Z[x1, ..., xn, ex1 , ..., exn ] tali che ψ(x1, ..., xn) sia equivalen-

te a ∃xm+1...∃xn f1(x1, ..., xn, ex1 , ..., exn) = ... = fs(x1, ..., xn, e

x1 , ..., exn) =0.Un'altra proprietà dei linguaggi L∗ che estendono L interessante da studiareé la o-minimalità. Vediamo (brevemente) di denire cosa si intende per L∗-struttura o-minimale.Diremo che un sottoinsieme X di Rn é denibile usando L se esiste unaL-formula φ(x1, ..., xn, y1, ...yn) ed esistono b1, ..., bn elementi di R tali cheX=(a1, ..., an) in Rn | φ(a1, ...., an, b1, ..., bn) vale. Analogamente, una fun-zione si dirà denibile se lo é il suo graco.In R, ogni insieme denibile dal linguaggio degli anelli ordinati non é altroche un unione nita di punti e di intervalli. Dato ora un linguaggio L∗ cheestenda L e dati R∗ i reali, visti però come L∗ struttura, si dirà che R∗ éo-minimale se ogni insieme L∗-denibile é un unione nita di punti e di in-tervalli.Per capire l'importanza della o-minimalità, introduciamo ricorsivamente lanozione di cella: 1) X ⊆ R é una cella se e solo se é un punto o un inter-vallo; 2) se X ⊆ Rn é una cella ed f é una funzione continua da X in R,allora il suo graco é una cella di Rn+1; 3) se X ⊆ Rn é una cella ed f, gsono funzioni continue denibili da X in R, e f(x) > g(x) per ogni x inX, allora (x, y)| x ∈ X e f(x) > y > g(x) é una cella, e tali sono anche(x, y)| x ∈ X e f(x) > y e (x, y)| x ∈ X e y > f(x).Van den Dries ha collegato la nozione di cella a quella di o-minimalità: hainfatti dimostrato che:1) Se R∗ é o-minimale allora ogni insieme denibile X puó partizionarsi inuna quantità nita di celle disgiunte;2) se f da X in R é denibile, allora c'é una partizione di X in un numeronito di celle per cui f ristretta a ciascuna di tali celle risulti continua.Ma la o-minimalità ha anche molte altre conseguenze importanti per la classedegli insiemi denibili: ad esempio ci assicura che abbiano un numero nitodi componenti connesse e che i gruppi denibili possano essere resi gruppi diLie. Tutto questo conduce a porsi la domanda: R, visto come Lexp-struttura,é o-minimale?Una risposta ci viene dalla combinazione dei teoremi di Wilkie e di Khovanski:come detto sopra, il primo aerma che ogni formula di Lexp é equivalente aduna formula esistenziale (l'unico quanticatore che vi appare é l'∃), il secon-do che il luogo di zeri di un insieme nito di polinomi esponenziali: Rn → Rha un numero nito di componenti connesse. Il teorema di Wilkie ci dàcome conseguenza che ogni insieme denibile X é proiezione di una varietàesponenziale; questa, per il teorema di Khovanski, ha una quantità nita dicomponenti connesse: dunque X é costituito da un unione nita di punti ed

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intervalli, e quindi Lexp é o-minimale.

Mentre la decidibilità di Th(Rexp) é ancora lontana dall'essere provata, benpiú semplice é la situazione se al posto della teoria del campo dei numeri realiprendiamo la Lexp-teoria del campo dei complessi: si ha che questa é indeci-dibile! Infatti, la formula ∀z, w(z2 = −1 ∧ ewz = 0⇒ exwz = 0) permette didenire i naturali, e fa dunque scattare l'inesorabile ghigliottina del teoremadi Godel.

2.3 Modelli di Texp: le serie di potenze

logaritmo-esponenziali.

Una classe di campi reali molto studiata in questo ambito é costituita daicampi delle serie di potenze generalizzate K((G)), cioé delle serie a coe-cienti in un campo K ed esponenti in gruppo abeliano G.Appare naturale allora cercare di denire una funzione esponenziale su que-sto tipo di campi. Il problema é stato studiato in un articolo del 1997 daFranz-Victor Kuhlmann, Salma Kuhlmann e Saharon Shelah.Il risultato cui pervennero fu negativo: nel caso in cui si richieda la compa-tibilità dell'esponenziale (cioé che un esponenziale su K((G)) ne induca unosu K attraverso la mappa residua), su K((G)) non si puó denirne nemmenouno; se K é archimedeo, K((G)) non ammette nessun esponenziale anche to-gliendo la richiesta di compatibilità. Come corollario, essendo R archimedeosi ha che R((G)) non puó ammettere alcun esponenziale, a meno che G nonsia il gruppo banale.Era necessario allora trovare un altro metodo per costruire modelli di Texp.Uno di particolare importanza, la cui ultima formalizzazione é dovuta a Mar-ker, Macintyre e Van den Dries, é il campo delle serie di potenze logaritmo-esponenziali.Descriverne completamente la costruzione é laborioso ed esula dagli intentidi questa breve panoramica dell'argomento; in sintesi, quello che viene fattoé di considerare una catena ascendente di gruppi abeliani divisibili ordinatiR = G0 ⊂ G1 ⊂ ... e andare a prendere

⋃n∈NR((Gn)):=K. Si denisce poi,

per ogni n, una funzione En che soddis gli assiomi di un esponenziale, chesia denita da R((Gn)) in R((Gn+1)) e che estenda quella denita al passoprecedente. Posto E =

⋃n∈NEn, si ha che E denisce un esponenziale su

K. Il problema é che in questo campo esistono elementi positivi che non am-mettono un logaritmo, come ad esempio t−1. Con una costruzione induttiva

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si estende il campo K ad un campo esponenziale, detto campo delle seriedi potenze logaritmo esponenziali:=R((t))LE, in cui ogni elemento positivoammette un logaritmo. Questo campo di serie di potenze gode di molte ot-time proprietà: oltre ad essere chiuso rispetto ad addizione, moltiplicazionee divisione, é chiuso per integrazione e derivazione. Inoltre, la sua strutturaben si addice allo studio del comportamento asintotico di molte funzioni: adesempio, Marker, Macintyre e Van den Dries lo hanno usato per risponderead un quesito di Hardy sul comportamento asintotico dell'inversa compositi-va di (log(x))(log(log(x))), e un suo sottocampo é stato usato da Ecalle perrisolvere il sedicesimo dei problemi di Hilbert.

In questa tesi, che si basa su di un articolo del 2005 di Salma Kuhlmanne Saharon Shelah, viene arontato di nuovo il problema di denire un espo-nenziale su R((G)). Quello che si mostra é che ciò é possibile, a patto direstringersi ad un sottocampo proprio di R((G)), per una scelta opportuna diG. Questo fornisce un metodo relativamente semplice di ottenere campi realichiusi non archimedei su cui sia possibile denire una funzione esponenziale.

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Capitolo 3

Risultati Preliminari

In questo capitolo svilupperò i concetti e i risultati preliminari che stannoalla base dello sviluppo della tesi. Si assumono noti i concetti di L-teoria delprimo ordine, di L-struttura e di modello (vedere ,ad esempio, J.R.Shoeneld,Mathematical Logic). In particolare, richiamerò le denizioni di gruppo or-dinato, valutazione e campo esponenziale, e alcuni risultati di teoria degliordinali, tra cui il teorema di induzione transnita.

3.1 Gruppi Ordinati

Un gruppo totalmente ordinato G é un insieme dotato delle strutturedi gruppo e di insieme totalmente ordinato, in modo che esse siano compati-bili: con questo intendiamo che, per ogni x, y, z ∈ G, x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y+ z.Questa proprietà é equivalente a ∀x, y ∈ G, x ≤ y ⇒ y − x ≥ 0. Naturali ereali con l'ordine classico sono esempi di gruppi additivi ordinati.Dati due gruppi ordinati G, H, diremo che f : G → H é un isomorsmodi gruppi ordinati se f é un isomorsmo di gruppi che rispetta l'ordine,intendendo con questo che g1 < g2 in G ⇒ f(g1) < f(g2) in H.Dato un gruppo ordinato, possiamo denire l'insieme degli elementi positi-vi (detto anche cono positivo) come P=x ∈ G| x > 0 , dove 0 indica l'ele-mento neutro di G. É immediato vericare che P soddisfa: 1) ∀x ∈ G vale unae una sola delle seguenti: x = 0, x ∈ P , −x ∈ P ; 2) x, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P .Tale insieme é un semigruppo privo di identità univocamente determinatodall'ordine. Viceversa, dato un qualsiasi sottoinsieme P di G che soddis leproprietà 1 e 2, esiste ed é unico l'ordine di cui esso sia il cono positivo: taleordine é denibile ponendo x > y ⇔ x− y ∈ P .Un gruppo abeliano (G,+,0) si dice divisibile se dati n6=0 in N e g in G, ésempre possibile trovare g′ in G tale che ng′ = g.

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Dati due sottoinsiemi A,B di un insieme totalmente ordinato Γ, si dice cheA<B⇔ ∀x ∈ A, y ∈ B si ha x < y. Un sottoinsieme C si dice convessose ∀x, y, z ∈ Γ, x < y < z e x, z ∈ C ⇒ y ∈ C. Un taglio di Dedekindé una coppia di sottoinsiemi A,B di Γ tali che A<B, A é privo di massimoe A∪B=Γ. Ogni elemento x di Γ individua un taglio di Dedekind A,B: pre-cisamente, A sarà costituito da tutti gli elementi y a lui minori, B sarà ilcomplementare di A. In particolare, sia A che B risultano convessi. Un gapé un taglio di Dedekind (A,B) in cui A sia privo di massimo e B sia privo diminimo.Siano G1,G2 insiemi totalmente ordinati. Con G1

~∐G2 denotiamo il prodot-to cartesiano G1 × G2 ordinato lessicogracamente: (a, b) < (c, d) ⇔ a < coppure a = c e b < d.Sia G un gruppo abeliano totalmente ordinato. Deniamo su G la seguenterelazione di equivalenza, che chiameremo equivalenza archimedea: x∼yse esiste un numero naturale n tale che n|x| > y e n|y| > x (dove |x| denotail maxx,−x). Diremo che xy se, ∀n naturale, n|x| < |y|. In particolare,G risulta non archimedeo se e solo se esistono x ed y con questa proprietà.Sia [x] la classe di equivalenza di x. L'insieme di tali classi puó essere ordina-to ponendo [y]<[x] se x << y. Se G é un campo, si puó denire una sommasu questo insieme di classi di equivalenza ponendo [x]+[y]=[xy]: si ottienein questo modo un gruppo, detto gruppo delle classi archimedee, la cuiimportanza sarà evidente appena avremo introdotto il concetto di valutazio-ne.Un sottogruppo H di un gruppo ordinato G si dice sottogruppo convessose é convesso come sottoinsieme di G. Dato un qualsiasi sottoinsieme H diG, con sc(H) si denoterà l'intersezione di tutti i sottogruppi convessi con-tenenti H. Quando H=x si scriverà semplicemente sc(x). Un sottogruppodi questa forma si chiama sottogruppo convesso principale.Un insieme totalmente ordinato G si dice bene ordinato se ogni suo sot-toinsieme non vuoto ha un elemento minimo o, equivalentemente, se ognisuccessione non crescente g1 ≥ g2 ≥ ... ≥ gn ≥ ... ad elementi in G éstazionaria. Sarà tacitamente assunto che l'insieme vuoto sia bene ordinato.

3.2 Richiami di teoria degli ordinali

Un insieme A si dice transitivo se per ogni x, y con x ∈ y e y ∈ A si hax ∈ A. Equivalentemente se x ∈ A ⇒ x ⊆ A. Un ordinale é un insiemetransitivo per il quale l'∈ sia un buon ordine stretto.Sia α un ordinale. La conalità di α (notaz: cof(α)) é il minimo ordinale βper cui esista una funzione f : β → α conale (cioé illimitata crescente). Ad

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esempio, cof(R)=ℵ0.Si dice che un elemento x di un insieme ordinato Γ ha carattere sinistroℵ0 se l'insieme y ∈ Γ | y < x ha conalità ℵ0. Una denizione analogavale per il carattere destro. Si puó denire anche il carattere di un gap: équello del gap visto come elemento del completamento dell'insieme ordinato.In particolare, se carattere sinistro e destro sono entrambi ℵ0, si parla di unℵ0ℵ0-gap.Un risultato centrale della teoria degli ordinali dice che dato un qualsiasiinsieme bene ordinato (A,<), esiste un unico ordinale (α,∈) a lui isomorfo.Tale ordinale verrà detto il tipo d'ordine di (A,<).Un cardinale κ é un ordinale iniziale; con questo si intende che ogni suosegmento proprio abbia cardinalità strettamente inferiore a quella di κ. Uncardinale κ si dice regolare se cof(κ) = κ. Ad esempio, ℵ0 é un cardinaleregolare.

Dalla teoria dei numeri naturali sappiamo che buon ordine e principio diinduzione sono equivalenti. Ma cosa signica l'induzione in insiemi bene or-dinati che non siano i naturali? Premettiamo due denizioni.Dato un ordinale α, si dice successore di α (notaz: α+1) l'ordinale α∪α.Si dice limite un ordinale che non sia un successore. Ad esempio ω, il piùpiccolo ordinale innito.Abbiamo adesso gli ingredienti per enunciare il teorema di induzione tran-snita: Sia P(x) una proprietà. Supponiamo che 1) P(0) valga; 2) per ogni αordinale, P(α)⇒P(α+1); 3) per ogni λ limite valga ((∀γ < λP (γ))→ P (λ)).Allora P(α) vale per ogni α ordinale.La dimostrazione di questo teorema di rara importanza é simile a quella delprincipio di induzione sui naturali: si assume per assurdo che l'insieme degliα per cui non vale P(α) sia non vuoto; dal buon ordine segue che tale insiemedeve avere un minimo. Ma le nostre ipotesi impediscono l'esistenza di taleminimo: non puó essere né zero, né un successore, né un limite! Il teoremarimane cosí provato.

3.3 Valutazioni

Sia K un campo ordinato, G un gruppo ordinato in notazione additiva.Una valutazione su K é un applicazione v di K*=K\0 in G tale che:1) v(xy)=v(x)+v(y) ∀x, y ∈ K* (e dunque v é un omomorsmo dal gruppomoltiplicativo (K*,·) in quello additivo (K,+));2) v(x+ y) ≥ min(v(x),v(y)).Dati K, G, v, diciamo che:

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1) v(K*) (che é un sottogruppo di G) é il gruppo dei valori del campovalutato (K,v);2)Av=x ∈ K | v(x) ≥ 0 é l'anello della valutazione;3)Iv=x ∈ K | v(x) > 0 é l'ideale della valutazione, ed in particolareé massimale nell'anello di valutazione (si potrebbe dimostrare che é l'unicomassimale di Av, che risulta quindi locale);4)U>0

v =x ∈ Av | x > 0, v(x) = 0 é il gruppo delle unità positive di Av.Il quoziente Av/Iv é il campo dei resti:= K/v, detto anche campo residuo.Una valutazione si dice convessa se Av é convesso in K.Si consideri ora K e il gruppo delle classi archimedee di (K,+). Si puòdenire una valutazione da K in tale gruppo ponendo v(x):=[x]. Veri-care che questa sia eettivamente una valutazione é immediato, ricordan-do che [x]+[y]=[xy] e che [x]>[y] ⇔ xy: 1)v(xy)=[xy]=[x]+[y]=v(x)+v(y);2)v(x+y)=[x+y]: se xy o yx, [x+y]=[max|x|,|y|]=minv(x),v(y), se xé archimedeicamente equivalente ad y, [x+y]≥minv(x),v(y): infatti se xed y sono entrambi positivi (o entrambi negativi), x+y é archimedeicamenteequivalente a x (e ad y), se invece x>0>y (il caso y>0>x é simmetrico),x+y<x e quindi [x+y]≥[x].Questa valutazione é detta valutazione archimedea standard o valuta-zione naturale, e risulta convessa e con campo dei resti archimedeo.Dati x,y in K>0\Av, si dice che x e y sono moltiplicativamente equiva-lenti se esiste un naturale n tale che x ≤ yn e y ≤ xn. É facile vericare che xé moltiplicativamente equivalente ad y se e solo se v(x) é archimedeicamenteequivalente a v(y).

3.4 Campi Esponenziali

Un campo ordinato K si dice campo reale chiuso se ogni polinomiodi una variabile, a coecienti in K, che cambi segno ammette almeno unaradice nel campo. Un risultato centrale nella teoria dei campi reali chiusiaerma che un campo di serie di potenze K((G)) é reale chiuso se, e solo se,K é reale chiuso e G é divisibile.Un campo ordinato si dice campo esponenziale se esiste una mappaexp:(K,+, 0, <)→(K>0,·, 1, <) che sia un isomorsmo di gruppi ordinati.Un logaritmo su K é l'inverso di un esponenziale rispetto alla composizione.Sia v la valutazione archimedea standard. Si impone che il logaritmo sia v-compatibile: intendiamo con questo che si debba avere exp(Av) = U>0

v o,equivalentemente, che log(U>0

v ) = Av.Una condizione che imporremo all'esponenziale é di soddisfare l'assioma dicrescita (GA) (dall'inglese growth axiom): x ≥ n2 ⇒ exp(x) > xn per

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n ≥ 1 ∈ N. Restringendo l'attenzione agli x in K\Av, GA risulta equivalentea (1)∀n ∈ N : exp(x) > xn. Questa condizione servirà perché vorremmoche un esponenziale cresca piú di qualsiasi polinomio: in taluni casi, questaproprietà viene posta tra gli assiomi che lo deniscono.Applicando il logaritmo ad ambo i membri di (1) otteniamo che (2) ∀n ∈ Nx > log(xn) = nlog(x), dalla quale attraverso la valutazione naturale siottiene (3) v(x) < v(log(x)) per ogni x in K>0\Av.Un logaritmo che soddis (3) si dirà un GA-logaritmo.

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Capitolo 4

Campo delle Serie Generalizzate

di Hahn

In questo capitolo verranno introdotti i concetti di gruppo di Hahn e diserie generalizzata di Hahn, e verrà costruito l'anello di tali serie. Si dimo-strerà che tale anello é, in realtà, un campo ordinato K, su cui verrà denitauna valutazione standard. Si descriveranno poi due possibili decomposizionisia del gruppo additivo (K,+) che della parte positiva di quello moltiplicativo(K>0,·). Inne si introdurranno le nozioni di gruppo di Hahn κ-limitato e dicampo delle serie generalizzate di Hahn κ-limitate.

4.1 Gruppo di Hahn

Sia Γ un insieme totalmente ordinato e G un gruppo ordinato abeliano.Consideriamo il sottoinsieme H di GΓ costituito da tutte le funzionif : Γ −→ G che abbiano supporto bene ordinato in Γ, dove il supporto diuna funzione é denito come l'insieme degli elementi che la funzione nonmanda a zero: γ ∈ Γ | f(γ) 6= 0. Nel caso particolare in cui Γ stesso siabene ordinato, ogni elemento di GΓ soddisfa tale proprietà e dunque H=GΓ.Vale un se e solo se nella ulteriore ipotesi che G abbia almeno due elementi:in tal caso se H=GΓ allora Γ deve essere bene ordinato. Basta infatti osser-vare che la funzione che manda tutto Γ in uno degli elementi diversi da 0deve avere supporto bene ordinato, ed il suo supporto é Γ stesso.Poniamo su H una struttura di gruppo ordinato: la somma si denisce nelmodo ovvio, tramite cioé la somma di funzioni, ed é banale dimostrare chequesta renda H un gruppo addittivo; come ordine si dota H di quello lessico-graco: si dirà che f < g se e solo se per il minimo γ ∈ Γ tale che f(γ) 6= g(γ)si ha f(γ) < g(γ).

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L'unica verica che meriti di essere fatta riguarda la chiusura di GΓ rispettoalla somma. Controlliamo che il supporto Sf+g della somma di due funzionif, g sia bene ordinato: qualsiasi successione non crescente in Sf+g determinadue successioni non crescenti, una in Sf e una in Sg, cosa che appare evidentedopo aver osservato che Sf+g ⊆ Sf ∪ Sg. Dalla stazionarietà di queste duesuccessioni discende la stazionarietà di quella in Sf+g.Verichiamo che somma ed ordine cosí deniti siano compatibili, cioé che∀f, g, f < g ⇒ g− f ≥ 0. Sia f < g; min(supp(g− f))=minγ ∈ Γ | f(γ) 6=g(γ)=γ0 e (g − f)(γ0)>0 dato che f(γ0) < g(γ0).Al gruppo abeliano ordinato (H,+, <, 0) si da il nome di gruppo di Hahn,e lo denoteremo spesso semplicemente con GΓ, ricordando però che stiamotenendo conto solo delle funzioni con supporto ben ordinato.Per comodità, ogni elemento f di H si può scrivere come

∑γ∈Γ fγ1γ, dove

fγ = f(γ) e 1γ denota una funzione che mandi γ in un elemento positivo di G(si sceglierà l'elemento neutro del prodotto nel caso in cui G sia un campo), etutto il resto a zero. Si osservi inne che, per un G innito, se f, g ∈ H stannonella stessa classe di equivalenza archimedea allora i minimi dei loro supporticoincidono: data infatti una f qualsiasi, il minimo del supporto dei suoi mul-tipli interi coincide sempre con il minimo del suo supporto, e quindi non potràmai essere archimedeicamente equivalente a quello di una g con un diversomin(supp). Viceversa, se supponiamo inoltre G archimedeo, due qualsiasifunzioni con i min(supp) coincidenti saranno archimedeicamente equivalenti:é un ovvia conseguenza dell'ordinamento di H e dell'archimedeicità di G.

4.2 Le serie generalizzate di Hahn

Sia G 6= 0 un gruppo abeliano additivo ordinato, K un campo archimedeo.Sia α=

∑g∈G agt

g, dove t é una variabile formale, g un elemento del gruppo eag un elemento del campo. Deniamo supporto di α=g ∈ G | ag 6= 0 := Sα.Una serie generalizzata di Hahn é una serie α tale che Sα sia bene ordi-nato in G.Sia K((G))=α|α é una serie generalizzata di Hahn. Come grup-po abeliano ordinato, K((G)) non é altro che il gruppo di Hahn costrui-to prendendo come insieme totalmente ordinato G e come gruppo ordinato(K,+,<,0). Nella scrittura degli elementi si é sostituito tg a 1γ.Nel seguito intendo dimostrare che K((G)), con le operazioni che verrannointrodotte nel prossimo paragrafo, é un campo. Questo é un risultato gene-rale che vale la pena esporre: noi avremo poi a che fare, in particolare, conil campo di serie di Hahn R((G)), con G gruppo di Hahn=RΓ.

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4.3 K((G)) é un anello

Si deniscono su K((G)) il + e il · in modo ovvio: dette a =∑

g∈G agtg,

b =∑

g∈G bgtg, si pone:

a+b =∑g∈G

(ag + bg)tg

a · b =∑g∈G

∑h+k=g

(ah · bk)tg

L'introduzione di queste operazioni é alquanto intuitiva, essendo una sempli-ce generalizzazione di quanto si fa abitualmente con le serie. É d'obbligo peròvericare la chiusura di K((G)) rispetto a tali operazioni, e la loro coerenza.Per la somma basta osservare che (K((G)),+) é un gruppo di Hahn, e quindié chiuso rispetto al +.Per il prodotto vanno eettuate due veriche: per prima cosa, si deve mo-strare che i coecienti deniti come sopra siano eettivamente elementi diK, e poi che K((G)) sia chiuso rispetto a questa operazione. Riguardo i coef-cienti, osserviamo che, ∀g ∈ G, l'insieme delle coppie h, k tali che h+ k = gé nito. Per mostrarlo, chiamiamo S

′a=h ∈ Sa | ∃k ∈ Sb : h + k = g; ana-

logo per S′

b. É evidente che S′a sia in bigezione con S

′

b. É dunque sucientemostrare la nitezza dell'uno per avere la nitezza dell'altro. Supponiamo,per assurdo, che S

′a sia innito. Allora é possibile determinare una successio-

ne crescente illimitata di suoi elementi per ricorsione ponendo a0=min(Sa),an+1=mina ∈ Sa | a ≥ an. Sfruttando la bigezione tra lui e S

′

b si viene acreare una successione decrescente in Sb, denita ponendo bn = g− an, il checontrasta con il buon ordine di Sb.Per vedere che K((G)) é chiuso rispetto al prodotto si deve mostrare che ilsupporto di una serie prodotto é bene ordinato. Per prima cosa osserviamoche Sa·b ⊆ Sa + Sb=h + k | h ∈Sa, k ∈Sb. Ma Sa + Sb é bene ordina-to: data, per assurdo, una successione decrescente di elementi (an + bn)n∈ω,consideriamo la successione (an)n∈ω. Essendo una successione in un bene or-dinato, possiamo estrarne una sottosuccessione che sia debolmente crescente(a′n)n∈ω. Esaminiamo la successione (b

′n)n∈ω costruita prendendo i termini

corrispondenti in (bn)n∈ω: dato che (an + bn)n∈ω é strettamente decrescente e(a′n)n∈ω é debolmente crescente, (b

′n)n∈ω deve essere strettamente decrescen-

te, contro il buon ordine di Sb. (Tale risultato é poi facilmente estendibile alcaso delle somme nite di insiemi ben ordinati). Allora il supporto di unaserie prodotto é bene ordinato.

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É inoltre banale vericare che vale la proprietà distributiva, e che vale l'as-sociativa per entrambe queste operazioni.K((G)), con le operazioni sopra denite, risulta quindi un anello. Inoltre, écommutativo, il che discende dalla commutatività di K e di G, e possiede unelemento unità per il prodotto dato dalla serie 1t0, dove con ovvia notazionesi scrive atg per intendere la serie avente tutti i coecienti corrispondentiai termini di esponente diverso da g uguali a zero. L'elemento neutro dellasomma é la serie 0t0.

4.4 K((G)) é un campo

L'ultima proprietà da vericare é l'invertibilità di ogni elemento diK((G)).Premettiamo queste denizioni: sia g ∈ G, α ∈ K((G)); poniamo Sα ≤ g ⇔∀h ∈ Sα : h ≤ g; G≤g=h ∈ G | h ≤ g; K((G≤g))=α ∈ K((G)) |Sα ≤ g. In maniera del tutto analoga si deniscono Sα ≥ g, Sα < g, Sa >g,K((G≥g)), K((G<g)), K((G>g), G≥g, G>g, G<g.Osserviamo adesso che é suciente dimostrare l'invertibilità solo per le serieα ∈ K((G≥0)); se tali serie risulteranno invertibili, allora qualunque serie diK((G)) sarà invertibile. Infatti, data una β ∈ K((G)), sia g0 il minimo delsuo supporto. Allora la serie c = t−g0 ·β sarà una serie di K((G≥0)), e dunquesi avrà che b−1 = t−g0 · c−1.Restringiamo quindi l'attenzione alle serie α in K((G≥0)). Si può sempre as-sumere che il coeciente di t0 sia 1: detto a0 il coeciente di t0, moltiplicandoα per a−1

0 si ottiene 1 come termine costante, e non si cambia la invertibilitàdi α. L'intento é di far vedere che, data una serie α in K((G≥0)) aventecoeciente costante uguale ad 1,

∑+∞n=0(1 − α)n é il suo inverso, sfruttando

l'identità (1-(1-α))·∑+∞

n=0(1− α)n=1. Osserviamo che il termine costante di(1-α) é zero, e che quindi (1-α) ∈ K((G>0)). Il problema é quello di mostrareche la scrittura

∑+∞n=0(1− α)n denoti un elemento di K((G)).

A questo scopo, dimostriamo in generale che data una serie a ∈ K((G>0))ha senso la serie (di serie)

∑+∞n=0 a

n. Per vericarlo useremo questo

Lemma: Sia S un sottoinsieme bene ordinato costituito da elementi nonnegativi di un gruppo G. Allora il semigruppo formato dalle somme nite dielementi di S Fin(S) é bene ordinato.

Dimostrazione: Dato un elemento s = a1 + .... + an in Fin(S), chiame-rò testa(s) il massimo degli ai tra tutte le possibili decomposizioni di s insomme di elementi di S. Data una successione s=(sn)n∈ω, si dirà peso(s) ilminimo delle teste dei suoi elementi. Si dirà inne che sn é un testimone di

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s se testa(sn) = peso(s).Supponiamo per assurdo che ci siano successioni strettamente decrescentis1 > s2 > ... > sn > ... in Fin(S). Sia σ il minimo tra i pesi delle successionidecrescenti in Fin(S); tra tutti i testimoni delle successioni di peso σ, se neprenda uno, diciamo sk nella successione s, che ha il minimo numero di ad-dendi uguali a σ: sk = a1 + .... + an + σ + σ + ... + σ. Sia h il numero di σche intervengono in questa scrittura. Osserviamo che, per denizione, tuttigli ai sono minori di σ.Costruiamo adesso una sottosuccessione di s: sk = sk1 > sk2 > ... > skn > ...denendo induttivamente ski+1

il testimone con indice minimo della succes-sione ski+1 > ski+2 > .... Consideriamo la successione delle teste degli ski .Questa risulta per costruzione una successione debolmente crescente. Inol-tre, nella successione degli ski ogni termine é somma di almeno due elementi:altrimenti si avrebbe ski = testa(ski) ≤ testa(ski+1

) ≤ ski+1, il che violerebbe

la decrescenza di s. Sottraiamo dunque ad ogni termine la sua testa. Siottiene una catena discendente di elementi di Fin(S) u: u1 > u2 > ..., doveui = ski − testa(ski). Però nella scrittura u1 = a1 + ....+ an + σ+ σ+ ...+ σ,il numero di volte che compare σ é sceso di uno. Se h ≥ 2, otteniamo unassurdo perché 0 < h − 1 < h contro la minimalità di h; se invece h = 1,avremmo testa(u1) < σ quindi peso(u) < σ, contro la minimalità di σ; quin-di in entrambi i casi si ottiene un assurdo. Q.E.D.

Sia S l'insieme degli esponenti dei monomi aventi coeciente non nullonella scrittura formale α =

∑+∞n=0 a

n, con a serie in K((G>0)). Il lemma ciassicura che tale S sia bene ordinato, dato che é un sottoinsieme delle sommenite di Sa. Per poter aermare che α sia una serie generalizzata di Hahn vacompiuta un ultima verica: si deve dimostrare che, per ogni g in S, esistonosolo un numero nito di combinazioni di elementi (g1, ..., gn) di Sa la cui som-ma fa g. Questo, visto che il coeciente di tg in α vale

∑g1+...+gn=g ag1 ·...·agn ,

ci assicurerà che abbiano senso tutti i coecienti di α.

Proposizione: Sia S un sottoinsieme bene ordinato di elementi positivi diun gruppo G. Per ogni g in Fin(S), A=(γ1 ≥ γ2 ≥ ... ≥ γk) sequenze nitedi elementi di S | γ1 + ...+ γk = g é nito.

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che g sia il minimo controesem-pio nel bene ordinato Fin(S), e A il corrispondente insieme delle possibilidecomposizioni. Siano δi le teste degli elementi di A. Aermo che possotrovare solo un numero nito di δi distinti. Se così non fosse, potrei co-struire ricorsivamente la successione strettamente crescente: α0=minδi,

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αn+1=minδi | δi > αn. A questa potrei far corrispondere la successionestrettamente decrescente g−α0 > ... > g−αn > ..., contro il buon ordine diFin(S).Siano dunque δ0,...,δn tutte le teste di elementi di A. Dato che A é in-nito, deve esistere i tale che Ai=(γ1 ≥ γ2 ≥ ... ≥ γk) sequenze ni-te di elementi di A | γ1 + ... + γk = g e γ1 = δi é innito. Ma alloraA∗i=(γ2 ≥ ... ≥ γk)| (γ1, ..., γk) ∈ Ai é innito e γ2 + ... + γk=g − δi é unelemento di Fin(S) piú piccolo di g, contro la minimalita' di g. Q.E.D.

A questo punto α =∑+∞

n=0 an ∈ K((G)), qualsiasi sia a ∈ K((G>0)).

Sfruttando l'identità∑+∞

n=0(1 − a)n = (a)−1 si riescono ad invertire tutti glielementi in K((G≥0)), e dunque tutti gli elementi in K((G)).

Si é cosí dimostrato che K((G)) é un campo. Ordiniamolo lessicograca-mente. Va fatto vedere che diviene un campo ordinato, cioé che l'ordinelessicograco é compatibile con somma e prodotto.Somma: (K((G)),+, 1, <) é un gruppo di Hahn e la verica che somma eordine siano compatibili é stata fatta nel paragrafo sui gruppi di Hahn.Prodotto: un elemento é positivo se ha il primo coeciente non nullo po-sitivo. Ma allora dati due elementi positivi, il primo coeciente del loroprodotto non é altro che il prodotto dei loro primi coecienti, ed é dunquepositivo.

4.5 Valutazione di K((G))

Vogliamo dare una valutazione naturale da K((G)) in G.Poniamo v(α)=min(supp(α)) ∀α ∈ K((G)). É immediato vericare chesia una valutazione; il gruppo dei valori é G, dato che per ogni g si puó trova-re una serie di minimo esponente g, ed il campo residuo risulta isomorfo a K,essendo costituito da tutte e sole le classi delle serie ad unico esponente nullo.L'anello di valutazione consiste delle serie con esponenti non negativiK((G≥0)),e l'ideale della valutazione con l'insieme delle serie ad esponenti strettamentepositivi K((G>0)).Denito inoltre termine costante di una serie il coeciente a0, si avrà chele unità positive dell'anello di valutazione sono le serie con termine costantepositivo.Ricordando che l'ordinamento di K((G)) é lessicograco, e che K é archime-deo, si ha poi che la nostra valutazione non é altro che una riscrittura dellavalutazione archimedea standard. Infatti:

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Proposizione: Dati due qualsiasi elementi di K((G)), la loro valutazio-ne archimedea coincide se, e soltanto se, il minimo dei loro supporti coincide.

Dim: Consideriamo, al variare di g in G, la serie tg. Osserviamo chetg tg

′se g 6= g′, e che qualsiasi serie di K((G)) é equivalente ad una

di questo tipo. Quindi come rappresentanti delle classi archimedee prendia-mo M=tg | g ∈ G. Sia poi f : M → G denita come f([tg]) = −g; f éun isomorsmo ordinato. Iniettività e surgettività sono ovvie; dimostriamoche valga f([tg1 ] + [tg2 ]) = f([tg1 ]) + f([tg2 ]): infatti [tg1 ]+[tg2 ]=[tg1+g2 ]. Di-mostriamo che f conserva l'ordine: tg1 < tg2 ⇔ g1 > g2 ⇔ −g1 < −g2. Sechiamiamo a la valutazione archimedea standard, si ha che f a = v. f cipermette quindi di identicare queste 2 valutazioni. Q.E.D.

Osserviamo inne che gli elementi niti in K((G)) sono quelli a valutazio-ne nulla, gli inniti quelli a valutazione negativa e gli innitesimi quelli avalutazione positiva.

4.6 Decomposizioni in K((G))

Concentriamoci, per prima cosa, sul gruppo ordinato (K((G)),+, <, 0).Data una qualsiasi serie α =

∑g∈G agt

g, é possibile spezzarla al termine co-stante e scriverla come somma di due serie, una ad esponenti strettamentenegativi, l'altra ad esponenti maggiori od uguali a zero. Risulta quindi cheun complemento in (K((G)),+, <, 0) di K((G≥0)) é costituito da K((G<0)),che é anche un sottoanello di K((G)). Deniamo tale complemento comeNeg(K((G)).Da questa semplice osservazione segue che, come gruppo additivo ordinato,(K((G)),+,0,<)=K((G<0))⊕K((G≥0)), dove si sia dotato K((G<0)) ⊕K((G≥0)) dell'ordinamento lessicograco.Passiamo adesso alla struttura moltiplicativa di K((G)). Sia adesso α ∈K((G))>0, e sia g il min(supp(α))=v(α). É allora possibile fattorizzarela serie come α=tgβ, dove β é una unità con termine costante positivo,cioé β ∈ U>0

v . Quindi un complemento nel gruppo moltiplicativo ordinato(K((G))>0,<,·,1) del sottogruppo delle unità positive é il gruppo moltiplica-tivo dei monomi tg: chiameremo tale gruppo Mon(K((G))).Si ha dunque che (K((G))>0, ·,1,<)=Mon(K((G)))×U>0

v . In particola-re, un isomorsmo di gruppi ordinati tra Mon(K((G))) e G é dato da -v:(-v)(tg)=-g.Questo semplice risultato di decomponibilità é particolarmente importante.Sfruttando l'assioma log(a · b) = log(a) + log(b), siamo in grado di ricon-

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durci, nella determinazione di un logaritmo per K((G))>0, a 2 problemimeno complicati: denire un logaritmo L1 da Mon(K((G))) in K((G<0)),ed uno L2 da U>0

v in K((G≥0)). Un logaritmo L su tutto K((G))>0 sarà aquel punto costruibile in modo ovvio: L(α)=L(tgβ)=L1(tg)+L2(β). In piú,per quanto osservato nel paragrafo sui campi esponenziali, anché L sia un(GA)-logaritmo occorre, e basta, che lo sia L1.

4.7 Gruppo di Hahn κ-limitato e campo delle

serie di Hahn κ-limitate

Sia κ un cardinale non numerabile regolare: ricordo che con questointendiamo che deve aversi cof(κ)=κ.Il gruppo di Hahn κ-limitato é il sottogruppo di GΓ costituito dalle se-rie con supporto di cardinalità minore di κ: lo denoteremo d'ora in avanticon (GΓ)κ. Che sia un sottogruppo é una verica ovvia: l'elemento neutrovi appartiene, avendo supporto vuoto; se un elemento appartiene a (GΓ)κanche l'inverso vi appartiene, essendo identiche le cardinalità dei supportidegli inversi (ricordiamo che la notazione é additiva); se f, g sono funzioniκ-limitate anche f+g lo é: infatti supp(f+g)⊆ supp(f)∪supp(g), dunque lacardinalità di supp(f + g) é minore od uguale alla cardinalità dell'unione deisupporti, la quale é minore o uguale a 2·max(card(supp(f)),card(supp(g)));se tale max é nito, la cardinalità di supp(f + g) risulterà nita e dunqueminore di κ; altrimenti si ha che, per ogni cardinale innito α, 2 · α = α.Dunque (GΓ)κ é chiuso rispetto alla somma: con questo rimane dimostratoche é un sottogruppo del gruppo di Hahn GΓ.Del tutto analogo é il campo delle serie di potenze κ-limitate, che de-noteremo con K((G))κ, costituito dalle serie di K((G)) con supporto di car-dinalità strettamente inferiore a κ. Per dimostrare che é un sottocampo diK((G)) si devono compiere tre veriche: va visto che sia un suo sottogruppo,chiuso per moltiplicazione e per inversione dei suoi elementi. É un sotto-gruppo perché addittivamente non é altro che il gruppo di Hahn κ-limitatoK((G))κ, sottogruppo di K((G)). É chiuso per moltiplicazione, dato che ilsupporto della moltiplicazione tra due serie é un sottoinsieme della sommadei supporti, la cui cardinalità é al più quella del loro prodotto cartesiano,ed é quindi inferiore a κ. Manca da far vedere che, data α in K((G))κ, ancheα−1 vi appartiene. Se α appartiene a K((G>0))κ, dalla espressione ricavataper α−1 si ha che supp(α−1)⊆

⋃n∈Nsupp(1−α)n. Ciascuno di questi supporti

ha cardinalità<κ, dunque anche⋃n∈Nsupp(1− α)n ha cardinalità minore di

κ come richiesto, dato che κ é più che numerabile. Se α é una serie qua-

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lunque, per trasformarla in una serie in K((G>0)) la si deve moltiplicare perun monomio, la qual cosa non cambia la cardinalità del suo supporto nè diquello della inversa.K((G))κ é dunque un sottocampo di K((G)); in particolare é un sottocampovalutato, con valutazione la restrizione della valutazione naturale di K((G)).Diamo ora una denizione: un sottocampo F di K((G)) si dice chiuso pertroncamenti se data una qualunque serie α in F, anche tutti i segmentiiniziali di α sono in F. In particolare, se un campo é chiuso per tronca-menti vale che Neg(F):=Neg(K((G)))∩F é un complemento dell'anello divalutazione di F. Se, inoltre, F contiene il sottocampo generato dai monomimonici, allora Mon(F)=tg | g ∈ G é un complemento alle unità positivein(F>0, ·). K((G))κ gode di entrambe queste proprietà. Per comodità, de-noteremo Neg(K((G))κ) con K((G<0))κ. É evidente che le decomposizionidate per K((G)) possono dunque estendersi a K((G))κ: é suciente riscri-verle con K((G))κ in vece di K((G)). Dunque:(K((G))κ,+,0,<)=K((G<0))κ ⊕K((G≥0))κ(K((G))>0

κ ,·,1,<)=Mon(K((G))κ ×U>0v .

Si scelgano K reale chiuso e G abeliano divisibile. K((G))κ é dunqueun campo reale chiuso. Ed é il sottocampo di K((G)) cercato: nei prossimicapitoli, sceglieremo opportunamente K e G e costruiremo su K((G))κ unlogaritmo surgettivo, rendendolo così un modello di Texp.

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Capitolo 5

κ-sima potenza lessicograca

iterata di una catena

Sia Γ0 una catena, cioé un insieme totalmente ordinato. In questo para-grafo l'intento é di dare una procedura per costruire, partendo da Γ0, unanuova catena Γκ insieme ad un isomorsmo di catene ordinate iκ : Γκ → G<0

κ ,dove con Gκ denotiamo il gruppo di Hahn κ-limitato (RΓκ)κ. La coppia(Γκ, iκ) prende il nome di κ-sima potenza lessicograca iterata di Γ0.Saranno poi dimostrati due teoremi che legano gli automorsmi di Γ0 a quellidi Γκ.

5.1 Costruzione della κ-sima potenza lessico-

graca di una catena

La costruzione si fa per induzione transnita, denendo per ogni µ < κuna catena Γµ e una immersione che preservi l'ordine iµ : Γµ → G<0

µ , doveG<0µ = (RΓκ)<0

κ . Faremo in modo che valga (1)ν < µ ⇒ Γν ⊂ Γµ e iν ⊂ iµ:si avrà quindi che ogni passo induttivo non modica la costruzione compiutanei passaggi precedenti, ma si limita ad ampliarla. L'ipotesi di conalità diκ ci renderà possibile dimostrare che iκ é un isomorsmo.

1) Passo base: se µ=0, si ha G0=(RΓ0)κ, e si pone i0 : Γ0 → G<00 de-

nito da γ 7→ −1γ.2) Caso di un ordinale successore: si supponga di aver già denito tuttono ad α e di voler passare a µ=α+ 1. Tramite iα si può identicare Γα conuna catena di G<0

α . L'intento é quello di prendere come Γµ una catena con-tenente Γα come sottocatena, e denire iµ in modo che iα sia la restrizione di

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iµ a Γα, vista come immersione da Γα a G<0α : questo ci assicurerà la validità

di (1).Sia quindi Γµ:=Γα ∪ (G<0

α \iα(Γα)). Ordiniamo Γµ in questo modo: se γ1, γ2

sono entrambi in Γα od entrambi in G<0α , li confrontiamo con il rispettivo

ordine; invece se γ1 appartiene a Γα e γ2 a G<0α , si pone γ1 < γ2 ⇔ iα(γ1) <

γ2 ∈ Gα. Dato che iα é un immersione ordinato, segue che il < appena de-nito soddisfa tutte le proprietà di un ordine.Si pone adesso iµ|Γα := iα, iµ|G<0

α \iα(Γα):=identità.Si osservi che (2) iµ(Γµ) = G<0

α , e quindi iµ é, come richiesto, un immersionedi Γµ in G<0

µ .3) Caso di un ordinale limite: sia µ un ordinale limite. Si pone: Γµ :=⋃α<µ Γα, iµ :=

⋃α<µ iα, e Gµ := (RΓµ)κ. Dalla costruzione e da (2) segue

che iµ(Γµ) =⋃α<µG

<0α , e che

⋃α<µGα ⊂ Gµ.

Per avere la k-sima potenza lessicograca iterata é necessario che iκ siaun isomorsmo. Questo sarebbe vero se si avesse G<0

κ =⋃α<κG

<0α , che é

l'immagine di iκ.⋃α<κG

<0α ⊆ G<0

κ é vero per costruzione; per mostrare l'inclusione opposta,sia g ∈ G<0

κ , k>δ:=card(supp(g)). Supp(g)=γµ | µ < δ é un sottoinsiemeproprio di Γκ; si scelgano, per ogni µ < δ, i minori αµ<k tali che γµ ∈ Γαµ .Dato che la cardinalità dell'insieme degli αµ é minore o uguale di δ, e quindiminore stretta di k, la successione degli αµ non può essere conale in k, es-sendo k regolare. Esiste quindi un α che la limiti; dunque supp(g)⊂ Γα e gappartiene a G<0

α , e quindi a⋃α<κG

<0α .

La domanda da porsi adesso é: che correlazioni ci sono tra Γ0 e Γκ? Nelprossimo paragrafo sarà mostrato come alcuni loro automorsmi siano stret-tamente collegati.

5.2 Due teoremi di estensione

Teorema di estensione dell'automorsmo: Sia σ0∈Aut(Γ0). Allorasi può estendere σ0 a σ ∈Aut(Γκ) in modo che questa soddis σ|Γµ ∈ Aut(Γµ)∀µ ∈ κ.

Dimostrazione: Continuiamo a denotare (RΓµ)κ con Gµ. Osservazione:Qualsiasi σµ ∈ Aut(Γµ) induce un σ

′µ ∈ Aut(Gµ). Infatti, dato g=

∑γ∈Γµ

gγ1γ

in Gµ, si pone σ′µ(

∑γ∈Γµ

gγ1γ):=∑

γ∈Γµgγ1σµ(γ).

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Se α < µ, e σµ ∈ Aut(Γµ) estende σα ∈ Aut(Γα), allora anche σ′µ estende σ

′α.

Per induzione su µ ≤ κ, si costruisce σµ ∈ Aut(Γµ) che soddis queste dueproprietà:(1) σ

′µiµ = iµ σµ;

(2) σβ ⊆ σµ per ogni β ≤ µ.La proprietà (1) implica la (3): per ogni g ∈ G<0

µ , σ′µ(g) ∈ iµ(Γµ) ⇔ g ∈

iµ(Γµ).La costruzione dell'automorsmo si fa per induzione transnita.Passo Base: σ0 soddisfa sia (1) che (2): (2) é banale, (1) vale perchéσ′0i0(γ)=−1σ0(γ), i0 σ0(γ) = −1σ0(γ).

Caso Ordinale Successore: se µ = α + 1, si denisce σµ su Γµ (ricordo cheΓµ:=Γα∪(G<0

α \iα(Γα)) ponendo σµ|Γα :=σα, e σµ|(G<0α \iα(Γα)):=σ

′α. La proprie-

tà (3) ci assicura che σµ sia ben denito. Dalla denizione di σµ segue che σµé una bigezione che soddisfa sia (1) che (2): (2) vale perché per denizioneσµ estende σα, e quindi per ipotesi induttiva estende σβ ∀β ≤ α; (1) valebanalmente per i γ ∈ Γα, per quelli in(G<0

α \iα(Γα) vale perché iµ|(G<0α \iα(Γα)

é l'identità. Rimane da vericare che σµ preservi l'ordine. L'unico caso nonovvio é per γ1 ∈ Γα e γ2 ∈ G<0

α , con γ1 < γ2. Da iα(γ1) < γ2 in G<0α segue

che σ′α(iα(γ1)) < σµ(γ2) in Gα, e da (1) e (2) che iα(σα(γ1)) < σ

′α(γ2). Quindi

iα(σµ(γ1)) < σµ(γ2) in Gα, e questo equivale a dire che σµ(γ1) < σµ(γ2) inΓµ.Caso Ordinale Limite: se µ é un ordinale limite, si pone σµ:=

⋃α<µ σα; le

veriche di (1) e (2) seguono in maniera immediata dalla denizione.Quindi σκ é l'automorsmo σ ∈ Aut(Γκ) cercato. Q.E.D.

Teorema di crescita: Sia σ ∈ Aut(Γκ) tale che σ|Γµ ∈ Aut(Γµ) ∀µ ∈ κe σ(γ) > γ ∀γ ∈ Γ0. Allora l'isomorsmo l:=iκ σ : Γκ → (RΓκ)<0

κ soddisfal(min(supp(g)))>g ∀g ∈ (RΓκ)<0

κ .

Dimostrazione: Sia g un elemento di (RΓκ)<0κ , e γµ il minimo del suo

supporto, dove µ é il minimo ordinale per cui γµ appartiene a Γµ. La di-mostrazione si fa per induzione transnita su µ. Per α ∈ κ, denoteremo(RΓα)<0

κ come G<0α .

Passo Base: Se µ=0, allora γ0 appartiene a Γ0 e quindi l(γ0) = i0 σ(γ0)=-1σ(γ0) > g.Passo Induttivo: Sia vera la tesi per ogni α<µ. Dalla denizione datanel paragrafo precedente dei vari iµ, segue che, nel caso di µ = α + 1,cioé µ successore, iκ σ(Γα+1)=iα+1(Γα+1)=G<0

α . Se invece µ é un limite:iκ σ(Γµ)=iµ(Γµ)=

⋃α<µG

<0α . In entrambi i casi vale che l(γµ) ∈ G<0

α per un

27

qualche α < µ. Poniamo l(γµ) := h ∈ G<0α . Va visto che g < h. Dato che l'or-

dinamento é lessicograco, é suciente che min(supp(g))< min(supp(h)) o,dato che l é un isomorsmo ordinato, che l(min(supp(g)))<l(min(supp(h)));quest'ultima disuguaglianza vale perché, per ipotesi induttiva, si hah<l(min(supp(h))). Q.E.D.

Mettiamoci ora nelle ipotesi del teorema di estensione dell'automorsmo.Se aggiungiamo la condizione σ0(γ) > γ ∀γ ∈ Γ0, succede che l'automor-smo σ ∈ Aut(Γκ) che estende σ0 verica le ipotesi del teorema di crescita.Il teorema di crescita é legato all'assioma di crescita; quello che si ha, indenitiva, é un metodo estremamente semplice per vericare la condizioneGA: se riusciremo a legare la costruzione del logaritmo a quella della potenzalessicograca, si potrà far discendere la condizione GA da una buona sceltadi un automorsmo di Γ0.

28

Capitolo 6

Costruzione del logaritmo

Adesso abbiamo in mano tutti gli strumenti per raggiungere il nostroobbiettivo, ossia la costruzione di un logaritmo su R(((RΓ)κ))κ. Per quantovisto nel capitolo sulla decomposizione di K((G)), possiamo dividere il lavoroin due parti: dapprima deniremo un logaritmo sinistro, cioé un isomorsmodi gruppi ordinati da Mon(R(((RΓ)κ))κ) in Neg(R(((RΓ)κ))k)=R(((RΓ)<0

κ ))κ,e imporremo che questo soddis l'assioma di crescita; si costruisce poi unlogaritmo sulle unità positive, cioé un isomorsmo di gruppi ordinati da U>0

v

in Av, sfruttando il logaritmo naturale su R. Il logaritmo su tutto il nostrocampo di serie generalizzate di Hahn sarà costruito a partire da questi due.Nella seconda parte del capitolo si farà vedere che tale esponenziale non éunico, e che in taluni casi ve ne é il massimo numero teoricamente possibile.A questo scopo si introdurrà il concetto di rango logaritmico e si darà esempiodi una catena Γ per cui R(((RΓ)κ))κ ammette 2κ esponenziali distinti.

6.1 Logaritmo sinistro

Teorema: Sia Γ una catena. Un qualunque isomorsmo di catenei: Γ → (RΓ)<0

κ induce un isomorsmo di gruppi ordinati f : ((RΓ)κ,+) →(Neg(R(((RΓ)κ))κ),+) dato da f(

∑γ∈Γ gγ1γ) :=

∑γ∈Γ gγt

i(γ).Ponendo

log(tg) := f(−g) =∑γ∈Γ

−gγti(γ)

si denisce quindi un logaritmo sinistro su R(((RΓ)κ))κ;vale che v(log(tg))=i(min(supp(g))) e che tale logaritmo soddisfa GA se, esolo se, i(min(supp(g)))>g per ogni g ∈ (RΓ)<0

κ .

29

Dimostrazione: Chiamiamo (RΓ)κ:=G e R(((RΓ)κ))κ:=K. Per prima cosaverichiamo che f sia ben denita. La sua immagine é contenuta in Neg(K),essendo l'immagine di i contenuta in G<0; il supporto di un qualsiasi elementox dell'immagine di f é bene ordinato, essendo immagine isomorfa di quello,bene ordinato, dell'elemento g in G tale che f(g)=x: supp(f(g))=i(supp(g)).Adesso verichiamo che f sia un isomorsmo di gruppi ordinati.f é un omomorsmo: f(

∑γ∈Γ(g1,γ + g2,γ)1γ)=

∑γ∈Γ−(g1,γ + g2,γ)t

i(γ)=∑γ∈Γ−g1,γt

i(γ)+∑

γ∈Γ−g2,γti(γ)= f(

∑γ∈Γ g1,γ1γ)+f(

∑γ∈Γ g2,γ)1γ).

Surgettività ed iniettività seguono ovviamente dalla denizione e dal fattoche i é biunivoca.f preserva l'ordine: in G l'ordine é lessicograco, dunque g1 < g2 ⇔min(supp(g1))>min(supp(g2)) ⇔(1) min(supp(f(g1)))>min(supp(f(g2))) ⇔f(g1)<f(g2).La validità di ⇔(1) si ha perché i preserva l'ordine.Adesso verichiamo che log(tg):=f(−g)=

∑γ∈Γ−gγti(γ) denisce un isomor-

smo di gruppi ordinati da Mon(K) in Neg(K). Consideriamo j:Mon(K)→Gche manda tg in −g. Questo é, ovviamente, un isomorsmo d'ordine (unaverica esplicita é stata fatta nel paragrafo sulla valutazione naturale diK((G))). Basta osservare che log=f j per concludere che log é un lo-garitmo sinistro.Verichiamo che v(log(tg))=i(min(supp(g)): v(log(tg))=v(

∑γ∈Γ−gγti(γ))=

mini(γ) | gγ 6= 0=i(min(supp(g)))(ricordando che i preserva l'ordine).Per ultima cosa, che tale logaritmo soddisfa GA se, e solo se, i(min(supp(g)))>gper ogni g ∈ G>0. Infatti v(tg)=g e v(log(tg))=i(min(supp(g))).Q.E.D

6.2 Logaritmo delle unità positive

Per completare il nostro intento, dobbiamo denire un logaritmo sulleunità positive. Il punto di partenza é il classico logaritmo naturale su R: perr>0 in R denotiamo il suo logaritmo naturale con log(r).

Teorema: Sia G un gruppo abeliano ordinato divisibile, K:=R((G))κ ev la valutazione naturale. Dato u ∈ U>0

v , scriviamo u=r(1+ε), dove ε é unelemento di Iv ( cioé un innitesimo). Allora

log(u) := log(r(1 + ε)) = log(r) ++∞∑i=1

(−1)(i−1) εi

i

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denisce un isomorsmo di gruppi ordinati da U>0v su Av, ed é quindi un

logaritmo sulle unità positive.

Dimostrazione: La prima verica da eettuare é che la somma formale∑+∞i=1 (−1)(i−1) εi

iidentichi un ben denito elemento in R((G)): questo vale

in generale per una qualsiasi serie∑+∞

i=0 riεi, dove gli ri siano elementi di R,

dato che il supporto di ε é contenuto in G>0: una verica esplicita é statafatta nel capitolo dedicato a K((G)).Osserviamo adesso che U>0

v =R>0×H, dove H=1 + ε | ε ∈ R((G>0))κ,e Av=R ⊕ R((G>0))κ. Il logaritmo così denito é un isomorsmo, datoche il logaritmo naturale é un isomorsmo ordinato da R>0 in R e che∑+∞

i=1 (−1)(i−1) εi

ilo é da H in R((G>0))κ (questo vale perché, come é noto

da molti testi di analisi, é possibile denire un analoga espressione per l'e-sponenziale che rappresenti l'inversa di quella data e che sia un isomorsmoordinato). É ordinato perché lo sono gli altri due, e l'ordine in R((G))κ élessicograco.Rimane da dimostrare che card(supp(

∑+∞i=1 (−1)(i−1) εi

i)) sia inferiore a κ.

Questo é stato fatto nel paragrafo 4.7.

6.3 Logaritmo su R(((RΓκ)κ))κ

Adesso, sia κ un cardinale regolare non numerabile, Γ0 una catena e Γκla sua κ-esima potenza lessicograca iterata. Dato un σ automorsmo diΓκ, costruiamo l : Γκ → (RΓκ)<0

κ come nel teorema di crescita esposto nelcapitolo precedente.

Teorema: Sia a un elemento positivo in R(((RΓκ)κ))κ. Scriviamo a cometgr(1 + ε), con g=

∑γ∈Γ gγ1γ in (RΓκ)κ, r elemento positivo in R, ε innite-

simo. Allora

log(a) := log(r) +∑γ∈Γ

−gγtl(γ) ++∞∑i=1

(−1)(i−1) εi

i

é un GA-logaritmo da (R(((RΓκ)κ))>0κ , ·, 1, <) a (R(((RΓκ)κ))κ,+, 0, <).

Dimostrazione: Siano K=R(((RΓκ)κ))κ e G=(RΓκ)κ. Si tratta di mette-re insieme tutti i risultati esposti no ad adesso.1) log denisce un logaritmo: per denizione, un logaritmo é un isomor-smo di gruppi ordinati da (K>0, ·,1,<) in (K,+0,<). I risultati del capitolo 4

31

ci consentono di aermare che log debba essere un isomorsmo di gruppi ordi-nati da Mon(K)×U>0

v a K((G<0))κ⊕K((G≥0))κ. Da log(a·b)=log(a)+log(b)ricaviamo che per dare un logaritmo su Mon(K)×U>0

v possiamo denireun logaritmo sinistro L1 e uno sulle unità positive L2 e porre log=L1+L2.Osserviamo ora l'espressione data per log. Per quanto visto nei due pa-ragra precedenti,

∑γ∈Γ−gγtl(γ) denisce un logaritmo sinistro, e log(r)+∑+∞

i=1 (−1)(i−1) εi

idenisce un logaritmo sulle unità positive. Allora log, che é

la loro somma, denisce un logaritmo su K.2) log é un GA-logaritmo: entra in gioco l'utilità dell'aver denito laκ-sima potenza lessicograca iterata di una catena. L'essersi messi nelleipotesi del teorema di crescita ci assicura GA: infatti ci dice che l soddisfal(min(supp(g)))>g ∀g ∈ G<0, che é la condizione necessaria e suciente af-nché il logaritmo sinistro, e dunque log, soddisno GA. Q.E.D.

Dunque si ha che R(((RΓκ)κ))κ é un modello della teoria dei campi realichiusi che ammette un logaritmo surgettivo e dunque, per inversione, unesponenziale. Quindi R(((RΓκ)κ))κ |= Texp+GA.

6.4 Rango Logaritmico

Ci occupiamo adesso della unicità della funzione esponenziale. Vedremoche, sotto opportune ipotesi, si possono denire su R(((RΓκ)κ))κ il massimonumero teoricamente possibile di esponenziali.

Sia data una catena Γ, e sia σ un suo automorsmo crescente: con questointendiamo che σ(γ) > γ per ogni γ ∈ Γ. Dato un tale σ si può denire suΓ una relazione di equivalenza in questo modo: si pone γ ∼σ γ

′⇔ ∃n ∈ N |σn(γ) > γ

′e σn(γ

′) > γ. Le classi di equivalenza di questa relazione risul-

tano convesse e chiuse rispetto a σ. Grazie alla convessità, si può denireun ordine sull'insieme di tali classi ponendo [γ]<[γ

′] se γ < γ

′e γ, γ

′non

appartengono alla stessa classe di equivalenza. Diremo rango di (Γ, σ) iltipo d'ordine dell'insieme bene ordinato Γ/∼σ.Sia ora K un campo reale chiuso, log un GA-logaritmo su K>0 e v la valu-tazione archimedea standard. Deniamo su K>0\Av una relazione di equi-valenza ponendo a ∼log a

′⇔ ∃n ∈ N | logn(a) ≤ a′e logn(a

′) ≤ a. Come nel

caso di una catena, le classi di equivalenza risultano convesse e chiuse rispettoa log; diremo rango logaritmico di (K>0, log) il tipo d'ordine dell'insiemedi tali classi. Si può osservare, ricordando le denizioni di equivalenza archi-medea e di equivalenza moltiplicativa, che due qualsiasi elementi di K>0 che

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siano archimedeicamente o moltiplicativamente equivalenti sono necessaria-mente log-equivalenti.Equivalenza archimedea⇒equivalenza logaritmica: x ∼ y ⇔min(supp(x))=min(supp(y)) ma min(supp(x))<min(supp(log(x))⇒min(supp(y))<min(supp(log(x)))⇒ log(x)<y. Analogamente log(y)<x.Equivalenza moltiplicativa⇒equivalenza logaritmica: x ≤ yn⇒min(supp(x))≥min(supp(yn))≥min(supp(y))⇒ log(x)<y. Analogamente log(y)<x.

Siano Gκ=(RΓκ)κ, Γ0 la catena da cui si parte per costruire R((Gκ))>0κ , σ l'au-

tomorsmo di Γκ che interviene nella denizione del logaritmo, e σ0:=σ|Γ0 .Adesso vogliamo rispondere a questa domanda: quale é il rango logaritmicodi (R((Gκ))

>0κ , log), dove log rappresenta il logaritmo costruito nella sezione

precedente? La risposta é contenuta nel seguente

Teorema del rango logaritmico: Il rango logaritmico di (R((Gκ))>0κ , log)

é uguale al rango di (Γ0, σ0).

Dimostrazione: 1) É lecito restringere l'attenzione ai soli monomi. Da-ta infatti α in K>0\Av, la si può scrivere nella forma α = tgβ, con g inG<0κ e β un unità. Dato che α é archimedeicamente equivalente a tg, lo

é anche logaritmicamente, e quindi é suciente studiare i monomi tg, cong =

∑γ∈Γκ

gγ1γ.2) Si ponga γµ:=min(supp(g))∈Γµ, dove µ é il minimo ordinale per cuiγµ ∈ Γµ. Adesso si farà vedere, per induzione transnita su µ, che esistesempre un g0 ∈ G<0

κ per cui γ0:=min(supp(g0))∈ Γ0 e tg é log-equivalente atg0 .Passo Base: Se µ=0 non c'é nulla da dimostrare.Caso Ordinale Successore e Caso Ordinale Limite: Se la proposizione vale perogni λ < µ, log(tg)=

∑γ∈Γ−gγtl(γ) é archimedeicamente equivalente e quindi

log-equivalente a tl(γµ). Dalla ipotesi induttiva, e da l(γµ)∈ G<0λ per un qual-

che λ < µ (come esposto nel teorema di crescita), segue che la proposizionevale per tl(γµ) e quindi, per transitività, vale anche per tg.3)Adesso si determinerà la classe di log-equivalenza di tg per g ∈ G<0

κ . Siaγ0:=min(supp(g))∈ Γ0. tg é moltiplicativamente, e quindi logaritmicamente,equivalente a t−1γ0 , quindi ci si può restringere a considerare monomi dellaforma t−1γ per γ ∈ Γ0.4)Il passo conclusivo é far vedere che, per ogni γ, γ

′∈ Γ0, t−1γ∼log t−1

γ′⇔

γ ∼σ γ′.

Riscriviamo logn(t−1γ ) usando log(tg)=∑

γ∈Γ−gγtl(γ): log(t−1γ )=tl(γ)=ti0σ(γ))=t−1σ(γ) (dato che σ(γ) ∈ Γ0). Procedendo per induzione, si osserva che, per

33

ogni n in N, logn(t−1γ )=t−1σn(γ) . Si può adesso concludere: γ∼σγ′⇔∃n∈N |

σn(γ) ≥ (γ′) e σn(γ

′)≥ γ ⇔ 1σn(γ)≤ 1γ′ e 1σn(γ

′)≤ 1γ ⇔ −1γ′≤ −1σn(γ) e

−1γ ≤ −1σn(γ′) ⇔ t

−1γ′≥ t−1σn(γ)=lognt−1γ e t−1γ ≥t−1

σn(γ′)=logn(t−1

γ′ ) ⇔

t−1

γ′∼logt−1γ come richiesto. Q.E.D.

A che serve il teorema del rango logaritmico? Supponiamo di avere unacatena Γ0 di cardinalità κ, con κ cardinale regolare innito, e che Γ0 ammettauna famiglia di automorsmi crescenti di cardinalità 2κ, tutti di rango distin-to. Costruiamo, a partire da Γ0, la sua κ-sima potenza lessicograca iterataΓκ, il corrispondente gruppo di Hahn κ-limitato Gκ:=(RΓκ)κ e il campo diserie generalizzate K=R((Gκ))κ. Sotto queste ipotesi vale il prossimo:

Teorema: K ammette una famiglia di logaritmi surgettivi (e quindi di espo-nenziali) di cardinalità 2κ; per ognuno di questi esponenziali, (K, exp) é unmodello della teoria dei campi reali chiusi con funzione esponenziale. Inol-tre, i 2κ logaritmi sono tutti di rango logaritmico diverso, e tutti v-compatibili.

Dimostrazione: Per ogni σ0 automorsmo crescente di Γ0, si costruisceσ automorsmo di Γκ come esposto nel teorema di crescita. Sia l:=iκ σ elog il logaritmo che si ottiene a partire da l. Al variare di σ0 otteniamo 2κ

logaritmi: il teorema del rango logaritmico ci permettere di concludere, datoche nelle nostre ipotesi ogni logaritmo ha un rango logaritmico distinto daquelli di tutti gli altri, essendo distinti i ranghi degli automorsmi di parten-za. Q.E.D.

Nel teorema precedente tutto la liscio perché abbiamo assunto una pro-prietà di Γ0 veramente forte: deve possedere la massima quantità possibiledi automorsmi crescenti, aventi a due a due rango distinto. Una proprietàcosí particolare che ci spinge a porsi una (ultima) domanda: esiste una ca-tena che soddis questa proprietà? Ebbene si: le prossime due proposizionidimostrano che, dato un λ ordinale, la catena λ~

∐Q ammette una famiglia

di automorsmi crescenti di rango distinto di cardinalità 2max(card(λ),card(Q)).

Lemma: Sia I un insieme ordinato di indici, e (Γi, σi)| i ∈ I una fa-miglia di coppie insieme ordinato-automorsmo crescente. Sia Γ:=

∑i∈I Γi e

σ:=∑

i∈I σi (cioé σ|Γi = σi). Allora il rango di (Γ, σ) é∑

i∈Irango(Γi, σi).

Dimostrazione: Basta osservare che Γ/∼σ=∑

i∈I Γi/ ∼σi e ricordare cheil tipo d'ordine di una somma di insiemi bene ordinati é la somma ordinale

34

dei tipi d'ordine di tali insiemi. Q.E.D.

Una conseguenza importante di questo lemma é espressa dalla seguente pro-posizione:

Proposizione 1: Sia λ un ordinale, e Γ0=λ~∐Q. Per ogni α ∈ λ, sia

Qα la α-sima copia di Q. Si ssino σα e σ′α automorsmi di Qα di ranghi

rispettivamente 1 e Z. Per ogni sottoinsieme L di λ si denisca σL: σL|Qα:=1se α ∈ L, Z altrimenti. Il rango di σL vale allora

∑α∈λ δL(α), con δL(α):=

1 se α ∈ L, Z altrimenti.

Osservazione 1: Nel caso in cui λ sia innito, la cardinalità di λ~∐Q é proprio

λ.Osservazione 2: É possibile determinare σ e σ

′come nella proposizione 1:

posto σ(q) = q + 1, il suo rango é evidentemente uno (deriva dalla archi-medeicità di Q); per determinare σ

′si osserva dapprima che Q é isomorfo

a Z ~∐Q, e si denisce dunque σ′ ponendo, per ogni z in Z, σ′ |Qz l'automor-

smo di Qz che manda q in q + 1: si ottiene cosí per incollamento σ′; che

il suo rango sia Z é evidente, essendo l'insieme delle classi di equivalenzaisomorfo a Z (quest'ultimo fatto appare evidente una volta osservato che siha (z, q) ∼σ′ (z

′,q′)⇔ z = z

′).

Proposizione 2: Siano λ, L, δL, α come nella proposizione 1. Si pongainoltre ΩL :=

∑α∈λ δL(α). Allora ΩL' ΩL′⇔L = L

′.

Dimostrazione: L'implicazione ⇐ é ovvia. Si proverà soltanto ⇒.Sia f l'isomorsmo tra ΩL e Ω

′L. Per induzione transnita su α ∈ λ si proverà

che (1)f(δL(α))=δL′ (α). Da questo segue L = L′dato che (δL(α)=1⇔δL′ (α)=1)

⇔ L = L′.

Passo Base: Sia α=0. Se δL(0)=1 allora δL′ (0)=1 e vale (1), dato che fmanda il minimo elemento di ΩL nel minimo di ΩL′ . Se δL(0)=Z, si hache δL′ (0)=Z; dato che δL(0) é un segmento iniziale di ΩL, e δL′ (0) lo é diΩL′ (sempre a causa di f), é suciente far vedere che f(δL(0))⊆δL′ (0) peravere (1). Per assurdo valga f(δL(0))∩δL′ (1) 6= ∅. Possono succedere due ca-si: se δL′ (1)=1, allora 1 ha carattere sinistro ℵ0, il che é impossibile dato chenon esistono elementi di questo tipo in δL(0). Se δL′ (1)=Z, allora f(δL(0))ha un ℵ0ℵ0-gap, il che é impossibile perché non ci sono gap (di questo tipo)in Z.Caso Successore e Caso Limite: supponiamo che (1) valga per ogni α < µ <λ; si vuol mostrare che deve valere per µ. Per ipotesi induttiva sappiamo che

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f(∑

α<µ δL(α))=∑

α<µ δL′ (α), e quindi f(∑

τ>µ δL(τ))=∑

τ>µ δL′ (τ). Sfrut-tando queste due uguaglianze, é possibile ripetere lo stesso ragionamentofatto nel passo base, sostituendo ovunque a zero µ e ad 1 µ+1. Q.E.D.

Un corollario di questa proposizione é che, preso un κ cardinale regolareinnito, la catena Γ0=κ~

∐Q ammette una famiglia di 2κ automorsmi tutti di

rango distinto. Basta osservare che ad ogni scelta di un possibile sottoinsiemeL di κ si può associare un diverso automorsmo crescente, e che le possibiliscelte sono tante quante gli elementi di P(κ), cioé 2κ.Quindi, posto Γ0 = κ~

∐Q, e detta Γκ la sua κ-sima potenza lessicograca

iterata, si ha che, per ogni scelta di un automorsmo di Γ0, si può denire undiverso esponenziale su R(((RΓκ)κ))κ; si ottengono, in denitiva, 2κ modellidistinti di Texp, tutti (banalmente) isomor però come campi reali chiusi.

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