Trattamento dei dati sperimentali Errore associato alla misura degli... · Chimica Fisica II-Corso...

Chimica Fisica II-Corso di Laboratorio

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Corso di Chimica Fisica IICorso di Laboratorio

anno accademico 2012-2013

Dr. Christian Durante email : [email protected]: http://www.chimica.unipd.it/electrochem/ Tel. +390498275112

Trattamento dei dati sperimentaliErrore associato alla misura

Christian Durante

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La misura diretta di una grandezza fisica avviene attraverso ilconfronto con un’altra grandezza definita arbitrariamente comecampione. Così una grandezza fisica risulta caratterizzata dalla suadimensione (lunghezza, tempo, massa, etc.) e dalla suamisuraassociata alla relativa unità:

��: 3�; 2,5�; 1,1 ; 3,5�; ��La misura indiretta di una grandezza fisica avviene quando questa èlegata attraverso delle relazioni matematiche ad altre grandezzefisiche per esempio:

�� Δ�Δ� �/�

� � �� /��

� ��/��

La misura ed il suo errore




L’esecuzione della misura avviene utilizzando opportuni strumenti cheessendo degli oggetti reali permettono di conoscere il valore dellagrandezza misurata con una certaindeterminazione. Ogni strumentoè in grado di fornire delle misure di una grandezza partendo da unvalore minimo dettosoglia e fino ad un valore massimo che ne è laportata.Al di fuori dei limiti di soglia e portata la risposta dello strumento è in genere alterata, cosicché la corrispondenza tra questa e la grandezza da misurare non offre più sufficienti garanzie di riproducibilitàSi definisce pertanto come:sensibilità di uno strumentoil minimo valoredella grandezza che sivuole misurare ancora apprezzabile dallo strumento el’indeterminazione che ne segue nella misura della grandezza è dettoerrore di sensibilità.





Ne segue che il valore “vero” di una grandezza risulta comunque una

entità che non è possibile conoscere

il risultato è perciò sempre un numero che approssima il valore “vero”della grandezza misurata cioè la misura è affetta da errori che simanifestano quando la loro ampiezza supera l’errore di sensibilitàdello strumento.Una misura non è, in conclusione,mai esatta.





Errori sistematici: comportano incertezze sempre dello stesso segno(sovrastimano o sottostimano sempre il valore vero);• bilancia con braccio leggermente più lungo dell’altro, ponendo la

massa incognita sul piatto sospeso al braccio più lungo, i risultatiche si ottengono sono sempre in eccesso rispetto al valore vero.

• regolo in alluminio, questo è soggetto ad espansione o contrazionetermica in relazione alla temperatura a cui effettuo una serie dimisure. Così se eseguiamo delle misure di lunghezza con il regoloalla temperatura di 0°C e 50°C, i valori letti sarannosistematicamente in eccesso ed in difetto rispettivamente in quantoal diminuire della temperatura il regolo si contrae mentre adelevate temperature si dilata.





Gli errori sistematici si riducono utilizzando uno strumento di misuraopportunamente tarato e utilizzandolo nelle opportune condizioniambientali.gli errori sistematici possono essere causati principalmente da:• difetti costruttivi (bilancia),• difetti di taratura ,• Uso non corretto degli strumenti condotti in condizioni non

previsteLa misura ripetuta nelle medesime condizioni sperimentalinonelimina la presenza di questo tipo di errore. Spesso non è quindipossibile evidenziare questi errori se non con operando con strumentidiversi, meglio tarati e nelle condizioni ottimali di utilizzo.





Errori accidentali: sono di tipo casuale, quindi agiscono in entrambele direzioni fornendo valori in eccesso o in difetto rispetto al valorevero. A differenza dei precedenti possono venire scoperti e ridottiripetendo più volte la misura.

Le cause principali possono ricercarsi nel variare incontrollato dialcune condizioni sperimentali come latemperatura, pressione,umidità, corrente, tensione oppure per la presenza di disturbi originatisia dagli strumenti di misura che da fattori esterni all’esperimentoquali vibrazioni, campi elettrici e magnetici, polvere, errore divalutazione dell’operatore





La misura di una grandezza fisicaX non fornisce quindi un valorenumerico, bensì un intervallo, detto di confidenza, esprimibile come:

� � ! " + unità di misura (ad esempio: V = 56.4 ± 0.1 ml)

dove: rappresenta la migliore stima della grandezzaX; " rappresenta l’incertezza stimata di# ( $# > 0).

L’ incertezza definisce normalmente l’intervallo in cui il valore “vero”si trova con buona probabilità e non con certezza assoluta.





L’incertezza$# dipende, in generale, sia da fattori sistematici checasuali, per cui sarà ottenibile, essendo i due tipi di erroriindipendenti, come combinazione statistica (formula dipropagazione) di un $# %&%' e di un $# ())&* secondo la relazione:

$# � $# +,+�- ! $# .//,0-

Tuttavia, tranne rare eccezioni la componente sistematica dell’errore è trascurabile rispetto a quella accidentale

$# � $#.//,0



anno accademico2012-2013



Si definisce quindi:Incertezza assoluta (errore massimo): Δ l’incertezza che si consideraquando la grandezza fisica viene misurata una sola volta o quando lasensibilità strumentale non permette di evidenziare le fluttuazionicasuali che l’apparato.Ad esempio se definiamo frequenzaf di una certa misura il rapportoche si ottiene fra il numeron di volte che questa si è presentata con ilnumero totaleN di prove o misure effettuate cioè

1 � 23

Troveremo che l’errore massimo è associato ad una frequenza pari ad1 e quindi ogni valore di compreso tra−−−−" s e!!!! " è ugualmenteprobabile:




Si definisce inoltre

Incertezza relativa (errore relativo):∆ (adimensionale)

Incertezza relativa percentuale: 677 ∙ ∆ (adimensionale)

Dove∆ � " 9": - è definito errore di sensibilità





Accuratezza: è un indice dell’incertezza globale della misura; piùpiccola è l’incertezza relativa, più accurata è la misura. L’elevataaccuratezza implica quindi piccoli errori sia sistematici che accidentali.Non deve essere confusa con la precisione, anche se spesso i duetermini vengono usati come sinonimi.





Precisione: è un indice legato alla riproducibilità della misura. Una misura è molto precisa quando i risultati che si ottengono ripetendola più volte sono molto vicini tra loro, e quindi al valore medio; questo implica che gli errori casuali siano di piccola entità. La precisione è legata alla deviazione standard e risulta elevata se quest’ultima è bassa.





Cifre significative

Sia # che la relativa incertezza $#devono essere riportate con un corretto numero di cifre significative. Il numero di cifre significative lo determina sempre l’incertezza e si usa riportare: • per l’incertezza $# solamente una cifra significativa se la prima

cifra diversa da zero è ≥ 3, con possibilità di riportare due cifre significative negli altri casi.

• per # le cifre corrispondenti a quella/e di $#.

� � ! " �= 0.237 ± 0.003� = 0.24 ± 0.12




Arratondamento per eccesso o per difetto

1. Si sceglie il numero di cifre decimali da tenere.2. Si guarda la prima cifra decimale tra quelle da scartare.3. Se essa è maggiore o uguale a 5 si aumenta di 1 l’ultima cifra

decimale da tenere (arrotondamento per eccesso).4. Se essa è minore di 5 si lascia inalterata l’ultima cifra decimale

da tenere (arrotondamento per difetto).

Cifre significative

Esempio: si vuole arrotondare a 3 cifre decimali il numero 11.3567099.11.3567099

In rosso sono le cifre da tenere. La prima cifra da scartare, il 7 (inblu),essendo maggiore di 5, fa sì che il numero finale diventi

11.357L’arrotondamento eseguito è per eccesso.




È importante ricordarsi diarrotondare i valori determinati in baseal numero di cifre significative ed è opportuno usare la stessapotenza di 10 per# e $#. Se le migliori stime devono essere utilizzatein successivi calcoli, è necessario impiegare più cifre di quellesignificative (almeno una in più) per evitare errori di arrotondamento,ed arrotondare poi il risultato finale in base al relativo errore, calcolatomediante propagazione.

Cifre significative

Esempi: non corretto corretto

27.6±3 28±3

27.62±3.3 28±3

84.682±1.04 84.7 ±1.0

32.476 ±0.037 32.48±0.04

48.123 ±0.18 48.12 ±0.18

268.4±24 268±24

0.07864±0.00253 0.0786 ±0.0025 o meglio (7.86 ± 0.25)·10-2




Determinazioni singole e ripetute

Se è possibile effettuareuna sola misurazione la determinazionedell’incertezza risulta alquanto delicata e finisce spesso col basarsisolamente sul valore della sensibilità dello strumento utilizzato(indicata come Δ#, dettoerroremassimoD , con la conseguentepossibilità di ottenere un valore sottostimato.

Se è possibile effettuare più determinazioni sperimentali e se ilnumero di determinazioni è sufficientemente elevato posso effettuareunaderivazione statistica dell’erroredi $#, detto errore statistico

Allo scopo di determinare il valore dell’incertezza più significativa e poi definire l’intervallo # E $#:




Distribuzione gaussiana o normale delle misure

Se effettuamo un numeroN di misure sperimentali di una grandezzaF, che risulteranno distribuite in un intervallo più o meno ampioosserveremo che perN sufficientemente elevato molti valori (lamaggior parte) verranno letti più volte

Riportando in grafico i valoriottenuti in ascissa e, in ordinata, lafrequenza con cui un dato valore sipresenta, si ottiene un istogrammacon andamento a massimo centratonell’intorno di un certo valore.

1 � 23 G 1




Maggiore è il numero di acquisizione e più preciso sarà la definizione del massimo.

II massimo valore della curva sull’asse delle ordinate ci dà un’idea della precisione, rappresentando il numero di misure con scarto nullo rispetto alla media.





Il diagramma così ottenuto assume un andamento a campana caratterizzato da:


• gli scarti (# − #/ ) per eccesso odifetto hanno la stessa frequenza,quindi la curva è simmetrica;

• la curva tende asintoticamente azero su entrambi i lati, esisterà quindiun limite per gli scarti;

• gli scarti più piccoli sono piùfrequenti di quelli grandi;




• per N�∞ tale andamento è descrivibile statisticamente mediante larelazione di Gauss:

1 # � 1H 2I �#J − # − #/ -

2H-

• #/ rappresenta il centro della Gaussiana;

• σ è la confidenza ed e legata all’ampiezza della curva;

• f(x) rappresenta la probabilità (normalizzata) di rilevare una misura nell’intervallo compreso tra x e x + dx, ed è massima in corrispondenza di #/, che rappresenta la migliore stima di X.





Le probabilità di rilevare una misura all’interno ed all’esterno dell’intervallo #/ − KH L#/ ! KH mediante opportuna integrazione della funzione sono riportate nella tabella:

r Pinterna (%) Pesterna (%)

0.674 50 50

1 68 32

2 95.4 4.6

3 99.7 0.3

4 99.99 002


L’intervallo di confidenza a cui si fa normalmente riferimento è quello con il 68% di probabilità, definito dalla relazione F � #/ E H; negli intervalli #/ E 2H e #/ E 3H tale probabilità sale, rispettivamente, al 95.4 e 99.7%.




Nasce quindi il problema di come determinare #/ e H sulla base delle misure sperimentali

La statistica dimostra che date N misure ripetute #�, #-, #�, … . . , #O�,• la miglior stima di F, cioè #/ è pari al valore mediodelle #,

P � Q � ∑ STSU6T


la media di più misure ha un errore inferiore a quello delle singolemisure e diminuisce all’aumentare di3 ma èsempre vincolata dallaprecisione dello strumento impiegato.




la migliore stima di σ è σV , nota comedeviazione standard(incertezza media delle singole misure, scarto quadratico medio) edefinisce un intervallo di confidenza per la misura e non l'incertezzamedia della distribuzione.

W �∑ S − Q XTSU6

T− 6

La differenza#, − #� è dettaresiduo o scartoe indica quanto l’i-esima misura (#,) è lontana dalla media (#�). La media dei residui èsempre nulla. Per eliminare questo inconveniente si elevano alquadrato le deviazioni e poi si mediano.

Definizione statistica della misura




Nell’intervallo di confidenza con il 68% di probabilità F verrà definito dell’intervallo F � #� E HVLa deviazione standardHV è un indice di dispersione delle misuresperimentali intorno al valore atteso e associato alla precisione

ma non è l’errore da associare al valore medio!

l’incertezza espressa dallaHV diminuisce all’aumentare diN, in quantodipende solamente dalla presenza di errori casuali; non si deve tuttaviadimenticare che l’incertezza complessiva è legata, come già detto, allaprecisione dello strumento impiegato.

HV �∑ #, − #� -O,U�

3 − 1





l’errore della media rappresenta l’incertezza da associare al valoremedio determinato ed è dato dalla deviazione standard diviso la radicequadrata del numero delle misure:

" Q � W T

l’errore della media non deve essere confuso con la deviazionestandard, quindi il risultato della serie di misure deve essere espressonella forma:

F � #� E $VY





Se i dati sono soggetti a incertezze differenti ($VZ, $V[, $V\…….$V]), ècorretto effettuare una media “pesata” o “ponderale”; ciò può averesignificato, in particolare, quando ciascun valore#, è stato ottenuto asua volta da un insieme di determinazioni. La media “pesata” è espressadalla relazione:

#� � ∑ ^,#,O,U�∑ ^,O,U�

Dove^, � �_`

[ è il peso di ogni singola#,,

Media pesata

Esempio:se ho tre determinazioni di resistenza ed i rispettivi erroria� � 11 E 1^� � 1a- � 12 E 1^� � 1a� � 10 E 3 �̂ � 1/9




#� � ∑ ^,#,O,U�∑ ^,O,U�

� 1 ∙ 11 ! 1 ∙ 12 ! d19 ∙ 10D1 ! 1 ! 1/9 � 11,42Ω

l’errore che si assegna alla #� si ottiene applicando le formule della propagazione degli errori calcolabile mediante la relazione :

HV �1∑^,

Per l’esempio riportato si ottiene

HV �1∑^,

� 11 ! 1 ! 1/9 � 0,69

hQ � 66, i E 7, jk

Media pesata




Eliminazione di alcuni dati utilizzati nel calcolo della mediaUn valore utilizzato nel calcolo della media può essere scartato sesufficientemente lontano dal valore medio trovato, tenendo conto delsignificato statistico delle misure. Ad esempio, la probabilità di trovareun valore sperimentale al di fuori dell’intervallo#� E 2HV è di circa il5%, e scende allo 0.3% se si considera l’intervallo#� E 3HV. Ciòsignifica che con 100 punti sperimentali è probabile che circa 5 punticadano al di fuori del primo intervallo, e che nessuno si trovi al di fuoridel secondo; con 10-20 punti ci si attende al massimo un puntonell’intervallo più stretto.Questo permette di scartare quindi, nelle normali condizionioperative, i punti per i quali S − Q l XW mnW ; una voltascartati questi punti è necessario, ovviamente, ricalcolare i valori di Q e di W .




Esempio: si effettuano 10 determinazioni di una lunghezza #46; 48; 44; 38; 45; 47; 58; 44; 45; 43

Il valore 58 risulta anomalo, e se non ci sono motivazioni per scartare il punto per un’acquisizione grossolana della misura si determinano valore medio e deviazione standard:

#� � 45,8HV=5,1La differenza tra valore sospetto e valore medio è:

#, − #� � 58 − 45,8 � 12,2 � 2,4HVQuindi la misura può essere rigettata, in tal caso ricalcolo valore medio e deviazione standard:

#� � 44,4HV=2,9




Le relazioni di tipo statistico risultano valide se applicate ad un numerosufficientemente elevato di dati sperimentali (almeno una decina dipunti sperimentali). In caso contrario, si considera sempre comemigliore stima diF il valore medio, ma per quanto riguarda l’incertezzaci si deve accontentare di stime più grossolane. In quest’ultimo casonormalmente si considerano come incertezze:

perN ≤ 3 lasemidispersione massima, definita come#�.V − #�,p

2per 3 <N < 10 l’errore medio , definito come

∑ #, − #�O,U�3

Determinazione del valore medio con pochi dati sperimentali




si

si

Misure ripetute indipendenti N>10

Calcolo della media aritmetica

#� � ∑ V`]̀qZO

Calcolo della deviazione standard

HV � ∑ V`rVY []̀qZOr�

Ci sono dei punti da scartare?

#, − #� l 2s3HV

Scarto dei punti

Calcolare l’errore della media

$VY=tuO

no

semidispersione massima #�.V − #�,p

2

errore medio

∑ #, − #�O,U�3

Riassumendo




Propagazione degli errori

Spesso capita che il valore della grandezza che si vuole determinarenon è misurabile, ma deve essere ricavato a partire da misure di altregrandezze ad essa correlate. Ad esempio, se volessi determinare l’erroresulla concentrazione espressa dalla formula:

v � ��

Noto l’errore $� sulla massa di soluto pesato e l’errore $w sul volume di soluzione, come si ricava l’errore sulla concentrazione $x

$x �$�$w

Assolutamente no!!!!!




La relazione che lega le tre variabilic, m e V, è una relazione di tipofunzionale (la grandezza concentrazione è espressa in funzione dellealtre due):� � 1d�, �D.Generalizziamo e consideriamo una generica funzionef di N variabili#�, #-, #�, …..#O : y � 1 #�, #-, #�, … . . #O . Noti gli errori $V` sullesingole variabili,come si ricavaz e l’errore ad essa associato ?

Se supponiamo che per ognuna delle grandezzeF, sia nota la migliorestima#, e la relativa incertezza$V`

F, � #, E $V`La teoria dimostra chela migliore stima (z) della grandezza{ è ilvalore da essa assunto in corrispondenza delle migliori stime dellegrandezze�S.





L’incertezza della | è legata al modo in cui le singole incertezze delle F,si combinano, sommandosi o sottraendosi.

Secondo lateoria della propagazione degli errori, applicabile se leincertezze delleF, sono percentualmente piccole (l’errore relativo$V` /#, è al massimo pari a qualche unità percentuale), si possono

considerare due situazioni limite a seconda che l’errore sulle grandezzemisurate sianomassimi(assoluti) ostatistici :


• Propagazione in quadratura

• propagazione dell’errore massimo




Propagazione in quadratura

Se le incertezze $V`sono tutte indipendenti tra loro (errori statistici), per stimare l’incertezza della | si utilizza la seguente relazione:

$} �~1~#�

-$VZ- ! ~1

~#--$V[- …… .! ~1

~#O-$V]-

Che nella forma generale diventa

"z � � �� S

X" SX

T

SU6




Nel caso particolare di una funzione ad una sola variabile la formula sisemplifica in

$} �~1~# $V

Tale metodo di determinazione va applicato, come detto, quando leincertezze relative alle grandezzeF, sono casuali (cordella metricatarata e sufficientemente sensibile) e quindi possono sia sommarsi cheparzialmente compensarsi.





� � ∙ �2 � 2.2 ∙ 5.12 � 5.61

Se determino le derivate parziali delle singole variabili ottengo:~1~� �

� �2;

~1~� �

� �2

Che inserite nella formula di propagazione in quadratura

$� ��2

-$�- !

�2

-$�-

Che risolta permette di ottenere:

$� �2.22

-d0.2D-! 5.1

2-d0.1D-� 0.3

Quindi il valore dell’area del triangolo opportunamente arrotondata ed il suo errore saranno

� 5.6 E 0.3

Esempio 1: Ricavare l’area ed il suo errorePropagazione in quadratura




Esempio 2: Il calcolo dell’errore sulla concentrazione può essere determinato conoscendo$�sulla massa di soluto pesato e l’errore$� sul volume di soluzione. Supponiamo diavere� � 1.05 E 0.01� e� � 15.8 E 0.1��

v � �� 6.6455 ∙ 10r-Se determino le derivate parziali delle singole invariabili ottengo:

~1~� �

� 1�;

~1~� �

� − ��-

Che inserite nella formula di propagazione in quadratura

$x �1�

-$�- ! − �

�--$�-

Che risolta permette di ottenere:

$x �1

15.8-d0.01D-! 1.05

249.64-d0.1D-� 7 ∙ 10r�

Quindi il valore della concentrazione opportunamente arrotondata ed il suo errore sarannov � 6.64 ∙ 10r- E 0.07 ∙ 10r- M





$� �1�

-$�- ! − �

�--$�-

Se passo all’errore relativo la formula si semplifica in

$xv � $x

�-! $�

�-

$x � v $x�

-! $�

�-

$x � 6.6455 ∙ 10r- ∙ 0,011,05

-! 0,1

15,8-� 7,59 ∙ 10r�




Trovare l’errore associato a � accelerazione di gravità definita dalla funzione di oscillazione del pendolo semplice

� � 4I-��- � 4I-��r-

In questo caso ho due variabili �che è la lunghezza equivalente del pendolo fisico e � è il periodo di oscillazione del pendolo. Utilizzo quindi la formula generale

$} � � ~1~#,

-$V`-

O

,U�

Esempio 3: Propagazione in quadratura




Determino le derivate parziali~1~� �

� 4I-�-; ~1~� �

� 4I-�d−2�r�DSostituisco nella formula

$} � 4I-�- -$�- ! −4I-�2�r� -$�-Se passiamo all’errore relativo

$}y �

4I-�- -$�- ! −4I-�2�r� -$�-4I-��r-

Ottengo

$}y � $�-

� - ! 4 $�-� -




Esempio 4: Determinazione degli errori sulla costante di cellaχ

� � v�x��x� � 1.060��r�

Dove v�x� è stato determinato sperimentalmente come (1.333·± 0.001) 10-3 mentreκ�� 1.4143 E 0.0027 mScmr� . Se l’errore sulla conduttanza è la sensibilitàstrumentale. L’errore sulla costante di cella si determinacon la formula dipropagazione in quadratura che nel caso specifico risulta :

$�� $x

v-! $�

�-

E quindi

$� � � ∙ �.��.��

- ! �.��-��.��

-$� � 1.060 ∙ 0.00075 - ! 0.00190 -$� � 0.00217mS cm-1

Si scriverà quindi � E "� � 6. 7�77 E 7. 77XX Q�PQr6





Propagazione dell’errore massimo

Se ci sono motivi per ritenere che le incertezze$V` possanoprevalentemente sommarsi e quindi più che con errori statistici ho ache fare con un errore massimo∆#,, allora è più corretto considerarecome incertezza dellaY l’errore limite propagato, definito come:

∆y � ~1~#� ∆#� !

~1~#- ∆#- !⋯… . . ! ~1

~#O ∆#O

Che nella forma generale diventa

∆z �� S ∆ S

T

SU6




Nel caso particolare di una funzione ad una sola variabile l’erroremassimo propagato e l’errore propagato in quadratura coincidono nellaformula semplificata:

$} �~1~# $V

Nel caso di funzioni di più variabili, il valore assoluto assicura che nonvi siano parziali cancellazione degli errori qualora le derivate abbianosegno alcune positivo, altre negativo. Inoltre, i valori assoluti ciassicurano che lapropagazione dell’errore avvenga nel modo piùpessimista possibile. L’errore massimo propagato risulta ovviamentemaggiore di quello propagato in quadratura (o al massimo uguale adesso).





y � #� − #-Eseguendo le derivate parziali e applicando la formula di propagazione degli errori massimi vista in precedenza ( con i valori assoluti!) si ha:

~1~#� � 1; ~1~#- � −1

Inserite nella formula di propagazione dell’errore assoluto ottengo∆y � 1 ∙ ∆#� ! −1 ∙ ∆#-

Cioè∆y � ∆#� ! ∆#-

Esempio 1:Data la funzione



Propagazione dell’errore massimoEsempio 2: sia � � 2.5 E 0.3 ; � � 1.2 E 0.1 �,determinare � � �/�• � � +

� ��.�-.� � 2.08333……m/s

��

! �¡¡

•¢w¢+ � �

�� ;

¢w¢� + � − +

�[

• Δ� � ¢w¢+ � Δ� !

¢w¢� + Δ�

• Δ� � £+� !− +

�[ Δ�•

¤ww � �.�

-.�!�.��.- � 0.20333

• ¥� � � �.�-.�!

�.��.- � 2.08333 ∙ 0.20333 � 0.42361. . ¦ 0.4�/�

� � X. 6 E 7. i§/¨




Esempio 3 Determinare il momento d'inerzia di un cilindro pieno di raggior =(20.0 ± 0.1) mmmassam=(500.00 ± 0.05) g

il valor medio del momento d'inerzia del cilindro pieno è

• ©� � �-�K- �

�- ∙ 500g ∙ 20��

- � 0.1��-

• Δ©� � ¢«Y¢� ¬ Δ� ! ¢«Y

¢¬ � ΔK•

¢«Y¢� ¬ �

�- K-;

¢«Y¢¬ � � �K

• Δ©� � £�- K- !�KΔK

• � 0.5 ∙ 20�� - ∙ 0.05� ! 500� × 20 mm × 0.1 mm= 1010 ¦ 0.001g m2

Q � 7. 677 E 0.00.00.00.000001111g m2




Esempio 4: Si vuole determinare la quantità di calore prodotto da unacorrente ® � 5 che passa per un tempo� � 600� in unaresistenza a � 10Ω con un errore relativo massimo$¯ �6%. Determinare la precisione relativa richiesta agli strumenti.

La quantità di calore è

che differenziata fornisce¯ � a®2�

• Δ¯ � ¢±¢² ,,� Δa ! ¢±

¢, ²,� Δ® !¢±¢� ²,, Δ�

•¢±¢² ,,� � ®-�; ¢±

¢, ²,� �2Rit;¢±¢� ²,, � a®-

• Δ¯ � ®-�Δa ! 2RitΔ® ! a®-Δ�




•£±± � £²

² ! 2 £,, !

£�� $² ! 2$, ! $� � 0.06�

quindi l'errore relativo è

Se vogliamo che ogni addendo sia circa uguale agli altri deve essere

$² � $� � 0.02�$, � 0.01s

vale a dire che la corrente deve essere misurata con precisione doppia rispetto alla resistenza ed al tempo. Gli errori assoluti ammessi nelle tre misure sonoΔa � $² ∙ a � 0.02 ∙ 10 � 0.2ΩΔ� � $� ∙ � � 0.02 ∙ 600 � 12�Δ® � $, ∙ ® � 0.01 ∙ 5 � 0.05


´µ � ¶h·•P : è la pressione del gas; •V : è il volume occupato dal gas; •n : è il numero di moli del gas; •R : è la costante dei gas perfetti, pari a 8,314 J·K-1·mol-1; •T : è la temperatura assoluta del gas, in kelvin.

Esempio 5: Si può utilizzare la legge dei gas perfetti come esempio:

¸ � 2a��

Δ¸ � 2a� Δ� ! 2�

� Δa ! a�� Δ2 ! 2a�

�- Δ�

�´´ � �·

· ! �hh ! �¶

¶ ! �µ

µ




Qualora si combinino tra loro incertezze derivanti da poche misure, percui l’incertezza è valutata comesemidispersione massimao relative avalori tabulati per i quali l’incertezza venga valutata solamente sullabase del numero di cifre riportate (tipo valori di densità, prodotto disolubilità, etc.)è opportuno calcolare l’incertezza della| come errorelimite. Nel caso in cui alcune delle grandezzeF, siano accompagnate daincertezze di carattere statistico e le altre no, in tali casi la formula dautilizzare è quella degli errori massimi (propagazione limite) dove perògli errori di origine statistica sono stati opportunamente trasformati inerrori massimi. Poiché la probabilità che un valore della grandezza#cada all’esterno di un intervallo centrato sul valore medio e disemiampiezza pari a3HV è trascurabile, si può identificare questo valorecome l’errore massimo¥# cioè

¥# � 3HV





Funzione Propagazione limite Propagazione in quadratura

| � F� ! F- Δy ¦ Δ#� ! Δ#- $} ¦ $VZ- ! $V[-

| � F� ! F- Δy ¦ Δ#� ! Δ#- $} ¦ $VZ- ! $V[-

| � F�F- Δyy � Δ#�

#� ! Δ#-#-

$yy � $#�

#�-! $#-

#--

| � F�F -

Δyy � Δ#�

#� ! Δ#-#-

$yy � $#�

#�-! $#-

#--

| � ¹F�Dove B è un numero esatto

Δy � ¹ Δ#� $} � ¹ $VZ





Funzione Propagazione limite Propagazione in quadratura

| � � F Δyy � 0.5 Δ##

$}y � 0.5 $V#

| � �F�F- Δyy � Δ#�

#� ! Δ#-#-

$yy � $#�

#�-! $#-

#--

| � �F�F-r� Δyy � Δ#�

#� ! Δ#-#-

$yy � $#�

#�-! $#-

#--





Funzione Derivata Propagazione in quadratura

| � ��2 vF ~1~F � � 1

F $} � � $VF

| � ��#J vF ~1~F � v�#J vF $}

y � v$V

| � F��#J vF-

~1~F� º[

� �#J vF

~1~F- ºZ

� vF��#J vF$} � lndv#-D$VZ !

#�#- $V[





Se Y è espressa come prodotto di più termini, si ricava facilmente una relazione tra le incertezze relative.

$}y � $.

½-! $�

�-! $/

�-

nel caso in cui si abbia la somma di più termini complessi, occorre calcolare i differenziali; ad esempio,

| � ¹v ! v

¹$} � �

� !�� $.

-! ½

� −��- $�

-! −½�

�- !½� $/

-





È opportuno notare che non è corretto considerare l’incertezza della Y come somma delle incertezze complessive relative ai due termini AB/C e AC/B, cioè:

$} � $.� /¾- ! $./ �¾

-perché calcolando le incertezze relative a questi separatamente, si ottiene un errore che risulta maggiore del precedente. È opportuno quindi applicare la propagazione direttamente all’equazione che lega la grandezza incognita a quelle note; tuttavia, se la combinazione delle espressioni intermedie non comporta semplificazioni di grandezze, i due metodi risultano del tutto equivalenti.





Se si fa uso didati tabulati , i quali spesso sono riportati nei manualisenza le corrispondenti incertezze si conviene che il dato venga riportatoin modo tale che l’intervallo d’incertezza massimo abbia un’ampiezzacorrispondente ad unaunità dell’ultima cifra significativa , cioè siapari a± 1 unità dell’ultima cifra.Le costanti di tipo matematico(quali π, e, ...) sono normalmente notecon un numero di cifre significative estremamente elevato, per cui èsufficiente utilizzare un numero tale per cui l’incertezza che ne derivasia uno o due ordini di grandezza al massimo più piccola di quelle chederivano dai dati sperimentaliLe costanti di tipo fisico (Faraday, R, ...) Se il numero di cifre significative di cui si dispone è sufficientemente elevato possono essere trattate come le costanti di tipo matematico; in caso contrario, si deve tener conto del contributo della loro incertezza





Regole di Scrittura

I nomi delle unità di misura vanno sempre scritti in carattere minuscolo, privi di accenti o altri segni grafici. Es: ampere, non Ampère. I nomi delle unità non hanno plurale. Es: 3 ampere, non 3 amperes. I simboli delle unità di misura vanno scritti con l'iniziale minuscola, tranne quelli derivanti da nomi propri. Es: mol per la mole, K per il kelvin.I simboli non devono essere seguiti dal punto (salvo che si trovino a fine periodo). I simboli devono sempre seguire i valori numerici . Es: 1 kg, non kg 1.




Il prodotto di due o più unità va indicato con un punto a metà altezza o con un piccolo spazio tra i simboli Es: N·m oppure N m. Il quoziente tra due unità va indicato con una barra obliqua o con esponenti negativi. (es.: J/sopp. J s-1).

Regole di Scrittura




Unità Fondamentali

Grandezza fisica

Simbolo della

grandezza

fisica

Nome dell'unità SISimbolo dell'unità

SI

Intensità di

correnteI, i ampere A

Intensità

luminosaIv candela cd

Lunghezza l metro m

Massa m chilogrammo kg

Quantità di

sostanzan mole mol

Temperatura

termodinamicaT kelvin K

Tempo t secondo s




Grandezza fisica SimboloNome

dell'unità SI

Simbolo

dell'unità SI

Equivalenza in termini di

unità fondamentali SI

frequenza f, ν hertz Hz s−1

forza F newton N kg · m · s−2

pressione p pascal Pa N · m−2= kg · m−1 ·

s−2

energia E, Q joule J N · m = kg · m2 · s−2

carica elettrica q coulomb C A · s

potenziale

elettrico, V, E volt V J · C−1

= m2 · kg · s−3

· A−1

resistenza

elettricaR ohm Ω V · A−1

= m2 · kg · s−3

· A−2

conduttanza

elettricaG siemens S A · V−1

= s3 · A2 · m−2

· kg−1

capacità elettrica C farad F C · V−1= s4 · A2 · m−2

· kg−1

Unità derivate




induttanza L henry H V · s · A−1= m2 · kg · s−2

· A−2

temperatura T grado Celsius °C K

area A metro quadro m² m2

volume V metro cubo m³ m3

densità ρchilogrammo al

metro cubokg/m³ kg · m−3

volume specifico m3 · kg−1

molarità M mol · dm−3

volume molare Vm m3 · mol−1

capacità termica,

entropiaC, S J · K−1

= m2 · kg · s−2

· K−1

calore molare,

entropia molareCm, Sm J · K−1 · mol−1

= m2 · kg · s−2

· K−1 · mol−1

calore specifico,

entropia specificac, s J · K−1 · kg−1

= m2 · s−2 ·

K−1

Unità derivate




viscosità cinematica,

coefficiente di

diffusione

η m2 · s−1

viscosità dinamica ρ N · s · m−2= Pa · s

= m−1 · kg · s−1

densità di carica

elettricaC · m−3 = m−3 · s · A

densità di corrente

elettricaj A · m−2

conduttività elettrica κ S · m−1= m−3 · kg−1 · s3 ·

A2

conduttività molare ρ S · m2 · mol−1= kg−1 · mol−1 · s3 ·

A2

permittività elettrica ε F · m−1= m−3 · kg−1 · s4 ·

A2

Unità derivate




Unità non SI accettate dal SistemaInternazionale

Nome SimboloEquivalenza in termini di unità

fondamentali SI

minuto min 1 min = 60 s

ora h 1 h = 60 min = 3 600 s

giorno d 1 d = 24 h = 86 400 s

grado ° 1º = (π/180) rad

minuto primo ′ 1′ = (1/60)° = (π/10 800) rad

minuto secondo ″ 1″ = (1/60)′ = (π/648 000) rad

ettaro ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2

litro L 1 L = 1 dm3 = 10−3 m3

tonnellata t 1 t = 103 kg

Trattamento dei dati sperimentali Errore associato alla misura degli... · Chimica Fisica II-Corso...

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