Trasformazioni di Lorentz, Quadrivettori, Impulso ed

Angoli

Trasformazioni tra Sistemi di Riferimento

• Quantita’ di interesse in un esperimento: sezioni d’urto, distribuzioni angolari, polarizzazioni. – Confrontabili con teoria

• Misura di queste quantita’ e’ indiretta. • Richiede misura diretta di energie, impulsi, angoli

• E’ importante capire come queste quantita’ cambiano o

restano invariate al cambiare del sistema di riferimento inerziale usato per la misura

• Normalmente: alte energie e velocita’ prossime alla velocita’ della luce occorrono trasformazioni conformi ai principi della relativita’ ristretta.

2 Fabrizio Bianchi

Trasformazioni di Lorentz • Per due riferimenti in configurazione tipica:

• TdL: legano coordinate di un evento in due sistemi di riferimento – Estensione dell’idea di punto geometrico: Fenomeno localizzato nello

spazio e nel tempo – Es.: Flash luminoso, decadimento di un atomo eccitato

3 Fabrizio Bianchi

Trasformazioni delle Velocita’

Fabrizio Bianchi 4

( )

z

zz

z

yy

z

xx

zyx

zyx

uc

cuuu

c

uu

uc

uu

dzc

dtdtcdtdzdzdydydxdx

dtdzu

dtdyu

dtdxu

dtdzu

dtdyu

dtdxu

ββ

βγβγ

βγβγ

−

−=

−

=

−

=

−=−===

===

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1';

1';

1'

';';';'

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'''

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Prendendo i differenziali delle TdL:

TdL e Rotazioni (1) • TdL mescolano coordinate spaziali e temporali

– Naturale paragone con rotazioni spaziali attorno ad un asse

• Invariante per rotazioni spaziali: distanza euclidea fra due punti.

• Invariante per trasformazioni di Lorentz: 4-intervallo tra due punti

5 Fabrizio Bianchi

TdL e Rotazioni (2)

Fabrizio Bianchi 6

TdL e Rotazioni (3)

Fabrizio Bianchi 7

TdL e Rotazioni (4)

Fabrizio Bianchi 8

TdL e Rotazioni (5)

Fabrizio Bianchi 9

TdL e Rotazioni (6)

Fabrizio Bianchi 10

TdL e Rotazioni (7) • Cos’e’ η0 ?

• Osservazione: • Per due rotazioni successive gli angoli si sommano

• Per due TdL successive le velocita’ non si sommano: – Conseguenza della trasformazione relativistica delle velocita’

• η0 e’ un parametro additivo delle TdL – Significato al momento non chiaro

Fabrizio Bianchi 11

TdL e Rotazioni (8)

Fabrizio Bianchi 12

TdL e Rotazioni (9)

Fabrizio Bianchi 13

TdL e Rotazioni (10) • Classificazione delle grandezze fisiche rispetto alle

loro proprieta’ di trasformazioni rispetto a rotazioni: – Scalari – invarianti (massa, energia, temperatura…) – Vettori – come le coordinate (posizione, velocita’,

forza…) – Tensori – come i momenti d’inerzia (momenti d’inerzia,

momenti di quadrupolo…)

• Classificazione delle grandezze fisiche rispetto alle loro proprieta’ di trasformazioni rispetto a TdL: – Scalari – invarianti (intervallo tra eventi, massa a

riposo…) – 4-Vettori – come le 4-coordinate (4-impulso, 4-

potenziale) – Tensori – come il campo e.m

Fabrizio Bianchi 14

4-Vettori • Ha 4 componenti

– Punto di vista geometria tridimensionale: 1 scalare + 1 vettore

• L’indice µ corre da 0 a 3 – Componente “0” e’ quella di tipo “tempo”

• Modulo quadro e’ indipendente dal sistema di

riferimento

Fabrizio Bianchi 15

Componenti Covarianti e Controvarianti

• Covarianti

• Controvarianti

• Norma

• Prodotto interno

• Tensore metrico

• Fa passare dalle componenti covarianti a quelle controvarianti:

Fabrizio Bianchi 16

Ancora su TdL e Rotazioni • In spazio non Euclideo ogni vettore ha due tipi di

componenti – Vero anche per vettori 3-D

• Spazio di Minkowsky e’ pseudo-euclideo – Ogni 4-vettore ha due tipi di componenti

• Riassumendo:

Fabrizio Bianchi 17

4-Impulso • Diversi 4-vettori di interesse per le razioni tra particelle

elementari. Il piu’ importante e’ il 4-impulso:

• dove:

• m e’ la massa a riposo della particella

• L’invariante associato al 4-impulso e’:

• E coincide con l’energia a riposo della particella associata con la sua massa.

• D’ora in poi usero’ le unita’ naturali h=c=1

• Relazioni tra energia, impulso e massa:

Fabrizio Bianchi 18

TdL del 4-Impulso

Fabrizio Bianchi 19

• Le componenti trasversali rimangono invariate • Conveniente scomporre il vettore p in componenti trasversa e parallela rispetto a velocita’ relativa dei sistemi di riferimento

Trasformazioni del 3-Impulso (1) • Trasformazione di angoli e moduli degli impulsi nel

pallare dal sistema del CM al sistema del Lab

• Sfera degli impulsi: – Particella con impulso di modulo p* nel CM – Vettore p* riempe una superficie sferica di raggio p*

nello spazio 3-dimensionale degli impulsi

Fabrizio Bianchi 20

Trasformazioni del 3-Impulso (2) • Tdl da CM a Lab: • Sostituendo in equazione sfera:

• Che e’ equazione di elissoide

Fabrizio Bianchi 21

Trasformazioni del 3-Impulso (3)

Fabrizio Bianchi 22

Trasformazioni degli Angoli (1)

Fabrizio Bianchi 23

Sistema LAB:

Sistema CM:

Angoli nel CM in funzione di quantita’ misurate nel LAB

Trasformazioni degli Angoli (2) • Con un po’ di algebra: • Anvendo definito la velocita’ della particella

nel LAB come:

Fabrizio Bianchi 24

• Formula inversa:

Relazione Impulso-Angolo nel LAB (1)

• Particella nel CM con angolo qualsiasi e impulso fissato:

• Le TdL rilevanti sono:

• Si puo’ scrivere:

Fabrizio Bianchi 25

Relazione Impulso-Angolo nel LAB (2)

Fabrizio Bianchi 26

Relazione Impulso-Angolo nel LAB (3)

Fabrizio Bianchi 27

Relazione Impulso-Angolo nel LAB (4) • Consideriamo il caso:

• Allora θ puo’ assumere tutti i valori tra 0 e π. Inoltre:

• Solo la soluzione con segno “+” e’ accettabile Fabrizio Bianchi 28

Relazione Impulso-Angolo nel LAB (5)

• Altro caso:

• L’argomento della radice e’ positivo quando:

• Inoltre tutte e due le soluzioni sono positive. – Per ogni angolo misurato nel LAB ci sono due valori

dell’impulso (corrispondenti a diversi angoli di emissione nel CM)

Fabrizio Bianchi 29

Relazione Impulso-Angolo nel LAB (6)

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