Lezione 4 Cenni di relatività speciale: trasformazioni di Lorentz, invarianti di Lorentz, variabili...

Lezione 4• Cenni di relatività speciale:

trasformazioni di Lorentz, invarianti di

Lorentz, variabili di Mandelstam, relazioni fondamentali: massa, impulso, energia

• Esercizi

• Sistema di riferimento del c.m. e laboratorio

Relatività speciale (cenni)

Perchè è necessaria la relatività speciale per descrivere le particelle elementari?

Perchè le particelle sono soggette a reazioni in cui vengono create o distrutte, pertanto la loro energia di massa fa parte del bilancio energetico globale

Perchè in genere le particelle quando vengono accelerate dagli acceleratori hanno velocità elevate (v ~ c). In tale situazione la meccanica classica non è più applicabile.

Einstein (1905): 1) le leggi fondamentali della fisica hanno la stessa forma in

tutti i sistemi di riferimento di Lorentz, cioè in moto relativo traslatorio

uniforme; 2) la velocità della luce c è indipendente dal sistema di riferimento.

Pertanto non solo le coordinate spaziali si modificano passando da un

S.R. all’altro, ma anche quelle temporali: t’ ≠ t poichè c’ = c: un lampo di

luce emesso allo stesso istante t0=t0’=0 dall’origine di S.R. e S.R.’ (O≡O’ a

t0=t0’=0), raggiungerà un punto P per i due osservatori a tempi diversi:

c2t2 = r2 = x2 + y2 + z2 per S.R.

c2t’2 = r’2 = x'2 + y’2 + z’2 per S.R.’La velocità della luce è la massima esistente in natura (pari a circa 300000 Km/s) Nessuna interazione è istantanea

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz

Se il sistema di riferimento S.R.’ si muove parallelamente all’asse z di S.R. con velocità v= c, le coordinate rispetto a S.R.’ di un punto dello spazio-tempo sono legate a quelle rispetto a S.R. dalle trasformazioni di Lorentz:

z

c

β-tγt' βct)γ(z z' y y' x x'

Se differenziamo dx’, dy’ e dz’ e dt’ e ne facciamo i rapporti, che ci forniscono la velocità v0’del punto P nel sistema S.R.’:

c

v β e

β1

1 γ :dove

2


dt'

'rdv '

0

si ottengono le trasformate per le velocità, che nel caso particolare v0=c, forniscono c’=c.N.B. Nel caso particolare v<<c si ha ~0 ~1 e si ritrovano le trasformate di Galileo (in particolare l’uguaglianza tra i tempi nei due sistemi di riferimento: t’=t)

Le coordinate spazio-temporali di un punto possono essere considerate come le quattro componenti di un quadri-vettore:

Il vettore x è chiamato “vettore controvariante” Il tensore metrico g cosi definito:

1000

0100

0010

0001

gg μνμν

consente di passare dal vettore controvariante al vettore “covariante” x: x= ( ct, -x, -y, -z)

x= ( ct, x, y, z ) x0 = ct x1 = x x2 = y x3 = z

1 se = 0 se ≠

dove: gg=

=

x = g x

QUADRIVETTORI


Le coordinate spazio-temporali del punto in un nuovo sistema che si muove con velocità bc rispetto al precedente sono legate a quelle nel vecchio sistema dalle trasformazioni di Lorentz, che possono essere cosi riscritte, adoperando una notazione matriciale:

x’= x

γ00βγ

0100

0010

βγ00γ

Λ νμ

c

v β

β1

1 γ

2

QUADRIVETTORI (continua)


QUADRIVETTORI (continua)Per definizione, un insieme A di quattro quantità che, nel passaggio tra due S.R. di Lorentz, si trasformi come x viene chiamato quadri-vettore. Anche l’energia e l’impulso formano un quadrivettore:

)βpγ(EE E)βγ(p 'p p 'p p 'p zzzyyxx '

Se il sistema di riferimento S.R. è quello in cui la particella è a riposo, avremo:

p= ( E/c, px, py, pz ) p’= p

px = 0 py = 0 pz = 0 E = m (m=massa a riposo)

In un sistema S.R.’ in moto con velocità –lungo z rispetto ad esso, la particella avrà il seguente quadrimpulso:

px’ = 0 py’ = 0 pz’ = m E’ = m


Ponendo c = 1, il quadrimpulso diventa: p= ( E, px, py, pz )

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz QUADRIVETTORI (continua)

Anche le derivate temporale e spaziali possono formare un quadrivettore

covariante:

∂= ( 1/c ∂ ∂t , ) (c=1) ∂= ( ∂ ∂t , )

e il corrispondente controvariante sarà il vettore:

∂= ( ∂ ∂t , - )

Lo scalare di Lorentz è una quantità che rimane invariata per trasformazioni di Lorentz. Esso è ottenibile dal prodotto scalare tra due quadri-vettori:

A= ( A0, Ax, Ay, Az) B = ( B0, Bx, By, Bz)

A · B = AB = AB

= gAB=

= A0 B0

- Ax Bx - Ay By - Az Bz =

= A0 B0

- A B

INVARIANTI DI LORENTZ


ESEMPI DI INVARIANTI DI LORENTZ

s2=xx= g xx= (ct)2 – r2 = 0

Quadrato del quadrivettore spazio-tempo di un evento situato in x


x=ctx=-ct

PASSATO

FUTURO

Ox

ct

Il cono luce delimitato dalle rette x=± ct rappresenta la zona di spazio-tempo nella quale un osservatore posto in O (t=0, x=0) può andare nel futuro o dalla quale può essere provenuto dal passato.

Consideriamo due eventi nello spazio tempo x1 e x2

di cui facciamo il quadrato:

s122= c2 (t1 – t2)2 – ( r1 – r2 )2

Se ( r1 – r2 )2 = c2 (t1 – t2)2 ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga alla velocità della luce, cioè tra di essi vi può essere una relazione di causa-effetto.

Se i due punti distano in modo tale che: ( r1 – r2 )2 > c2 (t1 – t2)2 ciò significa che i due punti non potranno mai essere collegati da un segnale, perchè questo dovrebbe propagarsi a velocità superiore a quella della luce, cioè tra di essi non vi potrà mai essere una relazione di causa-effetto.

Se i due punti distano in modo tale che: ( r1 – r2 )2 < c2 (t1 – t2)2 ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga a velocità inferiore a quella della luce, cioè tra di essi vi potrà essere una relazione di causa-effetto.

Essendo s12 uno scalare e quindi un invariante, il segno di tale quantità sarà lo stesso in tutti i sistemi di riferimento e pertanto, se due eventi sono in relazione di causa-effetto in un sistema essi lo saranno anche in tutti gli altri.

Pertanto in qualunque sistema avremo:

Quadrato del quadri-impulso:

p2 = E2 – p2

Quadrato dell’operatore quadri-gradiente:

∂= ( ∂ ∂t , ) ∂= ( ∂ ∂t , - )

= ∂ ∂= ∂2/ ∂t2 - 2 DALAMBERTIANO

ESEMPI DI INVARIANTI DI LORENTZ (continua)

Essendo questa quantità un’invariante di Lorentz, possiamo calcolarla nel sistema di riferimento in cui la particella è in quiete, nel quale valgono le seguenti relazioni:

p = 0

E = m

p2 = E2 – p2 = m2


Relatività speciale - Cinematica

CONSERVAZIONE DEL QUADRIMPULSO TOTALE

In un sistema di due (o più) particelle interagenti, le particelle prodotte nello stato finale devono avere un quadrimpulso totale uguale a quello iniziale.

1

2

3

4

n

n

1i

μi

μ2

μ1 ppp

= 0 conservazione dell’energia totale

= 1,2,3 conservazione delle tre componenti dell’impulso

2n43

221 )p...p(p)p(p

Relatività speciale - Cinematica

SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL LABORATORIO

È il sistema nel quale la particella bersaglio (2 ad es.) è a riposo e la particella proiettile è in movimento (1 ad es.):

)0;(mp)p;(Ep 2LAB2

LAB

1LAB1

LAB1

Supponiamo di avere solo due particelle uscenti (3 e 4). I loro quadrimpulsi:

2LAB4

LAB3

2LAB1

LAB1

LAB

4

LAB

3

LAB

1

LAB4

LAB32

LAB1

)p(p)p(p

ppp

ΕΕmΕ

)p;(Ep)p;(EpLAB

4LAB4

LAB4

LAB

3LAB3

LAB3

dovranno soddisfare alle relazioni:

Relatività speciale - Cinematica (continua)

SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA

È il sistema nel quale le particelle iniziali (e quindi anche finali) hanno impulso totale nullo. Pertanto le due particelle iniziali hanno tri-impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso:

21 EEEE 43

22

22

21

21 m)p(Εm)p(Ε

)p;(Ep)p(Ep 2211

;Le loro energie saranno invece diverse:

Le due particelle uscenti 3 e 4 dovranno avere quadrimpulsi ed energie:

)p;(Ep)p;(Ep 4433

''

che soddisfano alla seguente relazione:

24

24

23

23 m)p'(Εm)p'(Ε


INVARIANTI CINEMATICI

Per ovviare al problema dovuto al fatto che in ogni sistema di riferimento i quadrimpulsi e le relazioni cinematiche tra essi sono differenti, si possono introdurre delle quantità invarianti, che hanno lo stesso valore in ogni sistema.

Prendiamo la reazione 1+2 3+4

1

2

3

4

p1

p4

p3

p2


INVARIANTI CINEMATICI (continua) - VARIABILI DI MANDELSTAM

Le seguenti quantità sono invarianti cinematici (uguali in ogni S.R.):

s = ( p1 + p2)2 = ( p3 + p4)2

t = ( p1 - p3)2 = ( p2 - p4)2 VARIABILI DI MANDELSTAM

u = ( p1 - p4)2 = ( p2 - p3)2

p1

p2

p3

p4s

p1

p2

p3

p4

t

p1

p2

p3

p4

u


INVARIANTI CINEMATICI (continua) - VARIABILI DI MANDELSTAM

Nel sistema del CM avremo:

s = ( p1* + p2*)2 = ENERGIA TOTALE NEL C.M.

= (E1* + E2*)2 - ( p* - p*)2 = (E1* + E2*)2

s = ( p3* + p4*)2 = (E3* + E4*)2

Solo due di essi sono linearmente indipendenti in quanto essi sono legati dalla relazione:

s + t + u = (p1 + p2)2 + (p1 - p3)2 + (p1 + p4)2 =

= p1 2 + p2

2 + 2 p1 p2 + p1

2 + p3 2 - 2 p1 p3 + p1

2 + p4 2 - 2 p1 p4 =

= (p1 2 + p2

2 + p3 2 + p4

2) + 2 ( p1 ( p1 + p2 ) - p1 ( p3 + p4

)) =

ma: p1 + p2 = p3 + p4 s + t + u = m12+m2

2+m32+m4

2

ATTENZIONE DEVI AGGIUNGERE UNA TRASPARENZA LEZIONE 4_NEW 1 settimana

Come conseguenza delle trasformate di Lorentz si ha il fatto che gli intervalli di tempo cambiano da un sistema di riferimento all’altro. Questo è particolarmente evidente nel decadimento di una particella in volo. Se la sua vita media quando essa è a riposo, quando si muove di velocità v decadrà rispetto all’osservatore del laboratorio con una vita media ’:

’ = Poichè > 1, ciò significa che nel sistema in cui la particella si muove, essa verrà vista decadere dopo un tempo maggiore rispetto alla sua vita media (cioè al tempo di decadimento nel sistema in cui è a riposo). Consideriamo ad esempio il muone che ha = 2.2s. Se esso possiede un’energia di 50 GeV, la sua vita media misurata in laboratorio sarà: ’ = = E/ (mc2) = ×50 GeV/(0.106 GeV) = = 500 = 1100 s =1.1 ms

Relatività speciale- La dilatazione dei tempi

Due piccoli accorgimenti per fare dei calcoli:

1) ħc = hc/(2) = 1.055 10 -34 J s × 3 × 10 8 m s-1 =

~ 3. × 10 -26 J m

Come abbiamo visto prima:

1 eV = 1.602 × 10-19 J

=> 1 J = 1 eV / (1.602 × 10-19 ) = 0.624 × 1019 eV

Dunque:

ħc = 3. × 10 -26 J m = 3 × 10 -26 × 0.624 × 1019 eV m =

= 1.9 × 10 -7 eV m = 1.9 × 10 -7 × 10 -6 eV × 10 15 fm =

= 1.9 × 10 2 MeV fm ~ 200 MeV fm

N.B. 1fm = 10 -15 m

2) = e2 / ħc = 1/137 (costante di struttura fine adimensionale)

=> e2 = ħc a = 200 MeV fm 1/137 = 1.44 MeV fm

Esempio: Calcolare l’impulso di un pione avente un’energia cinetica di 200 MeV

T = E – m => E = T + m = 200 MeV + 135 MeV = 235 MeV Calcolare l’energia cinetica di un protone avente un impulso di 5 MeV/c

E = [p2 + m2]½ = [ 5 MeV2 + (938.56 MeV)2]½ =

= [ 25. MeV2 + 88. × 104 MeV2 ]½ ~ 9.39 × 102 MeV

T = E – m = 9.39 × 102 MeV - 938.56 MeV =

= 0.0133 MeV = 1.33 × 10-2 MeV

N.B. Poichè (pc)<< mc2 possiamo anche applicare la formula classica:

T = p2 / 2m = (5 MeV)2 / (2 × 938.56 MeV) =

= 25. MeV2/(1.877 × 103 MeV) = 1.33 × 10-2 MeV

Calcolare l’impulso di un kaone avente energia cinetica 1GeV

m = 493.6 MeV/c2

E = T + m = 1 GeV + 0.493 GeV = 1.493 GeV

E = [p2 + m2 ]1/2 p2 = E2 - m2 = (1.493 GeV)2 – (0.4936 GeV)2 =

= 2.229 GeV2 - 0.244 GeV2 = 1.985 GeV2

p = (1.985 GeV2 ) = 1.41 GeV/c

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