Impulso trasverso dei quark 6.1 Impulso trasverso dei quark ... 2.11 si ottengono altre condizioni a...
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE DIPARTIMENTO DI FISICA Tesi di Laurea Triennale in Fisica Impulso trasverso dei quark A.A. 2013-2014 Candidato: Albi Kerbizi Relatore: Anna Martin
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE
DIPARTIMENTO DI FISICA
Tesi di Laurea Triennale in Fisica
Impulso trasverso dei quark
A.A. 2013-2014
Candidato: Albi Kerbizi
Relatore: Anna Martin
2
Indice Introduzione.................................................................................................................................3
1 Sezioni d'urto .......................................................................................................................5
2 Elementi di Elettrodinamica Quantistica ..............................................................................8
2.1 L'equazione di Dirac .....................................................................................................8
2.2 Onde piane .................................................................................................................10
2.3 Il fotone ......................................................................................................................15
2.4 Regole di Feynman per l'Elettrodinamica Quantistica ................................................18
2.5 Scattering elastico elettrone-muone ..........................................................................21
3 Deep inelastic scattering ....................................................................................................28
4 Verso il modello a partoni ..................................................................................................34
5 Quark e gluoni ....................................................................................................................40
6 Il processo SIDIS .................................................................................................................44
6.1 Impulso trasverso dei quark .......................................................................................47
7 Asimmetrie azimutali integrate ..........................................................................................54
8 Prima estrazione di ...............................................................................................56
9 Estrazione di nel caso di dipendenza degli impulsi trasversi da e ...................63
Conclusioni..................................................................................................................................68
Appendice A................................................................................................................................70
Appendice B................................................................................................................................72
3
Introduzione
L'obiettivo principale in questa tesi è lo studio dell'impulso trasverso dei quark all'interno del nucleone, la cui esistenza è richiesta per descrivere numerosi effetti tra cui le asimmetrie azimutali misurati in processi di diffusione profondamente inelastica "semi-inclusivi" (Semi-Inclusive Deep Inelastic Scattering, SIDIS), precisamente processi , dove lo stato iniziale è costituito da un nucleone bersaglio e un leptone incidente . Nello stato finale si osserva il leptone diffuso e almeno un adrone ; individua uno stato adronico generico non osservato. L'esistenza dell'impulso trasverso
è l'ingrediente fondamentale dell'asimmetria azimutale dovuta
all'effetto Cahn, oggetto di analisi dei dati di questa tesi.
Nella descrizione di processi semi-inclusivi si utilizzano funzioni covarianti di variabili cinematiche invarianti, chiamate funzioni di struttura. Tali funzioni che in uno schema di fattorizzazione si esprimono come combinazioni lineari di prodotti delle densità di quark (Parton Distributions Functions, PDF's, o Transverse Momentum Dependent Probability Distribution Functions, TMD PDF's, quando si considera il momento trasverso intrinseco dei partoni) e delle funzioni di frammentazione (Fragmentation Functions, FF) non sono ottenibili dalla teoria e vengono determinate sperimentalmente.
In questo studio non si pretende di ricavare rigorosamente la sezione d'urto per il processo SIDIS, data l'immensa teoria richiesta, ma viene ricavato in modo rigoroso la sezione d'urto DIS. Tuttavia nei primi Capitoli si studia il formalismo generale per le sezioni d'urto introducendo la "Regola D'oro" di Fermi in una formulazione covariante (Capitolo ), presentando un cenno alla descrizione dell'interazione elettromagnetica nel framework della Elettrodinamica Quantistica (QED), in particolare studiando le relative regole di Feynman, e calcolando la sezione d'urto elastica elettrone muone, la stessa dell'interazione elettromagnetica elettrone-quark (Capitolo ). Nel Capitolo viene presentato lo studio del processo di Deep Inelastic Scattering (DIS) mentre nel Capitolo vengono discusse le indicazioni che attraverso questo processo hanno portato alla scoperta e alla formulazione del modello a partoni. Nel Capitolo sono presentate alcune caratteristiche dei quark.
L'excursus teorico ha lo scopo di preparare all'introduzione al SIDIS come estensione naturale del DIS senza risolverne la cinematica e la dinamica. In un primo momento viene introdotto il SIDIS per poi descrivere e commentare la sezione d'urto includendo l'impulso trasverso dei quark (Capitolo ). Nel Capitolo l'asimmetria azimutale dovuta all'effetto Cahn presente nella sezione d'urto SIDIS per un processo non polarizzato è discussa da un punto di vista teorico e ne viene ricavata l'espressione esplicita in funzione di impulsi trasversi medi, PDF e FF nel caso di dipendenza gaussiana dagli impulsi trasversi. L'analisi fenomenologica delle misure eseguite nell'esperimento COMPASS [1], che consiste nell'estrazione del valor medio del
4
modulo quadro dell'impulso trasverso dei quark , è presentato e discusso nei
Capitoli 7-8. Nel Capitolo 9 si considera una dipendenza degli impulsi trasversi dalle
variabili cinematiche per descrivere l'asimmetria misurata. La tesi si conclude
con alcune considerazioni finali.
5
1 Sezioni d'urto
Le sezioni d'urto sono quantità fondamentali per confrontare misure sperimentali e predizioni teoriche in fisica nucleare e in fisica delle particelle. In Meccanica Quantistica non relativistica si deriva, in teoria delle perturbazioni dipendente dal tempo, la regola d'oro di Fermi la quale permette di ricavare una formulazione generale della sezione d'urto, anche se non relativistica. In meccanica quantistica relativistica si può dare una ricetta generale per la costruzione della sezione d'urto in un processo del tipo 1+2 -> 3 + 4 + ...+ n. Come riportato in [2] la sezione d'urto si può scrivere come
1.1
dove sono il quadrimomento e la massa della particella j-esima, è l'elemento
di matrice che descrive l'interazione tra la particella 1 e la 2, S è un fattore statistico che tiene conto di eventuali particelle identiche (se per esempio il processo è del tipo vale , ). Questa formula richiede di integrare l'elemento di matrice su tutti i quadri-momenti p+-ossibili delle particelle uscenti (cioè sullo spazio delle fasi) sotto i vincoli:
Il quadri-momento totale si deve conservare:
Ogni particella finale deve essere "on mass shell":
Le energie delle particelle uscenti devono essere positive:
Per poter utilizzare questa formula bisogna semplificarla ulteriormente. Osserviamo che l'elemento di volume nello spazio quadridimensionale è dato da dove e identificano rispettivamente la parte temporale e spaziale del generico quadri-momento p. Ricordiamo inoltre una proprietà generale della delta
. In questo caso si ha:
1.2
Eseguendo gli integrali in tenendo conto che la funzione
seleziona solo il
valore positivo per si ottiene
6
1.3
con la condizione
.
Consideriamo ora il caso particolare di urto a due corpi sia nello stato iniziale che nello stato finale. Il processo, nel sistema di riferimento del laboratorio, cioè con la particella 2 (bersaglio) a riposo, è riportato in Fig. 1.1:
Fig. 1.1:Urto a due corpi nel sistema del laboratorio.
Quindi la particella 1 con quadri-momento urta contro la particella 2 ferma nel sistema del laboratorio ed esce con quadrimomento , mentre è il quadrimomento finale della particella 2. La forma esplicita dei momenti è:
1.4
Calcolando i fattori che moltiplicano l'integrale e l'integrale stesso (Appendice A) otteniamo una formula finale per la sezione d'urto differenziale:
1.5
Molto spesso la massa della particella incidente si può trascurare rispetto alle altre energie in gioco. Sotto questa condizione l'espressione 1.5 si semplifica ulteriormente.
Infatti se è trascurabile
e
e si ha
1.6
Inoltre per la conservazione del quadri-momento si ha . Elevando al quadrato entrambi i membri di quest'ultima espressione e ricordando che la massa è trascurabile (questo implica
) risulta:
7
1.7
Per la conservazione dell'energia si ha e sostituendo nella 1.7, dopo qualche passaggio algebrico, si ottiene
1.8
e sostituendo nella 1.6 si ha
1.9
Infine sostituendo la 1.9 nella 1.5 si ottiene per la sezione d'urto differenziale nel sistema del laboratorio:
1.10
Inoltre dalla 1.8, esplicitando per :
1.11
Osserviamo pertanto che e quindi dipendono dall'angolo di diffusione .
Partendo dalla 1.1 eseguendo gli integrali presenti nella formula originaria siamo arrivati alla 1.10 scrivendo un'espressione semplice per la sezione d'urto differenziale senza conoscere la forma esplicita dell'elemento di matrice M, cioè senza conoscere la dinamica del processo. Tuttavia, è necessaria una precisazione sulla dipendenza di M dalle variabili cinematiche: M può dipendere da tutti e quattro i quadri-momenti ma e sono fissati ( non sono variabili di integrazione). Le variabili su cui si integra sono e . Dopo aver eseguito l'integrazione sulla componente temporale di queste rimangono solo . Inoltre dopo l'integrazione in la delta che assicura la conservazione del momento esegue la sostituzione . Pertanto l'unica variabile di integrazione dalla quale dipende M è e poiché M è uno scalare la dipendenza è ristretta a combinazioni di e . Pertanto l'elemento di matrice dipende da e dall'angolo di diffusione .
8
Con un procedimento analogo si può calcolare la sezione d'urto differenziale nel
sistema del centro di massa (CM) dove per definizione vale .
L'espressione per la sezione d'urto è (senza trascurare la massa della particella
incidente)
1.12
dove è il modulo del momento delle particelle uscenti mentre quello delle
particelle entranti. Anche se la notazione è la stessa di quella usata in LAB, le energie e i momenti sono calcolati nel centro di massa. Riportiamo per completezza anche il
valore di
calcolato in CM. L'algebra in questo caso è più complicata del calcolo eseguito nel sistema di riferimento del laboratorio (LAB) e si ottiene:
1.13
2 Elementi di Elettrodinamica Quantistica
Per scrivere completamente la sezione d'urto differenziale bisogna conoscere l'elemento di matrice M, ciò che descrive la dinamica dell'urto. In seguito verranno considerati solo urti tra particelle di spin 1/2, cioè particelle di Dirac. Queste particelle sono descritte mediante l'equazione di Dirac e quindi le regole di Feynmann per l'Elettrodinamica.
2.1 L'equazione di Dirac
L'equazione di Dirac è l'equivalente relativistico dell'equazione di Schröedinger con la differenza che non descrive particelle scalari ma particelle con spin. Un modo per scrivere l'equazione di Schröedinger è di partire dall'Hamiltoniana classica
2.1
eseguire le sostituzioni
, (2.2) e facendo agire tutto sulla funzione
d'onda . Si ottiene in questo modo l'equazione di Schröedinger
2.2
9
Come è ben noto quest'equazione non è relativistica. Per descrivere particelle relativistica bisogna partire dall'Hamiltoniana di una particella relativistica, cioè dalla relazione di energia-momento (chiamata anche mass-shell) che si può scrivere come
.
Ricordiamo che dato un campo scalare (non indichiamo il vettore posizione nello spazio di Minkowski con l'apice greco , ma semplicemente ) possiamo costruire il
vettore covariante
Pertanto
,
è la generalizzazione
relativistica del gradiente tridimensionale
. In analogia con la
sostituzione 2.2 possiamo ottenere la generalizzazione relativistica e
sostituendola nella 2.3 otteniamo
2.6
dove
. Facendo agire la (2.6) su una funzione d'onda otteniamo
l'equazione di Klein-Gordon:
2.7
Quest'equazione descrive particelle scalari di spin 0 (è un'equazione scalare) ed è un'equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine sia nel tempo che nello spazio. Il fatto che sia del secondo ordine nel tempo la rende incompatibile con l'interpretazione probabilistica di Born delle funzioni d'onda. Cioè le densità di correnti che si scrivono a partire da quest'equazione non sono densità di correnti di probabilità. Per avere un'equazione relativistica compatibile con l'interpretazione probabilistica Dirac partì dal fattorizzare la relazione di mass-shell 2.3 che possiamo scrivere
2.8
per certe costanti , con . Svolgendo i prodotti nel membro di sinistra dell'equazione fattorizzata otteniamo
)
2.9
Poiché questo deve essere uguale alla relazione di mass-shell non fattorizzata, bisogna chiedere che il termine lineare sia nullo e questo implica che ,
pertanto deve valere . Esplicitando entrambi i membri della
2.11 si ottengono altre condizioni a cui devono soddisfare i coefficienti :
2.12
10
Ora, non è possibile trovare delle quantità scalari che soddisfino le relazioni 2.12 ma
solo matrici.
Queste relazioni si possono scrivere in maniera compatta introducendo
l'anticommutatore tale per cui date due matrici generiche A,B si ha che
.
Le 2.12 diventano allora
2.13
dove è il tensore metrico nello spazio di Minkowski .
Otteniamo in questo modo l'equazione di Dirac
2.14
In genere si definisce questa come equazione di Dirac ma si potrebbe considerare anche
2.15
Le più "piccole" matrici che rendono possibile scrivere l'equazione di Dirac sono matrici 4x4 e una possibile forma è la seguente:
2.16
dove 1 indica la matrice identità 2x2 mentre le sono le matrici di Pauli:
2.17
L'equazione di Dirac quindi è un set di quattro equazioni differenziali del primo ordine sia nel tempo che nello spazio. Le soluzioni sono oggetti a quattro componenti e sono noti come spinori di Dirac oppure bi-spinori. La generica funzione d'onda sarà pertanto
del tipo
.
2.2 Onde piane
E' noto dalla meccanica quantistica non relativistica che l'equazione di Schröedinger per particelle libere ammette come soluzione onde piane: queste formano un set
11
completo sulla base delle quali si può espandere una generica funzione d'onda. Anche l'equazione di Dirac (2.14) ammette come soluzioni onde piane. Per verificarlo consideriamo una qualsiasi onda piana della forma
2.2.1
dove è una costante di normalizzazione mentre e è il parametro e il rispettivo bi-spinore da determinare in modo che sia soddisfatta l'equazione (2.14).
A tale scopo inseriamo la 2.2.1 nella 2.14. La derivata è:
2.2.2
e inserendo nella 2.14 si ottiene
2.2.3
cioè un'equazione puramente algebrica. Inoltre
2.2.4
Scriviamo il bispinore come e sostituendo della 2.2.3 otteniamo
l'equazione
2.2.5
Le componenti del bispinore devono soddisfare pertanto
2.2.6
e quindi sostituendo la seconda della 2.2.6 nella prima
2.2.7
La 2.2.7 ammette la soluzione banale solo se anche
, quindi a meno
di non considerare la soluzione banale, che sarebbe equivalente in questo caso a non avere alcuna funzione d'onda, la 2.2.7 implica che
12
2.2.8
Inoltre
2.2.9
Pertanto, con qualche calcolo algebrico,
2.2.10
Infine la 2.2.8 diventa
2.2.11 cioè la relazione di mass-shell
con
2.2.12 E' chiaro allora che affinché la 2.2.1 sia soluzione dell'equazione di Dirac deve essere un quadrivettore legato in maniera semplice al quari-momento della particella mediante la 2.2.12. Ricordando che la componente tempo del quadri-momento è
legata all'energia della particella, cioè
, dalla 2.2.12 segue che le onde piane
possono descrivere particelle con energia sia positiva negativa. L'interpretazione di questo risultato è la seguente: stati con energia positiva descrivono particelle che si "muovono in avanti nel tempo" mentre stati con energia negative descrivono "antiparticelle con energia positiva".
Dalla 2.2.6 possiamo costruire quattro soluzioni linearmente indipendenti nel modo seguente
2.2.13
2.2.14
Nella 2.2.13 è stato utilizzato il segno positivo della 2.2.12 altrimenti si incontra una
divergenza in per , cioè quando si considera il limite di una particella a riposo.
Al contrario, in 2.2.14 è stato utilizzato il segno negativo. In accordo con
l'interpretazione riportata poco sopra in merito a stati con energia positiva e negativa
concludiamo che la 2.2.13 descrive stati di particelle mentre la 2.2.14 stati di
antiparticelle.
13
Scrivendoli esplicitamente i bispinori sono:
2.2.15
dove N indica un coefficiente di normalizzazione. Il vincolo sulla normalizzazione può
essere scelto in vari modi:
,
. Più frequentemente si
utilizza il terzo e in questo caso si ha
2.2.16
Precisiamo che dato lo spinore , è il trasposto complesso coniugato di , cioè
2.2.17
pertanto . Nelle 2.2.15 e 2.2.16 abbiamo utilizzato la lettera per le particelle e per le antiparticelle. Osserviamo inoltre che le particelle soddisfano l'equazione di Dirac nello "spazio dei momenti"
2.2.18
mentre le antiparticelle
2.2.19
La 2.2.18 e la 2.2.19 si ottengono dalla 2.2.3 inserendo la relazione 2.2.12 rispettivamente con il segno positivo e negativo.
14
Generalizzando le matrici che descrivono lo spin in meccanica quantistica non
relativistica [2]
2.2.20
si può vedere che sono autostati di solo nel caso in cui
cioè moto lungo l'asse z. Allora rappresentano
rispettivamente particelle con spin "up" e spin "down", mentre antiparticelle con spin "up" e spin "down".
Dato che l'equazione di Dirac descrive particelle e antiparticelle con spin 1/2 relativistiche, è naturale chiedersi come cambia sotto una trasformazione di Lorentz un generico spinore di Dirac. Senza darne la dimostrazione ([2]), per una trasformazione di Lorentz ad un altro sistema di riferimento inerziale in moto rettilineo uniforme con velocità v rispetto all'asse x, il generico bi-spinore nel nuovo sistema di riferimento diventa dove la martice è data da
2.2.22
con
2.2.23
Osserviamo che non è un invariante di Lorentz, infatti
2.2.24
in quanto ( indica la matrice identità 4x4).
Ispirandosi al prodotto scalare nello spazio di Minkowski dove il tensore metrico è
, quindi si richiede un cambiamento di segno nella parte
spaziale, si scopre che per avere bi-spinori Lorentz-invarianti bisogna introdurre
l'aggiunto di uno bi-spinore nel seguente modo:
2.2.25
15
Con qualche calcolo algebrico, una volta osservato che
2.2.26
si dimostra che lo scalare
2.2.27
è Lorentz-invariante. Infatti, nel nuovo sistema di riferimento inerziale la 2.2.27 diventa
2.2.28
Inoltre si deriva che la 2.2.27 è anche invariante per trasformazione di parità, pertanto è uno scalare.
2.3 Il fotone
L'elettrodinamica classica è fondata, come noto, sulle equazioni di Maxwell che presentiamo qui scritte nel sistema Gaussiano cgs:
2.3.1
Dato una configurazione di cariche e di correnti le soluzioni di queste equazioni sono l'evoluzione temporale e spaziale dei campi elettrico e magnetico . In una notazione relativistica e sono le componenti di un unico tensore del secondo ordine antisimmetrico, chiamato "tensore elettromagnetico" e si indica con . L'espressione esplicita è la seguente
2.3.2
Le densità di carica e di corrente costituiscono un quadrivettore "quadri-densità"
2.3.3
16
Le equazioni di Maxwell non omogenee si possono scrivere in funzione del tensore
elettromagnetico e della quadri-densità di corrente come
2.3.4
Poiché il tensore elettromagnetico è antisimmetrico segue
2.3.5
cioè la quadri-corrente è conservata, questa è l'equazione di continuità nota dall'elettrodinamica classica che esprime la conservazione della carica elettrica. Le equazioni omogenee implicano che
2.3.6
dove è il potenziale vettore,
2.3.7
Poiché in generale per un generico campo scalare , la 2.3.7 implica
2.3.8
V è noto come potenziale scalare. I campi nel formalismo relativistico sono rispettivamente la componente tempo e spazio del quadrivettore potenziale
2.3.9
L'introduzione dei potenziali permette di scrivere il tensore elettromagnetico come
2.3.10
Di conseguenza le equazioni di Maxwell non omogenee 2.3.4 diventano
2.3.11
17
Come è noto dall'elettrodinamica classica, l'equazione 2.3.10 è gauge invariante. Per
convincersi di questo consideriamo la trasformazione di gauge
2.3.12
dove è la funzione di gauge. Inserendo 2.3.12 nella 2.3.10
2.3.13
Supponendo che sia lecito scambiare le derivate (considerando quindi una funzione di gauge sufficientemente regolare) la 2.3.13 implica
2.3.14
cioè il tensore elettromagnetico è gauge-invariante e quindi lo sono anche i campi elettrico e magnetico.
Si può sfruttare l'invarianza di gauge per imporre condizioni aggiuntive sul quadrivettore potenziale. Possiamo scegliere per esempio la gauge di Lorentz
2.3.15
Supponiamo ora di essere nello spazio vuoto, in assenza di cariche. Possiamo scegliere allora . La gauge di Lorentz diventa la gauge di Coulomb:
2.3.16
Questa gauge è particolarmente semplice ma rompe il formalismo covariante richiesto dalla relatività ristretta (in linea di principio ad ogni trasformazione di Lorentz dovremmo trovare una gague differente per mantenere invariante l'equazione 2.3.16). A questo punto siamo in grado di trovare la funzione d'onda di un fotone. L'equazione 2.3.11 con la scelta 2.3.16 implica
2.3.17
cioè il quadrivettore potenziale soddisfa un'equazione d'onda. Riprendiamo ora l'equazione di Kleind-Gordon (2.7) con la condizione (il fotone ha massa nulla), si ottiene
2.3.18
18
Confrontando con la (2.3.17) risulta chiaro che la funzione d'onda del fotone è il
quadrivettore potenziale
Come per l'equazione di Dirac, cerchiamo soluzioni ad onda piana della forma
2.3.19
dove a è un fattore di normalizzazione, è il vettore polarizzazione mentre
) è il quadri-momento del fotone. Inserendo nella 2.3.17 otteniamo il
vincolo
2.3.20
cioè la relazione di mass-shell per il fotone, come ci si aspettava (essendo il fotone una particella con massa nulla).
La condizione di gauge di Lorentz 2.3.15 impone
2.3.21
inoltre la gauge di Coulomb richiede che , pertanto
2.3.22
Quindi un fotone è polarizzato trasversalmente e osserviamo che ci sono solo due stati di polarizzazione indipendenti: se supponiamo che la direzione del moto sia lungo l'asse z, si possono scegliere i due vettori di polarizzazione
2.3.23
2.4 Regole di Feynman per l'Elettrodinamica Quantistica
In questo paragrafo verranno presentate le "regole di Feynman per la QED" come riportate in [2], pertanto senza alcuna dimostrazione. Tali regole descrivono la dinamica dell'interazione elettromagnetica, permettono quindi di determinare l'elemento di matrice che compare nella 1.1. Prima della ricetta su come scrivere esplicitamente tale l'elemento di matrice, è utile avere una visione d'insieme su ciò che si conosce, fino a questo punto, in merito alle particelle-antiparticelle di Dirac e al fotone.
19
Elettroni e positroni liberi con quadri-momento
ed energia
sono descritte dalle funzioni d'onda
2.4.1
dove è l'indice che individua i bi-spinori 2.2.15 per gli elettroni e 2.2.16 per i positroni. Tali spinori soddisfano l'equazione di Dirac nello spazio dei momenti
2.4.2
mentre i loro aggiunti soddisfano le equazioni
2.4.3
Inoltre essi sono ortogonali e normalizzati
2.4.4
2.4.5
Essi sono completi, dove la completezza è intesa nel senso
2.4.6
2.4.7
Consideriamo ora un fotone con momento
energia
. E' descritto
dalla funzione d'onda
2.4.8
dove indica i due stati di polarizzazione. I quadrivettori polarizzazione soddisfano la gauge di Lorentz
2.4.9
20
sono ortogonali rispetto al prodotto scalare nello spazio di Minkowski e normalizzati
2.4.10
2.4.11
Inoltre nel gauge di Coulomb si ha
2.4.12
I tri-vettori polarizzazione soddisfano la relazione di completezza nel senso
2.4.13
Presentiamo ora le regole citate poco sopra. Per calcolare l'elemento di matrice , bisogna procedere nel modo seguente. Tracciamo, inizialmente, il diagramma di Feynman relativo al processo che vogliamo studiare come in Fig. 2.1.
Per scrivere l'elemento di matrice proseguire nel seguente modo:
1. Notazione: Ad ogni linea esterna associare un quadri-momento . Accanto ad ogni linea disegnare una freccia per indicare la direzione del moto avanti nel tempo. Per ogni linea interna (rappresentate in Fig 2.1 mediante il cerchio tratteggiato) associare un momento ; Accanto ad ogni linea interna disegnare una freccia indicante la direzione di moto positiva assegnata arbitrariamente.
2. Linee esterne: Per ogni linea esterna disegnare i seguenti elementi
Fig. 2.1 Diagramma di Feynman per un processo generico.
21
3. Fattori di vertice: Ogni vertice contribuisce con un fattore , dove
(
è la costante di struttura fine).
4. Propagatori: Ogni linea interna contribuisce con un fattore
per elettroni
e positroni, e con
per fotoni ( è il tensore metrico, è l'unità immaginaria
dei numeri complessi). 5. Conservazione dell'energia e del momento: Per ogni vertice scrivere il contributo
, con i quadrimomenti che costituiscono il vertice ( per le frecce entranti per le frecce uscenti).
6. Integrare su tutti i quadri-momenti interni: Per ogni quadri-momento interno
scrivere un fattore
e integrare su tutto lo spazio dei momenti.
7. Cancellare la funzione delta: Il risultato includerà un termine che esprime la conservazione del quadri-momento totale. Cancellare questo fattore e moltiplicare per . Quello che rimane è .
8. Anti-simmetrizzazione: Includere un segno meno tra diagrammi che differiscono solo per lo scambio di due elettroni entranti o uscenti, due positroni entranti o uscenti, oppure per lo scambio di un elettrone entrante con un positrone uscente (o viceversa).
2.5 Scattering elastico elettrone-muone
Per chiarire le regole esposte nel paragrafo precedente, proponiamo ora di calcolare la sezione d'urto, nel sistema del laboratorio, relativa allo scattering elastico elettrone-muone: entrambe sono particelle elementari, il muone è il fratello "maggiore" dell'elettrone, ed interagiscono mediante l'interazione elettromagnetica. Questo non vuole essere solo un esercizio per familiarizzare con le regole di Feynman per la QED, ma è lo stesso processo che descrive l'interazione elettromagnetica leptone-quark, nell'urto profondamente inelastico tra un leptone e un nucleone (protone o neutrone).
22
Cominciamo con il calcolo dell'elemento di matrice che descrive la dinamica del
processo: supponiamo a tal fine di descrivere l'interazione mediante lo scambio di
un solo fotone virtuale (naturalmente questa è un approssimazione, anche se piuttosto
efficace in quanto scambi di ulteriori fotoni contribuiscono con potenze superiori alla
seconda di , e quindi danno contributi piccoli essendo
. Consideriamo
pertanto il diagramma di Feynamn in Fig. 2.5.1.
Consideriamo la linea "fermionica" del muone.
i. Il muone in uscita contribuisce con lo spinore aggiunto ii. Seguendo all'indietro la linea del muone in uscita si incontra un vertice il quale
contribuisce con il termine
iii. Oltre al vertice si incontra il muone in entrata, esso contribuisce con lo spinore
Scrivendo tutti gli elementi insieme si ottiene per la linea del muone il quadrivettore
2.5.1
La linea dell'elettrone produce un contributo dello stesso tipo
2.5.2
Le linee dell'elettrone e del muone sono unite da un fotone virtuale, lo rappresentiamo con il propagatore
2.5.3
Complessivamente le due linee fermioniche e il fotone virtuale producono
2.5.4
Fig. 2.5.1 Diagramma di Feynman per lo scattering elastico
23
Aggiungiamo, per ogni vertice, le delta per la conservazione del quadri-momento e
rispetto a .
2.5.5
Svolgendo l'integrale abbiamo
2.5.6
A questo punto togliamo la delta di conservazione del quadri-momento e moltiplichiamo il risultato per . Otteniamo in questo modo l'elemento di matrice
2.5.7
Osserviamo che la struttura dell'elemento di matrice è data da uno scalare contenente l'intensità della forza (cioè
moltiplicato per un altro scalare prodotto dalla
contrazione tra i quadrivettori
.
Calcolato l'elemento di matrice dell'interazione, esplicitando il prodotto scalare nella 2.5.7 una volta fissati gli spin iniziali e finali, si può calcolare la sezione d'urto nel laboratorio mediante la 1.10 oppure nel centro di massa mediante la 1.12, ricordandosi che nel caso di urto elastico vale la 1.11.
Negli esperimenti, spesso il fascio che incide sul bersaglio è caratterizzato da una distribuzione casuale nello spin e nello stato finale si è interessati semplicemente alle particelle diffuse ad un certo angolo. In questo caso la sezione d'urto utile è data da una media sugli spin iniziali e da una somma su quelli finali. Questo permette di semplificare il calcolo dell'elemento di matrice senza necessariamente esplicitare gli spinori presenti nella 2.5.7. Inoltre nella sezione d'urto l'elemento di matrice entra come . Scriviamo l'elemento di matrice mediante l'espressione :
2.5.8
dove e sono della forma
24
2.5.9
2.5.10
Pertanto in generale nell'elemento di matrice avremmo dei termini
2.5.11
Poiché il secondo fattore di è uno scalare, il complesso coniugato è equivalente al hermitiano coniugato . Si ha
2.5.12
Ricordiamo che e , la 2.5.12 diventa
2.5.13
dove è stato definito
Con questa definizione la 2.5.11 diventa
2.5.15
Eseguendo la somma sugli spin iniziali, nell'elemento di matrice troviamo
2.5.16
utilizzando le relazioni di completezza 2.4.6
2.5.17
Inoltre sommando anche sugli spin finali nell'elemento di matrice la somma diventa
25
Arrangiando le sommatorie
Isolando la somma sull'indice
2.5.20
La definita in (2.5.14), ha la seguente proprietà:
2.5.21
Allora l'elemento di matrice diventa
2.5.22
Poiché siamo interessati al valor medio del quadrato dell'elemento di matrice rispetto agli spin iniziali, bisogna moltiplicare ancora per un fattore . Infatti l'elettrone e il muone sono due fermioni con spin e ciascuna di queste particelle dei quali può presentarsi con due orientazioni dello spin, "up" e "down". Bisogna dividere quindi per il numero di configurazioni possibili dello spin, cioè 4. In definitiva l'elemento di matrice diventa:
2.5.23
Come si può osservare nella 2.5.21 l'elemento di matrice, mediando sugli spin iniziali e sommando sui finali, si riduce al calcolo di tracce di prodotti complicati delle matrici . Al fine di calcolare queste tracce, presentiamo alcune proprietà sulle matrici .
26
La traccia ha le seguenti proprietà
1. 2. 3.
dove sono due matrici generiche mentre è uno scalare, appartenente in generale al campo complesso. Dalla proprietà segue l'invarianza per trasformazioni cicliche della traccia:
2.5.24
Alcune proprietà sulle tracce delle matrici
4.
5.
dove con quadri-vettore generico.
6.
7.
8.
9.
10. La traccia del prodotto di un numero dispari di matrici è zero 11. 12.
13.
Sfruttiamo ora queste proprietà per semplificare ulteriormente la 2.5.20. Per fare ciò studiamo solo una delle due tracce contenuta in essa.
Poiché l'urto è elastico . Applicando le proprietà
enunciate poco sopra otteniamo
per la proprietà 10. Mentre
27
Infine
.
Mettendo assieme tutti i pezzi e facendo gli stessi passaggi anche per
1 4 + 3 riscriviamo la 2.5.23 come
2.5.25
prende il nome di "tensore leptonico" dell'elettrone , mentre è il "tensore
leptonico" del muone. La loro espressione è la seguente:
2.5.26
2.5.27
Osserviamo che l'elemento di matrice dato dalla formula 2.5.25 è un invariante di Lorentz, essendo costituito solo da quantità scalari. Per valutarlo è sufficiente specificare i quadri-momenti delle particelle nello stato iniziale e finale nel sistema desiderato: laboratorio, centro di massa o qualunque altro sistema di riferimento inerziale. Eseguendo la contrazione tra i tensori leptonici dell'elettrone e del muone, la 2.5.25 si riscrive nella seguente forma:
2.5.28
Trascurando la massa dell'elettrone e introducendo
la 2.5.28 si può riscrivere come
2.5.29
Nel sistema del laboratorio, possiamo scrivere i quadri-momenti iniziali e finali come
2.5.30
28
Inserendo nella 2.5.29 , utilizzando la 1.14 con , e introducendo la variabile nel sistema del laboratorio (in generale si può scrivere in forma
covariante
) si ottiene
2.5.31
Inserendo la 2.5.31 nella 1.13 con si ricava
2.5.32
dove la sezione d'urto di Mott è
2.5.33
Riportiamo inoltre anche la sezione d'urto differenziale per unità di angolo solido e per unità di energia , come riportato in [3], questa sarà utile per il confronto con la sezione d'urto nel regime di "Deep inelastic scattering):
2.5.34
dove la delta impone la 2.5.30.
3 Deep inelastic scattering
Il Deep Inelastic Scattering ("Urto profondamente inelastico"), abbreviato con DIS, è uno strumento fondamentale per sondare la strutture interna del nucleone. Si tratta di un urto tra un leptone (un elettrone, un muone oppure un neutrino) e il nucleone. La
regione profondamente inelastica si raggiunge non appena
. In queste
condizioni la lunghezza d'onda ridotta del leptone proiettile è molto più piccola delle dimensioni del nucleone che si possono stimare da un urto elastico leptone-nucleone, pertanto si è in grado di osservare la struttura interna del nucleone stesso.
29
D'ora in poi ci riferiamo alla trattazione presentata in [3] utilizzando . L'urto
consiste nel far scontrare leptoni ( contro nucleoni (per esempio a riposo ma del
laboratorio) ottenendo nello stato finale lo stesso leptone ( ) e un sistema di particelle
che non riveliamo (in genere sono adroni, cioè barioni come neutroni, protoni e
mesoni, come pioni) che indichiamo con . Il processo lo rappresentiamo nel
diagramma di Feynamn in Fig. 3.1.
Il vertice è lo stesso del caso pertanto nell'elemento di matrice contribuirà con il tensore leptonico 2.5.24. Ciò che cambia è il vertice descritto nel diagramma 3.1 mediante un cerchio: questo richiama graficamente che un nucleone non è un oggetto puntiforme. Il vertice lo rappresentiamo con un tensore simile a quello leptonico, che chiamiamo tensore adronico,e lo indichiamo con . Questo deve descrivere l'interazione elettromagnetica tra il fotone virtuale e il nucleone ed è dato in generale da
3.1
dove è il quadri-momento totale dello stato . Nel scrivere questa struttura per il tensore adronico si utilizzano le seguenti convenzioni:
1. I stati sono normalizzati
2. Nella somma sugli stati adronici è sottointeso un integrale
sull'impulso di ogni particella che costituisce lo stato e una somma su tutti
gli spin coinvolti.
Fig. 3.1 Diagramma di Feynman per lo scattering inelastico
30
Poiché la densità di corrente è hermitiano possiamo scrivere il tensore adronico
come
3.2
SI verifica immediatamente che . Un tensore generico si può scrivere in una parte simmetria e in una parte antisimmetrica rispetto allo scambio degli indici, pertanto
3.3
con reali. L'unità immaginaria è stata aggiunta affinché il tensore adronico soddisfi la proprietà Inoltre il tensore leptonico è simmetrico rispetto allo scambio degli indici, e in generale la contrazione tra un tensore simmetrico con uno antisimmetrico rispetto agli stessi indici è zero. Quindi
3.4
La radiazione elettromagnetica conserva la parità, quindi deve essere un tensore del secondo ordine e può dipendere da in quanto tutti gli altri momenti sono integrati. Notiamo però che non è una variabile libera, è legata a mediante la relazione . Infine osserviamo anche che tutti gli spin sono sommati. Allora il tensore adronico è funzione solamente di , e il tensore metrico . La forma più generale è la seguente:
3.5
Avendo esplicitato la dipendenza dal quadri-momenti, i coefficienti possono dipendere unicamente dagli scalari che si costruiscono con , quindi e loro combinazioni.
Introduciamo pertanto l'invariante
3.6
31
che nel sistema del laboratorio rappresenta l'energia del fotone virtuale, quindi
l'energia trasferita dal leptone al nucleone. In definitiva i coefficienti che compaiono
nella 3.5 dipendono da e .
Inoltre la conservazione della quadri-corrente elettromagnetica implica
3.7
sia per la parte reale che per la parte immaginaria del tensore adronico. Questa condizione pone alcuni vincoli sui coefficienti sopracitati. Esplicitiamo la 3.7 per la
parte simmetrica
3.8
Eguagliando a zero separatamente i termini in e (questi infatti sono indipendenti
tra di loro), otteniamo il sistema di equazioni
3.9
Risolvendo per in funzione di risulta
3.10
Con qualche passaggio algebrico, raccogliendo e e semplificando, la parte simmetrica del tensore adronico si scrive:
3.11
Per avere coefficienti con le stesse dimensioni definiamo le funzioni di struttura del
nucleone ,
tali che
3.12
32
Riscriviamo la 3.11 in termini di queste due nuove funzioni
3.13
Ricordiamo che ha la stessa forma della 2.5.26 dopo aver eseguito le sostituzioni
3.14
Dopo lunghi calcoli algebrici si riesce a scrivere in maniera piuttosto semplice la contrazione tra il tensore leptonico e adronico, trascurando la massa del leptone incidente:
3.15
Quest'espressione è invariante per trasformazioni di Lorentz, essendo costituita solamente da quantità scalari. L'elemento di matrice, come abbiamo visto ha un'importanza fondamentale per la costruzione della sezione d'urto. Valutiamo pertanto la 3.15 nel sistema del laboratorio. I quadri-momenti iniziali e finali del leptone, supponiamo sia un elettrone per esempio, e dell'adrone sono
3.16
Indichiamo con l'angolo di diffusione dell'elettrone rispetto alla direzione di moto iniziale. Trascurando la massa dell'elettrone, si ha, introducendo l'invariante ,
3.17
mentre
3.18
33
Inserendo le 3.16-3.18 nella 3.15 otteniamo
3.19
Per un urto profondamente inelastico, è necessario utilizzare due variabili indipendenti che possono essere per esempio l'angolo di diffusione (oppure in maniera equivalente l'angolo solido di diffusione ) dell'elettrone nello stato finale e la sua energia . Pertanto la sezione d'urto differenziale è differenziale due volte, rispetto a e . L'espressione è data in [2]:
3.20
Inserendo la 3.19 nella 3.20 si ottiene la sezione d'urto differenziale nel sistema del laboratorio
3.21
avendo utilizzato anche la 3.16 per esplicitare . Le costanti e entrano nella sezione d'urto di Mott pertanto, per essere uniformi con quanto ottenuto nella sezione d'urto elastica elettrone-muone, basta misurare masse e impulsi nel modo usuale e utilizzare la 2.5.33.
34
4 Verso il modello a partoni
Lo l'analisi di urti tra leptoni e nucleoni hanno portato allo studio della struttura interna del nucleone. E' noto nella fisica adronica che il nucleoni ammettono risonanze, cioè stati eccitati. Già questo è sufficiente ad avanzare l'ipotesi che il nucleone abbia una struttura interna. Tale struttura si può studiare solo alle alte energie, quando il proiettile ha una lunghezza d'onda ridotta tale da permettere di guardare all'interno del nucleone, principalmente con processi DIS.
La regione profondamente inelastica, cioè il set di condizioni cinematiche tali per cui si abbiano eventi DIS, si ottiene quando il quadri-momento trasferito, pertanto il , e la massa invariante dello stato adronico finale sono molto più grandi rispetto alle masse tipiche degli adroni. Se, inoltre, osserviamo che
, dove indica il quadri-momento totale dello stato , è chiaro che
nella regione profondamente inelastica anche l'energia trasferita dal leptone all'adrone è grande rispetto alle masse adroniche.
In genere per descrivere urti profondamente inelastici si utilizzano gli invarianti cinematici
4.1
L'invariante è nota come la di Bjorken e varia nell'intervallo , vale 1 se l'urto è elastico. Questo invariante misura l'inelasticità del processo. Evidentemente si ha altrettanto . Per un urto DIS, come abbiamo osservato nel paragrafo precedente, sono necessarie due variabili per scrivere la sezione d'urto, per esempio l'energia del leptone diffuso e l'angolo di diffusione. Poiché queste variabili entrano nelle invarianti presentati poco sopra, possiamo utilizzare coppie di queste invarianti per scrivere la sezione d'urto DIS, in questo modo si ottiene una sezione d'urto covariante, cioè indipendente dal sistema di riferimento in cui la si calcola. Riformuliamo il limite profondamente inelastico come condizioni cinematiche per cui
4.2
Chiamiamo questo limite, "limite di Bjorken".
Le funzioni di struttura
le sono state introdotte come dipendenti dalle variabili .
Invece dati sperimentali su sezioni d'urto misurate si osserva su un intervallo ampio di
ciò che è noto come "scaling" delle funzioni di struttura, cioè indipendenza da ,
più precisamente dipendenza da e solo nel rapporto
.
35
Tale "scaling" osservato lo possiamo esprimere nel "limite di Bjorken" nel modo
seguente:
4.3
I grafici in Fig.4.1 mostrano, su un intervallo ampio di l'invarianza di scala delle funzioni di struttura :
Fig 4.1. Indipendenza da della funzione di struttura elettromagnetica . Grafici tratti
da [3].
Ancora più importante è il grafico in Fig 4.2 dove è rappresentata l'invarianza di scala di
.
Prima di discutere le implicazioni dell'invarianza di scala delle funzioni di struttura
scriviamo la sezione d'urto in forma invariante. Scegliamo come variabili
indipendenti introdotte nella 4.1. Osserviamo innanzitutto
4.4
36
Fig. 4.2. L'indipendenza da della funzione di struttura per valori di .
Inoltre
4.5
Pertanto la sezione d'urto differenziale diventa
4.6
Al fine di rendere formalmente semplice l'espressione esplicita della sezione d'urto in forma covariante bisogna notare le seguenti relazioni:
4.7
dove nel calcolare sono state trascurate le masse del nucleone e dell'elettrone. Sostituendo al posto delle funzioni di struttura
, le loro espressioni in termini
delle , date dalla (4.3), la sezione d'urto 3.19 inserita nella 4.6 risulta in
4.8
37
Si può inoltre trascurare anche il termine
poiché l'energia dell'elettrone
proiettile è largamente superiore alla massa del nucleone. Le funzioni di struttura
sono state scritte in funzione di ,anche se poco sopra abbiamo affermato
che non dipendono da ,perché in alcuni regimi si osserva una violazione di scaling.
L'indipendenza da è indice del fatto che l'elettrone urta contro una carica
puntiforme all'interno del nucleone, quindi contro costituenti interni. Per
comprendere meglio quest'affermazione riportiamo la sezione d'urto per unità di
energia finale dell'elettrone e per angolo solido inserendo nella 3.19 l'elemento di
matrice dell'urto elastico elettrone-muone 2.5.30. Si ottiene la sezione d'urto:
4.9
La delta scompare integrando sull'energia , quindi su , e si ottiene la 2.5.31.
Utilizzando la proprietà della delta
e confrontando la 4.9 con la 3.20
notiamo che l'equivalente delle funzioni di struttura nel caso dello scattering elastico elettrone-muone sono
4.10
E chiaro che la dipendenza dalle invarianti cinematiche è solo nella relazione
.
Otteniamo un risultato simile se si considera lo scattering elastico tra un elettrone e una particella puntiforme di massa carica , in unità della carica dell'elettrone:
4.11
Quindi nel caso di urto elastico tra elettrone e un'altra particella di Dirac con spin 1/2
dovremmo ottenere delle funzioni di struttura con dei picchi in corrispondenza di
. Al contrario, dai dati non si osservano picchi (Fig.4.2), bensì un andamento
più dolce.
38
Tale andamento è dovuto al moto di Fermi dei costituenti all'interno del nucleone, lo
stesso effetto che si osserva in fisica nucleare dove i nucleoni sono confinati all'interno
dei nuclei.
I costituenti interni del nucleone vengono chiamati partoni.
Laddove le energie di legame sono molto grandi, non ci si aspetta di trovare dei
costituenti con masse fisse. Nemmeno un numero fissato di costituenti: infatti le
grandi energie di legame potrebbero creare coppie particella/antiparticella.
Introduciamo pertanto le densità di partoni , note come "parton distribution
function's" (PDF) tale che sia il numero di partoni con frazione di impulso del
nucleone nell'intervallo [ , dove .
Le funzioni di struttura sono essenzialmente sezioni d'urto totali ed è naturale, in un
modello a costituenti interni del nucleone, assumere che ciascuna delle
sia
additiva nel seguente modo:
4.12
Si ottiene pertanto
4.13
Analogamente
4.14
Questi risultati sono validi quando sono molto più gradi delle masse tipiche degli
adroni. Inoltre tra tutti gli solo uno contribuisce alle funzioni di struttura, cioè
. In questo modo è soddisfatto il limite di Bjorken 4.2. Possiamo
allora scrivere le funzioni di struttura in termini delle densità partoniche
:
39
4.15
Dalla 4.15 si ricava la relazione di Callan-Gross:
4.16
L'andamento di per nucleone ottenuto da processi per piccoli a SLAC
e da processi a EMC per grandi è illustrato in Fig. 4.3.
Fig. 4.3. Confronto tra dati degli esperimenti a SLAC e EMC relativi rispettivamente a urti
e [3].
Osservando questi dati risulta chiara l'indipendenza da di su una scala
piuttosto grande di : da a .
40
5 Quark e gluoni
I partoni sono oggi identificati con i quark, introdotti all'inizio degli anni '60 per descrivere i numeri quantici degli adroni allora conosciuti: protone, neutrone, pioni, particelle strane ecc. Descriviamo in questo Capitolo in maniera semplice e senza entrare nel dettaglio, i tipi di quark noti e le loro caratteristiche, studiate da urti profondamente inelastici e dalla spettroscopia degli adroni. Gli adroni si suddividono in due categorie: i barioni e i mesoni.
I due barioni principali sono il protone e il neutrone. Esistono molti altri adroni, come le particelle strane oppure risonanze ottenute dall'eccitazione di nucleoni. Per descrivere il protone e il neutrone sono necessari due tipi di quark, chiamati quark "up" (u) e quark "down" (d). Entrambi hanno spin e come il protone e il neutrone sono un doppietto di spin isotopico. Le loro cariche sono rispettivamente, in unità della carica dell'elettrone, , . In un modello a struttura interna per il protone e il neutrone è chiaro che i costituenti devono riprodurre tutti i loro numeri quantici: questi costituenti si chiamano quark di valenza. Le energie in gioco all'interno del nucleone sono talmente elevate da consentire la creazione di copie quark-antiquark, iquark del mare ("sea quarks").
Per riprodurre i numeri quantici del protone e del neutrone sono necessari 3 quark: due quark u e uno d per il protone, 1 quark u e due d per il neutrone. Le cariche associate ai quark u e d non derivano unicamente dal tentativo di riprodurre i numeri quantici dei nucleoni ma anche per spiegare le osservazioni che la massima carica vista è, in unità della carica dell'elettrone, 2 (risonanza ) e la carica minima osservata è -1 (risonanza ).
I mesoni sono particelle come i pioni e altri mesoni chiamati "strani". Per riprodurre i numeri quantici dei mesoni è necessaria una coppia quark-antiquark: quindi in generale un mesone sarà uno stato . Per esempio è costituito da un
quark u e un quark anti-d ( ).
Per riassumere i numeri quantici dei quark u e d riportiamo in Fig. 5.1.
Fig. 5.1: Numeri quantici dei quark e , confronto con protone (p) e neutrone (n).
41
Per spiegare le caratteristiche delle particelle strane come i barioni strani
e i mesoni strani come il tripletto fu introdotto un numero quantico
chiamato "stranezza" conservato nelle interazioni forti. Tale numero quantico è
associato ad un terzo quark, il quark "strano" (s), spin 1/2 e carica -1/3. Questo non è
un quark di valenza ma del mare.
I quark u,d,s non sono gli unici, i quark noti sono sei, organizzati in doppietti chiamati
famiglie ( o generazioni):
I quark della riga superiore hanno tutti carica +2/3 mentre quelli della riga inferiore -
1/3. I loro nomi sono charm (c), top (t), bottom (b). Questi ultimi tre quark sono più
pesanti rispetti ai primi tre e giocano un ruolo inferiore alle energie trasferite
"relativamente" piccole.
Si può definire una funzione di struttura per nucleone
5.1
che tenendo conto della simmetria di isospin per il protone e il neutrone (
, con e funzioni densità di quark , nel protone ) diventa
5.2
dove , sono le densità di quark e antiquark di tipo o , mentre la
densità di quark strano.
Osserviamo in Fig.5.1 le distribuzioni dei momenti di quark e antiquark all'interno del
nucleone. Nel grafico sono rappresentate la funzione di struttura , la
distribuzione degli antiquark e la distribuzione dei quark di valenza . La
distribuzione dei quark di valenza ha un massimo attorno a con un valore
medio di . I quark del mare sono dominanti a piccoli . Il motivo per cui
compare il fattore è dovuto al fatto che informazioni complementari a quelle
fornite dagli urti elettrone nucleone, si possono ottenere con il Deep Inelastic
Scattering di neutrini su nucleoni. In questo caso l'equivalente della 5.2 è
5.3
42
Pertanto per riportare sullo stesso grafico misure di eventi e la funzione di
struttura e le distribuzioni di quark di valenza e del mare ottenuti negli urti con neutrini
vengono moltiplicati per .
Fig. 5.1. Funzione di struttura , distribuzione dei quark di valenza
e distribuzione di antiquark :
confronto tra dati ottenuti da scattering con leptoni carichi e neutrini [4].
Da questi dati si può estrarre un'informazione importante: la frazione di momento del
protone portato da tutti i quark. Al fine di ottenere tale numero bisogna considerare
l'integrale della .
5.4
Il risultato è sorprendente: solo la metà dell'impulso del protone è portato da quark e
antiquark. L'altra metà?
43
L'altra metà è dovuta a particelle che non interagiscono ne con la forza
elettromagnetica ne con la forza debole: queste sono identificate con i gluoni, i
mediatori della forza forte.
I quark possiedono un'altra proprietà chiamata colore. Per capire la necessità
dell'introduzione di questa proprietà consideriamo la risonanza . Essa è costituita
da tre quark di tipo u, ha spin e parità
. Poiché la parità è positiva possiamo
assumere che abbia momento angolare orbitale , pertanto la funzione d'onda
spaziale è simmetrica. Dal punto di vista dello spin deve essere costituita da tre quark u
tutti con spin up, pertanto la funzione d'onda di spin deve essere simmetrica. Con
queste considerazioni la risonanza avrebbe funzione d'onda completamente
simmetrica, violando così il principio di Pauli. Per salvare tale principio è necessario
introdurre un'altra proprietà che possa distinguere anche i quark dello stesso sapore,
appunto il colore. Ci sono tre tipi di colore red (r), blue (b) e green (g) e i rispettivi "anti-
colori": anti-red, anti-blue, anti-green. In questo modo i tre quark up della risonanza
possono essere distinti per il colore e quindi è possibile costruirne una funzione
d'onda completamente antisimmetrica.
La forza che mantiene i quark confinati nel nucleone si chiama interazione forte.
Questa interazione fondamentale è spiegata nell'ambito della Cromodinamica
Quantistica (QCD) e i mediatori sono bosoni di massa nulla con spin e parità , i
gluoni citati poco sopra. I gluoni portano contemporaneamente colore e anticolore e
mediano l'interazione tra particelle dotate di colore, quindi quark e altri gluoni (al
contrario di quanto accade nella QED dove i fotoni non si accoppiano tra di loro perché
non portano carica elettrica).
Con l'introduzione del colore i quark assumono un grado di libertà in più, questo
implicherebbe l'esistenza di adroni identici in tutto tranne che per il colore ma ancora
non sono stati osservati. Le particelle libere, infatti, possono esistere solo senza un
colore netto ( si dice che il colore netto è bianco): questo implica che i quark liberi non
si osservano e si parla di confinamento (i quark sono confinati all'interno del
nucleone). Quindi, per esempio, un pione positivo sarà una sovrapposizione degli stati
in modo tale che il pione osservato sia "color-neutral".
In questa tesi l'analisi dati del Capitolo 8 è focalizzata nell'estrazione dell'impulso
trasverso dei quark , necessario per spiegare la modulazione azimutale osservata in
un processo SIDIS non polarizzato (eq. 6.1.9)
44
6 Il processo SIDIS
Nel Capitolo 3 abbiamo mostrato la sezione d'urto "inclusiva" del processo profondamente inelastico . Per inclusivo si intende che la misura riguarda solo lo stato iniziale e finale del leptone. La sezione d'urto inclusiva, come mostrato, contiene delle funzioni covarianti dipendenti,in linea di principio, da di anche se misure suggeriscono un'invarianza di scala. Oltre al processo inclusivo è di grande interesse anche la diffusione profondamente inelastica leptone nucleone "semi-inclusiva", o Semi-Inclusive Deep Inelastic Scattering (SIDIS). Tale processo si indica con , dove oltre al leptone nello stato finale si rivela anche un adrone , che può essere ecc. Mentre la sezione d'urto inclusiva dipende da due variabili, per esempio energia del leptone nello stato finale e angolo di diffusione o in maniera equivalente una copia di variabili covarianti o e da due funzioni di struttura, la sezione d'urto semi-inclusiva non polarizzata , nell'approssimazione di un singolo fotone scambiato, dipende da altre cinque variabili ed è data da quattro funzioni covarianti indipendenti.
Le variabili dinamiche che si utilizzano usualmente sono . Le prime due
sono le stesse incontrate precedentemente nella sezione d'urto inclusiva, è la
componente dell'impulso dell'adrone h ortogonale alla direzione individuata dall'impulso del fotone virtuale , è data dal rapporto di due quantità invarianti
6.1
dove e sono rispettivamente i quadri-momenti dell'adrone e del nucleone nello
stato iniziale. Nel sistema del laboratorio
è la frazione dell'energia trasferita
dal fotone virtuale al quark colpito portata dall'adrone . Infine è l'angolo azimutale con cui viene emesso l'adrone definito da
6.2
dove indica l'impulso del leptone proiettile.
La sezione d'urto del processo SIDIS con leptoni e nucleoni non polarizzati viene scritta in termini di 4 funzioni di struttura Le funzioni di struttura che possiamo indicare in
maniera generica con che dipendono da quattro variabili cinematiche
[5]:
45
6.3
Fino agli anni '90 l'interesse per l'impulso trasverso era molto limitato e in genere trascurato nello studio della struttura del nucleone.
Integrando la sezione d'urto differenziale in rimangono solo due funzioni di
struttura "integrate" :
6.4
Dai dati è noto che
pertanto la 6.4 diventa
6.5
Vale inoltre [3]
6.6
dove sono le funzioni di struttura incontrate nel processo DIS. Osserviamo
pertanto che le funzioni sono correlate alle funzioni di struttura 4.15 delle
quali avevamo dato un'interpretazione in termini di PDF, densità di numero di quark e antiquark che portano una frazione del quadri-momento del nucleone. Nel processo SIDIS bisogna considerare un'ulteriore variabile, la . E' noto che quark e anti-quark non esistono liberi ma solo confinati all'interno del nucleone. Quando il leptone interagisce con uno dei quark del nucleone, nella condizione di diffusione profondamente inelastica, questo viene espulso dal nucleone portando con se quark e antiquark del mare che producono un "getto" ("jet") di adroni. Tale processo prende il nome di "frammentazione del quark" ed è descritto mediante una funzione di frammentazione che può dipendere anche da . Se il momento del quark
colpito è molto più grande rispetto agli impulsi degli altri partoni "spettatori" nel nucleone, si può assumere che la frammentazione del quark nell'adrone sia indipendente rispetto all'emissione del quark stesso. Ciò significa che c'è "fattorizzazione" e la frammentazione sarà descritta da una funzione di z, indipendente da x e indipendente dal processo in cui il quark è stato colpito (SIDIS, annichilazione , processi pp).
46
Come già detto la variabile z si interpreta come la frazione dell'impulso del quark
colpito portato dall'adrone h nella frammentazione. Pertanto è la
probabilità per un quark di sapore di frammentare in un adrone di tipo che porta
una frazione z dell'impulso dello stesso quark. Oltre alla si ha anche l'analogo
per le frammentazioni di antiquark .
In maniera simile alla 4.14, per le considerazioni fatte finora, possiamo scrivere le
funzioni di struttura integrate, come
6.7
con
6.8
Dove si è trascurata la dipendenza da .
Infine osserviamo che il numero di funzioni di frammentazione indipendenti è limitato
dalla simmetria di isospin e dall'invarianza di coniugazione di carica. Pertanto, nel caso
in ci l'adrone sia un pione positivo si ha:
6.9
La trattazione collineare non è comunque soddisfacente perché effetti legati
all'impulso trasverso non possono essere spiegati. In particolare l'ampiezza della
modulazione in di eq. 6.3 è stata misurata essere diversa da zero. Tali effetti di
QCD perturbativa solo ad alti valori di . A valori più bassi, come quelli degli
esperimenti HERMES e COMPASS, è necessario tener conto dell'impulso trasverso che
interviene nella frammentazione e dell'impulso trasverso intrinseco dei partoni
. Questi si combinano per dare l'impulso trasverso dell'adrone prodotto secondo
la relazione
6.10
come illustrato in Fig. 6.1.
47
6.1 Impulso trasverso dei quark
L'esistenza dalla modulazione in nella sezione d'urto SIDIS non polarizzata, nota come effetto Cahn e di origine cinematica, può essere spiegata introducendo l'impulso trasverso intrinseco dei partoni e le Transverse momentum dependent (TMD) PDF: . Queste permettono di descrivere la struttura tridimensionale del nucleone e, integrate in , coincidono con le PDF collineari. Analoga generalizzazione viene fatta per la frammentazione introducendo la dipendenza dall'impulso trasverso rispetto alla direzione del quark nelle funzioni di frammentazione che vengono indicate con .
In seguito verrà presentata la forma "canonica" della sezione d'urto per un processo semi-inclusivo non polarizzato senza derivarla. Tuttavia è utile ricavare l'espressione del quadri-momento di un generico quark all'interno del nucleone in quanto sarà utilizzato successivamente nell'analisi dati. Fino ad ora sappiamo che un quark generico porta una frazione del quadri-momento del nucleone ed ha un momento trasverso ortogonale alla direzione di moto del nucleone stesso. Per scrivere il quadri-momento del quark si utilizza solitamente la decomposizione di Sudakov sul cono-luce. Un quadri-vettore generico si scrive
6.1.1
dove
sono vettori sul cono-luce. Inoltre
6.1.2
Il prodotto scalare nello spazio di Minkowski è dato da
6.1.3
La notazione che si utilizza per indicare i vettori sul cono luce è
6.1.4
48
In questa notazione il quadri-momento del quark si può scrivere come
6.1.5
dove è la frazione di impulso sul cono luce e inoltre per ricavare il termine
si sfrutta il prodotto
.
Trascurando la massa del quark, quindi , si ottiene nel centro di massa
del sistema
6.1.6
dove è la componente z del quadrivettore del nucleone che si può scrivere in
funzione di e della massa invariante come
avendo definito
6.1.7
Inoltre da (con impulso del quark dopo aver interagito con il
leptone scambiandosi il quadri-momento ) si ottiene
6.1.8
Osserviamo pertanto che al primo ordine in è .
La sezione d'urto per un processo SIDIS non polarizzato, data in eq. 6.3, tenendo conto
dell'impulso trasverso, considerando solo scattering elastico leptone-quark e
fermandosi all'ordine è data da [6,7,8]:
49
Fig. 6.1 Cinematica del processo SIDIS: processo di frammentazione in 3D a sinistra e sul piano
azimutale a destra.
6.1.9
dove
6.1.10
La "convoluzione" è definita come
6.1.11
dove e descrivono rispettivamente la funzione densità di quark di tipo q e il
processo di frammentazione dello stesso. sono la massa dell'adrone prodotto e del
nucleone e una funzione peso determinata teoricamente per ogni funzione di
struttura.
50
Nelle approssimazioni fatte ciò che moltiplica il termine in è una funzione di
struttura di origine cinematica e la presenza della relativa modulazione è nota come
"effetto Cahn". Definiamo allora
6.1.12
Le funzioni di struttura possono essere calcolate [] assumendo una dipendenza
gaussiana rispetto all'impulso trasverso del quark e dell'adrone prodotto e assumendo
una forma fattorizzata in due parti per le TMD PDF e le FF:
6.1.13
Notiamo che queste funzioni sono normalizzate rispetto all'impulso trasverso,come si
può verificare facilmente integrando rispetto a e passando in coordinate polari sul
piano. nel seguito faremmo l'ipotesi che le distribuzioni in e
non dipendano dal
sapore del quark. Procediamo a questo punto al calcolo delle funzioni di struttura
e a partire dalle equazioni 6.1.10 e la 6.1.12.
6.1.14
Consideriamo ora solo l'integrale. Svolgendo l'integrale in otteniamo
6.1.15
Per calcolare l'integrale notiamo che:
6.1.16
51
Definiamo per semplicità
. Completando il quadrato nella 6.1.16
otteniamo
6.1.17
Inserendo la 6.1.17 nella 6.1.15 e passando in coordinate polari piane, dopo aver
eseguito il cambiamento di variabili
, l'integrale risulta
6.1.18
Nel ricavare la 6.1.18 abbiamo sfruttato la relazione
6.1.19
ottenuta tenendo conto che e sono scorrelati tra di loro e quindi
0.
Inserendo la 6.1.18 nella 6.1.14 l'espressione per la diventa
6.1.20
Notiamo che, tenendo conto della relazione 6.1.19, le misure della distribuzione in
degli adroni prodotti da informazioni su e
. Come vedremmo però, il
termine permette di ottenere informazioni più dirette.
si calcola in maniera analoga. L'integrale della convoluzione, eseguendo gli
stessi calcoli riportati poco sopra, diventa
52
6.1.21
Con il cambiamento di variabili
otteniamo
6.1.22
La prima parte dell'integrando è una funzione pari e integrata simmetricamente su
tutto lo spazio da un contributo nullo. Per il calcolo della seconda parte dell'integrale
bisogna notare che
per come è stato definito (6.1.10). In definitiva si
ottiene
6.1.23
Usando le relazioni 6.1.20 e 6.1.23 la sezione d'urto di eq 6.1.9 diventa
6.1.24
avendo definito
, ,
Inserendo le forme
esplicite per le funzioni di struttura otteniamo
6.1.25
Infine la sezione d'urto 6.1.24 la possiamo riscrivere come
6.1.26
53
Osserviamo che l'ampiezza della modulazione in , come è stato introdotto
all'inizio di questa sezione, è un effetto dipendente dall'impulso trasverso del quark.
prende il nome di asimmetria. Risulta evidente che da misure di tali asimmetrie
è possibile estrarre l'impulso dei quark nelle ipotesi fatte precedentemente:
fattorizzazione delle TMD e delle FF e distribuzione gaussiana nella dipendenza
rispettivamente di e di .
Gli esperimenti HERMES e COMPASS hanno misurato dagli stessi dati sia asimmetrie
integrate che non integrate, con un analisi multidimensionale. Per asimmetrie
integrate si intende l'estrazione dei queste come funzione di una delle variabili
dividendo l'intervallo in un numero adeguato di sottointervalli (bin). In questa tesi
verranno discusse solamente le asimmetrie integrate misurate in COMPASS [1] con un
fascio di muoni di di energia e un bersaglio di deuterio. I risultati sono
mostrati in Fig. 6.2 per adroni positivi e negativi.
54
7 Asimmetrie azimutali integrate
Come nella sezione precedente, dalle misure del processo SIDIS possiamo ricavare le
asimmetrie integrate. Consideriamo, ad esempio, l'estrazione delle asimmetrie in
funzione della variabile z. Integrando la sezione d'urto 1.6.24 rispetto a tutte le
variabili ad eccezione di e , otteniamo un espressione
7.1
dove e sono funzioni di . Se per ciascun bin in z si esegue un fit della sezione
della distribuzione misurata con una funzione della forma 7.1 otteniamo i valori
della asimmetria in funzione di z. Notiamo che integrando la 7.1 rispetto a ,
poiché il coseno integrato su un periodo da un contributo nullo, la funzione
rappresenta proprio la quantità vista in funzione di . Per l'asimmetria dovuta
all'effetto Cahn procediamo come segue. Dai fit determiniamo il rapporto
. Scritto in termini di sezione d'urto, l'espressione di tale rapporto è la seguente:
7.2
Sfruttiamo la relazione 6.1.25 per scrivere la in funzione della e inseriamo
quanto ottenuto nel numeratore della 7.1. Questo diventa
7.3
Consideriamo ora l'integrale rispetto all'angolo azimutale della sezione d'urto
differenziale 6.1.9:
7.4
55
Inserendo la 7.4 nella 7.3 otteniamo per il numeratore della 7.2
7.5
mentre il denominatore è
7.6
Inserendo le nuove espressioni per il numeratore e il denominatore nella 7.2
otteniamo
7.7
Dalle relazioni 6.124 e 6.1.25 si ottiene
7.8
Inoltre assumendo
7.9
si ottiene
7.10
Oppure, risolvendo per l'impulso trasverso dei quark
7.11
Dalla 7.11 possiamo calcolare a partire dai valori di misurati.
56
Nel prossimo Capitolo verrà presentato l'analisi di quest'asimmetria in funzione delle
variabili cinematiche misurate. I dati relativi alle asimmetrie integrate studiati
in questa tesi sono tratte da misure di processi SIDIS su nucleoni non polarizzati
nell'ambito dell'esperimento COMPASS [1].
8 Prima estrazione di
Nella sezione precedente abbiamo mostrato come l'asimmetria in dipenda
dall'impulso trasverso dei quark. E' stata fatta l'ipotesi, implicita nella 6.1.13, che
non dipenda dal flavour del quark, contraddetta dalla differenza
nell'asimmetria azimutale osservata per adroni positivi e negativi come mostrato in
Fig.8. Tale differenza è piccola e in quest'analisi saranno considerati solo gli adroni
positivi:
Fig. 8.1: Asimmetria vista in funzione di per adroni positivi e negativi. Gli errori
sono solo statistici. I dati sono riportati nell'Appendice B.
57
Per calcolare l'impulso trasverso è stata utilizzata inizialmente l'asimmetria
come funzione di z. Mediante la 7.11 è stato possibile ricavare l'andamento
dell'impulso trasverso in funzione di z, mostrato in Fig.8.2. Nel calcolo
dell'errore per ogni bin di z è stato tenuto conto sia dell'errore statistico sia di quello
sistematico (stimato essere pari al doppio di quello statistico) relativo ad .
Fig. 8.2: Valori di per adroni positivi nei diversi bin di z.
Si osserva che i valori di si distribuiscono attorno a
, valore
piuttosto piccolo confrontato con gli impulsi trasversi adronici misurati (dell'ordine di
, per fino a 0.5. Quando diventa più grande di 0.5 i valori dell'impulso
trasverso aumentano fino ad un fattore due: in realtà per ci sono altri
contributi non considerati in questa tesi, per esempio produzione di mesoni che
decadono successivamente in pioni.
L'errore sistematico è stato sommato all'errore statistico inquadratura:
8.1
con ovvio significato dei simboli.
L'errore utilizzato sull'impulso trasverso risulta pertanto
8.2
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 0,2 0,4 0,6 0,8
z
h+ <
2 > (GeV/c)2
58
Nella 8.2 entra anche mentre dai dati è nota solamente
. E' utile
ottenere un'espressione di in funzione di
. La distribuzione del
numero di adroni nello stato finale in funzione di è nota da misure di molteplicità
ed è gaussiana. Possiamo pertanto utilizzare la distribuzione
8.3
Questa è normalizzata su tutto il piano
. E' immediato calcolare il valor
medio di : è evidentemente
. Per trovare una relazione tra e
consideriamo:
8.4
Eseguendo il cambiamento di variabili
la 8.4 diventa
8.5
Pertanto l'espressione di in funzione di
utilizzata nell'analisi dati è:
8.6
Una volta ottenuta la stima migliore per dai valori estratti da si può
vedere se è possibile con la 7.10 riprodurre l'asimmetria in funzione di e : l'ipotesi
considerata è pertanto che il estratto dall'asimmetria in sia quello corretto
per riprodurre l'asimmetria vista in e . Le espressioni analoghe alla 7.10 sono:
8.7
59
Dove e
indicano la media su di e
. è
stato ottenuto dalle relazioni:
8.8
Il significato dei simboli è il seguente: indica l'i-esimo valore di
nel
grafico 8.2 mentre l'errore sul valore dell'asimmetria nel bin dove è calcolato
. Abbiamo espresso
con una media pesata con pesi in quanto è
noto che con numero di adroni nell'i-esimo bin in . Utilizzando la
propagazione degli errori si ottiene l'espressione per . Con lo stesso
procedimento si calcola e il relativo errore.
I valori misurati e calcolati dell'asimmetria in funzione di per adroni positivi sono
confrontati in Fig.8.3.
Fig. 8.3: per adroni positivi misurata (m) e teorica (t), calcolata con la prima della
8.7.
-0,1
-0,09
-0,08
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8
h+
Acosphi (m)
Acosphi (t)
χ2 /ndf=0,66
60
Nel grafico seguente sono mostrati gli andamenti misurati e teorici dell'asimmetria in
funzione di :
E' stato eseguito un test di compatibilità calcolando:
8.9
La somma si estende su tutti i valori a disposizione, sia misurati che teorici,
dell'asimmetria. è la varianza sul valore teorico dell'asimmetria ottenuto
propagando solo la varianza di (8.7).
Come si osserva dal grafico 8.3 l'asimmetria è riprodotta abbastanza bene, il ridotto
è inferiore all'unità. L'espressione teorica per l'asimmetria in predice un andamento
lineare per confermato dai dati.
L'asimmetria in misurata, al contrario, non è riprodotta dall'espressione (8.7) come si
vede dalla Fig.8.4.
Fig.8.4: per adroni positivi misurata (m) e teorica (t).
Teoricamente l'asimmetria dipende da solo attraverso che è correlato con .
Il disaccordo non è dovuto al particolare valore di scelto ( un
più
grande o più piccolo del valore in 8.8 alzerebbe oppure abbasserebbe la curva teorica
per l'asimmetria ma non ne cambierebbe la forma) bensì manca nell'espressione della
8.8 "qualcosa" che dia un'ulteriore dipendenza da .
-0,09
-0,08
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
x h+
Acosphi (m)
Acosphi (t)
χ2 /ndf=9,02
61
Nell'ambito del modello a partoni si possono imporre dei vincoli fisici sui valori che può
assumere richiedendo che il partone abbia un'energia inferiore rispetto a
quella dell'adrone parente e vietando che si muova in direzione opposta rispetto alla
direzione di moto dell'adrone [9]. Considerando la 6.1.6 queste condizioni si
esprimono nel modo seguente :
8.10
Inserendo l'espressione esplicita per e , risolvendo poi per si ottiene:
8.11
per la prima della 8.10, e
8.12
per la seconda. I due vincoli sono rappresentati in Fig.8.5 [9]:
Fig.8.5: Vincoli 8.11 (linea continua) e 8.12 (linea tratteggiata). Per il vincolo più
stringente è fornito dalla 8.12 [9].
Nei dati utilizzati in questa analisi è inferiore a 0.12 pertanto si applica solo il taglio
8.12. Per stimare l'ordine di grandezza dell'effetto di questo taglio fisico
sull'asimmetria in funzione di si è operato nel seguente modo: se è inferiore
al valore limite dato dal secondo membro della diseguaglianza 8.12 lo si utilizza nel
calcolo dell'asimmetria, altrimenti si considera il valore limite stesso. L'asimmetria in
funzione di cambia in maniera forte fino ad come si può osservare da
Fig.8.6:
62
Fig. 8.6: considerando il vincolo 8.12.
Si osserva un andamento più simile all'asimmetria misurata fino ad mentre l
previsione teorica e le misure sono piuttosto differenti per più grandi. Il ridotto
diminuisce leggermente ma è comunque superiore all'unità. Concludiamo pertanto
che anche sostituendo a il valore più grande consentito da limiti fisici per
l'asimmetria teorica risulta più piccola in valore assoluto rispetto a quella misurata.
In definitiva ne la previsione teorica mostrata precedentemente sulla forma
dell'asimmetria in ne il tagli fisici imposti dal modello a partoni descrivono
correttametne i dati misurati. Questa è un'indicazione che per descrivere gli andamenti
osservati delle asimmetrie integrate è necessario considerare altre dipendenze dalle
variabili cinematiche: questa possibilità verrà discussa nel Capitolo 9.
-0,08
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0 0,05 0,1 0,15
x
h+ con taglio
Acosphi (m)
A cosphi (t)
χ2 /ndf=5,32
63
9 Estrazione di nel caso di dipendenza degli impulsi
trasversi da e
E' stato mostrato che l'asimmetria in funzione di è descritta bene dalla
previsione teorica nella prima equazione in 8.7. Mostriamo ora una possibile parametrizzazione per l'asimmetria in funzione di e .
Abbiamo inizialmente introdotto l'impulso trasverso dei quark come una loro proprietà intrinseca indipendente da variabili cinematiche. In realtà ci sono indicazioni [10] che l'impulso trasverso
sia legato alla frazione di impulso portata dal quark attraverso la relazione
9.1
con parametro da determinare dai dati. Un'espressione analoga vale per l'impulso trasverso dell'adrone rispetto alla direzione del quark che frammenta
9.2
con da determinare mediante il fit dei dati. Una dipendenza da nell'impulso dell'adrone
è suggerito dall'evidenza che da misure di molteplicità l'equazione 6.1.19 è soddisfatta solo a piccoli , quindi è necessario introdurre un'ulteriore dipendenza da .
Definiamo e
. In queste notazioni la relazione 6.1.19 diventa
9.3
Con questa approssimazione, riscriviamo l'equazione 7.11 come:
9.4
Eseguendo un fit della calcolata dai dati, trascurando gli ultimi due punti in dove intervengono altri effetti non considerati in questa tesi, otteniamo per il parametro il valore:
9.5
Con un ridotto pari a
come mostrato in Fig. 9.1.
Consideriamo ora l'asimmetria vista in funzione di come nella seconda parte dell'equazione 8.7 scritta in una forma analoga a quella in equazione 9.4:
9.6
Dove si calcola dai dati misurati [1] ottenendo
.
64
Eseguendo un fit della con una funzione della forma risulta:
9.7
con
come si può osservare in Fig. 9.2.
Fig. 9.1: Fit della Funzione mostrata in eq 9.4.
Fig. 9.2: Fit della funzione introdotta nell'equazione 9.6.
65
Dalla Fig.9.2 notiamo che il contributo di alla funzione di fit è circa perché il valore massimo misurato per la variabile di Bjorken è , per questo si osserva una retta. L'andamento previsto (1-x) non è sufficiente a descrivere l'asimmetria azimutale in funzione di . E' necessario introdurre un'ulteriore parametro nella funzione di fit. Consideriamo
9.8
con e parametri liberi da determinare dai dati. Eseguendo un fit con una parametrizzazione della forma in eq. 9.8 otteniamo:
9.9
con
. Il fit è illustrato in Fig. 9.3.
Fig. 9.3: Fit della con una funzione della forma presentata in eq.9.8.
Come appare dal grafico 9.3 introducendo il parametro il fit è migliorato, il ridotto è inferiore all'unità. In Fig. 9.4 sono confrontate le previsioni teoriche per l'asimmetria azimutale in funzione di (sopra) e in funzione di (sotto) con i punti misurati.
66
Fig. 9.4: Confronto tra asimmetria prevista dal fit e misurata in funzione di (grafico in alto) e (grafico in basso) per adroni positivi.
Come appare dai grafici 9.3 e 9.4 l'introduzione delle dipendenze presentate in eq. 9.1-9.2 permettono di spiegare l'andamento osservato di in funzione delle variabili
(fino a ) e .
E' interessante osservare, in Fig. 9.5, l'andamento di in funzione di e in Fig.
9.6 in funzione di per adroni positivi. Gli errori sono calcolati propagando le
incertezze sui parametri.
Infine riportiamo nel grafico in Fig. 9.7 in funzione di per due valori di
misurati: , .
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0 0,2 0,4 0,6
Acosϕ(z) z h+
Acosphi (m)
Acosphi (fit)
-0,08
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0 0,05 0,1 0,15
Acosϕ(x) x h+
Acosphi (m)
Acosphi (fit)
67
Fig. 9.5: in funzione di per adroni positivi. La parametrizzazione è la stessa riportata
in eq. 9.8 con parametri determinati nel fit in Fig. 9.3.
Fig. 9.6: in funzione di per adroni positivi. La parametrizzazione utilizzata è riportata
in eq. 9.2 con il parametro stimato dal fit in Fig. 9.1.
Fig.9.7: in funzione di per i valori di mostrati nel grafico. La relazione utilizzata è
l'eq. 6.1.19.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 0,05 0,1 0,15 x
h+ < 2 > (GeV/c)2
0 0,05
0,1 0,15
0,2 0,25
0,3 0,35
0,4 0,45
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 z
h+ < 2 > (GeV/c)2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 0,2 0,4 0,6 z
h+
x1=0,006
x2=0,025
< 2
> (GeV/c)2
68
In prima approssimazione possiamo stimare il valor medio di :
9.10
E analogamente per l'impulso dell'adrone:
9.11
Anche da questi ultimi due risultati notiamo che l'impulso trasverso dei quark è più
piccolo dell'impulso trasverso dell'adrone, pertanto il contributo maggiore a
deriva dall'impulso adronico in 9.11.
In definitiva l'effetto Cahn permette di descrivere le asimmetrie azimutali osservate per adroni positivi e permette di estrarre l'impulso trasverso dei quark ottenendo un
valore piccolo rispetto all'impulso adronico estratto dalle misure di
molteplicità degli adroni in funzione dell'impulso trasverso. Inoltre è possibile stimare anche il valor medio del modulo quadro dell'impulso trasverso dell'adrone rispetto alla direzione del quark che frammenta
ottenendo un valore più grande rispetto a
, indice del fatto che il contributo maggiore al
misurato è dovuto al processo di frammentazione.
Conclusioni
L'asimmetria azimutale in come è stato discusso permette di ottenere informazioni preziose sulla struttura interna del nucleone, in particolare consente l'estrazione dell'impulso trasverso dei quark
. Nella prima analisi dell'asimmetria azimutale in funzione di è stato estratto il valore medio di
su
tutti i bin in ottenendo
piccolo rispetto a ,
per il quale dai dati risulta
. Questo significa che il contributo
maggiore all'impulso trasverso dell'adrone osservato nello stato finale, considerando l'eq 6.1.19 , deriva dal termine
e quindi dal processo di frammentazione (eq. 9.10-9.11)
L'asimmetria come funzione di è riprodotta con il modello teorico in eq. 8.7
mentre vista in funzione di l'andamento teorico differisce da quello osservato. Con l'introduzione dei limiti fisici sull'impulso trasverso
imposto dal modello a partoni si osserva che l'asimmetria teorica si avvicina a quella misurata per piccoli ( ) anche se l'ordine di grandezza di tale effetto è comunque piccolo per giustificare l'andamento sperimentale di .
69
In definitiva considerando solamente l'effetto Cahn e ipotizzando che l'impulso
trasverso dei quark sia indipendente dal sapore, si riesce a riprodurre
mentre per l'asimmetria in e sono necessarie ulteriori ipotesi: dipendenza di
e
rispettivamente da e . Le parametrizzazioni previste [9] sono
elencate nelle equazioni 9.1-9.2. Per l'asimmetria in utilizzando l'eq. 9.2 si riproduce
l'asimmetria misurata mentre in , poiché l'intervallo spaziato dalle misure è piccolo,
l'eq 9.1 da un contributo lineare non soddisfacente. Considerando un'ulteriore grado di
libertà nella parametrizzazione di come in eq. 9.8 calcolata
teoricamente è in buon accordo con le misure come si osserva in Fig. 9.4.
L'introduzione della dipendenza degli impulsi trasversi dalle variabili e permette di estrarre i valori di
e in funzione rispettivamente di e come in
Fig.9.5 e in Fig.9.6.
In conclusione, considerando solamente l'effetto Cahn e trascurando altri possibili contributi si riesce a riprodurre le asimmetrie osservate per gli adroni positivi come mostrato nei Capitoli 7-9. In Fig. 8.1 osserviamo che l'asimmetria azimutale in è stata misurata anche per adroni negativi [1] e differisce, anche se poco, dall'asimmetria per gli adroni positivi. Ѐ importante capire questa differenza introducendo per esempio una dipendenza dal sapore dell'impulso trasverso oppure considerando altri contributi di ordine superiore alla sezione d'urto come effetti perturbativi, funzione di Boer-Mulders ecc.
Ringraziamenti:
Desidero ringraziare il relatore di questa tesi, Prof. Anna Martin, per il supporto, i consigli e il tempo che mi ha dedicato durante tutto il lavoro. Ringrazio inoltre, il Prof. Vincenzo Barone, il Prof. Franco Bradamante per i preziosi suggerimenti teorici e pratici e in particolare Giulio Sbrizzai per i dati forniti.
70
Appendice A
Vogliamo calcolare l'integrale che compare nell'espressione della sezione d'urto per un processo descritto in Fig 1.1:
Eseguendo l'integrale rispetto a l'azione della delta equivale ad effettuare la sostituzione perché . Si ottiene pertanto
Osserviamo inoltre che
, pertanto
l'integrale diventa
Definiamo
. Scriviamo ora l'integrale
in coordinate polari sferiche e chiamiamo (lo jacobiano diventa quindi
) e infine calcoliamo
:
dove r è una funzione implicita di z. Inserendo nell'integrale e passando dalla variabile r a z si ha
La sezione d'urto diventa
pertanto la sezione d'urto differenziale è
71
A questo punto è determinato dalla conservazione del quadri-momento totale, inoltre
Calcoliamo ora il valore del fattore :
quindi
. Sostituendo nella si ottiene la formula finale per la sezione d'urto differenziale:
72
Appendice B
Asimmetria azimutale estratta da misure di sezioni d'urto SIDIS
nell'esperimento COMPASS riportate in [6]:
Tabella 1: Dati asimmetrie integrate per adroni positivi (h+) e negativi (h-) [6].
In questa tabella sono riportati i punti misurati dell'asimmetria azimutale vista in
funzione delle variabili cinematiche per adroni positivi e negativi in bin di
assieme ai valori di
(questi sono gli stessi per adroni positivi e negativi).
I tagli considerati nell'articolo sono:
73
In tabella 2 sono riportati i valori calcolati per .
0,018 0,008 0,064 0,008 0,053 0,033
0,016 0,008 0,054 0,012 0,123 0,022
0,014 0,008 0,058 0,015 0,161 0,017
0,025 0,008 0,056 0,015 0,226 0,030
0,030 0,008 0,053 0,018 0,335 0,038
0,049 0,006 0,078 0,014 0,397 0,063
0,056 0,008 0,116 0,013 0,554 0,102
0,067 0,008 0,205 0,015
Tabella 2: Valori calcolati e rispettivi errori per ), .
Referenze
[1] C. Adolph et al, Measurement of hadron azimuthal asymmetries in semi-inclusive
deep inelastic scattering off unpolarized nucleons, CERN-PH-EP-2014-009
[2] David Griffiths, Introduction to Elementary Particles, Wiley, VCH
[3] E.Leader, E.Predazzi, An introduction to gauge theories an modern particle physics, Volume 1
[4] Bogdan Povh, Klaus Rith, Christoph Scholz,Frank Zetsche, Particles and Nuclei, An Introduction to the Physical Concepts
[5] Semi-Inclusive Inelastic Electron Scattering From Nuclei, Edmond L. Berger, ANL-HEP-CP-87-45
[6] Partonic Transverse Motion in Unpolarized Semi-Inclusive Deep Inelastic Scattering Processes, M. Boglione, S. Melis , A. Prokudin, Phys.Rev.D84:034033,2011
[7] General Helicity Formalism for semi-inclusive deep inelastic scattering, M. Anselmino, M.Boglione et al, Physical Review D 83, 114019 (2011)
74
[8] Giulio Sbrizzai, Measurements of the transverse momentum dependent azimuthal
asymmetries in SIDIS at COMPASS, Tesi di Dottoratto, Università degli studi di Trieste,
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