Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 8

TERMODINAMICA DELL'ATMOSFERA

Evaporazione, condensazione e precipitazione influiscono notevolmente sul contenuto atmosferico di acqua

in forma vapore, liquida o solida. I loro rapporti, anche rispetto all'aria secca, variano in un ampio intervallo.

Pertanto la quantità di umidità contenuta in una certa "porzione" di aria deve essere considerata come una

delle proprietà specifiche dell’atmosfera alla stessa stregua della temperatura e della pressione.

Di seguito vengono presentate le principali grandezze dell’aria umida.

L’umidità specifica q (nota anche come contenuto di vapore) è la massa di vapor d'acqua vm contenuta

nella massa d'aria m :

m

mq v (2.1)

Le curve di ugual contenuto di vapore sono dette isoigrometriche.

Il rapporto di mescolamento r è la massa di vapor d'acqua contenuta in una massa unitaria di aria secca dm :

d

v

m

mr (2.2)

Queste due grandezze sono misurate in kgkg . Si usano tuttavia frequentemente le unità kgg che

risultano essere più pratiche in quanto mmv .

Essendo ovviamente:

vd mmm

q ed r sono legate tra loro dalle seguenti espressioni:

q

qr

1 (2.3 a)

r

rq

1 (2.3 b)

Le grandezze q ed r :

risultano essere conservative rispetto a variazioni termiche isobariche ed adiabatiche subite da una massa

d’aria all’interno della quale non si produce evaporazione o condensazione;

forniscono una misura assoluta del contenuto di vapore presente in atmosfera.

La pressione di vapore e rappresenta il contributo che il vapor d’acqua fornisce alla pressione atmosferica

totale in una miscela di aria umida non satura. Poiché una massa di aria secca ed una di aria umida,

nell’intervallo termico di interesse meteorologico, seguono con buona approssimazione l’equazione di stato

dei gas perfetti, si ha che:

TRe vv (2.4)

in cui:

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 9

115,461 KkgJM

RR

v

v è la costante specifica per il vapor d’acqua;

1015,18 molgMv è il peso molecolare dell’acqua.

E’ possibile inoltre esprimere vR in funzione di dR considerando che la costante specifica:

dd

v

dd

v

dv

vvdd

RRm

mR

M

MR

RMRMR

1

in cui: 1964,28 molgMd è il peso molecolare dell’aria secca;

622,0d

v

d

v

m

m

M

M

Nel caso in cui la pressione parziale del vapor d’acqua si riferisca ad una miscela di aria satura sarà

rappresentata da we (funzione esponenziale di T ) che, in aria non satura, risulta essere:

eTew )(

Impiegando l’equazione di stato dei gas per l’intero miscuglio di gas e la legge di Dalton:

TRmRmTRmVpVp vvddi iii i )()()(

La costante dei gas può pertanto essere riscritta come:

vdvvdd RqRq

m

RmRmR )1(

Essendo pe , si possono ottenere le relazioni approssimate che legano q , r ed e :

p

e

ep

e

R

Rep

e

R

R

TR

Ve

TR

Vp

TR

Ve

m

mq

v

dd

v

d

vd

d

vv

)1( (2.5 a)

p

e

ep

e

p

e

R

R

TR

Vp

TR

Ve

m

mr

dv

d

d

d

v

d

v (2.5 b)

rp

e (2.5 c)

qp

e (2.5 d)

dalle quali risulta ovviamente:

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 10

rq (2.6)

Nel caso in cui il contenuto di vapore raggiunga il valore di saturazione rispetto all’acqua si ha che:

ww

w

ww r

p

Te

Tep

Teq

)(

)()1(

)( (2.7 a)

Nel caso in cui il valore di saturazione sia riferito al ghiaccio, si ha analogamente:

ii

i

ii r

p

Te

Tep

Teq

)(

)()1(

)( (2.7 b)

L’umidità relativa wU , in condizioni di p e T ambiente, è comunemente definita dal rapporto percentuale

tra la massa di vapore rispetto alla massa di vapore saturo:

wwww

vw

r

r

q

q

e

e

m

mU (2.8 a)

Anche in questo caso, qualora il valore di saturazione sia riferito al ghiaccio, si ha:

iiii

vi

r

r

q

q

e

e

m

mU (2.8 b)

L’umidità relativa è pertanto quella grandezza fisica che fornisce indicazioni sullo stato della massa d’aria,

cioè sul suo rapporto di saturazione. Pertanto, insieme a p e T , rappresenta una delle tre grandezze

osservabili che, mediante l’impiego di appositi sensori, permettono di indagare il profilo verticale

dell’atmosfera e quindi conoscerne lo stato termodinamico.

Il contenuto di vapore ed il rapporto di mescolamento sono quindi facilmente calcolabili impiegando valori

di wr , tabulati in funzione di T .

Di seguito sarà utilizzata la simbologia più generale wUU , cioè l’umidità relativa riferita all’acqua in

quanto:

gli igrometri sono in grado di effettuare osservazioni in tutto l’intervallo termico caratteristico

dell’atmosfera;

la maggior parte delle nubi, nell’intervallo CTC 020 , è costituita comunque da particelle di

acqua liquida, in condizioni cioè di sopraffusione. Solo in alta troposfera, a quote tali per cui

CT 40 , le formazioni nuvolose assumono caratteristiche ghiacciate.

L’Organizzazione Meteorologica Mondiale (OMM), nel 1947, ha definito l’umidità relativa U come il

quoziente dei rapporti di mescolamento dell’aria umida e di saturazione (wr

rU ).

Tale grandezza è significativa per giudicare la distanza di una massa d’aria dalla saturazione ed è

direttamente legata alle sensazioni fisiologiche di caldo/freddo, nonché ai fenomeni biologici collegati

all’umidità dell’aria, quindi all’ambiente in cui vivono piante ed animali.

La temperatura di rugiada dT rappresenta la temperatura alla quale l’aria deve essere raffreddata in

condizioni di constp e constrq affinché diventi satura. Per cui se:

)()( dwwd TeTeeTT

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 11

La dT rappresenta pertanto quel valore per il quale il contenuto di vapore saturo wq decresce fino ad

uguagliare il contenuto di vapore q .

Dalla definizione discende immediatamente che:

TTd con l’uguaglianza valida solo in condizioni di saturazione;

la differenza dTT è un indice del livello di saturazione della massa d’aria;

la dT è conservativa rispetto a variazioni isobariche di T .

Nelle regioni umide la dT presenta un massimo durante il giorno ed un minimo durante la notte. Nelle

regioni aride si ha l’inverso a causa della secchezza del suolo.

La temperatura virtuale è la temperatura che deve assumere una massa d’aria secca affinché abbia la stessa

densità di una data massa d’aria umida, ovvero, temperatura dell’aria secca avente la stessa pressione e

volume specifico di quella umida.

La forma algebrica si ottiene applicando all’equazione di stato dei gas perfetti l’ipotesi che l’aria umida sia

costituita da una miscela di aria secca e vapore:

TqRmTm

mRm

TR

R

m

mRmT

R

RmmmR

TR

RmmRTRmRmVepVp

dv

d

d

vvd

d

vvvd

d

vvddvvddd

11

111

1

11

)()(

vdd TRmTqRmVp )608,01(

da cui:

TTqTv )608,01( (2.9)

dove:

061,0608,011

qqq

La correzione da apportare a T per avere vT è:

TUqTqTTT wvv 608,0608,0

Il valore massimo di vT si avrà per:

1U

quando la vT raggiunge il valore di saturazione, vwT .

Quindi, in generale:

vwv TUT

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Allo scopo di individuare l’ordine di grandezza del contenuto di vapore, è necessario impiegare l’equazione

di Clapeyron dalla quale si ottiene la relazione per l’andamento della pressione di vapore. Per fare ciò si

consideri il seguente ciclo reversibile:

- avendo kg1 di acqua a temperatura dTT

- si fornisce calore ee llQQ

- ottenendo kg1 di vapor saturo a temperatura dTT

- si raffredda fino a temperatura T

- si sottrae calore elQ

- si scalda per riottenere kg1 di acqua a dTT

Il lavoro è quindi:

T

dTde

l

VV

l

dL

deVVdL

w

e

lw

e

wlw

)(

)(

con:

lV = volume del liquido

el = calore latente di evaporazione

Essendo inoltre:

l

w

vw V

Te

TRV

)(

si ottiene:

2

)(

TR

lkdTk

e

de

T

dT

Tel

TR

T

dTde

l

V

v

ett

w

w

we

vw

e

w

integrabile solo per constkt (ovvero constT ):

)( 0

0

TTk

wwteee (2.10)

Fig. 1.

Relazione tra temperatura e pressione

di vapore saturo. Sono graficate le

curve per:

KTT 15,2730 : )(Tew (blu);

0TT : wE (in tratteggio rosso, acqua

liquida sopraffusa);

iE (in punteggiato verde,

ghiaccio).

Per 0TT , hPaeTe 1,6)( 00 .

p ew(T)

ew

20

e

10

e0

Ew Ei (ghiaccio) T0 Td T T

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 13

Tale risultato rappresenta una forma approssimata della relazione tra pressione di vapore saturo e

temperatura.

Tuttavia le ipotesi fatte sono realistiche in relazione ai valori atmosferici e pertanto la (2.10) rappresenta un

risultato soddisfacente.

Questa forma esponenziale, ottenibile sia con procedimenti meno elementari e formalmente più corretti, sia

per via sperimentale (formula di Magnus), è quella citata nella definizione della pressione di vapore saturo e

rappresentata graficamente nella figura 1.

Per quanto riguarda l’ordine di grandezza del contenuto di vapore, in condizioni di aria satura a:

CTThPap 0;1000 0

si ottiene che:

hPaTew 1,6)( 00

kggqw 6,31000

1,6622,0103

Dall’espressione del vapore saturo si vede come questo raddoppi ogni C10 circa:

kggCTqw 2,7)10(

kggCTqw 4,14)20(

kggCTqw 8,28)30(

Da cui si comprende coma i valori siano sempre molto piccoli sebbene, come nell’ultimo esempio, ad un

contenuto di vapore dei circa il 3% corrispondano condizioni di nebbia.

Capacità termica dell’aria umida

Nella termodinamica è noto che la capacità termica varia in funzione del tipo di gas in relazione alla sua

struttura molecolare. Infatti, per un gas:

monoatomico: ddvpdv RRCCRC2

5;

2

3

biatomico: dpdv RCRC2

7;

2

5

In tal modo, è possibile ottenere alcuni rapporti significativi per le successive applicazioni:

v

p

v

p

pp c

c

C

C

c

R

C

R;

*

per l’aria secca, considerata biatomica in quanto composta essenzialmente da 2O e 2N , si ha che:

1111

1111

24,0005,1

171,0718,0

4,15

7;286,0

7

2

KgcalKgJc

KgcalKgJc

d

d

p

v

dd

Nel caso di aria umida la molecola di vapor d’acqua è triatomica e non lineare. La sua posizione può essere

descritta attraverso tre coordinate rotazionali e tre traslazionali. Pertanto nell’equazione dell’energia cinetica

compaiono sei termini quadratici. Dal teorema dell’equipartizione dell’energia, nell’ipotesi in cui la

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 14

componente vibrazionale non contribuisca al calore specifico (tutte le molecole sono nello stato di riposo), si

ha che:

33,13

4

441,0846,14

331,0385,132

6

1111

1111

v

vp

vvv

KgcalKgJRc

KgcalKgJRRc

v

v

E’ opportuno tuttavia ricordare che nelle bande dello spettro IR (p.es. m27,6 ) sono presenti bande di

assorbimento roto-vibrazionali prodotte dal vapor d’acqua a temperatura atmosferica.

Da osservazioni sperimentali e nell’ipotesi che tali grandezze siano indipendenti da T , si può scrivere con

buona approssimazione che:

1111

1111

337,041,1

447,0870,1

KgcalKgJc

KgcalKgJc

v

v

v

p

Considerando ora una massa d’aria umida, il calore assorbito a constp per un incremento termico dT è:

qc

cccqcqc

dT

Q

qqqqqmqmQ

d

dvd

p

vp

pppp

vdvvdd

11)1(

)1(

Quindi, le relazioni che legano i calori specifici in atmosfera umida sono:

)87,01()87,01( rcqccdd ppp (2.11 a)

ed in modo simile, essendo:

d

p

d

p q

q

cq

Rq

c

R

d87,01

61,01

)87,01(

)61,01(

)97,01()97,01( rcqccdd vvv (2.11 b)

)26,01()26,01( rq dd (2.11 c)

)10,01()10,01( rq dd (2.11 d)

Tali grandezze sono pertanto funzioni del contenuto di vapore e, in particolare:

dd vvppdd cccc ,,,

Il segno di uguaglianza è ovviamente valido solo in condizioni di aria secca.

Temperatura potenziale, temperatura potenziale virtuale e temperatura equivalente

Una importante espressione che si vuole ora richiamare è l’equazione di Poisson. Si consideri in tal modo la

relazione del 1° principio della Termodinamica:

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 15

dVpdTcmQ v

Per eliminare il termine di volume, grandezza non usata in meteorologia in quanto non osservabile, si

differenzia l’eq.di stato dei gas perfetti:

p

dpTRmdTRmdTcmQ

p

dpTRmdTRmdVp

dTRmdpVdVp

ddv

dd

d

Per una trasformazione reversibile a constp si ricava quindi:

vpd

dvp

ccR

dTRmdTcmdTcmQ

che nel caso di una espansione o compressione adiabatica diviene:

p

dpTccdTcm

p

dpTccmdTccmdTcmQ

vpp

vpvpv

)(

)()(0

Quindi:

p

dp

p

dp

c

cc

T

dT

p

vp (2.12)

che, integrata, fornisce una delle forme dell’equazione di Poisson:

00 p

p

T

T (2.13)

Esempi:

1. Calcolo della variazione termica nel caso di aria secca:

286,0;287;1000 11

ddp KkgJRKkgJc

hPadphPapKT 100;1000;300

KdT 9

2. Qualora si costruisca un sistema di coordinate ortogonali in cui:

pyTx ;

l’equazione di Poisson si riduce ad un fascio di rette passante per l’origine:

yy

xx

0

0

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 16

Attraverso una semplice trasformazione, è possibile ottenere un sistema di riferimento (denominato

diagramma adiabatico o di Stüve) caratterizzato dall’asse y capovolto:

ppy

TTx

0

'

0

'

Fig. 2.

Schematizzazione di un diagramma adiabatico.

Il fascio di rette passanti per l’origine degli assi coordinati

rappresenta l’equazione di Poisson.

Dalla (2.13) è possibile definire il concetto di temperatura potenziale come la temperatura che assume una

massa d’aria quando, mediante una trasformazione adiabatica secca, raggiunge la pressione di riferimento

hPap 10000 :

pT

1000 (2.14)

In un processo adiabatico essa rappresenta una grandezza conservativa che rimane costante con la quota.

Fig. 3.

Rappresentazione schematica di una trasformazione

adiabatica in atmosfera impiegando un sistema di assi

coordinati ( z, ).

In analogia con il concetto di temperatura virtuale vT , è possibile definire altresì la temperatura potenziale

virtuale v :

)608,01( qv (2.15)

che assume nuovamente il valore massimo nel caso della saturazione. Le differenze tra v e scompaiono

solo nel caso di aria secca.

Nel caso di aria umida, dalla (2.11 c) si evince che il termine varia in funzione del contenuto di vapore;

pertanto nel punto di coordinate p e T passeranno differenti adiabatiche in ragione del diverso valore di q .

Da quanto espresso in precedenza, evidenziabile analizzando le (2.11), è possibile comprendere che la

rappresentazione grafica di un processo adiabatico umido in un diagramma ( pT , ) risulterà essere non molto

differente da quella di un processo adiabatico secco ed in particolare risulterà leggermente meno inclinata, in

quanto T varia più debolmente (figura 3 bis).

z

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 17

Fig. 3bis.

Rappresentazione schematica della differenza tra una

trasformazione adiabatica secca (in celeste) ed una umida (in

rosso) impiegando un sistema di assi coordinati ( zT , ).

La piccola differenza termica esistente tra i due andamenti è facilmente ottenibile differenziando l’equazione

di Poisson rispetto alla variabile q . In tal modo, per la pressione di riferimento hPapp 10000 :

Kpq

ppT

mm

qq

m

d

1,01000

ln07,0

1000100007,0)26,01(

Pertanto si può esprimere il concetto fondamentale per il prosieguo della trattazione che un processo

adiabatico secco approssima bene una trasformazione adiabatica umida.

E’ noto che quando una certa quantità di vapore contenuto in una massa d’aria condensa, viene liberata una

certa quantità di calore latente di condensazione (o evaporazione) el .

Si consideri quindi un processo isoentalpico (adiabatico ed isobarico) ideale di evaporazione da un

contenitore (isolato termicamente) riempito di aria avente temperatura iniziale T e contenuto di vapore q .

Si supponga quindi che, versando dell’acqua all’interno del contenitore, questa evapori sottraendo del calore

all’aria. La quantità di calore sottratto all’aria per evaporazione della massa di acqua a constT è:

e

v

e lmd

Q

Il calore (sensibile) ceduto dall’aria all’acqua è:

dTcmQ pp

In questo processo isoentalpico:

0

0

vep

ep

dmldTcm

QQ

la variazione della temperatura dell’aria è quindi:

)(2500

5,2

kgkgoggdq

kggdqdT

dqc

l

m

md

c

ldT

p

ev

p

e

L’evaporazione di un g di acqua determina la diminuzione della temperatura dell’aria di circa C5,2 .

z

T

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 18

Si definisce quindi temperatura equivalente quella temperatura che la massa d’aria umida assumerebbe in un

processo a constp se tutto il vapore condensasse, venendo eliminato con continuità, ed il calore latente

el servisse solamente per scaldare l’aria secca:

qTdTTTe 5,2 (2.16)

Nella trattazione formale di tutte queste trasformazioni è necessario prestare molta attenzione ai segni. Nel

caso di:

evaporazione, l’atmosfera cede calore latente raffreddandosi;

condensazione, l’atmosfera si scalda acquisendo calore latente.

Il processo appena descritto è tuttavia puramente ideale e fisicamente impossibile, poichè a constp ,

quando il vapore condensa:

la massa d’aria si scalda;

il punto di saturazione si allontana;

il processo tende ad arrestarsi.

Una trattazione più approfondita dei processi isoentalpici verrà sviluppata successivamente.

Entalpia, Energia Interna, Entropia dell’aria umida

Considerando l’aria umida come un sistema chiuso, nell’ipotesi di gas perfetto le classiche funzioni di stato

per unità di massa sono:

0

0

0

lnln spRTcs

hTch

uTcu

p

p

v

in cui:

)97,01()97,01(

)87,01()87,01(

)608,01(

rcqcc

rcqcc

Rqm

RmRmR

dvdvv

dpdpp

dvvdd

Nello studio delle nubi (di gocce d’acqua o cristalli di ghiaccio) si dovrà tener conto di sistemi eterogenei

chiusi in cui ciascuna fase è un sistema aperto.

Nell’ipotesi che la fase condensata sia l’acqua, l’entalpia è:

ve

mTmp

vwv

mTmp

dmldpp

HdT

T

H

dmhhdpp

HdT

T

HdH

,,

,,

)(

(2.17)

L’entalpia del sistema è la somma delle H dei componenti nelle due fasi:

wtevdd

wtwvvddwwvvdd

hmlmhm

hmhhmhmhmhmhmH )( (2.18)

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 19

con:

constmmm wvt massa totale della componente acquosa (vapore+liquido);

constmd

La (2.18) può essere riscritta come:

dmldTmcdmldTcmcmcmdH epewwpdpd vd)( (2.19)

in cui pmc rappresenta il valor medio del termine in parentesi.

A tale risultato si giunge considerando che per l’acqua, nell’ipotesi di gas perfetto:

0,,,,,, mT

v

mT

d

vp

mp

v

dp

mp

d

p

h

T

hc

T

hc

T

h

wvp ccc (differiscono poco tra le fasi liquida e solida):

w

mp

w cT

h

,

Per ottenere l’entalpia di ciascuno stato è necessario integrare la (2.19) scegliendo uno stato di riferimento in

cui specificare un determinato valore di T e vm . Per cui nello stato di riferimento 0H , 0T è la

temperatura allo stato in cui tutta l’acqua è nella fase liquida.

Si consideri ora un processo in cui il sistema assume la temperatura T e la massa vm diventa gassosa. E’

possibile utilizzare due strade:

1) far evaporare vm grammi di acqua a p , constT0 ;

riscaldare il sistema fino a T .

2) riscaldare aria secca +acqua fino a T ;

far evaporare vm grammi di acqua a constT .

Si avranno, in corrispondenza delle due strade riassunte di seguito, due espressioni diverse nella forma, ma

equivalenti nella sostanza:

dmTlTTcmHH ep )()( 000 (2.20 a)

vewtpd mTlTTcmcmHHd

)()()( 00 (2.20 b)

T0

dm

temp: T 1) vm T

aria secca: dm wm dm

vapor d’acqua: 0 T vm

acqua liquida: tm 2) dm wm

0

tm

Pertanto:

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 20

))(()()( 00 TTccTlTl mvpee

Si ricorda che el decresce di circa lo C%1,0 di incremento di T .

In tal modo dalla (2.20 b) è possibile avere:

constmTlTcmcmH vewtpd d)()( (2.21)

Nel caso di massa d’aria secca unitaria (pedice 1):

constrTlTcrcH vwtpd)()(1

dove:

d

tt

m

mr .

Se infine si ipotizzano:

piccoli i valori dei calori specifici del vapore e dell’acqua;

dt mm

el indipendente da T :

constrlTcconstqlTchH epep1 (2.22)

valide per i processi 1) e 2).

Analogamente ad H , si ottiene per l’energia interna U :

constrlTcconstqlTc

constrTRlTc

constqTRlTcuU

evev

vev

vev

)(

)(1

(2.23)

avendo trascurato TRv ( el%65 ).

Nel caso di S , non si può trascurare il contributo di p ai processi:

constT

rlpRTc

constT

qlpRTcsS

edp

edp

lnln

lnln1

(2.24)

Trasformazione adiabatica di aria satura.

Si è mostrato in precedenza come l’equazione di Poisson descriva i processi adiabatici reversibili in aria

secca e come le trasformazioni umide siano riconducibili, con buona approssimazione, a quelle secche.

E’ necessario pertanto determinare una relazione più generale, valida per l’aria satura, che possa ricondurre a

quella di Poisson nel caso secco.

Si consideri pertanto una massa d’aria per la quale:

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 21

arrm

m

m

m

m

m

mmmm

lw

d

l

d

w

d

lwd

111

ed in cui si sono definiti la fase liquida con il pedice l ed i rapporti di mescolamento acqua/aria:

lw

d

ll

d

ww

rra

m

mr

m

mr ;

Ipotizzando una trasformazione adiabatica (in cui anche i cambiamenti di fase rimangono interni alla massa

d’aria umida) e reversibile (come successione di stati di equilibrio), l’entropia S del sistema si conserva. È

possibile quindi pensare ad un sistema chiuso in cui una particella d’aria satura (nube) si espande (adiabatica

reversibile) e trattiene l’acqua che condensa (ciò è valido anche nel caso del ghiaccio).

Per le proprietà additive di S , è possibile sommare le entropie degli stati iniziali e finali delle tre fasi del

sistema:

lwd SSSS (2.25)

che verranno meglio dettagliate di seguito.

Nel caso di aria secca:

constpccTcmS

p

dpcc

T

dTcm

T

QdS

ddvdpdpdd

d

d

dvdpdpdd

d

]ln)(ln[

)(

Da cui risulta che l’entropia specifica è:

constpccTcs ddvdpdpd ln)(ln (2.26)

Nel caso di acqua liquida:

constTcmS

T

dTcm

T

QdS

lll

lll

l

ln

Da cui risulta che l’entropia specifica è:

constTcs ll ln (2.27)

Nel caso di acqua che abbia subito un cambiamento di stato nella fase di vapore saturo (è una trasformazione

reversibile dal vapore saturo all’acqua liquida):

T

lmsmSsmS e

wlwevaplww

Da cui risulta che l’entropia specifica è:

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 22

constT

lss e

lw (2.28)

Per una massa unitaria di aria secca la (2.25) diventa pertanto:

constSrsAs

constSsrsrs

constsrsrsS

evapwld

evaplwlld

wwlld

)(

da cui, definendo lo stato iniziale con il pedice i , si ottiene che:

iii evapiwldevapwld SrsasSrsas (2.29)

Introducendo le (2.26), (2.27) e (2.28) nella (2.29), si ha:

i

e

wilddvpip

ewlddvpp

T

lrTcapccTc

T

lrTcapccTc

i

iid

d

lnln)(ln

lnln)(ln

da cui si ottiene l’espressione per l’adiabatica satura esatta:

T

lr

T

lr

cacp

p

cac

cc

T

T ew

i

e

iw

lpd

d

lp

dvp

i

i

did)(

1ln

)(

)(ln (2.30)

in cui è facilmente individuabile la differenza con l’equazione di Poisson (2.12):

idp

vp

i p

p

c

cc

T

Tlnln

E’ possibile semplificare la (2.30) ipotizzando che:

ppd ;

inizialmente non sia presente acqua liquida: wl raca ;

132 101010

dpw cr .

Ottenendo l’espressione per l’adiabatica satura semplificata:

T

lr

T

lr

cp

p

c

cc

T

T ew

i

e

w

pidp

vp

i

i

i

d

1lnln (2.31)

Senza entrare nei dettagli si fornisce infine l’equazione approssimata per l’adiabatica satura che, nel caso in

cui 0wq , coincide con la (2.12):

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 23

p

dp

TRc

ql

qc

lT

dT

vp

we

w

p

e

2

2

1

(2.32)

Processi pseudoadiabatici

Le espressioni dell’adiabatica satura dipendono dai rapporti di mescolamento del vapor d’acqua wr e

dell’acqua lr che variano in funzione della concentrazione di acqua liquida per ogni sistema considerato. In

ogni punto del diagramma termodinamico, corrispondente ad uno stato definito di p e T , si ha un unico

valore di wr , ma lr è un parametro arbitrario del sistema che in un processo adiabatico dipenderà dal livello

di saturazione. Quindi, per ciascun punto del diagramma passa un numero infinito di adiabatiche sature

reversibili che differiscono per un termine dipendente dal contenuto di acqua liquida.

Per evitare ciò si è convenuto di utilizzare un processo di espansione pseudoadiabatico che definisce

univocamente queste curve. Questo è irreversibile in quanto aperto: l’acqua, appena condensata nel sistema,

viene eliminata istantaneamente.

Ciò implica che 0lm , da cui:

wlw rrra

Si ipotizza ora che il processo di condensazione ed eliminazione della massa di acqua ldm avvenga in due

fasi distinte:

espansione adiabatica satura reversibile e condensazione di ldm ;

precipitazione di ldm .

Nel primo passo, dalla (2.30), si ottiene un’espressione che rappresenta la variazione di T e p in un

processo pseudoadiabatico:

0lnln)(T

lrdpdRTdcac ew

ddldp (2.34)

Nel secondo non si ha variazione di T e p . La dipendenza funzionale del contenuto di vapore wr dalla

temperatura comporta che l’integrale della (2.34) assuma la forma:

constT

lrpRTdrcTc ew

ddwldp lnlnln (2.35)

Essendo il processo pseudoadiabatico irreversibile, nel caso si voglia invertire la trasformazione sarà

necessario ipotizzare l’introduzione, istante per istante, di una quota d’acqua che mantenga la saturazione.

Usando le stesse approssimazioni dei processi (isoentropici) adiabatici saturi reversibili si ottiene anche per i

processi pseudoadiabatici la (2.32). Si può quindi affermare che non c’è significativa differenza tra questi

processi e quindi, qualora non sia richiesta elevata precisione si calcolo (diagrammi termodinamici)

l’adiabatica satura corrisponde ad un processo pseudoadiabatico.

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 24

La temperatura pseudo equivalente, la temperatura pseudo equivalente potenziale, la temperatura pseudo

potenziale e la temperatura equivalente potenziale

Si supponga ora di sviluppare un ciclo in cui una particella d’aria, avente caratteristiche iniziali ( Tpr ;; ),

non si mescoli o non si disperda nell’ambiente circostante.

La particella si espande inizialmente secondo una trasformazione adiabatica secca dal livello di riferimento

p fino al livello di condensazione cp . La temperatura a cui avviene la condensazione è:

p

pTT c

c

Successivamente la particella si espande ulteriormente secondo una trasformazione adiabatica satura fino al

livello 1p . Si supponga inoltre che l’acqua prodotta nel processo di condensazione precipiti istantaneamente.

Le nuove caratteristiche del sistema sono ora ( 11;; Tprw ). Tale processo, definito come pseudo-adiabatico, è

ovviamente irreversibile. La temperatura assunta dalla particella d’aria è quindi:

11

1

1

1

11

T

lr

T

lr

cT

lr

T

lr

c

c

c

ew

c

ce

p

ew

c

ce

p ep

pTe

p

pTT

Il ciclo viene infine chiuso attraverso una compressione adiabatica secca della particella d’aria fino alla

pressione p . La temperatura finale risulta essere TT ':

1

1

1

1

' T

lr

T

lr

c

ew

c

ce

peTp

pTT

Nell’ipotesi in cui tutto il vapore venga eliminato attraverso la precipitazione (si pensi che 0wr in un

processo idealmente espandibile sino al livello in cui 0p ) si ha che la temperatura finale rappresenta la

temperatura pseudo-equivalente (''

peTT ). In tal modo:

c

ce

p T

lr

c

pe eTT

1

(2.36)

La temperatura peT differisce dalla eT in quanto la prima si ottiene per condensazione in un processo di

espansione adiabatica, mentre la seconda si ottiene per condensazione in un processo isobarico. Tale

differenza, tuttavia, è piccola. Infatti, ricordando lo sviluppo in serie di un esponenziale:

...!3

1

2

11 3322 xaxaaxeax

la peT diventa al primo ordine:

cp

e

c

e

p

peT

T

c

lrT

T

lr

cTT cc

11 (2.37)

In condizioni di aria quasi satura, cioè se la condensazione avviene per TTc :

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 25

e

p

e

p

e

pe Tc

lqT

c

lrTT cc (2.38)

in cui, avendo trascurato nel procedimento termini positivi, risulta sempre epe TT .

Qualora tale processo fosse sviluppato fino al livello di riferimento standard ( hPap 10000 ), si otterrebbe

l’espressione per la temperatura pseudo-equivalente potenziale pe i cui valori sono simili a quelli della

temperatura pseudo-potenziale p :

e

T

lr

cT

lr

c

pepepc

ce

pc

ce

p eep

pT

p

pT

11

00 (2.39)

in cui, avendo trascurato come nella (2.38) i termini positivi, risulta sempre epe .

La temperatura equivalente potenziale e , rappresenta quindi la temperatura che assumerebbe una massa

d’aria quando la temperatura equivalente venisse riportata alla pressione di riferimento mediante un processo

adiabatico secco:

p

pTee

0 (2.40)

Ovviamente per aria secca ( 0qr ):

p

Fig. 4.

Rappresentazione schematica di alcune temperature

di interesse.

In verde i processi adiabatici secchi.

In violetto l’adiabatica satura.

In tratteggio grigio, le diverse temperature riportate a

livello hPap 10000 .

Da notare come sia stata appositamente ampliata la

differenza tra pepe TT ,,, affinchè sia possibile

il riconoscimento grafico.

L’errore commesso in quest’ultima approssimazione è tanto maggiore quanto più si è in quota, ovvero

quanto minore è p , infatti:

p

pfep

0

p

pC

p

p0 TC T Te Tp e p T

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 26

Tornando ai concetti di eT e peT , si vuole ricordare che, cedendo alla massa d’aria calore latente di

condensazione a:

constp si ottiene eT ;

constp (decrescente) si ottiene peT .

Poiché il calore latente varia con T (e quindi con la quota), il calore totale ceduto a pressione variabile è

maggiore del calore latente ceduto constp .

E’ possibile infine concludere che:

la rappresenta una grandezza conservativa nel caso di trasformazione adiabatica secca;

in un processo di espansione adiabatica satura (pseudo-adiabatica) la aumenta a causa della cessione

di calore latente. In un processo di espansione in cui si produce condensazione, infatti, il contenuto di

vapore diminuisce, per cui sviluppando la (2.39), si ottiene:

0drT

ldc

c

e

pc

in una trasformazione adiabatica satura le grandezze conservate sono pertanto rappresentate dalle

epep .

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 27

BOZZA

0

1

2

3

4

5

6

7

-50 -40 -30 -20 -10 0

T (°C)

Pre

ssio

ne d

i vap

or

satu

ro

(acq

ua liq

uid

a e

gh

iaccio

)

ew (hPa) ei (hPa)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

T (°C)

Pre

ssio

ne d

i vap

or

satu

ro

(acq

ua liq

uid

a e

gh

iaccio

)

ew (hPa) ei (hPa)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-100 -80 -60 -40 -20 0 10 20 30 40 50

T (°C)

Calo

re s

pecif

ico

cw (J/kg K) ci (J/kg K)

Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 28

Tabella dei calori latenti

Evaporazione = Condensazione: 11 2260539 kgKJkgKcal

Fusione = Solidificazione: 11 33580 kgKJkgKcal

Sublimazione = Brinamento: 11 2595619 kgKJkgKcal

Fig. mm

Rappresentazione schematica delle diverse curve di

umidità relativa a livello del mare in un diagramma (

rT , ). La curva in blu spesso rappresenta il valore di

saturazione (100%). Le altre tre curve in blu fino

indicano valori di 75%, 40% e 20%.

r Uw=1 50

40

30

20

10

0 0 10 20 30 40 T