Fluidi  

Tensione  superficiale  

I  fluidi  •  Fluide  sono  tu4e  quelle  sostanze  che  non  

sopportano  uno  sforzo  di  taglio.    •  Su  scala  atomica  la  dis=nzione  tra  fluidi  e  solidi  

è  la  lunghezza  dell’interazione  molecolare.    •  Nei  solidi  c’è  un  re=colo  che  gode  di  proprietà  

colleBve  inesisten=  nei  fluidi.  

§  Piuttosto che di massa e forza, nei fluidi bisogna parlare di densità (massa volumica) e pressione. La densità e la pressione sono definite come:

ρ = Δm/ΔV e P = ΔF/ΔA o più semplicemente ρ = m/V P = F/A

Valori  =pici  della  ρ  e  della  P    (tanto  per  avere  una  idea  di  cosa  s=amo  parlando)  

Condizione di rivelazione di P

Pressione (Pa, Pascal)

Pressione al centro della terra

4x1011

Massima pressione in laboratorio (Anvil cell)

1,5 x 1010

Fossa delle Marianne 1,1 x 108

Pneumatici automobilistici 2x105

Al livello del mare 1x105

Pressione sanguigna 1,6x104

Minima pressione in laboratorio (vuoto)

10-12

Materiale Densità ρ 103 (kg/m3)

Polistirolo espanso 0,03

Ghiaccio 0,92

Acqua (20°C - 50 bar) 1

Acqua di mare 1,03

Alluminio 2,7

Terra 5,5

Ferro 7,8 Ottone 8,6

Mercurio 13,6

H2SO4/PbSO4 1,30/1,15

Forze  di  coesione    Sono chiamate forze di coesione quelle forze che agiscono fra le molecole di uno stato aggregato. •  Nel caso dei solidi, le forze di coesione fra le molecole sono molto forti, tanto da permettere solo piccole oscillazioni attorno ai propri siti. Il solido ha un volume ed una forma propria. •  Nel caso dei liquidi le forze di coesione sono ancora abbastanza forti da tenere le molecole abbastanza vicine, tanto da avere un volume proprio. I liquidi non hanno una forma propria. •  Nel caso delle sostanze gassose le forze molecolari sono debolissime, tanto da permettere alle singole molecole di muoversi, dopo gli urti, di moto rettilineo. Le sostanze gassose non hanno ne una forma propria ne un volume proprio.

Pressione  dell’acqua  

(ρAΔy) g pA

(p+Δp)A

pA  –  (p  +  Δp)A  =  ΣF              dove        Σ  F  =  -­‐ΔpA  =  ρ(ΔyA)  g              e  quindi:      p2  –  p1  =  -­‐ρ(y2-­‐y1)  g              p2  -­‐  p1  =  -­‐ρy2  g  +  ρy1  g  p1 + ρy1 g    =  p2 + ρy2 g = p3  …                                     p = -ρg y quindi  la  pressione  p  aumenta  con  la  profondità  h  =  -­‐  y  Inoltre  se  in  un  recipiente  aperto  assumiamo  che  p2  è  la  pressione  al  livello  del  mare  pa,  e  h  la  profondità  avremo  p(h) = pa + ρgh.  

Si  no=  che  la  pressione  dipende  solo  dalla  profondità  h  

Ipo=zziamo  una  soBle  lastra  di  acqua  di  lato  Δy  immersa  in  acqua,  il  suo  peso  sarà:    

 F  =  m  g  =  (ρΔV)  g    

 Σ F  =  ρ(ΔyA)  g                                        (legge  di  Stevino)  Per  la  2a  legge  di  Newton  le  forze  agen=  sulla  lastra  saranno:  

Pressione  in  fluidi  a  riposo  

Livello del mare 0 P (atms)

•  Per un liquido la pressione a riposo dipende linearmente dalla profondità. •  Questo è legato alla sua incompressibilità. Infatti siccome ρ non dipende da y l’integrazione di dp = ρg dy da come risultato: p = p0 + ρgh • Si vede che la pressione è lineare con la profondità ed, in un grafico pressione – profondità, è rappresentata da un tratto lineare. •  In particolare ogni 10 metri di profondità la pressione radoppia

20 (km)

8 (m)

1

p = p0 + ρgh

Pressione  dell’atmosfera    

ayepp −= 0

Se invece il fluido non è incompressibile (caso dei gas) la densità ρ dipende da y e la pressione dipende (diminuisce) con l’altezza. Infatti l’atmosfera diventa più rarefatta salendo in quota :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−=−−=−

00

00

1212

)(

pp

pp

gdydpyygpp

ρρρρ

ρρ

ayypg

oyop

p

oo

eppepp

ypg

ppdy

pg

pdp

dypg

pdp

ppg

dydp

−− ==

−=−=

−=−=

∫∫

0)(

0

000

0

00

ln

00

0

ρ

ρρ

ρρ

Livello del mare 0 p (atms)

20 (km)

8 (m)

1

La dipendenza della pressione con l’altezza si otterrà integrando dp = -ρ(y)gdy

Principio  di  Pascal    (1623  –  1662)  

“La pressione esercitata sulla superficie chiusa di un fluido si trasmette in ogni porzione del fluido e sulle pareti del recipiente”

faAF

AF

afp

=

==

L’unità di misura della pressione è il Pa (Pascal) pari a un Newton su un metro quadrato Pa = N/m2 ovvero [KM-1S-2]

pi = p0 Fi /Ai = F0/A0 Fi / F0 = Ai / A0

Misurazione  della  pressione    Torricelli  (1608  -­‐1647)  

•  Per misurare la pressione in un contenitore basta disporre di un tubo ad U contenente del liquido. Collegando un estremo del tubo con il contenitore in questione, possiamo attenere il valore della sua pressione misurando il dislivello dei liquidi.

p + ρgy1 = pa + ρgy2 p - pa = ρg (y2 – y1) = ρgh

Applicando questa equazione Torricelli dedusse il valore della pressione atmosferica che stimò essere pari alla pressione di 760 mmHg Domanda:  se  Torricelli  avesse  usato  acqua,  invece  del  Hg,  quanto  sarebbe  dovuto  essere  alto  il  tubo?    

Risposta:  almeno  9.88  metri,  cioè  13  volte  più  alto  del  tubo  con  Hg  

Pressione  sanguigna  •  Il cuore è una pompa e quindi il sangue è soggetto ad una pressione variabile: dalla pressione sistolica a quella diastolica. •  Il sistema di misurazione prevede di applicare una pressione molto alta al braccio (200 mmHg) e di ridurla lentamente. •  I primi battiti che si sentono indicano che si è scesi sotto la pressione sistolica. Quando, continuando a ridurre la pressione, non si sentono più battiti vuol dire che si è scesi sotto la pressione diastolica. ESEMPIO: A quale altezza deve essere sistemata una flebo se si deve iniettare una soluzione salina di densità ρ = 103 kg/m3 nel braccio di un paziente che ha la pressione di 60 mmHg

[M],][MS, ] [KM

]S[KM,ρg

Pa,h

ghPPammHg

17808910

1098710987

Pa 1098,7 7980 60

233

2133

3soluzione

≥⋅

⋅=

⋅≥

⋅==→

−−

−−

ρ

Fa4ori  di  conversione  della  pressione  

Unità  di  pressione  e  fa4ori  di  conversione  

Pa bar (daN/cm2)

MPa (N/mm2) kgf/m2 at (kgf/cm2) atm torr (mmHg)

Pa 1 10−5 10−6 0,102 0,102 × 10−4 9,87 × 10−6 0,0075

bar 105 1 0,1 10 200 1,02 0,987 750

MPa 106 10 1 1,02 × 105 10,2 9,87 7 501

kgf/m2 9,81 9,81 × 10−5 9,81 × 10−6 1 10−4 0,968 × 10−4 0,0736

at 98 100 0,981 0,0981 10 000 1 0,968 736

atm 101 325 1,013 0,1013 10 330 1,033 1 760

torr (mmHg) 133 0,00133 1,33 × 10−4 13,6 0,00136 0,00132 1

Le unità di misura della pressione sono molto diversi per ragioni tradizionali, per l’uso che se ne fa e ragioni di comodità. La pressione atmosferica si misura in bar, le gomme della macchina in atm, la pressione del sangue in mmHg

Principio  di  Archimede  •  Un  corpo  immerso  in  un  fluido  riceve  una  spinta  

ver=cale,  dal  basso  verso  l’alto,  pari  al  peso  del  liquido  spostato.  

g se)(

ao oAAg

aogAgA

gA

VFFFgVFFmgFF

VgFFyAgFygP

ρρρ

ρρ

ρρ

ρ

=>>

−−=−Δ−=−

Δ−=−Δ−=Δ

Δ−=Δ

Esempio: quale è la percentuale del volume emergente di un icesberg? Soluzione: il peso dell’icesberg è Pi = ρi Vi g il peso dell’acqua di mare è Pm = ρm Vm g Per l’equilibrio Pm = Pi ρi / ρm = Vm / Vi = 0,92/1,03 89% è il volume dell’acqua di mare spostata, quindi la parte di iceberg che emerge è solo 11%

Come  pesare  la  spinta  di  Archimede  Un recipiente pieno d’acqua è posto su una bilancia che indica un peso W. Una pietra che pesa w, agganciata ad una corda, viene immersa nell’acqua senza toccare il fondo.

La pietra sospesa ad un filo e immersa nell’acqua deve rispettare la II legge di Newton e pertanto Σ Fx = 0 e le forze presenti sono: la forza peso W, la tensione del filo T e la forza di galleggiamento B, quindi T + B = w (*).

Newton darà W + w = S + T e tenendo conto della relazione (*) avremo:

W + (T + B) = S + T à S = W + B B = ρ g V spinta di Archimede

la bilancia segnerà la forza peso dell’acqua più la spinta di Archimede

Quando mettiamo il sistema isolato sulla bilancia, la molla eserciterà sul sistema una forza S così che la II legge di

Tensione  superficiale  γ

liquido T [°C] γ [10-3 N/m]

Acqua 20 72,8

Acqua 100 58,6

Sapone 20 25

Glicerina 20 63,1

Olio di oliva 20 32

Mercurio 20 465

•  Per sollevare l’anello dal liquido serve una forza maggiore del suo peso, questa extra-forza è la tensione superficiale. •  La tensione superficiale è dovuta allo stato di stress esistente alla superficie di un liquido. •  La forza necessaria a sollevare l’anello è F = 2l γ dove l è la circonferenza dell’anello o della barra di scorrimento. γ si misura in Nm-1x 10-3. Questo ci permette di dire che la tensione superficiale si esprime in Energia/m2 [Nm/m2]

F2

2γl

F2 =2γl

Menisco  n   L’incurvamento  prossimo  alla  interfaccia  di  un  solido  è  de4o  menisco  e  determina  il  fenomeno  della  capillarità.  n   Nel  caso  di  menisco  posi=vo,  in  un  capillare  di  raggio  r  la  forza  dovuta  alla  tensione  superficiale  (2γ πr) sarà F = 2π rγLV cos θ e sapendo che la forza peso del liquido è: w = mg = ρ(π r2y)g si avrà: ρ π r2 y g = 2 π r γLV cosθ y = (2 γLV cosθ)/ρgr θ è  l’angolo  fra  la  parete  e  il  menisco.  Se  è  acuto  (cioè  minore  di  90°)  il  cosθ    è  posi=vo  e  quindi  il  liquido  cresce,  viceversa  se  θ    è  o4uso  il  cosθ  è  nega=vo  e  il  liquido  è  più  basso  del  livello  libero  del  liquido.  

Capillarità  e  tensione  superficiale  

n  E’ possibile definire tre distinte tensioni superficiali, anche se in realtà sono stress da interfaccia. Quindi    γSL,  γSV,  γLV  n   Se  γSV  >  γSL  il liquido bagna il solido.    n   Se  γSV  <  γSL    il liquido si ritrae dal solido. Hg

Ioduro di metile

> 90°

< 90°

Nel punto di contatto di incontro oltre ai 3 stress ci sarà anche la forza di adesione A e il liquido sarà in equilibrio lungo l’asse x e l’asse y ΣFx = τLV sen θ – A = 0 Σ Fy = τSV - τSL - τLV cos θ = 0 ovvero A = τLV sen θ e τSV - τSL = τLV cos θ dalla  1°,  conoscendo 3 valori di t si possono ricavare l’adesione A e q. Qualsiasi impurezza o corpo estraneo modifica anche considerevolmente questo equilibrio.

EffeB  di  r  sulla  capillarità  

ESEMPIO: Quale sarà l’altezza del liquido di densità ρ in capillari di differente diametro. Soluzione Per l’equilibrio la forza peso del liquido deve essere uguale alla componente della forza adesiva della tensione superficiale. La forza peso è Fp = ρ gV = ρ g(hπ r2)

La forza che spinge in alto il liquido sarà Fu = 2π r γ cos θ . Quindi dovendo essere Fp = Fu

grhrrgh

cos2 cos 2 2

ρθγ

θγππρ ==

E si vede che l’altezza dipende da r ovvero dal raggio del capillare

2r

h

Equazione  di  con=nuità   Supponiamo di studiare un liquido vincolato a scorrere in un tubo di flusso in cui, durante il moto, le particelle non possono ne entrare ne uscire. E supponiamo che il moto sia: 1.  Stazionario, 2.  Irrotazionale, 3.  Incompressibile, 4.  non viscoso.

Definizione dell’equazione di continuità: in un tubo di flusso a sezione variabile per ogni fissato intervallo di tempo, la quantità di materia che entra è uguale alla quantità di materia che esce.

ΔV1 = ΔV2 = AΔx = AvΔt à A1v1 = A2v2 ovvero Rv = Av = costante

Equazione  di  Bernoulli  Supponiamo un tubo di flusso che abbia l’ingresso e l’uscita a due diverse quote e di due diversi diametri. Per l’equazione di continuità i volumi di entrata e di uscita devono essere uguali, quindi possiamo, il più generalmente possibile, dire che :

Questa equazione ha interessanti implicazioni: 1. Se il fluido è a riposo v1 = v2 ovvero v = 0

p1 - p2 = ρg (y2 – y1) 2. Se il flusso è orizzontale y1 = y2

p1 – p2 = ½ρ (v22 – v1

2) Si può notare che l’equazione di Bernoulli non è una equazione

che contiene termini di energia. Ciascun membro dell’equazione è la somma di pressioni [M-1KS-2]. Eppure l’equazione di Bernoulli deriva dalla conservazione dell’energia.

cost 21

21

21

2

22221

211

=++

++=++

gyvp

gyvpgyvp

ρρ

ρρρρ

Equazione di Bernoulli: dimostrazione •  In un certo intervallo di tempo Δt ai due estremi del tubo le superfici che si spostano sono Δs1 e Δs2 e per il principio di continuità dovrà essere: ΔV = Δs1A1 = Δs2A2. •  Il lavoro fatto sarà w = p1A1Δs1 - p2A2Δs2 = w = (p1-p2) ΔV.

•  Il lavoro fatto corrisponde alla variazione dell’energia meccanica. w = E+U •   ½  mv2  =  ½  ρ ΔV  v12      è  l’Ek(s1)  di  una  massa  m  che  entra  in  s1  nel  tubo  di  flusso  e  nello  stesso  Δt  la  stessa  massa  dovrà  lasciare  il  tubo  da  s2  portandosi  dietro  una  energia  cine=ca  Ek(s2)  tale  che  ΔEk  =  Ek2(s2)  –  Ek1(s1)  =  ½  ρ ΔV  (v22  -­‐  v12)  •   L’energia  potenziale  della  massa  m  entrante  in  s1  sarà  Δmgy1  =  ρ  ΔVgy1  e  quella  uscente  in  s2  nello  stesso  Δt  sarà  Δmgy2  =  ρ ΔVgy2  à  ΔU  =  ρΔV  g(y2  –  y1)  •   Per  il  teorema  del  Lavoro  e  dell’Energia    

         (p1-­‐p2)  ΔV  =½  ρ ΔV  (v22-­‐v12)  +  ρΔV  g(y2–  y1)            o  più  semplicemente  

   p  +  ½  ρv2  +  ρgy  =  cost                [M-­‐1KS-­‐2]  

p1

p2

y1

y2

s1

s2

A1

A2

Esempio  classico  Trovare la velocità dell’acqua che esce dal foro?

1.  Bisogna pensare ad un tubo con diametro del serbatoio. Quindi per l’equazione della continuità

Av0 = av v0 = (a/A) v

2.  p0 + ½ ρ v02 + ρ gh = p0 + ½ ρ v2 + ρ g(0) e per v0<<v

v = (2gh)½ (velocità di un grave)