Teoria Geometrica della DiffrazioneTeoria Geometrica della ... · Il principio di Huygens-Fresnel...

Teoria Geometrica della DiffrazioneTeoria Geometrica della Diffrazione

Il fenomeno della diffrazione‐ principio di Huygens‐Fresnel;‐ teorema di Kirchhoff;

Diffrazione da knife‐edge: il Raggio Diffratto

Diffrazione da wedge perfettamente conduttoreDiffrazione da wedge perfettamente conduttore‐ il cono di Keller;‐ coefficienti GTD / UTD;

C. Piersant i , F. Fuschini – Diffraz ioneUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI BOLOGNADIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICAUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI BOLOGNADIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA

Il principio di Huygens-Fresnel

Il fenomeno della diffrazione può essere introdotto e descritto a partire dal principiodi Huygens o delle “sorgenti secondarie” : noto il fronte d’onda F all’istante t, èdi Huygens o delle sorgenti secondarie : noto il fronte d onda F all istante t, èpossibile ricostruire il successivo fronte d’onda F’ all’istante t+dt supponendo che glielementi di superficie dS di F siano eccitati ad emettere contemporaneamente ondesferiche con la velocità v dell’onda; l’inviluppo di tali onde secondarie all’istante t+dtf ; ppcostituisce il fronte d’onda F’ allo stesso istante.

Q

sro

S1

χ ( ) Σ⋅⋅⋅⋅χ=β−β−

ds

er

eAK)R(dUs0j

0

0r0j

T R

Po

o 0

( ) Σ⋅⋅⋅χ= ∫β−β−

d s

er

eAK)R(USf

s0j

0

0r0j

srSfera 0

K(χ) è un fattore che ipotizza una dipendenza dall'angoloχ di inclinazione illustrato in figura


χ g

Il teorema di Kirchhoff (1/2)Detta Ψ la generica componente del generico campo, in unaregione omogenea priva di sorgenti:

( ) ∫ ⎟⎞

⎜⎛ Ψ∂∂

ΨΨΨΨ∇ Greendifunzione della Metodo

22 dSGGr0rPn

nel caso in figura quindi

( ) ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂⋅−

∂⋅Ψ=Ψ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=Ψσ−Ψ∇

S

Green di funzione22 dSn

Gn

r 0

( ) ∫ ⎟⎞

⎜⎛ Ψ∂∂ dSGGrS O

Q χ

rr

'rr

ρr

dr

( ) ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

⋅−∂∂

⋅Ψ−=ΨSS

dSn

GnGr

U

r

S∞

(5)Fatte le seguenti ipotesi:

‐ d , ρ >> λ

M dit

( ) ( ) Scos1ed

e,F4j)r(

S

j

QinCampo

dj 00

d

∫ +⋅⋅⋅=−−

χρ

ϕϑπβΨ

ρββ44 844 76

r

(5)

‐Mezzo senza perdite

‐ 0rlimn

rlimrr

=⋅=∂∂

⋅∞→∞→

ΨΨ

( )σρ−e1‐

‐ S = sup. d’onda

( )ρπ

−=ρe

41G

( ) ( )χ+⋅πβ

=χ cos14jK


Il teorema di Kirchhoff (2/2)

In presenza di un ostacolo l’integrale deve essere limitato alla porzione di fronted’onda non intercettata dall’ostacolo stesso.

( )( )

( ) Sd

AS

cos1d

d0je,F4j)r( ∫ χ+⋅

ρ⋅

ρ+β−⋅ϕϑ

πβ

=Ψr

AS

dSA

Il campo su SA può essere approssimato con‐ i valori che si avrebbero in assenza dell’ostacolo

ρP

(approssimazione di Kirchhoff);‐ i valori che si avrebbero con schermo infinito (approssimazione di Bethe)

L’espressione integrale così ricavata permette di risolvere in linea di principio

qualunque problema di diffrazione Occorre di volta in volta determinare la superficiequalunque problema di diffrazione. Occorre di volta in volta determinare la superficie

SA sulla quale calcolare l’integrale per il calcolo del campo.


Knife-Edge Diffraction (1/3)

Onda piana incidente su un semipiano completamente assorbente dispostoperpendicolarmente alla direzione di propagazione (incidenza normale):

y

d ′

jkxin eEE −= 0

r( )( )

xj0inc

inceA

z,y,xHz,y,xE β−⋅=

⎭⎬⎫

( ) ∞ ∞ β⎫ jχ

dy′

dz′( )( ) ( )∫ ∫

∞ ∞

∞−

β−⋅χ+

πβ

=⎭⎬⎫

⇒0 R

rj

0 'dy'dzr

ecos14jA

0,y,xH0,y,xE

R

Supponendo x >> λ e sapendo che le sorgenti

z

r

( x, y, 0 )

Supponendo x >> λ e sapendo che le sorgentisecondarie (z’, y’) che danno un contributosignificativo al campo ricevuto in (x,y,0) sono soloquelle per z ≈ qualche λ (prime zone di Fresnel(5)) z

x

que e pe qua c e λ (p e o e d es e )

( ) ( ) ( )

⇓ρ

+ρ≈+−+=R

2

R222

R 2

'z'z'yyxr

( )( ) ( )∫

ρ⋅χ+⋅

πβ

⋅=⎭⎬⎫

⇓∞ βρ−π

0 R

j4j

0 'dyecos12

eA0,y,xH0,y,xE R

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=ρ 22

R 'yyx


Knife-Edge Diffraction (2/3)

Applicando il metodo della fase stazionaria per la risoluzione dell’integrale, e’ possibile l l l [5]ottenere la seguente soluzione per il campo ricevuto[5] :

y > 0 (Regione illuminata)

( )( ) θ

θ+⋅

πβ−

⋅ρ

⋅⋅+⋅=⎭⎬⎫ βρ−π−β−

sin2cos1

21eeAeA

0,y,xH0,y,xE

j

4j0

xj0

y < 0 (Shadow Region) (ρ,θ )

y

Onda Piana Incidente

( )( ) θ

θ+⋅

πβ−

⋅ρ

⋅⋅=⎭⎬⎫ βρ−π−

sin2cos1

21eeA

0,y,xH0,y,xE

j

4j0

xConfine d’ombra

Incidente

• θ > 0 se y > 0• θ < 0 se y < 0


Knife‐Edge Diffraction (3/3)

(ρ,θ )

y

Onda Piana Incidente

x

Confine d’ombra

Incidente

( )( ) ( ) ( )θ⋅

ρ⋅⋅+θ⋅⋅=

⎭⎬⎫ βρ−π−β− DeeAUeA

0,y,xH0,y,xE

j

4j0

0)(Piana Onda

xj0

444 3444 2144 344 21

Confine d ombra

Onda Cilindrica Diffratta

>θ Diffratta Cilindrica Onda0) per solo(

La presenza del knife‐edge genera un’onda diffratta che nelle ipotesi fatte risulta essereun’onda cilindrica

Le superfici d’onda sono perciò dei cilindri aventi per asse il bordo superiore del knife‐edge ⇒ e’ allora possibile definire i Raggi Diffratti che si propagano dal bordodell’ostacolo in direzione radialedell ostacolo in direzione radiale.

: Coefficiente di Diffrazione( )θ

θ+⋅

πβ−

=θsin2cos1

21D


Osservazioni:

La possibilità di estendere l’ottica geometrica al fenomeno della diffrazione finqui mostrata e’ sottoposta ai seguenti vincoli e limitazioni:

1) Approccio scalare alla teoria della diffrazione (Huygens‐Fresnel);2) Onda incidente piana;3) Incidenza normale;4) O l i il d k if d l illi i4) Ostacolo assimilato ad un knife‐edge trasversalmente illimitato;5) Ricevitore lontano dal “confine d’ombra del raggio diretto” (D(0)=∞)

Tali ipotesi di lavoro assai raramente risultano verificate in situazioni reali didiffrazione. E’ quindi opportuno generalizzare l’approccio fin qui seguito in mododa estendere la descrizione a raggi della diffrazione a situazioni più realisticheda estendere la descrizione a raggi della diffrazione a situazioni più realistiche


La legge della Diffrazione (1/2)

L’estensione dell’Ottica Geometrica alla categoria dei Raggi Diffratti e’ stata introdotta daJ. B. Keller nel 1961 e si articola nei seguenti 2 seguenti assunti[6] :

I. Si generano uno o più raggi diffratti ogniqualvolta un raggio dell’OG classica(diretto o riflesso) incide su uno spigolo o un vertice;

II Per ogni cammino diffratto vale il Principio di Fermat (Estensione del principio diII. Per ogni cammino diffratto vale il Principio di Fermat (Estensione del principio diFermat al fenomeno della diffrazione)

Legge della diffrazione: il raggio diffratto e quello incidentegiacciono da parti opposte rispetto al piano ⊥ allo spigolo epassante per il punto di diffrazione; gli angoli che tali raggi formano

l l ( l d d l d d d ff )Cono di

Keller

con lo spigolo (angolo di incidenza e angolo di di diffrazione) sonodati dalla “legge di Snell per la diffrazione”:

ddii sinnsinn θ⋅=θ⋅

Raggio Incidente

⇒ Se i raggi si propagano nello stesso mezzo, θd=θι;⇒ Ogni raggio incidente genera una infinità di raggi diffratti ∈

alla superficie laterale di un cono (cono di Keller)


Incidente

La legge della Diffrazione (2/2)La legge della Diffrazione (2/2)

Supponendo nd= ni = cost ⇒ il cammino diffratto e’ costituito daS

due segmenti rettilinei aventi un estremo nel punto di diffrazioneQD ( SQD e PQD );

P’QD

P Supponendo spigolo rettilineo, si ruoti il piano contenente lospigolo e il punto P attorno allo spigolo stesso finché non contieneil punto S. Tale rotazione non ha alterato ne’ la lunghezza delsegmento PQD ne’ l’angolo che tale segmento forma con lo spigolo

Dopo la rotazione S P’ e lo spigolo appartengono allo stesso piano ⇒ il minimoDopo la rotazione, S P e lo spigolo appartengono allo stesso piano ⇒ il minimocammino ottico e’ dato dalla legge della riflessione ⇒ θd=θi

OSSERVAZIONE l l d ll diff i ò i i l d l i i di M ll l di d i i id diOSSERVAZIONE: la legge della diffrazione può essere ricavata risolvendo le equazioni di Maxwell nel caso di onda piana incidente su diuno spigolo rettilineo[7]. Il campo ricevuto nel generico punto P risulta essere dato dalla sovrapposizione di 3 onde: l’onda diretta, l’ondariflessa (eventualmente nulle) e un’onda diffratta che risulta essere cilindrica per incidenza normale, conica per incidenza obliqua (→ conodi Keller)


Il Campo Diffratto (1/2)P

βO’s

Campo diffratto ⇒ espansione in serie di Luneberg‐KlineAlta frequenza ⇒ solo termine per m=0

QD

β0’

β0

n

's ρ1d, ρ2

d = raggi di curvatura dell’onda diffratta sono dati dalle

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )sj

d2

d1

d2

d1dd

Maxwell di Equazioni

rjd e

ss'OEsEerArE

d

β−Ψβ−

⋅+ρ⋅+ρ

ρ⋅ρ⋅=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

β⋅=

rrrrrrr

S

ρ1 , ρ2 agg d cu atu a de o da d atta so o dat da edistanze delle caustiche dell’onda diffratta dall’origine O’dell’asse delle ascisse curvilinee s’

( )‐ Una caustica coincide sempre con lo spigolo(9) ⇒ conviene scegliere O’≡QD (ρ2d=0 ⇒

espressione più semplice).

‐ Conservazione Energia nel tubo di flusso: Ed(O’) → ∞ per O’→ QD ( ρ2d → 0 )Conservazione Energia nel tubo di flusso: E (O ) → per O → QD ( ρ2 → 0 )

‐ Poiché Ed(s) non puo’ dipendere dalla scelta dell’origine del riferimento, non può che essere:

( )( )[ ] ( ) DQEFINITO Nro 'oE lim D

id2

d

0Q'O

d2

D

⋅≡=ρ⋅

→ρ→

rv ( ) ( ) ( ) sjdD

id es,ADQEsE β−⋅ρ⋅⋅=rr


Il Campo Diffratto (2/2)

sφ

( )( ) ( ) sjd

Di

'

Di

h

sd

d

e,sAQEQE

D00D

EE '

00 β−

φ

β

φ

β ⋅ρ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

0β

Principio del campo locale: Il campo associato alraggio diffratto dipende dalle proprietàelettromagnetiche e geometriche dell’oggetto in

's'0β

elettromagnetiche e geometriche dell oggetto inun intorno del punto di diffrazione e dalleproprietà del campo incidente nel punto didiff i

'φdiffrazione


Spreading Factor

Espressione generale del fattore di divergenza(9) : ( ) ( )sss,A d

dd

+ρρ

=ρ ( )ss +ρ⋅

ρd (distanza della caustica dell’onda diffratta da QD) dipende in generale dallacurvatura dell’onda incidente, dal raggio di curvatura dello spigolo nel punto QD e daglicurvatura dell onda incidente, dal raggio di curvatura dello spigolo nel punto QD e dagliangoli di incidenza e diffrazione; in generale:

( )'2d

s'sn11 −⋅−=

‐ ρe : curvatura onda incidente'0

2ge

d sin β⋅ρρρ ‐ ρg : curvatura edge

⎪⎪⎧ conica o piana incidente onda per

s1

Caso particolare: straight edge: ( )

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨ β⋅= cilindrica incidente onda per sins1

s

's,sA0

( )⎪⎪⎪

⎩ +⋅sferica incidente onda per

s'sss'


Coefficienti di Diffrazione (1/5)

SourceRegion I ISB : Incidence Shadow Boundary(Confine d’ombra del Raggio Diretto)

Region II

(Confine d ombra del Raggio Diretto)RSB : Reflection Shadow Boundary

(Confine d’ombra del Raggio Riflesso)

R I : diretto + riflesso + diffratto

Region III

R I : diretto + riflesso + diffrattoR II : diretto + diffrattoR III : diffratto

Y

S(ρ’ φ’)

Ipotesi:spigolo perfettamente conduttore trasversalmenteillimitato di ampiezza WA (0 ≤ n ≤ 2)

X

S(ρ ,φ )

P(ρ,φ)

WA = (2‐n) πγ = ∞

illimitato di ampiezza WA (0 ≤ n ≤ 2)sorgente lineare infinita parallela allo spigolo e percorsada corrente costante ( J = I0 iz )

Onda incidente cilindrica (piana) e incidenza normale


Coefficienti di Diffrazione (2/5)Coefficienti di Diffrazione (2/5)Limitandosi al caso di conduttore elettrico perfetto, risolvendo le equazioni di Maxwellper il sistema considerato e tenendo in debito conto le condizioni al contorno imposteper il sistema considerato e tenendo in debito conto le condizioni al contorno impostedal conduttore ( Etang=0 , Hnorm=0 ) e’ possibile ottenere (9) la seguente espressione peril campo totale ricevuto nel generico punto P:

Soft Polarization(Sorgente Elettrica)

Hard Polarization(Sorgente Magnetica)( g ) ( g g )

( )⎪⎨

⎧ φφρρβ⋅ωμ

−== i ',,',,G4IiEE z0

zz

r( )⎪

⎨

⎧ φφρρβ⋅ωε

== i ',,',,G4IiHH z0

zz

r

⎪⎩

⎨×∇

ωμ−= E

j1H

rrr⎪⎩

⎨×∇

ωε= H

j1E

rrr

G(β,ρ,φ,φ’) : opportuna funzione di Green.


Coefficienti di Diffrazione (3/5)( / )A partire da tali espressioni per il campo totale ed applicando il metodo SDP (SteepestDescent Method) nella versione modificata di Pauli‐Clemmow, e’ possibile ottenere la) pseguente espressione del solo campo diffratto [8] :

( ) ( ) z

js4'j0d ien'De2IE ⋅φφρβ⋅⋅⋅

ωμ−=

βρ−π−βρ−rSoft polarization : ( ) zin,,,,De

'4E

ρφφρβ

πβρSoft polarization :

Hard polarization : ( ) ( )j

h4'j0d ien'De2IH ⋅φφρβ⋅⋅⋅ωε

=βρ−π−βρ−r

Hard polarization : ( ) z4 in,,,,De'4

Hρ

⋅φφρβ⋅⋅πβρ

⋅=

( ) ( )βρ−πβρωε ˆe2I j

h'j0dr

( )sH E dd ×η=rv

( ) ( ) ϕ

βρπ−βρ−

ρ⋅φφρβ⋅⋅

πβρ⋅

ωεη= ien,',,,De

'2

4IE

jh4j0dr

Confrontando tali espressioni con la relazionegenerale ( ) ( ) ( ) sjd

Did es,ADQEsE β−⋅ρ⋅⋅=rr Ds , Dh

Coefficienti di Diffrazione


Coefficienti di Diffrazione (4/5)Coefficienti di Kouyoumjian‐Pathak (Uniform Theory of Diffraction)

( ) ( )[ ] ( )[ ]⎪⎨⎧

+⎟⎞

⎜⎛

ξβ⎥⎤

⎢⎡ ξ−π

+ξβ⎥⎤

⎢⎡ ξ+π−

φφ −−−

−+−π−

gFcotgFcoten'D4j

hs ( ) ( )[ ] ( )[ ]⎪⎩⎨ +⎟

⎟⎠

⎜⎜⎝

ξβρ⋅⎥⎦

⎢⎣

ξ+ξβρ⋅⎥

⎦⎢⎣

ξ⋅

πβ=φφρ + gF

n2cotgF

n2cot

2n2n,',,D h,s

( )[ ] ( )[ ]⎪⎪⎬⎫

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

ξβρ⋅⎥⎤

⎢⎡ ξ−π

+ξβρ⋅⎥⎤

⎢⎡ ξ+π

⋅Δ+ +−+

+++

gF2

cotgF2

cot ( )[ ] ( )[ ]⎪⎭⎬⎟

⎠⎜⎝

ξβρ⎥⎦

⎢⎣

ξβρ⎥⎦

⎢⎣

gn2

gn2

Soft polarization : Δ = ‐1;Hard polarization : Δ = +1;

ξ‐ = φ − φ’ξ+ = φ + φ’Hard polarization : Δ = +1; ξ+ = φ + φ

La funzione F (funzione di transizione) garantisce la continuità dei coefficienti sui confinid’ombrad ombra

( )[ ] ( ) ( ) ∫∞

τ−ξ⋅βρ±±±± ±±τξβρ=ξβρ jgj deegj2gF 2

[ ][ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

π−ξ+=

π−ξ+=−−

++

m

m

Nn2cos1gNn2cos1g

( )[ ] ( ) ( )

( )∫

ξ⋅βρ ±±

τξβρ=ξβρg

deegj2gF

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜⎜

⎝ π−=ξ−π

π+=ξ−π

∈

−

+

±

m

m

N2nN2n

equazioni seguenti le soddisfano meglio che Z N


Coefficienti di Diffrazione (5/5)Coefficienti di Diffrazione (5/5)

Lontano dai confini d’ombra F≈1 ⇒ coefficienti di diffrazione di Keller (Geometrical Theory( yof Diffraction)

⎤⎡

( )( )

( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ξ−π

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ξ−π

⋅πβ

π⋅−=φφρ

+−

π−

ncosncos

1

ncosncos

12n

nsinen,',,D

4j

s

( ) ( )⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝⎠⎝ nnnn

( ) ⎥⎤

⎢⎡πj

( )( )

( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ−π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ξ−π

⋅πβ

π⋅−=φφρ

+−

π−

ncosncos

1

ncosncos

12n

nsinen,',,D

4j

s


EsempioEsempio

Hi

Ei

φ’ = 45P(10,φ)( ,φ)

θ


Incidenza Obliqua

⎧ ⎞⎛ ⎤⎡⎤⎡πj

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]⎩⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξβ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ξ−π+ξβ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ξ+π⋅

β⋅πβ−

=φφρ −−−

−+−π−

LgFn2

cotLgFn2

cotsin2n2

en,',,D '0

4jh,s

( )[ ] ( )[ ] ⎫⎟⎞

⎜⎛ ⎤⎡ ξ−π⎤⎡ ξ+π ++

( )[ ] ( )[ ]⎭⎬⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξβ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ξ−π+ξβ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ξ+π⋅Δ+ +−++ LgF

n2cotLgF

n2cot

( )⎪⎧ β⋅ Piana Incidente Onda sins '

02

( ) ( )

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨ +β⋅⋅β⋅

= Cilindrica Incidente Onda 'sssin'ssins

L'00

( )⎪⎪⎪

⎩ +β⋅⋅ Conica o Sferica Incidente Onda

'sssin'ss '

02


Conclusioni

Lo studio e l’analisi di un sistema elettromagnetico può sempre essere condotto inLo studio e l analisi di un sistema elettromagnetico può sempre essere condotto inlinea di principio risolvendo le equazioni di Maxwell e calcolando così i campi E e H inogni punto della regione di interesse;

In molti casi pratici tuttavia si adotta un approccio a raggi allo studio dellapropagazione, più semplice ed intuitivo; la propagazione dell’onda EM daltrasmettitore al ricevitore viene descritta per mezzo di raggi ottici che interagisconop gg gcon l’ambiente reale di propagazione generando riflessioni, trasmissioni (OtticaGeometrica Classica) e diffrazione (Teoria Geometrica della Diffrazione);

La traiettoria di ogni raggio viene determinata per mezzo delle leggi della riflessione(riflessione speculare), della trasmissione (legge di Snell) e della diffrazione (cono diKeller). L’andamento del campo ‐ e quindi della potenza ‐ lungo un raggio vienedeterminato per mezzo dei coefficienti di riflessione, trasmissione e diffrazione.


Diffrazione Multipla (1/5)

Ipotesi : ‐ trattazione scalare;‐ spigoli paralleli;‐ sorgente puntiforme (onda sferica)

Tubo di flusso infinitesimo ⇒ superfici ≈ pianelati del “cuneo” ≈ uguali (r, ρ)

S

r0θ0 θ< 0A

BOnda incidente sferica ⇒ onda diffratta generica

dAρ

dAρ

B

( ) ( ) ( )sss,,A

21

2121 +ρ⋅+ρ

ρ⋅ρ=ρρ

rIn particolare ρ1 = ρ essendo una delle duecaustiche coincidente col segmento AB



βA A

dAρ dA

β2

β2 β2r0

S B CB

r

ρ

β1β1β1

I triangoli BAS e BCA sono evidentemente uguali ⇒ ρ2 = r0+ρ

( )( ) ( )( )

( )( )rrrr

srsrA

0

0rs0

0

+⋅ρ+⋅ρ

=+ρ+⋅+ρ

ρ+⋅ρ=

=+ρ

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

{ ( )( )

( )rrrreDEe

rrrrDrEe

rrrrErrE

00

rrj

0rj-

0

0

reE

00-rj-

0

00

0

0

0rj0

+⋅⋅=⋅

+⋅⋅⋅⎯⎯ →⎯⋅

+⋅ρ+

⋅ρ⋅ρ=++β−

β→ρ

ρβ

β−



θ< 0Sr0θ0 A

B

r1 D

ρdA

θ< 0

dAρ

B

C( ) ( ) ( )ss

s,,A2

22 +ρ⋅+ρ

ρ⋅ρ=ρρ

r

Triangoli DSC e DC’C sono ugualiTriangoli DSC e DC C sono uguali

α2D

αα

Dr1

S

A

B

β2dAρ dAr0

C’C

α2α2

C

1

ρ2 = r0 + r1 + ρ

r

S Bβ1

ρ

α1C

α1α1

C( )( )rrrr

rrA10

10

++⋅++ρ⋅ρ

=


Diffrazione Multipla (4/5)Diffrazione Multipla (4/5)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

rj-

10

102100

-rj-

10

1010 e

rrrrrrDrrEe

rrrrrrErrrE β

→ρρβ ⋅

++⋅+

⋅⋅+⎯⎯ →⎯⋅++⋅ρ++

⋅ρ⋅ρ=++

Per quanto visto per la singola diffrazione:

( )( )

( )1010

rrj

1010 rrrreDErrE

01

+⋅⋅=+

+β−

( )( )eDDErrrE

rrrj 10

⋅⋅⋅=++++β−

( )( )rrrrrr

DDErrrE1010

21010 ++⋅⋅⋅=++


Diffrazione Multipla (5/5) E’ possibile generalizzare al caso di n edges paralleli consecutivi:

Scelta l’origine delle s sull’ultimo edge (ρ ρ 0) :

( )( )rrrrrr

r...rrrA1210

1n210

+++++⋅++++

= −

Scelta l origine delle s sull ultimo edge (ρ1 = ρ = 0) :rn‐1

r1( )rr...rrrr 1n210 +++++ −

( )( )

( )eD...DDERE

rr...rrrjn21

01n210⋅

=+++++β− −

r0 r

R( )

( )rr...rrrrr...rrrERE

1n2101n2100 +++++⋅ −−

Limiti del modello:

1 2 n

Limiti del modello:‐ spigoli reciprocamente orientati in maniera arbitraria;‐ scelta dei valori Li per i ≥ 2;‐multipla diffrazione nella regione di transizione: Slope Diffraction[9]:‐multipla diffrazione nella regione di transizione: Slope Diffraction[ ]:

( ) nDiffractio Slope di coeff. : '

Dd ; eAd'

E's

1j1DQEE

h,shs,sjh,s

Q

ih,s

Did

Dφ∂

∂=⋅⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

φ∂∂

β+⋅= β−


⎦⎣

DiffusioneLe pareti degli edifici non sono mai piane infinitamente estese, ne’ gli spigoli sonotrasversalmente illimitati ⇒ il numero di raggi generati da una parete reale per riflessionee diffrazione (da spigolo e da vertice) e’ talmente elevato che una descrizione dettagliatadi ogni contributo non e’ praticamente gestibile;

L ti d li difi i i li l di ità d i t i liLe pareti degli edifici non sono mai omogenee e lisce ⇒ la disomogeneità dei materiali ela rugosità superficiale determinano una ridistribuzione della potenza incidente anche indirezioni diverse da quella speculare;

Tutti tali contributi generano complessivamente il

campo diffuso dalla parete p p

Come valutare il campo diffuso?(es. RCS[10] + Physical Optics[11], RCS + Coeff. Rugosità equivalente, ...)( y p , g q , )E’ possibile definire un Raggio Diffuso?(non vale per la diffusione il principio del campo locale…)


Conclusioni

In ambiente reale non sempre e’ trascurabile il contributo di raggi che raggiungono ilIn ambiente reale non sempre e trascurabile il contributo di raggi che raggiungono ilricevitore dopo aver subito multiple diffrazioni (es. raggio Over Roof Top). La valutazionedi tali contributi non e’ immediata, poiché l’onda che si propaga dopo la primadiffrazione non e’ sempre riconducibile ad una delle tipologie canoniche (piana, sferica,diffrazione non e sempre riconducibile ad una delle tipologie canoniche (piana, sferica,cilindrica). Inoltre, qualora il cammino diffratto si propaghi all’interno della regione ditransizione occorre considerare anche il termine aggiuntivo di Slope Diffraction;

Le pareti degli edifici non sono mai piane omogenee ed infinitamente estese, ne’ glispigoli sono trasversalmente illimitati. La potenza complessivamente incidente su di unaparete reale viene pertanto diffusa praticamente in tutte le direzioni (diagramma discattering).L i tà i t i h d l i di diff i ( ’ f l l )Le proprietà intrinseche del meccanismo di diffusione (non e’ un fenomeno locale) nonpermettono una facile estensione dei modelli a raggi al fenomeno dello scattering.


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