Ottica geometrica 1 19 dicembre 2013

Definizioni

Approssimazioni

Stigmatismo

Specchio concavo, fuoco

Invertibilita` del cammino ottico

Immagini e oggetti virtuali

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Definizioni

• Si dice oggetto un corpo che emette luce propria o diffonde luce di un’altro corpo

• Strumento ottico e` un apparato, semplice o complesso, che riflette o rifrange la luce emessa da un oggetto

• Esempi ne sono uno specchio, una lente, l’occhio, un telescopio• Immagine e` la luce emessa dall’oggetto dopo essere stata

trasformata dallo strumento ottico e raccolta su uno schermo (torneremo sul concetto)

• L’ottica geometrica (OG) studia la formazione di immagini mediante strumenti ottici, considerando la luce emessa dall’oggetto come un insieme di raggi

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Approssimazioni dell’OG

• Nell’OG si considera la luce come formata da particelle che si muovono in line retta e interagiscono con le superfici dello strumento ottico secondo le leggi della riflessione e della rifrazione

• Nell’OG non entra mai in gioco la natura ondulatoria della luce

• Tale approssimazione e` generalmente ben soddisfatta, perche’ le dimensioni delle superfici degli strumenti ottici sono molto maggiori della lunghezza d’onda della luce

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Forma dello strumento ottico

• Ci limiteremo a studiare il caso in cui – gli strumenti ottici abbiano un asse di simmetria cilindrica– gli elementi dello strumento siano costituiti solo da

porzioni di superfici piane o sferiche

• In tal modo rimangono definiti per ciascuna superficie – un centro C e un raggio di curvatura R– un vertice V come intersezione tra la superficie e l’asse

V C

R

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Stigmatismo

• Uno strumento ottico e` detto stigmatico se trasforma un punto oggetto in un unico punto immagine: e` una condizione essenziale per una buona definizione dell’immagine

• Lo strumento puo` essere stigmatico per uno o alcuni punti oppure puo` esserlo per tutti i punti dello spazio oggetto

• Lo stigmatismo e` difficile da ottenere

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Ottica gaussiana

• Si puo` ottenere stigmatismo in modo approssimato a condizione di usare raggi parassiali, cioe` poco inclinati rispetto all’asse ottico dello strumento e poco distanti da esso

• La piccola inclinazione permette di approssimare la tangente e il seno di un’angolo con l’angolo stesso (espresso in radianti)

• In questa approssimazione gaussiana gli angoli ’ sono tutti piccoli e la sagitta HV, relativa al semi-arco NV si puo` considerare nulla

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VCP Q

N

H ’

Aberrazioni

• Le eqq. che ricaveremo per le immagini formate da uno strumento ottico sono valide solo nell’approssimazione parassiale

• Non sono più accurate quando consideriamo– raggi con grandi angoli rispetto all’asse – raggi lontani dall’asse– luce non monocromatica per elementi ottici rifrattivi

• Questo fenomeno ha diversi aspetti, chiamati nell’insieme aberrazioni

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Tipi di elemento ottico

• Una superficie di uno strumento che presenta solo riflessione e` detta superficie catottrica o specchio

• Una superficie di uno strumento che presenta rifrazione e` detta superficie diottrica o diottro

• Le superfici rifrangenti presentano anche riflessione, ma in approssimazione parassiale (piccoli angoli di incidenza) l’onda riflessa ha intensità piuttosto piccola e viene trascurata (o considerata parassita)

• Una lente è l’insieme di due diottri

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Formazione delle immagini

• Studieremo dapprima la formazione dell’immagine per un punto sull’asse

• In un secondo momento studieremo cosa succede per un punto fuori asse

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Formazione delle immagini

• Dopo aver interagito con un elemento ottico i raggi possono convergere sul punto immagine, e raggiungerlo

• Dopo di che ne divergono come se l’immagine fosse un oggetto e non è possibile distinguere la luce proveniente da un’immagine da quella proveninente da un oggetto

• L’immagine di un elemento ottico diventa così l’oggetto dell’elemento successivo

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Specchio concavo (1)

• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente sull’asse a sinistra di C

• Consideriamo un raggio (luminoso) PN emesso da P e incidente sul punto N dello specchio

• Tracciamo il raggio (geometrico) CN dal centro dello specchio a N: l’angolo PNC e` l’angolo d’incidenza i

• Il raggio PN viene riflesso secondo l’angolo di riflessione CNQ=r

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VCP Q

Ni r

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Specchio concavo (1)

• Con riferimento alla figura, abbiamo le seguenti due uguaglianze geometriche

• Sommando membro a membro ed eliminando i ed r

• Esprimiamo le tangenti degli angoli

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C VP Q

N

H ’

i r

r ' i

2'

CHNHtg QHNHtg 'PHNHtg

• Diciamo y la distanza trasversale NH

• o la distanza dell’oggetto dal vertice

• i la distanza dell’immagine dal vertice

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Specchio concavo (1)

• Nell’approssimazione di Gauss le tangenti sono assimilabili agli angoli, HV ~ 0 e quindi

• E sostituendo in otteniamo

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Rio

211

2'

VCP Q

N

o

iR

Rytg / iytg /'' oytg /

Il valore di i non dipende dalparticolare raggio, ovvero da o y, quindi si ha stigmatismo

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Stigmatismo approssimato• Se non facessimo approssimazioni, detto • otterremmo

• E siccome otteniamo

• E infine

• Poiche’ la posizione dell’immagine dipende da y, non avremmo stigmatismo

• L’AG consiste nel fermarsi al primo ordine in y, ottenendo cosi’ stigmatismo approssimato

cos12

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2' 2

2

R

tgtgtgtg

tgtgtgyx

tg

yx

tg

yi

i1

2

R1

o

cos1 RHVx

2

2

2

11112

121

R

yR

oRy

oR

oR

Ry

i

)cos( Rytg 21cos Ry

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Fuoco

• Se facciamo tendere P all’infinito ( ) il raggio PN diventa parallelo all’asse e il raggio riflesso interseca l’asse in un punto F detto fuoco

• Dall’eq. dello specchio ricaviamo la posizione del fuoco (i = f)

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VC F

N

f R

2

o

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Invertibilità dei raggi

• In ottica esiste il principio di invertibilità del raggio luminoso (o cammino ottico), secondo cui invertendo il verso di un raggio, si ottiene ancora un possibile raggio

• Applicato al caso precedente possiamo allora affermare che un raggio emesso dal fuoco viene riflesso parallelamente all’asse

• Allora o = f e

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VC F

N

i

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Specchio concavo (2)

• Anche per punti oggetto P compresi tra C e F possiamo ripetere la costruzione già vista e ottenere la stessa equazione

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Rio

211

VC F

N

PQ

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Specchio concavo (3)• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente

sull’asse a destra di F• Il raggio riflesso e l’asse sono ora divergenti e non esiste un

punto in cui i raggi convergano• Se prolunghiamo il raggio riflesso al di là dello specchio, esiste

però un’intersezione Q con l’asse che viene detta immagine virtuale di P: non sono i raggi, ma i loro prolungamenti geometrici che si incontrano

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VC P Q

N

F

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Specchio concavo (3)

• In tal caso valgono le relazioni geometriche

• Sommando membro a membro e semplificando

• Come nel caso precedente approssimiamo l’angolo con la tangente, ottenendo

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r '

i

'2

1

o1

i2

R

VC P Q

N

F

'

ri

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Immagini virtuali• A differenza delle immagini reali, nelle immagini virtuali i

raggi luminosi non convergono in un punto e quindi non possono essere raccolte su uno schermo

• Mediante un sistema ottico, possono però essere focalizzati su uno schermo ove formano un’immagine reale

• Anche l’occhio può svolgere tale funzione, in questo caso lo schermo è la retina dell’occhio

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VC P Q

N

F

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Oggetti virtuali• Supponiamo che un elemento ottico faccia convergere i raggi

che lo colpiscono• Se questi raggi sono successivamente intercettati da un

secondo elemento ottico, l’immagine del primo elemento puo` anche non formarsi

• Ciononostante l’immagine che si formerebbe può essere considerata come un oggetto virtuale per il secondo elemento ottico

• P. e. l’immagine creata da un elemento ottico convergente, p.e. una lente, che cadesse dietro uno specchio, costituisce un oggetto virtuale per lo specchio

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