Ottica geometrica 1 19 dicembre 2013
Definizioni
Approssimazioni
Stigmatismo
Specchio concavo, fuoco
Invertibilita` del cammino ottico
Immagini e oggetti virtuali
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Definizioni
• Si dice oggetto un corpo che emette luce propria o diffonde luce di un’altro corpo
• Strumento ottico e` un apparato, semplice o complesso, che riflette o rifrange la luce emessa da un oggetto
• Esempi ne sono uno specchio, una lente, l’occhio, un telescopio• Immagine e` la luce emessa dall’oggetto dopo essere stata
trasformata dallo strumento ottico e raccolta su uno schermo (torneremo sul concetto)
• L’ottica geometrica (OG) studia la formazione di immagini mediante strumenti ottici, considerando la luce emessa dall’oggetto come un insieme di raggi
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Approssimazioni dell’OG
• Nell’OG si considera la luce come formata da particelle che si muovono in line retta e interagiscono con le superfici dello strumento ottico secondo le leggi della riflessione e della rifrazione
• Nell’OG non entra mai in gioco la natura ondulatoria della luce
• Tale approssimazione e` generalmente ben soddisfatta, perche’ le dimensioni delle superfici degli strumenti ottici sono molto maggiori della lunghezza d’onda della luce
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Forma dello strumento ottico
• Ci limiteremo a studiare il caso in cui – gli strumenti ottici abbiano un asse di simmetria cilindrica– gli elementi dello strumento siano costituiti solo da
porzioni di superfici piane o sferiche
• In tal modo rimangono definiti per ciascuna superficie – un centro C e un raggio di curvatura R– un vertice V come intersezione tra la superficie e l’asse
V C
R
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Stigmatismo
• Uno strumento ottico e` detto stigmatico se trasforma un punto oggetto in un unico punto immagine: e` una condizione essenziale per una buona definizione dell’immagine
• Lo strumento puo` essere stigmatico per uno o alcuni punti oppure puo` esserlo per tutti i punti dello spazio oggetto
• Lo stigmatismo e` difficile da ottenere
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Ottica gaussiana
• Si puo` ottenere stigmatismo in modo approssimato a condizione di usare raggi parassiali, cioe` poco inclinati rispetto all’asse ottico dello strumento e poco distanti da esso
• La piccola inclinazione permette di approssimare la tangente e il seno di un’angolo con l’angolo stesso (espresso in radianti)
• In questa approssimazione gaussiana gli angoli ’ sono tutti piccoli e la sagitta HV, relativa al semi-arco NV si puo` considerare nulla
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VCP Q
N
H ’
Aberrazioni
• Le eqq. che ricaveremo per le immagini formate da uno strumento ottico sono valide solo nell’approssimazione parassiale
• Non sono più accurate quando consideriamo– raggi con grandi angoli rispetto all’asse – raggi lontani dall’asse– luce non monocromatica per elementi ottici rifrattivi
• Questo fenomeno ha diversi aspetti, chiamati nell’insieme aberrazioni
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Tipi di elemento ottico
• Una superficie di uno strumento che presenta solo riflessione e` detta superficie catottrica o specchio
• Una superficie di uno strumento che presenta rifrazione e` detta superficie diottrica o diottro
• Le superfici rifrangenti presentano anche riflessione, ma in approssimazione parassiale (piccoli angoli di incidenza) l’onda riflessa ha intensità piuttosto piccola e viene trascurata (o considerata parassita)
• Una lente è l’insieme di due diottri
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Formazione delle immagini
• Studieremo dapprima la formazione dell’immagine per un punto sull’asse
• In un secondo momento studieremo cosa succede per un punto fuori asse
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Formazione delle immagini
• Dopo aver interagito con un elemento ottico i raggi possono convergere sul punto immagine, e raggiungerlo
• Dopo di che ne divergono come se l’immagine fosse un oggetto e non è possibile distinguere la luce proveniente da un’immagine da quella proveninente da un oggetto
• L’immagine di un elemento ottico diventa così l’oggetto dell’elemento successivo
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Specchio concavo (1)
• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente sull’asse a sinistra di C
• Consideriamo un raggio (luminoso) PN emesso da P e incidente sul punto N dello specchio
• Tracciamo il raggio (geometrico) CN dal centro dello specchio a N: l’angolo PNC e` l’angolo d’incidenza i
• Il raggio PN viene riflesso secondo l’angolo di riflessione CNQ=r
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VCP Q
Ni r
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Specchio concavo (1)
• Con riferimento alla figura, abbiamo le seguenti due uguaglianze geometriche
• Sommando membro a membro ed eliminando i ed r
• Esprimiamo le tangenti degli angoli
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C VP Q
N
H ’
i r
r ' i
2'
CHNHtg QHNHtg 'PHNHtg
• Diciamo y la distanza trasversale NH
• o la distanza dell’oggetto dal vertice
• i la distanza dell’immagine dal vertice
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Specchio concavo (1)
• Nell’approssimazione di Gauss le tangenti sono assimilabili agli angoli, HV ~ 0 e quindi
• E sostituendo in otteniamo
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Rio
211
2'
VCP Q
N
o
iR
Rytg / iytg /'' oytg /
Il valore di i non dipende dalparticolare raggio, ovvero da o y, quindi si ha stigmatismo
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Stigmatismo approssimato• Se non facessimo approssimazioni, detto • otterremmo
• E siccome otteniamo
• E infine
• Poiche’ la posizione dell’immagine dipende da y, non avremmo stigmatismo
• L’AG consiste nel fermarsi al primo ordine in y, ottenendo cosi’ stigmatismo approssimato
cos12
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2' 2
2
R
tgtgtgtg
tgtgtgyx
tg
yx
tg
yi
i1
2
R1
o
cos1 RHVx
2
2
2
11112
121
R
yR
oRy
oR
oR
Ry
i
)cos( Rytg 21cos Ry
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Fuoco
• Se facciamo tendere P all’infinito ( ) il raggio PN diventa parallelo all’asse e il raggio riflesso interseca l’asse in un punto F detto fuoco
• Dall’eq. dello specchio ricaviamo la posizione del fuoco (i = f)
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VC F
N
f R
2
o
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Invertibilità dei raggi
• In ottica esiste il principio di invertibilità del raggio luminoso (o cammino ottico), secondo cui invertendo il verso di un raggio, si ottiene ancora un possibile raggio
• Applicato al caso precedente possiamo allora affermare che un raggio emesso dal fuoco viene riflesso parallelamente all’asse
• Allora o = f e
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VC F
N
i
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Specchio concavo (2)
• Anche per punti oggetto P compresi tra C e F possiamo ripetere la costruzione già vista e ottenere la stessa equazione
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Rio
211
VC F
N
PQ
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Specchio concavo (3)• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente
sull’asse a destra di F• Il raggio riflesso e l’asse sono ora divergenti e non esiste un
punto in cui i raggi convergano• Se prolunghiamo il raggio riflesso al di là dello specchio, esiste
però un’intersezione Q con l’asse che viene detta immagine virtuale di P: non sono i raggi, ma i loro prolungamenti geometrici che si incontrano
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VC P Q
N
F
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Specchio concavo (3)
• In tal caso valgono le relazioni geometriche
• Sommando membro a membro e semplificando
• Come nel caso precedente approssimiamo l’angolo con la tangente, ottenendo
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r '
i
'2
1
o1
i2
R
VC P Q
N
F
'
ri
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Immagini virtuali• A differenza delle immagini reali, nelle immagini virtuali i
raggi luminosi non convergono in un punto e quindi non possono essere raccolte su uno schermo
• Mediante un sistema ottico, possono però essere focalizzati su uno schermo ove formano un’immagine reale
• Anche l’occhio può svolgere tale funzione, in questo caso lo schermo è la retina dell’occhio
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VC P Q
N
F
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Oggetti virtuali• Supponiamo che un elemento ottico faccia convergere i raggi
che lo colpiscono• Se questi raggi sono successivamente intercettati da un
secondo elemento ottico, l’immagine del primo elemento puo` anche non formarsi
• Ciononostante l’immagine che si formerebbe può essere considerata come un oggetto virtuale per il secondo elemento ottico
• P. e. l’immagine creata da un elemento ottico convergente, p.e. una lente, che cadesse dietro uno specchio, costituisce un oggetto virtuale per lo specchio
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