Summary 6Le misure di posizione:

- La media geometrica semplice- La media geometrica ponderata

Esercizi

La media geometrica sempliceE’ una media simile a quella aritmetica ma dove l’operazione somma è sostituita dal prodotto ed invece di dividere per il numero di elementi si calcola la radice n-esima del prodotto di tutti gli elementi.

Partiamo da un esempio sulla media aritmetica:

Dati i valori 1,3,5,7 la media aritmetica è pari a:

M = (1 + 3 + 5 + 7) / 4 = 16/4=4

La media geometrica sempliceOra invece della somma calcoliamo il prodotto di tutti gli elementi

P = 1 x 3 x 5 x 7 = 15 x 7 = 105

Per calcolare la media geometrica anzichè dividere per 4 (come nel caso della media aritmetica semplice) dobbiamo fare la radice 4a di P:

La media geometrica sempliceRicordiamoci le semplici proprietà delle potenze e delle radici:

Calcolare la radice quadrata (cioè di ordine 2) di un numero equivale ad

elevarlo alla potenza 1/2

E più in generale: Calcolare la radice k-esima di un numero equivale ad elevare il numero stesso alla potenza 1/k

La media geometrica sempliceUtilizzando le potenze allora possiamo riscrivere la media geometrica come segue:

La media geometrica: un po’ di notazioneData la notazione della somma per la media aritmetica:

Nel caso della media geometrica possiamo introdurre un simbolo nuovo che

è la notazione per il prodotto:

Simbolo di Sommatoria: Serve ad abbreviare la somma di più addendi

Simbolo di Produttoria: Serve ad abbreviare il prodotto di un certo numero di fattori

La media geometrica: un po’ di notazioneDefiniamo pertanto la media aritmetica:

E la media geometrica

La media geometrica: un po’ di notazioneLeggiamo bene la formula della media geometrica:

● Si calcola il prodotto degli n valori

● Si eleva questo prodotto alla potenza 1/n. Ciò equivale a dire che si fa la radice n-esima di tale prodotto

● La produttoria calcola il prodotto degli n valori con indice che va da 1 ad n e si eleva la produttoria ad 1/n.

La media geometrica: un esempio (I) Calcoliamo la media geometrica di due valori generici a e b

● Si calcola il prodotto di 2 valori

● Si eleva questo prodotto alla potenza ½ che equivale a fare la radice quadrata di tale prodotto

La media geometrica un esempio (II)Calcoliamo la media geometrica dei valori 2 e 8

Se volessimo calcolare la media aritmetica invece:

(2 + 8) / 2 = 5

In questo esempio la media aritmetica è maggiore della media geometrica, questa proprietà è SEMPRE VALIDA:

La media geometrica & la media aritmeticaUna semplice proprietà della media geometrica è che questa è sempre minore della media aritmetica:

La media geometrica & i dati nulli o negativiLa media geometrica non può essere calcolata se uno dei valori è pari a 0. In questo caso si avrebbe sempre una media geometrica pari a 0 indipendentemente da tutti gli altri valori .

Infatti calcolando il prodotto secondo la formula della media geometrica, se uno dei fattori è nullo lo sarà anche il prodotto totale

In generale la media geometrica non può essere calcolata se uno o più valori sono nulli: la media geometrica esiste se e soltanto se tutti gli xi > 0

La media geometrica & i dati nulli o negativiLa media geometrica non può essere calcolata se uno o più valori è negativo

Infatti calcolando il prodotto secondo la formula della media geometrica, se il numero dei fattori negativi è dispari allora il prodotto totale avrà segno negativo e non sarà possibile calcolare le radici n-esime.

la media geometrica esiste se e soltanto se tutti gli xi > 0

La media geometrica e i quozientiE’ facile vedere che la media geometrica di un quoziente è pari al quoziente delle medie geometriche.

Infatti:

Le proprietà delle radici permettono di calcolare la radice di un quoziente come il quoziente delle radici

EsempioDati i seguenti set di dati X ed Y

X=1,2,3

Y=4,5,6

M= =0.36

La media geometrica e i quozienti: Un esempioSupponiamo che un albero di arance produca il seguente numero di arance anno per anno:

anno produzione Quoziente anno precedente

2015 100

2016 180 180 / 100 = 1.80

2017 210 210 /180 = 1.17

2018 300 300 / 210 = 1.43

Abbiamo il secondo anno una crescita dell’ 80%, il terzo anno del 16.6% ed il quarto anno del 42.85%.

Problema: qual è la crescita media più accurata ?

La media geometrica e i quozientiProblema qual è la crescita media più accurata ?

Media Aritmetica (con i quozienti)

Media Geometrica ( con i quozienti)

(1.80 + 1.17 + 1.43) / 3 = 1.47

(1.80 x 1.17 x 1.43)⅓ = 1.45

Usiamo i quozienti (valore produzione anno t / valore produzione anno precedente (t-1))

I valori delle medie sono molto simili ma ora calcoliamo cosa si ottiene con le due medie.

Nel primo caso con la media aritmetica la produzione stimata dopo 3 anni sarebbe di 318 arance, mentre quella predetta dalla media geometrica di 304 che si avvicina di più alla crescita media delle arance!

Arance stimate (M. aritm)

Arance stimate (M.geom)

Arance prodotte

100 100 100

100x1.47 = 147 100x1.45 = 145 180

147x1.47 = 216 145x1.45 = 210 210

216 x 1.47 = 318 210x1.45 = 304 300

La media geometrica: riepilogo

La media geometrica è sempre minore o uguale alla media aritmetica

La media geometrica è definita solo per valori positivi e non nulli

La media geometrica è il modo corretto di calcolare un valor medio di dati che vengono moltiplicati tra di loro o che rappresentano quozienti

Si presta pertanto molto bene a calcolare tassi di crescita medi ed interessi composti

Un esempio per le scienze sociali:

L’indice di sviluppo umano (HDI) delle nazioni unite, che contiene molti quozienti al suo interno, è calcolato usando le medie geometriche

Esercizio 1Supponiamo che Tizio investa in obbligazioni a tasso variabile un capitale X pari a 20.000 euro il cui tasso di interesse annuale è pari ai valori indicati in tabella:

Anno Tasso d’interesse

Tasso d’interesse %

1 0.015 1.5%

2 0.02 2%

3 0.027 2.7%

4 0.067 6.7%

Esercizio 1Calcolare la media aritmetica semplice del tasso d’interesse

M = (0.015+0.02+0.027+0.067)/4= 0.129/4= 0.03225= 3.225%

Calcolare la media geometrica semplice del tasso d’interesse

Mg=

= 0.0271=2.71%

Anche in questo caso si conferma che Mg <M

Esercizio 2Supponiamo che uno studente abbia sostenuto 5 esami riportando le seguenti votazioni:

Voti Esami

22 Diritto Privato

18 Statistica

24 Storia economica

28 Sociologia 1

30 Sociologia 2

Esercizio 2Calcolare la media geometrica dei voti

Mg=

= 24.012

Calcolare la media aritmetica dei voti

M= (22+18+24+30+28)/5= 24.4

Mg<M

La media geometrica ponderataLa media geometrica ponderata si utilizza se le modalità si ripetono più volte

Utilizzando le frequenze assolute mi abbiamo:

Nel caso delle frequenze relative fi abbiamo:

EsempioIn tabella sono riportati i valori dell’incremento del PIL di una regione dal 2006 al 2011. Calcolare il tasso d’incremento medio

T PIL

2006 2%

2007 3%

2008 1%

2009 2%

2010 5%

2011 3%

EsempioSoluzione:

Mg=

=2.376

Mgp=

=2.376

Il risultato non cambia!

T PIL

2006 2%

2007 3%

2008 1%

2009 2%

2010 5%

2011 3%

Esercizio 1Le temperature in gradi centigradi in Valtellina ad agosto sono riportate in Tabella

Temperature Giorni

6 2

5 4

4 6

3 5

2 8

1 6

Totale 31

Esercizio 1Soluzione.

Numero totale dei giorni : 2+4+6+5+8+6=31

A questo punto dobbiamo pesare la temperatura rispetto ai giorni

Mgp=

=25796