L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica Fisica Generale...

13. Ottica Geometrica

Fisica Generale B

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April 28, 2011

L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica

•! Abbiamo visto che le componenti dei campi elettrico e magnetico di un’onda elettromagnetica soddisfano l’equazione di d’Alambert:

•! Una volta che siano noti sia gli indici di rifrazione delle varie sostanze trasparenti che riempiono lo spazio, sia la posizione e le proprietà superficiali dei corpi opachi (assorbenti e riflettenti) presenti, il problema dell’ottica si riduce a trovare la soluzione dell’equazione di d’Alambert che soddisfa tutte le condizioni al contorno.

!2" =

1v 2

#2"#t2 , " = Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz

2!Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!

L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica (II)

•! Il problema è matematicamente estremamente difficile. Conviene quindi sviluppare teorie approssimate dei fenomeni luminosi che abbiano il vantaggio di una maggiore semplicità.

•! L’ottica geometrica è una teoria approssimata.

•! Una volta ricavate, da modelli ondulatori, le leggi della riflessione e della rifrazione per superfici d’onda piane e illimitate e superfici di separazione dei mezzi pure piane e illimitate, esse si applicano anche nei casi di superfici non piane e limitate.


L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica (III)

•! Questa approssimazione vale quando le dimensioni e i raggi di curvatura delle superfici d’onda e delle superfici di separazione dei mezzi sono grandi rispetto alla lunghezza d’onda.

•! Le superfici sono scomposte in elementi infinitesimi piani, ai quali si applicano le leggi della propagazione rettilinea, della riflessione e della rifrazione.

•! A queste superfici elementari si applica il concetto di raggio luminoso, inteso come asse di un cono di luce di apertura infinitesima e dunque come linea perpendicolare ai fronti d’onda.


L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica (IV)

•! L’approssimazione dell’ottica geometrica non vale più quando la lunghezza d’onda diviene confrontabile o superiore alle dimensioni delle superfici e ai raggi di curvatura.

•! Quando ciò accade, si presentano i fenomeni di diffrazione, non previsti dall’ottica geometrica.


Propagazione Rettilinea della Luce

•! Ottica geometrica (propagazione rettilinea della luce): lo spazio invaso dalla luce, al di là di uno schermo forato opaco, è limitato al solo cono avente per vertice la sorgente puntiforme S e per base il contorno del foro.

•! Diffrazione: deviazione dalla propagazione rettilinea.

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Propagazione Rettilinea della Luce (II)

•! Una lente convergente avente il fuoco in S trasforma le onde sferiche in onde piane.

•! Ottica geometrica (propagazione rettilinea della luce): lo spazio invaso dalla luce, al di là di un diaframma forato opaco, è un cilindro avente per base il contorno del foro.

•! Diffrazione: il fascio si allarga.

Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!

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7!

Diffrazione

•! Se ! << a le onde passano attraverso la fenditura e lo schermo proietta un’ombra netta (ottica geometrica). La luce viaggia per percorsi rettilinei che possiamo rappresentare come raggi.

•! Se invece ! diventa confrontabile con a, allora la luce si espande nella regione dell’ombra geometrica (diffrazione).


Allargamento del fascio a causa della diffrazione

Diffrazione (II)

•! A causa della diffrazione, un fascio di luce tende sempre ad allargarsi. La diffrazione impone perciò un limite inferiore alla larghezza angolare di un fascio.

•! L’angolo con cui un fascio di luce si allarga è dell’ordine del rapporto tra lunghezza d’onda e dimensione trasversale del fascio:


! ! "a

Diffrazione (III)

•! L’ottica geometrica non può essere utilizzata quando la dimensione trasversale di un fascio (e dunque la dimensione della fenditura che lo ha generato) è dello stesso ordine di grandezza o più piccola della lunghezza d’onda:

a < !a ! !

"#$

% Ottica geometrica non può essere utilizzata


Diffrazione (IV)

•! Diffrazione di un bordo rettilineo (fenomeni diffrattivi di Fresnel).

•! La zona illuminata si estende nell’ombra geometrica fino alla distanza: .

l

d Ottica geometrica Diffrazione

Allargamento del fascio di luce

!l 2


Diffrazione (V)

•! Non si può utilizzare l’ottica geometrica quando siano presenti sul percorso della luce fenditure di larghezza confrontabile con la lunghezza d’onda.

•! Non si può utilizzare l’ottica geometrica neppure nel caso in cui si sia interessati a un dettaglio su una scala di distanze confrontabili con la lunghezza d’onda.


Il Raggio Luminoso

•! Il raggio luminoso è una traiettoria perpendicolare al fronte d’onda che indica la direzione in cui si muove l’onda.

•! Il raggio è una comoda costruzione geometrica. Non è un’entità fisica.


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Riflessione e Rifrazione

•! Legge della riflessione: il raggio riflesso giace nel piano di incidenza (cioè il piano definito dal raggio incidente e dalla normale nel punto di incidenza P), inoltre:

•! Legge della rifrazione o legge di Snell: il raggio rifratto giace nel piano di incidenza (cioè il piano definito dal raggio incidente e dalla normale nel punto di incidenza P), inoltre:

!r = !i

sin!isin!t

=n2n1, n = c

v


Principio di Huygens-Fresnel

•! Christian Huygens (1629-1695), Augustin Jean Fresnel (1788-1827). •! Il principio di Huygens-Fresnel è una costruzione geometrica che

consente di prevedere la propagazione di un fronte d’onda del quale si conosce la posizione a un dato istante.

•! Nota la posizione del fronte d’onda al tempo t0, il principio di Huygens-Fresnel consente di determinare la posizione del fronte d’onda al tempo t0 + !t: –! Ogni elemento di un fronte d’onda è sorgente di un’onda sferica

secondaria, di ampiezza proporzionale all’ampiezza dell’onda incidente nel punto considerato;

–! Dopo un tempo !t la nuova posizione del fronte d’onda sarà la superficie di inviluppo di queste onde secondarie, ovvero la superficie tangente a tutte le onde secondarie.


Principio di Huygens-Fresnel (II)

•! I punti blu sul fronte d’onda al tempo t = t0 sono sorgenti di onde secondarie sferiche (disegnate in blu tratteggiato nella figura).

•! Nell’intervallo di tempo !t le onde secondarie (sferiche) raggiungono tutte il raggio c !t.

•! L’inviluppo di queste onde (cioè la superficie tangente a tutte le onde secondarie) è la superficie del fronte d’onda al tempo t = t0 + !t .

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Principio di Huygens-Fresnel (III)

•! Il principio di Huygens-Fresnel produce risultati soddisfacenti anche in caso di diffrazione.

•! La superficie di inviluppo delle onde secondarie indica infatti una propagazione delle onde anche nella zona di ombra geometrica.

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Principio di Huygens-Fresnel. Formulazione Matematica di Kirchhoff

•! Gustav Kirchhoff (1824-1887). •! Somma delle ampiezze in luogo dell’inviluppo. •! L’onda secondaria è sfasata di 90º rispetto all’onda incidente. •! L’onda secondaria è attenuata di un fattore K(!) (fattore di

inclinazione):

Non si ha quindi propagazione indietro.

K !( ) = 1

2"1+ cos!( )


Principio di Huygens-Fresnel e Legge della Riflessione

•! Consideriamo, in un certo istante t0, il fronte d’onda AG. Si ha:

•! Tale fronte d’onda, per procedere fino a C deve percorrere la distanza:

e impiegando il tempo:

•! Nello stesso tempo !t, il fronte dell’onda secondaria in A è divenuto una superficie sferica di raggio s = AF.


GAC = !i

GC = s

!t = sv

Principio di Huygens-Fresnel e Legge della Riflessione (II)

•! La superficie di inviluppo delle onde secondarie è il piano per FC. •! I triangoli rettangoli AFC e AGC sono congruenti:

avendo l’ipotenusa condiviso e i cateti FA = s = GC.

•! Segue che gli angoli corrispondenti dei due triangoli sono congruenti:


AFC ! AGC

!r = FCA = GAC = !i!r = !i

Principio di Huygens-Fresnel e Legge della Rifrazione

•! Consideriamo, in un certo istante t0, il fronte d’onda AE. Si ha:

•! Tale fronte d’onda, per procedere fino a C deve percorrere la distanza:

e impiegando il tempo:

•! Nello stesso tempo !t, il fronte dell’onda secondaria in A è divenuto una superficie sferica di raggio s2 = AF:

!"#$%&'#$()*$+*(&$%&

"),,*#*$+*(&$%&

!"#$%&'#$()'-&+#$()"*)


EAC = !i

EC = s1

!t =s1v1

s2 = v2 !t = v2s1v1

Principio di Huygens-Fresnel e Legge della Rifrazione (II)

•! La superficie di inviluppo delle onde secondarie è il piano per FC. •! Si ha pertanto: !"#$%&'#$()

*$+*(&$%&

"),,*#*$+*(&$%&

!"#$%&'#$()'-&+#$()"*)


s2s1

=v2v1

sin!tsin!i

=

s2ACs1AC

=s2s1

=v2v1

sin!tsin!i

=v2v1

Specchio Piano

•! La sorgente puntiforme O è denominata oggetto.

•! I prolungamenti dei raggi riflessi oltre lo specchio si incontrano nel punto I detto immagine.


Specchio Piano (II)

•! L’immagine dista dallo specchio quanto l’oggetto. Infatti:

•! Dalla congruenza dei due triangoli, segue in particolare che:

AOB = OBn (alterni interni)OBn = nBr (legge riflessione)nBr = pBI (opposti al vertice)pBI = AIB (alterni interni)

!

"##

$##

% AOB = AIB % AOB & AIB


AI ! OAdI = dO

L’Occhio


Formazione dell’Immagine nell’Occhio

•! L’occhio è schematizzabile mediante un diottro sferico (non una lente).

•! Il diottro trasforma un’onda sferica divergente in un’onda sferica convergente.

•! L’onda sferica divergente emessa dall’oggetto (sorgente puntiforme) converge nell’immagine sulla retina.


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Nomenclatura

•! Una sorgente puntiforme di luce O (punto oggetto) emette un’onda luminosa sferica (in un mezzo omogeneo e isotropo).

•! Una porzione di questa sfera si può rappresentare con un fascio di raggi che passano tutti per il medesimo punto O (fascio di raggi omocentrico).

•! Se l’onda investe un sistema ottico, l’onda che esce può essere sferica convergente o divergente (sistema ottico stigmatico) o non-sferica (sistema ottico astigmatico: i raggi uscenti non sono omocentrici).

•! Il punto in cui passano tutti i raggi emergenti da un sistema ottico stigmatico si dice punto immagine. Punto oggetto e punto immagine si dicono anche punti coniugati.

•! Il punto immagine si dice reale se i raggi passano effettivamente attraverso di esso, si dice virtuale se passano attraverso di esso soltanto i prolungamenti dei raggi.


Formazione dell’Immagine nell’Occhio (II)

•! Un oggetto esteso può essere pensato come un insieme di sorgenti puntiformi.

•! L’immagine, formata sulla retina, è l’insieme delle immagini di tutte le sorgenti puntiformi.

•! L’immagine sulla retina di un oggetto esteso risulta rovesciata e rimpicciolita.


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Specchio piano (III)

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•! L’immagine sulla retina di una sorgente puntiforme riflessa da uno specchio è uguale a quella di una sorgente puntiforme che si trovi nella posizione dell’immagine virtuale.

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Specchio piano (IV)

•! L’immagine sulla retina di una sorgente estesa riflessa da uno specchio è uguale a quella di una sorgente estesa che si trovi nella posizione dell’immagine virtuale.

Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica! 30!

L’Immagine Speculare

•! L’immagine speculare di una mano sinistra è una mano destra e viceversa.

•! Come mai lo specchio scambia la destra e la sinistra ma non l’alto e il basso?


mano destra

mano sinistra

31!

L’Immagine Speculare (II)

•! Come mai lo specchio scambia la destra e la sinistra ma non l’alto e il basso?

•! Il concetto di “alto” è un vettore polare: –! Vettore con origine

nei piedi e vertice in testa.

•! Il concetto di “destra” è un vettore assiale: –! Prodotto vettoriale

dell’“avanti” con l’“alto”.


L’Immagine Speculare (III)

•! L’alto è inteso come la parte del nostro corpo in cui si trova la testa.

•! Ma la mano destra non è intesa come la mano in cui si trova la fede. Se così fosse non ci sarebbe lo scambio destra-sinistra.

•! La destra è intesa come prodotto vettoriale dell’“avanti” con l’“alto”.

•! Perciò il concetto di destra è un vettore assiale.


L’Immagine Speculare (IV)

•! Vediamo come si presenta l’immagine riflessa di un vettore polare e di un vettore assiale.

•! Consideriamo due vettori polari a e b e il loro prodotto vettoriale c, che è un vettore assiale:

•! L’immagine speculare di questi vettori è:

!a = a1ı + a2! + a3k,!b = b1ı + b2! + b3k

!c = !a !!b = a2b3 " a3b2( ) ı + a3b1 " a1b3( ) ! + a1b2 " a2b1( ) k =

= c1ı + c2! + c3k

!!a = a1ı + a2! " a3k,!!b = b1ı + b2! " b3k

!!c = !!a #!!b = a2 "b3( )" "a3( )b2$% &' ı + "a3( )b1 " a1 "b3( )$% &' ! + a1b2 " a2b1$% &' k =

= "c1ı " c2! + c3k


L’Immagine Speculare (V)

•! Vettori polari e vettori assiali si trasformano diversamente per riflessione speculare.

•! I vettori polari invertono soltanto la componente perpendicolare allo specchio.

•! I vettori assiali invertono le due componenti parallele allo specchio.


Riflessione Totale

!

•! Quando un raggio di luce incide sulla superficie che separa due mezzi trasparenti con diverso indice di rifrazione n1 e n2 di solito si produce sia un raggio riflesso, sia un raggio rifratto.

•! Il flusso di energia del raggio incidente è pertanto suddiviso: parte è nel raggio riflesso, parte nel raggio rifratto.


Riflessione Totale (II)

!

•! Tuttavia: –! Se n1 > n2, ovvero se la luce passa da un mezzo con indice di rifrazione

più elevato n1 a un mezzo con indice di rifrazione minore n2;

–! E se l’angolo di incidenza "i è maggiore dell’angolo critico "c;

•! Allora la luce non attraversa più la superficie, neanche parzialmente, e il raggio è totalmente riflesso (non c’è raggio rifratto).


Riflessione Totale (III)

!

•! L’angolo critico "c è l’angolo di incidenza "i in corrispondenza del quale l’angolo del raggio rifratto con la normale r è pari a "t = 90°.

•! Per la legge di Snell si ha:

per cui per l’angolo critico si ha:


sin90°sin!c

=n1n2

!c = arcsinn2n1

sin!tsin!i

=n1n2

Riflessione Totale (IV)

!

•! Si osservi che la funzione arcsin(x) è definita soltanto per , per cui l’angolo "c è definito soltanto se n2 < n1.

•! La riflessione totale si verifica soltanto se:


!c = arcsinn2n1

x ! "1,1#$ %&

n2 < n1!i >!c

"#$

%$con

!c = arcsinn2n1

Riflessione Totale (V)

!"#$%&

'"()!(

'"()!(

•! Se non si ha riflessione totale, il raggio riflesso è sempre attenuato rispetto al raggio incidente, in quanto parte del flusso di energia si trasferisce al raggio rifratto.

•! Se invece si ha riflessione totale allora il raggio riflesso non è attenuato rispetto al raggio incidente, in quanto si ritrova nel raggio riflesso tutto il flusso di energia del raggio incidente.

•! Pertanto in una fibra ottica, che deve trasferire un flusso di luce a grande distanza, è essenziale non avere perdite dovute a raggi rifratti che escono dalla fibra: –! Per eliminare questo tipo di perdite è necessario che le riflessioni del

raggio sulla parete della fibra siano sempre riflessioni totali.


Riflessione Totale (VI)

!"#$%&'(!"##%)#'*%+,"

•! Se la fibra è eccessivamente curvata, può accadere che la riflessione non sia più una riflessione totale e conseguentemente ci sia una perdita nel flusso di energia, dovuta al raggio rifratto che esce dalla fibra.


Prisma

•! Consideriamo un prisma, costituito di materiale trasparente (con indice di rifrazione superiore all’aria), investito da un raggio di luce.

•! Chiamiamo n l’indice di rifrazione del materiale di cui è costituito il prisma e consideriamo 1 l’indice di rifrazione dell’aria.

•! Il raggio subisce 2 rifrazioni:

–! Entrando nel prisma;

–! Uscendo dal prisma.


Prisma (II)

•! Dalla misura dell’angolo # del prisma e dell’angolo minimo di deviazione del raggio $min si può determinare l’indice di rifrazione del materiale di cui è costituito il prisma.

•! Per la legge di Snell, nelle 2 rifrazioni si ha:

•! Inoltre nel triangolo ABC la somma degli angoli è un angolo piatto, per cui:


sin isin r

= n

sin !rsin !i

= 1n

! + 90°" r( ) + 90°" #r( ) = 180°! = r + #r

Prisma (III)

•! Infine, nel triangolo DBC l’angolo esterno " è pari alla somma dei due angoli interni non adiacenti:

•! Differenziando la legge si Snell si ha:


! = i " r( ) + #i " #r( ) = i + #i " r + #r( ) = i + #i "$! = r + "r

sin isin r

= n ! sin i = nsin r

cos i di = n cosr dr ! di = n cosrcos i

dr

sin "rsin "i

= 1n

! sin "r = 1nsin "i

cos "r d "r = 1ncos "i d "i

d "r = 1ncos "icos "r

d "i

Prisma (IV)

•! Differenziando i precedenti risultati si ha, essendo # costante:

•! Riassumendo:


! = r + "r# = i + "i $!%&'

(r + "r = !i + "i = # +!

%&'

(dr + d "r = 0di + d "i = d#%&'

di = n cosrcos i

dr

d !r = 1ncos !icos !r

d !i

d !r = "drdi + d !i = d#

$

%

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'

&&&

di = n cosrcos i

dr = !n cosrcos i

d "r = !n cosrcos i

1ncos "icos "r

d "i = ! cosrcos i

cos "icos "r

d "i

Prisma (V)

•! Otteniamo quindi:

•! Quando $ è minimo si ha:


di = n cosrcos i

dr


d !i

d !r = "drdi + d !i = d#

$

%

&&&

'

&&&

( = r + !r# = i + !i "($%'

di = ! cosrcos i

cos "icos "r

d "i # d "i = ! cos "rcosr

cos icos "i

di

d$di

= di + d "idi

= 1+ d "idi

= 1! cos "rcosr

cos icos "i

d!di

= 0 " cos #rcosr

cos icos #i

= 1 "imin = #iminrmin = #rmin

$%&

'&

Prisma (VI)

•! Quando $ è minimo si ha, di conseguenza:


di = n cosrcos i

dr


d !i

d !r = "drdi + d !i = d#

$

%

&&&

'

&&&

( = r + !r# = i + !i "($%'

imin = !iminrmin = !rmin

"#$

%$

& = rmin + !rmin = 2rmin ' rmin =&2

( = i + !i )& = 2imin )& ' imin =(min +&2

n =sin iminsin rmin

=sin

(min +&2

sin&2

Prisma (VII)

•! Abbiamo così trovato l’indice di rifrazione n in funzione dell’angolo # del prisma e dell’angolo minimo di deviazione del raggio $min:


n =sin

!min +"2

sin"2

Il Diottro Sferico

•! Il diottro sferico è una superficie sferica che separa due mezzi trasparenti con diverso indice di rifrazione.

•! N.B.: Un diottro non è un mezzo materiale, non è costituito di materiale. Un diottro è una superficie geometrica (immateriale) che separa due materiali trasparenti diversi: –! P.es.: aria-vetro, aria-acqua, acqua-vetro, ecc.

!"#$$%#&'()%"*#


Il Diottro Sferico (II)

•! Per la legge di Snell si ha, per il raggio rifratto nel punto Q:

•! Inoltre, poiché due angoli supplementari hanno lo stesso seno, , si ha:

sin isin r

=n2n1


sin i = sin AQCsin ACQ = sin !A CQ

sin ! " x( ) = sin x

Il Diottro Sferico (III)

•! Applicando il teorema dei seni al triangolo AQC si ha:

•! Applicando il teorema dei seni al triangolo A$QC si ha:


sin isin r

=n2n1


sin AQCAC

= sin ACQAQ

! sin ix + R

= sin "A CQAQ

sin rC !A

= sin !A CQ!A Q

" sin r!x # R

= sin !A CQ!A Q

Il Diottro Sferico (IV)

•! Dalle precedenti uguaglianze otteniamo:


sin isin r

=n2n1


sin ix + R

= sin !A CQAQ

sin r!x " R

= sin !A CQ!A Q

#

$%%

&%%

' sin ix + R

AQ = sin r!x " R

!A Q

AQ

!A Q= sin rsin i

x + R!x " R

AQ

!A Q=n1n2

x + R!x " R

Il Diottro Sferico (V)

•! Il diottro sferico è un sistema non-stigmatico: –! Al variare di Q sulla superficie del diottro x% non rimane costante

(infatti il I membro AQ/A$Q varia, mentre nel II membro sono tutte costanti eccetto x$).

AQ

!A Q=

n1

n2

x + R!x " R


Il Diottro Sferico (VI)

•! Tuttavia, per piccole vergenze " (fasci di raggi parassiali, ovvero fasci di raggi poco inclinati sull’asse), il sistema diventa approssimativamente stigmatico:

! " 0 #AQ ! AO = x

$A Q ! $A O = $x

%&'

('#

n1n2

x + R$x ) R

!x$x


AQ

!A Q=

n1

n2

x + R!x " R

Il Diottro Sferico (VII)

•! Otteniamo quindi, per fasci di raggi parassiali (piccole vergenze "):

•! Ovvero l’equazione del diottro:


n1n2

x + R!x " R

=x!x

# n2!x " R!x

= n1x + Rx

# n2 1"R!x

$%&

'()= n1 1+

Rx

$%&

'()

# n2 " n1 = Rn1x+n2!x

$

%&'

()

n1

x+

n2

!x=

n2 " n1

R

55!

Il Diottro Sferico (VIII)

•! I fuochi sono i punti coniugati dei punti all’infinito. •! La prima e la seconda distanza focale si ottengono perciò,

dall’equazione del diottro, come:

f1 = lim

!x "#x =

n1

n2 $ n1

R

n1

x+

n2

!x=

n2 " n1

R

f2 = lim

x!"#x =

n2

n2 $ n1

R

f2 =

n2

n2 ! n1

R

f1 =

n1

n2 ! n1

R


Il Diottro Sferico (IX)

•! Data la definizione dei fuochi:

L’equazione del diottro si può anche scrivere nella forma:

n1

x+

n2

!x=

n2 " n1

Rn2 " n1

Rf1

x+

n2 " n1

Rf2

!x=

n2 " n1

R

f2 =n2

n2 ! n1R

f1 =n1

n2 ! n1R

"

#$$

%$$

&f1f2

=n1n2

f2 ! f1 = R

'

($

)$

f1

x+

f2

!x= 1

f1

f2

=n1

n2

f2 ! f1 = R

"

#$

%$


Il Diottro Sferico (X)

•! Il diottro crea una corrispondenza biunivoca tra punti oggetto A e punti immagine A$.

•! Il diottro crea perciò una corrispondenza biunivoca tra punti alla sinistra del diottro (spazio oggetto) e punti alla destra del diottro (spazio immagine).

•! Calotte sferiche di raggio x + R sono trasformate in calotte sferiche di raggio x"#R.

•! Se l << x + R le due calotte si approssimano con due piani (piani coniugati).

!"#$%&&''())&

!"#$%&%**#'%+(


Il Diottro Sferico (XI)

•! Approssimazione di Gauss: –! Fasci di raggi parassiali: piccola vergenza ".

–! Oggetto di piccole dimensioni trasversali: l << x + R.


Il Diottro Sferico (XII)

•! Dall’equazione del diottro:

e dalla similitudine dei triangoli BAC e B$A$C:

segue che l’ingrandimento lineare trasversale G è costante per ciascuna coppia di piani coniugati a distanza fissata x e x$:

G = !l

l= !x

xn1

n2


!xx= !lln2n1

!xx=n2n1

!x " Rx + R

!x " Rx + R

= !ll

Il Diottro Sferico (XIII)

•! Si ha inoltre:

•! L’ingrandimento angolare (o rapporto di convergenza) K è costante per ciascuna coppia di punti coniugati a distanza fissata x e x$:

•! Si ha inoltre:

tan! ! QOAO

=QOx

tan "! !QO"A O

=QO"x

#

$%%

&%%

' K = "!!!tan "!tan!

=x"x

G ! K =

n1

n2

K = !""

=x!x


Il Diottro Sferico (XIV)

•! Per costruire graficamente le immagini è utile considerare raggi particolari: –! Il raggio passante per il centro di curvatura del diottro non viene

deviato dal diottro.

–! I raggi che incidono sul diottro paralleli all’asse ottico convergono sul secondo fuoco.

–! I raggi che escono dal primo fuoco vengono deviati dal diottro in modo da risultare paralleli all’asse ottico.


Il Diottro Sferico (XV)


•! Costruzione dell’immagine: R > 0, n2 > n1, x > f1:

•! Immagine reale e capovolta.

f1 =n1

n2 ! n1R > 0, f2 =

n2n2 ! n1

R > 0

x > f1 " 0 <f1x< 1 "

f2#x= 1!

f1x> 0 " #x > 0

f1

x+

f2

!x= 1

Il Diottro Sferico (XVI)

•! Costruzione dell’immagine: R > 0, n2 > n1, 0 < x < f1:

•! Immagine virtuale e diritta.


f1 =n1

n2 ! n1R > 0, f2 =

n2n2 ! n1

R > 0

0 < x < f1 "f1x> 1 "

f2#x= 1!

f1x< 0 " #x < 0

f1

x+

f2

!x= 1

64!

Il Diottro Sferico (XVII)

•! Costruzione dell’immagine: R > 0, n2 < n1:



f1 =n1

n2 ! n1R < 0, f2 =

n2n2 ! n1

R < 0

f1x< 0 "

f2#x= 1!

f1x> 0 " #x < 0

f1

x+

f2

!x= 1

65!

Il Diottro Sferico (XVIII)

•! Costruzione dell’immagine: R < 0, n2 > n1:



f1 =n1

n2 ! n1R < 0, f2 =

n2n2 ! n1

R < 0

f1x< 0 "

f2#x= 1!

f1x> 0 " #x < 0

f1

x+

f2

!x= 1

66!

Il Diottro Sferico (XIX)

•! Costruzione dell’immagine: R < 0, n2 < n1, 0 < x < f1:



f1 =n1

n2 ! n1R > 0, f2 =

n2n2 ! n1

R > 0

0 < x < f1 "f1x> 1 "

f2#x= 1!

f1x< 0 " #x < 0

f1

x+

f2

!x= 1

67!

Il Diottro Sferico (XX)

•! Costruzione dell’immagine: R < 0, n2 < n1, x > f1:



f1 =n1

n2 ! n1R > 0, f2 =

n2n2 ! n1

R > 0

x > f1 " 0 <f1x< 1 "

f2#x= 1!

f1x> 0 " #x > 0

f1

x+

f2

!x= 1

68!

Lo Specchio Sferico

•! La riflessione può essere formalmente descritta come una rifrazione tra due mezzi aventi rispettivamente indici di rifrazione n1 = 1 e n2 = "1.

•! Si tratta, ovviamente, di un artificio formale, in quanto l’indice di rifrazione fisico è sempre positivo: –! È il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel

mezzo.


Lo Specchio Sferico (II)

•! Dalle proprietà del diottro sferico:

si trovano le proprietà dello specchio sferico ponendo:


n1 = 1n2 = !1

"#$

%$

f1 =n1

n2 ! n1R

f2 =n2

n2 ! n1R

"

#$$

%$$

f1x+f2&x= 1

G = &ll= &xxn1n2

"

#$$

%$$

70!

Lo Specchio Sferico (III)

•! Ponendo n1 = 1 e n2 = "1, si ottiene:

f1 = !R2

f2 =R2

"

#$

%$

1x!1"x= !

2R

f = ±R2

G = "ll= ! "x

x

K = "##

=x"x

$

%

&&&&

'

&&&&


f1 =n1

n2 ! n1R

f2 =n2

n2 ! n1R

"

#$$

%$$

f1x+f2&x= 1

G = &ll= &xxn1n2

K = &''

=x&x

"

#

$$$

%

$$$

Lo Specchio Sferico (IV)

•! Specchio convesso (R > 0):


1x!1"x= !

2R

f = +R2

G = "ll= ! "x

x

K = "##

=x"x

$

%

&&&&

'

&&&&

Lo Specchio Sferico (V)

•! Specchio concavo (R < 0), 0 < x < f :


1x!1"x= !

2R

f = !R2

G = "ll= ! "x

x

K = "##

=x"x

$

%

&&&&

'

&&&&

Lo Specchio Sferico (VI)

•! Specchio concavo (R < 0), x > f :


1x!1"x= !

2R

f = !R2

G = "ll= ! "x

x

K = "##

=x"x

$

%

&&&&

'

&&&&

Lo Specchio Sferico (VII)


•! Costruzione dell’immagine: R > 0:


f =R2> 0

x > 0 !1"x=1x+2R> 0 ! "x > 0

f =R2

1x!1"x= !

2R

Lo Specchio Sferico (VIII)

•! Costruzione dell’immagine: R < 0, 0 < x < f :



f =R2

1x!1"x= !

2R

f = !R2> 0

0 < x < f = !R2

"1x> !

2R

"1#x=1x+2R> 0 " #x > 0

Lo Specchio Sferico (IX)

•! Costruzione dell’immagine: R < 0, x > f :


Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica! 77!

f =R2

1x!1"x= !

2R

f = !R2> 0

x > f = !R2

"1x< !

2R

"1#x=1x+2R< 0 " #x < 0

Sistemi Ottici Centrati

•! Si chiama sistema ottico centrato un sistema costituito da due o più superfici sferiche, aventi tutte i centri su di una stessa retta, le quali separano mezzi trasparenti di diverso indice di rifrazione (diottri) o costituiscono superfici riflettenti (specchi).

•! Nei ragionamenti eseguiti sul diottro, è importante che l’oggetto puntiforme A sia sorgente di un fascio di raggi omocentrico; non è importante il modo in cui questo fascio è ottenuto.


Sistemi Ottici Centrati (II)

•! In particolare A può essere una sorgente puntiforme di luce; ma A può essere anche l’immagine stigmatica di una sorgente puntiforme di luce, ottenuta mediante un altro sistema ottico.

•! Quindi la legge dei punti coniugati si può applicare successivamente a tutte le superfici rifrangenti di un sistema ottico complicato: l’immagine dell’i-esimo diottro è l’oggetto per il diottro (i + 1)-esimo.


Sistemi Ottici Centrati (III)

•! Un fascio omocentrico parassiale resta allora omocentrico per un numero qualsiasi di rifrazioni (e riflessioni) in un sistema ottico centrato. Quindi il punto A produce, nel sistema ottico centrato, un’immagine stigmatica A(N) (reale o virtuale).


Sistemi Ottici Centrati (IV)

•! Una piccola porzione di un piano, situato nel primo mezzo, perpendicolarmente all’asse ottico del sistema centrato sarà riprodotto nell’ultimo mezzo rifrangente sul piano coniugato, sempre perpendicolare all’asse ottico.


Lente Semplice

•! Il più semplice sistema ottico centrato è la lente. •! La lente è un sistema ottico costituito dalla successione di due

diottri semplici, in cui il primo e il terzo indice di rifrazione sono uguali.

•! Una lente si dice sottile se il suo spessore è piccolo rispetto ai raggi di curvatura R# e R$ delle due superfici.


Lente Semplice (II)

•! Posto , si ha, per i due diottri:

n1x1

+n1n!x=n1n " n1

!Rn1n

" !x + d+n1x 2

=n1 " n1n

!!R

#

$%%

&%%

1x1

+n!x=n "1

!Rn

" !x + d+1x 2

=1" n

!!R

#

$%%

&%%

n = n2 n1


n1

x+

n2

!x=

n2 " n1

R

Lente Sottile

•! Se lo spessore della lente è trascurabile rispetto alle distanze dell’immagine e dell’oggetto, si ha:

d ! !x "

1x1

+n!x=n #1

!Rn# !x

+1x 2

=1# n

!!R

$

%&&

'&&

1x1

+1x 2

= n #1( ) 1!R#1!!R

()*

+,-

1x1

+1x 2

=1F

1F

= n !1( ) 1"R!1""R

#$%

&'(

)

*++

,++

(Equazione della lente sottile)


1x1

+n!x=n "1

!Rn

" !x + d+1x 2

=1" n

!!R

#

$%%

&%%

Lente Sottile (II)

•! L’inverso della distanza focale, 1/F, è detto convergenza della lente.

•! Se F è espresso in metri, 1/F, è espresso in diottrie [m"1].

•! Per esempio, se la distanza focale di una lente è pari a 25 cm, la sua convergenza è pari a 4 diottrie.


Lente Sottile (III)

•! Dalla similitudine dei triangoli OA1B1 e OA2B2 segue che:

•! L’ingrandimento lineare trasversale G è costante per ciascuna coppia di piani coniugati a distanza fissata x e x#.


OA1B1 ! OA2B2 ! G =l2l1=OA2OA1

=x2x1

G =l2

l1=

x2

x1

86!

Lente Sottile (IV)

•! Si ha inoltre:

•! L’ingrandimento angolare (o rapporto di convergenza) K è costante per ciascuna coppia di piani coniugati a distanza fissata x e x#. Infine:


K =!2!1!tan!2tan!1

= QOOA2

QOOA1

=OA1OA2

=x1x2

K =!2!1!x1x2

1K G! =

87!

Lente Sottile (V)

•! Tipi di lente convergente:

biconvessa

!R > 0, !!R < 0 "1F

= n #1( ) 1!R#

1!!R

$%&

'()> 0 " F > 0

piano-convessa

!R > 0, !!R "# $1F

= n %1( ) 1!R%

1!!R

&'(

)*+> 0 $ F > 0

menisco-convergente

0 < !R < !!R "1F

= n #1( ) 1!R#

1!!R

$%&

'()> 0 " F > 0


Lente Sottile (VI)

•! Tipi di lente divergente:


biconcava

!R < 0, !!R > 0 "1F

= n #1( ) 1!R#

1!!R

$%&

'()< 0 " F < 0

piano-concava

!R "#, !!R > 0 $1F

= n %1( ) 1!R%

1!!R

&'(

)*+< 0 $ F < 0

menisco-divergente

0 < !!R < !R "1F

= n #1( ) 1!R#1!!R

$%&

'()< 0 " F < 0

89!

Lente Sottile (VII)

•! Costruzione dell’immagine: 0 < F < x1:



0 < F < x1 !1x2

=1F"1x1

> 0 ! x2 > 01x1

+1x 2

=1F

90!

Lente Sottile (VIII)

0 < x1 < F !1x2

=1F"1x1

< 0 ! x2 < 0


•! Costruzione dell’immagine: 0 < x1 < F:


Lente Sottile (IX)

•! Costruzione dell’immagine: F < 0 < x1:



F < 0 < x1 !1x2

=1F"1x1

< 0 ! x2 < 0

92!

Condizioni per la Formazione di un’Immagine Stigmatica e Indistorta

•! Le costruzioni geometriche esposte sinora sono valide se sono soddisfatte, almeno approssimativamente, le seguenti condizioni:

–! Fasci di raggi parassiali: piccola vergenza %.

–! Oggetto di piccole dimensioni trasversali: l << x + R.

–! Indice di rifrazione indipendente dalla lunghezza d’onda.

•! Queste condizioni non possono essere verificate in alcune condizioni pratiche:

–! Grandi aperture di diaframma (grandi %): sono necessarie per avere immagini luminose.

–! Obiettivi grandangolari: sono utilizzati per ottenere immagini da oggetti di grandi dimensioni (grandi l).


!"#$%&!"

Aberrazione Sferica

•! Caustica: superficie che inviluppa l’insieme dei raggi di un fascio rifratto.

•! In assenza di aberrazione sferica la caustica si riduce a un punto (vertice del fascio omocentrico).

•! In presenza di aberrazione sferica la caustica ha un asse di simmetria ma non un centro di simmetria.


Aberrazione Sferica (II)

•! A causa dell’aberrazione sferica un oggetto puntiforme produce sullo schermo un’immagine nella forma di un cerchietto (cerchietto di diffusione) illuminato irregolarmente.

•! Una lente di vetro crown (n = 1.5) con un rapporto 1:6 dei raggi di curvatura il cui lato più convesso è rivolto verso i raggi paralleli ha aberrazione minima.

•! L’aberrazione sferica si conserva anche nel caso di un punto luminoso giacente sull’asse del sistema, caso in cui tutte le altre aberrazioni scompaiono (con luce monocromatica).


Correzione dell’Aberrazione Sferica

•! Lamina di correzione asferica.

•! Specchio parabolico.


Coma

•! Se un oggetto puntiforme si trova fuori dall’asse ottico, la sua immagine ha la forma di una macchia con un pennacchio luminoso, simile alla forma di una cometa (dal greco %&µ', chioma).


Coma (II)

•! Se l’oggetto si trova fuori dall’asse ottico, i raggi passanti per i bordi della lente convergono — non soltanto a distanza diversa dalla lente rispetto ai raggi passanti per il centro — ma anche a distanza diversa dall’asse ottico. Questa è l’origine dell’aberrazione di coma .


! !! !!!

!"#$%&'()"*"#$%

!"#$%&+#,"--#.(

Astigmatismo dei Fasci Inclinati

•! Il piano meridiano contiene la sorgente e passa per l’asse ottico. •! Il piano sagittale è perpendicolare al piano meridiano.


! !! !!!

!"#$%&'()"*"#$%

!"#$%&+#,"--#.(

Astigmatismo dei Fasci Inclinati (II)

•! L’oggetto puntiforme L produce due immagini stigmatiche a forma di segmento.

–! Sulla prima (di orientamento sagittale) sono a fuoco i raggi giacenti sul piano meridiano.

–! Sulla seconda (di orientamento meridiano) sono a fuoco i raggi giacenti sul piano sagittale.

•! Su di un piano intermedio il fascio ha sezione circolare (cerchio di minima confusione).


Curvatura di Campo

•! La superficie su cui l’immagine è a fuoco non è un piano. •! Inoltre raggi giacenti su piani meridiani e sagittali sono a fuoco

su superfici diverse.


Distorsione

•! Si osserva con oggetti estesi, anche utilizzando sistemi di piccola apertura.

•! Ha origine nella variazione dell’ingrandimento trasversale con la distanza dall’asse.


non distorta distorsione a cuscino distorsione a botte

Aberrazione Cromatica

•! Poiché l’indice di rifrazione varia con la lunghezza d’onda (dispersione) anche la distanza focale varia con la lunghezza d’onda.

!"#$%&&#'#((#


Lenti Acromatiche

•! La struttura più semplice di una lente acromatica è composta da una lente biconvessa di vetro crown (n = 1.52) incollata a una appropriata lente divergente di vetro flint (n = 1.65).

•! Scegliendo in maniera appropriata i parametri si possono fare coincidere i fuochi di 2 (o persino di 3) lunghezze d’onda.


!"#$%&'$%()&!)*+,-."

!"#$%&/01)#&!)*+,2-"

L’Occhio


L’Occhio (II)

•! La curvatura della superficie del cristallino, che è il più rifrangente dei mezzi che compongono l’occhio, può volontariamente modificarsi per mezzo del muscolo ciliare, onde mettere a fuoco oggetti posti a distanze diverse (accomodazione).

vicino lontano

R% (anteriore) 6 mm 10 mm

R%% (posteriore) 5.5 mm 6 mm

spessore 4 mm 3.6 mm


L’Occhio (III)

•! Il foro di entrata della luce nell’occhio (pupilla) è limitato dall’iride, un diaframma muscolare pigmentato situato tra la cornea e il cristallino (la quantità di pigmento determina il colore dell’occhio).

•! L’iride, contraendo e dilatando la pupilla, modifica l’apertura relativa dell’occhio per adattarlo a oggetti di diversa luminosità.

•! Il diametro della pupilla può variare da 1 mm a 10 mm.


L’Occhio (IV)

•! Se si trascura l’accomodazione, l’occhio può essere schematizzato, con buona approssimazione, come un diottro, di raggio pari a circa!6 mm, situato circa 2 mm dietro la cornea, che separa l’aria dall’umor acqueo/corpo vitreo (modello ridotto dell’occhio).


Alcune Definizioni Fotometriche

•! Intensità del flusso luminoso, !!: energia trasportata per unità di tempo da un fascio di luce [ET –1].

•! Illuminamento o illuminanza o irradiamento o densità del flusso luminoso E = d!! / dS: energia trasportata per unità di tempo e per unità di superficie [ET –1L–2].

•! Intensità luminosa di una sorgente puntiforme in una direzione fissata E = d!! / d$: energia emessa dalla sorgente, per unità di tempo, in un angolo solido d( attorno alla direzione fissata e riferita all’unità di angolo solido [ET –1].

•! Splendore o brillanza o luminosità di una sorgente estesa % = d2!! / (d$ dS): energia emessa da una parte della sorgente avente superficie dS, per unità di tempo, in un angolo solido d( attorno alla direzione fissata e riferita all’unità di angolo solido e all’unità di superficie della sorgente [ET –1L–2].


La Macchina Fotografica

•! Un’immagine reale rovesciata dell’oggetto è formata da una lente o una combinazione di lenti (obiettivo) sul piano della pellicola.

•! Se l’oggetto è in movimento è necessario esporre la pellicola per tempi brevi.

•! In tal caso l’apertura del diaframma deve essere più ampia possibile per potere raccogliere luce sufficiente a impressionare la pellicola.

!"#$%#&&#

'(")**"+'

,)--".'-#

'**/%#*'%)


L’Otturatore

•! L’otturatore evita che la luce che incide sull’obiettivo raggiunga normalmente la pellicola.

•! Si apre per una breve frazione di tempo (da 30 s a 1/4000 s) durante lo scatto.

•! La luce che raggiunge la pellicola è proporzionale al tempo di esposizione.

•! Se il tempo di esposizione è lungo (> 1/60 s) e l’oggetto è in movimento, la foto può risultare “mossa”.


!"#$%#&&#

'(")**"+'

,)--".'-#

'**/%#*'%)

Il Diaframma

•! Il diaframma è un sistema meccanico che varia il foro (pupilla) di entrata della luce nell’obiettivo.

•! L’angolo in cui si propaga la luce nella macchina fotografica è dato da 2", dove:

a è il diametro della pupilla e F è la distanza focale dell’obiettivo.

! ! tan! =a / 2F

!

"

#$!%&!''!


Il Diaframma (II)

•! L’angolo solido corrispondente è:

poiché vale l’identità trigonometrica:

cos2! = cos2! " sin2! = 1" 2sin2!

cos! = 1" 2sin2!2

1" cos! = 2sin2!2


! = d" sin# d#0

#

$0

2%

&

'( = 2% )cos#*+ ,-0

#= 2% )cos# + cos0*+ ,- =

= 2% 1) cos#( ) = 4% sin2 #2

!

"

#$!%&!''!

Il Diaframma (III)

•! L’illuminamento della pellicola si ottiene integrando l’intensità luminosa K dell’oggetto sull’angolo solido $: Ee = K (.

•! Ee e K hanno le stesse dimensioni [Ee] = [K] = [ET"1L" 2].

•! Risulta:

•! L’illuminamento della pellicola Ee è proporzionale ad a2/F2, dove a è il diametro della pupilla e F è la distanza focale dell’obiettivo.

Ee = K! = K "4# sin2 $2! K "4# $ 2

4=

= K#$ 2 = K# a / 2F

%&'

()*

2

=#4K a

2

F 2


!

"

#$!%&!''!

Il Diaframma (IV)

•! Il rapporto:

è detto luminosità dell’obiettivo, mentre a/F è detta apertura relativa.

•! Negli obiettivi usualmente è indicato il rapporto N = F/a:

–! Per esempio, un obiettivo da 50 mm “f/2” ha N = F/a = 2, ovvero a = F/N = 2.5 cm.

–! Un obiettivo da 100 mm “f/2” ha N = 2, ovvero a = 5 cm.

2

24eE aK F

!!


!

"

#$!%&!''!

Diaframma e Otturatore

•! L’energia elettromagnetica che raggiunge la pellicola è proporzionale all’illuminamento Ee e al tempo di esposizione !t:

•! Solitamente le macchine fotografiche hanno una scala di diaframmi con valori N differenti per un fattore &2: –! 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22, 32, 45;

•! e una scala di tempi di esposizione !t differenti per un fattore 2: –! 1, ", #, 1/8, 1/15, 1/30, 1/60, 1/125, 1/250, 1/500, 1/1000, 1/2000;

2

2ea tE E t tF N

!" #$ ! $ ! =% &' (


Diaframma e Otturatore (II)

•! Per quanto concerne l’energia elettromagnetica E che raggiunge la pellicola, e dunque l’esposizione della pellicola, raddoppiare il tempo di esposizione !t equivale a dividere N per &2.

•! Le seguenti coppie di valori (N, !t) sono equivalenti per impressionamento della pellicola:


N !t

Apertura relativa diaframma Tempo di esposizione

16 1/60

11 1/125

8 1/250

5.6 1/500

Profondità di Campo


(minima profondità di campo)

(massima profondità di campo)

Profondità di Campo (II)

•! Fissata la focale F dell’obiettivo e la distanza x% della pellicola dall’obiettivo, esiste a rigore un solo valore della distanza x, alla quale si può porre un oggetto, in modo che esso risulti nitido sulla pellicola (immagine puntiforme di un oggetto puntiforme).

•! Tuttavia avvicinando o allontanando l’oggetto rispetto a tale posizione la nitidezza decresce gradualmente.

•! Di fatto, entro un certo intervallo di distanze [x +!x, x &!x] la perdita di nitidezza è trascurabile se comparata ad altri limiti nella risoluzione dell’immagine (diffrazione, aberrazioni, grana della pellicola).

•! Un’immagine non proprio puntiforme di un oggetto puntiforme è perciò accettabile, purché il suo diametro !A sia inferiore alla risoluzione.


Profondità di Campo (III)

•! Dall’equazione della lente sottile segue, differenziando:

formula che mette in relazione una variazione della distanza x dell’oggetto con una variazione della distanza x$ dell’immagine.

1x+1!x=1F

" d1x

#$%

&'(+ d

1!x

#$%

&'(= 0 "

dxx2

= )d !x!x 2


Profondità di Campo (IV)

•! Dalla similitudine dei 2 triangoli in figura segue inoltre che:

•! Considerando incrementi finiti e trascurando il segno di !x, si ottiene:

dAA

=d !x!x + d !x

!d !x!x

" dx = #x2

!x 2 d !x = #x2

!x 2

!xAdA = #

x2

!xdAA


1x+1!x=1F

dxx2

= "d !x!x 2

!x =x2

"x!AA

=1F#1x

$%&

'()x2

!AA

Profondità di Campo (V)

•! Osserviamo ora che:

•! La profondità di campo !x, aumenta se aumenta la tolleranza accettabile !A.

•! La profondità di campo !x, diminuisce aprendo il diaframma.

! "x( )!A

=1F#1x

$%&

'()x2"A #

1A2

$%&

'()< 0

! "x( )! "A( ) =

1F#1x

$%&

'()x2

A> 0


!x =x2

"x!AA

=1F#1x

$%&

'()x2

!AA

Profondità di Campo (VI)

•! Inoltre:

•! La profondità di campo !x aumenta se aumenta la distanza x dell’oggetto.

•! La profondità di campo !x, diminuisce se aumenta la focale F dell’obbiettivo.

! "x( )!F

= #1F 2x2

"AA

< 0

! "x( )!x

=2xF

#1$%&

'()"AA

> 0 x > F( )


!x =x2

"x!AA

=1F#1x

$%&

'()x2

!AA

Diaframma e Otturatore (III)

•! Per una data illuminazione dell’oggetto, più coppie (N, !t) corrispondono a una corretta illuminazione della pellicola.

•! Chiudendo il diaframma e aumentando il tempo di esposizione: –! Aumenta la profondità di campo;

–! Diminuisce la capacità di fermare un oggetto in movimento.


N !t Apertura relativa diaframma Tempo di esposizione

16 1/60 massima profondità di campo; massimo rischio di “mosso”

11 1/125

8 1/250

5.6 1/500 minima profondità di campo; minimo rischio di “mosso”

http://campus.cib.unibo.it/2486/

Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica Fisica Generale...

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