Propagazione in ambiente reale

 Nella quasi totalità dei radio-collegamenti reali, TX ed RX sono “circondati” da “oggetti” (edifici, colline, vegetazione, suolo, ecc.) che rendono lo scenario di propagazione assai diverso dallo spazio libero

  L’onda EM “interagisce” con gli oggetti dello scenario (riflessioni sulle pareti, diffrazioni sugli spigoli, ecc.); l’effetto di tale interazione dipende dalle caratteristiche geometriche ed elettromagnetiche dell’ambiente.

Le caratteristiche della propagazione in un radio-collegamento reale a.  dipendono sensibilmente dalle proprietà dello scenario propagativo b.  hanno un impatto molto significativo sulle caratteristiche del segnale

ricevuto (andamento spazio-temporale della potenza ricevuta, dispersione angolare, shift in frequenza dovuto a spostamento Doppler, …)

Propagazione in presenza di ostacoli

Diffraction Path

Transmission

Reflection

L’onda elettromagnetica subisce diverse interazioni con l’ambiente reale di propagazione prima di giungere al ricevitore. I meccanismi di propagazione più importanti sono:

1) Riflessione; 2) Diffrazione; 3) Trasmissione (Rifrazione);

[ 4) Diffusione (Scattering); ]

In presenza di un ostacolo finito è Il fenomeno che avviene a causa del “bordo” dell’ostacolo

Diffrazione - il principio di Huygens-Fresnel   Il fenomeno della diffrazione può essere introdotto e descritto a partire dal

principio di Huygens o delle “sorgenti secondarie” : noto il fronte d’onda F all’istante t, è possibile ricostruire il successivo fronte d’onda F’ all’istante t+dt supponendo che gli elementi di superficie dS di F siano eccitati ad emettere contemporaneamente onde sferiche con la velocità v dell’onda; l’inviluppo di tali onde secondarie all’istante t+dt costituisce il fronte d’onda F’ allo stesso istante.

T R

Q

Po

sro

S1

!( ) !""""#=$

%&%&d

se

reAK)R(d

sj

0

rj 000

! (R) = K "( ) !A ! e" j#0r0

r0! e

" j#0s

sSup.Sferica# d$

 Teoria scalare Ψ generica componente del campo

Il teorema di Kirchhoff (1/2)  Detta Ψ la generica componente del generico campo,

in una regione omogenea priva di sorgenti:

nel caso in figura quindi

( ) ! "#$%

&'

()(*+

((*)=),,,,,, -,=).+)/

S

Green di funzione della Metodo

22 dSn

GnGr 0

!

( ) !"

#$%&

'(

)*)+,

))+*,=*

SS

dSn

GnGr

!

"

 Fatte le seguenti ipotesi:

- d , r >> λ

- Mezzo senza perdite

-

-

- S = sup. d’onda

0rlimn

rlimrr

=!"=#!#"

$%$%

( )!"

#=!$!#e

41G

S

S∞

O

P Q

r!

'r!

!!

n̂

!d

!

Funzione di Green di Spazio Libero

!(!r ) = j"

4#F $,%( ) & e

' j"d

d

Campo! in Q" #$$ %$$

&e' j"(

(& 1+ cos)( )

S* dS !

K !( ) = j"4#

$ 1+ cos!( )

  Il teorema di Kirchhoff diviene invece assai utile per valutare il campo ricevuto in presenza di un ostacolo. L’integrale deve essere limitato alla porzione di fronte d’onda non intercettata dall’ostacolo stesso:

d

ρ

SA

P

Il teorema di Kirchhoff (2/2)

Il valore di ψ su SA può essere approssimato con il valore che si avrebbe in assenza dell’ostacolo (approssimazione di Kirchhoff);

  In assenza di ostacoli (Spazio Libero), il calcolo del campo ricevuto per mezzo del teorema di Kirchhoff è possibile ma inutilmente complicato, poiché vale la formula di Friis (estremamente più semplice)

!(!r ) = j"

4#F $,%( ) & e

' j" d+(( )

d & (& 1+ cos)( )

SA* dS

Diffrazione – esempi teorici fondamentali   Con il termine Diffrazione si intende indicare una particolare categoria di

fenomeni propagativi generati dalla presenza di ostacoli sul cammino di propagazione. Esempi:

 La diffrazione determina in particolare:  Campo non nullo anche in zone non direttamente illuminate dalla sorgente;  Campo diverso da quello di Spazio Libero nelle zone direttamente illuminate

dalla sorgente

Diffrazione da Apertura Diffrazione da “Knife Edge”

 La diffrazione è tanto più rilevante quanto più le dimensioni geometriche in gioco (ostacoli, aperture, raggi di curvatura) sono piccole rispetto a λ

  Il teorema di Kirchoff permette di risolvere in linea di principio qualunque problema di diffrazione. Occorre di volta in volta determinare la superficie SA e risolvere l’integrale per il calcolo del campo

Zone di Fresnel (1/3)

R1 R2

r = R1+R2

R1

T R

2kRr 2k

!"+=

r1

r3

r2

rk

Pk

I zona di Fresnel

II zona di Fresnel

III zona di Fresnel

ρk

ρk : kmo raggio di Fresnel

  In alcuni casi è possibile valutare gli effetti della diffrazione senza dover risolvere esplicitamente l’integrale di Kirchhoff (può essere complicato)

  Zone di Fresnel : porzioni di fronte d’onda delimitate dall’intersezione fra il medesimo e le sup. sferiche di raggio rk

Zone di Fresnel (2/3)   si può osservare che

2

k

kk

2

1

k1

2k

2k

2k

2121 r

1rR

1RrRRRr !!"

#$$%

& '()+!!"

#$$%

& '()='(+'(=+=

2kR2

1R2

12

kRRr2

11rR2

11RRR2

2k

1

2k

21

2

k

kk

2

1

k121 !"+

#$#$!"++=%%&

'

(()

*++,

-../

0 #$"+%%&

'

(()

*++,

-../

0 #$"=+

2

0x

2 x21

1x1 !"!#

( ) !!

"

#$$

%

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+

'(+(+

!!

"

#$$

%

& '(+(

('(=)*'(=!!!!

"

#

$$$$

%

&

'(++()

2121

221

k

21

2k

RR2k

1RR

R2k

1RR

k2

k

2kR

1R1

21

k21 R,R !>>e

Zone di Fresnel (3/3) Supponendo che k·λ/2 << R2: !k = k " # " R1R2

R1 + R2( ) = k " !1; !1 = # "R1R2

R1 + R2( )  Considerato inoltre Pk appartenente alla circonferenza di raggio ρk

2kr

2kRRrRRPTP 21k1kk

!"+=!"++=+=+

Fissata la frequenza di collegamento e la distanza fra T ed R, la somma delle distanze del punto Pk dai punti T ed R è una costante il punto Pk appartiene ad un ellissoide di fuochi T ed R. Ciò significa che al variare di R1 (e di R2=r-R1), la circonferenza di raggio ρk cambia e si sposta, ma appartiene sempre ad un ellissoide di fuochi T ed R detto kmo ellissoide di Fresnel

T R

r

!/4 !/4

"M

Esempio: primo ellissoide di Fresnel (k=1) semi-asse maggiore = r/2 +λ/4

semi-asse minore =

4r

M!="

Diffrazione da apertura circolare (1/2)   In alcuni casi, le zone di Fresnel permettono di valutare gli effetti della

diffrazione senza dover risolvere esplicitamente l’integrale di Kirchhoff. E’ il caso ad esempio dell’apertura circolare, ove si desideri valutare il campo ricevuto lungo l’asse dell’apertura

T R

 Contributo dell’elemento dΣ appart. ad SA

 R1, R2 >> h χ≅ 0 e F(θ,φ) ≅ A (costante)

SA

h

 Se R2 >> λ si approssima s ≅ rk all’interno della kma zona di Fresnel e analogamente s ≅ rk+1 all’interno della (k+1)ma i contributi dei punti della (k+1)ma zona di Fresnel differiscono da quelli della kma per il fatto che nella (*) s vale rk+1 e non rk. Trascurando l’effetto di tale differenza sull’ampiezza ed osservando che rk+1 = rk + λ/2 i contributi della (k+1)ma zona sono sfasati rispetto a quelli della kma di βλ/2 = π

dE(R) = j!4"

#F $,%( ) # e& j!R1

R1#e& j!s

s# 1+ cos'( )d(

dE(R) = j!2"

# A # e$ j!R1

R1#e$ j!s

s#d% *( )

R2 R1

Diffrazione da apertura circolare (2/2)  Se la (k+1)ma zona di Fresnel “passa” attraverso l’apertura, essa tende ad

annullare i contributi al campo ricevuto dati dalla kma se dall’apertura passa un numero pari di zone di Fresnel, in R si ha un minimo del campo, mentre si ha un massimo se tale numero è dispari

0

1

2

E/ E0

h / ρ1

Andamento reale

1 2

Diffrazione da Knife-Edge (1/4)

Y

X

Z

h

T

R

Q d

ρ

dΣ

X

Z

R T h

b a

  Ostacolo piano (Knife-Edge = “Lama di coltello”) appart.al piano XY, infinitamente esteso in direzione Y e limitato fra h e -∞ in direzione X;

  T ed R collocati su asse Z ( alla stessa altezza) da parti opposte rispetto all’ostacolo

Diffrazione da Knife-Edge (2/4)  Contributo dell’elemento dΣ appartenente ad SA

  Ipotesi 1: sorgente tanto lontana dallo schermo da poter approssimare il fronte d’onda con il piano XY

  Ipotesi 2: h << a , h << b   Ipotesi 3: le sorgenti secondarie dΣ che danno contributo rilevante al

campo in R sono tutte e sole quelle per cui x << ρ, d ; y << ρ, d Si giustifica osservando che le sorgenti secondarie più

rilevanti appartenenti alla prime zone di Fresnel e sono quindi più “raccolte” attorno alla direzione del collegamento

dE(R) = j!4"

#F $,%( ) # e& j!d

d#e& j!'

'# 1+ cos(( )d)

E(R) = j!4"

# F $,%( ) # e& j!d

d#e& j!'

'# 1+ cos(( )dx

h

+)

* dy&)

+)

*

E(R) = j!4"

#e$ j! a+b( )

abF %,&( ) # e

$ j! d$a( )

da #e$ j! '$b( )

'b # 1+ cos(( )dx

h

+)

* dy$)

+)

*

Diffrazione da Knife-Edge (3/4) Ipotesi 2 + Ipotesi 3

F(θ,φ) = A costante ; χ ≅ 0 d ≈ a , ρ ≈ b

a denominatore si pone d = a , ρ = b negli esponenziali a numeratore si osserva che

( ) ( )a

ayx

1aaayxad 2

22222 !++=!++=!

2z1z1

0z+!+

"

( ) ( )a2yx

aa2yx

1aad22

2

22 +=!""#

$

%%&

' ++(!

( )b2yx

b22 +!"# (Analogamente)

Diffrazione da Knife-Edge (4/4)

E(R) = j!2"

# A #e$ j! a+b( )

abe$ j! x

2 + y2

2a # e$ j! x

2 + y2

2b dxh

+%

& dy$%

+%

&

=j!2"

# A #e$ j! a+b( )

abe$ j! a+b

2abx2 + y2( ) dx

h

+%

& dy$%

+%

&

Diffrazione da KE Attenuazione Supplementare (1/3)

 E0(R) = campo che si avrebbe in assenza dell’ostacolo:

LS =E0E

=

j!2"

# A # e$ j! a+b( )

abe$ j! a+b

2abx2 + y2( ) dx

$%

+%

& dy$%

+%

&j!2"

# A # e$ j! a+b( )

abe$ j! a+b

2abx2 + y2( ) dx

h

+%

& dy$%

+%

&=

e$ j! a+b

2abx2

dx$%

+%

&

e$ j! a+b

2abx2

dxh

+%

&

 Attenuazione supplementare LS

LS =2 ! e

" j# a+b2ab

x2

dx0

+$

%

e" j# a+b

2abx2

dxh

+$

%

E0 (R) =j!2"

# A #e$ j! a+b( )

abe$ j! a+b

2abx2 + y2( ) dx

$%

+%

& dy$%

+%

&

 Posto

abba2

ddx

abba2

x+

!

"=#+!

$="

LS =E0E

=

22!a + bab

e" j #2$2

d$0

+%

&

12!a + bab

e" j #2$2

d$h' 2

!a+bab

+%

&

=2 e

" j #2$2

d$0

+%

&

e" j #2$2

d$h' 2

!a+bab

+%

&ν0: parametro di Fresnel

( )j121e

21 4

j!="

#!

Integrale di Fresnel

Diffrazione da KE Attenuazione Supplementare (2/3)

LS =E0E

=1

1+ j2

e! j "2#2

d##0

+$

% !o =h"1

2

Si noti che:

Diffrazione da KE Attenuazione Supplementare (3/3)

As (dB) = 20 log (E0/ E )

!0

  P e r ν 0 > - 1 s i p u ò approssimare come:

  Per il valore di |AS(dB)| è inferiore a 1 dB, e d u n q u e l ’ e f f e t t o dell’ostacolo risulta in pratica trascurabile. Osservando che

la condizione corrisponde a h < -ρ1 ovvero a l la condiz ione d i non intersezione tra l’ostacolo ed il primo ellissoide di Fresnel

LS dB( ) = 6.4 + 20 ! log10 "02 +1 + "0

2( )

2h1

0 !"

=#

!0 < ! " 2

20 !"<#

LS

Lee’s simplified attenuation formulas [*]

L(!0 ) =

"20log 0.5" 0.62!0( ) -0.8<!0 <0

"20log 0.5exp "0.95!0( )#$ %& 0<!0 <1

"20log 0.4 " 0.1184 " 0.38 " 0.1!0( )2{ }1/ 2#

$'

%

&( 1<!0 <2.4

"20log0.225!0

#

$'

%

&( !0 >2.4

)

*

++++

,

++++

[*]W. C. Y. Lee, Mobile Communications Engineering, Mc Graw Hill, New York 1982

KE Diffraction – calcolo del campo (1/3)

z

x

y

rR

χ dy

dz

jkxin eEE != 0

!

( x, y, 0 )

  Bordo del KE coincidente con asse y; R nel generico punto del piano XZ   Ipotesi: onda incidente sul Knife Edge piana uniforme e incidenza

normale:

( )( )

zjinc

inceA

z,y,xHz,y,xE !"#=$%

$&'

( )( ) ( )! !

" "

"#

$#%&+

'$=

()*

+0 R

rj'dx'dy

recos1

4jA

z,0,xHz,0,xE

R

  Supponendo z >> λ e sapendo che le sorgenti secondarie (y’, x’) che danno un contributo significativo al campo ricevuto in (x,0,z) sono solo quelle per y ≈ qualche λ (prime zone di Fresnel)

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )!

"#$+#

%&#=

'()

*"

+"++,+=

- &",%

0 R

j4j

0

R

2

R222

R

'dxecos12

eAz,0,xHz,0,xE

2

'y'y'xxzr

R

( ) !"#$%

& '+=( 22R 'xxz

Z

Y

X ( ) zjinc eAz,y,xE !"#=

R(x,0,z)

dy’ dx’

Q(x’,y’,0)

( )( ) !

!+"#$

%"&

""+"='() $&%#%$%

sin2cos1

21eeAeA

z,0,xHz,0,xE

j

4jzj0

  Applicando il metodo della fase stazionaria per la risoluzione dell’integrale, è possibile ottenere la seguente soluzione per il campo ricevuto:

x > 0 (Regione illuminata)

( )( ) !

!+"#$

%"&

""='() $&%#%

sin2cos1

21eeA

z,0,xHz,0,xE

j

4j

x < 0 (Shadow Region) (ρ,θ )"

y"

x"Confine dʼombra"

Onda Piana Incidente"

•  θ > 0 se x > 0 •  θ < 0 se x < 0

KE Diffraction – calcolo del campo (2/3)

Z

X

(r,q )"

y"

x"Confine dʼombra"

Onda Cilindrica Diffratta"

Onda Piana Incidente"

( )( ) ( ) ( )!"

#""+!""=

$%& '#()(

>!

'( DeeAUeAz,0,xHz,0,xE

Diffratta Cilindrica Onda

j4j

0

0) per solo(Piana Onda

zj0

!!! "!!! #$!! "!! #$

 La presenza del knife-edge genera un’onda diffratta che nelle ipotesi fatte risulta essere un’onda cilindrica

 Le superfici d’onda sono perciò dei cilindri aventi per asse il bordo superiore del

Knife-Edge è allora possibile definire i Raggi Diffratti che si propagano dal bordo dell’ostacolo in direzione radiale.

  : Coefficiente di Diffrazione

( )!!+"

#$%=!

sin2cos1

21D

KE Diffraction – calcolo del campo (3/3)

Z

X

Osservazioni:   La possibilità di estendere l’ottica geometrica al fenomeno della

diffrazione fin qui mostrata e’ sottoposta ai seguenti vincoli e limitazioni: 1) Approccio scalare alla teoria della diffrazione (Huygens-Fresnel); 2) Onda incidente piana; 3) Incidenza normale; 4) Ostacolo assimilato ad un knife-edge trasversalmente illimitato; 5) Ricevitore lontano dal “confine d’ombra del raggio diretto” (D(0)=∞)

  Tali ipotesi di lavoro assai raramente risultano verificate in situazioni reali

di diffrazione. E’ quindi opportuno generalizzare l’approccio fin qui seguito in modo da estendere la descrizione a raggi della diffrazione a situazioni più realistiche

La legge della Diffrazione Introdotta da J. B. Keller nel 1961 e si articola nei seguenti 2 seguenti assunti[6] : I. Si generano uno o più raggi diffratti ogniqualvolta un raggio dell’OG classica (diretto o riflesso) incide su uno spigolo o un vertice;

II. Per ogni cammino diffratto vale il Principio di Fermat (Estensione del principio di Fermat al fenomeno della diffrazione)

Raggio Incidente

Cono di

Keller

Legge della diffrazione: il raggio diffratto e quello incidente giacciono da parti opposte rispetto al piano perpend. allo spigolo e passante per il punto di diffrazione; gli angoli che tali raggi formano con lo spigolo (angolo di incidenza e angolo di di diffrazione) sono dati dalla “legge di Snell per la diffrazione”:

Se i raggi si propagano nello stesso mezzo, θd=θi; Ogni raggio incidente genera una infinità di raggi diffratti

sulla superficie laterale di un cono (cono di Keller)

ddii sinnsinn !"=!"

VEDREMO MEGLIO IN UNA PROSSIMA LEZIONE…