57

Torna all’indice

Teoria dei Sistemi

Sistemi fisici e loro modelli matematici

Cosa si intende per Sistema Fisico? Abbiamo definito il Segnale come la variazione temporale dello

stato di un Sistema Fisico ma ora troviamo qualche difficoltà a trovare una definizione esauriente di questo. E' forse un concetto intuitivo cosi come "l'insieme" in algebra ? E' possibile immaginarlo come la somma di tanti "enti materiali" più elementari ? In questo caso sarebbero considerati tali solo

i sistemi cosiddetti "complessi" e allora gli atomi o le molecole non sono da considerare sistemi anch'essi? E il "vuoto" non sembrerebbe quindi poter essere considerato come sistema fisico invece esso interviene pesantemente nella descrizione di innumerevoli processi fisici.

Nel linguaggio corrente usiamo sovente espressioni come Sistema Termodinamico, Sistema Complesso, Sistema Dinamico, Sistema Caotico e via dicendo dando ad ognuno un significato e un contenuto diversi.

Sembra quindi lecito assumere che il Sistema possa essere definito come un concetto molto generale e onnicomprensivo che utilizziamo per rappresentare il comportamento di un processo fisico nello spazio e nel tempo. Ora, poiché per studiare un processo occorre osservarlo nel senso di effettuare

delle operazioni di misura, dovremo pensare il sistema come un operatore rappresentante di processi fisici diversi che possono essere studiati attraverso la risposta che esso da quando e' sottoposto a determinate sollecitazioni

Ora, per quanto complesso esso possa essere, potrà sempre essere schematizzato, dal punto di vista logico, attraverso una "scatola" alla quale è applicato un segnale, Uin(t), (sollecitazione) per ricevere, comunque trasformato dall'operatore T, una risposta, .Uout(t), che contiene l'informazione sui

processi fisici del sistema.

TU

in(t)

Uout

(t)

Cosi come per la trattazione dei segnali, anche per i sistemi, che processano, trasformano e/o

trasmettono i segnali, è necessario introdurre degli opportuni modelli matematici. Nel caso più semplice, il segnale d'ingresso Uin(t) e quello di uscita Uout(t), sono funzioni

individuali del tempo. Nel caso più generale il segnale di ingresso è rappresentato da un vettore m-dimensionale:

)(),...,(),(ˆ21 tUtUtUU minininin =

e quello di uscita da uno n-dimensionale:

)(),...,(),(ˆ21 tUtUtUU moutoutoutout =

Allora la relazione tra ingresso e uscita può essere rappresentata da un operatore di sistema T che

applicato alla sollecitazione fornisce la risposta :

)(ˆ)(ˆ tUTtU inout =

58

Per definire completamente il problema è necessario specificare il dominio del segnale in ingresso, Din, e della risposta, Dout, in uno spazio funzionale (ad esempio quello di Hilbert). Nel caso più

semplice esso è specificato dal tipo stesso di segnale di ingresso e di uscita che può essere continuo o discreto, deterministico o stocastico. L'insieme di un operatore di sistema T e dei domini Din e Dout costituiscono il modello matematico

del sistema fisico.

Sistemi stazionari e non

Un sistema è detto stazionario se la sua risposta è indipendente dal tempo al quale esso accetta il segnale di ingresso. Se T è l'operatore di un sistema stazionario, allora, dall'uguaglianza:

)(ˆ)(ˆ tUTtU inout = segue che:

000 t )(ˆ)(ˆ ∀−=− ttUTttU inout Un sistema è stazionario anche se i suoi parametri sono indipendenti dal tempo, cioè costanti.

Sistemi lineari e non

Un sistema è lineare se

( ) ( ) ( )2121

ˆˆˆˆinininin UTUTUUT +=+

( ) ( )inin UTUT ˆˆ αα = con α numero arbitrario.

Queste condizioni definiscono il fondamentale principio di sovrapposizione.

Esempio.

Sia dato il sistema in figura costituito dalla somma di un operatore differenziale e uno moltiplicativo

con costante α, al quale è applicata una sollecitazione Uin(t) allora la risposta, Uout(t), sarà data da )()()( t

dt

dt UU inout

α+=

quindi il sistema è Lineare.

Se invece prendiamo un sistema la cui la risposta Uout(t), sia data da :

)()( 2 tUtU inout = ; applicando all'ingresso la somma di due

segnali, )()( 21 tUtU + , l'uscita sarà

UUUUU ininininout

2

221

2

12 ++=

La presenza del prodotto UU inin 21dimostra la non linearità del sistema.

Tipici sistemi non lineari sono costituiti da diodi o transistor. La non linearità è manifestata dalla loro

caratteristica corrente-tensione. Vi sono molti sistemi per i quali è possibile trascurare la non linearità, come i classici componenti passivi: resistori, condensatori e induttori.

59

Sistemi a costanti concentrate e distribuite

Un altro modo per classificare i sistemi (ora facciamo riferimento esplicito a quelli di natura elettrica o elettronica) è quello secondo il quale si confrontano le dimensioni fisiche degli stessi con la

lunghezza d'onda λ del segnale applicato in ingresso.

Se le dimensioni geometriche caratteristiche di un sistema (la lunghezza max di un circuito elettrico) sono sostanzialmente più

piccole di tale lunghezza d'onda, si parla di sistemi a costanti

concentrate. In questo caso l'energia del campo elettrico, magnetico, ecc. è concentrata in una regione fisica

(capacità, induttore...). Le proprietà del circuito sono indipendenti dalla configurazione dello stesso (cioè dalla sua forma e dimensione) e ciò rende possibile la descrizione del suo comportamento attraverso un modello astratto chiamato diagramma circuitale o circuito equivalente. L'analisi può

essere fatta attraverso i convenzionali metodi (leggi di Kirchoff, Ohm,...). Tipicamente ciò avviene per frequenze fino a parecchie centinaia di MHz. Diversamente nel campo delle microonde le dimensioni fisiche diventano confrontabili con la

lunghezza d’onda λ. allora comincia a diventare importante considerare il tempo finito che il segnale

impiega per propagarsi nel sistema. Gli ordinari circuiti elettrici non sono più adatti e lasciano il posto a speciali circuiti detti a costanti distribuite. Invece di "fili" per la connessione elettrica, si fa uso di "tubi" le cui dimensioni e forme sono calcolate appositamente (guide d'onda) e , ad es., al posto di LC si usano cavità risonanti. La teoria, l'analisi e la sintesi di tali circuiti è molto più complessa di quella relativa alle costanti concentrate. Ma non è lo scopo di questo corso!!

Risposta dei sistemi lineari stazionari ai segnali deterministici

I sistemi fisici lineari hanno la fondamentale proprietà di obbedire al principio di sovrapposizione. Questo ci offre la possibilità di analizzare la risposta dei sistemi ad una varietà molto estesa di segnali.

Infatti avvalendoci, ad es., dei metodi di rappresentazione dinamica, già vista, possiamo risolvere i segnali di ingresso nella somma di impulsi elementari. Quindi, se siamo capaci di trovare la risposta del sistema a una qualsiasi eccitazione elementare, il

problema è risolto semplicemente combinando le risposte singole a queste eccitazioni elementari. Questo tipo di analisi e’ utile per la rappresentazione dei segnali e dei sistemi nel dominio del tempo. E' comunque possibile, e a volte più conveniente, fare l'analisi nel dominio delle frequenze quando

sono note la serie o l'integrale di Fourier o di Laplace. Le proprietà del sistema sono poi rappresentate dalla risposta in frequenza che definisce in quale modo le armoniche elementari sono trasformate dal sistema.

Risposta nel dominio del tempo

Come abbiamo visto la rappresentazione dinamica dei segnali fa uso, fondamentalmente, di due

eccitazioni elementari: 1) Lo step unitario o funzione di Heaviside 2) L'impulso unitario o δδ di Dirac

Cominciamo ad analizzare questo ultimo caso:

Vin Vout

60

Risposta all'impulso o δ di Dirac

Supponiamo che un sistema lineare e stazionario sia rappresentato dal suo operatore T. Per semplicità

assumiamo che i segnali di ingresso e uscita siano unidimensionali. Per definizione prendiamo come risposta all'impulso la funzione h(t) che è quindi la risposta del

sistema, definito attraverso l’operatore T, ad una eccitazione del tipo δ(t): [ ] )( )( tTth δ= e poiché il sistema è stazionario, possiamo anche scrivere:

[ ] )( =)( 00 ttTtth −− δ

Integrale di sovrapposizione di Duhamel

L'estrema importanza della risposta all'impulso nella teoria dei sistemi lineari stazionari risiede nel fatto che la conoscenza di h(t) ci dà la possibilità di risolvere formalmente qualsiasi problema

connesso con il passaggio di un segnale deterministico attraverso tali sistemi. Infatti, come abbiamo già visto, un segnale può sempre essere rappresentato attraverso la delta di Dirac:

ττδτ dtutu inin )( )()( −∫=+∞

∞− allora la risposta del sistema sarà, seguendo la formulazione precedente:

ττδτ dtuTtTutu ininout )( )()()( −== ∫+∞

∞− Considerando che un integrale è il limite di una sommatoria e in base al principio di sovrapposizione, l'operatore T può essere incluso nell'integrale. Inoltre, va notato che esso agisce solo sul termine

dipendente dal tempo "attuale" t, ma non sulla variabile di integrazione τ. Perciò si ha:

ττδτ dtTutu inout )( )()( −= ∫+∞

∞− E quindi, poiché )()( τττδ −=− thdtT si ha:

τττ dthutu inout )( )()( −= ∫+∞

∞−

che è l'integrale di sovrapposizione o di Duhamel, e che ha un significato fondamentale nella teoria

dei sistemi lineari. Esso afferma che:

il segnale di uscita da un sistema lineare e stazionario è la convoluzione di due funzioni: l'eccitazione e la risposta all'impulso.

Che possiamo, in sintesi scrivere formalmente: )()()( τ−∗= thtutu inout

Possiamo anche riscrivere l'integrale: τττ dhtutu inout )( )()( ∫ −=+∞

∞−

Il vantaggio maggiore dell'analisi che fa uso dell'integrale di sovrapposizione consiste nel fatto che una volta trovata la risposta all'impulso, le successive operazioni sono completamente formalizzate.

Anche se non riusciamo a risolvere analiticamente l'integrale, è sempre possibile calcolarlo

numericamente attraverso l'uso di metodi computazionali (calcolatori). Volendo anticipare alcune considerazioni che verranno fatte durante la trattazione dell'analisi spettrale, possiamo fin d'ora fare alcune osservazioni in merito alla importanza della risposta alla delta

di Dirac dei sistemi stazionari e lineari.

Come abbiamo visto la Trasformata di Fourier di una funzione delta, δ(t), è una funzione costante.

Questo significa che, nel dominio delle frequenze ω, tutte le frequenze sono possibili con la stessa

61

ampiezza, ovvero lo spettro di una funzione delta è infinitamente esteso. Quindi sollecitare un sistema

con un segnale impulsivo, la delta di Dirac, vuol dire sollecitarlo anche con tutte le frequenze possibili da 0 a infinito. Alla stessa conclusione si può giungere anche, per via euristica, senza invocare le trasformazioni

integrali. Infatti se ricordiamo il principio di indeterminazione di Heisenberg secondo il quale il

prodotto ∆E*∆t ≈ h ne ricaviamo che ∆ω*∆t ≈ 1 e quindi ad un impulso infinitamente stretto

nel dominio temporale, ∆t → 0, corrisponde un intervallo di frequenze, ∆ω → ∞ , infinitamente

esteso nel dominio delle frequenze

Esempio.: Sistema con risposta all’impulso ed Heaviside (Video-clip)

Supponiamo che un sistema lineare e stazionario, il cui arrangiamento interno è irrilevante, abbia una risposta all'impulso rappresentata dal

seguente modello matematico:

>≤≤

<=

Tt

Tt

t

th

per 0

0per A

0per 0

)( 0 che,

in forma grafica, è schematizzato come in figura: Cioè come un impulso rettangolare di durata T ed ampiezza A0 per t = 0.

Vogliamo trovare la risposta del sistema se l'eccitazione è una funzione

di Heaviside al tempo t=0 cioè: )()( 0 tUtuin σ=

che in forma grafica è illustrata in figura a lato:

allora applicando l'integrale di

sovrapposizione: τττ dthutu inout )( )()( −∫=+∞

∞− notiamo che il segnale

di uscita varia a seconda se il tempo t eccede o no la durata T della risposta all'impulso. E quindi per Tt ≤≤0 abbiamo:

tUAdUAtut

out 00

0

00 )( == ∫ τ che in forma grafica è riportata a

sinistra (cioe’ una funzione linearmente crescente con il tempo, da , 0 a T ). Se poi t > T, allora per τ > T la risposta all'impulso h(t-τ)

svanisce, e quindi: TUAdUAuT

out 00

0

00 == ∫ τ come nella

figura a destra.

Condizioni per la realizzabilità di un sistema fisico

Qualunque sia la forma della risposta all'impulso, un sistema fisico realizzabile deve sempre soddisfare la seguente fondamentale condizione:

un sistema fisico non può mai dare una uscita in anticipo rispetto al segnale d'ingresso. Questo impone che:

h(t) = 0 per t < 0 E quindi l'integrale di sovrapposizione va esteso solo fino al tempo "attuale" t

τττ dthutut

inout )( )()( −∫=∞−

62

Questo vuol dire che:

un sistema lineare stazionario "opera" su tutti i valori istantanei delle eccitazioni applicate all'ingresso e esistenti nel "passato": t<<∞− τ .

In nessun caso un sistema fisico realizzabile opera su informazioni contenute nei valori "futuri" dei valori in ingresso.

Risposta allo step o funzione di Heaviside

Se σ(t) è la funzione di Heaviside e costituisce la funzione d'ingresso di un sistema lineare stazionario,

allora la risposta sarà: )()()()( 00 ttTttgtTtg −=−→= σσ

Per le condizioni di realizzabilità di un sistema fisico si dovrà avere: g(t) = 0 per t < 0 Vogliamo mostrare che vi è una stretta relazione tra la risposta all'impulso h(t) e quella allo step g(t);

infatti poiché: dt

tdt

)()(

σδ = e poiché h(t) = T δ(t) Allora:

=

dt

tdTth

)()(

σ

Cioè dt

tdg

dt

tdTth

)()()( ==

σ oppure ∫=

∞−

tdhtg ξξ )()(

Esempio:Risposta alla funzione di Heaviside

Trovare la risposta alla funzione di Heaviside, σ(t), di un sistema lineare stazionario che ha una

risposta all'impulso:

h(t) = A0σ(t) - A0σ(t-T) cioè analogo all'esempio precedente.

Allora la g(t) è:

∫ −−=∫=∞−∞−

ttdTAAdhtg ξξσξσξξ )()()()( 00

cioè il sistema passa dallo stato "0" a quello definito da A0T quando arriva

lo step unitario e la transizione avviene nel tempo di durata della risposta all'impulso:

Un altro modo per esprimere l'integrale di Duhamel, è quello di

servirsi della risposta allo step g(t). Ricordando che un qualsiasi segnale può essere rappresentato in

termini dinamici tramite la funzione di Heaviside σ(t)

ττστ

σ dtd

tdststs

t)(

)()()( 0 −∫+=

∞− se s(t) è il segnale di ingresso del nostro sistema: s t u tin( ) ( )→ , possiamo scrivere l'integrale di

sovrapposizione come:

τττ

dtgd

tdutgutu

tin

inout )()(

)()0()( −∫+=∞−

≤≤

<

=T> t

0per

0per 0

)(

0

0

TA

TttA

t

tg

63

Risposta in frequenza o funzione di trasferimento

Nell'analisi matematica dei sistemi è importante trovare quella eccitazione, uin(t), o segnale d'ingresso al sistema tale che, sottoposta all'azione dell'operatore del sistema T, rimane inalterata a

meno di un fattore numerico λ:, cioè tale che sia verificata la seguente equazione :

uout(t) = Tuin (t) = λuin(t)

allora il segnale uin (t) è detto autofunzione dell'operatore T, e il numero λ (complesso nel caso più

generale) è detto autovalore.

Facciamo vedere che il segnale armonico uin (t) = exp(iωt) è l'autofunzione di un sistema lineare e

stazionario per qualsiasi valore di ω.

Dall'integrale di Duhamel: [ ] τττωτττ dhtipedhtutu inout )( )(x)( )()( ∫ −=∫ −=∞

∞−

∞

∞−

Separando le variabili nell’esponenziale e poiché la variabile di integrazione è τ:

[ ] [ ]tipedhipetuout ωτττω x)( )(x)(

∫ −=∞

∞− Ricordando l'equazione agli autovalori: uout(t) = λuin(t)

ricaviamo che l'autovalore è [ ] ττωτλ dhipe )( x ∫ −=∞

∞−

che è un numero complesso chiamato risposta in frequenza o risposta complessa o funzione di

trasferimento complessa del sistema che indicheremo con k(iωω)

[ ] ττωτω dhipeik )( x )( ∫ −=∞

∞− Quindi le funzioni armoniche sono autofunzioni dei sistemi lineari e stazionari e la funzione di

trasferimento, k(iω), è l'autovalore.

Inoltre questa equazione stabilisce un fatto importante:

La risposta in frequenza, k(iωω), è la trasformata di Fourier della risposta all’impulso, h(t). Quindi la risposta all'impulso e quella in frequenza costituiscono una coppia di trasformate di Fourier:

[ ] ττωτω dhipeik )( x )( ∫ −=∞

∞−

[ ] ωωτωπ

τ dipeikh x)( 2

1)( ∫=

∞

∞− Siamo allora giunti al punto cruciale della teoria dei sistemi:

Qualsiasi sistema lineare stazionario può essere analizzato nel dominio del tempo, per mezzo della risposta all'impulso o di quella allo step, oppure nel dominio della frequenza sulla base della risposta in frequenza. Ciascun metodo è buono come l'altro. La scelta è solo un problema di convenienza.

64

Condizioni imposte sulla risposta in frequenza

La risposta in frequenza k(iω) ha una semplice interpretazione se l'eccitazione è una funzione

armonica di determinata frequenza ω e di ampiezza complessa uin. Allora l'ampiezza complessa dell'uscita sarà: inout uiku )( ω=

in cui k(iω) si può scrivere: )()()( ωϕωω kieikik =

e )( ωik è una funzione reale detta ampiezza della risposta, e )(ωϕ k è una funzione reale detta fase

della risposta. Non tutte le possibili )( ωik possono essere funzioni di risposta in frequenza di un sistema

realizzabile. La più semplice delle condizioni che )( ωik deve rispettare è conseguenza della

necessarietà, per la risposta all'impulso h(t), di essere reale. Infatti poiché )( ωik è esprimibile come un numero complesso e abbiamo già dimostrato, trattando la

teoria dei segnali, che la parte reale della risposta k(iω) è una funzione pari mentre quella

immaginaria è una funzione dispari. Quindi, scrivendo la risposta, nel caso più generale possibile : )()()( ωϕωω kieikik =

)()()(cos)()( ωϕωωϕωω kk sinikiikik += ne deduciamo che

)( ωik

è una funzione PARI

ϕ(ω) è una funzione DISPARI

Più difficile è trovare le condizioni affinché la risposta in frequenza )( ωik soddisfi la realizzabilità di

un sistema, cioè: h(t) = 0 per t < 0 e g(t) = 0 per t < 0

La risposta è data dal Criterio di Paley-Wiener che non dimostreremo. Esso afferma che :

la condizione necessaria e sufficiente affinché l'ampiezza della risposta possa essere realizzabile è:

+∞<∫+

∞+

∞−ω

ω

ωd

ik21

)(ln Criterio di Paley-Wiener

cioè l'integrale non deve divergere.

Esempio. Criterio Paley-Wiener

Supponiamo che un sistema lineare stazionario abbia una risposta rappresentata dal seguente modello matematico (quindi ideale) : Dal criterio di Paley-Wiener si evince che l'integrale diverge e quindi questo sistema ideale non è

fisicamente realizzabile. Questo è vero per ogni sistema che abbia una

)( ωik che “svanisce” entro

un intervallo finito di

frequenza. In altri termini la risposta di un qualsiasi sistema fisicamente realizzabile non può andare a zero in un intervallo di frequenze infinitesimo cioè in modo discontinuo. Essa è solo una schematizzazione ideale, un modello matematico. Possiamo trovare lo stesso risultato calcolando la risposta all’impulso h(t):

=

L

LL0

L

> se 0

<<- se k

-< se 0

)(

ωωωωω

ωωωik

65

( )t

tsinkee

it

kti

it

kdti

kth tt i

L

LL0LLi0LL

0L

L

0

2)exp(

2)exp(

2)(

ωω

πω

πω

πωω

πωωω

ω

ω

ω=−==∫= +

−

+

−

La h(t) risulta simmetrica rispetto allo zero quindi non rispetta la condizione: h(t) = 0 per t < 0

che graficamente:

e quindi il sistema non è fisicamente realizzabile.

Sistemi dinamici lineari

Si definiscono sistemi dinamici lineari quella classe di sistemi nei quali il segnale di uscita è determinato non solo dal valore presente del segnale in ingresso, ma anche dalla "storia passata" dello stesso. In altri termini un tale sistema ha "memoria" di come il segnale d'ingresso si è trasformato.

Sistemi descritti da equazioni differenziali

Nella classe dei sistemi dinamici lineari quelli di una certa importanza sono quelli che possono essere descritti da equazioni differenziali. Nel caso più generale la relazione tra la sollecitazione uin(t) e la

risposta uout(t) si può scrivere:

inoutinm

m

minm

m

moutoutoutn

n

noutn

n

n ubudtd

budt

dbu

dt

dbuau

dtd

audt

dau

dt

da 011

1

1011

1

1 +⋅⋅++=+⋅⋅⋅++−

−

−−

−

−

Più precisamente tale relazione dinamica esiste tra i valori istantanei della sollecitazione di ingresso e la risposta in uscita nei sistemi a costanti concentrate. •Se il sistema è lineare e stazionario allora i coefficienti a0.....an e bo....bn sono numeri reali e

costanti. •Se la uin(t) è una funzione f(t) nota del tempo allora il problema si riduce al problema matematico

della risoluzione di una equazione differenziale lineare di ordine n a coefficienti costanti:

)(011

1

1 tfuaudtd

audt

dau

dt

da outoutoutn

n

noutn

n

n =+⋅⋅⋅++ −

−

−

e il sistema dinamico è detto sistema dinamico di ordine n.

t

h

π/ω Lπ/ω L

66

Esempio Analisi di un sistema dinamico costituito da una cella RC

Vin Vout

R

C

La corrente nel circuito è outVdt

dCti =)(

Applicando la legge di Kirchoff alla maglia chiusa delimitata dal generatore Vin, dal resistore R e

dalla capacità C si ottiene : inout VVtRi =+)( da cui

inoutout VVVdt

dRC =+ allora, poiché l’ordine di derivazione è n=1, questo è un sistema

dinamico del primo ordine caratterizzato dal parametro τ = RC detto costante di tempo.

Esempio. Analisi di un sistema dinamico costituito da due celle RC non interagenti (Calcolo)

C1 C2

R1 R2

K0

V1Vin Vout

La non interazione tra le due celle è garantita dalla presenza di un amplificatore operazionale ideale che presenta una impedenza di ingresso infinita e una di uscita nulla. Il sistema è caratterizzato da due

costanti di tempo: τ1 = R1C1 e τ2 = R2C2. Analogamente a quanto fatto nel precedente circuito e avvalendosi delle proprietà di disaccoppiamento dell'OP-AMP ideale, possiamo scrivere le seguenti equazioni:

1) 012 KVVdt

dVout

out =+τ ; 2) inVVdt

dV=+ 1

11τ ; 3)

00

21 K

V

dt

dV

KV outout +=

τ

sostituendo la 1 e la 3 nella 2 si ha inoutoutoutout VK

V

dt

dV

Kdt

dV

Kdt

Vd

K=+++

00

2

0

12

2

0

21 ττττ

e quindi: 0212

2

21 )( KVVdt

dV

dt

Vdinout

outout =+++ ττττ

Funzione di trasferimento per un sistema dinamico lineare

Se l'eccitazione di un sistema dinamico lineare è del tipo armonico: )exp()( tituin ω=

allora la risposta è:

)exp()()( tiiktuout ωω= Applicando il modello matematico visto:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] tititim

m

mti

m

m

m

titin

n

nti

n

n

n

ebedtd

bedt

dbe

dt

db

eikaeikdt

daeik

dt

da

ωωωω

ωωω ωωω

011

1

1

01

1

1 )()()(

+⋅⋅++

=+⋅⋅⋅++

−

−

−

−

−

−

eseguendo il calcolo e risolvendo rispetto a k(iω) si ottiene:

67

01

1

01

1

)()(

)()()(

aiaia

bibibik

nn

nn

mm

mm

⋅⋅⋅++

⋅⋅⋅++= −

−

−−

ωω

ωωω

Possiamo quindi affermare che la risposta in frequenza o funzione di trasferimento, per qualsiasi

sistema lineare dinamico, è una funzione razionale di iω. I coefficienti sono gli stessi della equazione

differenziale.

Esempio. Semplice rete RC

Consideriamo la semplice rete RC già vista:

Questo è un sistema del primo ordine quindi sopravvivono solo i coefficienti b0, b1, (IN) a0, a1(OUT). La funzione di

trasferimento è:

01

01)(aia

bibik

++

=ωω

ω

l'equazione associata è

inoutout VV

dt

dV=+τ

in cui riconosciamo: b0 = 1 ; a0 = 1 e b1 = 0 ; a1 = τ

quindi 1

1)(

+=

ωτω

iik il cui modulo è

221

1)(

τωω

+=ik e la fase ϕ= arctan(-ωτ)

1=per 4-= 1=per 21)(

per /2-= per 0)(

0=per 0= 0=per 1)(

ωτπϕωτω

ωπϕωω

ωϕωω

=

∞→∞→=

=

ik

ik

ik

68

Esempio. Semplice rete CR

Vin VoutR

C

Questo è un sistema del primo ordine quindi sopravvivono solo i coefficienti b0 e b1 (IN), a0 e a1 (OUT). La funzione di trasferimento è:

01

01)(aia

bibik

++

=ωω

ω

l'equazione associata è

R

ViR =

; ∫+= dt

R

V

CVV out

outin 1

; out

outin Vdt

dV

dt

dV

τ1

+=

in cui riconosciamo: b0 = 0 ; a0 = 1/τ e b1 = 1 ; a1 = 1

Per cui

ωτωτ

ωτω

ωω

ωi

i

i

i

aia

bibik

+=

+=

++

=11

)(01

01

( )2222

22

22 111

1)(

τω

ωτ

τω

τω

τω

ωτωτω

++

+=

+

−= i

iiik

( )( )

( )( ) ( )22

22

222

2222

222

222222

11

1

1)(

τω

τω

τω

τωτω

τω

τωτωω

+=

+

+=

+

+=ik

e quindi

221)(

τω

ωτω

+=ik

Per la fase si ha:

[ ][ ])(Re

)(Im)tan(

ωω

ϕik

ik=

da cui

=ωτ

ωϕ1

tanarc)(

1=per 4= 1=per 21)(

per 0= per 1)(

0=per 2= 0=per 0)(

ωτπϕωτω

ωϕωω

ωπϕωω

=

∞→∞→=

=

ik

ik

ik

69

Analisi spettrale

Equazione fondamentale

Sia uin(t) un segnale deterministico applicato ad un sistema lineare stazionario. Allora la risposta del

sistema è: uout(t) = uin(t)∗h(t) avendo indicato con la stelletta [*] il prodotto di convoluzione

come visto dall'integrale di sovrapposizione di Duhamel, cioè la convoluzione tra il segnale di ingresso e la risposta all'impulso. Ricordando una delle proprietà basilari della trasformata di Fourier: il prodotto tra due funzioni, u(t), v(t), del tempo ha uno spettro dato dalla convoluzione degli spettri

singoli:

∫==∗→⋅= − dtetsSVUtvtuts tiωωωω )()()()()()()( e che è valido il teorema reciproco:

il prodotto tra due spettri è dato dalla convoluzione delle corrispondenti funzioni nel dominio del tempo, cioè:

)()()()()()( ωωω outininout SikSthtutu =→∗=

in cui ωωπ

ω deStu tioutout )(

2

1)( ∫=

+∞

∞−

risulta così dimostrata la notevole proprietà nell'analisi dei sistemi nel dominio delle frequenze:

)()()( ωωω inout SikS = che è l'equazione basilare del metodo di analisi spettrale:

la risposta in frequenza, k(iω), è un coefficiente di proporzionalità tra gli spettri dei segnali di

ingresso e di uscita.

E quindi la risposta di un sistema lineare stazionario è:

ωωωπ

ω deSiktu tiinout )()(

2

1)( ∫=

+∞

∞− Mostriamo che è possibile arrivare allo stesso risultato in un modo più elegante e più sintetico facendo uso dei teoremi sulla trasformata di Fourier. Il teorema di Duhamel afferma : uout(t) = h(t)*uin(t)

Prendiamo la trasformata di Fourier di ambo i membri : F[uout(t)]=F[h(t)*uin(t)]

Dalle proprietà della trasformata di Fourier sappiamo che la trasformata del prodotto di convoluzione di due funzioni equivale al prodotto ordinario delle loro trasformate : F[uout(t)]= F[h(t)] F[uin(t)] dalla quale si ricava immediatamente : Sout(ω)= k(iω) Sin(ω) come volevamo.

Calcolo della risposta all'impulso

Come esempio del metodo dell’analisi spettrale per lo studio dei sistemi e per la determinazione della loro risposta, calcoliamo la risposta ad una eccitazione elementare nota come la risposta all’impulso h(t) per una semplice rete RC. L’espressione generale della risposta all’impulso, come sappiamo, è data da

ωωπ

ω deikth ti )(2

1)( ∫=

+∞

∞− Il sistema da studiare può essere schematizzato come in figura

70

S(t)h(t)

R

C

La risposta in frequenza di un sistema RC è stata già calcolata in precedenza e vale

1

1)(

+=

ωτω

iik quindi

ωωτπ

ωd

i

eth

ti

12

1)( ∫

+=

∞+

∞− Dobbiamo ora calcolare questo integrale in campo complesso. Utilizzeremo il metodo dei residui.

Alcuni richiami sulle funzioni in campo complesso

Richiamiamo solo per motivi di completezza e di autoconsistenza del corso alcune proprietà delle funzioni in campo complesso.

Sviluppo in serie di Laurent

Sia f(z) una funzione analitica nel dominio D, cioè derivabile in ogni suo punto, che contenga una regione anulare: r z z R≤ − ≤0 . Si ha allora il seguente sviluppo in serie di Laurent:

( )∑ −=+∞

∞−

nn zzczf 0)(

con

( ) 0n ; )(2

1

0

10 ≥∫ −=

=−

−−

ϕπ ilezz

nn dzzzzf

ic

( ) 0<n ; )(2

1

0

10∫ −=

=−

−−

ϕπ ilezz

nn dzzzzf

ic

ed r < l < R

Calcolo dei residui

Sia f(z) una funzione analitica per Rzzr ≤−≤ 0 e sia ( )∑ −=+∞

∞−

nn zzczf 0)( il suo sviluppo

in serie di Laurent. Si ha allora:

1-

0

ci2=)( ⋅∫=−

πϕilezz

dzzf

0 < l < R

Il coefficiente c-1 dello sviluppo in serie si dice residuo della funzione nel punto singolare z0. Si può

generalizzare il teorema di Cauchy nella forma:

∑⋅∫=

−Γ

N

kkzcdzzf

11 )(i2=)( π

ove Γ è una curva chiusa differenziabile che contiene nel suo interno tutte le singolarità z1, z2, ...,

zk.

Per un polo di ordine N:

71

( ) ( )[ ])(lim!1

10

1

01 zfzz

dz

d

Nc N

N

zz⋅−

−=

−

→−

Nel calcolo è conveniente trasformare la funzione in modo da evidenziare i poli.

Nel nostro caso assumiamo che la variabile complessa sia ω. La funzione da integrare è:

( ) (POLO) con 11 0

0 τω

ωωττ

ωτωτ

ωωω i

i

e

ii

e

i

e tititi=

−=

+

=+

ed il RESIDUO (l'ordine del polo essendo N=1):

( ) ( )τ

ω

ωω

ω

τωωτωω

ωτ

ttitie

ii

e

i

eRES

−

→=

−−=

+1

lim1 0

00

Per trovare il valore della risposta h(t), per t > 0 bisogna prendere il percorso chiuso, c1, nel

semipiano superiore nel verso indicato (antiorario). In questo modo l'esponenziale eiωt tenderà a zero all'aumentare del raggio di c1 → ∞1. Nel limite detto, all'integrale contribuirà solo la parte presa

lungo l'asse reale in accordo con l'integrale definito di h(t). In definitiva:

ττττπ

πtt

t eei

ith−−

> ==11

2

2)( 0

Per t < 0, nel percorso preso nel semipiano inferiore, l'integrando non ha poli, quindi:

)( <tth

Im [ ω ]

R e [ω ]

Graficamente 0 .0

0 .5

1 .0

h (t)τ

t / τ Quindi la funzione h(t) è discontinua nel punto t = 0.

La risposta all'impulso per un sistema RC è allora: )()( tht →δ ττ

t

e−

=1

Calcolo della risposta ad una eccitazione esponenziale di un sistema RC

Utilizziamo il metodo spettrale per il calcolo della risposta di una rete RC eccitata con un segnale

esponenziale: )()( 0 teUtu tin σα−=

Come si è visto la risposta in termini spettrali è:

∫=+∞

∞−ωωω

πω deSiktu ti

inout )()(2

1)(

1Infatti il cerchio ha raggio iω che nell'esponenziale diventa e ei t t2ω ω= − che tende a zero per

iω → ∞ solo se t > 0.

t

U0

Uin

72

se la rete è

Uin(t)Uout(t)

R

C

La risposta in frequenza k(iω) è già nota:

ωτω

iik

+=

1

1)(

D'altronde conosciamo anche lo spettro della eccitazione (spettro di un'esponenziale):

∫+

==+∞

∞−

−ωα

ω ωi

UdtetuS ti

inin0)()(

Quindi: ( )( ) ( )∫

+

+

=∫++

=∞+

∞−

∞+

∞− ωταω

ωπαωτωα

ωπ

ωω

ii

deU

ii

deUtu

titi

out11

212

1)( 0

0

Scriviamo, scomponendo in frazioni parziali:

( )=

+−

+−=

+

+

ωτατ

αωατ

ωταω i

iii1

1

1

1

1

11

1

e, volendo evidenziare i poli:

( ) ( )

−

−−−

=

τω

ααω

αατ iii 1

1

Allora la risposta:

( ) ω

τω

αωατα

παω de

iii

Utu ti

out 11

)1(2

1)( 0 ∫

−

−−−

=∞+

∞−

occorre calcolare i residui dei due poli del primo ordine delle due funzioni:

(1)

ωαω

ωd

i

e ti

∫−

∞+

∞− e (2)

ω

τω

ωd

ie ti

∫−

∞+

∞−

(1) tti

ie

i

ec α

ω

αω αωωω −

→− =

−−= )(lim 01 ;(2) τ

ω

τω

τω

ωωtti

ie

ie

c−

→− =

−−= )(lim 01

Quindi

−

−=

−− ταατα

παπ

tt

out eei

Uitu

)1(2

2)( 0

73

−

−=

−− ταατ

tt

out eeU

tu)1(

)( 0

Calcolo della risposta di un sistema dinamico del primo ordine ad una eccitazione Esponenziale. Calcolo effettuato con Mathcad; Φ è la funzione di Heaviside α 107

τ 10 6 t ..,0 10 8 .5 10 6

Uo 1

uin( )t ..Uo exp( ).α t Φ ( )t uout ( )t .Uo

1 .τ αexp( ).α t exp

t

τ

0 1 106

2 106

3 106

4 106

5 106

0

0.05

0.1

uout( )t

uin( )t

10

t

74

Interpretazione geometrica o vettoriale della trasformazione del segnale

L’operatore T di un sistema definisce la legge attraverso la quale il segnale d'ingresso uin(t), vettore

in uno spazio lineare, viene trasformato in un nuovo segnale detto risposta. Come regola questo spazio funzionale è quello di Hilbert. Allora è comprensibile che l'operatore T cambi la norma del segnale d'ingresso uin(t).

Ossia si avrà, nel caso più generale:

)(tTuu inin ≠ e si verrà a generare anche un angolo ψ tra i due segnali uin ed uout.

Ci chiediamo qual è la potenza trasferita in uscita in termini di spettro, cioè qual è lo spettro di potenza ?

Spettro di potenza o Cross Power Spectrum

Abbiamo già visto che il prodotto scalare tra due segnali u(t) e v(t) è: ( ) ∫=+∞

∞−dttvtuvu )()(,

che è proporzionale alla cross-energy dei segnali. Ovviamente se i segnali sono identici otteniamo l’energia del segnale. Vediamo ora, nel caso più generale, la relazione tra prodotto scalare dei segnali ed i loro spettri.

Possiamo intanto definire i due segnali in termini dei loro spettri:

∫=+∞

∞−ωω

πω deStu ti

u )(2

1)(

; ∫=

+∞

∞−ωω

πω deStv ti

v )(2

1)(

sostituendo, v(t), nel prodotto scalare:

( ) ∫ ∫=+∞

∞−

+∞

∞−ωω

πω dSedttuvu v

ti )()(2

1,

cambiamo l’ordine d'integrazione:

( ) ∫ ∫=+∞

∞−

+∞

∞−dtetudSvu ti

vωωω

π)()(

2

1,

e notiamo che dtetudtetu titi ∫=∫+∞

∞−

−+∞

∞−

)()()( ωω è lo spettro, per valori negativi dell'argomento,

di u(t).

Poiché, in generale, gli spettri sono funzioni complesse di ω tali che

)()( ; )()( ** ωωωω SSSS =−−= otteniamo

∫=+∞

∞−ωωω

πdSSvu uv )()(

2

1),( *

che è la cosiddetta formula generalizzata di Rayleigh che si può interpretare nel modo seguente:

il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri. In generale S(ω) è una funzione complessa di ω, mentre, come si sa, il prodotto scalare (u,v) è un

numero reale!!

75

E' comunque possibile arrangiare l'integrando, ( )()( * ωω uv SS ), in modo da far apparire una funzione

reale di ω. Facciamo notare che l'integrazione è estesa tra limiti simmetrici, ω± , e quindi essi

corrispondono a numeri complessi coniugati (es.: ωα i−

1 per -ω e

ωα i+1

per ω).

D'altronde anche il prodotto )()( * ωω uv SS è il complesso coniugato dello stesso prodotto calcolato

per -ω. Infatti

[ ]**** )()()()()()( ωωωωωω uvuvuv SSSSSS ==−− e poiché la somma di due numeri c.c. è un numero ℜ , possiamo sostituire l'integrando con una

funzione reale: [ ])()()( * ωωω vuuv SSW ℜ= che chiameremo spettro d'incrocio della potenza

(cross-power spectrum) e quindi il prodotto scalare tra due segnali espresso in termini spettrali è:

∫=+∞

∞−ωω

πdWvu uv )(

2

1),(

Esempio. Cross Power Spectrum (Video-Clip)

Siano dati due segnali esponenziali u(t) e v(t) separati da un intervallo temporale t0

[ ] )(exp)( tttu σα−= ; [ ] )()(exp)( 00 tttttv −−−= σα

I rispettivi spettri, già calcolati, sono:

ωαω

iSu +

=1

)( ; ωα

ωω

i

eS

ti

v +=

− 0)(

Allora: 22

0* )()(ωα

ωωω

+=⋅

+ ti

vue

SS e quindi il cross power spectrum: 22

0)cos()(

ωα

ωω

+=

tWuv

Assegnato α, la forma dello spettro dipende fortemente dalla distanza temporale tra i segnali, t0.

Interpretazione del Cross-Power Spectrum

Il caso interessante e che si può verificare in pratica dando noia e perturbando la distinguibilità dei due segnali l'uno dall'altro, è quello in cui αt0 << 1 e quindi i due segnali sono molto vicini tra loro tanto

da potersi sovrapporre e quindi essere irriconoscibili (PILE-UP). In tal caso notiamo che la caratteristica dello spettro è quella tipica di un passa-basso. Quindi, al fine di ridurre il prodotto scalare tra i due segnali e renderli risolvibili, bisogna fare uso di un filtro passa-alto che sopprime "tutte" le frequenze al di sotto di un certo taglio Wc.

0

1

t0t

u(t) v(t)

ω

Wuv

α t 0 <<1

Impulsi vicini

ω

Wuv

αt 0 >>1

Impulsi lontani

76

Sotto l'azione del filtro passa-alto, si produce un rapido cambiamento del fronte di salita del segnale in

uscita per merito delle componenti ad alta frequenza del segnale che sono "libere" di attraversare il filtro. Allo stesso tempo quelle a bassa frequenza sono "tagliate" e quindi la durata dell'impulso in uscita è "ridotta" consentendo una miglior separazione dei due segnali.

Spettro di potenza di un segnale

Nel caso in cui: u(t) = v(t) il cross-power spectrum diventa: 2* )()()( ωωω uvu SSS =⋅

ed è chiamato spettro di potenza del segnale. Allora:

ωωπ

dWEdtuuu uu )(2

1),( 2 ∫==∫=

+∞

∞−

+∞

∞− che può essere interpretata fisicamente: l'energia di un qualsiasi segnale può essere rappresentata come una somma di contributi provenienti

da vari intervalli di frequenza.

Ciascun piccolo intervallo di frequenza, ∆ω, dà un contributo all'energia totale pari a:

ωωπ

∆=∆ )'(1

uu WE

essendo ω' la frequenza media all'interno dell'intervallo ∆ω.

Torniamo ora a calcolare qual è la energia trasferita all'uscita di un sistema lineare.

ωωωπ

dSSuE outoutoutout )()(2

1 *2∫==

+∞

∞−

ma poiché: )()()( ωωω inout SikS = risulta ωωωωπ

dSSikE ininout )()()(2

1 *2∫=

+∞

∞−

ma: )()()(* ωωω ininin WSS = spettro di potenza del segnale di ingresso, allora:

ωωωπ

dWikE inout ∫=+∞

∞−)()(

2

1 2

e poiché l'energia del segnale d'uscita può essere espressa in termini di spettro di potenza dello stesso:

ωωπ

dWE outout ∫=+∞

∞−)(

2

1, risulta l'identità:

)()()( 2 ωωω inout WikW = dalla quale risulta definita:

)(

)()()( 2

ωω

ωωin

outp W

Wikk ==

che rappresenta la risposta dell'energia trasferita.

Esempio.Rapporto Eout/Ein

Sia data una rete RC con ωτ

ωi

ik+

=1

1)( alla quale viene applicata

una sollecitazione che ha uno spettro di potenza di tipo passa-basso ideale di ampiezza W0. (v. fig.) Cerchiamo il rapporto Eout/Ein.

W 0

ω 0

0

77

)tan(1

)()(2

1 0

022

02 τωπττω

ωπ

ωωωπ

ω

cc

inout arcWdW

dWikE =∫+

=∫=+∞

∞−

L'energia del segnale di ingresso è: cc

ininW

dWE ωπ

ωωπ

ω0

0)(

2

1=∫=

quindi il rapporto tra le energie di uscita e d'ingresso è: τω

τω

c

c

in

out arc

E

E )tan(=

che tende a zero con l'aumentare sia di ωc che di τ.

Angolo tra ingresso e uscita

Abbiamo già visto come due segnali possono essere confrontati trovando l'angolo tra i fasori dei segnali nello spazio di Hilbert. Dal teorema di Rayleigh:

ωωωπ

dSSuu outinoutin )()(2

1),( *∫=

+∞

∞−

ma: )()()( *** ωωω inout SikS = quindi: ωωωωπ

dikSSuu ininoutin )()()(2

1),( **∫=

+∞

∞−

ma: )()()(* ωωω ininin WSS = per cui ωωωπ

dikWuu inoutin )()(2

1),( *∫=

+∞

∞−

Poiché, come abbiamo visto, la parte immaginaria della risposta in frequenza è una funzione dispari della frequenza, si ha:

ωωωπ

dikWuu inoutin )()(1

),(0

ℜ∫=+∞

e quindi l'angolo tra i fasori può essere trovato da: outin

outin

uu

uu

⋅=

),(cosψ

78

Trasformata di Laplace

Naturale generalizzazione:

da iω → s = σ + iω FREQ Im FREQ C

dtetsS ti∫=+∞

∞−

− ωω )()( → dtetfsL st∫∞

−=0

)()( ove f(t) è definita in t > 0

L'introduzione della frequenza complessa è molto utile, soprattutto, perché potremo ottenere le rappresentazioni spettrali dei segnali "non integrabili", senza ricorrere alle funzioni generalizzate.

Relazioni fondamentali

Sia f(t) una funzione reale o complessa definita per t > 0 e che sia identicamente nulla per t < 0, allora la trasformata di Laplace di f(t) è:

dtetfsL st∫∞

−=0

)()(

Le condizioni per l'integrabilità sono: atketf ≤)( con k ed a positivi

cioè la funzione f(t) cresce meno rapidamente di una esponenziale per t > 0. Quando ciò si verifica la L(s) esiste nel senso che l'integrale converge assolutamente per tutti i valori di s per i quali Re(s) > a, ed allora a è l'ascissa della convergenza assoluta.

Se σ = 0 la L(s) → S(ω) di un segnale che svanisce per t < 0 perciò la L(s) è vista come una

generalizzazione della S(ω). Come per la S(ω), anche per la L(s), è possibile ritrovare la f(t) originaria attraverso l'operazione di

antitrasformazione.

ωωπ

ω deStf ti⋅∫=+∞

∞−)(

2

1)( [Fourier]

Occorre operare una cosiddetta continuazione analitica, cambiando ωσω ii +→ . Nel piano complesso s = σ + iω è usuale fare l'integrazione lungo un asse verticale infinitamente

esteso posizionato a destra dell'ascissa di convergenza assoluta. Poiché a σ = cost. si ha dpi

d1

=ω .

La antitrasformata di Laplace si può scrivere:

dpesLi

tf stic

ic

⋅= ∫∞+

∞−

)(2

1)(

π

Nella teoria delle funzioni di variabile complessa si dimostra che la L(s) è analitica in tutti i punti del

piano complesso s eccetto che in un set limitato di punti chiamati poli. L'integrale può essere risolto con la tecnica usata nella teoria dei residui. In pratica si fa uso di tabelle in cui sono riportate, a coppie, le due trasformate di Laplace e si cerca,

nei limiti del possibile, di utilizzare combinazioni di trasformate note.

79

Esempio. L(s) di un esponenziale.

f(t) = exp(s0t)∗σ(t), con s0 = σ0 + iω0 ; poiché c'è la σ(t), la f(t)=0 per t < 0, come deve

essere.

00

)(

00

)(

0

11)( 000

sse

ssdtedteesL tsstssstts

−=

−===

∞−−∞

−−−∞

∫∫

e quindi:

0

1)(0

sste ts

−↔σ

Esempio.L(s) per un Esponenziale Reale (Calcolo Mathcad)

Come caso particolare si può dedurre la L(s) per un esponente reale: )(te tσα−

s0 α−→ . Quindi:

α+=

ssL

1)(

; α

σα

+↔−

ste t 1)(

e per uno immaginario: )(0 te ti σω

Ponendo: s0 0 ωi→

0

1)(

ωissL

−=

; 0

1)(0

ωσω

iste ti

−↔

Esempio.L(s) perla funzione di Heaviside

Ancora, ponendo α = 0 :

)()( tte t σσα =−

si ricava la L(s) della funzione step di Heaviside:

ssL

1)( =

; s

t1

)( ↔σ

Esempio. L(s) della delta di Dirac

Per un impulso δ (t) ad un tempo t0 > 0, si ha:

0

0

0 )()( stst edtettsL −−∞

=−= ∫δ

quindi 0)( 0

stett −↔−δ Per la δ(t):

1)( ↔tδ

avendo definito la δ(0) come: ∫∞

−

−

→=

εε

δ0

01)(lim dtet st

80

Proprietà fondamentali della L(s)

La maggior parte delle proprietà della L(s) sono le stesse delle analoghe della S(ω).

Linearità'

La L(s) è una trasformazione lineare integrale, quindi: () sLrtfr ii

ii

∑∑ ↔

Esempio. Linearità' della L(s)

Poiché la L(s) )(0 te ti σω è

0

1)(

ωissL

−= , e poiché :

[ ] )()()cos()( 000 ttisintte ti σωωσω +=

Applicando la proprietà di linearità:

)()()()( 2121 sLsLtftf +↔+

20

20

20

20

21

1)()(

ωω

ωω ++

+=

−=+

si

s

s

issLsL

allora:

20

20 )()cos(ω

σω+

↔s

stt

e 20

20

0 )()sin(ω

ωσω

+↔

stt

L(s) di un segnale traslato in tempo f(t-t0)

Se )()( sLtf ↔ , allora )()( 00 sLettf st−↔−

∫∞

−−=0

01 )()( dtettfsL st

ponendo x = t-t0 ; dx = dt ; t = x+t0

)( )()()( 000

00

)(1 sLeedxexfdxexfsL ststsxtxs −−

∞−

∞+− === ∫∫

)()( 0

0 sLettf st−↔−

Esempio. L(s) di un impulso rettangolare

Impulso rettangolare di ampiezza unitaria che inizia a t=0 e durata T. )()()( Ttttf −−= σσ

ssLt

1)()( =↔σ

seTt sT 1

)( −↔−σ ; [ ]sTes

tf −−↔ 11

)(

t0 T

1

81

Teorema dello spostamento

Se )()( sLtf ↔ allora la L1(s) di un segnale moltiplicato per eαt si ottiene "spostando"

l'argomento della L(s). In sintesi: se )()( sLtf ↔ allora: )()( αα +↔− sLetf t

Prova:

∫∞

−=0

1 )()( dtetfsL st

se

tetftf α−= )()(1

)()()()(0

)(

0

1 ααα +=== ∫∫∞

+−∞

−− sLdtetfdteetfsL tsstt

Quindi basta fare la sostituzione dell'argomento α+→ ss

Esempio. L(s) di un segnale armonico

Come esempio calcoliamo la L(s) di un segnale armonico inviluppato da un'esponenziale, cioè:

)cos()( 0tetf t ωα−=

poiché 20

20 )()cos(ω

σω+

↔p

ptt

per ottenere la L(s) della f(t) basta sostituire nella trasformata del cos(ω0t) al posto di α+→ ss

quindi ( ) 2

02

)(ωα

α++

+=

s

ssL , ovvero:

( ) 20

20 )cos(ωα

αωα

+++

↔−

s

ste t

ed analogamente

( ) 20

20

0 )sin(ωα

ωωα

++↔−

ste t

La L(s) della derivata

Se dt

dftg =)( e )()( sLtf ↔ allora la )0()()( fssLtg −↔

Infatti: dtedt

dfsL st )(

0

1 ∫∞

= che integrando per parti:

∫∞

−∞− +=0

01 )()()( dtetfsetfsL stst

Quindi la L(s) della derivata si ottiene moltiplicando per s la trasformata della f(t) e "contiene" il

valore del segnale all'istante iniziale:

)0()( fssLdt

df−↔

Per l'ennesima derivata si ha:

)0()0(...)0(')0()( 1221 −−−− −−−−↔ nnnnn

n

n

fsffsfssLsdf

fd

82

La L(s) dell'integrale

Se il segnale è zero a t=0, allora:

)(1

)(0

sLs

dft

∫ ↔ξξ

Esempio L(s) di un segnale a rampa

Come esempio calcoliamo la L(s) di una rampa cioè di un segnale con crescita lineare nel tempo:

f(t) = tσ(t)

Allora sappiamo che la rampa f(t) è l'integrale della σ(t): f(t) = tσ(t) = ξξσ∫t

d0

)(

e poiché la L(s) di una σ(t) è: s

t1

)( ↔σ allora la L(s) della rampa è:

2

1)()(

stttf ↔= σ

Metodo operazionale

Come abbiamo visto è possibile utilizzare il metodo spettrale per analizzare le caratteristiche di un sistema lineare.

Questa operazione è anche possibile rappresentando i segnali di ingresso e di uscita attraverso la loro trasformata di Laplace L(s). Tale metodo si chiama "operazionale".

Esso è eccezionalmente potente e flessibile soprattutto per risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti e quindi è molto utile nell'analisi dei sistemi dinamici lineari:

inmin

m

mmin

m

moutnout

n

nnout

n

n ubdt

udb

dt

udbua

dt

uda

dt

uda 01

1

01

1...... ++=+++ −

−

−

−

che definisce, come abbiamo già visto, la relazione ingresso-uscita per un sistema dinamico lineare

stazionario. Imponiamo inoltre che: 1) uin(t) = 0 per t < 0

2) il sistema non contiene nessuna energia immagazzinata prima che sia applicata l'eccitazione.

Il che vuol dire, dal punto di vista matematico, imporre:

0)0()...0(')0( 1 === −noutoutout uuu

3) che inoltre la funzione di ingresso non vari tanto rapidamente, così da consentire l'esistenza della sua L(s):

allora ci sarà una corrispondenza tra le funzioni di ingresso e d'uscita e le loro L(s)

)()( sutu inin ↔ )()( sutu outout ↔ Se ora prendiamo le L(s) di entrambi i membri dell'equazione differenziale abbiamo:

( ) ( ) )(...)(... 01

101

1 suasasbsuasasa inm

mm

moutn

nn

n +++=+++ −−

−−

Dalla quale possiamo ricavare la Funzione di Trasferimento Generalizzata k(s):

)(

)()(

su

susk

in

out= ; ( )( )0

11

01

1

...

...)(

asasa

bsasbsk

nn

nn

mm

mm

++++++

= −−

−−

83

che rappresenta un modello matematico completo del sistema.

• Se di un sistema è nota la funzione di trasferimento k(s), la risposta uout(t) si determina

piuttosto facilmente attraverso tre passi

1) )()( sutu inin ↔ calcolo della L(s) della eccitazione

2) )()()( susksu inout = calcolo della risposta trasformata

3) )()( sutu outout ↔ calcolo dell'anti-trasformata

Nota:

Col metodo operazionale, sviluppato da Heaviside alla fine del 19mo secolo per la soluzione di equazioni differenziali, si rimpiazza formalmente l'operatore d/dt con il numero complesso s:

sdt

d→

Proprietà della k(s)

Dal confronto tra la k(iω) e la k(s), si può dedurre che quest'ultima è la continuazione analitica della

prima. Dall'asse immaginario iω all'intero piano complesso s = σ + iω. La k(s) è analitica su tutto il piano s, tranne per un finito numero di punti, s1, s2,..., sn che sono le

radici del denominatore:

0... 01

1 =+++ −− asasa n

nn

n

che sono detti perciò POLI della k(s). Inoltre l'insieme di punti z1, z2,..., zn che sono radici del numeratore:

0... 01

1 =+++ −− bsbsb m

mm

m

e si chiamano ZERI della k(s). E' allora possibile scrivere la funzione di trasferimento generalizzata nella forma:

021

21

)())((

)())(()( k

ssssss

zszszssk

n

n

−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−

=

in cui k0 tiene conto dei fattori costanti (coefficienti an , bm).

Questo modo estremamente utile per l'analisi dei sistemi dinamici lineari stazionari, si chiama:

rappresentazione poli-zeri. Poiché i coefficienti dell'equazione differenziale di partenza sono reali, esiste la seguente importante proprietà della k(s):

I poli o gli zeri sono tutti o reali o coppie di complessi coniugati. Ovvero le radici complesse non possono essere in numero dispari. Inoltre, poiché in un sistema reale, la funzione di trasferimento, e quindi la risposta, non può divergere per ∞→s , il numero degli zeri

non può eccedere quello dei poli

#ZERI≤#POLI

84

Esempio. Trovare la risposta di una rete RC alla eccitazione di Heaviside.

g(t)

R

Cσ(t)

1) PASSO: trovare la uin(s)

L'eccitazione è: σ(t) la cui L(s) è

)(1

)( sus

t in=↔σ

2) PASSO: trovare la uout(s).

Occorre conoscere la k(s) che per la rete in oggetto è:

τssk

+=

1

1)(

quindi la:

sssusksu inout

1

1

1)()()(

τ+==

che espanso in frazioni parziali è:

ss

suout +−=

τ/1

11)(

3) PASSO: trovare la risposta nel dominio del tempo. Invocando la linearità delle L(s), riconosciamo nella uout(s) che 1/s è la L(s) della funzione di

Heaviside, σ(t), e che il secondo termine è la L(s) di un'esponenziale reale e-αt. Posto α=1/τ : )1)(()()()( tt

out etetttu αα σσσ −− −=−=

Esempio. Trovare la risposta di una rete RC quando l'eccitazione è un impulso rettangolare di ampiezza V0 e durata T. (Calcolo)

1) Il segnale d'ingresso è: [ ])()()( 0 TttVtuin −−= σσ

che ha come L(s) quella di una Heaviside,1/s, e quella di una

Heaviside traslata, cioè

sTes

−1, quindi: [ ]sT

in es

Vsu −−= 1)( 0

2)

+−

+=

+=⋅= −sT

ininout essss

Vsus

susksuτττ 1

11

1

11)(

1

1)()()( 0

3) Il primo termine è la L(s) di un esponenziale già visto prima e il secondo è lo stesso esponenziale traslato nel tempo della quantità T:

( ) ( )( )[ ])(1)(1)( //0 TteteVtu Ttt

out −−−−= −−− σσ ττ

che scritta in modo più istruttivo:

( ) TteVtu tout <<0per 1)( /

0τ−−=

Uout/V0

85

( ) T teeVtu Ttout >per 1)( //

0ττ −− −=

Il segnale ai capi di R invece è: outinr uuV −=

1

2

t/T

VR

Esempio. Risposta all'impulso, h(t), per un circuito risonante parallelo con perdite.

Dall'analisi della rete, possiamo scrivere: V(s) = Z(s)I(s)

essendo I(s) l'eccitazione e V(s) la risposta, deduciamo che, in questo caso la Z(s) ha il ruolo di funzione di trasferimento.

sLR

RsLLRCssLR

sCsZsZsZ

sZ++

=++

=++

=2

321

111

1

)(

1

)(

1

)(

11

)(

RsLLRCs

sLRsZ

++=

2)( che, ponendo

LC

120 =ω ed α = 1/2RC possiamo riscrivere

20

2 2)(

ωα ++=

ss

CssZ è conveniente riscrivere:

( ) 22)(

fs

CssZ

ωα ++=

con 220

2 αωω −=f frequenza naturale del circuito risonante con perdite α. La L(s) della δ(0) =

1, quindi la Z(s) è già la V(s) e dalle tavole delle L(s) si può dedurre, ponendo ω=ωf e

s=s+α :

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]222222

2222

22

cos

cos

fff

ft

ff

t

fff

ff

t

f

f

ft

as

s

asas

astsenete

asastsene

as

aste

ωωα

ωω

ωα

ω

ωα

ωα

ω

ωω

ωα

ωω

αα

α

α

++=

++−

+++

↔⋅−⋅

++=⋅

++↔⋅

+++

↔⋅

−−

−

−

che la risposta è:

−=

−tt

C

eth f

ff

tω

ωα

ωα

sincos)( se 00

cioè , 1 ωωωα

≅<< f ,

allora: tC

eth

t

0cos)( ωα−

≅ cioè una oscillazione

armonica smorzata.

δ(t) R L C h(t)

e − α t/ C

1 / C

86

Determinazione della k(s)

Per determinare la funzione di trasferimento, k(s), di un sistema composto da dispositivi elettronici si

possono utilizzare i principi di Kirchhoff oppure i teoremi delle reti nel dominio della frequenza. Tale procedimento analitico è però conveniente quando la rete è particolarmente semplice; normalmente

conviene invece determinare i poli e gli zeri da un esame diretto della rete. Per fare questo il procedimento è il seguente: 1) Si determina il numero dei poli

2) Si determina il numero degli zeri 3) Si calcolano i poli 4) Si calcolano gli zeri

1) Numero dei poli:

Il numero dei Poli coincide con il numero degli elementi reattivi distinti tra loro

Ovvero tali che, una volta annullati i generatori indipendenti della rete, non sono né in serie né in

parallelo tra loro

Esempio.

Gli elementi reattivi distinti è uno solo, perché, una volta annullata l'eccitazione (cortocircuitato il generatore V), la capacità C1 si trova in

parallelo a C2 e quindi costituiscono una unica capacità C=C1+C2

Quindi la rete ha un solo polo.

2) Numero degli zeri

Per calcolare il numero degli zeri di una rete è conveniente far tendere la frequenza complessa, s

all'infinito, in modo che la k(s) possa essere scritta: m

n

s

sksk 0)( → con n = numero degli zeri ed m

= numero dei poli. Se n =m, allora k(s) tende ad una costante, 0)( ksk → . Se n < m allora

0)( →sk tanto più "rapidamente" quanto più elevato è il numero dei poli m rispetto a quello degli

zeri n. E' necessario pertanto stabilire, da una analisi della rete, di quanto l'ordine r dei poli supera quello degli zeri; allora il numero degli zeri sarà n = m - r

3) Calcolo dei poli

I poli sono quei valori della frequenza complessa s che fanno divergere la k(s). Questo vuol dire che

uin(s) = 0 con uout = valore finito. )(

)()(

su

susk

in

out→ . Si ha una risposta finita pur avendo

eccitazione nulla. Perciò tali valori di s si chiamano frequenze naturali della rete. Per calcolarle si determinano quei valori di s che annullano l'ammettenza misurata ai capi di un

elemento qualsiasi della rete dopo aver annullato le sorgenti indipendenti.

87

4) Calcolo degli zeri

Essi si verificano per quei valori finiti della frequenza complessa s che annullano la risposta k(s). Ciò si verifica quando si annulla l'ammettenza di un ramo in serie tra l'ingresso e l'uscita oppure l'impedenza di un ramo in parallelo all'uscita della rete (in questo modo si annulla la uout(s))

Notare che se lo zero è nell'origine, la componente eventuale continua dell'eccitazione non è presente

in uscita della rete.

Esempio.

Data la rete in figura si determini il numero dei Poli, degli Zeri e il loro valore.

Uin

R1R2

C2 UoutC1

1) Si determina il numero dei POLI: Annullato l'eccitazione uin la rete diventa:

R1

R2C2C1

Gli elementi reattivi, le due capacità, risultano distinte e allora i poli sono m = 2. 2) Si determina il numero degli ZERI: Bisogna far tendere ∞→s e verificare con quale ordine la uout tende a zero [k(s)= uout/uin]. In

questo caso le capacità C1 e C2 contribuiscono ciascuna indipendentemente ad annullare l'uscita per ∞→s , ciò significa che il polinomio al denominatore (poli) prevale di due ordini rispetto a quello

al numeratore, cioè r = 2, e, poiché il numero degli ZERI ≤ numero dei POLI, il numero degli zeri è

n = m - r =0.

3) Calcolo dei poli La rete ha due poli s1 e s2 che si determinano annullando l'ammettenza "vista" da un elemento

qualsiasi della rete avendo annullato l'eccitazione (cortocircuitato i generatori indipendenti).

R1

R2C2C1

Se ci mettiamo ai capi, per es., di C1, l'ammettenza è : 01

11

22

11

=+

++

sCR

sCR

Risolvendo l'equazione si trovano i due poli s1 e s2che sono le radici dell'equazione.

88

Diagramma di Bode della risposta in frequenza k(iω)

Come abbiamo visto la risposta in frequenza di una rete si può esprimere come: )()()( ωϕωω kieikik =

dove |k(iω)| è il modulo di k(iω) e ϕ la fase della risposta. Esse sono due grandezze caratteristiche

di una rete le quali, nel dominio delle frequenze, individuano completamente la risposta k(iω). Per studiare la risposta di una rete nel dominio della frequenza è usuale determinare sperimentalmente

il comportamento delle sue grandezze caratteristiche al variare della frequenza. I due diagrammi che rappresentano graficamente tale dipendenza vengono chiamati diagrammi di Bode se utilizzano scale logaritmiche per il modulo e semilogaritmiche per la fase, curve caratteristiche se usano scale lineari.

Supponiamo, per semplicità, che la risposta abbia l'espressione seguente: k(iω)=1+iωt

con modulo 2211)( τωωτω +=+= iik dove τ è una costante con le dimensioni di un

tempo, ad essa non corrisponde nessuna rete reale pur potendo essere un termine della risposta di una rete reale. Nel caso del diagramma di Bode, in genere, si preferisce determinare gli asintoti del |k(ιω)| che

comunque dà le stesse informazioni.

1 1<<per =→ kωτ

ωτωτ =→> k 1>per

Poiché il diagramma di Bode è di tipo logaritmico:

0log 1<<per =→ kωτ

τωωτ logloglog1per +=→>> k

che rappresenta una retta nel piano logaritmico che interseca le ascisse in : ω =1/τ con pendenza 45°.

1/τ Log ω

Log¦k¦

1/τ Logω

ϕ

ω =

π/2

π/4

La fase ϕ=arctan(ωτ); anche in questo caso conviene determinare gli asintoti:

2= 1

0= 1

πϕωτϕωτ

>><<

per

per

La pendenza degli asintoti nella k(ιω), usando i decibel è: klog20=∆

Se consideriamo una variazione di frequenza pari ad un raddoppio ω2=2ω1 (ottava)

dB/ottava 6 log201

2 ==∆ωω

Se consideriamo una decade: dB/decade 02 log201

2 ==∆ωω

89

Sistemi del primo ordine

Quindi 1 polo; di conseguenza si possono avere: a) 1 polo e uno zero b) 1 polo solo

| K(s)| Diagramma Poli-Zeri Modulo Fase

τs+1

1

−1/τ

ωi

σ

1/τ

Log ω

Log¦k¦

1/τ

Log ω

ϕ

−π/2

−π/4

ττs

s

+1

−1/τ

ωi

σ

1/τ

Logω

Log¦k¦

1/τ Logω

π/2

π/4

ϕ

1

2

1

1

ττ

s

s

++

| τ2 |>| τ1 |

−1/τ

ωi

σ1 −1/τ2

Log ω

π/2

π/4

ϕ

1/τ2 1/τ1

1

2

1

1

ττ

s

s

++

| τ2 |<| τ1 |

−1/τ

ωi

σ1−1/τ2

1/τ

Logω

Log¦k¦

1 1/τ2

1/τ

Log ω

ϕ

−π/2

−π/4

1 1/τ2

Regoletta:

Nel modulo di )(sk , diagramma di Bode, si ha un cambiamento di pendenza di 6dB/ottava per ogni

polo e zero (non nell'origine) che si incontra nel piano complesso (ιω−σ), in basso per il polo ed in

alto per lo zero.

90

Sistemi del secondo ordine attivi

Allora si hanno 2 poli e si possono avere i seguenti casi:

1) no zeri: ( )( )21

0)(ssss

ksk

−−= è sostanzialmente un passa-basso.

2) 2 zeri nell'origine: ( )( )21

20)(

ssss

sksk

−−= è un passa-alto.

3) 1 zero nell'origine: ( )( )21

0)(ssss

sksk

−−= è un passa-banda.

4) 2 zeri c.c. o immaginari: ( )( ) 021

20

2

)( kssss

ssk

−−+

=ω

si chiama elimina-banda.

Infatti k(s)=0 per s =iω0. Inoltre la k(s) è diversa da zero sia per s=0 che per ∞→s .

E' possibile quindi realizzare un filtro qualsiasi con un sistema del II ordine. In genere nei calcoli per il progetto si preferisce scrivere il polinomio del secondo ordine al denominatore della k(s) in modo diverso, "normalizzato", attraverso dei parametri significativi della

rete. Allora: ( )( ) 20

0

0221 ω

ω++=−−

Qsssss ; il che vuol dire:

2021 ω==⋅

a

css ;

0

021 Qa

bss

ω−=−=+

Se Q0=1/2 allora s1=s2=s poli coincidenti

Se Q0<1/2 allora poli reali

Se Q0>1/2 allora poli c.c.

Filtro del II ordine passa-basso

E' senza zeri: ( )( )21

0)(ssss

ksk

−−= ; Poniamo k(0)=A0 (valore max) per s=0. Nella k(s) si ha:

021

0)0( Ass

kk == ma 2

021 ω=ss quindi 2000 ωAk = e la k(s) normalizzata è:

20

02

200)(

ωω

ω

++=

sQ

s

Ask

Filtro II ordine passa-alto

2 zeri nell'origine: ( )( )21

20)(

ssss

sksk

−−= ; Il max della risposta si ha per ∞→s ;

00)( kAk ==∞ Quindi la k(s) normalizzata:

91

20

02

20)(

ωω

++=

sQ

s

sAsk

Filtri a retroazione multipla

Chiamiamo V2 la tensione ai capi di

Y2. Scriviamo l'eq. delle correnti per il

nodo A: ( ) ( ) 0242322121 =−+++− uVVYVYVYVVY

( ) uVYVYYYYYV 41143212 +=+++

Per il nodo invertente si ha:

uVYVY 523 −= da cui

uVY

YV

3

52 −= che sostituito nella

precedente:

( )4321543

31)(YYYYYYY

YY

V

Vsk

i

u

++++−

==

che è la funzione di trasferimento di un filtro a retroazione multipla i generale.

Filtro passa-basso a retroazione multipla

Se vogliamo realizzare un filtro attivo passa-basso a retroazione multipla, dovremo sostituire alla Y i componenti

appropriati: 25 sCY → ; 12 sCY →

Le altre → 1/R

Dal confronto tra questa rete e quella

generale otteniamo:

3

2

2

221

2

1

2

32

21

321

12

32

21

1

1

1111

1

)(

R

sC

R

sCCCs

R

sC

RR

RR

RRsC

RsC

RR

RRsk

++++

−=

++++

−=

dividendo per C1C2:

++++

−=

32113221

2

2121

1111

1

)(

RRRC

s

RRCCs

CCRRsk

Dal confronto con la k(s) passa-basso già ricavata, otteniamo: 2121

020

1

CCRRA −=ω

Y 1

Y 2

Y 3 Y 4 Y 5

- +

V 2 V 1

V u

R1

C1

R2

R 3C2

-

+V2

V1Vu

92

++=

32110

0 1111

RRRCQ

ω;

3221

20

1

RRCC=ω Dalle quali possiamo ricavare:

1

30 R

RA −=

e

++=

1

32

2

3

3

2

1

2

0

1

R

RR

R

R

R

R

C

C

Q Il guadagno a frequenza zero è -R3/R1 come per un semplice amplificatore invertente. Esso non

dipende né da R2, né da C1, né da C2. La ω0 è indipendente da R1.

Facciamo notare che la sostituzione fatta: 25 sCY → ; 12 sCY → equivale a dire che la rete

contiene due filtri passa basso.

Filtro passa-alto a retroazione multipla

Dovremo operare la

sostituzione:R

Y1

5 → ; R

Y1

2 →

Gli altri componenti saranno capacitivi.

Con la stessa tecnica si ottiene:

++++

−=

3232

1

22132

2

2

2

1

111)(

CCCC

C

R

s

RRCCs

sC

C

sk e

3

10 C

CA −= ;

++=

3232

1

20

0 111

CCCC

C

RQ

ω;

2132

20

1

RRCC=ω ;

++=

2

3

3

2

32

1

2

1

0

1

C

C

C

C

CC

C

R

R

Q

Per ∞→s è un amplificatore invertente realizzato con le capacità C1 e C3.

C 1

R1

C2

C3R2

-

+V2

V1Vu

93

Risposta dei sistemi lineari stazionari ai segnali stocastici

Ricordiamo alcune proprietà dei processi stocastici stazionari: Stazionarietà: va intesa in senso statistico: le caratteristiche statistiche di un processo sono invarianti nel tempo.

1) Stazionario in senso stretto

),...,,,...,(),...,,,...,( 1111 ττ ++= nnnn ttxxpttxxp 2) Stazionario in senso allargato

-- m e σ invarianti

-- ( )12 ttkK −→ dipendente solo dalla differenza di tempo.

-- )(2 τσ K≥ ; ( )02 K=σ

-- 2

)()(

σ

ττ

KR =

ove K(τ) è la funzione di autocorrelazione, che indica come i valori del processo al tempo t1 sono

correlati con quelli al tempo t2. La varianza σ2 invece è l'autocorrelazione allo stesso tempo t, quindi è un indice, giustamente, delle

fluttuazioni del processo stocastico. Definizione di processo ergodico: se alla media sull'insieme dei valori assunti dal processo si può

sostituire quella temporale:

∫==T

dttxT

txm0

)(1

)(

Supponiamo di avere un sistema lineare stazionario al quale è applicata una eccitazione x(t) che è una

"osservazione" di un processo stocastico X(t). Se tale osservazione è specificata in anticipo, il

problema è noto: si tratta di un segnale deterministico seppure con un modello matematico piuttosto complicato. In questo caso potremo sempre trovare la risposta del sistema y(t) attraverso la sua

risposta in frequenza k(iω). Se il processo in ingresso non può essere specificato, invece di avere una descrizione deterministica del segnale, saremo costretti ad utilizzare le medie statistiche del processo stocastico X(t). In

particolare il valore aspettato e la funzione di autocorrelazione del processo stesso. Il nostro obiettivo è quello di investigare l'associazione tra i processi stocastici in ingresso X(t) e quelli in uscita Y(t), attraverso lo studio della risposta in frequenza che connette i due processi.

Analisi spettrale della risposta di un sistema a segnali stocastici

Dobbiamo subito porre in evidenza che è necessario imporre una condizione: tratteremo solo con processi, X(t), che sono stazionari in senso allargato. In più imponiamo che x t( ) = 0 ; d'altronde,

data la linearità del sistema, eventuali componenti continue, potranno essere analizzate separatamente, non avendo caratteristiche stocastiche.

94

Media di un segnale in uscita

0

x ( t )

t Sia x(t) una singola osservazione del segnale di ingresso e rappresentiamola attraverso la sua

trasformata di Fourier

dteStx tix

ωωπ

∫=∞

∞−)(

2

1)(

Ugualmente esisterà la trasformata del segnale in uscita y(t):

dteSty tiy

ωωπ

∫=∞

∞−)(

2

1)( che potrà anche essere espressa tramite la funzione di trasferimento del

sistema k(iω): dteikSty tix

ωωωπ

∫=∞

∞−)()(

2

1)(

Se ora passiamo da una singola osservazione (pattern) ad un insieme completo di osservazioni, dovremo prendere Sx(ω) come una funzione stocastica e non come un singolo spettro. Ci ricordiamo

che la stazionarietà del processo X(t) implica che il valore medio degli spettri è nullo: 0)( =ωxS , che

è la stazionarietà di X(t). Questo porta alla conseguenza che:

0)()(2

1)( =∫=

+∞

∞−ωωω

πω deikSty ti

x

Autocorrelazione e spettro di potenza del segnale di uscita stocastico.

Per trovare la K(τ), oltre alla espansione al tempo t della y(t) occorre anche quella al tempo t+τ che

si può scrivere, ricordando le proprietà della trasformata di Fourier:

')'()'(2

1)( '' ωωω

πτ τωω deeikSty iti

x∫=++∞

∞− Considerando che y(t+τ) è una funzione reale, possiamo usare anche i complessi coniugati di Sx e di

k(iω)

')'()'(2

1)( ''** ωωω

πτ τωω deeikSty iti

x−−+∞

∞−∫=+

Per trovare la )()()( ττ +⋅= tytyK occorre ora moltiplicare i rispettivi spettri e mediare il

prodotto:

( ) ')'()()'()(4

1)( ''**

2ωωωωωω

πτ ωωτω ddeeikikSSK tii

xxy ∫ ∫=+∞

∞−

−−

Essendo il processo X(t) stazionario, lo spettro stocastico delle osservazioni individuali x(t) sono

delta-correlati:

( )')(2)'()( * ωωδωπωω −= xxx WSS e facendo uso della proprietà di filtro della delta, abbiamo:

95

ωωωπ

τ ωτ deikWK ixy

−∞+

∞−∫=

2

)()(2

1)(

Ricordiamo che W(ω) è lo spettro di potenza ed è definito come la trasformata di Fourier della

funzione di autocorrelazione K(τ):

ωωτ ωτ deWK iyy ∫=

+∞

∞−)()(

Possiamo quindi fare la seguente affermazione:

)()()( 2 ωωω xy WikW ⋅= cioè: lo spettro di potenza del processo stocastico in uscita, Wy(ω), è connesso con quello di

ingresso attraverso il modulo quadro della risposta in frequenza del sistema stazionario.

Nota.

Nei problemi pratici si fa uso della funzione F(ω), la cosiddetta one-sided, già definita: 0>per )()( ωωω WF = e nulla per ω < 0.

Allora:

)()()( 2 fFikfF xy ⋅= ω con la varianza:

( ) dffikfFK xy ∫==+∞

0

22 )2()(0 πσ

Esempio. Risposta di una rete RC al rumore bianco

y

R

CW0

NOISE

Supponiamo che la rete sia pilotata da una sorgente di rumore bianco il cui spettro di potenza è

costante, W0 [V2∗s], a tutte le frequenze.

La funzione di trasferimento della potenza k(ιω)2 vale:

RC= 1

1)(

222 τ

τωω

+=ik

( )τ

ωτπ

ωτωπ

ωωωπ

σ1

)tan(1

1)()(

2

10 0

0

022

022 ∞∞+∞

∞−=∫

+=∫== arc

Wd

WdikWK xy

τσ

202 W

=

Notare che la varianza del segnale in uscita è inversamente proporzionale alla costante di tempo del

sistema e quindi proporzionale alla sua frequenza di taglio. Risultato ragionevole se si pensa che il sistema è un passa-basso e quindi una riduzione della frequenza di taglio rappresenta una minore banda passante e, in definitiva, una diminuzione nel numero di frequenze che possono attraversare la

rete. La funzione di autocorrelazione del segnale in uscita è:

96

( )( ) ( )

ωω

ωτω

ωπτ

ωτd

RCd

RC

eWK

i

y ∫+

=∫+

=∞∞

022

022

'0

1

'cos2

1 Con l'ausilio delle tavole si ha:

( ) RCy e

RC

WK

'0

2'

τ

τ−

=

Ricordiamo che, come abbiamo già visto, K(τ) per il rumore bianco, segnale in ingresso, vale:

( ) ( )τδτ 0' WKWN = L'insegnamento che si può trarre è il seguente:

il segnale in ingresso, rumore bianco, ha uno spettro di potenza costante, W0=cost., questo, in

termini di trasformate, vuol dire:

( ) ( ) .cost0 ==∫= −+∞

∞−WdeKW i ττω ωτ

che si ha solo se ( ) ( )τδτ 0Wk = cioè i valori istantanei delle osservazioni sono completamente

scorrelati o, che è lo stesso, essi variano con una velocità infinitamente grande.

Differentemente in uscita la ( )τyK diventa

esponenziale; il filtro RC, limitando la risposta in frequenza, effettua una operazione di ordinamento

(mette in ordine). Mentre il segnale in ingresso è assolutamente imprevedibile, quello in uscita è più "ordinato", più "smooth": il suo tempo di

correlazione è dello stesso ordine di grandezza della costante di tempo RC della rete. E' interessante analizzare il caso di due celle RC separate da un OP-AMP con guadagno K0.

Esempio Risposta di 2 celle RC al rumore bianco

C1

R1

C2

R2

k0

w0y

W H I T EN O I S E

X

La funzione di trasferimento della potenza:

( ) ( )( )22

221

2

202

11 τωτωω

++=

kik

e quindi la funzione di autocorrelazione dell'uscita ( )τyK :

( ) ( )( ) ωτωτωπ

τωτ

dekW

Ki

y ∫++

=∞+

∞−22

221

2

200

112

E' consigliabile ricorrere alla teoria dei residui per il calcolo dell'integrale usando la stessa già vista in precedenza:

97

il sistema ha quattro poli semplici nei punti

12,1 τ

ωi

±= e 2

4,3 τω

i±=

ω3

ω1

ω2

ω4

Iω

RR

allora per τ > 0 calcoliamo il residuo in ω = ω1:

( )( ) ( )22

21

1/1

1

212

1

22

1/

22

221

21

1

1 221

11

1lim.

ττ

τ

ττ

τ

ττωτωτω

ττττωτ

τω

ωω −=

−

=++

−=

−−

→= i

e

i

eeRES

i

i

Analogamente si ricava il residuo ω = ω3:

( )22

21

1/2

3 2.

ττ

τ ττ

ωω −

−=

−

= i

eRES

e quindi la ( )τyK per τ > 0 è:

( ) ( )[ ]2/2

1/12

221

200

2

ττττ ττττ

τ −− −−

= eekW

K y

Poiché la ( ) ( )ττ −= KK , possiamo ricavare la ( )τyK per τ < 0 sostituendo ττ −→ . Quindi in

definitiva:

( ) ( )

−

−= −− 2

21

122

21

200

2

ττττ ττττ

τ eekW

K y

E la varianza:

( ) ( )( ) ( )21

200

2122

21

2002

220

ττττ

ττσ

+=−

−==

kWkWK yy

che nel caso τ1 = τ2 = τ diventa:

τσ

4

2002 kW

y =

che se confrontato con la τ

σ2

2002 kW

y = del filtro con una cella RC ci fa capire che l'aggiunta di

un'altra cella ha dimezzato la varianza del rumore in uscita ed ha aumentato la correlazione, il che può essere interpretato come la tendenza ad andare verso un maggiore ordine, cioè verso un segnale "quasi deterministico"

98

0

x(t)

t

1 RC

0

x(t)

t

2 RC

Sorgenti di fluttuazioni (noise) nei circuiti

Una delle cause più comuni di "noise" nei circuiti è dovuto alle fluttuazioni della densità volumetrica della carica elettrica nei corpi conduttori (resistori) in seguito al caotico moto termico dei portatori di carica.

Sebbene il dispositivo (resistore) sia complessivamente neutro, nel suo volume sono prodotte delle variazioni temporali di campo elettrico che producono una differenza di potenziale equivalente a "noise" ai suoi terminali.

A causa dell'alta densità di impacchettamento dei portatori di carica e all'alta velocità media termica, la tensione di rumore ha uno spettro molto ampio, tanto che il rumore generato può essere approssimato con un generatore di rumore-bianco delta correlato.

--

+

-

-

+

++

+

+

AA BB la carica delle due zone non è uguale a causa del caotico moto termico dei portatori di carica.

La legge di Nyquist

Cerchiamo di derivare una relazione per lo spettro di potenza, W(ω), del noise generato ai terminali di

un resistore R in equilibrio termico con l'ambiente circostante a temperatura assoluta T. Lo schema equivalente virtuale è costituito da:

C

R

w0

W H IT EN O IS E

R = resistore senza noise W0 = cost. (spettro di potenza del White-Noise)

C = capacità virtuale

Il principio di equipartizione dell'energia afferma che quando un sistema è in equilibrio termico, la sua

energia termica è ugualmente ripartita tra tutti i gradi di libertà del sistema, ed ognuno prende una

quantità pari a KT/2 (K = 1.38 10-23 J∗K-1 costante di Boltzmann). Poiché il nostro sistema

equivalente è un sistema dinamico del primo ordine con un solo grado di libertà, allora l'energia del campo elettrico immagazzinata nella capacità C uguaglierà l'energia termica:

99

22

V2 KTC c =

e quindi la varianza della tensione di rumore sarà:

C

KTcv == 22 Vσ

Essendo 0V 2 =c per ovvi motivi.

Dall'esempio sul noise di una rete RC, come questa virtuale, avevamo ricavato che lo spettro di

potenza in uscita, cioè sulla capacità, era:

C

KT

RC

W==

202σ

Come si vede la capacità virtuale si cancella, e si ottiene: W0 = 2KTR

In pratica si usa lo spettro di potenza "one sided" con frequenze positive (Legge di Nyquist):

[ ]120 V 4 −⋅= HzKTRF

F0 ha il chiaro significato di un varianza specifica, cioè per unità di intervallo di frequenza.

Per es.: a T = 300 K ; R = 10 kΩ si ha una Hznoise18 V 103.1 −− ⋅⋅≅σ

E' interessante notare che, nel caso di trasferimento di potenza da un sistema ad un carico, qualora si sia ottimizzato il trasferimento (R = RL), la potenza di rumore trasferita è indipendente da R:

KTR

KTR

R

VP L

RT ===4

4

4

2

Shot noise (rumore impulsivo)

Questo è un caso molto diffuso in molte applicazioni della fisica. Esso è generato dal passaggio "discreto" dei portatori di carica o no. Il fenomeno è più generale e complesso. Nei dispositivi elettronici come valvole termoioniche, diodi e transistor a semiconduttori,

fotomoltiplicatori e nei sistemi per la rivelazione di particelle (vedi parte III). Ovunque vi sia un processo che si sviluppa in modo "discreto" è possibile definire il cosiddetto "shot noise".

Come esempio consideriamo un sistema che può essere un tubo termoionico con un catodo che emette elettroni che vengono raccolti da un anodo o un diodo a semiconduttore. La corrente elettrica è costituita da un flusso di portatori di carica caotico, ciascuno dei quali porta una

carica di Coulomb 106.1 19−⋅=e e impiega un tempo s10 9−≈tt per attraversare lo spazio tra il catodo

e l'anodo. Chiamiamo questa "corrente di convezione": ic tale che:

C106.1 19

0

−⋅==∫ edtitt

c

Quindi si può stimare che A106.1 10−⋅≈ci poiché le correnti medie, tipicamente in un diodo sono

dell'ordine di qualche mA (10-3 A), si capisce che gli "impulsi" dovuti a ciascun portatore si

sovrapporranno nel tempo, essendo molto numerosi 710≈ .

100

La situazione può essere illustrata così :. i C

t cioè come la sovrapposizione degli impulsi sull'anodo Gli elettroni sono emessi dal catodo in tempi statisticamente indipendenti. Quindi è evidente che il valore istantaneo della corrente sull'anodo non rimane costante: esso esperimenta certe fluttuazioni.

In questo senso un dispositivo elettronico di questo tipo o, ripetiamo, un qualsiasi sistema in cui ci sia una generazione discreta di "eventi", può essere considerato un generatore di rumore speciale che viene detto "rumore impulsivo".

Proprietà statistiche della corrente in un diodo

Dato il meccanismo discreto del processo, è lecito rappresentarlo attraverso la distribuzione di probabilità di Poisson:

mn

n en

mtP −=

!)(

essendo m il valore medio della variabile fisica.

Se il processo è quello della corrente in un diodo e se indichiamo con ν il numero medio di elettroni

che arrivano all'anodo per unità di tempo, allora il numero medio di elettroni è: n t= ν e la

distribuzione diventa:

Ricordiamo che:

tn ν= ( )12 += ttn νν

( ) tnnn νσ =−=222

Se ora consideriamo che in un intervallo di tempo T arrivano all'anodo un numero n di elettroni, la

corrente osservata all'anodo è:

T

neiT

⋅=

Il suo valore medio è:

( ) νν eTT

e

T

neiT ==

⋅=

e la varianza:

( ) 00

2

2

2

22

2

22

2

22

2

22 I

T

eT

e

I

T

eT

T

e

T

en

T

en

T

eni ====−= νσσ

da cui la σi:

oi IT

e=σ

e, in senso relativo

oT

i

TI

e

i=

σ

101

cioè le fluttuazioni relative della corrente.

Possiamo concludere che le fluttuazioni relative della corrente in un diodo diminuiscono con l'aumento della corrente media, I0, e del tempo di osservazione, T.

Equazione di Schottky

In generale in un sistema capace di processare un segnale in un tempo T, il sistema deve far passare "tutte" le frequenze fino a una determinata frequenza massima fmax. Questo teorema fu enunciato da

Kotelnikov:

max2

1

fT =

Quindi, al diminuire del tempo di osservazione, la banda che deve essere considerata nello spettro aumenta (si allarga).

C

R

w0

W H IT EN O IS E

I0

Per cui, nell'esempio del diodo, poiché:

max002 2 feII

T

ei ==σ

ovvero, dividendo per fmax:

0max

22eI

fi =

σ

che è l'equazione di Schottky, detta anche varianza specifica, cioè per unità d'intervallo di frequenza,

della corrente fluttuante nel diodo. L'unità di misura è, ovviamente, [ ]-12HzA .

In seguito a ciò, il circuito equivalente di rumore per qualsiasi dispositivo del genere, è costituito da un generatore di rumore bianco con uno spettro di potenza dato dalla equazione di Schottky. In pratica lo spettro di potenza dello shot-noise in un dispositivo elettronico del genere, rimane

costante fino a parecchie centinaia di MHz, poi comincia a diminuire con l'aumentare della frequenza. Questo accade perché a queste frequenze molto alte (ovvero a tempi molto brevi), il modello adottato, che richiede un gran numero di portatori, non risulta più adatto.

102

Metodo Montecarlo (cenni)

Una trattazione teorica completa del Metodo Montecarlo non e' scopo di questo corso per cui rinviamo ai testi specializzati come, ad. Es. "George S. Fishman, Monte Carlo, Springer-Verlag, (1996), per questo scopo.

Nel presente testo ci limiteremo a dare alcune nozioni ed esempi utili per il corso. Il tipo di scelta di una variabile nel metodo Montecarlo e' una scelta casuale (random) determinata dalla densità di probabilità scelta per quella variabile. La scelta, ovviamente, e' fatta in base al

processo fisica da simulare. Sebbene la funzione di probabilità può essere diversa, modificata, parametrizzata da varie necessita', il valore della variabile non deve essere predicibile a priori. Per soddisfare questa richiesta, l'intervallo di probabilità e' confrontato con la distribuzione di un

numero casuale uniforme. dnnKdvvP )()( =

cioè la probabilità che la variabile assuma un valore compreso tra ν, ν+dν e' posta proporzionale alla probabilità che il numero, n che chiameremo RN (Random Number), assuma un valore compreso tra n,

n+dn. Questa e' la formula fondamentale del Metodo Montecarlo.

Piche' abbiamo scelto una distribuzione di RN uniforme, la costante K(n) e' solo una costante di normalizzazione. Nella risoluzione dei problemi di Fisica, in pratica, possono presentarsi tre casi:

1) La funzione di probabilità e' continua e analiticamente integrabile. 2) La funzione di probabilità e' continua ma non analiticamente integrabile. 3) La funzione di probabilità e' discreta.

Per ora tratteremo solo il caso 1). Assumiamo che il numero random, RN, abbia una distribuzione di valori uniforme e compresa tra 0 e 1. Cioe' 0<= RN <=1.

Esempio. Distribuzione isotropa dell'angolo azimutale φ

dnnKdddP )( ; )( =∝ φφφφ allora ∫=∫ ndnKd 00φ φ da cui φ=Kn.

Poiche vogliamo che :

al valore minimo dell'angolo φ=0 corrisponda il valore minimo della variabile n=0, e

al valore massimo dell'angolo φ=2π corrisponda il valore massimo della variabile n=1, otterremo una distribuzione isotropa dell'angolo φ generando la funzione φ=2π(RN).

Esempio. Distribuzione isotropa dell'angolo polare θ Per avere una distribuzione isotropa nell'angolo solido, dΩ = dφd(cosθ), e' necessario avere una

distribuzione isotropa sia in φ che in cos(θ), quindi :

KdndddP =∝ ))(cos( ; )(cos)( θθθθ allora KndnKd n =+∫=∫− 1)cos( ; ))(cos( 0cos1 θθθ

poiche' per cosθ=-1 deve corrispondere n=0 e a cosθ=1 deve corrispondere n=1, otteniamo la

funzione di estrazione cosθ=2(RN)-1.

103

Esempio. Distribuzione del cammino di assorbimento in un materiale.

L'assorbimento in un materiale e' ben rappresentato dalla funzione xe µ−−1 quindi :

KnednKdxeKdndxeKdnededdxxP xxnx xxxx =−∫=∫==−−∝ −−−−−000 ; ; ; )1( ; )1()( µµµµµ µµ

Kne x =+− − 1µ

Poiché a x=0 deve corrispondere n=0 e a x= ∞ deve corrispondere n=1

µµµ )1ln( estrazione di funzione la ottiene si 1 ; 1 RNxRNeRNe xx −−=−−=− −−