1

Esercizi e complementi di Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2Economia dei Sistemi Industriali 2

(teoria degli oligopoli)

Introduzione alla Teoria dei GiochiIntroduzione alla Teoria dei GiochiParte primaParte prima

2

TEORIA dei GIOCHITEORIA dei GIOCHI

Oggetto di studio

Le scelte di agenti razionali in un contesto di interazione strategica

Contesto di scelta

Un contesto di scelta è detto strategico quando le conseguenze di un’azione per un agente dipendono:

non soltanto dalle azioni da lui compiute ma anche dalle azioni compiute da altri agenti

3

Il termine gioco

Il termine gioco è utilizzato per definire un generico contesto strategico

Gioco cooperativo

I giocatori possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare

Gioco non cooperativo

I giocatori non possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare

Le imprese prima di competere sul mercato stabiliscono accordi vincolanti

I giocatori scelgono le proprie strategie indipendentemente (non agiscono in modo concertato)

4

DESCRIZIONE DI UN GIOCO NON COOPERATIVODESCRIZIONE DI UN GIOCO NON COOPERATIVO

FORMA NORMALE o STRATEGICA

FORMA ESTESA

CLASSIFICAZIONICLASSIFICAZIONI

GIOCHI STATICI

I giocatori scelgono contemporaneamente

GIOCHI DINAMICI

I giocatori effettuano la loro scelta secondo una sequenza prestabilita di mosse

5

DESCRIZIONE IN FORMA NORMALE DESCRIZIONE IN FORMA NORMALE G(N, S, u)G(N, S, u)

La descrizione in forma normale è caratterizzata da 3 elementi:La descrizione in forma normale è caratterizzata da 3 elementi:

1.1. Un insieme di giocatori Un insieme di giocatori N = N = {1, 2, ..,n}{1, 2, ..,n}

2.2. Un insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) Un insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) SSi i a a

disposizione di ciascun giocatore disposizione di ciascun giocatore iiNN

ssii S Sii indica una generica strategia pura

S = SS = S11 S S22 … … S Snn indica l’insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie pure

s = (s = (ss11 , s , s22 , … , s , … , snn ) ) S S indica una generica combinazione di indica una generica combinazione di

strategie purestrategie pure

• Una funzione di payoff uuii : S : S R R per ciascun giocatore i i N N

uui i (s)(s) è il payoff del giocatore i i se i giocatori scelgono la combinazione di strategie s = (ss = (s11 , s , s22 , … , s , … , snn ) )

6

DILEMMA DEL PRIGIONIERODILEMMA DEL PRIGIONIERO

  TACERE CONFESSARE  

TACERE -1, -1 -9, 0  

CONFESSARE 0, -9 -6 , -6  

       

1, 2N

1 2 ,S S tacere confessare

Numero dei giocatori

Insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) a disposizione di entrambi i giocatori

7

1

11 1 2

1

1

, 1

, 9,

, 0

, 6

u tacere tacere

u tacere confessareu s s

u confessare tacere

u confessare confessare

2

22 1 2

2

2

, 1

, 0,

, 9

, 6

u tacere tacere

u tacere confessareu s s

u confessare tacere

u confessare confessare

PAYOFF DEI GIOCATORIPAYOFF DEI GIOCATORI

8

DUOPOLIO DI COURNOT E BERTRANDDUOPOLIO DI COURNOT E BERTRAND

1 2

{1, 2} insieme di giocatori (imprese)

S =S =[0, + ) insieme di strategie pure a disposizione

di entrambi i giocatori

N

i

i 1 2 i 1 2 i i 1 2 i 1 2

Bertrand: generica strategia indica un livello di prezzo p

funzione di payoff del giocatore i:

u (s , s ) = u (p , p ) = p q (p , p )-c(q (p , p ))

is Si

i

i 1 2 i 1 2 i 1 2 i

Cournot: generica strategia indica un livello di output q

funzione di payoff del giocatore :

u (s , s ) = u (q , q ) =q p(q , q ) - c(q )

is Si

i

9

Dilemma del PrigionieroDilemma del Prigioniero

Modelli di Cournot e BertrandModelli di Cournot e Bertrand

GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETAGIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA

I giocatori scelgono le loro strategie “simultaneamente" (è sufficiente che ciascun giocatore scelga la propria strategia senza conoscere la scelta dell'altro)

IMPORTANZA DELLA STRUTTURA INFORMATIVA DEL GIOCOIMPORTANZA DELLA STRUTTURA INFORMATIVA DEL GIOCO

Un gioco G è caratterizzato da informazione completainformazione completa se tutti i giocatori conoscono gli elementi che caratterizzano il gioco.

N = N = {1, 2, ..,n}{1, 2, ..,n}

S = SS = S11 S S22 … … S Snn

uuii : S : S R R ii N N

10

Informazione Completa Nel Dilemma Del PrigionieroInformazione Completa Nel Dilemma Del Prigioniero

Entrambi i giocatori conoscono la (bi)matrice del gioco

PREDIZIONE SULL'ESITO DEL GIOCOPREDIZIONE SULL'ESITO DEL GIOCO

Procedura risolutiva: eliminazione iterata di strategie strettamente dominate

  TACERE CONFESSARE  

TACERE -1, -1 -9, 0  

CONFESSARE 0, -9 -6 , -6  

       

11

- 1 -1 1

- 1 -1 1

( , ... , , ,..., )

deg

... ...

deg

i i i n

i i i n

s s s s s

generica combinazione di strategie pure li avversari di i

S S S S S

insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie pure

li avversa

- 1 2

( , ) ( , ,..., )

i i n

ri di i

s s s s s s S

indica una generica combinazione di strategie pure

NOTAZIONINOTAZIONI

12

Siano e due strategie ammissibili per il

giocatore . La strategia è strettamente dominata da se

i ii i

i i

s S s S

i s s

, , i ii i i i i iu s s u s s per ogni s S

La strategia è debolmente dominata da sei is s

, ,

e vale la disuguaglianza stretta

per almeno un

i ii i i i i i

i i

u s s u s s per ogni s S

s S

DEFINIZIONIDEFINIZIONI

13

La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate

è basata sulla considerazione che

giocatori razionali non scelgono strategie strettamente dominategiocatori razionali non scelgono strategie strettamente dominate

nessuna credenza da parte di un giocatore, e relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima

LA PROCEDURALA PROCEDURA

14

  TACERE CONFESSARE  

TACERE -1, -1 -9, 0  

CONFESSARE 0, -9 -6, -6  

       

ESEMPIO 1

Gio

cato

re 1

Giocatore 2

15

  SINISTRASINISTRA CENTROCENTRO DESTRADESTRA  

SUSU 1, 0 1, 2 0, 1  

GIU’GIU’ 0, 3 0, 1 2, 0  

       

ESEMPIO 2G

ioca

tore

1

Giocatore 2

16

a3 a2 b2

a1 4, 4, 4 3, 5, 3

b1 5, 3, 3 5, 4, 1

b3 a2 b2

a1 3, 3, 5 1, 5, 4

b1 4, 1, 5 2, 2, 2

ESEMPIO 3

17

a3 a2 b2

a1 4, 4, 4 3, 5, 3

b1 5, 3, 3 5, 4, 1

b3 a2 b2

a1 3, 3, 5 1, 5, 4

b1 4, 1, 5 2, 2, 2

ESEMPIO 3

18

La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate è basata sulla considerazione che:

giocatori "razionali"giocatori "razionali" non scelgono strategie strettamente dominate.

Nessuna credenzaNessuna credenza da parte di un giocatore, relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima.

L'applicazione del procedimento per un numero arbitrario di passi richiede la seguente assunzione:

la "razionalità" dei giocatori è conoscenza comune (common knowledgecommon knowledge)

tutti i giocatori sono razionali;

tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali;

tutti i giocatori sanno che tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali, ecc..

RAZIONALITA’ DEI GIOCATORIRAZIONALITA’ DEI GIOCATORI

19

ESEMPIO 4ESEMPIO 4

  D ND

D 4, 4 2, 11

ND 11, 2 3, 3Impr

esa

1

Impresa 2

Due imprese scaricano su un lago

Profitto delle due imprese = 10 milioni di euro

Costo per il depuratore = 6 milioni di euro

Multa per avere superato i limiti di inquinamento previsti dalla nuova normativa = 7 milioni di euro

PROBLEMA DI FREE-RIDINGPROBLEMA DI FREE-RIDING

20

  B1 B2 B3

A1 0, 4 4, 0 5, 3

A2 4, 0 0, 4 5, 3

A3 3, 5 3, 5 6, 6

ESEMPIO 5ESEMPIO 5

Impr

esa

1

Impresa 2

non ci sono strategie dominate da eliminarenon ci sono strategie dominate da eliminare

In questo caso l’eliminazione delle strategie strettamente dominate non risolve il gioco, in generale non risolve tutte le classi di problemi

Ci serve un criterio di soluzione più forte

Il criterio con maggiore forza di predizione è l’equilibrio di Nashl’equilibrio di Nash

21

EQUILIBRIO DI NASHEQUILIBRIO DI NASH

* ** , i is s s

Una combinazione di strategie

è un equilibrio di Nash se

* * *, , i i i i i iu s s u s s

per ogni giocatore i e per ogni strategia ammissibile i is S

un equilibrio di Nash richiede che un equilibrio di Nash richiede che

la strategia di ogni giocatore i sia ottimale rispetto la strategia di ogni giocatore i sia ottimale rispetto

alle strategie ottimali degli avversarialle strategie ottimali degli avversari

22

Per ogni giocatore i la strategia si* e la migliore risposta del giocatore i alle strategie prescritte per gli altri n-1 giocatori

Nessun giocatore, preso singolarmente, desidera deviare dalla strategia prescritta

L'equilibrio di Nash è una predizione sull'esito del gioco strategicamente stabile o autovincolante strategicamente stabile o autovincolante (self-enforcing)

EQUILIBRIO DI NASHEQUILIBRIO DI NASH

risolve il problema: * , maxi i

i i is S

u s s

23

Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne s'= (s’i, s’-i), allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash

Non è detto che una strategia che sopravvive alla eliminazione Non è detto che una strategia che sopravvive alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate faccia parte di un iterata di strategie strettamente dominate faccia parte di un equilibrio di Nashequilibrio di Nash

EQUILIBRIO DI NASHEQUILIBRIO DI NASH

Le strategie corrispondenti ad un equilibrio di Nash sopravvivono Le strategie corrispondenti ad un equilibrio di Nash sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma non e vero il contrarionon e vero il contrario

' ' * *' , * , i i i is s s s s s

24

  B1 B2 B3

A1 0, 4 4, 0 5, 3

A2 4, 0 0, 4 5, 3

A3 3, 5 3, 5 6, 6

ESEMPIO 5ESEMPIO 5

Impr

esa

1

Impresa 2

Non ci sono strategie dominate da eliminare

Per determinare l’equilibrio di Nash si procede per ispezioneper ispezione

Si marcanomarcano le strategie pure di ciascun giocatore che sono risposte ottime alle strategie pure dell’avversario sottolineando il payoff sottolineando il payoff corrispondentecorrispondente

Se in una casella risultano sottolineati entrambi i payoff, allora è stata individuata una combinazione di strategie caratterizzata dal fatto che ciascuna è la risposta ottima all’altraciascuna è la risposta ottima all’altra (equilibrio di Nash)

25

Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie

tranne , allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash

OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE

tutte le strategie sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente

dominate, ma solo la combinazione (A3, B3) soddisfa le seguenti condizioni:

* * *1 1 2 1 1 2

* * *2 1 2 2 1 2

, ,

, ,

u s s u s s

u s s u s s

PROPOSIZIONEPROPOSIZIONE

''' , i is s s

' ' * *' , * , i i i is s s s s s

26

  B1 B2 B3

A1 1, 0 1, 2 0, 1

A2 0, 3 0, 1 2, 0

ESEMPIO 6 e 7ESEMPIO 6 e 7

  B1 B2 B3 B4

A1 0, 3 2, 2 1, 3 1, 0

A2 2, 1 3, 1 2, 3 2, 1

A3 5, 1 1, 4 1, 0 2, 2

A4 1, 0 0, 2 0, 2 3, 1

27

ESEMPIO 8 (BATTAGLIA DEI SESSI)ESEMPIO 8 (BATTAGLIA DEI SESSI)

Entrambi i giocatori desiderano trascorrere la serata insieme piuttosto che da soli, tuttavia “Iui" preferisce la partita mentre “Iei" preferisce il balletto

Ciascun giocatore consegue:

un payoff pari a 2 se entrambi vanno allo spettacolo da lui/lei preferito

un payoff pari a 1 se entrambi vanno allo spettacolo preferito dall'altro

un payoff pari a 0 se ognuno trascorre la serata da solo

  Partita Balletto

Partita 2, 1 0, 0

Balletto 0, 0 1, 2

LU

IL

UI

LEILEI

28

ESISTENZA DELL'EQUILIBRIO DI NASHESISTENZA DELL'EQUILIBRIO DI NASH

TeoremaTeorema. (Nash, 1950)

Ogni gioco finito ammette almeno un equilibrio di Nash (eventualmente in strategie miste)

Definizione:Definizione: Un gioco è finito se il numero dei giocatori e quello delle strategie pure è finito. Altrimenti è infinito.

1 2

1 2

Sia , s , ..., l'insieme delle k strategie pure

disponibili per il giocatore . Una strategia mista per il giocatore

è una distribuzione di probabilità ( , , ..., ),

con 0

i i i ik

i i i ik

ij

S s s

i i

p p p p

p i1 i2 ik1, 1, 2,..., . e p +p +... +p = 1.j k

Definizione:Definizione:

29

Equilibrio di Nash in strategie miste:Equilibrio di Nash in strategie miste:

((2/3,1/3);(1/3,2/3))((2/3,1/3);(1/3,2/3))

  Calcio Balletto

Calcio 2, 1 0, 0

Balletto 0, 0 1, 2

LU

IL

UI

LEILEI

r

1-r

q 1-q

1 ( )

2

0 ( )

1

:

12 1 3 1

3

lui

lui lui

calcio

ballettolui

calcio balletto

r calcio

u q

r balletto

u q

calcio u u

q q q q

q

0 1

1

r

1/3

2/3

balletto

balletto

calcio

calcio

1*r + 0*(1-r)

0*r + 2*(1-r)

30

Equilibrio di Nash in strategie miste:Equilibrio di Nash in strategie miste:

((1/2,1/2);(1/2,1/2))((1/2,1/2);(1/2,1/2))

  TESTA CROCE

TESTA -1, 1 1, -1

CROCE 1, -1 -1, 1

r

1-r

q 1-q

1 1

1

1

1 ( )

1

0 ( )

1

:

11 2 1 2 4 2

2

testa

croce

testa croce

r testa

u q q

r croce

u q q

testa u u

q q q q

MATCHING PENNIESMATCHING PENNIES

1/2

testa

q0 1

1

r

1/2

croce

croce

testa

31

Teorema (Glicksberg, Debreu; 1952)

Un gioco per il quale valgano le seguenti ipotesi:

• il numero dei giocatori è finito

• Si è un sottoinsieme compatto e convesso di uno spazio euclideo per ogni giocatore iN

• ui é una funzione continua in sS per ogni iN

ammette almeno un equilibrio di Nash.

Se inoltre ui é una funzione quasi-concava in si per ogni iN, allora ammette almeno un equilibrio di Nash in strategie pure.