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Complementi di Gasdinamica T Astarita Modulo 9 del 20.11.14

Corso diComplementi di gasdinamica

Tommaso Astarita

[email protected]

www.docenti.unina.it

Complementi di Gasdinamica T Astarita 2

Linearizzazione delle equazioni

del potenziale ed, evidentemente anche le equazioni di Eulerosono non lineari e, quindi, di difficile soluzione analitica. Per semplificare ilproblema negli anni 40 e 50 è stata sviluppata estensivamente la tecnica dilinearizzare le equazioni.

che il moto sia stazionario bidimensionale e che il corpoimmerso nel fluido sia sottile si può supporre che esso provochi solo piccolidisturbi rispetto ad una soluzione banale (moto uniforme).



Dalla equazione:

Si ha:

Ricordando che:

Si ha:

'v'uu yx

021

222

2 xyyxyyyxxxyyxx aa

021

222

2 xyyyxxyyxx 'v'uua

'v'uua

22222222222 22

1

2

1

2

1'v'u'uuua'v'uuaaa ooyxo

222

2

1uaao

2222 22

1'v'u'uuaa

02222xyyyxxyyxx 'v'uu'v'uua

xyyyxxyyxx 'v'uu'v'uu'v'u'uua 222

1 22222



Dividendo per e raggruppando:

Che è esatta.

xyyyxxyyxx 'v'uu'v'uu'v'u'uua 222

1 22222

xyyyxxyyxx 'v'uu'v'u'uuu'v'u'uua 2222

1 222222

xyyyxx

yyxxyyxx

u

'v'u

u

'vM

u

'vM

u

'u

u

'uM

u

'v

u

'u

u

'uMM

22

2

22

2

22

2

2

2

222

22

22

11

2a

xyyyxx

yyxx

u

'v'u

u

'vM

u

'vM

u

'u

u

'uM

u

'v

u

'u

u

'uM

22

2

22

2

22

2

2

2

22

221

22

11



Supponendo che ma conservando termini del tipo

si ha:

Questa equazione è ancora non lineare.

2222 u'vu'u

u

'uM 2

xyxxyyxxyyxx u

'vM

u

'uM

u

'uMM 2222 2

22

2

11

xyyyxx

yyxxyyxx

u

'v'u

u

'vM

u

'vM

u

'u

u

'uM

u

'v

u

'u

u

'uMM

22

2

22

2

22

2

2

2

222

22

22

11

xyyyxxyyxx u

'vM

u

'uM

u

'uMM 2222 2111



Se ipotizziamo che il moto non sia ipersonico:

Termini del tipo risultano trascurabili rispetto . Quindi se

è di ordine unitario (moti non transonici) del potenziale diventa:

Per moti transonici si può supporre che sia dello stesso ordine di

grandezza di quindi del potenziale diventa:

xyyyxxyyxx u

vM

u

uM

u

uMM

'2

'1

'11 2222

512 MM

u

'uM 2

21 M

isupersonic Moti

subsonici Moti01 2

yyxxM

21 M

u

'uM 2

5111 222 MMu

'uMM xxyyxx



In tre dimensioni si possono fare ragionamenti analoghi ottenendo per motonon transonico:

Mentre per moto anche transonico si ha:

isupersonic Moti

subsonici Moti01 2

zzyyxxM

5111 222 MMu

'uMM xxzzyyxx



Definendo si ha come già visto permoti subsonici o supersonici del potenziale è:

La condizione al contorno sul corpo è:

Poiché il corpo è sottile si può sviluppare in serie la componente :

Trascurando il secondo termine si ha:

xu'

01 2yyxx ''M

yx ''v''u

u

y,x'v

dx

dy

'uu

'v

dx

dy Corpou

'u

Corpo

1

Corpo

Corpoyy

,x'v,x'vy,x'v

00Corpo

u

,x'v

dx

dy 0

Corpo



La condizione al è semplicemente che le perturbazioni dellavelocità siano nulle o al più finite.

finiti

0

'v,'u

'v'ur


Coefficiente di pressione

Per moti omoentalpici ed isentropici si ha:

222

21

1

21

1

21

M

pp

up

pp

u

ppCp

22

222 'v'uuTc

uTc pp

pc

'v'uu'uTT

2

2 22

2

222

2

222 2

2

11

2

21

u

'v'u

u

'uM

u

'v'u

u

'u

Tc

u

T

T

p


Coefficiente di pressione

Utilizzando lo sviluppo in serie:

Che nelle ipotesi fatte diventa:

Come già visto per la condizione al contorno sul corpo si può supporre:

2

21

1

M

pp

Cp

2

222 '''2

2

11

u

vu

u

uM

T

T

2

222

2

222

1

2

222

2

21

1

2

2

11

2

2

11

u

'v'u

u

'uM

p

p

u

'v'u

u

'uM

u

'v'u

u

'uM

p

p

mxx m 11

2

22

2

2

222

2

21

22

u

'v'u

u

'u

M

u'v'u

u'u

M

Cp

u

'uCp

21

1

T

T

p

p

u

,x'uCp

02


Moto subsonico su parete sinusoidale

Si supponga che la superficie del corpo sia data :

aggiuntiva serve per assicurare che dei piccoli disturbi siaverificata. Le condizioni al contorno sono:

Si risolve del potenziale per separazione di variabili:

Ax

sinAy2

Corpo

xcosAu

dx

dyu,x'v

220

Corpo

finiti 'v,'uy

01 2yyxx ''M



Supponendo che e sostituendo nella si ha:

Affinché si possano separare le variabili sia il primo membro che il secondodevono essere costanti. Si è scelto il valore della costante pari a k2

.

La soluzione generale di queste equazioni differenziali è nella forma diesponenziali (in generale complessi):

yYxX' 01 2yyxx ''M

22

2

1

1

01

kY

''Y

MX

''X

''XYY''XM

01

022

2

YkM''Y

Xk''X

kyMkyM ececY

kxsinckxcoscX22 1

41

3

21

kyMkyM ececkxsinckxcosc'22 1

41

321



Chiaramente le costanti si devono ricavare dalle condizioni al contorno. Peravere valori finiti dei disturbi si vede subito che è necessario chec3 sia nulla. Mentre sulla parete si ha:

Dal confronto si vede immediatamente che c2 deve essere identicamentenulla. Inoltre:

Da cui:

kyMkyM ececkxsinckxcosc'22 1

41

321

kMckxsinckxcosc,x'x

cosAu,x'v y2

421 1022

0

2412

411

21

2

M

AuccAukMcc

k

yM

ex

cosM

Au'

21

2

22

1



Come ci si aspetta delle perturbazioni diminuisce allontanandosidal corpo. Il coefficiente di pressione può essere ricavato immediatamentedalla (1)

yM

ex

cosM

Au'

21

2

22

1

u

'uCp

21

xsin

M

A

u

ex

sinM

Au

u

'C y

yM

yx

p

2

1

4

2

1

22

2

2

0

21

2

0

2



I disturbi si attenuanoallontanandosi dalla parete ma

diminuisce alcrescere del numero di Mach;

Il coefficiente di pressione è incontro fase con la parete solidaquindi la resistenza è nulla;

Il coefficiente di pressione ed uaumentano di .

yM

ex

sinM

Au'u

21

2

22

1

2

xsin

M

ACp

2

1

42

yM

ex

cosM

Au'

21

2

22

1

yM

ex

cosAu

'v2

1 222

Ax

sinAy2

Corpo

M



yM

ex

sinM

Au'u

21

2

22

1

2

xsin

M

ACp

2

1

42

yM

ex

cosM

Au'

21

2

22

1

yM

ex

cosAu

'v2

1 222

Ax

sinAy2

Corpo

M



Si vogliono determinare le linee di corrente. Introducendo la funzione dicorrente in regime compressibile come:

Derivando la prima rispetto a x e la seconda rispetto a y si ha:

Quindi con questa posizione di continuità è identicamentesoddisfatta. Introducendo i parametri e k si ha:

xy vu

xyyxyx vu

kyy

Mekxcos

Aue

xcos

M

Au'

21

2

22

1

21 2 kM

kyekxsinkAu

'ukyekxcosAku'v



Si è già visto che:

Quindi sviluppando in serie si ha:

Sostituendo questa relazione nella definizione della funzione di corrente siha:

xy vu

kyekxsinkAu

'u

kyekxcosAku'v

2

222 2

2

11

u

'v'u

u

'uM

T

T 1

1

T

T

u

'uM

u

'v'u

u

'uM

u

'v'u

u

'uM 2

2

222

1

1

2

222 1

2

2

11

2

2

11

kyky

y

ekxsinAkuuekxsinkAu

Mu

M'uu'uM'uu'uuu

'uM

2

222

1

11



Integrando questa relazione e poi derivandola rispetto a x si ha:

Da cui si ricava:

Imponendo che la costante sia nulla si ha:

Le linee di corrente possono essere determinate imponendo che siacostante.

xy vu

kyekxcosAku'v

kyy ekxsinAkuu

xfekxsinAuyu ky

kykyx ekxcosAku

u

'uM'vx'fekxcosAku 21

Cxfx'f 0

kyekxsinAuyu


Leggi di similitudine subsonica

è di estendere i risultati (teorici e/o sperimentali) ricavati in regimeincompressibile anche al regime compressibile. Per fare questo siconfrontano le equazioni e le condizioni al contorno per due valori diversi delnumero di Mach definiti dai pedici 1 e 2. Per il primo valore di M si deverisolvere :

Con la condizione al contorno (u1 è la velocità asintotica):

Si può supporre che la forma del profilo sia definita :

Con t spessore assoluto, spessore relativo e f funzione generica:

01 1121 yy

'xx

'M

1

1

1Corpo

01

y

,x

udx

dy '

c

xf

c

y

c

xfty 11

u

,x'v

dx

dy 0

Corpo



La condizione al contorno diventa:

Il coefficiente di pressione sul corpo diventa:

A questo punto si consideri la trasformazione:

Con A costante arbitraria.

c

x'fu

xcx

fcu

dx

dyu

y

,x'

1111Corpo

11 0

x

,x

uu

'uC

'

p

0221 1

1

''

u

u

Ay

M

Mx 1

1

222

2

21 1

1

1

1

1

1Corpo

01

y

,x

udx

dy '

c

xf

c

y1



del potenziale nelle nuove variabili diventa:

Che è uguale a quella precedente.

01 1121 yy

'xx

'M

22

21

22

122

2

11 1

1

M

M

u

uA

u

uA '

y'

yy'

''

u

u

Ay

M

Mx 1

1

222

2

21 1

1

1

22

2

11 x

'xx

'

u

uA

01

01

1

01

11

2222

22

22

22

21

22

12

2

121

''

''

''

M

M

M

M

u

uA

u

uAM



La condizione al contorno diventa:

Ma il secondo potenziale deve soddisfare anche la relazione che permettedi avere corpi simili:

Quindi si trova una relazione fra i due spessori:

01 1121 yy

'xx

'M

''

u

u

Ay

M

Mx 1

1

222

2

21 1

1

1 01 2222

''M

c

x'fu

M

M,

u

uA

,

u

uA

y

,x '

y

''

1122

212

2

12

2

11

1

1000

c'fu

,'

222 0

22

21

211122

21

222

1

1

1

1

1

M

MAu

M

Mu

u

uA

c

x'fu

y

,x'

111 0



Il coefficiente di pressione diventa:

Ma per il secondo flusso si ha:

Confrontando:

01 1121 yy

'xx

'M''

u

u

Ay

M

Mx 1

1

222

2

21 1

1

1

01 2222

''M

22

21

21 1

1

M

MA

020202 2

2

2

2

1

1

1

11

,

uA

,

u

uA

ux

,x

uC

'

x

''

p

02 2

22

,

uC

'

p

21 pp ACC



Riassumendo si ha che confrontando due flussi relativi a due numeri diMach diversi (e di conseguenza due velocità asintotiche diverse) se siimpone che:

Si trova che la distribuzione di pressione sul corpo è data da:

In particolare si può supporre che M2 sia nullo e che invece M1 sia uguale aM . In questo modo si possono estendere i risultati ottenuti per flussiincompressibili al caso in cui gli effetti della compressibilità non possonoessere trascurati.

01 1121 yy

'xx

'M''

u

u

Ay

M

Mx 1

1

222

2

21 1

1

1

01 2222

''M

22

21

21 1

1

M

MA

21 pp ACC

2

12

221

11

MAMA



Quanto detto può essere espresso con relazione:

In particolare eliminando il pedice 1 si ha che il coefficiente di pressione inregime compressibile può essere valutato a partire da quello in regimeincompressibile attraverso una legge di similitudine del tipo:

Come si può vedere in questo caso (bidimensionale piano) è possibilescegliere il valore della costante in modo arbitrario ottenendo così diverseleggi di similitudine.

2

122

1

1 MAggC

A

Cp

p

2

12

221

11

MAMA

22 11 MAC

MAg

A

Cpi

p



La similitudine di Goethert si ottieneimponendo:

Con questa posizione si ha:

Quindi se si vuole conoscere ladistribuzione della pressione su unprofilo di spessore relativo perM=M si deve analizzare ilcomportamento di un profilo piùsottile in regime incompressibile epoi aumentare il coefficiente dipressione di un fattore 2.

22

2

1

1 pip

C

M

MgC

21

1

MA

21 Mi

21 M



Ad esempio supponendo che lecorde siano uguali si ha (Fig. a):

Oppure supponendo che lospessore assoluto sia uguale (Fig.b)

In entrambi i casi il coefficiente dipressione si ricava da:

22 1 M

CCC pipi

p

21 Mttcc ii

21 M

cctt ii



Evidentemente tutte le grandezzerelative che possono essereespresse come rapporto tra unalunghezza lungo y e la corda delprofilo si comportano come lospessore. Ad esempio per:

Si ha:

Inoltre tutti i coefficienti delle forze sicomportano come Cp.

22di

dli

l

CC

CC

cci

21 Mf

f

t

t iii



La similitudine di Goethert e le relative regole sono utili e valgono anchenel caso di simmetria assialsimmetrica. Sarebbe più comodo, però,confrontare le caratteristiche aerodinamiche di un profilo con le stessecaratteristiche geometriche sia in regime incompressibile che compressibile.La similitudine di Prandtl Glauert, valida solo in caso di motobidimensionale piano permette proprio di ottenere questo tipo legge disimilitudine. Imponendo che la costante A valga:

Si ha:

Quindi se si vuole conoscere la distribuzione della pressione su un profilo dispessore relativo per M=M si deve analizzare il comportamento di unprofilo di uguale forma in regime incompressibile e poi aumentare ilcoefficiente di pressione di un fattore .

pip

C

M

gC

21

21

1

MA 21 M

22 11 MAC

MAg

A

Cpi

p



Ludwig Prandtl (1875 1953) Hermann Glauert 1892 - 1934



Le ipotesi della similitudine di Goethert e Prandtl - Glauert sono:Geometria bidimensionale piana; (La similitudine di Goethert vale anche inpresenza di simmetria assialsimmetrica);

Piccoli disturbi;

M lontano da 1;

Regole di Goethert Regole di Prandtl - Glauert

22 1 M

CCC pipi

p

21 Mf

f

t

tcc iii

i

21 M

CCC pipi

p

1iiii f

f

t

tcc



Esistono varie formule che hanno provato ad estendere di validitàdelle regole di similitudine. In particolare la regola di Laitone si ottienesupponendo che la variazione locale del numero di Mach possa esseresignificativa in questo caso la regola di Prandtl Glauert può esseremodificata come:

Dalla relazione si ha:

Risolvendo per il numero di Mach (sviluppando in serie il secondo termine):

2

2

1

M

pp

Cp

21 M

CC pi

p

1

2

22

12

12

21

M

MMC

p

pp

1

22

1112

1

22

112 2222

2

1

MCMMCMM

pp

11

2222

22

211212

12

12

21 MCMM

M

MMC pp



Approssimando Cp con Cpi e sostituendo nella si ha:

Sviluppando in serie la radice si ottiene la formula di Laitone:

21 M

CC pi

p

222

22

2

2

11

1

22

1112

MMCMMCM

M p

p

22

2222

21

112

111 M

MC

C

MMCM

CC

pi

pi

pi

pip

2

2

22

22

22

2

21

112

1

21

122

11

21

MM

MCM

CC

MMC

C

MMC

CC

pi

pip

pi

pi

pi

pip


Attraverso questa trasformazione si può passare da equazioni non lineari adequazioni sempre alle derivate parziali ma lineari. delpotenziale può essere espressa in termini di variabili primitive:

0

011

02

2

2

22

2

2222

yx

yxyx

yyyxyyxxxx

uv

va

vvu

a

uvu

a

u

aa


La relazione funzionale che lega le variabili nel piano fisico a quelle nelpiano è:

Che in forma matriciale diventa:

Dove J è lo Jacobiano della trasformazione e perché abbia senso deveessere non nullo:

v,uyy

v,uxx

dvyduydy

dvxduxdx

vu

vu

dv

du

yy

xx

dy

dx

vu

vu

dy

dx

vv

uu

dv

du

yx

yx

vu

vu

yy

xxA

uu

vv

yx

yx

xy

xy

Jvv

uuA

11

vuvu xyyxv,u

y,xJ


Utilizzando questa trasformazione le equazioni diventano:

con

Il sistema di equazioni diventa così lineare però al posto di imporre lageometria e determinare il campo di moto si può in questo caso imporre ilcampo di moto è ricavare la geometria.

uu

vv

yx

yx

xy

xy

Jvv

uuA

11

0

0112

2

22

2

yx

yxyx

uv

va

vvu

a

uvu

a

u

0

02222

vu

uvuv

xy

xvaxyuvyua

2222

2

1vuaa o


Si vogliono ricavare delle equazioni per il potenziale e la funzione dicorrente.

In coordinate polari si può supporre che:

Sostituendo questa relazione in quella precedente:

d

d

Jdy

dx

xx

yy1

x

yo

y

x

sin

cosV

v

u

xyyxy,x

,J

dy

dx

d

d

yx

yx

xx

yy

yx

yx

J

11

d

dV

d

d

V

V

,Ve,V

d

dV

yy

xx

dy

dx

V

V

d

dV

yy

xx

d

dV

Jdy

dx

V

V

V

V

xx

yy1


Lo Jacobiano diventa:

Si possono ricavare delle relazioni esplicite per le derivate dellatrasformazione da coordinate cartesiana a polare:

2Vvvuuy,x

,J

oooxyyx

d

dV

yy

xx

d

dV

Jdy

dx

V

V

V

V

xx

yy1

yy

xx

J V

V

V

V

xx

yy1

Vo

VVo

V

Vo

VVVo

oVyVy

oV

V

sin

V

cos

V

sinV

V

cosV

V

v

V

uvu

VVx

22

2222


Per le altre derivate si ha:

2VJoyy

xx

J V

V

V

V

xx

yy1

V

sin

V

cos

Vx o

yyo

2

Vo

VVVo

oVxVx

oV V

cos

V

sinuv

VVy

22

V

cos

V

sin

Vy o

xxo

2


Riassumendo si sono trovate le seguenti equazioni:

Per il teorema di Schwartz le derivate incrociate sono uguali quindiderivando la (1) e la (3) rispetto ad e la (2) e la (4) rispetto a V eduguagliando si ottengono due equazioni nelle variabili e .

Prima esaminiamo il termine in cui compare la densità:

V

cos

V

siny

V

cos

V

siny

V

sin

V

cosx

V

sin

V

cosx

o

Vo

VV

o

Vo

VV

4

3

2

1


Ma:

Quindi la densità non dipende da ma solo da V.

1

1

2

21

1

a

a

T

T ooo

2

2

2

2222

2

11

2

1

ooo a

V

a

aVaa

1

1

2

2

2

11

o

o

a

V

222

2

2

1

2

21

1

2

2

2

11

1

2

2

2

11

2

11

2

2

1

2

11

1

1

a

V

a

V

a

a

a

V

a

V

a

V

a

V

a

V

dV

d

o

o

oo

ooo

oo

o


2a

V

dV

do

o

Vooo

VV

Vo

Vo

VVV

V

sin

V

sin

V

sin

a

V

V

cos

V

cosx

V

sin

V

cos

V

cos

V

sinx

222

222

15

V

sinsin

aV

cos

V

cos

V

sin ooV

oV

VVy

VVy

VVx

VVx

o

Vo

VV

o

Vo

VV

cossin4

cossin3

sincos2

sincos1


2a

V

dV

do

o

Vooo

VV

Vo

Vo

VVV

V

cos

V

cos

V

cos

a

V

V

sin

V

siny

V

cos

V

sin

V

sin

V

cosy

222

222

16

V

coscos

aV

sin

V

sin

V

cos ooV

oV

VVy

VVy

VVx

VVx

o

Vo

VV

o

Vo

VV

cossin4

cossin3

sincos2

sincos1


Moltiplicando la (5) per cos e la (6) per sin e sommando si ha:

222

15

V

sinsin

aV

cos

V

cos

V

sin ooV

oV

01

1

22

2

22

2

22

22

V

sincossincos

a

V

sin

V

sin

V

sincos

V

cossin

cossinaV

cos

V

cos

V

cossin

oo

Vo

Vo

oV

oV

222

16

V

coscos

aV

sin

V

sin

V

cos ooV

oV

02

2222

V

cossin

V

cossinV

o

VoV


Moltiplicando la (5) per sin e la (6) per cos e sottraendo si ha:

222

15

V

sinsin

aV

cos

V

cos

V

sin ooV

oV

222

16

V

coscos

aV

sin

V

sin

V

cos ooV

oV

01

1

2

22

2

2

2

2

2

222

2

V

coscos

a

V

cossin

V

cossin

V

cos

V

sin

sinaV

sincos

V

sincos

V

sin

oo

Vo

Vo

oV

oV

01

2

2222

2

22

V

cossincossin

aV

cossin ooV

2

2

21

11

a

V

VVa

V oooV


Che sono le equazioni di Chaplygin Molenbroek. Si può eliminare ilpotenziale derivando la prima equazione rispetto a V e la seconda rispettoad ed uguagliando:

2

2

11

8

7

a

V

V

V

oV

Vo

Vo

VVo

Vo

V a

V

VV

a

V2

2

2

2

11

1

2a

V

dV

do

o

0112

2

2

22

a

V

a

VVV VVV



Sergey A. Chaplygin 1869 - 1942


In modo analogo si può eliminare la funzione di corrente risolvendo in esuccessivamente derivando la prima equazione rispetto a V e la secondarispetto ad ed uguagliando:

2a

V

dV

do

o

2

2

2

2

11

1

11

1

aV

V

V

aV

V

V o

V

o

VVV

oV

2

2

11

8

7

a

V

V

V

oV

Vo


2a

V

dV

do

o

2

2

2

4

4

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

4

2

4

2

2224

2

2

2

2

2

4

2

22

2

22

2

2

2

2

1

1

11

1

11

2111

11

12

11

11

11

1

aV

aV

aV

V

aV

V

aV

V

aV

aV

aaVaV

a

aV

V

aV

aaV

VaV

VaV

aV

V

V

ooo

o

o

oooo

o

VV

Va

V

a o

12

1 222


0111

1

1

11

11

1

11

1

4

4

2

22

2

2

2

2

2

2

4

4

2

2

2

2

2

2

VVV

o

V

o

VV

o

V

o

VV

o

a

VV

a

VV

a

V

aV

aV

aV

V

aV

V

V

aV

V

V

2

2

2

4

4

2

2

1

1

11

1

aV

aV

aV

V

Voo


Le equazioni di Chaplygin Molenbroek quindi diventano:

2a

V

dV

do

o

01110

01119

2

2

2

22

2

2

2

4

4

2

22

a

V

a

VVV

a

V

a

VV

a

VV

VVV

VVV

2

2

11

8

7

a

V

V

V

oV

Vo


Tangent - Gas

permette di semplificare le relazioniisentropiche. Come mostrato in figura per un piano p-v si considera unaapprossimazione lineare a partire dalle condizioni statiche:

Questa equazione può essere integrata:

tcosad

dp

d

dp

dv

dp 222

1

tcosd

dpaaa oo

222222211

222 d

adp

111

12 222 aapp


Tangent - Gas

di Eulero si ha:

Dalla

Nel punto di ristagno si ha:

0Vdvdp

22

22

32222 11

22

1 ada

dpVVVdV

p

p

V

V

222 d

adp

222

2

222222 11

aaaVV

tcosd

dpaaa oo

222222211

222oaaV

tcosaVaVaV oo222222

2

2

2

2

2

2

11o

o

a

a

a

V

22

2

2

2

113 Ma

ao

o


Tangent - Gas

222oaaV 11

2

2

2

2

2

2o

oo a

a

a

V

2

2

2

2

114o

o

a

V

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

15o

o

a

a

a

a

a

V

22222211 ooaaa


Tangent - Gas

del queste equazioni possono essereutilizzate al posto delle isentropiche. Però questa approssimazione presentaalcune incongruenze. Ad esempio dalla (15) se V aumenta diminuisce maa aumenta. Dalla (13) anche il numero di Mach aumenta però non puòdiventare supersonico altrimenti diventa negativo. Lo stesso puòsuccedere per la pressione dalla (12):

2

2

2

2

114o

o

a

V

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

15o

o

a

a

a

a

a

V

111

12 222 aapp

tcosd

dpaaa oo

222222211

12a

pp

22

2

2

2

113 Ma

ao

o


Tangent - Gas

Nella condizione limite p=0:

Dalla e dalla

11

11

12a

p

12a

pp pa2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

15o

o

a

a

a

a

a

V

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

Ma

V

a

V

o

max

22

2

113 Mo

2

2

111

MMV

a

a

V

V

V maxmax


Tangent - Gas

Questa equazione fornisce per ogni coppia di valori V e M la massimavelocità compatibile con p 0. Ad esempio per M =1 si ha:

Che per profili sottili non è una limitazione significativa.

2

2

111

MMV

Vmax

71111

2

.V

Vmax



Si vuole ora ricavare la formula di kàrmàn-Tsien. Per prima cosa, partendodalle equazioni di Chaplygin Molenbroek, si può trovare una sempliceequazione per la in cui compare ancora la densità:

Utilizzando del tangent-gas

2

2

11

8

7

a

V

V

V

oV

Vo

VVoo

V VVa

V

V 2

2

11

01 2 V

o

o

VVM

V

22

2

113 Mo

011 22 V

M

V

VM

V



Theodore von Kármán(1881 1963) Hsue-shen Tsien (1911-2009 )



Introducendo la trasformazione:

del potenziale diventa:

Che è uguale a quella che si avrebbe per

011

11

2

2

2

2i

i

i

i

VM

V

V

M

V

VM

V

V

M

V

i

i

i

i

i

i

VM

V

V

VdV

dV

VV

dVM

V

dV 22 11

011 22 V

M

V

VM

V

0i

ii

i VV

VV

0M



Se fosse nota una soluzione i(xi,yi) in regime incompressibile è possibileanche trovare la sua controparte nel piano i(Vi, i).

Poiché le equazioni sono uguali si ha:

A questo punto dalla (V, ) si può cercare la forma del profilo nel pianofisico utilizzando le equazioni (1-4). Il profilo per il regime compressibilesarà, in generale, diverso da quello del regime incompressibile ma ledifferenze sono normalmente molto piccole. Ha senso quindi cercare unarelazione che lega Cp a Cpi. Per fare questo si parte dalla trasformazione:

Utilizzando le (13) e (14) si ha:

iii ,V,V

V

dVM

V

dV

i

i 212

2

2

2

114o

o

a

V22

2

113 Mo

2

22

22

1

11

o

o

aV

MV

dV

Va

a

V

dV

aVV

dVM

V

dV

o

o

o

i

i

22

2

2

2

1

11



Ricordando che:

Si può integrare la relazione precedente (con k costante e siottiene:

1

12xdx

xasinhdV

dV

Va

a

V

dV

o

o

i

i

22

12xxlnxasinh

222

2

2

1

1

xax

a

x

a

xadx

xa

asinhd

klnV

a

V

alnkln

V

aasinhVln ooo

i 12

2

2222

111o

ooooo

i

aV

a

kV

Vaa

kV

Va

Va

kV



Per continuità si suppone che V=Vi per cioè quando

Risolvendo per V:

2

2

11o

o

i

aV

a

kVV

00a

V0M

ooo

i aka

k

a

k

V

V2

20111

2

2

11

216

o

i

aV

VV

2

22222

2

2

2

2

441221o

iiii

oii

oii a

VVVVVVV

a

VVVVV

a

VVV



Dalle condizioni asintotiche si ha:

Ponendo:

0440442

2

2

222

o

ii

o

ii a

VVVVV

a

VVVVV

22

2

4

4

io

oi

Va

aVV

22

22

22

2

4

4

4

4

io

io

i

i

io

oi

Va

Va

V

V

V

V

Va

aVV

2

2 o

i

a

V

2

2

1

117

i

ii

i

VVV

V

V

V

oi aV 2



Dalla valutata nelle condizioni asintotiche:

Utilizzando la si ha:

2

2

11

216

o

i

aV

VV

oi aV 22

2

11

22

o

o

aV

Va

2

2

2

2

2

2

1111o

o

o

o

aa

aV

aa

aV

aV

aV

22

2

2

2

113 Ma

ao

o

21 M

M

a

a

a

V

o

111

111

111

12

2

2222

2

2

2

M

M

MMM

MM

M

MM

M

M



Queste due relazioni permettono di legare le due velocità in regimeincompressibile e compressibile. del tangent gas siha:

oi aV 211

182M

M

2

2

1

117

i

ii

i

VVV

V

V

V

111

12 222 aapp

12

21

1

21 2

2

2

2 MV

a

V

ppCp



Dalla (13) e (15) si ha:

In regime incompressibile si ha:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

15o

o

a

a

a

a

a

V

22

2

2

2

113 Ma

ao

o

22

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11 MV

VMM

a

V

V

V

a

V

o

12

21 2

2 MV

ppCp

22

22 1 MV

VM

22

22

22

112

21

19 MV

VM

MV

ppCp

2

2

2

22

21

21

21

21

i

i

i

ii

i

pi V

V

V

VV

V

ppC pi

i

i CV

V1



La relazione diventa:

Con la posizione:

2

2

1

117

i

ii

i

VVV

V

V

V

pii

i CV

V1

pi

pi

C

C

V

V

11

1120

21 M

2

2

1

M

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

1

22

1

122

1

222

1

1

111

MMMM

2222 22121121 MM

22 221 M

2

2

1

221 222 122 M

1118

2M

M



Sostituendo nella (20) si ha:

pi

pi

C

C

V

V

11

1120

A

C

CM

C

CM

C

CM

C

C

C

C

C

V

V

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

1

12

1

12

112

11

221

221

1

11

11

11

22

2

2

2

2

2

2

22 221 M 2

2

1

221 222 122 M

12

2piCM

A

1118

2M

M



Da cui:

La radice può essere messa nella forma:

Scegliendo il segno meno e sostituendo nella (19):

A

C

V

V pi1

12

2piCM

A

122 AMCpi

22

22

211

219 M

V

VM

MCp

11112

21212

11

1

222

22222

2222

222

2

22

AA

AA

AAA

AAMA

AAMA

ACMAA

CMM

V

VM pi

pi

222 122 M

A

A

MA

AA

MA

AMCp

1121211

2222



Da cui

Infine si trova la formula di kàrmàn-Tsien:

12

2piCM

A

122 AMCpi12

12112

2

22

pi

pipi

p

CM

C

A

C

A

A

MA

A

MC

211

12

22 pi

pip C

M

MM

CC





Il limite delle leggi di similitudinesubsoniche è quando si raggiungeM=1 in qualche punto del campo dimoto. In queste condizioni il valoredel numero di Mach vienechiamato Mach critico inferiore.



Dalla trasformazione isentropica siha:

Per determinare il Mcr si devetrovare fra la curva delCpCr (rossa) e la curva che si ottiene,supponendo di conoscere il Cpi, dauna delle correzioni dicompressibilità.

12

21

21

1 M

p

p*

1

21

21

121

212

22

Cr

Cr

*

CrpCr

M

Mp

p

MC



Le linee iso Mach sono ricavate con:

M

1

21

1

21

121

2

2

2

M

M

MCp

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