ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides...

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ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza che i piccoli disturbi di pressione si propagano alla velocità del suono . Ad esempio, nel caso di un oggetto che si muova a velocità subsonica in aria ferma , i disturbi di pressione causati dalla sua presenza, poiché viaggiano più velocemente dell'oggetto, riescono a raggiungere tutti i punti del fluido prima che arrivi l'oggetto stesso . Alternativamente, in un sistema di riferimento inerziale per il quale l'oggetto è fermo ed è investito da una corrente subsonica, questi disturbi riescono a risalire la corrente in quanto essi viaggiano verso monte più velocemente di quanto quest'ultima viaggi verso valle. Velocità delle molecole nel caso subsonico L'aria si deve aprire per far passare l'oggetto).

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ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Ersquo stato visto in precedenza che i piccoli disturbi di pressione si propagano alla velocitagrave del suono Ad esempio nel caso di un oggetto che si muova a velocitagravesubsonica in aria ferma i disturbi di pressione causati dalla sua presenza poicheacute viaggiano piugrave velocemente delloggetto riescono a raggiungere tutti i punti del fluido prima che arrivi loggetto stesso

Alternativamente in un sistema di riferimento inerziale per il quale loggetto egrave fermo ed egrave investito da una corrente subsonica questi disturbi riescono a risalire la corrente in quanto essi viaggiano verso monte piugrave velocemente di quanto questultima viaggi verso valle

Velocitagrave delle molecolenel caso subsonico

Laria si deve aprire per far passare loggetto)

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Nel caso invece in cui loggetto si muova a velocitagrave supersonica sempre in aria ferma arriva prima loggetto e poi i disturbi di pressione Laria non puograve quindi essere avvisata da questi ultimi che loggetto sta arrivando Va peraltro rilevato che loggetto deve in ogni caso passare e che laria si deve comunque aprire per farlo passare Da ciograve deriva la presenza di superfici di discontinuitagrave (onde durto) che rendendo la corrente subsonica eo deviando la corrente supersonica consentono al fluido di aprirsi per lasciar passare il corpo

Occorre comunque osservare che le onde durto non sono presenti solo nel caso appena descritto ma anche in altre situazioni fluidodinamiche

Velocitagrave delle molecolenel caso supersonico

Shadowgraph del modello in scala 1200 del Thunderjet F 84 a M = 105osservato con il metodo delle ombre (Shadowgraph) Notare come lrsquoonda

drsquourto davanti allrsquoaereo che viaggia a M cong 1 risulti praticamente normale

F14 rompe il muro del suono

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE

Si vedragrave tra poco che in un sistema di riferimento nel quale loggetto egrave fermo la corrente deve essere supersonica e se la sua velocitagrave egravecostante nel tempo londa durto resta anchessa ferma (onda stazionaria)

Intuitivamente ne consegue che onde durto stazionarie (ferme rispetto al sistema di riferimento) sono possibili solo se la corrente a monte (prima) di esse egrave supersonica (nello stesso sistema di riferimento)

Se la corrente fosse subsonica non ci sarebbe la necessitagrave di unonda durto in quanto i piccoli disturbi di pressione riuscirebbero a risalire la corrente e a farla aprire per tempo

Va rilevato che ciograve non egrave strettamente vero in campo transonico

Si vedragrave anche che onde durto instazionarie (in moto rispetto al sistema di riferimento adottato) possono originarsi anche in una corrente non necessariamente supersonica ma al limite ferma

Le onde durto si chiamano normali quando sono perpendicolari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto subsonicoPur essendo il moto subsonico si puograve notare la presenza

di onde (di Mach) anche ligrave dove la corrente accelera

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto supersonicoNotare lrsquoonda drsquourto staccata quasi normale per M cong 1 e

il suo inclinarsi allrsquoaumentare del numero di Mach

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Le onde durto possono essere in generale di vario tipo

Ersquo stato giagrave detto che le onde durto si chiamano normali se perpendi-colari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Ersquo stato anche detto che esse possono essere stazionarie (se ferme rispetto al sistema di riferimento) o instazionarie (se si muovono)

Nel seguito saranno considerate solo le onde drsquourto adiabatiche nel senso che il fluido che le attraversa non scambia energia nel modo calore tra i suoi diversi punti Ovviamente il fluido non scambia lavoro per assenza di ldquoelicherdquo nel campo di moto

Va comunque osservato che come si vedragrave onde durto molto fortipossono provocare forti innalzamenti della temperatura del fluido e di conseguenza scambi termici per irraggiamento ovvero reazioni chimiche esotermiche od endotermiche le quali possono essere tenute in conto con una non adiabaticitagrave del moto

Llsquoipotesi di assenza di scambi di energia nel modo lavoro unitamente alladiabaticitagrave fa sigrave che attraverso lrsquoonda durto si puograve assumere la trasformazione come omoenergetica (H = cost)

Nei campi di moto quigrave esaminati le onde durto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuitagrave Infatti il loro spessore risulta dellrsquoordine di qualche cammino libero medio molecolare

SPESSORE DI UNrsquoONDA DrsquoURTO

Nella figura a lato egrave riportato lo spessore di unonda durto t espresso in termini di cammino libero medio molecolare al variare del numero di Mach M N2

Si ricordi che per aria in condizioni normali egrave dellrsquoordine di 10-7m e che lrsquoaria egrave costituita prevantemente da azoto

Lo spessore t egrave stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde drsquourto in una corrente di azoto N2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Nel caso invece in cui loggetto si muova a velocitagrave supersonica sempre in aria ferma arriva prima loggetto e poi i disturbi di pressione Laria non puograve quindi essere avvisata da questi ultimi che loggetto sta arrivando Va peraltro rilevato che loggetto deve in ogni caso passare e che laria si deve comunque aprire per farlo passare Da ciograve deriva la presenza di superfici di discontinuitagrave (onde durto) che rendendo la corrente subsonica eo deviando la corrente supersonica consentono al fluido di aprirsi per lasciar passare il corpo

Occorre comunque osservare che le onde durto non sono presenti solo nel caso appena descritto ma anche in altre situazioni fluidodinamiche

Velocitagrave delle molecolenel caso supersonico

Shadowgraph del modello in scala 1200 del Thunderjet F 84 a M = 105osservato con il metodo delle ombre (Shadowgraph) Notare come lrsquoonda

drsquourto davanti allrsquoaereo che viaggia a M cong 1 risulti praticamente normale

F14 rompe il muro del suono

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE

Si vedragrave tra poco che in un sistema di riferimento nel quale loggetto egrave fermo la corrente deve essere supersonica e se la sua velocitagrave egravecostante nel tempo londa durto resta anchessa ferma (onda stazionaria)

Intuitivamente ne consegue che onde durto stazionarie (ferme rispetto al sistema di riferimento) sono possibili solo se la corrente a monte (prima) di esse egrave supersonica (nello stesso sistema di riferimento)

Se la corrente fosse subsonica non ci sarebbe la necessitagrave di unonda durto in quanto i piccoli disturbi di pressione riuscirebbero a risalire la corrente e a farla aprire per tempo

Va rilevato che ciograve non egrave strettamente vero in campo transonico

Si vedragrave anche che onde durto instazionarie (in moto rispetto al sistema di riferimento adottato) possono originarsi anche in una corrente non necessariamente supersonica ma al limite ferma

Le onde durto si chiamano normali quando sono perpendicolari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto subsonicoPur essendo il moto subsonico si puograve notare la presenza

di onde (di Mach) anche ligrave dove la corrente accelera

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto supersonicoNotare lrsquoonda drsquourto staccata quasi normale per M cong 1 e

il suo inclinarsi allrsquoaumentare del numero di Mach

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Le onde durto possono essere in generale di vario tipo

Ersquo stato giagrave detto che le onde durto si chiamano normali se perpendi-colari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Ersquo stato anche detto che esse possono essere stazionarie (se ferme rispetto al sistema di riferimento) o instazionarie (se si muovono)

Nel seguito saranno considerate solo le onde drsquourto adiabatiche nel senso che il fluido che le attraversa non scambia energia nel modo calore tra i suoi diversi punti Ovviamente il fluido non scambia lavoro per assenza di ldquoelicherdquo nel campo di moto

Va comunque osservato che come si vedragrave onde durto molto fortipossono provocare forti innalzamenti della temperatura del fluido e di conseguenza scambi termici per irraggiamento ovvero reazioni chimiche esotermiche od endotermiche le quali possono essere tenute in conto con una non adiabaticitagrave del moto

Llsquoipotesi di assenza di scambi di energia nel modo lavoro unitamente alladiabaticitagrave fa sigrave che attraverso lrsquoonda durto si puograve assumere la trasformazione come omoenergetica (H = cost)

Nei campi di moto quigrave esaminati le onde durto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuitagrave Infatti il loro spessore risulta dellrsquoordine di qualche cammino libero medio molecolare

SPESSORE DI UNrsquoONDA DrsquoURTO

Nella figura a lato egrave riportato lo spessore di unonda durto t espresso in termini di cammino libero medio molecolare al variare del numero di Mach M N2

Si ricordi che per aria in condizioni normali egrave dellrsquoordine di 10-7m e che lrsquoaria egrave costituita prevantemente da azoto

Lo spessore t egrave stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde drsquourto in una corrente di azoto N2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 3: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

Shadowgraph del modello in scala 1200 del Thunderjet F 84 a M = 105osservato con il metodo delle ombre (Shadowgraph) Notare come lrsquoonda

drsquourto davanti allrsquoaereo che viaggia a M cong 1 risulti praticamente normale

F14 rompe il muro del suono

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE

Si vedragrave tra poco che in un sistema di riferimento nel quale loggetto egrave fermo la corrente deve essere supersonica e se la sua velocitagrave egravecostante nel tempo londa durto resta anchessa ferma (onda stazionaria)

Intuitivamente ne consegue che onde durto stazionarie (ferme rispetto al sistema di riferimento) sono possibili solo se la corrente a monte (prima) di esse egrave supersonica (nello stesso sistema di riferimento)

Se la corrente fosse subsonica non ci sarebbe la necessitagrave di unonda durto in quanto i piccoli disturbi di pressione riuscirebbero a risalire la corrente e a farla aprire per tempo

Va rilevato che ciograve non egrave strettamente vero in campo transonico

Si vedragrave anche che onde durto instazionarie (in moto rispetto al sistema di riferimento adottato) possono originarsi anche in una corrente non necessariamente supersonica ma al limite ferma

Le onde durto si chiamano normali quando sono perpendicolari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto subsonicoPur essendo il moto subsonico si puograve notare la presenza

di onde (di Mach) anche ligrave dove la corrente accelera

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto supersonicoNotare lrsquoonda drsquourto staccata quasi normale per M cong 1 e

il suo inclinarsi allrsquoaumentare del numero di Mach

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Le onde durto possono essere in generale di vario tipo

Ersquo stato giagrave detto che le onde durto si chiamano normali se perpendi-colari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Ersquo stato anche detto che esse possono essere stazionarie (se ferme rispetto al sistema di riferimento) o instazionarie (se si muovono)

Nel seguito saranno considerate solo le onde drsquourto adiabatiche nel senso che il fluido che le attraversa non scambia energia nel modo calore tra i suoi diversi punti Ovviamente il fluido non scambia lavoro per assenza di ldquoelicherdquo nel campo di moto

Va comunque osservato che come si vedragrave onde durto molto fortipossono provocare forti innalzamenti della temperatura del fluido e di conseguenza scambi termici per irraggiamento ovvero reazioni chimiche esotermiche od endotermiche le quali possono essere tenute in conto con una non adiabaticitagrave del moto

Llsquoipotesi di assenza di scambi di energia nel modo lavoro unitamente alladiabaticitagrave fa sigrave che attraverso lrsquoonda durto si puograve assumere la trasformazione come omoenergetica (H = cost)

Nei campi di moto quigrave esaminati le onde durto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuitagrave Infatti il loro spessore risulta dellrsquoordine di qualche cammino libero medio molecolare

SPESSORE DI UNrsquoONDA DrsquoURTO

Nella figura a lato egrave riportato lo spessore di unonda durto t espresso in termini di cammino libero medio molecolare al variare del numero di Mach M N2

Si ricordi che per aria in condizioni normali egrave dellrsquoordine di 10-7m e che lrsquoaria egrave costituita prevantemente da azoto

Lo spessore t egrave stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde drsquourto in una corrente di azoto N2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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F14 rompe il muro del suono

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE

Si vedragrave tra poco che in un sistema di riferimento nel quale loggetto egrave fermo la corrente deve essere supersonica e se la sua velocitagrave egravecostante nel tempo londa durto resta anchessa ferma (onda stazionaria)

Intuitivamente ne consegue che onde durto stazionarie (ferme rispetto al sistema di riferimento) sono possibili solo se la corrente a monte (prima) di esse egrave supersonica (nello stesso sistema di riferimento)

Se la corrente fosse subsonica non ci sarebbe la necessitagrave di unonda durto in quanto i piccoli disturbi di pressione riuscirebbero a risalire la corrente e a farla aprire per tempo

Va rilevato che ciograve non egrave strettamente vero in campo transonico

Si vedragrave anche che onde durto instazionarie (in moto rispetto al sistema di riferimento adottato) possono originarsi anche in una corrente non necessariamente supersonica ma al limite ferma

Le onde durto si chiamano normali quando sono perpendicolari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto subsonicoPur essendo il moto subsonico si puograve notare la presenza

di onde (di Mach) anche ligrave dove la corrente accelera

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto supersonicoNotare lrsquoonda drsquourto staccata quasi normale per M cong 1 e

il suo inclinarsi allrsquoaumentare del numero di Mach

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Le onde durto possono essere in generale di vario tipo

Ersquo stato giagrave detto che le onde durto si chiamano normali se perpendi-colari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Ersquo stato anche detto che esse possono essere stazionarie (se ferme rispetto al sistema di riferimento) o instazionarie (se si muovono)

Nel seguito saranno considerate solo le onde drsquourto adiabatiche nel senso che il fluido che le attraversa non scambia energia nel modo calore tra i suoi diversi punti Ovviamente il fluido non scambia lavoro per assenza di ldquoelicherdquo nel campo di moto

Va comunque osservato che come si vedragrave onde durto molto fortipossono provocare forti innalzamenti della temperatura del fluido e di conseguenza scambi termici per irraggiamento ovvero reazioni chimiche esotermiche od endotermiche le quali possono essere tenute in conto con una non adiabaticitagrave del moto

Llsquoipotesi di assenza di scambi di energia nel modo lavoro unitamente alladiabaticitagrave fa sigrave che attraverso lrsquoonda durto si puograve assumere la trasformazione come omoenergetica (H = cost)

Nei campi di moto quigrave esaminati le onde durto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuitagrave Infatti il loro spessore risulta dellrsquoordine di qualche cammino libero medio molecolare

SPESSORE DI UNrsquoONDA DrsquoURTO

Nella figura a lato egrave riportato lo spessore di unonda durto t espresso in termini di cammino libero medio molecolare al variare del numero di Mach M N2

Si ricordi che per aria in condizioni normali egrave dellrsquoordine di 10-7m e che lrsquoaria egrave costituita prevantemente da azoto

Lo spessore t egrave stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde drsquourto in una corrente di azoto N2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 5: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE

Si vedragrave tra poco che in un sistema di riferimento nel quale loggetto egrave fermo la corrente deve essere supersonica e se la sua velocitagrave egravecostante nel tempo londa durto resta anchessa ferma (onda stazionaria)

Intuitivamente ne consegue che onde durto stazionarie (ferme rispetto al sistema di riferimento) sono possibili solo se la corrente a monte (prima) di esse egrave supersonica (nello stesso sistema di riferimento)

Se la corrente fosse subsonica non ci sarebbe la necessitagrave di unonda durto in quanto i piccoli disturbi di pressione riuscirebbero a risalire la corrente e a farla aprire per tempo

Va rilevato che ciograve non egrave strettamente vero in campo transonico

Si vedragrave anche che onde durto instazionarie (in moto rispetto al sistema di riferimento adottato) possono originarsi anche in una corrente non necessariamente supersonica ma al limite ferma

Le onde durto si chiamano normali quando sono perpendicolari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto subsonicoPur essendo il moto subsonico si puograve notare la presenza

di onde (di Mach) anche ligrave dove la corrente accelera

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto supersonicoNotare lrsquoonda drsquourto staccata quasi normale per M cong 1 e

il suo inclinarsi allrsquoaumentare del numero di Mach

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Le onde durto possono essere in generale di vario tipo

Ersquo stato giagrave detto che le onde durto si chiamano normali se perpendi-colari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Ersquo stato anche detto che esse possono essere stazionarie (se ferme rispetto al sistema di riferimento) o instazionarie (se si muovono)

Nel seguito saranno considerate solo le onde drsquourto adiabatiche nel senso che il fluido che le attraversa non scambia energia nel modo calore tra i suoi diversi punti Ovviamente il fluido non scambia lavoro per assenza di ldquoelicherdquo nel campo di moto

Va comunque osservato che come si vedragrave onde durto molto fortipossono provocare forti innalzamenti della temperatura del fluido e di conseguenza scambi termici per irraggiamento ovvero reazioni chimiche esotermiche od endotermiche le quali possono essere tenute in conto con una non adiabaticitagrave del moto

Llsquoipotesi di assenza di scambi di energia nel modo lavoro unitamente alladiabaticitagrave fa sigrave che attraverso lrsquoonda durto si puograve assumere la trasformazione come omoenergetica (H = cost)

Nei campi di moto quigrave esaminati le onde durto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuitagrave Infatti il loro spessore risulta dellrsquoordine di qualche cammino libero medio molecolare

SPESSORE DI UNrsquoONDA DrsquoURTO

Nella figura a lato egrave riportato lo spessore di unonda durto t espresso in termini di cammino libero medio molecolare al variare del numero di Mach M N2

Si ricordi che per aria in condizioni normali egrave dellrsquoordine di 10-7m e che lrsquoaria egrave costituita prevantemente da azoto

Lo spessore t egrave stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde drsquourto in una corrente di azoto N2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 6: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto subsonicoPur essendo il moto subsonico si puograve notare la presenza

di onde (di Mach) anche ligrave dove la corrente accelera

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto supersonicoNotare lrsquoonda drsquourto staccata quasi normale per M cong 1 e

il suo inclinarsi allrsquoaumentare del numero di Mach

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Le onde durto possono essere in generale di vario tipo

Ersquo stato giagrave detto che le onde durto si chiamano normali se perpendi-colari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Ersquo stato anche detto che esse possono essere stazionarie (se ferme rispetto al sistema di riferimento) o instazionarie (se si muovono)

Nel seguito saranno considerate solo le onde drsquourto adiabatiche nel senso che il fluido che le attraversa non scambia energia nel modo calore tra i suoi diversi punti Ovviamente il fluido non scambia lavoro per assenza di ldquoelicherdquo nel campo di moto

Va comunque osservato che come si vedragrave onde durto molto fortipossono provocare forti innalzamenti della temperatura del fluido e di conseguenza scambi termici per irraggiamento ovvero reazioni chimiche esotermiche od endotermiche le quali possono essere tenute in conto con una non adiabaticitagrave del moto

Llsquoipotesi di assenza di scambi di energia nel modo lavoro unitamente alladiabaticitagrave fa sigrave che attraverso lrsquoonda durto si puograve assumere la trasformazione come omoenergetica (H = cost)

Nei campi di moto quigrave esaminati le onde durto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuitagrave Infatti il loro spessore risulta dellrsquoordine di qualche cammino libero medio molecolare

SPESSORE DI UNrsquoONDA DrsquoURTO

Nella figura a lato egrave riportato lo spessore di unonda durto t espresso in termini di cammino libero medio molecolare al variare del numero di Mach M N2

Si ricordi che per aria in condizioni normali egrave dellrsquoordine di 10-7m e che lrsquoaria egrave costituita prevantemente da azoto

Lo spessore t egrave stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde drsquourto in una corrente di azoto N2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 7: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

Shadowgraphs di un campo di moto intorno a un proiettile in moto supersonicoNotare lrsquoonda drsquourto staccata quasi normale per M cong 1 e

il suo inclinarsi allrsquoaumentare del numero di Mach

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Le onde durto possono essere in generale di vario tipo

Ersquo stato giagrave detto che le onde durto si chiamano normali se perpendi-colari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Ersquo stato anche detto che esse possono essere stazionarie (se ferme rispetto al sistema di riferimento) o instazionarie (se si muovono)

Nel seguito saranno considerate solo le onde drsquourto adiabatiche nel senso che il fluido che le attraversa non scambia energia nel modo calore tra i suoi diversi punti Ovviamente il fluido non scambia lavoro per assenza di ldquoelicherdquo nel campo di moto

Va comunque osservato che come si vedragrave onde durto molto fortipossono provocare forti innalzamenti della temperatura del fluido e di conseguenza scambi termici per irraggiamento ovvero reazioni chimiche esotermiche od endotermiche le quali possono essere tenute in conto con una non adiabaticitagrave del moto

Llsquoipotesi di assenza di scambi di energia nel modo lavoro unitamente alladiabaticitagrave fa sigrave che attraverso lrsquoonda durto si puograve assumere la trasformazione come omoenergetica (H = cost)

Nei campi di moto quigrave esaminati le onde durto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuitagrave Infatti il loro spessore risulta dellrsquoordine di qualche cammino libero medio molecolare

SPESSORE DI UNrsquoONDA DrsquoURTO

Nella figura a lato egrave riportato lo spessore di unonda durto t espresso in termini di cammino libero medio molecolare al variare del numero di Mach M N2

Si ricordi che per aria in condizioni normali egrave dellrsquoordine di 10-7m e che lrsquoaria egrave costituita prevantemente da azoto

Lo spessore t egrave stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde drsquourto in una corrente di azoto N2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 8: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

ONDE DrsquoURTO NORMALI E OBLIQUE Le onde durto possono essere in generale di vario tipo

Ersquo stato giagrave detto che le onde durto si chiamano normali se perpendi-colari al vettore velocitagrave a monte dellrsquoonda altrimenti si dicono oblique

Ersquo stato anche detto che esse possono essere stazionarie (se ferme rispetto al sistema di riferimento) o instazionarie (se si muovono)

Nel seguito saranno considerate solo le onde drsquourto adiabatiche nel senso che il fluido che le attraversa non scambia energia nel modo calore tra i suoi diversi punti Ovviamente il fluido non scambia lavoro per assenza di ldquoelicherdquo nel campo di moto

Va comunque osservato che come si vedragrave onde durto molto fortipossono provocare forti innalzamenti della temperatura del fluido e di conseguenza scambi termici per irraggiamento ovvero reazioni chimiche esotermiche od endotermiche le quali possono essere tenute in conto con una non adiabaticitagrave del moto

Llsquoipotesi di assenza di scambi di energia nel modo lavoro unitamente alladiabaticitagrave fa sigrave che attraverso lrsquoonda durto si puograve assumere la trasformazione come omoenergetica (H = cost)

Nei campi di moto quigrave esaminati le onde durto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuitagrave Infatti il loro spessore risulta dellrsquoordine di qualche cammino libero medio molecolare

SPESSORE DI UNrsquoONDA DrsquoURTO

Nella figura a lato egrave riportato lo spessore di unonda durto t espresso in termini di cammino libero medio molecolare al variare del numero di Mach M N2

Si ricordi che per aria in condizioni normali egrave dellrsquoordine di 10-7m e che lrsquoaria egrave costituita prevantemente da azoto

Lo spessore t egrave stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde drsquourto in una corrente di azoto N2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Nei campi di moto quigrave esaminati le onde durto possono essere generalmente considerate come superfici di discontinuitagrave Infatti il loro spessore risulta dellrsquoordine di qualche cammino libero medio molecolare

SPESSORE DI UNrsquoONDA DrsquoURTO

Nella figura a lato egrave riportato lo spessore di unonda durto t espresso in termini di cammino libero medio molecolare al variare del numero di Mach M N2

Si ricordi che per aria in condizioni normali egrave dellrsquoordine di 10-7m e che lrsquoaria egrave costituita prevantemente da azoto

Lo spessore t egrave stato misurato sperimentalmente nel caso specifico di onde drsquourto in una corrente di azoto N2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 10: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Eq Conservazione della massa

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

poichegrave

si ha

perchegrave

A1 = A2 =

V2 II V1quindi= 0

M= 0 e

V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

Volume di controllo

Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Sostituendo = ρ2 V2 dA nella

Eq Conservazione dellrsquoenergia

tenendo conto che si ha

Eq Bilancio Quantitagrave di moto

e proiettando normalmente allrsquoonda si ottiene

poichegrave V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

tn

1 2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA

Volume di controllo

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 12: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

Quindi lrsquoonda drsquourto egrave una trasformazione

termofluidodinamica che avviene attra-

verso una superficie (volume sottilissimo)

per la quale ciascuna delle grandezze

G I ed H resta costante

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Dividendo per si ottiene

Ricordando poi che rarr pρ = a2γ si perviene a

Si ricorda che lrsquoequazione di bilancio della quantitagrave di moto egrave la seguente

che puograve anche essere scritta nella forma

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 14: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

che sostituita nella relazione precedentemente trovata

e tenendo conto della

Relazione di Prandtl per londa durto normale

La H = h + V22 in condizioni omoenergetiche puograve essere scritta anche nella forma

La velocitagrave critica del suono egrave la media geometrica tra quella a monte e quella a valle dellrsquoonda drsquourto

da luogo alla

h = γRT(γ -1) = a2(γ -1)

(γ + 1)2

(V1 ndash V2)V1V2

quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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quadrando sostituendo e risolvendo in M2 si ottiene infine la relazione che lega il numero di Mach a valle M2 a quello a monte M1 dellrsquoonda

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Introducendo un numero di Mach riferito alla velocitagrave critica

la relazione

diventa semplicemente

Poicheacute si puograve scrivere

(questa egrave lrsquounica eccezione al simbolo )

Per H = costsi ha a = cost

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 16: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Poicheacute per la stabilitagrave termodinamica egrave γ ge 1 ad ogni valore di M1 gt 1corrisponde un valore di M2lt 1 e quasi viceversa

Il caso M1 = 1 conduce a M2 = 1 nulla succede alla corrente

Per M1 rarr infin il valore limite di M2 risulta essere

Per M1 rarr M2l il denominatore della frazione vale zero e M2 rarr infin

Il quasi deriva dal fatto che per valori subsonici di M1 inferiori a M2l il denominatore della frazione egrave negativo e il valore di M2 risulta un numero complesso

che per il caso particolare di

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando la relazione tra M1 e M2 egrave possibile ricavare allora

Questi sono alcuni dei rapporti caratteristici per unrsquoonda drsquourto normale

ρ2ρ1 = p2T1p1T2

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 18: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Sostituendo le relazioni per la pressione di ristagno il M2 in funzione del M1 e lrsquoespressione di p2p1 precedentemente trovata

Essendo londa durto omoenergetica si ha

che per M1 gt 1 conduce sempre a

Il rapporto tra le pressioni di ristagno si puograve scrivere

per tutti i valori possibili di γ gt 1

si ottiene il rapporto tra le pressioni di ristagno

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Utilizzando poi la appena trovata

si ottiene infine la variazione di entropia attraverso lrsquoonda drsquourto

Si ricordi che lrsquoentropia egrave data da

In termini delle grandezze di ristagnosi puograve scrivere (To2 = To1)

relazione il cui diagramma nella figura in alto mostra quali sono i soli urti possibili (M1 gt 1) percheacute deve essere Δs ge 0

ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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ONDA DrsquoURTO NORMALE STAZIONARIA IN UN GAS PIUrsquo CHE PERFETTO

Espandendo in serie di Taylor nellintorno di M12 = 1 la relazione

si ottiene la seguente espressione

che per M12 = 1 risulta nulla insieme alle sue

derivate prima e seconda rispetto a M12

(punto di flesso della curva)Questo fatto fa sigrave che le onde durto che avvengono per M1 rarr 1 (onde di Mach)siano praticamente isoentropiche cioegravereversibili Quindi solo londa di Mach che si ha perM1 rarr 1 puograve essere sia di compressione che di espansione poicheacute la trasformazione egrave reversibile essendo Δs = 0

ln(1+ x) = x ndash x22 + x33 -

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 21: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

Nel tubo di Pitot investito da una corrente subsonica si puograve considerare che il fluido deceleri fino al punto di misura della pressione sullrsquoasse isentropicamente ed omoenergeticamente e quindi che lo strumento misuri di fatto la pressione di ristagno della corrente

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUBSONICA

Tutto ciograve non egrave vero per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Cosa succede invece per un tubo di Pitot investito da una corrente supersonica

Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Shadowgraph di unrsquoonda drsquourto in un flusso supersonico su un cono smussato a M = 136 Notare come lrsquoonda sullrsquoasse risulti normale allrsquoasse stesso

TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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TUBO DI PITOT IN UNA CORRENTE SUPERSONICA Se in una corrente supersonica egrave presente un corpo tozzo (cioegrave che non presenta un bordo di attacco a spigolo vivo o a punta) davanti al corpo si genera unrsquoonda drsquourto che per corpi assialsimmetrici posti ad angolo dattacco nullo rispetto allrsquoasse del corpo risulta normale allrsquoasse stessoQuesto egrave il caso del tubo di Pitot immerso in una corrente supersonica

In questo caso il Pitot non misureragrave la pressione di ristagno della corrente bensigrave misura la pressione di ristagno po2 a valle dellrsquoonda drsquourto normale presente davanti ad esso sul suo asse

In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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In un tunnel supersonico egrave relativamente facile misurare la pressione statica p1 a monte dellonda durto con una presa di pressione posta sulle pareti del tunnel

Funzione di Rayleigh

Quindi il rapporto po2p1 detto anche funzione di Rayleigh per il tubo di Pitot risulta utile per la misura del numero di Mach in un tunnel supersonico e si puograve ricavare a partire dalla

Sostituendo in questa espressione le giagrave trovate

si ottiene infine la

Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Per M1 = 1 e cioegrave per unrsquoonda di Mach (po2 = po1) essa dagrave luogo al valore

Come giagrave detto questa formula egrave chiamata funzione di Rayleigh

Le figure che seguono mostrano la dipendenza dei diversi rapporti adimensionali (caratteristici) delle diverse grandezze termoflui-dodinamiche e del numero di Mach a valle dellonda durto per il caso particolare di γ = 14

Analoghi andamenti si hanno per valori diversi di γ

che corrisponde al valore isoentropico Questo valore nel caso di γ =14 risulta uguale a 1893 Il suo reciproco egrave pari a 05283

bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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bull diminuisce il numero di Mach a valle M2 sino ad un valore asinto-tico

bull diminuisce continuamente il rapporto tra le pressioni di ristagno (aumenta lrsquoentropia)

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le pressioni statiche

bull aumenta il rapporto tra le densitagrave statiche sino ad un valo-re asintotico

bull aumenta continuamente il rap-porto tra le temperature statiche(quelle di ristagno non variano)

bull aumenta il rapporto po2p1

Allrsquoaumentare del numero di Mach a monte dellrsquoonda M1 da 1 in su (il Mach deve essere almeno sonico) si hanno i seguenti comportamenti

I rapporti che si leggono sulla scala di destra comportano un aumento della grandezza attraverso lurto quelli a sinistra una diminuzione

Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Valori limite per M1 rarr infin (γ = 14)

In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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In una corrente (con γ = 14) ad elevatissimo numero di Mach (ipersonica) la densitagrave a valle di una onda durto normale egrave pari a sei volte quella a monte e la velocitagravedella corrente diventa un sesto di quella a monte

In questo caso resta comunque da controllare se egrave ancora valida lipo-tesi di gas piugrave che perfetto a causa dellelevato aumento di temperatura della corrente che puograve provocare fenomeni di dissociazioneIl diagramma dimostra anche che per bassi valori del numero di Mach si ha e che quindi londa durto puograve essere con-siderata praticamente isoentropica

Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Una piugrave dettagliata decrizione dellrsquoandamento dei rapporti caratteristici egraveriportata nelle tabelle (per M1 = M gt 1) cosigrave come mostrato di seguito

TABELLE DELLE ONDE DrsquoURTO NORMALI

Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Sul piano h-s (o T-s) i due punti 1 e 2 rispettivamente a monte e a valle dellonda durto devono apparire cosigrave come rappresentato nella figura

Per un gas perfetto una volta sta-bilita sul piano h-s (ovvero T-s) la retta orizzontale H = cost (risp To = cost) relativa al livello ener-getico totale H della corrente

Man mano che questa retta si abbassa il numero di Mach ad essa relativo tende ad aumentare percheacute la velocitagrave del fluido Vaumenta e la velocitagrave del suono (la T) diminuisce

Si ricordi che attraverso londa durto H = h + V22 = cost ed s aumenta

ciascunrsquoaltra retta orizzontale al di sotto di questa rappresenta il luogo dei punti per il quale le quantitagrave h T V22 (e quindi V) a e M sono costanti

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

Page 31: ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Gasdinamica/2008/slides 2008/3.1_Onde_urto... · ONDE D’URTO NORMALI E OBLIQUE E’ stato visto in precedenza

Ersquo possibile quindi dividere il piano h-s al di sotto della retta H = cost in due zone mediante la retta orizzontale corrispondente a M = 1 (retta tratteggiata) la superiore caratterizzata da M lt 1 e la inferiore caratterizzata da M gt 1

Poicheacute lo stato 1 a monte dellonda durto egrave quello corrispondente ad una corrente supersonica il punto che lo rappresenta deve trovarsi nella zona inferiore (M gt 1) cosigravecome riportato in figuraViceversa il punto che rappresenta lo stato a valle 2 si deve trovare nella zona superiore (M lt 1) ed a destra del punto 1 in quanto Δs gt 0(ovviamente po2lt po1)

Il collegamento tra i punti 1 e 2 egravestato indicato nel modo particolare rappresentato in figura in quanto non rappresenta una classica trasformazione termodinamica

A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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A questo punto si puograve pensare di definire londa durto come una superficie di discontinuitagrave attraverso la quale avviene una brusca conversione di energia cinetica ordinata in energia cinetica disordinata ad entalpia totale costante

della pressione

dellentalpia (e quindi della temperatura)

e ovviamente dellentropia

Invece la pressione di ristagno attraver-so londa durto diminuisce (po2po1 lt 1)

La brusca diminuzione di velocitagravedagrave luogo ad un brusco innalzamento della densitagrave

Δh

ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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ONDA DrsquoURTO NORMALE NON STAZIONARIANella Figura (a) egrave rappresentata unonda durto normale che in un sistema di riferimento inerziale Ω viaggia a velocitagrave costante Vo in un fluido avente velocitagrave Vx a monte (prima del passaggio dellonda) e Vy a valle (dopo londa si suppone poi che per unrsquoonda che viaggia verso destra sia Vo gt Vx)

y x 12

Per rendere londa stazionaria bisogna osservarla in un sistema di riferimento Ω (sempre inerziale) che si muova rispetto ad Ω con una velo-citagrave pari alla Vo e quindi occorre sottrarre la Vo a tutte le velocitagrave di figura

(a) (b)

Conviene allora anche invertire i versi delle velocitagrave Si veda la Figura (b)

- Vo

Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Occorre poi osservare che in entrambe le figure le condizioni statichedella corrente (poicheacute sempre misurate con uno strumento che co-munque si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave solidale alle particelle di fluido) sono le stesse qualunque sia il sistema di riferimentoValgono quindi le relazioni

Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Tenendo conto delle relazioni precedenti i due numeri di Mach nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto in movimento risultano

E nel sistema con lrsquoonda durto stazionaria

Nel sistema di riferimento con lrsquoonda durto stazionaria egrave possibile ora applicare le formule giagrave trovate in precedenza

Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Per quanto riguarda le grandezze di ristagno (temperatura e pressione) per lrsquoonda drsquourto in movimento si ha

mentre per lrsquoonda drsquourto stazionaria

Si noti che Tox egrave diversa da Toy mentre nellrsquoonda stazionaria To1 = To2Anche per la po puograve essere pox le o ge poy

bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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bull londa durto egrave resa stazionaria sottraendo la velocitagrave dellonda a quella del fluido in cui si propaga e determinando il numero di Mach a monte

bull si risolve il problema per quanto riguarda le grandezze statiche e la Vocon le formule giagrave ricavate per londa durto stazionaria

bull si calcolano i numeri di Mach per londa durto in movimentobull si calcolano infine le grandezze di ristagno per londa durto in

movimento

Pertanto la soluzione del problema di unonda durto in movimento di cui si conosca la velocitagrave di propagazione e la velocitagrave del fluido in cui si propaga si risolve attraverso i seguenti 4 passi successivi

Se la velocitagrave dellrsquoonda non egrave nota ma lo sono Vx Vy e ax= a1 la relazione

Delle due soluzioni occorre evidentemente scartare quella con il segno negativo percheacute priva di significato

dellrsquoonda stazionaria conduce allrsquoespressione sulla velocitagrave di propaga-zione dellrsquoonda in funzione di queste velocitagrave

Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Un caso rilevante egrave quello per il quale la velocitagrave a monte dellonda egrave nulla (Vx= 0) cioegrave quando londa durto si propaga in un fluido in quiete

Dallesame della figura si possono trarre le seguenti conclusionibull poicheacute la velocitagrave V1 egrave maggiore della V2 il fluido a valle di unonda

durto che si propaga in un fluido in quiete segue londabull poicheacute la velocitagrave dellonda Vo (in modulo) egrave uguale a V1 (che nel

sistema di riferimento con londa stazionaria deve essere maggiore di a1 percheacute si abbia londa durto) unonda durto si propaga in un fluido in quiete con una velocitagrave maggiore della velocitagrave del suononello stesso fluido a1

bull Le Tox e pox sono minori delle Toy e poy rispettivamente anche per il riscaldamento e la compressione del fluido in y (che in x non si muove)

Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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Se nel caso precedente per il quale egrave ancora Vx = 0 si conosce la Vy e si vuole ricavare la velocitagrave dellrsquoonda Vo occorre procedere in questo modoDalla figura indicando con ndash Vy= Vp si ha

e dividendo tutto per a1

Sostituendo in questa formula

e ponendo Mp = Vp a1 si ha

risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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risolta in M1 (scartando la soluzione negativa)

La

che egrave anche rappresentata nellafigura a lato per γ = 14

dagrave luogo alla relazione

M1 rappresenta ovviamente il numero di Mach e quindi la velocitagrave con la quale lrsquoonda si propaga nel mezzo in quiete

Mp ha il pedice p perchegrave come si vedragrave tra poco puograve assumere il significato di numero di Mach di un pistone che si muove in un condotto

p

M1 gt Mp

La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp

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La relazione precedente con-sente di determinare la velo-citagrave di propagazione dellonda durto nella situazione di figura in cui un pistone a partire dallistante t = 0 egrave improvvi-samente accelerato in un con-dotto alla velocitagrave Vp

Nello stesso instante parte unonda durto normale dalla superficie del pistone con una velocitagrave V1 = Vo che accelera il fluido a valle di essa alla velocitagrave Vp

Nella regione 1 il fluido egravefermo nella regione 2 muove a velocitagrave Vp

M1 gt Mp