APPUNTI DI GASDINAMICA

CAPITOLO 1

DERIVAZIONE DELLE EQUAZIONI DI

BILANCIO

M. GermanoDip. di Ing. Aeronautica e Spaziale

Politecnico di Torino

1

Indice

1 Cenni di meccanica statistica 31.1 Funzione di distribuzione molecolare . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Bilancio di massa e di quantita di moto 62.1 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Interpretazione cinetica degli sforzi viscosi . . . . . . . . . . . 132.4 Viscosita di un gas e di una miscela . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Bilancio dell’energia 163.1 Interpretazione cinetica dei flussi di calore . . . . . . . . . . . 18

4 APPENDICE al capitolo 1 214.1 Atto di moto elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Streamlines, pathlines, streaklines. . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Riepilogo equazioni di bilancio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

1 Cenni di meccanica statistica

Il significato fisico delle grandezze termodinamiche e di campo utilizzatenella descrizione fenomenologica di un flusso va ricercato nella descrizionee nella interpretazione statistica del comportamento di un gas1. Le pro-prieta fenomenologiche, di larga scala, dei gas sono direttamente legate allastruttura delle molecole che li compongono e alle loro interazioni. Notiamoche alla pressione di 1.013bar e alla temperatura di 273.15K una Mole digas occupa 22.4m3 e contiene 6.02 · 1026 molecole, (numero di Avogadro), ilche avvisa che una descrizione dettagliata del moto delle singole molecole epraticamente impossibile ed impone una descrizione statistica.

1.1 Funzione di distribuzione molecolare

La descrizione statistica e basata su funzioni di distribuzione molecolare.Definiamo come

dN = f (x, y, z, u, v, w, t) dudvdw (1)

il numero dN di molecole per unita di volume aventi velocita compresanell’intervallo u ÷ u + du, v ÷ v + dv, w ÷ w + dw, dove si intende cheil riferimento geometrico utilizzato e quello Cartesiano. Dalla definizionediscende che la densita di molecole N (x, y, z, t), numero di molecole perunita di volume, e data dall’integrale su tutte le possibili velocita

N (x, y, z, t) =

∫dN =

∫ ∞−∞

du

∫ ∞−∞

dv

∫ ∞−∞

f (x, y, z, u, v, w, t) dw (2)

mentre la densita di massa % e data da

% (x, y, z, t) = mN (x, y, z, t) (3)

essendo m la massa molecolare delle singole molecole.Attraverso sempre la funzione di distribuzione f(x, y, z, u, v, w, t) possia-

mo inoltre calcolare le componenti u, v, w della velocita media o d’insiemedelle molecole, quelle effettivamente misurate a livello macroscopico, datedagli integrali

u (x, y, z, t) =1

N

∫udN =

1

N

∫ufdudvdw

v (x, y, z, t) =1

N

∫vdN =

1

N

∫vfdudvdw

w (x, y, z, t) =1

N

∫wdN =

1

N

∫wfdudvdw

1Gas:voce foggiata (1600) dal chimico J. B. Van Helmont col significato di vapore sottiledal latino chaos, greco χαos, massa informe, che gia Paracelso aveva usato in senso simile.(dal Dizionario Enciclopedico Treccani)

3

dove si e introdotta la simbologia compatta∫dudvdw =

∫ ∞−∞

du

∫ ∞−∞

dv

∫ ∞−∞

dw

Adottando il punto di vista statistico possiamo quindi pensare che la velocitadi ogni molecola, espressa in componenti cartesiane dai valori u, v, w, sia lasomma di due contributi, uno statistico, di campo, che corrisponde puntoper punto alla velocita media globale di un gran numero di molecole e cheabbiamo indicato come u, v, w ed uno fluttuante, a valor medio nullo, eche corrisponde alla cosiddetta agitazione termica, dato dalle componentiu′, v′, w′

u = u+ u′

v = v + v′

w = w + w′

(4)

E’ chiaro per quanto detto che

u′ = 0 v′ = 0 w′ = 0 (5)

mentre l’energia complessiva traslazionale media per molecola puo esserescomposta nelle due parti

m (uu+ vv + ww)

2=m (uu+ vv + ww)

2+m(u′u′ + v′v′ + w′w′

)2

(6)

La prima rappresenta chiaramente la parte baricentrale di larga scala, men-tre la seconda

εt =m(u′u′ + v′v′ + w′w′

)2

(7)

definisce l’energia interna traslazionale media per molecola εt. Si puo infinedefinire una velocita equivalente di agitazione termica vat data da

vat =

(2εtm

) 12

(8)

1.2 Equilibrio termodinamico

In condizioni di equilibrio termodinamico assoluto2 la funzione di distribu-zione molecolare feq(u, v, w) acquista un valore ben preciso, universale, chedipende unicamente dalla temperatura assoluta T del gas in esame. La suaforma esplicita e data dalla meccanica statistica e corrisponde al prodotto

2Uguale pressione p, temperatura T , composizione chimica e velocita media u, v, wdappertutto. La funzione di distribuzione molecolare d’equilibrio feq diventa quindiindipendente sia dallo spazio che dal tempo.

4

di tre gaussiane, una per ogni componente della velocita, centrate intornoai rispettivi valori medi u, v, w. Si ha

u′u′ = v′v′ = w′w′ =kBT

mu′v′ = v′w′ = w′u′ = 0 (9)

dove kB e la costante di Boltzmann

kB = 1.38 · 10−23joule/Kelvin/molecola (10)

e l’energia media traslazionale per molecola e data da

m (uu+ vv + ww)

2=m (uu+ vv + ww)

2+

3kBT

2(11)

Si ha quindi che l’energia interna traslazionale media per molecola, εt, edata da

εt =3

2kBT (12)

mentre quella per mole e data da

Et = NAεt =3

2RT (13)

dove R e la costante universale dei gas

R = 8.314 · 103joule/Kelvin/Mole (14)

e Et l’energia interna traslazionale molare, cioe quella posseduta da unnumero di molecole pari al numero di Avogadro NA

NA = 6.02 · 1026molecole/Mole (15)

Si deduce di conseguenza che

kB =R

NA(16)

e in base alla (12) ricaviamo la velocita di agitazione termica vat

vat =

(2εtm

) 12

=

(3kBT

m

) 12

=

(3RT

M

) 12

(17)

dove M e la massa molare del gas M = mNA. E’ interessante confrontarevat con la velocita di propagazione del suono c

c =

(γRT

M

) 12

(18)

dove γ e il rapporto dei calori specifici.

5

Figura 1:

2 Bilancio di massa e di quantita di moto

Notiamo subito che la struttura di una equazione di bilancio e del tuttogenerale e puo essere ricondotta, vedi figura (1), ad un semplice pareggiotra variazioni temporali, flussi e produzioni delle varie grandezze.

Se infatti indichiamo con G una generica grandezza per unita di volu-me, la massa delle molecole per unita di volume, la quantita di moto dellemolecole per unita di volume, l’energia delle molecole per unita di volume,allora la quantita relativa contenuta nel cubetto di controllo dxdydz e datada Gdxdydz, e la sua variazione nel tempo e data da

∂ (Gdxdydz)

∂t= Φxdydz −

(Φx +

∂Φx

∂xdx

)dydz

+ Φydxdz −(

Φy +∂Φy

∂ydy

)dxdz

+ Φzdydz −(

Φz +∂Φz

∂zdz

)dxdy + Pdxdydz (19)

dove Φx,Φy,Φz indica il flusso della stessa attraverso le superfici di contornoe P la eventuale produzione per unita di tempo e di volume. Si ottiene

∂G

∂t+∂Φx

∂x+∂Φy

∂y+∂Φz

∂z= P (20)

Consideriamo ora il bilancio 1 della massa delle molecole, e notiamo che

1Ricordiamo il significato della simbologia compatta∫dN =

∫fdudvdw =

∫ ∞−∞

fdu

∫ ∞−∞

dv

∫ ∞−∞

dw

6

nei termini della funzione f la massa di molecole per unita di volume G e iflussi Φx,Φy,Φz relativi alle varie direzioni x, y, z sono dati da

G = m

∫dN = mN = %

Φx = m

∫udN = %

1

N

∫udN = %u

Φy = m

∫vdN = %v

Φz = m

∫wdN = %w (21)

mentre la produzione P e ovviamente nulla, per cui si ottiene

∂%

∂t+∂%u

∂x+∂%v

∂y+∂%w

∂z= 0 (22)

Se ora indichiamo con Gx la quantita di moto per unita di volume dellemolecole lungo la direzione x, con Φxx,Φxy,Φxz i relativi flussi attraverso lesuperfici di contorno, con Px la produzione di quantita di moto per unita divolume e di tempo, abbiamo, in assenza di forze esterne

Gx = m

∫udN = %u

Φxx = m

∫uudN = %

1

N

∫uudN = %uu = %uu+ %u′u′

Φxy = m

∫uvdN = %uv = %uv + %u′v′

Φxz = m

∫uwdN = %uw = %uw + %u′w′

Px = 0 (23)

per cui si ottiene

∂%u

∂t+∂%uu

∂x+∂%uv

∂y+∂%uw

∂z= −∂%u

′u′

∂x− ∂%u′v′

∂y− ∂%u′w′

∂z(24)

Analogamente avremo per i bilanci di quantita di moto lungo le direzioni ye z per cui si ottiene

∂%v

∂t+∂%vu

∂x+∂%vv

∂y+∂%vw

∂z= −∂%v

′u′

∂x− ∂%v′v′

∂y− ∂%v′w′

∂z(25)

∂%w

∂t+∂%wu

∂x+∂%wv

∂y+∂%ww

∂z= −∂%w

′u′

∂x− ∂%w′v′

∂y− ∂%w′w′

∂z(26)

7

Notiamo che nelle equazioni di bilancio della quantita di moto del motomedio i termini fx, fy, fz

fx = −∂%u′u′

∂x− ∂%u′v′

∂y− ∂%u′w′

∂z

fy = −∂%v′u′

∂x− ∂%v′v′

∂y− ∂%v′w′

∂z

fz = −∂%w′u′

∂x− ∂%w′v′

∂y− ∂%w′w′

∂z(27)

appaiono come forze esterne per unita di volume, avendosi

∂%u

∂t+∂%uu

∂x+∂%uv

∂y+∂%uw

∂z= fx

∂%v

∂t+∂%vu

∂x+∂%vv

∂y+∂%vw

∂z= fy

∂%w

∂t+∂%wu

∂x+∂%wv

∂y+∂%ww

∂z= fz

(28)

2.1 Equazioni di Eulero

Nelle equazioni sopra scritte compaiono oltre alle grandezze %, u, v, w, anchele sei grandezze

%u′u′ %v′v′ %w′w′ %u′v′ %u′w′ %v′w′

che hanno le dimensioni di sforzi, forze per unita di superficie, e che vannocalcolate. Nel caso di equilibrio termodinamico assoluto, (equilibrio chimico,meccanico, termico, e quindi assenza di qualsiasi anisotropia o disomogeneitanelle grandezze che descrivono lo stato del gas compreso il campo di velocitadel moto medio u, v, w), abbiamo visto che

u′v′ = 0 u′w′ = 0 v′w′ = 0 (29)

u′u′ = v′v′ = w′w′ =kBT

m=RT

M(30)

Dalla legge dei gas perfetti si ha

NkBT = %R

MT = p (31)

con p pressione del gas, e quindi si ottiene

%u′v′ = 0 %u′w′ = 0 %v′w′ = 0 (32)

%u′u′ = %v′v′ = %w′w′ = p (33)

8

Le equazioni di bilancio ottenute sotto questa ipotesi sono le cosiddetteequazioni di Eulero e sono esplicitamente date dalle espressioni

∂%u

∂t+∂%uu

∂x+∂%uv

∂y+∂%uw

∂z= −∂p

∂x

∂%v

∂t+∂%vu

∂x+∂%vv

∂y+∂%vw

∂z= −∂p

∂y

∂%w

∂t+∂%wu

∂x+∂%wv

∂y+∂%ww

∂z= −∂p

∂z

(34)

In esse si fa sentire l’effetto dell’agitazione termica unicamente sotto formadi forze di pressione. Lo sforzo esercitato su di una parete e normale adessa e non dipende dall’orientamento della superficie nello spazio, (legge diPascal).

2.2 Equazioni di Navier-Stokes

In realta l’agitazione termica non soltanto contribuisce alla energia internadel gas con la parte traslazionale Et

Et =M(u′u′ + v′v′ + w′w′

)2

(35)

e alla dinamica del moto medio con le forze di pressione p

p = %u′u′ = %v′v′ = %w′w′ =2

3N εt (36)

ma contribuisce anche al trasporto caotico da punto a punto di massa, quan-tita di moto ed energia del moto medio, dando luogo come vedremo aglieffetti diffusivi, viscosi e conduttori di calore. Questi effetti si manifestanoin presenza di gradienti di velocita del moto medio, di temperatura e di con-centrazione.In questi casi l’equilibrio termodinamico per la funzione f none piu assicurato ed essa non ha piu una forma universale ma va calcolatacaso per caso seguendo l’evoluzione delle molecole nello spazio-tempo e l’ef-fetto degli urti su di esse. Essendo f = f (x, y, z, u, v, w, t), la sua variazionetotale nel tempo e data da

∂f

∂t+ u

∂f

∂x+ v

∂f

∂y+ w

∂f

∂z+ ax

∂f

∂u+ ay

∂f

∂v+ az

∂f

∂w= J (37)

dove le componenti cartesiane dell’accelerazione ax, ay, az sono legate allaforza esercitata dall’esterno sulle molecole, Fx, Fy, Fz

ax =Fx

may =

Fy

maz =

Fz

m(38)

e dove il termine J e il cosiddetto termine collisionale, che descrive l’effettodegli urti sulla f . L’equazione (37) e detta equazione di Boltzmann e le sue

9

proprieta e la forma esplicita del termine J possono essere esaminate suilibri di teoria cinetica dei gas ad essa dedicati, vedi per esempio [1].La suarisoluzione e in generale molto complessa e in questa sede ci limiteremo adalcune considerazioni di scala utili ad interpretare soluzioni perturbative chevanno sotto il nome di soluzioni di Chapman e Enskog.Notiamo innanzitutto che una grandezza fondamentale per quel che riguardala evoluzione spazio-temporale di f e il libero cammino medio molecolare l,definito come la distanza mediamente percorsa tra due urti successivi da unamolecola. Al fine di determinare questa lunghezza calcoliamo innanzituttoil numero medio di collisioni che una molecola subisce nell’unita di tempo.Seindichiamo questa grandezza con ϑ, essa sara data dal numero di molecolespazzate mediamente da una molecola lungo il suo cammino per unita ditempo.Se notiamo che il volume spazzato durante l’unita di tempo e datoda vatσ, dove σ e la sezione d’urto della molecola, il suo ingombro frontale,allora si ha evidentemente

ϑ = N vatσ (39)

essendoN il numero di molecole per unita di volume. Notiamo che la sezioned’urto molecolare relativa ad incontri a due a due e data dall’espressione

σ = πd2 (40)

dove d e il diametro ottico, non il raggio, delle molecole che si urtano.Intabella sono riportati alcuni valori relativi alle molecole che compongonol’aria

Molecola O2 N2 O N NODiametro ottico in Angstrom 3.4 3.7 3.1 3.0 3.5

Notiamo ora che il tempo collisionale medio τ e dato dalla espressione

τ =1

ϑ(41)

e dato che la molecola durante questo tempo viaggia mediamente con lavelocita di agitazione termica vat, otteniamo

l = vatτ =1

Nσ(42)

Il libero cammino medio e di importanza fondamentale in quanto il suo rap-porto con una lunghezza caratteristica L del corpo investito dalla corrente,rapporto detto numero di Knudsen, Kn

Kn =l

L(43)

ci dice se la cinetica del mezzo e dominata dalle collisioni tra le molecoleo dalle collisioni con il corpo.In quest’ultimo caso, Kn > 1, il mezzo non

10

puo piu essere considerato come un mezzo continuo, e va trattato come gasrarefatto.Notiamo che il libero cammino medio scala inversamente con ladensita

l = vatτ =m

%σ(44)

e che il suo valore in aria standard e di 660 Angstrom, il che comporta chealla quota di 80 km, dove la densita si e ridotta nel rapporto di 10−5, illibero cammino medio e di circa 1 cm. Il numero di Knudsen relativo peresempio alle dimensioni tipiche di un satellite puo quindi diventare ad altaquota dell’ordine dell’unita, e in tal caso siamo in condizioni di gas rare-fatto. Cade quindi non solo l’ipotesi di equilibrio termodinamico ma anchela stessa ipotesi del continuo che giustifica l’adozione di una funzione f eoccorre studiare il problema con le metodologie proprie del moto delle mo-lecole libere. Se invece, all’estremo opposto, siamo in presenza di numeri diKnudsen molto piccoli, allora non solo e giustificato l’approccio del continuoutilizzato finora ma anche l’ipotesi di equilibrio termodinamico e corrobo-rata. Sulla base di tali considerazioni Chapman e Enskog hanno sviluppatodelle soluzioni perturbative della (37) con espansioni nel numero di Knud-sen e in presenza di moto medio con gradienti di velocita. Naturalmente ilprimo termine della serie, f0, ottenuto nel limite Kn = 0, e quello relati-vo all’equilibrio,f0 = feq, mentre il primo termine introduce una correzioneperturbativa f1, che da il seguente risultato

%u′v′ = −τxy = −µ(∂u

∂y+∂v

∂x

)(45)

%u′w′ = −τxz = −µ(∂u

∂z+∂w

∂x

)(46)

%v′w′ = −τyz = −µ(∂v

∂z+∂w

∂y

)(47)

%u′u′ = p− τxx = p− 2µ∂u

∂x+

2

3µ∆ (48)

%v′v′ = p− τyy = p− 2µ∂v

∂y+

2

3µ∆ (49)

%w′w′ = p− τzz = p− 2µ∂w

∂z+

2

3µ∆ (50)

dove ∆, divergenza del campo di velocita, e data da

∆ =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z(51)

e dove µ e il coefficiente di viscosita del gas. Una osservazione va fattaper quel che riguarda la scelta dei segni che convenzionalmente sono presi

11

in modo da rendere gli sforzi τij interpretabili come sforzi fatti dal mondoesterno sul volumetto di controllo.

Le equazioni di bilancio cosı ottenute sono le cosiddette equazioni diNavier-Stokes ed una ulteriore giustificazione della relazione costitutiva trasforzi e gradienti di velocita puo essere data su basi cinematiche considerandol’atto di moto elementare in un mezzo fluido, vedi Appendice. Come e notoesso puo essere scomposto in una roto-traslazione rigida piu tre dilatazioniortogonali tra loro a volume costante piu una dilatazione isotropa volumica.Notiamo che i termini

sxx =∂u

∂x− 1

3∆ sxy = 1

2

(∂u

∂y+∂v

∂x

)sxz = 1

2

(∂u

∂z+∂w

∂x

)

syx = 12

(∂v

∂x+∂u

∂y

)syy =

∂v

∂y− 1

3∆ syz = 1

2

(∂v

∂z+∂w

∂y

)

szx = 12

(∂w

∂x+∂u

∂z

)szy = 1

2

(∂w

∂y+∂v

∂z

)szz =

∂w

∂z− 1

3∆

corrispondono alla parte dilatatoria senza variazione di volume del tensoredei gradienti di velocita.Abbiamo cioe

τxy = τyx = 2µsxy τxz = τzx = 2µsxz τyz = τzy = 2µsyz

τxx = 2µsxx τyy = 2µsyy τzz = 2µszz

Gli sforzi non dipendono quindi dalla parte roto-traslatoria dello stesso nedalla dilatazione isotropa volumica in quanto la cosiddetta viscosita di vo-lume, (bulk viscosity), che in questo caso manifesterebbe la sua esistenzae generalmente trascurabile. Notiamo infine che l’energia interna traslazio-nale per unita di volume conserva lo stesso valore sia in equilibrio che indisequilibrio

%u′u′ + %v′v′ + %w′w′

2=

3

2p (52)

essendo

τxx + τyy + τzz = 0 (53)

e cio e diretta conseguenza dell’aver posto la bulk viscosity uguale a zero. Lapresenza di una viscosita di volume ζ comporterebbe infatti che

τxy = τyx = 2µsxy τxz = τzx = 2µsxz τyz = τzy = 2µsyz

τxx = 2µsxx − ζ∆ τyy = 2µsyy − ζ∆ τzz = 2µszz − ζ∆

il che ha delle conseguenze a livello della termodinamica del mezzo, in quantosi avrebbe

%u′u′ + %v′v′ + %w′w′

2=

3

2(p+ ζ∆) (54)

12

Notiamo infine che le τij , i 6= j si manifestano in flussi di taglio, contraria-mente alle τij , i = j che si manifestano tipicamente nei flussi di punta, esono quindi generalmente oscurate dalle forze di pressione.

2.3 Interpretazione cinetica degli sforzi viscosi

Vediamo ora di interpretare fisicamente, sempre a livello di teoria cineticadei gas, le espressioni precedenti che danno i valori delle correlazioni

%u′u′ %u′v′ %u′w′ %v′v′ %v′w′ %w′w′ (55)

Notiamo che in esse compaiono ora non solo i termini di pressione ma anchedei nuovi termini che dipendono dal gradiente di velocita. Esse inoltre di-pendono in disequilibrio termodinamico da un nuovo termine, il coefficientedi viscosita µ che va interpretato dal punto di vista fisico e calcolato in ter-mini numerici. Ricordiamo che i termini (55) hanno il significato di sforziesercitati sulle pareti del volumetto di controllo, sono cioe dimensionalmen-te delle forze per unita di superficie. Consideriamo per esempio il termine%u′v′ . Esso fisicamente rappresenta il flusso di quantita di moto trasportatodalla agitazione termica e diretto nella direzione x attraverso la superficienormale alla direzione y.Un flusso di quantita di moto e una variazione diquantita di moto per unita di tempo e di superficie, quindi una forza perunita di superficie, quindi uno sforzo:nel caso di %u′v′ lo sforzo esercitatonella direzione x su di una superficie normale alla direzione y. In assenza digradienti di velocita del moto medio questi sforzi cinetici sono tutti normalialle superfici considerate e pari alla pressione p;nel caso di disomogeneitaspaziali del moto medio si ha un disequilibrio della funzione f e la conse-guente nascita di sforzi viscosi. Al fine di interpretare fisicamente tali sforzie opportuno considerare un caso semplice di campo di moto medio disomo-geneo, quello di puro moto di taglio in cui si ha una sola componente nonnulla del moto medio, per esempio la u, che dipende spazialmente dalla solay, u (y), vedi figura (2).

In tal caso abbiamo

%u′v′ = −τxy = −µ∂u∂y

%u′w′ = 0 %v′w′ = 0 (56)

%u′u′ = %v′v′ = %w′w′ = p (57)

Notiamo che l’unita di misura del coefficiente di viscosita µ e nel sistema SIkg/m/sec.Si ricava che la grandezza

ν =µ

%(58)

detta viscosita cinematica, ha le dimensioni di una velocita per una lunghez-za, e la sua unita di misura e, sempre nel sistema SI, data in m2/sec.Dal

13

Figura 2:

punto di vista dimensionale ν non puo dipendere altro che dalla velocitadi agitazione termica vat e dal libero cammino medio molecolare l, unichegrandezze fisiche di scala che siano state introdotte finora. Si ha quindi perpure considerazioni di analisi dimensionale che

ν ' vatl µ ' %vatl (59)

Questa relazione puo essere anche spiegata in termini piu fisici nel seguentemodo.Sempre da figura (2) notiamo che il flusso %u′v′ dovuto al trasportocaotico di quantita di moto attraverso la superficie normale alla direzione ydi quantita di moto diretta lungo la direzione x e dato fisicamente da

%u′v′ ' −m (u+ du)N vat +muN vat (60)

Se ora scriviamo

du =du

dydy (61)

e considerando che la scala di dy e data dal libero cammino medio molecolarel, cioe che fisicamente il trasporto caotico di quantita di moto avviene su diuna distanza dell’ordine di l, si ottiene

%u′v′ ' −mN vatldu

dy(62)

Nel caso di puro flusso di taglio considerato si ha quindi

τxy = µdu

dy(63)

e per confronto otteniamo

ν ' vatl µ ' %vatl (64)

essendo % = Nm. Notiamo che dalla figura (2) si ha anche un ulteriorechiarimento sulla regola dei segni di cui si e parlato in precedenza; il flusso%u′v′ e in questo caso negativo, ma la τxy e positiva in quanto il volumettodi controllo e tirato dagli strati superiori esterni del fluido nella direzionedelle x positive.

14

2.4 Viscosita di un gas e di una miscela

Abbiamo visto che il coefficiente di viscosita µ dipende dal libero camminomedio l.Dalla teoria cinetica dei gas si ha

l ' 1

Nσ(65)

dove σ e la sezione d’urto collisionale tra le molecole in esame.Notiamo che iltempo medio collisionale τ , cioe il tempo che intercorre tra un urto e l’altro,e dato da

τ ' l

vat(66)

Sostituendo nella (64) si ottiene

µ ' mvatσ

(67)

con m massa molecolare.Si vede da questa espressione che nel caso di un gasideale composto da molecole a palle di biliardo, tali cioe che l’interazionereciproca sia nulla ad un distanza tra i centri maggiore del diametro, einfinita se minore, allora la viscosita e data da

µ ' (3kB)12m

12T

12

σ0(68)

dove a vat e sostituita la sua espressione esplicita nei termini della temperatu-ra assoluta e σ0 e la sezione d’urto geometrica. Notiamo che µ dipende dallaradice quadrata della temperatura assoluta T , e tanto piu piccola quantopiu piccola e la massa molecolare m e tanto piu grande quanto piu piccolae la sezione d’urto σ0.In realta il campo di forze che si stabilisce tra duemolecole durante un urto non e del tutto assimilabile a quello che si ha tradue palle da biliardo, il che porta ad avere come distanza media d’intera-zione durante un urto non il diametro delle molecole ma una distanza cheaumenta al diminuire della energia di collisione.Cio porta ad una variazionedella sezione d’urto σ con T , data da

σ = σ0

(1 +

χ

T

)(69)

e detta approssimazione di Sutherland.Naturalmente χ ha le dimensioni diuna temperatura, e per T →∞ si ha σ → σ0.Se sostituiamo questa espres-sione per la sezione d’urto σ nella espressione della viscosita µ data dalla(67) otteniamo la cosiddetta espressione di Sutherland

µ = ST

32

T + χ(70)

15

Nella tabella che segue sono dati i valori delle costanti χ ed S per vari gas,con µ misurata nel sistema SI, e cioe in kg/m/sec.

S · 106 χO2 1.65 110N2 1.39 102H2 0.65 71He 1.52 98CO2 1.56 233CO 1.40 109NH3 1.54 472Aria 1.46 110

Notiamo che in tabella compare anche una miscela di gas, l’aria, per la qualei valori di S e χ dati hanno piu un valore di correlazione empirica che altro.Ilproblema di determinare la viscosita di una miscela date le viscosita dei suoicomponenti e tutt’altro che semplice [2], ed una formulazione semi- empiricae quella data dal Wilke [3] che porta al seguente risultato

µ =∑i

µi

1 +∑k 6=i

Gikxkxi

−1 (71)

dove

Gik =

(1 +

(µiµk

) 12(mk

mi

) 14

)2

232

(1 +

mi

mk

) 12

(72)

e dove µi, xi e mi sono rispettivamente le viscosita, le frazioni molari ele masse molecolari dei singoli componenti.Terminiamo questa parte segna-lando infine delle espressioni approssimate che presentano una certa uti-lita nei calcoli essendo monomiali come forma.Per l’aria e nell’intorno dellatemperatura ambiente si ha con buona approssimazione

µ = µ288

(T

288

)ω

(73)

con ω = 0.75 e µ288 = 1.78 · 10−5kg/m/sec viscosita dell’aria standard.

3 Bilancio dell’energia

Abbiamo finora eseguito il bilancio della massa e quello della quantita dimoto ed abbiamo ottenuto le equazioni di Eulero nel caso di una funzionef d’equilibrio, le equazioni di Navier-Stokes nel caso di una funzione f de-formata dai gradienti di velocita del moto medio.Vediamo ora di eseguire

16

il bilancio della energia.In questo caso abbiamo come energia per unita divolume

G = m

∫(ei +

uu+ vv + ww

2)dN

= %

(ei +

uu+ vv + ww

2

)(74)

e come flussi

Φx = m

∫(ei +

uu+ vv + ww

2)udN

= %

(eiu+

uuu+ uvv + uww

2

)(75)

Φy = m

∫(ei +

uu+ vv + ww

2)vdN

= %

(eiv +

vuu+ vvv + vww

2

)(76)

Φz = m

∫(ei +

uu+ vv + ww

2)wdN

= %

(eiw +

wuu+ wvv + www

2

)(77)

con ei = ei + e′i energia interna roto-vibro-elettronica e di legame per unita

di massa, e dove ora il vettore Φx,Φy,Φz rappresenta il flusso d’energiaattraverso le superfici di contorno. Anche in questo caso P , produzione dienergia, e ovviamente nulla e inoltre possiamo scrivere

uu = uu+ u′u′ vv = vv + v′v′ ww = ww + w′w′ (78)

eiu = eiu+ e′iu′ eiv = eiv + e

′iv′ eiw = eiw + e

′iw′ (79)

uuu+ uvv + uww

2= u

(u2 + v2 + w2

2

)+

u

(u′u′ + v′v′ + w′w′

2

)+ uu′u′ + vu′v′ +

wu′w′ + u′(u′u′ + v′v′ + w′w′

2

)vuu+ vvv + vww

2= ..........

wuu+ wvv + www

2= .......... (80)

17

per cui ponendo

qx = %u′(e′i +

u′u′ + v′v′ + w′w′

2

)qy = .......

qz = ....... (81)

si ha formalmente

∂ (%E)

∂t+∂ ((%E + p) u)

∂x+∂ ((%E + p) v)

∂y+∂ ((%E + p) w)

∂z=

∂ (τxxu+ τxyv + τxzw − qx)

∂x+

∂ (τyxu+ τyyv + τyzw − qy)

∂y+

∂ (τzxu+ τzyv + τzzw − qz)∂z

(82)

dove

E = ei +u′u′ + v′v′ + w′w′

2+u2 + v2 + w2

2

= e+u2 + v2 + w2

2(83)

Notiamo che nei termini dell’entalpia d’arresto o totale H

H = h+u2 + v2 + w2

2= e+

p

%+u2 + v2 + w2

2(84)

si ha

∂ (%E)

∂t+∂ (%Hu)

∂x+∂ (%Hv)

∂y+∂ (%Hw)

∂z=

∂ (τxxu+ τxyv + τxzw − qx)

∂x+

∂ (τyxu+ τyyv + τyzw − qy)

∂y+

∂ (τzxu+ τzyv + τzzw − qz)∂z

(85)

3.1 Interpretazione cinetica dei flussi di calore

Il termine vettoriale

qx = %u′(e′i +

u′u′ + v′v′ + w′w′

2

)= %u′e′ (86)

che compare nella equazione di bilancio dell’energia corrisponde al trasportocaotico di energia caotica dovuto al moto di agitazione termica.Anche in

18

questo caso la teoria cinetica dei gas ha sviluppato teorie che permettonodi calcolare la funzione f nel caso in cui siano presenti nel flusso non sologradienti di velocita ma anche gradienti di temperatura T . Sulla loro baseabbiamo

qx = −λ∂T∂x

qy = −λ∂T∂y

qz = −λ∂T∂z

(87)

dove λ e il coefficiente di conducibilita termica. La giustificazione di questaespressione che lega in maniera elementare flussi di calore a gradienti ditemperatura puo essere data in maniera molto semplice sulla base deglistessi ragionamenti fisici utilizzati per determinare il coefficiente di viscosita.Dalla figura (2) notiamo che il flusso qy dovuto al trasporto caotico di energiainterna attraverso la superficie normale alla direzione y e dato fisicamenteda

qy ' −m (e+ de)N vat +meN vat (88)

dove e =∫cvT e l’energia interna media per unita di massa e dove cv e il

calore specifico per unita di massa a volume costante. Se ora scriviamo

de =de

dydy (89)

e considerando che come nel caso del trasporto di quantita di moto la scaladi dy e data dal libero cammino medio molecolare l, cioe che fisicamenteanche il trasporto caotico di energia avviene su di una distanza dell’ordinedi l, si ottiene

qy ' −mN vatlde

dy(90)

cioe

qy ' −mcvN vatldT

dy(91)

e, per confronto con la (87),

λ ' vatlNmcv ' µcv (92)

Notiamo che la scelta del segno nella determinazione del flusso qx, qy, qz etale da rendere le espressioni trovate coerenti con le leggi fenomenologiche,(Legge di Fourier), in cui λ e una costante essenzialmente positiva e i flussidi calore sono positivi se vanno da luoghi a temperatura piu alta verso luoghia temperatura piu bassa.Notiamo anche da quanto detto che il numero diPrandtl definito come

Pr =µcpλ

(93)

19

con cp = γcv calore specifico per unita di massa a pressione costante, e peri gas dell’ordine dell’unita. Sempre dalla teoria cinetica dei gas e nel casodi un gas dotato di di sola energia interna traslazionale, (gas monoatomicocon variazioni di energia interna elettronica trascurabili nell’intervallo ditemperature considerato), si ha piu precisamente

λ =5

2µcv Pr =

2

3(94)

essendo in tal caso γ = 53 . Nel caso in cui il gas e dotato di energia in-

terna non solo traslazionale ma anche roto-vibro-elettronica allora convienescindere cv nelle due parti

cv =1

γ − 1

R

M= cvt + cvi (95)

con

cvt =3

2

R

Mcvi =

5− 3γ

2 (γ − 1)

R

M(96)

e si puo scrivere

λ =5

2µcvt + αµcvi (97)

dove α e il fattore correttivo di Eucken.Il fatto che α non sia uguale a 52

significa che l’energia interna traslazionale e quella roto-vibro-elettronicanon sono trasferite esattamente allo stesso modo dalla agitazione termica.Eucken propose per α il valore 1.In tal caso il numero di Prandtl e datodalla espressione

Pr =4γ

9γ − 5(98)

Una buona approssimazione per il numero di Prandtl dell’aria, valida sudi un intervallo abbastanza ampio di temperature e Pr = 0.71. Ulterioridettagli sul calcolo di λ per l’aria ad alta temperatura e nel caso di miscelesi puo trovare sul Dorrance [4]. Notiamo infine che una grandezza ricavatadalla conducibilita termica e analoga alla viscosita cinematica e la diffusivitatermica κ

κ =λ

%cp(99)

avente le stesse dimensioni di ν, m2/s.

20

4 APPENDICE al capitolo 1

4.1 Atto di moto elementare

Indichiamo con U, V,W le tre componenti della velocita in un riferimentocartesiano x, y, z.Nell’intorno di un punto P qualsiasi, che supporremo si-tuato nell’origine degli assi di riferimento, scriviamo l’espansione in serie diTaylor limitata al primo ordine

U = u+∂u

∂xx+

∂u

∂yy +

∂u

∂zz

V = v +∂v

∂xx+

∂v

∂yy +

∂v

∂zz

W = w +∂w

∂xx+

∂w

∂yy +

∂w

∂zz

dove u, v, w indicano i valori calcolati nell’origine. Notiamo che si puoscrivere in maniera equivalente

U = u+ Ωyz − Ωzy +∆

3x+(

∂u

∂x− ∆

3

)x+

1

2

(∂u

∂y+∂v

∂x

)y +

1

2

(∂u

∂z+∂w

∂x

)z

V = v + Ωzx− Ωxz +∆

3y +

1

2

(∂v

∂x+∂u

∂y

)x+

(∂v

∂y− ∆

3

)y +

1

2

(∂v

∂z+∂w

∂y

)z

W = w + Ωxy − Ωyx+∆

3z +

1

2

(∂w

∂x+∂u

∂z

)x+

1

2

(∂w

∂y+∂v

∂z

)y +

(∂w

∂z− ∆

3

)z

dove ∆ e la divergenza del campo di velocita, data da

∆ =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z(100)

e ~Ω ≡ (Ωx,Ωy,Ωz) rappresenta cinematicamente la velocita istantanea dirotazione di un elemento fluido, grandezza equivalente alla vorticita del flusso~ω ≡ ∇× ~u divisa per due

~Ω ≡ ~ω

2(101)

con

~ω ≡ ∇× ~u ≡(∂w

∂y− ∂v

∂z

∂u

∂z− ∂w

∂x

∂v

∂x− ∂u

∂y

)(102)

21

Notiamo che le componenti

u+ Ωyz − Ωzy

v + Ωzx− Ωxz

w + Ωxy − Ωyx

rappresentano una roto-traslazione rigida locale del punto generico P intornoall’origine O

~u = ~uO + ~Ω× (P −O)

i termini

∆

3x

∆

3y

∆

3z (103)

una dilatazione isotropa, mentre la restante matrice, simmetrica e a traccianulla, puo essere trasformata con una rotazione di coordinate in una matricediagonale sempre a traccia nulla. Il suo significato fisico e quindi quello dirappresentare tre dilatazioni su tre assi ortogonali a volume costante.Essequindi trasformano una sfera in un ellissoide mantenendo costante il volume.

4.2 Streamlines, pathlines, streaklines.

Dato un campo di velocita u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t) e spesso mol-to importante determinare quali sono le linee le cui tangenti sono ad essoparallele ad un certo istante, dette linee di corrente o streamlines, le lineeche sono descritte nel loro moto dalle particelle fluide, dette traiettorie opathlines, le linee che vengono ad essere tracciate da un ipotetico coloranteiniettato in punti prefissati, dette streaklines. Per un campo di moto stazio-nario e per un punto prefissato queste tre linee coincidono, mentre per uncampo di moto non stazionario esse sono diverse tra loro tranne casi patolo-gici. Se il campo di moto non e stazionario e inoltre piu corretto parlare dilinee di corrente istantanee, o istantaneous streamlines, essendo quest’ultimevariabili da tempo a tempo.

Un esempio serve a meglio chiarire quanto definito. Consideriamo uncampo di moto le cui componenti cartesiane della velocita sono date rispet-tivamente da

u = axt

v = by

w = 0 (104)

Notiamo che il moto e piano ma non stazionario, e calcoliamo le streamlinesche si hanno al tempo t = 0. Notiamo che non essendo il moto stazionariole streamlines variano da tempo a tempo, e quelle che calcoliamo vengono

22

appunto dette istantaneous streamlines, mentre se il moto fosse stazionarioesse sarebbero le stesse per ogni tempo. Essendo

u =dx

dtv =

dy

dtw =

dz

dt(105)

possiamo anche scrivere che al generico tempo t0 le streamlines istantaneesono descritte dalle equazioni

dx

dσ= axt0

dy

dσ= by

dz

dσ= 0 (106)

con σ coordinata corrente lungo le stesse, (in generale non corrispondentecon l’arco s). Integrando abbiamo

x = x0 exp (at0(σ − σ0))y = y0 exp (b(σ − σ0))z = z0 (107)

dove σ0 indica il valore arbitrario che la coordinata corrente σ assume nelpunto x0, y0, z0 al tempo t0. Notiamo che soltanto se b = at0 la linea dicorrente istantanea e una retta. Calcoliamo ora la traiettoria della particellache al tempo t = t0 si trova nel punto x0, y0, z0. Dobbiamo ora integrare leequazioni del moto nel tempo t

dx

dt= axt

dy

dt= by

dz

dt= 0 (108)

e si ottiene

x = x0 exp

(a

2

(t2 − t20

))y = y0 exp (b(t− t0))z = z0 (109)

4.3 Riepilogo equazioni di bilancio.

Riassumiamo in questa appendice le equazioni di bilancio ottenute a partiredalla teoria cinetica dei gas.Sottolineiamo che sia in questa appendice e siain quelle che seguono, e in generale in tutti gli appunti che seguiranno, lasoprallineatura che indica l’operazione di media sulle fluttuazioni molecolari

23

verra abolita, ed e sottinteso che ogni grandezza e una grandezza media.Inquesta scrittura di riepilogo utilizzeremo inoltre una scrittura piu compatta acarattere tensoriale.Abbiamo allora l’equazione di conservazione della massa

∂%

∂t+∂ (%uj)

∂xj= 0 (110)

l’equazione di bilancio della quantita di moto

∂ (%ui)

∂t+∂ (%uiuj)

∂xj= − ∂p

∂xi+∂τij∂xj

(111)

l’equazione di bilancio dell’energia

∂ (%E)

∂t+∂ (%Huj)

∂xj=∂ (τijui − qj)

∂xj(112)

dove

H = e+p

%+uiui

2(113)

τij = µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi− 2

3

∂uk∂xk

δij

)(114)

qi = −λ ∂T∂xi

(115)

Notiamo infine che le equazioni di bilancio della quantita di moto possonoessere anche scritte nelle forma Lagrangiana o convettiva

%∂ui∂t

+ %uj∂ui∂xj

= − ∂p

∂xi+∂τij∂xj

(116)

mentre la forma di scrittura precedente e detta forma conservativa.

Riferimenti bibliografici

[1] W.G.Vincenti, C.H.Kruger; Introduction to Physical Gas DynamicsJohn Wiley and Sons, New York (1965)

[2] J.O.Hirschfelder, C.F.Curtiss, R.Byron Bird; The Mathematical Theo-ry of Nonuniform Gases Cambridge University Press, New York(1958)

[3] C.R.Wilke; J.Chem.Phys. Vol.18, pp 517-522, (1950)

[4] W.H.Dorrance; Viscous Hypersonic Flow McGraw-Hill, New York(1962)

[5] H.W.Liepmann, A.Roshko; Elements of Gasdynamics John Wiley andSons, London (1957)

24