Corso di AERODINAMICA E GASDINAMICAAnno Accademico 2016/2017

- Lezione N.1 -

Prof. Ing. Renato RICCI

Il fluido come GAS

Il moto di un fluido allo stato gassoso, posto all’interno di un recipiente, viene descritto come un moto disordinato di molecole che in condizioni particolari (GAS IDEALE) non si scontrano mai l’un l’altra. In tali condizioni la TEMPERATURA è rappresentata dall’energia cinetica traslazionale delle molecole e la PRESSIONE dalla variazione della quantità di moto delle molecole sulla superficie. Ad alcuna molecola è consentito avere energia cinetica rotazionale o vibrazionale per cui un aumento di energia interna di tipo sensibile porta ad un aumento di velocità traslazionale, ciò porta ad un aumento di temperatura e, se le distanze da percorrere per le molecole rimangono invariate, anche la pressione aumenterà. Tutto questo è ciò che l’equazione di stato del gas ideale ha provato a descrivere in forma semplice identificando in poche PROPRIETA’ il moto complesso delle singole molecole.

p R T

Il gas come CONTINUO

La proprietà DENSITA’ richiede che si definisca un volume di fluido entro il quale la stessa possa esistere, cade cioè l’idea di un fluido come singole molecole indipendenti ed a questa viene sostituita una visione in cui le molecole sono omogeneamente diffuse, così che qualunque sia la dimensione del volume di riferimento il numero di molecole per unità di volume, DENSITA’, non cambi.Se però il volume diventa molto piccolo, di dimensioni paragonabili alle molecole stesse, una sua variazione potrebbe cambiare il valore delle densità; se infatti il volume fosse appena più grande di una molecola, ma inferiore a 2 molecole, una sua variazione in tale range farebbe si che la densità stessa varierebbe. E’ così indispensabile prendere una porzione minima di volume che non modifichi il valore di densità del fluido, nel caso dell’ ARIA il volume elementare minimo a pressione atmosferica è pari a 10-9 [mm3] Qualora il cammino libero medio delle molecole, llm, fosse sufficientemente grande, maggiore di 10-7 m come nei gas rarefatti, non possiamo più parlare del fluido come CONTINUO ma vederlo come un vero e proprio insieme di molecole indipendenti. Il numero di Knudsenpermette di identificare quelle situazioni in cui il fluido si comporta come un gas rarefatto:

L = dimensione caratteristica del problemacontinuoFluidoL

lK lm

n 1

Il gas in condizioni idrostatiche

z

dpp dz

dz

p

0dp

p dz dx dy p dx dy g dx dy dzdz

dp g dz

p R T

dp g

dzp RT

Qualora il gas si trovi in condizioni idrostatiche la definizione di pressione data in precedenza non è più sufficiente e ad essa deve necessariamente aggiungersi il contributo gravitazionale fornito dal fluido circostante il volume.

Bilancio termico del fluido in quiete

Quando il nostro volume elementare viene visto nel contesto del fluido circostante oltre al bilancio delle forze è necessario valutare il bilancio dell’energia. In assenza di gradienti barici orizzontali ed in condizioni NEUTRE l’atmosfera non presenta movimenti importanti se non lungo la direzione verticale al terreno, dove la turbolenza porta ad un continuo rimescolamento fra i diversi strati che la compongono. I volumetti elementari che formano il CONTINUO si muovono attraversando strati a diversa temperatura; poiché lo spostamento avviene in tempi molto più brevi di quello con il quale il calore fluisce da un volumetto all’altro è pensabile assumere la trasformazione termodinamica come ADIABATICA reversibile.

z

Q=0

0dp

T dS dh

p

dpc dT

che unita alla

dp g dz porta per l’aria secca a:

0.01 [ / ]p

dT gC m

dz c

Il gradiente termico verticale scende a 0.0065 [°C/m] in atmosfera “standard” e a circa 0.005 [°C/m] in condizioni di aria satura

Gradienti termici verticali

Fluido Incomprimibile

,p

f p TR T

v v

T T

u u udu dT d c dT d c dT

T

ph u

Fluido Comprimibile – GAS IDEALE

p

p T T

h h hdh dT dp c dT dp

T p p

2 2v

dp p dp pdh du d c dT d

Fluido Incomprimibile costante

p v

T

h dpc dT dp c dT

p

p vc c c

In un fluido Incomprimibile le proprietà meccaniche non sono legate a quelle termiche

Viscosità

Una volta che il fluido è stato individuato come un insieme di volumetti elementari e ne sono state definite le PROPRIETA’ meccaniche (densità e pressione) e termiche (temperatura, energia interna) di base mettiamo in moto il sistema e vediamo come i diversi volumetti devono interagire per garantire, anche durante il moto, che l’insieme si comporti come CONTINUO. Qualora la corrente fluida non fosse UNIFORME, ossia la velocità di avanzamento di un volumetto è diversa da quella degli altri che lo circondano, si ha che il flusso di quantità di moto attraverso i confini di ogni volumetto rappresenta

xy

z

Velocità

l’interazione fra gli stessi; i volumetti più lenti rallenteranno quelli più veloci e viceversa: tale interazione viene individuata come una PROPRIETA’ di nome VISCOSITA’.Per rapportare il fenomeno al concetto di continuo non possiamo guardare il flusso di molecole attraverso il volume di controllo ed i volumetti vengono visti come elementi deformabili che interagiscono con attrito; gli sforzi tangenziali presenti sulle superfici dei volumetti saranno così determinati dalla VISCOSITA’ e dalla VELOCITA’ di DEFORMAZIONE degli stessi.

Proprietà dell’ARIA STANDARDA

ltitudin

e (

x 1

03

foot)

P0 = 2116.2 [lb/ft3]

= 101325 [Pa]

Relative kinematic viscosity

Viscosità Cinematica

La viscosità cinematica è

una proprietà che indica la

capacità di un fluido di

seguire la curvatura di una

superficie senza produrre

grandi irregolarità e

turbolenza nel moto

principale. L’aria presenta

una viscosità cinematica

circa 13 volte maggiore di

quella dell’acqua, di

conseguenza ha maggiori

probabilità di successo nel

seguire la curvatura della

superficie da essa lambita.

5 2

6 2

1.46 10 [ / ]

1.14 10 [ / ]

aria

acqua

m s

m s

Velocità di deformazione angolare

Dx

Dy

x

y

uu dy

y

vv dx

x

v

uu

v

1D

2D

1

1 vv x v t

x x

D D D

D

DJ2

= -1

Dy× u+

¶u

¶y×Dy

æ

èçö

ø÷- u

æ

èç

ö

ø÷ ×Dt

Velocità di deformazione

txy

= m ×gxy

= m ׶v

¶x+

¶u

¶y

æ

èç

ö

ø÷

Sforzo TangenzialeQuando la viscosità non varia al variare della velocità di deformazione il fluido viene detto NEWTONIANO; qualora la viscosità aumenti all’aumentare della velocità di deformazione siamo in presenza di un Fluido Dilatante (Thick Fluid) come, ad esempio, l’olio per motori.Un fluido che diminuisce la sua viscosità all’aumentare della velocità di deformazione viene invece indicato come Pseudoplastico (Thin Fluid) . Oltre a ciò i fluidi non newtoniani, anche se sottoposti ad una velocità di deformazione costante, tendono nel tempo a variare la loro resistenza alla deformazione. Se con il passare del tempo la tensione tangenziale diminuisce il fluido viene chiamato Tixotropico, come ad esempio la vernice.

Istante tistante t+Dt

g xy =DJ1

Dt-

DJ2

Dt=¶v

¶x+¶u

¶y

Rotazionalità e velocità angolare

Moto irrotazionale

Moto rotazionale

uu dy

y

vv dx

x

v

u1D

2D

1 21 1

2 2z

v u

t t x y

D D

D D

w =1

2×Ñ´V

Velocità Angolare1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

u u v u w

x y x z x

v u v v w

x y y z y

w u w v w

x z y z z

Tensore della velocità di deformazione

2ij ij

Tensore degli sforzi viscosi per un fluido newtoniano incomprimibile

Traiettoria e Linea di CorrenteInseriamo un corpo aerodinamico all’interno di una galleria del vento, sottoponiamolo ad un flusso uniforme di aria ed immaginiamo di poter seguire istante per istante il percorso di alcuni volumetti elementari di fluido lungo la propria traiettoria .Le linee individuate da ognuna delle particelle al trascorrere del tempo (ossia le traiettorie) sono chiamate “PATHLINES” , esse si modificano nel tempo, e nello spazio, nel senso che fissato un punto nel dominio ogni particella che passerà in quel punto avrà una traiettoria diversa da qualunque altra.Se il campo di moto fosse STAZIONARIO è ragionevole pensare che, diversamente dal caso precedente, fissato un punto nello spazio tutte le particelle che passano per il punto seguiranno la stessa traiettoria, così che una “foto” del campo di moto presa ad un determinato istante di tempo fornirà dello stesso una rappresentazione completa.Se, fissato un istante di tempo, potessimo visualizzare i vettori di velocità dei volumetti elementari ed unissimo con delle linee continue, TANGENTI ai vettori stessi, i diversi volumetti otterremmo delle Linee di Corrente, in gergo “STREAMLINES”. Il flusso di massa attraverso tali linee è NULLO per cui il volume di spazio compreso fra 2 linee di flusso viene identificato come TUBO DI FLUSSO.In condizioni STAZIONARIE le STREAMLINES coincidono con le PATHLINES

Streaklines e Timelines

TIMELINES sulla superficie esterna di un profilo alare

Per visualizzare le “pathlines” è indispensabile che vengano immessi dei traccianti all’interno del flusso fluido; ciò può essere fatto immettendo del fumo, dell’inchiostro o delle particelle in sospensione, a seconda della tecnica sperimentale e del fluido oggetto di studio. Ciò che lo sperimentatore vedrà saranno un insieme di linee create dalla colorazione di tutte quelle particelle che hanno attraversato, in tempi diversi, i punti di rilascio del colorante: in realtà non saranno così visualizzate delle “pathlines” ma quelle che in gergo vengono chiamate “STREAKLINES”. In condizioni STAZIONARIE le STREAKLINES coincidono con le PATHLINES.Un modo diverso per avere informazioni sul campo di moto locale è quello di “colorare” solo una linea di fluido e creare una sovrapposizione fotografica, ad intervalli costanti di tempo, dell’evoluzione della linea; si genera così quella che viene chiamata “TIMELINE” e che consente di determinare localmente il campo di moto. In alcuni casi, misurando lo spostamento delle particelle e conoscendo l’intervallo di tempo fra un’esposizione fotografica e la successiva, è possibile risalire alla velocità delle stesseparticelle. Una tecnica sperimentale molto diffusa è quella in cui la colorazione avviene mediante il rilascio di Bolle di Idrogeno.

Flusso Inviscido

Quando un fluido viscoso interagisce con un corpo l’effetto della viscosità si esprime come un’azione superficiale che induce un gradiente di velocità in prossimità del contorno del corpo (STRATO LIMITE) ed una resistenza di attrito superficiale (SFORZO VISCOSO).Nei problemi di Aerodinamica in genere lo spazio riservato al fluido è enormemente più grande di quello occupato dal corpo così che si può parlare di Flusso Esterno, in tal caso la porzione di fluido in cui l’effetto della Viscosità è tangibile risulta piccola, così da sembrare inesistente ad un osservatore “lontano” ; in tali condizioni anche in un fluido viscoso è lecito assumere l’esistenza di due macroaree: una prima, la maggiore, in cui il fluido può essere considerato INVISCIDO (equazione di Eulero) ed un’altra, quella posta in prossimità della superficie del corpo, dove il fluido è VISCOSO (Equazione di Navier-Stokes).Questa semplificazione è estremamente utile in Aerodinamica perché la soluzione di un campo di moto inviscido è semplice e consente la determinazione del campo di pressione attorno al corpo; in caso Stazionario le linee di corrente consentono direttamente l‘individuazione della zona Inviscida del fluido.

Qualora venisse utilizzato del fumo per tracciare il flusso fluido, nell’area dove il flusso risente dell’effetto della viscosità le particelle di fumo risultano disperse.

Profilo alare soggetto ad un flusso inviscido

Profilo alare soggetto ad un flusso viscoso

Strato Limite sull’estradosso

Strato Limite sull’Intradosso

Corpo bernoulliano equivalente (Displacement Thickness)

Quando lo strato limite è sottile, che corrisponde a flussi ad alti numeri di Reynolds in condizioni lontane dalla Separazione, le linee di corrente sono molto simili a quelle di un flusso inviscido attorno allo stesso oggetto. Analizzando in maggior dettaglio il campo di moto è come se le linee di corrente prossime alla superficie fossero traslate di una piccola quantità verso l’esterno della stessa.

*

0 0

1 1u u

dy dyV V

V

0.99 V

u

*y

V

*y

In tali condizioni il flusso reale può essere approssimato ad un flusso inviscido attorno ad un corpo equivalente, di dimensioni maggiori di quello reale, che offra la stessa distribuzione di linee di corrente. A questo punto si tratta di valutare come modificare il corpo reale e secondo quale logica. La tecnica più diffusa si basa sull’individuazione di una quantità chiamata “Displacement Thickness” - δ*

Poiché la presenza dello strato limite induce una riduzione di portata massica in prossimità della superficie il Displacement Thickness è la distanza dal corpo solido a cui dovrebbe essere portata la superficie affinché in un flusso inviscido si arrivi alla stessa portata massica del flusso reale.

* 1.720.35

Rex

x

*

1/7

0.020.125

(Re )x

x

Lastra Piana - Laminare Lastra Piana - Turbolento

Equazione di Eulero in coordinate streamlines

R

R

n

s

dn

ds

Linea di corrente

g

2

p dnp ds dx

n

2

p dnp ds dx

n

2

p dsp dn dx

s

2

p dsp dn dx

s

z

y

x

b

V =V (s ;t )=VS(t )

Lungo una linea di corrente la velocità di un volumetto elementare è data da:

S SS

V VdV ds dt

s t

S S SS S

dV V VV a

dt s t

che per Flussi STAZIONARI diventa:

SS S

Va V

s

1 1

2 2

Sa dsdndx

p pp ds p ds dndx

s s

g sen dsdndx

b

SS

V pV g sen

s s b

2

1 1

2 2

cos

Sn

Va dsdndx dsdndx

R

p pp ds p ds dndx

n n

g dsdndx

b

2

cosSV pg

R n b

s

sn

nn

s

Le 2 equazioni di Eulero sono state ottenute applicando la seconda legge di Newton al volumetto elementare in moto in un flusso INVISCIDO

e STAZIONARIO. Qualora il fluido oggetto di studio fosse ARIA le forze di massa possono essere ritenute trascurabili rispetto a quelle di

pressione, le equazioni di Eulero possono così essere semplificate nelle:

Riflessioni sulle equazioni di Eulero in coordinate streamlines

2

0 ;S SS

V Vp pV

s s n R

L’equazione lungo –s- ci dice che l’accelerazione del fluido è funzione solo del gradiente di pressione lungo la stessa linea di flusso; la

seconda afferma invece che la pressione diminuisce mano a mano che ci si avvicina al centro di curvatura della linea di corrente. Nel caso

del profilo alare riportato in figura si avrà che sull’estradosso la pressione sarà inferiore a quella del fluido indisturbato mentre

nell’intradosso si avranno 2 zone: quella prossima al naso, in depressione, e quella vicina alla concavità di coda che risulta in pressione.

p

p

p p

p p

estradosso

intradosso

p p

p p

Equazione di Bernoulli in coordinate streamlines

Dalle equazioni di Eulero in coordinate Streamlines si può giungere all’equazione di Bernoulli ipotizzando che il fluido oltre che inviscido sia anche INCOMPRIMIBILE (FLUIDO IDEALE); in questo caso possiamo integrare lungo una qualsiasi linea di corrente l’equazione di Eulero ottenendo:

22 221

0 ( ) 0 costante2 2 2 2

B B B

A A A

S S S

S SB AS S B A B A S

S S S

V VV VpV ds ds d V p p p p p

s s

Linea di corrente - 1

Linea di corrente - 2

A

BA

B

2

12B

B

Vp C

2

12A

A

Vp C

2

22B

B

Vp C

2

22A

A

Vp C

1 2C C

Da quanto sopra riportato emerge come la somma della pressione statica e della pressione cinematica sia costante lungo ogni linea di corrente; bisogna però sottolineare che la costante varia da una linea di corrente alla successiva. Ciò deve suscitare una certa cautela all’uso incondizionato dell’equazione di Bernoulli che diventa generale, ossia estendibile a tutte le linee di corrente, solo in FLUSSI IRROTAZIONALI; in questo caso la costante è la stessa per tutte le linee di corrente e l’equazione può essere applicata non solo lungo una di esse ma anche ATTRAVERSO le stesse.Un esempio calzante è quello di un FLUSSO UNIFORME, in questo caso le linee di corrente sono tutte rettilinee e parallele fra di loro; essendo rettilinee il loro raggio di curvatura sarà infinito e, dall’equazione di Eulero lungo –n-, il gradiente di pressione in direzione normale al moto sarà nullo. In questo caso tutti i punti su di una sezione ortogonale al moto avranno la stessa pressione e, per l’equazione di Bernoulli, avranno anche la stessa velocità: la somma delle pressioni statiche e cinematiche sarà così identica lungo qualunque linea di corrente.

2

0SVp

n R