Formulario - UniPa · 8. ∑1 n=1 ( 1)n+1 1 n = log(2) 9. ∑1 n=1 ( 1)n+1 1 2n 1 = ˇ 4 10. ∑1...

FormularioFabio Bagarello

DEIM,

Scuola Politecnica dell’Universita di Palermo.

pagina web: www1.unipa.it/fabio.bagarello

e-mail: [email protected]

2

Copyright c⃝2014 Fabio Bagarello. Tutti i diritti riservati.

Questo documento e libero: puo essere ridistribuito e modificato liberamente. [7 gennaio

2018]

Indice

1 Funzioni trigonometriche ed iperboliche 1

1.1 formule trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 sulle funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Serie, sviluppi e somme 5

2.1 sviluppi in serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 somme di serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 somme finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Equazioni differenziali 9

3.1 funzioni speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 alcune equazioni differenziali ordinarie: cenni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 equazioni differenziali della fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Integrali, limiti e derivate 15

4.1 integrali indefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 trasformate di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.5 derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.6 limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 formulette varie 23

5.1 equazione del secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2 equazione del terzo grado x3 + a1x2 + a2x+ a3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3 decomposizione in fattori di polinomi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.4 regola della mano destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.5 Minimi e massimi per funzioni di 2 variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.6 poche regole sulla δ di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.7 disequazioni del secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3

4 INDICE

5.8 disequazioni di grado n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.9 proprieta del determinante e della traccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.10 inverso di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.11 diagonalizzazione di una matrice arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.12 teoremi di Gauss, Stokes e Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.13 proprieta degli esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.14 proprieta dei logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.15 cambio di variabili nell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.16 cambio di variabile nella derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.17 sviluppo di Taylor per funzioni di piu variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Geometria analitica e sistemi di coordinate 31

6.1 spazio R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2 spazio R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.3 coordinate cartesiane (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.4 coordinate sferiche (r, θ, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.5 coordinate cilindriche (r, θ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.6 coordinate paraboliche (ξ, η, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.7 elementi di volume e di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 Fisica classica 39

7.1 termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.2 momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Gruppi classici 43

8.1 definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.2 esempi discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.3 esempi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9 Uguaglianze vettoriali, tensoriali ed operatoriali 47

9.1 Vettori in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9.2 Spazi vettoriali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.3 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.4 informazioni topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10 Disuguaglianze 55

10.1 disuguaglianze numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.2 vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10.3 operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10.4 funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

INDICE 5

11 Meccanica quantistica 59

11.1 operatori bosonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11.2 operatori quonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11.3 altri operatori quonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11.4 regole di commutazione chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

11.5 sulle rappresentazioni posizione e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

11.6 diverse rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.7 matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11.8 stati coerenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.9 oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

12 Analisi funzionale 67

12.1 Spazi a dimensione finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.2 Spazi a dimensione infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

12.3 formule funzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

12.4 spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

13 Informazioni teoriche sparse 71

13.1 Analisi matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13.1.1 scambio di limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13.1.2 scambio di limite e derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13.1.3 scambio di limite ed integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13.1.4 scambio di limite e serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

13.1.5 scambio di derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

13.1.6 scambio di derivata ed integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

13.1.7 scambio di derivata e serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13.1.8 scambio di integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13.1.9 scambio di integrale e serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13.1.10 scambio di due serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 INDICE

Capitolo 1

Funzioni trigonometriche ed

iperboliche

1.1 formule trigonometriche

1.

sin(x± y) = sin(x) cos(y)± cos(x) sin(y)

2.

cos(x± y) = cos(x) cos(y)∓ sin(x) sin(y)

3.

tan(x± y) =tan(x)± tan(y)

1∓ tan(x) tan(y)

4.

cos2(x) + sin2(x) = 1

5.

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

6.

cos(2x) = cos2(x)− sin2(x) = 2 cos2(x)− 1 = 1− 2 sin2(x)

7.

sin(x) =1

2i

(eix − e−ix

), cos(x) =

1

2

(eix + e−ix

)8.

e±ix = cos(x)± i sin(x)

1

2 CAPITOLO 1. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ED IPERBOLICHE

9.

sin(x)± sin(y) = 2 sin

(x± y

2

)cos

(x∓ y

2

)10.

cos(x) + cos(y) = 2 cos

(x− y

2

)cos

(x+ y

2

)11.

cos(x)− cos(y) = −2 sin

(x+ y

2

)sin

(x− y

2

)12.

tan(x)± tan(y) =sin(x± y)

cos(x) cos(y), cot(x)± cot(y) = ± sin(x± y)

sin(x) sin(y)

13.

1 + tan2(x) =1

cos2(x)= sec2(x), 1 + cot2(x) =

1

sin2(x)= csc2(x)

14.

cot(x± y) =cot(x) cot(y)∓ 1

cot(y)± cot(x)

15.

tan(2x) =2 tan(x)

1− tan2(x), cot(2x) =

cot2(x)− 1

2 cot(x)

16.

sin(3x) = 3 sin(x)− 4 sin3(x), cos(3x) = 4 cos3(x)− 3 cos(x)

17.

tan(3x) =3 tan(x)− tan3(x)

1− 3 tan2(x), cot(3x) =

cot3(x)− 3 cot(x)

3 cot2(x)− 1

18.

sin(x2

)= ±

√1− cos(x)

2, cos

(x2

)= ±

√1 + cos(x)

2

19.

tan(x2

)= ±

√1− cos(x)

1 + cos(x), cot

(x2

)= ±

√1 + cos(x)

1− cos(x)

20.

sin(x) sin(y) =1

2(cos(x− y)− cos(x+ y))

21.

sin(x) cos(y) =1

2(sin(x+ y) + sin(x− y))

22.

cos(x) cos(y) =1

2(cos(x+ y) + cos(x− y))

1.2. SULLE FUNZIONI IPERBOLICHE 3

23.

sin(x) =2 tan(x/2)

1 + tan2(x/2), cos(x) =

1− tan2(x/2)

1 + tan2(x/2)

24.

tan−1(x) + cot−1(x) = arcsin(x) + arccos(x) = sec−1(x) + csc−1(x) =π

2

25. Valori particolari del seno e del coseno

x sin(x) cos(x)π12 0.26 0.965π6

12

√32

π4

√22

√22

π3

√32

12

5π12 0.965 0.26

1.2 sulle funzioni iperboliche

1.

sinh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

2

2.

cosh2(x)− sinh2(x) = 1

3.

sinh(x± y) = sinh(x) cosh(y)± cosh(x) sinh(y)

4.

cosh(x± y) = cosh(x) cosh(y)± sinh(x) sinh(y)

5.

tanh(x± y) =tanh(x)± tanh(y)

1± tanh(x) tanh(y)

6.

sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)

7.

cosh(2x) = 2 cosh2(x)− 1 = cosh2(x) + sinh2(x)

8.tanh(2x)

1 +√1− tanh2(2x)

= tanh(x)

4 CAPITOLO 1. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ED IPERBOLICHE

9.

sin(ix) = i sinh(x), cos(ix) = cosh(x)

10.

tan(ix) = i tanh(x), sinh(ix) = i sin(x)

11.

cosh(ix) = cos(x), tanh(ix) = i tan(x)

Capitolo 2

Serie, sviluppi e somme

2.1 sviluppi in serie di Taylor

1.

sin(x) = x− x3

3!+

x5

5!− · · · =

∞∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!

2.

cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− · · · =

∞∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!

3.

log(1 + x) = x− x2

2+

x3

3− · · · =

∞∑k=1

(−1)k−1 xk

k

4.

ex = 1 + x+x2

2!+

x3

3!+ · · · =

∞∑k=0

xk

k!

5.

(1 + x)n = 1 + nx+n(n− 1)

2!x2 + · · · =

n∑k=0

(n

k

)xk

dove

(n

k

)= n!

(n−k)!k!

6.

(x+ y)n =

(n

0

)xn +

(n

1

)xn−1y + · · ·

(n

n− 1

)x yn−1 +

(n

n

)yn

7.

cosh(x) =∞∑k=0

x2k

(2k)!

5

6 CAPITOLO 2. SERIE, SVILUPPI E SOMME

8.

sinh(x) =

∞∑k=0

x2k+1

(2k + 1)!

9.1

1 + x2=

∞∑k=0

(−1)k x2k

10.1√

1− x2=

∞∑k=0

(−1/2

k

)(−x2)k

dove

(α

k

)= α(α−1)···(α−k+1)

k! , con

(α

0

)= 1

11.

arctan(x) =∞∑k=0

(−1)kx2k+1

2k + 1

12.1

1− x=

∞∑k=0

xk, |x| < 1

13.x

(1− x)2=

∞∑k=0

k xk =∞∑k=1

k xk, |x| < 1

14.

log

(1

1− x)

)=

∞∑k=1

xk

k, |x| < 1, x reale

15.

eikz =∞∑l=0

il(2l + 1)jl(kr)Pl(cos(θ)),

in cui jl e la funzione di Bessell e z = r cos(θ)

2.2 somme di serie

1.∞∑

n=1

n

n!= e

2.∞∑

n=1

n2

n!= 2e

2.2. SOMME DI SERIE 7

3.∞∑

n=1

1

n2=

π2

6

4.∞∑

n=1

1

n4=

π4

90

5.∞∑

n=1

1

n6=

π6

945

6.∞∑

n=1

n

n!= e

7.∞∑

n=0

qn =1

1− q, |q| < 1

8.∞∑

n=1

(−1)n+1 1

n= log(2)

9.∞∑

n=1

(−1)n+1 1

2n− 1=

π

4

10.∞∑

n=1

(−1)n+1 1

n2=

π2

12

11.∞∑

n=1

1

(2n− 1)2=

π2

8

12.∞∑

n=1

(−1)n+1 1

(2n− 1)3=

π3

32

13.∞∑

n=1

1

(2n− 1)4=

π4

96

14.∞∑

n=1

(−1)n+1 1

(2n− 1)5=

5π5

1536

8 CAPITOLO 2. SERIE, SVILUPPI E SOMME

15.∞∑

n=1

1

n(4n2 − 1)= 2 log(2)− 1

16.∞∑

n=1

1

n(9n2 − 1)=

3

2(log(3)− 1)

17.∞∑

n=1

1

4n2 − 1=

1

2

18.∞∑

n=1

(−1)n+1 1

n4=

7π4

720

19.∞∑

n=1

(−1)n+1 1

n6=

31π6

30240

2.3 somme finite

1.n∑

k=1

k =n(n+ 1)

2

2.n∑

k=1

k2 =n(n+ 1)(n+ 2)

6

3.n∑

k=1

k3 =

(n(n+ 1)

2

)2

4.n∑

k=1

qk−1 =qn − 1

q − 1, q = 1

5.

1 + 2

n∑k=1

cos(k θ) =sin(2n+1

2 θ)

sin(θ2

)per θ = 2mπ, m ∈ Z

6.n∑

k=1

sin((2k + 1)θ) =sin2((k + 1)θ)

sin(θ)

per θ = mπ, m ∈ Z

Capitolo 3

Equazioni differenziali

3.1 funzioni speciali

1. funzioni confluenti ipergeometriche

zd2f

dz2+ (c− z)

df

dz− af = 0,

e la soluzione e f(a, c, z) = 1+ ac

z1! +

a(a+1)c(c+1)

z2

2! + · · · , con c = 0,−1,−2, . . . e converge

∀ z.

2. funzioni ipergeometriche

x(1− x)y′′ + [c− (a+ b+ 1)x]y′ − aby = 0

e la soluzione e

y(x) = 1 +ab

c

x

1!+

a(a+ 1)b(b+ 1)

c(c+ 1)

x2

2!+ . . .

con c = 0,−1,−2, . . .. La serie converge per |x| < 1.

3. equazione di Whittaker

d2W

dz2+

(−1

4+

k

z+

1/4− µ2

z2

)W = 0,

e la soluzione e

Wk,µ(z) =zk e−z/2

Γ(12 − k + µ

) ∫ ∞

0

t−k− 12+µ

(1 +

t

z

)k− 12+µ

e−t dt

4. Polinomi di Hermite

d2Hn(x)

dx2− 2x

dHn(x)

dx+ 2nHn(x) = 0

9

10 CAPITOLO 3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI

e la soluzione e

Hn(x) = (−1)n ex2/2 dn

dxne−x2/2

Valgono le Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x), H′n(x) = 2nHn−1(x).

5. funzioni di Bessel

d2Jpdz2

+1

z

dJpdz

+

(1− p2

z2

)Jp = 0

e la soluzione e

Jp(z) =∞∑k=0

(−1)k

k! Γ(k + p+ 1)

(z2

)p+2k

.

Se poi p e intero si definisce una funzione di Neumann tramite la

Np(z) =1

sin(pπ)(Jp(z) cos(pπ)− Jp(z)) ,

e la funzione di Hankel

H(1)p (z) = Jp(z) + iNp(z), H(2)

p (z) = Jp(z)− iNp(z)

Abbiamo ancora

Jn(x) =1

π

∫ π

0

cos(nθ − x sin(θ)) dθ, n = 0, 1, 2, . . .

ed in particolare

J0(x) =1

2π

∫ 2π

0

exp(ix sin(θ)) dθ =1

2π

∫ 2π

0

exp(ix cos(θ)) dθ

6. funzioni di Bessel modificate

d2Ipdz2

+1

z

dIpdz

−(1 +

p2

z2

)Ip = 0

e la soluzione e

Ip(z) = Jp(z)e−ip π

2 =

∞∑k=0

(z/2)p+2k

k! Γ(p+ k + 1)

Inoltre In = I−n.

7. funzione Γ

Γ(z) = limn,∞

1 2 3 · · ·nz(z + 1) · · · (z + n)

nz = 2

∫ ∞

0

e−t2 t2z−1 dt

se ℜ(z) > 0. Ancora

Γ(z) =

∫ 1

0

(log

(1

t

))z−1

dt =

∫ ∞

0

dt e−t tz−1

3.1. FUNZIONI SPECIALI 11

Valgono le

Γ(z + 1) = zΓ(z),

Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(2) = 2, Γ(n) = (n− 1)!, Γ

(1

2

)=

√π

Inoltre

Γ(ϵ) =1

ϵ− γ +O(ϵ), Γ(ϵ− 1) = −1

ϵ+ γ − 1 +O(ϵ)

Γ(2z) =1√π22z−1 Γ(z) Γ(z + 1/2)

Abbiamo poi la formula di Stirling:

Γ(z + 1) ≃√2π e−z zz+1/2, Γ(n+ 1) = n! ≃

√2π e−n nn+1/2

(1 +

1

12n

)8. funzione Beta

B(m+ 1, n+ 1) = B(n+ 1,m+ 1) =m!n!

(m+ n+ 1)!= 2

∫ π/2

0

cos2m+1(θ) sin2n+1(θ) dθ

ovvero ancora

B(m+ 1, n+ 1) =

∫ ∞

0

um du

(1 + u)n+m+2=

∫ 1

0

tm(1− t)n dt =1

2

∫ 1

0

t2m+1(1− t2)n dt

Si ha poi

B(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p+ q)

9. funzioni di Legendre

(1− x2)P ′′n (x)− 2xP ′

n(x) + n(n+ 1)Pn(x) = 0

e la soluzione e

Pn(x) =

[n/2]∑k=0

(−1)k(2n− 2k)!xn−2k

2nk!(n− k)!(n− 2k)!

che esplicitamente e:

P0 = 1, P1 = x, P2 =1

2(3x2 − 1), P3 =

1

5(5x3 − 3x)

P4 =1

8(35x4 − 30x2 + 3), Pn(x) =

1

2nn!

dn

dxn(x2 − 1)n

10. funzioni associate di Legendre

(1− x2)v′′ − 2xv′ +

[n(n+ 1)− m2

1− x2

]v = 0

con

v(x) = (1− x2)m/2 dm

dxmPn(x) = Pm

n (x)

P 11 = (1− x2)1/2 = sin(θ), P 1

2 = 3x(1− x2)1/2 = 3 cos(θ) sin(θ),

P 22 = 3(1− x2) = 3 sin2(θ)


11. funzioni di Laguerre

xy′′(x) + (1− x)y′(x) + ny(x) = 0

con

yn(x) =1

2πi

∮e−xz/(1−z)

(1− z)zn+1dz = Ln(z) =

ex

n!

dn

dxn(xn e−x)

per n ∈ N0. Ad esempio si ha

L0 = 1, L1 = −x+ 1, L2 = x2 − 4x+ 2, L3 = −x3 + 9x2 − 18x+ 6, . . .

12. polinomi di Chebichev del I tipo

(1− x2)T ′′n (x)− xT ′

n(x) + n2Tn(x) = 0,

e si ha

Tn(x) =n

2

[n/2]∑m=0

(−1)m(n−m− 1)!

m!(n− 2m)!(2x)n−2m

13. polinomi di Chebichev del II tipo

(1− x2)U ′′n (x)− 3xU ′

n(x) + n(n+ 2)Un(x) = 0,

e si ha

Un(x) =

[n/2]∑m=0

(−1)m(n−m)!

m!(n− 2m)!(2x)n−2m

3.2 alcune equazioni differenziali ordinarie: cenni

1.

y′(x) = f(x)g(y),

∫dy

g(y)=

∫f(x)dx

se g(x0) = 0.

2.

y′(x) = f(ax+ by)

col cambio di variabile u = ax+ by diventa

u′ = a+ bf(u)

3.

y′(x) = f(yx

)col cambio di variabile u = y/x si ottiene

u′ =f(u)− u

x

3.3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLA FISICA 13

4.

y′(x) = f

(ax+ by + c

a′x+ b′y + c′

)con ab′ − ba′ = 0 e c, c′ = 0 col cambio di variabile x = ξ + α, y = η + β, con (α, β)

punto d’intersezione delle rette ax+ by + c = 0 e a′x+ b′y + c′ = 0 si ottiene

dη

dξ= f

(a+ bη/ξ

a′ + b′η/ξ

)5.

y′(x) = α(x)y(x) + β(x) ⇒ y(x) = e∫α(x)dx

[c+

∫dxβ(x)e−

∫α(x)dx

]6.

y′(x) = α(x)y(x) + β(x)yn(x)

che col cambio di variabile u = y1−n diventa

u′ = (1− n)(α(x)u+ β(x))

3.3 equazioni differenziali della fisica

1. equazioni di Maxwell: forma differenziale

∇ ∧ E = −1

c

∂H

∂t, ∇ · H = 0

∇ ∧ H =1

c

∂E

∂t+

4π

cj, ∇ · E = 4πρ

2. equazioni di Maxwell: forma integrale∮E · dl = −1

c

∂

∂t

∫H · dσ,

∮H · dσ = 0∮

H · dl = 1

c

∂

∂t

∫E · dσ +

4π

cI,

∮E · dσ = 4πe

3. equazioni di Maxwell: scelta di gauge

H = ∇ ∧ A, E = −1

c

∂A

∂t− ∇φ

in cui A e φ sono i potenziali vettore e scalare.

La gauge di Lorentz e

∇ · A+1

c

∂φ

∂t= 0

La gauge di Coulomb e

∇ · A = 0


4. equazioni di Heisemberg

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi,

∂L

∂t= −∂H

∂t

per i = 1, 2, . . . , n, n essendo i gradi di liberta del sistema.

5. equazioni di Lagranged

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0,

per i = 1, 2, . . . , n, n essendo i gradi di liberta del sistema.

6. equazione di Scrodinger

~i

∂Ψ

∂t+HΨ = 0

7. equazione di Heisenberg

dA(t)

dt=

i

~[H,A(t)]

8. equazione di Klein-Gordon

(�− k2)Φ = 0

in cui � = ∇2 − 1c2

∂2

∂t2 e k = mc~ .

9. equazione di Dirac: forma 1

~i

∂Φ

∂t+HΦ = 0, H =

c~i

3∑k=1

αk∂

∂xk+ βmc2,

con α2i = β2 = 1, {αi, αj} = 2δij e {αj , β} = 0.

10. equazione di Dirac: forma 2

(γµ∂µ + k)Φ = 0, γk = −iβαk, γ4 = β

e {γµ, γν} = δµ,ν

Capitolo 4

Integrali, limiti e derivate

4.1 integrali indefiniti

1. ∫xm dx =

xm+1

m+ 1, m = −1, m ∈ R

2. ∫sin(x) dx = − cos(x),

∫cos(x) dx = sin(x)

3. ∫dx

1 + x2= arctan(x)

4. ∫dx√1− x2

= arcsin(x)

5. ∫dx

x√x2 − 1

= arcsec(x)

6. ∫dx

x= log |x|,

∫f ′(x) dx

f(x)= log |f(x)|

7. ∫ax dx =

ax

log(a)

8. ∫x dx√ax+ b

=2(ax− 2b)

3a2

√ax+ b

9. ∫dx

sin(ax)=

1

alog∣∣∣tan(ax

2

)∣∣∣15

16 CAPITOLO 4. INTEGRALI, LIMITI E DERIVATE

10. ∫dx

sin2(x)= − cot(x)

11. ∫dx

cos2(x)= tan(x)

12. ∫dx

1± sin(ax)=

1

atan

(ax2

∓ π

4

)13. ∫

dx

cos(ax)=

1

alog∣∣∣tan(ax

2+

π

4

)∣∣∣14. ∫

log(x)dx

x2= − log(x)

x− 1

x

15. ∫log(x) dx = x log(x)− x

16. ∫tan(x) dx = log | sec(x)|

17. ∫cot(x) dx = log | sin(x)|

18. ∫sec(x) dx = log | sec(x) + tan(x)|

19. ∫csc(x) dx = log | csc(x)− cot(x)|

20. ∫dx√

a2 − x2= arcsin

(xa

)21. ∫

dx√a2 + x2

= sinh−1(xa

)= log(x+

√x2 + a2)

22. ∫dx√

x2 − a2= log |x+

√x2 − a2|

23. ∫dx

a2 + b2x2=

1

abarctan

(bx

a

)24. ∫

dx

a2 − b2x2=

1

2ablog

∣∣∣∣a+ bx

a− bx

∣∣∣∣

4.2. INTEGRALI DEFINITI 17

4.2 integrali definiti

1. ∫ ∞

0

e−q2x2

dx =

√π

2q, q > 0

2. ∫ ∞

−∞e−q2x2±axdx =

√π

qe

a2

4q2 , q > 0

3. ∫ ∞

0

x2n e−p x2

dx =

√π

p

(2n− 1)!!

2(2p)n, p > 0, n > 1

in cui (2n)!! = 2 4 6 · · · (2n) e (2n+ 1)!! = 1 3 5 · · · (2n+ 1)

4. ∫ ∞

−∞e±ix2

dx = (1± i)

√π

2

5. ∫ ∞

−∞ei(xa+x2b) dx = (1 + i)

√π

2be−i a2

4b2

6. ∫ ∞

−∞eibp e−

p2

a dp =√aπ e−

ab2

4

7. ∫ a

0

cos2(x) dx =

[x

2+

1

2sin(x) + cos(x)

]a0

8. ∫ a

0

x2 cos2(x) dx =

[x3

6+

x

4cos(2x) +

1

4

(x2 − 1

2

)sin(2x)

]a0

9. ∫ a

0

x2 sin2(x) dx =

[x3

6− x

4cos(2x)− 1

4

(x2 − 1

2

)sin(2x)

]a0

10. ∫Re−x2

Hn(x)Hm(x) dx =√π 2m m!δm,n

11. ∫ ∞

0

cos(bx) e−ax2

dx =1

2

√π

ae−

b2

4a

12. ∫ π

0

(sin(x))2l+1

dx = 22l+1 (l!)2

(2l + 1)!


13. ∫ π/2

0

(sin(x))2l−1

dx = 22(l−1) [(l − 1)!]2

(2l − 1)!

per l = 1, 2, 3, . . .

14. ∫ ∞

0

e−ax x3 dx =6

a4

15. ∫ ∞

0

e−ax xn dx =n!

an+1

16. parametrizzazione di Feynman

1

AB=

∫ 1

0

dx

[Ax+B(1− x)]2

17. ancora parametrizzazione di Feynman

1

ABC= 2

∫ 1

0

dx

∫ x

0

dy1

[A+ (B −A)x+ (C −B)y]3

18. ∫ 1

0

. . .

∫ 1

0

dx1 · · · dxn

δ(1−∑n

j=1 xj)

(x1A1 + · · ·xnAn)n=

1

(n− 1)!

1

A1A2 . . . An

19. ∫ 1

0

. . .

∫ 1

0

dx1 · · · dxn xα1−11 · · ·xαn−1

n

δ(1− x)

(x1A1 + · · ·xnAn)α=

∏nj=1 Γ(αj)

Γ(α)

1

Aα11 Aα2

2 . . . Aαnn

dove x =∑n

j=1 xj ed α =∑n

j=1 αj . Ad esempio si ha

1

Aα Bβ=

Γ(α+ β)

Γ(α)Γ(β)

∫ 1

0

∫ 1

0

dx dyxα−1yβ−1

(xA+ yB)α+βδ(1− x− y)

20. ∫Reax

2+bx dx =

√π

−ae−

b2

4a , a < 0

21. ∫Reax

2

dx =

√π

−a, a < 0

22. ∫Rea(x1−x)2+b(x2−x)2 dx =

√−π

a+ bexp

{ab

a+ b(x1 − x2)

2

}23. ∫

Re−

ax2 −bx2

dx =

√π

4be−2

√ab

4.2. INTEGRALI DEFINITI 19

24. ∫ T

0

e−a

T−t−bt

dt√(T − t)t3

=

√π

bTexp

{− 1

T(√a+

√b)2}

25. ∫ π/2

0

e−q sin(x) sin(2x) dx =2

q2[(q − 1)eq + 1]

26. ∫ π

0

ep cos(x) sin(p sin(x)) sin(ax)dx =π p a

2a!

27. ∫ π

0

ep cos(x) cos(p sin(x)) cos(ax)dx =π p a

2a!

28. ∫ ∞

0

e−λxm

xk dx =1

mλ−(k+1)/m Γ

(k + 1

m

)29. ∫

dDP1

(P 2 +K)a=

πD/2

(a− 1)!

Γ(a−D/2)

Ka−D/2

30. ∫dDP P 2 e−αP 2

=D

2πD/2 α−D/2−1

31. ∫dDP

P 2

(P 2 +K)2= KD/2−1 DπD/2

2

Γ(2−D/2)

1−D/2

32. ∫dDP

P 2

(P 2 +K)a= KD/2+1−a DπD/2

2(a− 1)!

Γ(a−D/2)

a−D/2− 1

33. ∫Reipx−p2/α dx =

√πα e−αx2/4

34. ∫Reipx

dx

x2 + a2=

π

ae−a|p|, a > 0, p ∈ R

35. ∫ ∞

0

x2n+1 e−px2

dx =n!

2pn+1, p > 0

36. ∫Rxn e−px2+2qx dx =

1

2n−1p

√π

p

dn−1

dqn−1(qe q2/p), p > 0

37. ∫R(A+Bx+ Cx2 +Dx3 + Ex4) e−x2+qx dx =

=√π e q2/4

(A+

C

2+

3E

4+ q

(B

2+

3D

4

)+ q2

(C

4+

3E

4

)+ q3

D

8+ q4

E

16

)


4.3 trasformate di Fourier

Usiamo qui la definizione seguente:

f(p) =1√2π

∫Rf(x) e−ipx dx, f(x) =

1√2π

∫Rf(p) eipx dp

f(x) f(p)

1√2π δ(p)

1x −i

√π2 sign(p)

δ(x) 1√2π

|x|−1 |p|−1

|x|−a, ℜ(a) ∈]0, 1[√

2π

Γ(1−a) sin( aπ2 )

|p|1−a

eiax, a ∈ R√2πδ(p− a)

e−a|x|, a > 0 a√

2π

1p2+a2

x e−a|x|, a > 0 −2aip√

2π

1(p2+a2)2

|x| e−a|x|, a > 0√

2π

a2−p2

p2+a2

e−a x

|x|1/21√

p2+a2

√a2 +

√a2 + p2

e−a2 x2 1a√2e−p2/4a2

(a2 + x2)−1, ℜ(a) > 0√

π2a2 e

−a|p

x(a2 + x2)−1, ℜ(a) > 0 i p2a

√π2 e−a|p

sin(ax2) 1√2a

sin(

p2

4a + π4

)cos(ax2) 1√

2acos(

p2

4a − π4

)sin(ax)/x

√π2 , se |p| < a, 0, se |p| > a

xsinh(x)

√2π3 e

−pπ 1(1+epπ)2

4.4 trasformata di Laplace

Le definizioni sono le seguenti:

F (z) =

∫ ∞

0

f(t) e−zt dt, f(t) =1

2πi

∫ x+i∞

x−i∞F (z) ezt dz

in cui x e un valore reale maggiore della parte reale di ogni singolarita della F (z).

4.5. DERIVATE 21

f(t) F (z)

1 1z

tn, n > 0 n!zn+1 , ℜ(z) > 0

tν , ν > −1 Γ(ν)zν+1 , ℜ(z) > 0

e−at (z + a)−1, ℜ(z) > −ℜ(a)t e−at (z + a)−2, ℜ(z) > −ℜ(a)

tν−1 e−at, ℜ(ν) > 0 Γ(ν)(z+a)ν , ℜ(z) > −ℜ(a)

sin(az) az2+a2 , ℜ(z) > |ℑ(a)|

sin(az)z tan−1

(az

), ℜ(z) > |ℑ(a)|

cos(az) zz2+a2 , ℜ(z) > |ℑ(a)|

4.5 derivate

1.

(arctan(x))′=

1

1 + x2

2.

(arcsin(x))′=

1√1− x2

3.

(arccos(x))′=

−1√1− x2

4.

(arcsec(x))′=

1

x√x2 − 1

5.

(cos(x))′= − sin(x)

6.

(lga(x))′=

1

xlga(e)

7.

(ax)′= ax lge(a)

8.

(tan(x))′= sec2(x)

9.

(cot(x))′= − csc2(x)

10.

(sec(x))′= tan(x) sec(x)

11.

(csc(x))′= − cot(x) csc(x)


4.6 limiti

1. Teorema di Cesaro, 1: sia {an} una successione arbitraria, {bn} una successione

divergente a ±∞ allora, se esiste limn,∞an+1−an

bn+1−bn= l, allora esiste anche limn,∞

an

bne

tale limite e pari ad l.

2. Teorema di Cesaro, 2: siano {an} e {bn} due successioni infinitesime, una delle

quali monotone. Se esiste limn,∞an+1−an

bn+1−bn= l, allora esiste anche limn,∞

an

bne tale

limite e pari ad l.

3. conseguenze dei teoremi di Cesaro

limn,∞

xn

n= lim

n,∞(xn+1 − xn)

limn,∞

xn = limn,∞

x1 + x2 + · · ·+ xn

n= lim

n,∞n√x1 x2 · · · xn

limn,∞

xn

xn−1= lim

n,∞n√xn

4.

limx,∞

(1 +

1

x

)x

= e

5.

limx,∞

(1 +

a

x

)x= ea

6.

limx,c

xn − cn

x− c= ncn−1

7.

limx,∞

xn

ax= 0, se |a| > 1

8.

limn,∞

an

n!= 0

9.

limx,∞

x1x = 1

Capitolo 5

formulette varie

5.1 equazione del secondo grado

ax2 + bx+ c = 0 ⇒ x =1

2a

(−b±

√b2 − 4ac

)

5.2 equazione del terzo grado x3 + a1x2 + a2x+ a3 = 0

Introdotti Q ed R tramite le 9Q = 3a2 − a21, 54R = 9a1a2 − 27a3 − 2a31, e poi S =3

√R+

√Q3 +R2, T = 3

√R−

√Q3 +R2, si ha

x1 = S + T − a13, x2,3 = −1

2(S + T )− a1

3± i

√3

2(S − T )

5.3 decomposizione in fattori di polinomi particolari

Abbiamo

(x2n+1 − y2n+1) = (x− y)(x2n + x2n−1y + x2n−2y2 + · · ·+ y2n

)(x2n+1 + y2n+1) = (x+ y)

(x2n − x2n−1y + x2n−2y2 − · · ·+ y2n

)5.4 regola della mano destra

a ∧ b = c

Si mette l’indice lungo a, il medio lungo b ed allora il pollice da la direzione ed il verso di c

23

24 CAPITOLO 5. FORMULETTE VARIE

5.5 Minimi e massimi per funzioni di 2 variabili

Sia f(x, y) la funzione in esame. Sia P0 := (x0, y0) un punto che annulla le derivate prime

di f : fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0. Costruiamo l’hessiano:

H(x, y) :=

(fxx(x, y) fxy(x, y)

fyx(x, y) fyy(x, y)

),

e calcoliamo H(x0, y0). Allora: (i) se H(x0, y0) > 0 ed fxx(x0, y0) > 0, allora P0 e un

minimo locale; (ii) se H(x0, y0) > 0 ed fxx(x0, y0) < 0, allora P0 e un massimo locale; (iii)

se H(x0, y0) < 0, allora P0 e un punto a sella; (iv) se H(x0, y0) = 0 devo investigare in altro

modo.

5.6 poche regole sulla δ di Dirac

δ(r − r′) =1

r2 sin(θ)δ(r − r′) δ(θ − θ′) δ(φ− φ′)

δ(r − r′) =2

r2δ(r − r′) δ(cos(θ)− cos(θ′)) δ(φ− φ′)

δ(x2 − a2) =1

2|a|(δ(x− a) + δ(x+ a)) , a = 0

δ(ax) =1

|a|δ(x), a = 0

δ (g(x)) =∑i

1

|g′(xi)|δ(x− xi),

in cui g(xi) = 0. Questa e la versione generale delle 2 formule precedenti.∫ 0

−∞eitω dt := lim

ϵ,0+

∫ 0

−∞eit(ω−iϵ) dt = lim

ϵ,0+

−i

ω − iϵ= πδ(ω)− iP.V.

(1

ω

)∫ ∞

0

eitω dt := limϵ,0+

∫ ∞

0

eit(ω+iϵ) dt = limϵ,0+

i

ω + iϵ= πδ(ω) + iP.V.

(1

ω

)Allora, sommando e sottraendo,

P.V.

(1

ω

)= lim

ϵ,0+

x

x2 + ϵ2

δ(x) =1

πlimϵ,0+

ϵ

x2 + ϵ2

formula di Sochockij:

P.V.

(1

x

)= lim

ϵ,0+

1

x+ iϵ+ iπδ(x) = lim

ϵ,0+

1

x− iϵ− iπδ(x)

Ancora abbiamo:1

πlimt,∞

sin2(xt)

x2t= δ(x)

5.7. DISEQUAZIONI DEL SECONDO GRADO 25

5.7 disequazioni del secondo grado

∆ = b2 − 4ac soluzione della soluzione della soluzione della

ax2 + bx+ c = 0 ax2 + bx+ c > 0 ax2 + bx+ c < 0

a > 0, ∆ > 0 x1,2 = 12a

(−b±

√∆)

x < x1, x > x2 x1 < x < x2

∆ = 0 x1 = x2 = − b2a x = x1 mai

∆ < 0 nessuna soluzione reale ∀x ∈ R nessuna soluzione

5.8 disequazioni di grado n

Vogliamo considerare la disuguaglianza

A(x) > n√

B(x)

La soluzione dipende da n nel senso che:

se n e pari allora la disequazione sopra e equivalente al seguente sistema di disequazioni:B(x) ≥ 0

A(x) > 0

(A(x))n > B(x).

Se invece n e dispari allora la disequazione sopra e equivalente alla singola (A(x))n > B(x).

Consideriamo invece la

A(x) < n√

B(x)

Anche in questo caso c’e differenza a seconda che n sia pari o dispari. Per n pari la

disequazione e equivalente al sistema{A(x) < 0

B(x) ≥ 0.e

{A(x) ≥ 0

(A(x))n < B(x).

Se invece n e dispari allora la nostra disequazione e equivalente alla (A(x))n < B(x).

5.9 proprieta del determinante e della traccia

Se A e B sono matrici quadrate n× n risulta:

det(AB) = det(A) det(B)

A e invertibile se e solo se det(A) = 0 e risulta

det(A−1

)= (det(A))

−1

Inoltre

det(A) = det(AT ),


e, detti λ1, . . . , λn i suoi autovalori,

det(A) = λ1λ2 · · ·λn.

Ancora:

det(eA)= etr(A)

Notiamo poi che in generale risulta

det(A+B) = det(A) + det(B)

Abbiamo poi:

tr(A+B) = tr(A) + tr(B), tr(AT ) = tr(A), tr(αA) = αtr(A), tr(AB) = tr(BA)

5.10 inverso di una matrice

Data una matrice A la matrice A−1, se esiste, e ottenuta come

A−1 =1

detA

A11 −A21 · · · (−1)n+1An1

−A12 A22 · · · (−1)n+2An2

· · · · · · · · · · · ·(−1)n+1An1 (−1)n+2An2 · · · Ann

in cui Aij e il determinante della matrice (n − 1) × (n − 1) che si ottiene eliminando da A

la i−esima riga e la j−esima colonna.

Ad esempio si ha (a b

c d

)−1

=1

ad− bc

(d −b

−c a

)

5.11 diagonalizzazione di una matrice arbitraria

Sia M una matrice arbitraria n × n. MM† e hermitiana ed i suoi autovalori λj sono non

negativi. Esiste una matrice unitaria S, S−1 = S†, che diagonalizza MM†:

S†MM†S = M2 :=

m2

1 0 · · · 0

0 m22 · · · 0

· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · m2

n

Sia dunque M la sua radice quadrata, M = diag(m1,m2, . . . ,mn). Nell’ipotesi che M−1

esista (mj > 0 per ogni j) vale la

M = SMT †, in cui T † := M−1S†M

come si dimostra immediatamente. Inoltre T e unitaria: TT † = T †T = 11. Se se deduce che

M = S†MT .

5.12. TEOREMI DI GAUSS, STOKES E GREEN 27

5.12 teoremi di Gauss, Stokes e Green

teorema di Gauss ∫Σ

V · dσ =

∫V

(∇ · V ) dτ

teorema di Stokes ∫Σ

(∇ ∧ V ) · dσ =

∮γ

V · ds

formule di Green∮γ

f(x, y) dx = −∫ ∫

Σ

∂f

∂ydx dy,

∮γ

f(x, y) dy =

∫ ∫Σ

∂f

∂xdx dy

5.13 proprieta degli esponenziali

Siano p, q ∈ R e a, b ∈ R+. Abbiamo:

apaq = ap+q, ap/aq = ap−q, (ap)q = apq

a0 = 1, se a = 0, a−p =1

ap, (ab)p = apbp

5.14 proprieta dei logaritmi

Se ax = b allora x = loga(b) e valgono le

loga(b c) = loga(b) + loga(c), loga

(b

c

)= loga(b)− loga(c), loga(b

n) = n loga(b).

Attenzione: loga(b+ c) = loga(b) + loga(c), ovviamente.

Abbiamo ancora log10(b) = loge(b) log10(e) e, piu in generale,

loga(x) =logb(x)

logb(a)

5.15 cambio di variabili nell’integrale

Siano A e B due aperti di Rn e g un diffeomorfismo tra A e B. Sia E un insieme misurabile

contenuto in B ed f(y) una funzione integrabile in E. La funzione composta F (x) := f(g(x))

e integrabile in g−1(E) e si ha∫E

f(y) dy =

∫g−1(E)

f(g(x)) |det Jg(x)| dx,


in cui

Jg(x) =∂(x′

1, x′2, . . . , x

′n)

∂(x1, x2, . . . , xn),

in cui a numeratore ci sono le vecchie variabili ed a denumeratore le nuove variabile.

Esempio: consideriamo il cambio di variabile x = r cos(θ), y = r sin(θ), per cui

J1,1 =∂x

∂r= cos(θ), J1,2 =

∂x

∂θ= −r sin(θ),

J2,1 =∂y

∂r= sin(θ), J2,2 =

∂y

∂θ= r cos(θ),

Jg(r, θ) =

(cos(θ) −r sin(θ)

sin(θ) r cos(θ)

)⇒ det Jg = r

5.16 cambio di variabile nella derivazione

Consideriamo il cambio di variabile (z1, z2) → (x1, x2) ed una funzione f(z1, z2). Allora

f(z1, z2) = f(z1(x1, x2), z2(x1, x2)) = f(x1, x2),

per cui∂f

∂xj=∑k

∂f

∂zk

∂zk∂xj

Esempio: sia f(z1, z2) = (z1−z2)k, e siano x1 = z1−z2 e x2 = z1+z2 (da cui z1 = x1+x2

2

e z2 = x2−x1

2 ). Abbiamo quindi

∂f

∂(z1 − z2)= k(z1 − z2)

k−1

ed anche∂f

∂(z1 − z2)=

∂f

∂x1=

∂f

∂z1

∂z1∂x1

+∂f

∂z2

∂z2∂x1

=

= k(z1 − z2)k−1 1

2+ k(z1 − z2)

k−1(−1)

(−1

2

)= k(z1 − z2)

k−1

5.17 sviluppo di Taylor per funzioni di piu variabili

Detti P0 = (x0, y0), a = x− x0 e b = y − y0 si ha

f(x, y) = f(x0, y0) +

[a

(∂f

∂x

)|P0 + b

(∂f

∂y

)|P0

]+

+1

2!

[a∂

∂x+ b

∂

∂y

]2f(x, y)|P0 + . . . =

= f(P0) + afx(P0) + bfy(P0) +1

2!

(a2fxx(P0) + 2abfxy(P0) + b2fyy(P0)

)+ . . .

5.17. SVILUPPO DI TAYLOR PER FUNZIONI DI PIU VARIABILI 29

A piu variabili si ottiene, posto P = (x1, . . . , xn) e P0 = (x01, . . . , x

0n),

f(P ) = f(P0) +n∑

j=1

∂f

∂xj|P0(xj − x0

j ) +1

2!

n∑j=1

∂f

∂xj|P0(xj − x0

j )

2

+ · · ·

Capitolo 6

Geometria analitica e sistemi di

coordinate

6.1 spazio R2

1. condizione di allineamento di 3 punti nel piano

Siano Pj = (xj , yj), j = 0, 1, 2. Questi sono allineati se

det

∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

x0 x1 x2

y0 y1 y2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

2. retta passante per 2 punti

Siano P0 = (x0, y0) e P1 = (x1, y1). L’equazione parametrica della retta e

P = (x, y) = P0 + λ(P1 − P0) ⇒

(x

y

)=

{x0 + λ(x1 − x0)

y0 + λ(y1 − y0)

L’equazione cartesiana della retta e invece

det

∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

x x0 x1

y y0 y1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

3. retta passante per un punto e con direzione data

Siano P0 = (x0, y0) e n = (nx, ny). L’equazione parametrica della retta e

P = (x, y) = P0 + λn ⇒

(x

y

)=

{x0 + λnx

y0 + λny

31

32 CAPITOLO 6. GEOMETRIA ANALITICA E SISTEMI DI COORDINATE

L’equazione cartesiana del piano e invece

det

∣∣∣∣∣∣∣1 1 0

x x0 nx

y y0 ny

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

4. fasci di rette

Il fascio di rette passante per il punto P0 = (x0, y0) ha equazione parametrica P =

(x, y) = P0 + λn, al variare di n, ed equazione cartesiana

ny(x− x0)− nx(y − y0) = 0,

al variare di n = (nx, ny).

La famiglia di rette parallele ad un vettore n0 fissato ha la forma parametrica (x, y) =

P + λn0, con (x, y) variabile, ovvero la forma cartesiana

(n0)yx− (n0)xy + c = 0

6.2 spazio R3

1. condizione di complanarita di 4 punti

Dati i punti Pj = (xj , yj , zj), j = 0, 1, 2, 3, questi appartengono ad un unico piano

qualora risulti

det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1

x0 x1 x2 x3

y0 y1 y2 y3

z0 z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

2. condizione di allineamento di 3 punti

Dati i punti Pj = (xj , yj , zj), j = 0, 1, 2, questi appartengono ad un’unica retta se il

rango della matrice 1 1 1

x0 x1 x2

y0 y1 y2

z0 z1 z2

e pari a 2.

3. piano passante per 3 punti non allineati

Siano Pj = (xj , yj , zj), j = 0, 1, 2 tre punti non allineati. L’equazione parametrica del

piano e

P = (x, y, z) = P0 + λ1(P1 − P0) + λ2(P2 − P0) ⇒

6.2. SPAZIO R3 33

x

y

z

=

x0 + λ1(x1 − x0) + λ2(x2 − x0)

y0 + λ1(y1 − y0) + λ2(y2 − y0)

z0 + λ1(z1 − z0) + λ2(z2 − z0)


det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1

x x0 x1 x2

y y0 y1 y2

z z0 z1 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

4. piano passante per un punto e contenente due vettori l.i.

Siano P0 = (x0, y0, z0), n = (n1, n2, n3) e m = (m1,m2,m3). L’equazione parametrica

del piano e

P = (x, y, z) = P0 + λ1n+ λ2m ⇒

x

y

z

=

x0 + λ1n1 + λ2m1

y0 + λ1n2 + λ2m2

z0 + λ1n3 + λ2m3


det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0 0

x x0 n1 m1

y y0 n2 m2

z z0 n3 m3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

5. piani passanti per un punto fissato

Sia P0 = (x0, y0, z0) un punto fissato. I piani che passano per P0 hanno la forma

P = P0 + λ1n+ λ2m, con n e m arbitrari ma l.i.

In forma cartesiana l’equazione di tali piani e

n2(x− x0) + n1(y − y0) + n3(z − z0) = 0,

con n = 0.

6. piani paralleli ad un vettore fissato

Sia n0 = (nx, ny, nz) un vettore fissato. I piani paralleli a tale vettore hanno la forma

P + λ1n0 + λ2m, con m arbitrario ma l.i. rispetto a n0 e P arbitrario.

In forma cartesiana l’equazione di tali piani e

ax+ by + cz + d = 0,

con (a, b, c) = 0 e tale che (a, b, c) · n0 = 0.


7. retta passante per 2 punti

Siano P0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1). L’equazione parametrica della retta e

P = (x, y, z) = P0 + λ(P1 − P0) ⇒

x

y

z

=

x0 + λ(x1 − x0)

y0 + λ(y1 − y0)

z0 + λ(z1 − z0)

L’equazione cartesiana della retta e invece ottenuta richiedendo che si abbia

rango

1 1 1

x x0 x1

y y0 y1

z z0 z1

= 2

8. retta passante per un punto e con direzione data

Siano P0 = (x0, y0, z0) e n = (nx, ny, nz). L’equazione parametrica della retta e

P = (x, y, z) = P0 + λn ⇒

x

y

z

=

x0 + λnx

y0 + λny

z0 + λnz

L’equazione cartesiana del piano e invece ottenuta dalla richiesta che sia soddisfatta

la

rango

1 1 0

x x0 nx

y y0 ny

z z0 nz

= 2

6.3 coordinate cartesiane (x, y, z)

1.

∇f = ı∂f

∂x+ ȷ

∂f

∂y+ k

∂f

∂z= grad(f).

Qui grad sta per gradiente

2.

∇ · A =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z= div(A).

Qui div sta per divergenza

3.

∇ · (∇f) = ∇2(f) =∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2= △(f),

dove △ e il laplaciano

6.4. COORDINATE SFERICHE (R, θ, φ) 35

4.

∇ ∧ A =

∣∣∣∣∣∣∣ı ȷ k

∂x ∂y ∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣ = rot(A)

Qui rot sta per rotore

6.4 coordinate sferiche (r, θ, φ)

r =

√x2 + y2 + z2

θ = arccos(zr

)φ = arctan

(yx

)

x = r sin(θ) cos(φ)

y = r sin(θ) sin(φ)

z = r cos(θ)

1. gradiente

∇f = r∂f

∂r+ θ

1

r

∂f

∂θ+ φ

1

r sin(θ)

∂f

∂φ= grad(f).

2. divergenza

∇ · A =1

r2∂(r2 Ar)

∂r+

1

r sin(θ)

∂(sin(θ)Aθ)

∂θ+

1

r sin(θ)

∂Aφ

∂φ= div(A).

3. laplaciano

∇ · (∇f) =1

r2∂

∂r

(r2

∂f

∂r

)+

1

r2 sin(θ)

∂

∂θ

(sin(θ)

∂f

∂θ

)+

1

r2 sin2(θ)

∂2f

∂φ2= △f

4. rotore

∇ ∧ A =1

r2 sin(θ)

∣∣∣∣∣∣∣r rθ r sin(θ)φ

∂r ∂θ ∂φ

Ar r Aθ r sin(θ)Aφ

∣∣∣∣∣∣∣6.5 coordinate cilindriche (r, θ, z)

r =

√x2 + y2

θ = arccos(xr

)= arctan

(yx

)z = z

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

z = z

1. gradiente

∇f = r∂f

∂r+ θ

1

r

∂f

∂θ+ z

∂f

∂z= grad(f).


2. divergenza

∇ · A =1

r

∂(r Ar)

∂r+

1

r

∂Aθ

∂θ+

∂Az

∂z= div(A).

3. laplaciano

∇ · (∇f) =1

r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+

1

r2∂2f

∂θ2+

∂2f

∂z2= △f

4. rotore

∇ ∧ A =1

r

∣∣∣∣∣∣∣r rθ z

∂r ∂θ ∂z

Ar r Aθ Az

∣∣∣∣∣∣∣6.6 coordinate paraboliche (ξ, η, φ)

r = 1

2 (ξ + η)

ξ = r + z, η = r − z

φ = arctan(yx

)

x = (ξ η)1/2 cos(φ)

y = (ξ η)1/2 sin(φ)

z = 12 (ξ − η)

laplaciano

∇ · (∇f) =4

ξ + η

[∂

∂ξ

(ξ∂f

∂ξ

)+

∂

∂η

(η∂f

∂η

)+

1

ξ η

∂2f

∂φ2

]

6.7 elementi di volume e di superficie

Consideriamo la trasformazionex1 = x1(q1, q2, q3)

x2 = x3(q1, q2, q3)

x3 = x3(q1, q2, q3)

q1 = q1(x1, x2, x3)

q2 = q2(x1, x2, x3)

q3 = q3(x1, x2, x3)

Per iniziare vogliamo trasformare l’elemento di lunghezza

ds2 = dx21 + dx2

2 + dx23

nelle coordinate qj . Abbiamo dxj =∂xj

∂q1dq1 +

∂xj

∂q2dq2 +

∂xj

∂q3dq3, per j = 1, 2, 3. Definendo

h2i =

(∂x1

∂qi

)2

+

(∂x2

∂qi

)2

+

(∂x3

∂qi

)2

=

3∑j=1

(∂xj

∂qi

)2

, i = 1, 2, 3

6.7. ELEMENTI DI VOLUME E DI SUPERFICIE 37

allora

ds2 = h21 dq

21 + h2

2 dq22 + h2

3 dq23

perche tutti i contributi del tipo dqi dqj si annullano se le coordinate che consideriamo sono

ortogonali.

elemento di lunghezza in coordinate cilindriche

x1 = q1 cos(q2), x2 = q2 cos(q1), x3 = q3 ⇒

h21 = 1, h2

2 = q21 , h23 = 1 ⇒ ds2 = dq21 + q21 dq

22 + dq23

elemento di lunghezza in coordinate sferiche

x1 = q1 cos(q2) sin(q3), x2 = q1 sin(q2) sin(q3), x3 = q1 cos(q3) ⇒

h21 = 1, h2

2 = q21 sin2(q3), h2

3 = q21 ⇒ ds2 = dq21 + q21 sin2(q3) dq

22 + q21 dq

23

trasformazione del gradiente

Cosı come in coordinate cartesiane si pone dx = x1ı + x2j + x3k, con ı, j ed k i versori

delle coordinate cartesiane, in coordinate sferiche si pone

dq = h1dq1u+ h2dq2v + h3dq3w

in cui u, v e w sono i versori delle coordinate curvilinee. Infatti, in accordo con quanto

ottenuto prima, si ha

ds2 = dq · dq = dq21 + q21 sin2(q3) dq

22 + q21 dq

23

Se incrementiamo q1 di ∆q1 allora ci stiamo muovendo nella direzione di u di ∆s = h1∆q1

che, al limite, ci dice che ∂q1∂s1

= 1h1. Analogamente, per le direzioni v ed w si ottengono

∂q2∂s2

= 1h2

e ∂q3∂s3

= 1h3. Da cio segue la

∇f =1

h1

∂f

∂q1u+

1

h2

∂f

∂q2v +

1

h3

∂f

∂q3w

gradiente in coordinate cilindriche q1 = r, q2 = θ, q3 = z

∇f =∂f

∂ru+

1

r

∂f

∂θv +

∂f

∂zw

gradiente in coordinate sferiche q1 = r, q2 = θ, q3 = φ

∇f =∂f

∂ru+

1

r sin(φ)

∂f

∂θv +

1

r

∂f

∂φw


trasformazione della divergenza

divF = ∇ · F =1

h1h2h3

[∂

∂q1(h2h3F1) +

∂

∂q2(h1h3F2) +

∂

∂q3(h1h2F3)

]divergenza in coordinate cilindriche q1 = r, q2 = θ, q3 = z

∇ · F =1

r

∂(rF1)

∂r+

1

r

∂F2

∂θ+

∂F3

∂z


∇ · F =1

r2∂(r2 F1)

∂r+

1

r sin(φ)

∂F2

∂θ+

1

r sin(φ)

∂(sin(φF3)

∂φ

trasformazione del laplaciano

div2f =1

h1h2h3

[∂

∂q1

(h2h3

h1

∂f

∂q1

)+

∂

∂q2

(h3h1

h2

∂f

∂q2

)+

∂

∂q3

(h1h2

h3

∂f

∂q3

)]laplaciano in coordinate cilindriche q1 = r, q2 = θ, q3 = z

div2f =1

r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+

1

r2∂2f

∂θ2+

∂2f

∂z2


div2f =1

r2∂

∂r

(r2

∂f

∂r

)+

1

r2 sin2(φ)

∂2f

∂θ2+

1

r2 sin2(φ)

∂

∂φ

(sin(φ)

∂f

∂φ

)

trasformazione del rotore

∇ ∧ f =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣∣h1u h2v h3w

∂1 ∂2 ∂3

h1F1 h2F2 h3F3

∣∣∣∣∣∣∣

Capitolo 7

Fisica classica

7.1 termodinamica

1. potenziali termodinamici L’energia interna ed il suo differenziale sono

U, dU = T dS − p dV

L’entalpia ed il suo differenziale sono

H = U + pV, dH = T dS + V dp

L’energia libera ed il suo differenziale sono

F = U − TS, dF = −S dT − p dV

L’entalpia libera di Gibbs ed il suo differenziale sono

G = H − TS, dG = −S dT + V dp

7.2 momenti di inerzia

1. asta sottile di lunghezza l e massa m

se r e una retta ortogonale all’asta e passante per il suo baricentro abbiamo Ir = 112 ml2

se r e una retta ortogonale all’asta e passante per una sua estremita abbiamo Ir =13 ml2

2. piastra rettangolare di lati a e b e di massa m

se r e una retta ortogonale alla piastra e passante per il suo baricentro abbiamo

Ir = 112 m(a2 + b2)

39

40 CAPITOLO 7. FISICA CLASSICA

se r e una retta parallela al lato b della piastra e passante per il suo baricentro abbiamo

Ir = 112 ma2

3. piastra circolare di raggio a e massa m


Ir = 12 ma2

se r e una retta coincidente con un diametro abbiamo Ir = 14 ma2

4. piastra circolare forata di raggio esterno a, raggio interno b e massa m


Ir = 12 m (a2 + b2)

se r e una retta coincidente con un diametro abbiamo Ir = 14 m (a2 + b2)

5. anello circolare di raggio a e massa m


Ir = ma2


6. parallelepipedo rettangolo di lati a, b e c e di massa m

se r e una retta parallela al lato c del sistema e passante per il centro della faccia ab

abbiamo Ir = 112 m (a2 + b2)

se r e una retta parallela al lato c del sistema e passante per il centro della faccia bc

abbiamo Ir = 112 m (4a2 + b2)

7. cilindro di raggio r ed altezza h

Se r e l’asse del cilindro abbiamo Ir = 12 ma2

Se r e una retta passante per il baricentro ed ortogonale all’asse del cilindro abbiamo

Ir = 112 m(h2 + 3a2)

Se r coincide con un diametro di una base del cilindro abbiamo Ir = 112 m(4h2 + 3a2)

8. cilindro cavo di raggio esterno a, raggio interno b ed altezza h

Se r e l’asse del cilindro abbiamo Ir = 12 m(a2 + b2)

Se r e una retta passante per il baricentro ed ortogonale all’asse del cilindro abbiamo

Ir = 112 m(h2 + 3a2 + 3b2)

Se r coincide con un diametro di una base del cilindro abbiamo Ir = 112 m(4h2+3a2+

3b2)

7.2. MOMENTI DI INERZIA 41

9. sfera di raggio a e massa m


se r e una retta tangente alla superficie abbiamo Ir = 75 ma2

10. sfera cava di raggio esterno a, raggio interno b e di massa m

se r e una retta coincidente con un diametro abbiamo Ir = 25 m

a5−b5

a3−b3

se r e una retta tangente alla superficie abbiamo Ir = 75 m

a5−b5

a3−b3 +ma2

11. sfera vuota di raggio a e massa m

se r e una retta coincidente con un diametro abbiamo Ir = ma2

se r e una retta tangente alla superficie abbiamo Ir = 2ma2

12. ellissoide di semiassi a, b e c

se r coincide con l’asse c abbiamo Ir = 15m(a2 + b2)

13. cono circolare di raggio a, altezza h e massa m

se r e l’asse del cono abbiamo Ir = 310 ma2

se r e un asse passante per il vertice ed ortogonale all’asse del cono abbiamo Ir =320 m (a2 + 4h2)

42 CAPITOLO 7. FISICA CLASSICA

Capitolo 8

Gruppi classici

8.1 definizione

Un insieme G = {x} e un gruppo rispetto all’operazione • se sono soddisfatte le seguenti

proprieta:

1. ∀x, y ∈ G risulta x • y ∈ G;

2. ∀x, y, z ∈ G risulta (x • y) • z = x • (y • z);

3. ∃e ∈ G tale che, ∀x ∈ G risulta x • e = e • x = x;

4. x ∈ G esiste un elemento x−1 ∈ G per cui x • x−1 = x−1 • x = e.

Una rappresentazione di G e una mappa da G in un gruppo di matrici quadrate che

preserva le operazioni. In particolare, detta π una tale rappresentazione, risulta:

π(e) = 11, π(x • y) = π(x)π(y), π(x)−1 = π(x−1

)8.2 esempi discreti

1. GL(n,K) e il gruppo delle matrici invertibili di ordine n a coefficienti in C. I suoi

elementi sono della forma

Z ∈ GL(n,K) ⇐⇒ Z = eX

2. U(n) e il gruppo delle matrici di ordine n tali che

U∗U = UU∗ = 11.

E detto gruppo unitario. Ovviamente U(n) ⊂ GL(n,C). Inoltre se X ∈ U(n) allora

|det(x)| = 1.

43

44 CAPITOLO 8. GRUPPI CLASSICI

Le matrici di U(2) sono necessariamente matrici della forma(a b

−ρb a

), con |a|2 + |b|2 = 1, |ρ| = 1

3. SU(n) e il gruppo delle matrici di ordine n tali che

U∗U = UU∗ = 11, det(U) = 1.

I suoi elementi sono della forma

Z ∈ SU(n) ⇐⇒ Z = eX , con X∗ = −X, tr(X) = 0.

Ovviamente SU(n) ⊂ GL(n,C). Le matrici di SU(2) sono necessariamente matrici

della forma (a b

−b a

), con |a|2 + |b|2 = 1.

4. SO(n) e il gruppo delle matrici reali di ordine n tali che

OtO = OOt = 11, det(O) = 1.

e detto gruppo ortogonale speciale. I suoi elementi sono della forma

Z ∈ SO(n) ⇐⇒ Z = eX , con Xt = −X.

Ovviamente SU(n) ⊂ GL(n,R).

5. O(n) e il gruppo ortogonale delle matrici reali di ordine n tali che

OtO = OOt = 11.

Se A ∈ O(n) allora det(A) = ±1.

8.3 esempi continui

1. gruppo delle traslazioni

Detti p = −i~ ddx e Ta = e−i a

~p = e−a ddx l’insieme G = {Ta, a ∈ R} e il gruppo delle

traslazioni. Vale la

Taf(x) = f(x− a)

8.3. ESEMPI CONTINUI 45

2. gruppo delle rotazioni

Una rotazione di δθ intorno all’asse x, Rδθ,x, produce in una funzione f(x, y, z) la

seguente modifica:

Rδθ,x f(x, y, z) = f(x, y + zδθ, z − yδθ) ≃ f(x, y, z) +

(zδθ

∂

∂x− yδθ

∂

∂z

)f(x, y, z) =

=

(11− iδθ

~Lx

)f(x, y, z),

avendo introdotta la componente x del momento angolare L, Lx = ~i

(z ∂

∂y − y ∂∂z

).

Ne segue che

Rδθ,x = e−iδθ~ Lx

In una direzione n arbitraria gli operatori di traslazione e di rotazione diventano:

Ta,n = exp

{− i

~a(n · p)

}, Rα,n = exp

{− i

~α(n · L)

}

46 CAPITOLO 8. GRUPPI CLASSICI

Capitolo 9

Uguaglianze vettoriali, tensoriali

ed operatoriali

9.1 Vettori in Rn

1.

∇ · r = 3

2.

A · (B ∧ C) = C · (A ∧ B) = B · (C ∧ A)

3.

∇(A · B) = (B · ∇)A+ (A · ∇)B + B ∧ (∇ ∧ A) + A ∧ (∇ ∧ B)

4.

A ∧ (∇ ∧ B) = ∇(A · B)− (A · ∇)B

5.

A ∧ (B ∧ C) = B(A · C)− C(A · B)

6.

(A ∧ B) ∧ C = B(A · C)− A(B · C)

7.

(A ∧ B) · (C ∧ D)) = (A · C)(B · D)− (A · D) (B · C)

8.

(A ∧ B) ∧ (C ∧ D)) = C[A · (B ∧ D)

]− D

[A · (B ∧ C)

]=

= B[A · (C ∧ D)

]− A

[B · (C ∧ D)

]47

48 CAPITOLO 9. UGUAGLIANZE VETTORIALI, TENSORIALI ED OPERATORIALI

9.

∇ ∧ (φA) = φ(∇ ∧ A) + (∇φ) ∧ A

10.

∇ · (A ∧ B) = B · (∇ ∧ A)− A · (∇ ∧ B)

11. se r =√

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 si ha

∇r =1

r

(ı(x− x0) + ȷ(y − y0) + k(z − z0)

)12.

A · (B ∧ C) = (A ∧ B) · C =

∣∣∣∣∣∣∣Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣∣13.

∇f(r) =r

r

∂f

∂r

14.

(∇f(r)) · dr =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz = df

15.

∇2

(1

r

)= −4πδ(r)

16.

∇(

1

∥r1 − r2∥

)= −4πδ(r1 − r2)

17.

ϵilm ϵjmk = −(δijδlk − δikδjl)

18.

ϵilm ϵjlm = 2δij , ϵilm ϵilm = 6, ϵilm = −ϵlim

19.

(A ∧ B)i = −Ak ϵkim Bm

9.2. SPAZI VETTORIALI LINEARI 49

9.2 Spazi vettoriali lineari

1. Identita di polarizzazione in un inner product space (IPS) su R:

< f, g >=1

4∥f + g∥2 − 1

4∥f − g∥2

2. Identita di polarizzazione in un inner product space su C:

< f, g >=1

4∥f + g∥2 − 1

4∥f − g∥2 + i

4∥f + ig∥2 − i

4∥f − ig∥2

3. In generale, in un IPS vale la

∥f + g∥2 + ∥f − g∥2 = 2∥f∥2 + 2∥g∥2

4.

4 < Af, g >=< A(f + g), f + g > − < A(f − g), f − g > +

+i < A(f + ig), f + ig > −i < A(f − ig), f − ig >

5. (n∑

k=1

xk yk

)2

=

(n∑

k=1

x2k

)(n∑

k=1

y2k

)− 1

2

n∑k,l=1

(xk yl − yk xl)2

6. Identita di Apollonio

∥f − g∥2 + ∥f − h∥2 =1

2∥g − h∥2 + 2

∥∥∥∥f − g + h

2

∥∥∥∥27. Forma alternativa della norma in H. Detto H1 = {g ∈ H : ∥g∥ = 1},

∥f∥ = supg∈H1

| < f, g > |

9.3 Operatori

1.

eA+B = eA eB e−12 [A,B], se [A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0

2. Se [A,B] = −A allora

ex(A+B) = exB e(1−e−x)A = e(ex−1)AexB

3.

eA eB = eB eA e[A,B], se [A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0


4.

eA Be−A = B + [A,B] +1

2![A, [A,B]] + . . .

5. se [A,B] = γB, γ ∈ C allora

eA Be−A = eγ B

6. se [A,B] = γB2, γ ∈ C allora

eA Be−A = B(11− γB)−1,

per ∥γB∥ < 1

7. se [A,B] = γBn, γ ∈ C, n ≥ 2, allora esiste una funzione analitica gn(x), definita in

|x| < 1n−1 , tale che

eA Be−A = Bgn(γBn−1

),

per ∥γBn−1∥ < 1. Tale funzione si puo ottenere utilizzando l’item 9 che segue.

8. se [A,B] = h(A)B + g(A), con h(A) e g(A) regolari allora

eA Be−A = eh(A) B + g(A)eh(A) − 1

h(A)

9. se [A,B] = B h(A) + g(A), con h(A) e g(A) regolari allora

eA Be−A = B eh(A) + g(A)eh(A) − 1

h(A)

10. se [A,B] = h(B), con h(B) per cui esiste H(x) =∫

dxh(x) ed e invertibile, allora

eA Be−A = H−1(t+ h(B))

11. Sia A = αpxpy + βxy, con [x, px] = [y, py] = i. Allora

eAxe−A = x cosh√

αβ − ipy

√α

βsinh

√αβ

eAye−A = y cosh√αβ − ipx

√α

βsinh

√αβ

eApxe−A = px cosh

√αβ + iy

√β

αsinh

√αβ

eApye−A = py cosh

√αβ + ix

√β

αsinh

√αβ

9.3. OPERATORI 51

12. siano [ak, a†j ] = δj,k, j, k = 1, 2, e sia X = α1a

†1a2 + α2a1a

†2. Allora

eXa1e−X = a1 cosh

√α1α2 − a2

√α1

α2sinh

√α1α2

eXa2e−X = a2 cosh

√α1α2 − a1

√α2

α1sinh

√α1α2

13. If [c, c†] = 11 and

U = exp(εc†c+ κcc+ λc†c†), (9.1)

then

UcU−1 =(cos θ − ε

θsin θ

)c− 2λ

θsin θc†, (9.2)

Uc†U−1 =(cos θ +

ε

θsin θ

)c† +

2κ

θsin θc, (9.3)

where θ =√4κλ− ε2.

14.

eA eB = exp{A+B +1

2[A,B] +

1

12([A, [A,B]] + [B, [B,A]])− 1

24[A, [B, [A,B]]]+

− 1

720[A, [A, [A, [A,B]]]]− 1

120[A, [A, [B, [A,B]]]] +

1

360[B, [A, [A, [A,B]]]]+

− 1

360[A, [B, [B, [A,B]]]] +

1

120[B, [A, [B, [A,B]]]] +

1

720[B, [B, [B, [A,B]]]] + · · · }

15. se [A,B] = C, con [A,C] = 0 e [B,C] = k11 in cui k ∈ C,

eA+B = ek/3eAeBe−12C

16. se [A,B] = C, con [A,C] = 2γA e [B,C] = −2γB in cui γ ∈ C allora, dette f(x) =

h(x) = 1√γ tan(x

√γ/2) e g(x) = 1√

γ sin(x√γ),

ex(A+B) = ef(x)Beg(x)Aeh(x)B

17. [eA, B

]=

([A,B] +

1

2![A, [A,B]] + · · ·

)eA

18.1

A− λB=

1

A+ λ

1

AB

1

A− λB, se λ < 1

19.1

A+B=

1

A

(11−B

1

A+B

)


20.

[AB,CD] = A[B,C]D +AC[B,D] + [A,C]DB + C[A,D]B

21. Identita di Jacobi

[A, [B,C]] + [B, [C,A]] + [C, [A,B]] = 0

22.

AnBn −AB = (An −A)(Bn −B) +An(Bn −B) + (An −A)B

23.

eiaσj = cos(a) + i sin(a)σj , j = 1, 2, 3, σj matrici di Pauli

24.

exp{ia(n · σ)} = cos(an) + in

n· σ sin(an),

in cui n = ∥n∥

25.

det(A) = exp(tr(log(A))), det(exp(A)) = exp(tr(A))

26.d

dxeA(x) =

dA(x)

dxeA(x) ⇐⇒

[A,

dA

dx

]= 0

27. ogni operatore unitario U puo scriversi come

U =11− iH

11 + iH,

in cui H = H†

28. Se A ∈ GL(n,C) = {matrici complesse n × n con determinante non nullo} puo scri-

versi A = UB, con U† = U−1 e B = B† con autovalori positivi

29. ogni A ∈ B(H) puo scriversi come A = A1+iA2, con A†i = Ai, i = 1, 2. Esplicitamente

si ha A1 = 12 (A+A†) ed A2 = 1

2i (A−A†)

30. Se A e una matrice n × n allora puo essere scritta come A = U1DU2, con U1 ed U2

operatori unitari e D diagonale con elementi non negativi

31. Se A = A† ed ∥A∥ ≤ 1 allora, detti A± = A± i√11−A2, risulta

A−1+ = A†

+, A−1− = A†

−, A =1

2(A+ +A−)

32.

(λn 11−An) = (λ 11−A)(λn−1 11 + λn−2 11 + · · ·+An−1

)

9.3. OPERATORI 53

33.

f(A) =1

2πi

∮|z|>∥A∥

f(z) (z −A)−1 dz,

se f(z) e analitica ed A ∈ B(H)

34.

eA+B = limn,∞

(eA/n eB/n

)n,

se A e B sono matrici k × k

35. se A = A†, B = B† ed A+B e a.a. su D(A) ∩D(B), allora

s− limn,∞

(eitA/n eitB/n

)n= eit(A+B)

36. se A = A†, B = B†, A+ B e a.a. su D(A) ∩D(B) ed A e B sono limitati dal basso,

allora

s− limn,∞

(e−tA/n e−tB/n

)n= e−t(A+B)

37.

det(AB) = det(A) det(B), det(A−1) = (det(A))−1,

det(A) = det(At), det(N−1MN) = det(M)

38. se A e una matrice n× n con

A =

A1 0 0 . . 0 0

0 A2 0 0 . . 0

0 0 A3 0 0 . .

. . . . . . .

. . . . . . .

0 0 0 . 0 Am−1 0

0 0 0 . 0 0 Am

,

con Aj matrice dj×dj , d1+d2+· · · dm = n, si ha det(A) = det(A1) det(A2) · · · det(Am).

39.

eaddx f(x) = f(x+ a)

40.

eaxddx f(x) = f(eax)

41.

eaddx f(ex) = f(ex+a)


42.

eax2 d

dx f(x) = f

(x

1− ax

), a|x| < 1

43. (xd

dxx

)n

= xn dn

dxn

44. (x2 d

dx− nx

)n+1

= x2n+2 dn+1

dxn+1

45. (x

d

dx+

d

dxx

)n

xk = (2k + 1)n xk,

per ogni k, n ≥ 0.

46.

eiα(xddx+ d

dx x)xk = eiα(2k+1)xk

per ogni k ≥ 0.

47.

eiα(xddx+ d

dx x)f(x) = eiαf(xe2iα)

per ogni f(x) per cui ha senso.

9.4 informazioni topologiche

1. se s− limn An = A e s− limn Bn = B allora s− limn AnBn = AB

2. se w− limn An = A e s− limn Bn = B allora w− limn AnBn = AB ma w− limn BnAn

non esiste

3. se w − limn An = A allora w − limn AnB = AB e w − limn BAn = BA ∀B ∈ B(H)

4. se w − limn An = A allora w − limn A†n = A†

5. se s− limn An = A allora w − limn A†n = A†

6. se < Anf, g >→< Af, g > uniformemente per ∥g∥ = 1 allora ∥Anf − Af∥ → 0, e se

∥Anf −Af∥ → 0 uniformemente per ∥f∥ = 1 allora ∥An −A∥ → 0, ∥Anf −Af∥ → 0

[Halmos, 107]

7. se fn → f debolmente e se An → A fortememente allora non e detto che Anfn → Af

debolmente [Halmos, 118].

Capitolo 10

Disuguaglianze

10.1 disuguaglianze numeriche

1. per ogni z1, z2 ∈ C vale la |z1 − z2| ≥ ||z1| − |z2||

2. se p−1 + q−1 = 1 allora, ∀α, β ≥ 0 vale la

αβ ≤ αp

p+

βp′

p′

3. Se αj ≥ 0 e p ≥ 1 allora

(α1 + · · ·+ αn)p ≥ αp

1 + · · ·+ αpn

4.

∀a, b ∈ R∣∣∣∣a+ b

2

∣∣∣∣p + ∣∣∣∣a− b

2

∣∣∣∣p ≤ 1

2(|a|p + |b|p) ,

se p ≥ 2

5.

∀a, b ∈ R αp + βp ≤ (α2 + β2)p/2, ∀p ≥ 2

6.

∀s, t > 0, s1/p t1/q ≤ s

p+

t

q,

se p−1 + q−1 = 1

7.

(1 + |a|)(1 + |b|) ≥ 1 + |b− a|

per ogni a, b ∈ R

55

56 CAPITOLO 10. DISUGUAGLIANZE

8. Se αj ≥ 0 allora

(α1α2 · · ·αn)1/n ≤ 1

n(α1 + α2 · · ·+ αn)

9. se 0 < µ < 1, a ≥ 0 e b ≥ 0 allora

aµ b1−µ ≤ µa+ (1− µ)b

10. ∀m, k ∈ N, con m ≥ k risultam!

(m− k)!≤ mk

11. disuguaglianza di Cebysev se a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an e b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn risulta

(a1 + a2 + · · · an) (b1 + b2 + · · · bn) ≤ n (a1b1 + a2b2 + · · · anbn)

10.2 vettori

1. La disuguaglianza di Schwartz e:

∀f, g ∈ H, | < f, g > | ≤ ∥f∥ ∥g∥

2.

|∥f∥ − ∥g∥| ≤ ∥f ± g∥ ≤ ∥f∥+ ∥g∥

3.n∑

k=1

|xk yk| ≤

(n∑

k=1

|xk|p)1/p( n∑

k=1

|yk|q)1/q

,

con q−1 + p−1 = 1. E la disuguaglianza di Holder

4. ∀f(x), g(x) ∈ Lp(R) ∩ Lq(R) vale la

∥fg∥1 =

∣∣∣∣∫Rf(x) g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∥f∥p ∥g∥g

5. (n∑

k=1

|xk + yk|p)1/p

≤

(n∑

k=1

|xk|p)1/p

+

(n∑

k=1

|yk|p)1/p

,

che e la disuguaglianza di Minkowski.

6.

∥f + g∥p ≤ ∥f∥p + ∥g∥p, ∀ f, g ∈ Lp

10.3. OPERATORI 57

10.3 operatori

1.

−tr (A log(A)−A log(B)) ≤ tr(A−B),

con A = A† e B = B†

2. Siano A e B operatori a.a. (illimitati) con spettro contenuto nel dominio di definizione

della funzione convessa f . Allora

tr[f(A)− f(B)− (A−B)f ′(B)] ≥ 0

3. Siano A e B due operatori a.a., positivi e di classe traccia. Allora

tr(A log(A))− tr(A log(B)) ≥ tr(A−B)

4. Siano A e B operatori a.a. su Cn. Allora∣∣log (tr(eA))− log(tr(eB)

)∣∣ ≤ ∥A−B∥

5. Se A e B sono operatori a.a. per i quali esistono le quantita che seguono, allora

tr(eA+B

)≤ tr

(eAeB

)6. Detto ∥A∥2 :=

√tr(A†A) risulta

∥|A| − |B|∥2 ≤√2 ∥A−B∥2

in cui |A| =√A†A. Se poi A = A† e B† = B allora

∥|A| − |B|∥2 ≤ ∥A−B∥2

7. Se [B,C] = iD allora, detti < X >=< f,Xf > e ∆X :=< X2 > − < X >2, risulta

(∆A)2 (∆B)2 ≥ < D >2

4

8. Con la stessa notazione si ha

(∆A)2 (∆B)2 ≥ 1

4

(< D >2 + < F >2

),

dove < F >:=< BC + CB > −2 < B >< C > e la correlazione tra A e B in f

9. Dal [?], Prop. 2.2.13: se A ≥ B ≥ 0 sono in B(H) allora

A ≤ ∥A∥ 11, ∥A∥ ≥ ∥B∥, A∥A∥ ≥ A2

C†AC ≥ C†BC ≥ 0, ∀C ∈ B(H)

(B + λ11)−1 ≥ (A+ λ11)−1, ∀λ > 0

58 CAPITOLO 10. DISUGUAGLIANZE

10.4 funzioni

1. Siano f(x) e g(x) due funzioni positive ed integrabili su I ⊂ R, tali che∫If(x) dx =∫

Ig(x) dx. Allora, vedi [Steeb, vol2, pg213],∫

I

f(x) log(f(x)) dx ≥∫I

g(x) log(g(x)) dx

Commento: scambiando il ruolo di f(x) e g(x) penso si mostri anche la disugua-

glianza opposta, e quindi l’uguaglianza∫If(x) log(f(x)) dx =

∫Ig(x) log(g(x)) dx.

Capitolo 11

Meccanica quantistica

11.1 operatori bosonici

1.

[a, a†] = 11, N = a†a

2.

[a, (a†)k] = k(a†)k−1, [a†, ak] = −k ak−1, k = 1, 2, 3, . . .

3.

[a2, (a†)k] = k(k − 1)(a†)k−2 + 2k(a†)k−1 a

4.

[a3, (a†)k] = k(k − 1)(k − 2)(a†)k−3 + 3k(k − 1)(a†)k−2 a+ 3k(a†)k−1 a2

5.

[a4, (a†)k] = k(k − 1)(k − 2)(k − 3)(a†)k−4 + 4k(k − 1)(k − 2)(a†)k−3 a+

+6k(k − 1)(a†)k−2 a2 + 4k(a†)k−1 a3

6.

[a2, a†2] = 4a† a+ 211

7.

[a3, a†3] = 9a†

2a2 + 18a† a+ 611

8.

[a4, a†4] = 16a†

3a3 + 72a†

2a2 + 96a† a+ 2411

9.

[a5, a†5] = 25a†

4a4 + 200a†

3a3 + 600a†

2a2 + 600a† a+ 12011

59

60 CAPITOLO 11. MECCANICA QUANTISTICA

10. per f sufficientemente regolari si ha

af(N) = f(N + 1)a

11.

[N, ak] = −kak, [N, (a†)k] = k(a†)k

12.

eN a† e−N = e a†

13.

(a†)2 e211+N = eN (a†)2 eN (a†)2 e−N = e2 (a†)2

14. se φ0 e tale che aφ0 = 0, detto φl =(a†)l√

l!φ0 allora

anφl =

√l!

(l − n)!φl−n, l ≥ n, (a†)mφl =

√(l +m)!

l!φl+m

15.

eiθ2 (a

2−(a†)2)a†e−i θ2 (a

2−(a†)2) = cos(θ)a† + i sin(θ)a

16.

eiθ2 (a

2−(a†)2)ae−i θ2 (a

2−(a†)2) = cos(θ)a+ i sin(θ)a†

17. per f(x) sufficientemente regolari (almeno deve ammettere serie di Taylor) vale la

eiθ2 (a

2−(a†)2)f(x) = eiθ2 (x

ddx+ d

dxx)f(x) = eiθ2 f(x eiθ)

18.

e12 (ξa

2−ξ(a†)2)ae−12 (ξa

2−ξ(a†)2) = cosh(r)a+ eiθ sinh(r)a†, ξ = reiθ

19.

e12 (ξa

2−ξ(a†)2)a†e−12 (ξa

2−ξ(a†)2) = cosh(r)a† + e−iθ sinh(r)a, ξ = reiθ

20. Se S(ξ) = exp{ ξ2 a

†2 − ξ2 a

2}, con ξ = r eiφ, allora

S(ξ) = exp{−1

2a†

2eiφ tanh(r)} exp{−1

2(a†a+aa†)} log(cosh(r)) exp{1

2a2 e−iφ tanh(r)}

21. Se Tα,β := eαa2+βa†2

, α, β reali, allora

Tα,β aT−1α,β = a cos(

√4αβ)− a†

√β

αsin(

√4αβ)

Tα,β a† T−1

α,β = a† cos(√

4αβ) + a

√α

βsin(

√4αβ)

11.2. OPERATORI QUONICI 61

22. Se S = exp{ϵ a† a+ η a2 + η a†2}, allora

S aS−1 =(cosh θ − ϵ

θsinh θ

)a− 2

η

θsinh θ a†

S a† S−1 =(cosh θ +

ϵ

θsinh θ

)a† + 2

η

θsinh θ a,

in cui θ =√ϵ2 − 4|η|2.

11.2 operatori quonici

1.

[B,B†]q = BB† − qB† B = 11

2.

B†Bl+1 =1

qlBl(B†B − (1 + q + · · ·+ ql−1)11)

3.

B (B†)l+1 = (B†)l(ql B†B + (1 + q + · · ·+ ql−1)11

)4.

Bφ0 = 0 ⇒ φn =1

β0 · · ·βn−1B†n φ0, n ≥ 1

5. If h = B†B then hφn = ϵnφn, with ϵ0 = 0, ϵ1 = 1 and ϵn = 1 + q + · · · + qn−1 for

n ≥ 1. Also, β2n = 1 + q + · · ·+ qn, for all n ≥ 0. Hence ϵn = β2

n−1 for all n ≥ 1.

6.

φn+1 =1

βnB†φn, n ≥ 0 : < φn, φk >= δn,k

7.

Bφn+1 = βnφn, ∀n ≥ 0.

11.3 altri operatori quonici

Fonte: R. Kibler, SIGMA, 3, 2007, 092

[a−, a+]q = 11, [Na, a±] = ±a±,

ak± = 0, N†a = Na, q := e2πi/k, k ∈ N \ {0, 1}

Attenzione: Na non e necessariamente pari a a†+a+ o simili, e se k = 2,∞, a+ = a†−.


11.4 regole di commutazione chiuse

1. se [a, a†] = 11 allora, detti K+ = 12 (a

†)2, K− = 12a

2 e K0 = 12

(N + 1

2

), con N = a† a,

allora

[K0,K±] = ±K±, [K+,K−] = −2K0

2. detti invece L1 = 14

(a2 + a†

2), L2 = i

4

(a2 − a†

2)ed L3 = 1

2

(N + 1

2

), allora

[L1, L2] = −iL3, [L2, L3] = iL1, [L3, L1] = iL2

3. Siano aj , a†j tali che [aj , a†k] = δj,k. Definiamo L0 = a†1a1 + a2a

†2, L+ = a†1a

†2 ed

L− = a1a2, si ha

[L0, L+] = 2L+, [L0, L−] = −2L−, [L+, L−] = −L0

11.5 sulle rappresentazioni posizione e momento

1. x, p = −i ∂∂x e la rappresentazione delle coordinate.

2. x = i ∂∂p , p e la rappresentazione dei momenti.

3.

eiapf(x) = f(x+ a)

4.

eibx eiapf(x) = eibx f(x+ a) = eibx f(x+ a)

5.

eiap eibx f(x) = eiap(eixb f(x)

)= eib(x+a) f(x+ a)

6. Se ξx e un autostato generalizzato di x, xξx = xξx, allora

eiapξx = ξx−a, ⇒ e−iap < ξx, f >=< eiapξx, f >

per ogni f ∈ H.

7. [x, e−iap

]= ae−iap

11.6. DIVERSE RAPPRESENTAZIONI 63

11.6 diverse rappresentazioni

1. rappresentazione di Scrodinger

~i

∂Φ(t)

∂t+HΦ(t) = 0, ⇒ Φ(t) = V (t, t0)Φ(t0),

con V (t, t0) soluzione dell’equazione

~i

∂V (t, t0)

∂t+HV (t, t0) = 0

Se H non dipende dal tempo esplicitamente allora si ottiene

V (t, t0) = e−i~ (t−t0)H

Se invece H dipende da t esplicitamente allora

V (t, t0) = 11− i

~

∫ t

t0

H(t′)V (t′, t0) dt′,

che fornisce una soluzione perturbativa.

2. rappresentazione di Heisenberg

Definiamo, a partire da quanto fatto sopra, ΦH(t) = V −1(t, t0) = Φ(t0) ed XH(t) =

V −1(t, t0)XV (t, t0). Allora ΦH(t) non evolve nel tempo mentre XH(t) soddisfa la

·XH(t) =i

~[H,XH(t)]

3. rappresentazione di interazione

Sia H = H0 +HI e definiamo

ΦI(t) = R(t0, t)Φ(t), XI(t) = R(t0, t)X R−1(t0, t),

in cui R soddisfa le

~i

∂R(t0, t)

∂t−R(t0, t)H0 = 0, R(t0, t0) = 11, =⇒ R(t0, t) = 11+

i

~

∫ t

t0

R(t0, t′)H0 dt

′

Se H0 non dipende dal tempo allora R(t0, t) = ei~H0t.

Le quantita ΦI(t) ed XI(t) soddisfano le equazioni

~i

∂ΦI(t)

∂t+H1,IΦI(t) = 0, ·XI(t) =

i

~[H0,I , XI(t)] =

i

~[H0, XI(t)],

in cui l’ultima uguaglianza vale qualora sia R(t0, t) = ei~H0t.

In alternativa possiamo definire

ΦI(t) = U(t, t0)ΦH(t), XI(t) = U(t, t0)XH(t)U−1(t, t0),


e si ha~i

∂U(t, t0)

∂t+H1,IU(t, t0) = 0, U(t0, t0) = 11

Se H0 ed H1 non dipendono da t si ha

U(t, t0) = ei~ (t−t0)H0 e−

i~ (t−t0)(H0+HI)

11.7 matrici di Pauli

Sia

σ1 =

(0 1

1 0

), σ2 =

(0 −i

i 0

), σ3 =

(1 0

0 −1

)Valgono le seguenti identita:

det(σj) = −1, tr(σj) = 0, j = 1, 2, 3

σ2j = 11, σiσj + σjσi = 2δij , σiσj = iσk,

ciclicamente. Abbiamo inoltre Ancora

[σ1, σ2] = 2iσ3, [σ2, σ3] = 2iσ1, [σ3, σ1] = 2iσ2

[a · σ, b · σ] = 2iσ · (a ∧ b)

(σ · a)(σ · b) = (a · b)11 + iσ · (a ∧ b)

eiaσj = cos(a) + iσj sin(a)

o, piu in generale,

eia(n·σ) = cos(an) + in · σn

sin(an), n = ∥n∥

Ancora (Steeb and Hardy):

e−i2π(σj−11) = σj ,

j = 0, 1, 2, 3, dove σ0 = 11.

Siano adesso |± > gli autostati di σ3:

σ3 |± >= ±|± >, σ3|± >1= |∓ >1, σ3|± >2= |∓ >2,

in cui, ad esempio, |+ >1 e autostato di σ1 con autovalore +1. Abbiamo

|± >1=1√2(|+ > ± |− >), |± >2=

1√2(|+ > ± i |− >)

Piu in generale

|+ >u= cos(θ/2) e−iφ/2|+ > +sin(θ/2) eiφ/2|− >,

11.8. STATI COERENTI 65

|− >u= − sin(θ/2) e−iφ/2|+ > +cos(θ/2) eiφ/2|− >

che invertite forniscono(|+ >

|− >

)=

(cos(θ/2) eiφ/2 − sin(θ/2) eiφ/2

sin(θ/2) e−iφ/2 cos(θ/2) e−iφ/2

) (|+ >u

|− >u

)

eia(n·σ) =

(cos(a) + in3 sin(a) sin(a)(n2 + in1)

sin(a)(−n2 + in1) cos(a)− in3 sin(a)

)

σ+ =1

2(σ1 + iσ2) =

(0 1

0 0

), σ− =

1

2(σ1 − iσ2) =

(0 0

1 0

)

e si ha

(σ±)2 = 0, [σ±, σ3] = ∓2σ±, [σ+, σ−] = σ3, {σ+, σ−} = 11

11.8 stati coerenti

Sia z ∈ C, [a, a†] = 11, e |0 > il vettore che soddisfa la a|0 >= 0. Si pone

|z >= eza†−za|0 >= e−

12 |z|

2

eza†= e−

12 |z|

2∞∑

n=0

zn√n!

φn,

in cui φn = (a†)n√n!

|0 >. Abbiamo:

a|z >= z|z >, < z1, z2 >= ez1z2−12 (|z1|

2+|z2|2) | < z1, z2 > |2 = e−|z1−z2|2

1

π

∫dz |z >< z| = 11 ⇒ f =

1

π

∫dz |z >< z|f >

Detto D(z) = eza†−za si ha

D(z) = eza†−za = e−

12 |z|

2

eza†e−z a,

D(z)† = D(z)−1 = D(−z),

[a,D(z)] = zD(z)

D−1(z)F (a, a†)D(z) = F (a+ z, a† + z),

D(z + w) = D(z)D(w)e12 (z w−z w)


11.9 oscillatore armonico

H =p2

2m+

1

2mω2 x2 = − ~2

2m

d2

dx2+

1

2mω2 x2

diventa, posti X :=√

mω~ x, P = 1√

m~ω p, a = 1√2

(X + iP

)e a∗ = 1√

2

(X − iP

),

H =~ω2(P 2 + X2) = ~ω

(a∗a+

1

2

)Risulta [x, p] = i~, [X, P ] = i, [a, a∗] = 1. Gli autostati di H sono

φ0(x) =(mω

π~

)1/4e−

12

mω~ x2

,

φ1(x) =

[4

π

(mω

~

)3]1/4x e−

12

mω~ x2

,

φ2(x) =(mω

4π~

)1/4 (2mω

~x2 − 1

)e−

12

mω~ x2

,

o, per generici n ≥ 0,

φn(x) =

[1

2n n!

(~mω

)n]1/2 (mω

π~

)1/4 (mω

~x− d

dx

)n

e−12

mω~ x2

,

o, in termini di funzioni di Hermite,

φn(x) =1√2n n!

(β2

π

)1/4

Hn(βx)e− 1

2β2 x2

,

in cui β =√

mω~ . Abbiamo ad esempio

H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = −2 + 4x2, H3(x) = −12x+ 8x3,

H4(x) = 12− 48x2 + 16x4, H5(x) = 120x− 160x3 + 32x5

Molto spesso si lavora in unita β = 1.

Abbiamo:

Hn(−x) = (−1)nHn(x)

Capitolo 12

Analisi funzionale

12.1 Spazi a dimensione finita

La fonte di questo capitolo e il capitolo 9 di Problems in mathematical analysis, di Biler e

Witkowski, Dekker Ed. (1990)

1. Siano A e B due matrici. Se [[A,B], A] = [[A,B], B] = 0 allora [A,B]2 = 0.

2. Siano A e B due matrici. Per ogni 1 ≤ p, q ≤ ∞ con p−1 + q−1 = 1 vale la

|tr(AB)| ≤ (tr|A|p)1/p (tr|B|q)1/q

3. Siano A e B due matrici strettamente positive. Per ogni t ∈ [0, 1] vale la

(tA+ (1− t)B)−1 ≤ tA−1 + (1− t)B−1

4. Siano A e B due matrici con A definita positiva e ∥AB∥ ≤ 1, ∥BA∥ ≤ 1. Vale allora

la

∥A1/2BA1/2∥ ≤ 1

5. Siano A e B due matrici definite positive. Per ogni t ∈ [0, 1] vale la

det(tA+ (1− t)B) ≥ (det(A))t(det(B))1−t

6. Per ogni aj , bj ∈ R, j = 1, . . . , n, vale la disuguaglianza di Hilbert

n∑i,j=1

aibji+ j

≤ π

(n∑

i=1

a2i

)1/2 n∑

j=1

b2j

1/2

67

68 CAPITOLO 12. ANALISI FUNZIONALE

12.2 Spazi a dimensione infinita

1. L’insieme{f(x) ∈ C∞(0, 1) : f(0) = 0,

∫ 1

0f(x)x dx = 0

}e denso in L2(0, 1)

2. Sia {en} una base o.n. in uno spazio di Hilbert separabile H e sia F = {fn ∈ H} un

insieme di vettori o.n. per cui∑

n ∥en − fn∥ < ∞. Allora F e una base.

3. Ogni operatore A positivo e limitato ammette radice di ogni ordine, anch’esso positivo

e limitato. Questo segue dal teorema spettrale, ma puo anche dedursi definendo (vedi

il mio libro per la radice quadrata) la successione di operatori X0 = 0, Xn+1 =

Xn + 1k (A−Xk

n) che converge ad A1/k.

4. Teorema di Weyl-von Neumann: se H e un operatore a.a. in H separabile allora

esiste un operatore compatto a.a. K tale che gli autostati di H +K formano una base

o.n. di H. Lo stesso risultato vale se H fosse un operatore unitario piuttosto che a.a.

5. Siano A e B due operatori a.a. su H. Allora∥∥eiA − eiB∥∥ ≤ ∥A−B∥

6. Clarkson inequalities:

(i) Se f, g ∈ Lp, p ≥ 2,

∥(f + g)/2∥p + ∥(f − g)/2∥p ≤ (∥f∥p + ∥g∥p) /2

(ii) Se 1 < p < 2, f, g ∈ Lp, 1/p+ 1/q = 1,

∥(f + g)/2∥q + ∥(f − g)/2∥q ≤ ((∥f∥p + ∥g∥p)/2)1/(p−1)

7. Radon-Riesz theorem: se fn → f debolmente in Lp, 1 < p < ∞, e se ∥fn∥p → ∥f∥p,allora ∥fn − f∥p → 0

8. Siano A ed X due operatori limitati su uno spazio di Banach. La soluzione dell’equa-

zione differenzialedX

dt= −XAX, X(0) = 11

e X(t) = (11 + tA)−1.

9. Supponiamo che∫R xn f(x) dx = 0 per ogni n = 0, 1, 2, . . .. Se si assume che f(x) ∈

D(R) allora f(x) = 0 necessariamente. Questo non e vero se invese si assume che sia

f(x) ∈ S(R).

10. Sia H uno spazio di Hilbert e fn, f ∈ H. Se fn → f debolmente e ∥fn∥ → ∥f∥ allora

fn → f fortemente, [Halmos 20].

12.3. FORMULE FUNZIONALI 69

12.3 formule funzionali

(a) Una prima forma della formula di Poisson e: se f ∈ S(R) allora∑n∈Z

e−inaf(x+ nb) =1

|b|∑n∈Z

f

(2πn+ a

b

)exp

{ix

2πn+ a

b

}con a, b, x ∈ R, e con b = 0

(b) in particolare, se x = a = 0 e b = 1 si ottiene la∑n∈Z

f(n) =∑n∈Z

f (2πn)

in cui, pero, la definizione della f(p) differisce dalla mia per un√2π. Abbiamo

qui f(p) =∫R f(x)e−ixpdx

(c) un’altra formula anch’essa nota come Poisson summation formula e la∑n∈Z

einxc =2π

|c|∑n∈Z

δ

(x− n

2π

c

)

(d)N−1∑k=0

e2πikl/N = Nδl,0

12.4 spazi Lp

(a) se X ⊂ Rd con misura di Lebesgue µ(X) = 1 allora si ha

Lr(X) ⊆ Ls(X), ∀ s ≤ r, ed inoltre ∥f∥s ≤ ∥f∥r,

per f ∈ Lr(X). Se poi µ(X) < ∞ ma µ(X) = 1 allora si ha

∥f∥s ≤ µ(X)r−srs ∥f∥r

(b) se p−1 + q−1 = r−1, con p, q, r > 0, e se f ∈ Lp e g ∈ Lq, allora fg ∈ Lr e

∥fg∥r ≤ ∥f∥p∥g∥q

(c) vale l’inclusione seguente:

Lp(X) ∩ Lq(X) ⊆ Ls(X),

per ogni s: p ≤ s ≤ q, anche se µ(X) = ∞.

70 CAPITOLO 12. ANALISI FUNZIONALE

Capitolo 13

Informazioni teoriche sparse

13.1 Analisi matematica

13.1.1 scambio di limiti

In generale si ha

limx→x0

limy→y0

f(x, y) = limy→y0

limx→x0

f(x, y).

Un esempio e dato dalla f(x, y) = x2−y2

x2+y2 , con x0 = y0 = 0. L’uguaglianza invece vale se

limx→x0f(x, y) e uniforme in y in un intorno di y0 o se limy→y0

f(x, y) e uniforme in x in

un intorno di x0.

13.1.2 scambio di limite e derivata

In generale si ha

limx→x0

∂

∂yf(x, y) =

d

dylim

x→x0

f(x, y).

Un esempio e fornito dalla funzione

f(x, y) =

{x arctan

(yx

), x = 0

0 x = 0

ed y = 0. L’uguaglianza invece vale se f(x, y) e ∂∂y f(x, y) convergono uniformemente rispetto

alla variabile y.

13.1.3 scambio di limite ed integrale

In generale si ha

limx→x0

∫ b

a

f(x, y) dy =∫ b

a

limx→x0

f(x, y) dy.

71

72 CAPITOLO 13. INFORMAZIONI TEORICHE SPARSE

Ad esempio, basta considerare a = 0, b = 1 ed

f(x, y) =

{π

|x−x0| sin(

π y|x−x0|

), 0 < y < |x− x0|

0 altrimenti

L’uguaglianza e vera qualora esista una funzione integrabile g(y) tale che |f(x, y)| ≤ g(y)

per ogni (x, y) ovvero quando f(x, y) sia monotona in x.

13.1.4 scambio di limite e serie

In generale si ha

limx→x0

∞∑n=0

an(x) =∞∑

n=0

limx→x0

an(x).

Ad esempio non vale l’uguaglianza se x0 = 0 e se an(x) =(n+1)2x2−1(n+1)2x2+1−

n2x2−1n2x2+1 . L’uguaglianza

vale se∑∞

n=0 an(x) converge uniformemente in x.

13.1.5 scambio di derivate

In generale si ha∂

∂x

∂

∂yf(x, y) = ∂

∂y

∂

∂xf(x, y).

Basta considerare x = y = 0 ed

f(x, y) =

{x y x2−y2

x2+y2 , (x, y) = (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

La formula e valida se le due derivate miste ∂2f∂x ∂y e ∂2f

∂y ∂x sono continue in (x, y).

13.1.6 scambio di derivata ed integrale

In generale si ha

d

dx

∫ b

a

f(x, y) dy =∫ b

a

∂

∂xf(x, y) dy.

Basta considerare a = 0, b = 1 ed

f(x, y) =

{x3

y2 e−x2/y, y = 0

0 y = 0

L’uguaglianza e vera qualora esista una funzione integrabile g(y) tale che∣∣∣ ∂∂yf(x, y)

∣∣∣ ≤g(y) per ogni (x, y).

13.1. ANALISI MATEMATICA 73

13.1.7 scambio di derivata e serie

In generale si ha

d

dx

∞∑n=0

an(x) =∞∑

n=0

d

dxan(x).

Basta considerare la a0(x) = arctan(x)−x, an(x) =arctan((n+1)x)

n+1 − arctan(nx)n . L’uguaglianza

vale se le serie∑∞

n=0 an(x) e∑∞

n=0ddxan(x) convergono uniformemente in x.

13.1.8 scambio di integrali

In generale si ha ∫ b1

a1

∫ b2

a2

f(x, y) dy dx =∫ b2

a2

∫ b1

a1

f(x, y) dx dy.

Basta considerare a1 = a2 = 0, b1 = b2 = 1 ed

f(x, y) =

y−2, 0 < x < y < 1

−x−2 0 < y < x < 1

0 altrimenti

L’uguaglianza vale se f(x, y) e integrabile su [a1, b1]× [a2, b2] (teorema di Fubini).

13.1.9 scambio di integrale e serie

In generale si ha∞∑

n=0

∫ b

a

an(x) dx =∫ b

a

∞∑n=0

an(x) dx.

Basta considerare la an(x) = gn+1(x)− gn(x), in cui g0(x) = 0 per ogni x e

gn(x) =

{nπ sin(nπx), 0 ≤ x ≤ 1

n

0 altrimenti

L’uguaglianza vale se an(x) ≥ 0 per ogni x e per ogni n.

13.1.10 scambio di due serie

In generale si ha∞∑

n=0

∞∑m=0

an,m =∞∑

m=0

∞∑n=0

an,m

Basta considerare la

an,m

2m−n, n > m

0 n = m

2n−m, n < m

L’uguaglianza vale se la funzione f(x, y) = |an,m| se n ≤ x < n + 1, m ≤ y < m + 1, e

integrabile su R+ × R+.

74 CAPITOLO 13. INFORMAZIONI TEORICHE SPARSE

Formulario - UniPa · 8. ∑1 n=1 ( 1)n+1 1 n = log(2) 9. ∑1 n=1 ( 1)n+1 1 2n 1 = ˇ 4 10. ∑1...

Documents

Transcript of Formulario - UniPa · 8. ∑1 n=1 ( 1)n+1 1 n = log(2) 9. ∑1 n=1 ( 1)n+1 1 2n 1 = ˇ 4 10. ∑1...