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ADIMENSIONALIZZAZIONEIl processo di adimensionalizzazione di una generica grandezza G viene effettuato ponendo la grandezza nella forma

ove egrave un valore di riferimento ovvero rappresenta lunitagrave di misura della grandezza (dimensionale) e G rappresenta la misura della grandezza stessa (adimensionale)Nel seguito si supporragrave di scegliere opportunamente la quantitagrave in maniera tale che sia G = O(1) e cioegrave in maniera tale che la misura risulti di ordine di grandezza unitario

Ad es lequazione di conservazione della massa egrave la seguente

Introducendo le grandezze

poicheacute le unitagrave di misura sono costanti e le sole misure variabili si ha

lowastGG G r= rG

lowastlowastlowastlowastlowast AA = A VV = Vtt = t rrrrr

ADIMENSIONALIZZAZIONE

= rrr

rAVtSr V

Il raggruppamento adimensionale

che moltiplica il termine instazionario egrave chiamato numero di Strouhal Esso rappresenta limportanza relativa del termine instazionario rispetto al termine convettivo nellequazione di conservazione della massa

Se lintegrale di superficie egrave esteso a un dominio semplicemente connessoda cui entra o esce massa (una sola superficie permeabile) poicheacute entrambi i termini che contengono le grandezze asteriscate sono di O(1) anche il numero di Strouhal egrave di ordine di grandezza unitario e non puograve essere altrimenti percheacute lequazione consta di due termini uguali e di segno opposto

In tal caso bisogneragrave tenere conto di tutti e due i termini e se la scelta delle grandezze di riferimento egrave stata corretta il fatto che Sr = O(1) permette ad esempio la stima del tempo caratteristico del fenomeno in esame

Se invece lintegrale di superficie egrave esteso a due diversi domini permeabili dei quali in uno entra massa e dallaltro ne esce e se il numero di Strouhal egravesufficientemente basso il termine instazionario potragrave essere trascurato rispetto agli altri due termini

MOTI QUASI STAZIONARI Si consideri ora il sistema rappresenta-to in figura costituito da un serbatoio in cui egrave contenuto un gas inizialmente alla pressione poi collegato ad un ugelloconvergenteIn seguito allapertura di una valvola lugello scaricheragrave nellambiente a pa Nel processo di svuotamento del ser-batoio la pressione al suo interno dal

Si supponga ora per semplicitagrave che pur essendo poi senzaltro maggiore di pa si abbia (poi - pa)pa ltlt 1 Come si vedragrave in seguito questa ipotesi unitamente a quella di adiabaticitagrave consente di ritenere che il moto del fluido nellugello risulti incompressibile per cui la velocitagrave iniziale del fluido alluscita dellugello con lulteriore ipotesi di trascurabilitagrave degli effetti viscosi puograve essere posta pari a

valore iniziale poi si porteragrave progressivamente alla pa

Questa velocitagrave puograve essere assunta come velocitagrave di riferimento nel processo di adimensionalizzazione

poi gt pa

Se invece poi pa gtgt 1 si vedragrave che sempre nelle ipotesi di adiabaticitagravee reversibilitagrave la velocitagrave del fluido alluscita dellugello (cioegrave la velocitagrave di riferimento) egrave quella sonica che risulta pari a

Scegliendo opportunamente anche le altre grandezze di riferimentoper il processo di adimenzionalizzazione si ottiene

Lrsquoequazione di conservazione della massa applicata a tutto il serbatoiodiventa allora

dove lrsquounica grandezza di riferimento non nota a priori egrave il tempo di riferimento tr

Con riferimento allo stesso caso se si va ora a considerare come volume di controllo quello relativo al solo ugello qui indicato con Vu la scelta delle grandezze di riferimento saragrave la stessa ma per avere una misura di ordine di grandezza unitario per il volume dellugello dovragrave essere V = VuV

Come giagrave detto per la scelta delle grandezze di riferimento il numero di Strouhal che moltiplica il primo integrale deve risultare di ordine di grandezza unitario Ciograve permette di calcolare il tempo di riferimento ignoto a priori

Il tempo di riferimento tr rappresenta ovviamente una stima del tempo di svuotamento del serbatoio

Applicando nuovamente lrsquoequazione di conservazione della massa (che ora saragrave costituita da tre termini) e utilizzando nel calcolo del numero di Strouhal il tempo di riferimento appena stimato (il fenomeno egrave sempre lo stesso) si ottiene

Se il volume dellugello egrave molto piccolo rispetto a quello del serbatoiosaragrave Sr ltlt 1 per cui si puograve trascurare il termine instazionario

rarrSr

int lowastsdotlowastint lowastlowastlowast

lowast lowast lowastV V + + dAnVddtd Sr

1A ρρ 0= + lowastsdotlowastint lowast

lowast dAnV2A ρ

Egrave quindi possibile in questo ultimo caso (e non nel precedente che includeva nel volume di controllo anche quello del serbatoio) trascurare il termine instazionario in quanto il coefficiente moltiplicativo del termine variabile nel tempo (che egrave di ordine di grandezza unitario) risulta trascurabile rispetto allunitagrave

In questo esempio pur essendo lo svuotamento del serbatoio un fenomeno tipicamente instazionario (il fluido che esce egrave uguale a quello che manca nel serbatoio) il moto nel solo ugello puograve essere considerato istante per istante come stazionario

Si parleragrave dunque di moto quasi stazionario allinterno dellugello

In questo caso occorreragrave beninteso tenere conto della variabilitagrave delle diverse grandezze termofluidodinamiche nel tempo

In un moto stazionario propriamente detto invece tutte le grandezze termofluidodinamiche resteranno assolutamente costanti nel tempo

CONCLUSIONI

Nei moti quasi unidimensionali si ipotizza la costanza del valore di tutte le grandezze termofluidodinamiche su ciascuna superficie permeabileappartenente alla superficie esterna che delimita il volume di controllo

In generale nei moti esaminati nel seguito non si terragrave conto delle forze di massa (in particolare di quelle dovute alla gravitagrave) e di conseguenza dellenergia potenziale gravitazionale

Pur essendo il numero di Froude Fr indipendente dalla densitagrave del fluido nel caso di moto di gas e per le situazioni qui di interesse esso egravesufficientemente elevato cosigrave che si possono trascurare i termini gravita-zionali nelle equazioni del bilancio della quantitagrave di moto e dellenergia

Ciograve egrave dovuto al fatto che a paritagrave di differenza di pressione le velocitagrave che si raggiungono nel moto dei gas sono maggiori di quelle raggiungibili nel moto di un liquido a causa della loro minore densitagrave

gtgt 1

MOTI QUASI UNIDIMENSIONALI

Ciograve egrave possibile se il numero di Froude egrave abbastanza elevato


Va fatto comunque esplicitamente notare che esistono molte condizioni di moto di gas in cui i contributi gravitazionali sono determinanti (ad es fenomeni di convezione naturale moti atmosferici etc)

Drsquoaltra parte esistono altre condizioni di moto di liquidi per le quali i contributi gravitazionali sono trascurabili (ad es il moto dellrsquoacqua in una turbina Pelton dove le velocitagrave possono risultare dellrsquoordine di centinaia di metri al secondo e il numero di Froude diventa quindi molto alto)

rarr

Ad esempio nellipotesi di moto incompressibile adiabatico e non viscoso come giagrave visto si puograve porre quindi

e cioegrave a paritagrave di altre condizioni (in particolare a paritagrave di differenza di pressione) il numero di Froude risulta piugrave alto quando diminuisce la densitagrave come nel caso del gas

In generale per caratterizzare in un punto le condizioni termofluidodina-miche di un fluido a tre gradi estensivi di libertagrave sono necessari tre parametri di cui due termodinamici (scalari) ed uno cinetico (vettoriale)

Si vedragrave che se il moto egrave unidimensionale il parametro cinetico diventa anchesso uno scalare per cui ad es la determinazione della pressione della temperatura e del modulo della velocitagrave del fluido in un punto (o in una sezione del condotto) caratterizza completamente lo stato termofluido-dinamico del fluido in detto punto (o sezione)

Occorre peraltro osservare che la scelta dei tre parametri purcheacuteindipendenti tra loro (il che comporta che almeno uno abbia un contenuto cinetico) non egrave univoca potendosi scegliere tra la densitagrave la pressione la temperatura lenergia interna lentalpia il flusso di massa lentropia la velocitagrave lenergia cinetica specifica del fluido il numero di Mach etc

Poicheacute la descrizione egrave di tipo specifico (per unitagrave di massa o di volume e quindi con due gradi specifici di libertagrave termodinamici) e poichegrave si vuole caratterizzare lo stato in un punto od in una sezione tutti i suddetti parametri saranno necessariamente o intensivi o specifici


Lo studio del campo di moto di un fluido si puograve fare con due diversi approccibull il differenziale che utilizza le equazioni del bilancio scritte nel volume di

controllo elementare (ad es lintorno infinitesimo di un punto) bull lrsquo integrale che invece utilizza le stesse equazioni per un volume finito

DESCRIZIONE INTEGRALE E DIFFERENZIALE

Beninteso a differenza di quanto accade nella teoria cinetica entrambe queste descrizioni sono di tipo macroscopico e cioegrave sviluppate nellambito dellipotesi del continuo

La principale differenza tra le due descrizioni consiste nel fatto che mentre lapproccio differenziale tende a descrivere il comportamento del fluido punto per punto del campo di moto quello integrale porta essenzialmente in contosia quanto viene scambiato sulla superficie di controllo del sistema studiato che in maniera globale quanto accade nel volume di controlloPoicheacute trascura il dettaglio del campo di moto la descrizione integrale egravesenzaltro piugrave semplice e immediata Peraltro occorre osservare che non analizzando quanto avviene allinterno del volume di controllo lapprocciointegrale conduce solo a informazioni di tipo globale

Inoltre la sua applicazione puograve dipendere da dati giagrave noti (ad es sperimentalmente) che occorre dare a priori per risolvere il problema studiato

La descrizione integrale egrave particolarmente conveniente nei problemi che studiano il moto di un fluido allinterno di condotti (fluidodinamica interna) mentre nei problemi di fluidodinamica esterna si ricorre quasi sempre alla descrizione differenziale

Ersquo importante osservare che lapproccio integrale puograve condurre a risposte abbastanza accurate nel caso in cui il moto allinterno di un condotto puograve essere considerato quasi unidimensionale

Si ricorda che il moto in un condotto si definisce quasi unidimensionalequando ciascun parametro del moto (ad es velocitagrave temperatura pressione etc) puograve essere considerato costante su ciascuna sezione permeabile normale allasse del condotto (mentre puograve essere in generale variabile da sezione a sezione permeabile)

Generalmente un moto quasi unidimensionale viene ad essere piugravesemplicemente chiamato moto unidimensionale


IPOTESI PER MOTI QUASI UNIDIMENSIONALI

Affinchegrave sia verificata lrsquoipotesi di quasi unidimensionalitagrave deve aversi

Fig 1 Fig 2

La prima condizione garantisce che la zona in prossimitagrave della parete dove la velocitagrave si deve necessariamente annullare per lrsquoipotesi del conti-nuo sia di estensione trascurabile rispetto a tutta la sezione del condotto

Re gtgt 1 (Fig 1) (Fig 2)1 1 2

ltlt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxdA

A

e approssimando la derivata con il corris-pondente rapporto incrementale diventa

Condizione la quale impone che la variazione della pressione statica nella generica sezione del condotto sia trascurabile rispetto al valore della pressione dinamica nella sezione stessa

La seconda condizione garantisce una variazione dellarea della sezionemolto graduale e quindi il poter considerare il vettore velocitagrave praticamente costante anche vettorialmente in ciascuna sezione retta del condottoLa terza condizione invece ricordando lrsquoequilibrio della particella in direzione radiale

1 1 2ltlt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dxdA

A

r

MOTI UNIDIMENSIONALI STAZIONARI

Nel seguito non si parleragrave piugrave di moto quasi unidimensionale e quasi stazionario ma piugrave semplicemente di moto unidimensionale e stazionario

In definitiva lrsquoapplicazione del modello di moto unidimensionale e stazionario in un condotto prevede che sia soddisfatta la seguente coppia di ipotesi

Trascurabilitagrave del termine instazionario cioegrave quello che egrave relativo alla variazione nel tempo della generica grandezza estensiva G nel volume di controllo V

Costanza del valore di tutte le grandezze termofluidodinamiche (tutti i parametri) su ciascuna superficie permeabile normale allasse del condotto appartenente alla superficie esterna che delimita il volume di controllo (mentre queste stesse grandezze possono generalmente variare da una sezione ad unrsquoaltra sezione permeabile)

CONSERVAZIONE DELLA MASSA PER MOTI UNIDIMENSIONALI STAZIONARI

Indicando con Ai (i = 12 m) larea di ciascuna superficie permeabile di D (considerata piana per semplicitagrave) sulla quale si verifica la costanza dei parametri con ni il versore della normale da essa uscente e ricordando che il termine instazionario deve annullarsi lequazione di conservazione della massa diventa

Ovvero piugrave semplicemente

Aini

Se in particolare il sistema di controllo egraveuna porzione di condotto e su ciascuna delle due uniche superfici permeabilidella superficie di controllo del sistema (e necessariamente solo su ciascuna di esse) egrave ipotizzabile sia la costanza (vettoriale) della velocitagrave che della densitagrave la formula precedente diventa

Se inoltre come in figura ciascuna superficie egrave ortogonale al corrispon-dente vettore velocitagrave si ha


V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2

due sole superfici permeabili

e cioegrave la cosiddetta portata di massa = ρ VA risulta costante

che rappresenta lequazione della conservazione della massa in forma differenziale per un condotto nel quale un moto stazionario puograve essere considerato unidimensionale in qualunque sezione retta dello stesso

Va fatto esplicitamente notare che nel moto stazionario di un fluido in un condotto egrave sempre verificata la costanza della portata attraverso ciascuna sezione permeabile del condotto di area A Perograve lrsquoeguaglianzaprecedente egrave esprimibile solo su quelle superfici per ciascuna delle quali si ipotizza la costanza sia di ρ che di V (moto unidimensionale)

Se detta relazione egrave applicabile ad una qualunque sezione retta del condotto (di area A) si puograve ovviamente scrivere sezione per sezione

relazione che puograve essere anche espressa nella forma

Differenziando la relazione precedente si ottiene

BILANCIO DELLA QUANTITArsquo DI MOTO PER MOTI UNIMENSIONALI STAZIONARI

Particolarizzando per il modello di moto in esame lrsquoequazione del bilancio della quantitagrave di moto diventa (le Ai sono sempre le superfici permeabili)

il termine instazionario si annulla per il modello di moto in esame

la quantitagrave S rappresenta lintegrale di tutti gli sforzi superficiali ( p e τd parte dissipativa e non cioegrave sforzi viscosi e non) sulle superfici impermeabili del sistema essa rappresenta pertanto la spinta totale del fluido su dette superfici (in quanto egrave positiva al primo membro)

la quantitagrave M egrave la massa totale del sistema presente nel volume di controllo e quindi M g rappresenta la forza peso agente sul fluido

avendo tenuto presente che

su tutte le superfici permeabili Ai i termini relativi agli sforzi viscosi sono stati ritenuti nulliInfatti la componente tangenziale degli sforzi viscosi sulle superfici permeabili egrave identicamente nulla per lipotesi di unidimensionalitagraveVa fatto poi notare che per trascurare la componente normale su dette superfici deve anche essere trascurabile il termine che rappresenta la parte dissipativa della componente normale dello sforzo viscosoCiograve egrave sempre vero per moto incompressibile o egrave ipotizzabile se la velocitagrave del fluido varia debolmente nella sua stessa direzione(come in un moto quasi unidimensionale)

Se inoltre ciascuna delle due superfici permeabili egrave ortogonale al vettore velocitagrave si ha

Se il condotto ha due sole superfici permeabili si ha

Limpulso specifico rappresenta il flusso di quantitagrave di moto nelle sue parti convettiva (ρV2 o macroscopica) e diffusiva (p o microscopica) reversibile (non dissipativa)

Piugrave propriamente lrsquoimpulso specifico I egrave il modulo della componente vettoriale del flusso di quantitagrave di moto (nelle sue due parti dette) che attraversa la superficie di normale n avente la stessa direzione (ma non necessariamente lo stesso verso) di V

Introducendo la quantitagrave

che viene detta impulso specifico si puograve ricavare lrsquoulteriore forma

Si consideri ora il tratto elementare di condottorappresentato nella figura a lato delimitato da due sezioni permeabili normali allasse x e di lunghezza infinitesima dx per cui il tratto stesso puograve essere praticamente considerato diritto Applicando la

e proiettandola lungo la direzione dellasse del condotto x si ottiene

La spinta elementare dSx nelle sue due parti dissipativa e non vale

dove P egrave il perimetro della superficie permeabile e τP egrave lo sforzo tangen-ziale alla parete impermeabile supposto anchesso unidimensionale

che rappresenta lequazione del bilancio della quantitagrave di moto in forma differenziale per un condotto nel quale il moto oltre che stazionario puograve essere considerato unidimensionale su ciascuna sezione retta

Tenendo presente che

e trascurando i differenziali di ordine superiore al primo si ottiene

Ovvero dividendo per lrsquoarea A e introducendo il diametro idraulico o equivalente (De = 4AP ) si ha infine

- mV + mV + m dV ndash pA + pA + dpA + pdA + dpdA + dSx = ρ A dx g middot i

-g middot idx =-

dz

che integrata dagrave luogo allequazione di Bernoulli per moti stazionarinon viscosi compressibili

Per un moto in cui siano trascurabili le variazioni di densitagrave e cioegrave per unmoto incompressibile (ρ = cost) si ha infine

che rappresenta lequazione di Bernoulli per moti stazionari non viscosi incompressibili Purcheacute siano rispettate le ipotesi fatte le equazioni precedenti sono applicabili anche quando il moto non egrave proprio unidimensionale ad esempio lungo una linea di corrente

Nel caso in cui lo sforzo tangenziale alla parete τp sia trascurabile (τp = 0moto non viscoso e cioegrave quando Re rarr infin) lrsquoequazione precedente diventa la cosiddetta equazione di Bernoulli in forma differenziale

rarr

CONSERVAZIONE DELLrsquoENERGIA PER MOTI UNIDIMENSIONALI STAZIONARI

Con procedimento analogo agli altri due casi precedenti

Questa equazione egrave valida se e solo se il moto egrave stazionario rispetto ad un sistema di riferimento inerziale ed egrave unidimensionale su ciascuna delle superfici permeabili del sistema

lintegrale relativo al flusso di energia nel modo calore deve essere esteso a tutte le superfici del sistema permeabili e non in quanto pur essendo la temperatura costante su ciascuna superficie permeabile sono consentiti gradienti di temperatura (e quindi flussi di calore) in direzione normale alla superficie Essi saranno comunque deboli e quindi trascurabili per la debole variazione di area Poicheacute la normale negrave orientata verso lambiente lintegrando risulta positivo se egraveanchesso diretto verso lambiente (flusso termico uscente)

il secondo integrale egrave diverso da zero a condizione che la velocitagravedella superficie di controllo sia diversa da zero (potenza drsquoelica)


Ponendo

e se il volume di controllo egrave un condotto con due sole superfici permeabili

che rappresenta lrsquoequazione di conservazione dellrsquoenergia per moti unidimensionali stazionari in condotti

si ottiene infine


In condizioni di omoenergeticitagrave se il moto egrave unidimensionale su ciascuna superficie permeabile si ha quindi

Un moto di questo tipo si definisce omoenergetico

Per un moto omoenergetico si ha

Sarebbe piugrave corretto definirlo omoentalpico (totale dove lentalpia totalerappresenta la quantitagrave in parentesi) ma poicheacute nei sistemi aperti lentalpia totale prende il posto dellenergia totale egrave consuetudine usare ancora laggettivo omoenergetico

In un moto che sia adiabatico e anergodico le quantitagravein parentesi non cambiano valore


In termini differenziali (considerando g = cost)

Dalla definizione di entalpia ricordando che dh = Tds + dpρ si ha

Per un moto adiabatico si ha δes = 0 Se poi in particolare sono nulle le forze di attrito e comunque le altre cause di produzione di entropia saragraveanche δis = 0 e quindi ds = 0 Con questa ipotesi lrsquoequazione precedente che rappresenta lequazione di conservazione dellenergia per un moto omoenergetico e isoentropico diventa

che coincide con la giagrave trovata equazione di Bernoulli in forma differenziale Si puograve concludere pertanto che in questo caso lequazione di conservazione dellenergia non fornisce alcuna ulteriore condizione vincolante sullevoluzione del fluido


Dividendo per la portata massica

dove l e q rappresentano rispettivamente lenergia scambiata nel modo lavoro e nel modo calore per unitagrave di massa del fluido evolvente

Come detto il contributo dovuto allenergia gravitazionale si supporragrave in generale trascurabile il che equivale ad esempio a considerare

Introducendo la quantitagrave H = h + V22 detta entalpia specifica totale o di ristagno (della quale si parleragrave estensivamente in seguito) si ottiene

Lrsquoequazione

bull il primo principio tratta essenzialmente (in un sistema chiuso) un processo instazionario (infatti si ha una variazione di U allinterno della massa di controllo) mentre la precedente relazione conserva lenergia (in un sistema aperto) in un processo stazionario

bull lenergia interna specifica u egrave sostituita dallentalpia totale specifica H

rappresenta il principio di conservazione dellenergia per un sistema aperto nel caso di moto unidimensionale e stazionario Essa ricorda molto da vicino il primo principio della termodinamica MΔu = ΔU = Q ndash L che egrave il principio di conservazione dellenergia per un sistema chiuso Le differenze sostanziali sono

In uno scambiatore di calore nel quale non vi siano scambi di energia nel modo lavoro con lambiente esterno

In una macchina per la quale siano trascurabili gli scambi di energia nel modo calore con lambiente esterno

bull la massa M che compare nel primo principio egrave quella contenuta nel sistema mentre nella relazione in alto la egrave la massa che attraversa il sistema nella unitagrave di tempo


Puograve essere utile esprimere questa relazione in termini differenziali e cioegrave

che rappresenta lequazione differenziale di conservazione dellenergia per moti anergodici unidimensionali e stazionari

che sostituita nella formula precedente e ricordando le definizioni sia del diametro idraulico che di G = ρ V ( = GA)

La quantitagrave che egrave la quantitagrave elementare di calore scambiata sulla superficie impermeabile del condotto puograve essere espressa in termini della componente normale a detta superficie del flusso di calore Infatti se egrave costante lungo la periferia della sezione del condotto per un tratto elementare di condotto (di lunghezza dx) si ha la relazione

dagrave luogo a

CONDIZIONI DI RISTAGNO DI UN FLUIDO

La condizione di ristagno (detta anche condizione totale) di una particella di fluido in moto egrave definita come la condizione TERMODINAMICA che la particella raggiungerebbe qualora venisse rallentata fino a velocitagrave nulla con una trasformazione adiabatica anergodica e isoentropica (omoenergetica e isoentropica)

La condizione di ristagno non egrave quindi associata neacute alla condizione di moto quasi unidimensionale negrave a quella di moto quasi stazionario

Le condizioni di ristagno non rappresentano condizioni che debbono essere necessariamente presenti nel campo di moto oggetto di studio

Ad ogni stato termofluidodinamico del fluido egrave associato uno stato di ristagno Ovviamente non egrave vero il contrario

Lo stato di ristagno di un sistema semplice egrave uno stato termodinamico caratterizzato da due parametri termodinamici indipendenti tra loro (manca il cinetico) Lo stato termofluidodinamico invece egrave caratteriz-zato da tre parametri (due termodinamici piugrave uno cinetico)


La quantitagrave h egrave chiamata entalpia specifica sensibile o statica

La quantitagrave H egrave chiamata entalpia specifica totale o di ristagno

Si possono definire in generale condizioni statichecondizioni statiche di una corrente quelle misurate con uno strumento che si muove alla velocitagrave del fluido cioegrave con uno strumento rispetto al quale il fluido egrave fermo

Dalla definizione di condizione di ristagno applicando lrsquoequazione di conservazione dellrsquoenergia

trascurando il termine gravitazionale e considerando il moto omoener-getico per un fluido avente velocitagrave V e livello entalpico h quando si rallenta il fluido sino a velocitagrave nulla si raggiunge lentalpia totale o di ristagno


Occorre notare che nel rallentamento del fluido la trasformazione espressa dalla H = h + V22 potrebbe non essere necessariamente isoentropica cosigrave come imposto dalla definizione di condizione di ristagno (punto orsquo) potendo lentropia in questo caso solo aumentare per produzione Non puograve ovviamente diminuire percheacute la trasformazione egrave adiabatica La sola condizione necessaria alla H = h + V22 egrave quindi lrsquoomoenergeticitagravedella trasformazione

La condizione di isoentropicitagrave egrave peraltro necessaria per poter deter-minare tutti gli altri parametri termodinamici di ristagno (ad es la poneporsquo)

La relazione H = h + V22 esprime in particolare il concetto che se una correnteavente unentalpia specifica h e una velocitagrave V(punto A) viene rallentata fino a velocitagrave nulla mediante una trasformazione adiabatica e anergodica (punto o) la sua entalpia specifica aumenta della sua energia cinetica specifica(per unitagrave di massa) V22


Per gas piugrave che perfetto h = cpT e cp = γ R (γ - 1) per cui si ha

Poicheacute per un gas piugrave che perfetto il quadrato della velocitagrave del suono laplaciana egrave dato da

ricordando la definizione del numero di Mach (laplaciano) si ottiene

espressione che dagrave lrsquoentalpia totale in funzione di quella statica e del numero di Mach per gas piugrave che perfetto

CONDIZIONI DI RISTAGNO DI UN FLUIDOQuesta relazione mostra che limportanza relativa del termine cinetico rispetto a quello relativo allentalpia sensibile egravemisurata dal quadrato del numero di Mach

In una corrente a basso numero di Mach (M ltlt 1) lentalpia di ristagno praticamente coincide con quella sensibile Ad esempio in una corrente di aria (γ = 14) a M = 01 (che a temperatura ambiente corrisponde ad una velocitagrave di circa 120kmh) lentalpia di ristagno egrave superiore a quella sensibile di appena 0002 (cioegrave il 2 per mille)Correnti di questo tipo vengono dette microsoniche o iposoniche

In una corrente ad elevato numero di Mach lentalpia di ristagno risulta di gran lunga maggiore di quella sensibile il cui contributo potrebbe essere al limite trascurato Ad esempio in una corrente di aria a M = 10 risulta che lentalpia sensibile rappresenta appena il 48 dellentalpia totale (121) Correnti di questo tipo vengono dette ipersoniche


Per un gas piugrave che perfetto uguagliando le relazioni

Come giagrave detto il quadrato del numero di Mach puograve essere pertanto considerato proporzionale al rap-porto tra lrsquoenergia cinetica ordinata V22 e quella disordinata h

si ricava

e


Le considerazioni giagrave fatte per lentalpia totale (per bassi e alti numeri di Mach) possono essere identicamente riproposte per la temperatura di ristagno (o totale) To

La temperatura T egrave detta temperatura statica o sensibile della correnteQuestultima puograve essere anche definita come la temperatura misurata da un termometro che viaggia alla stessa velocitagrave della corrente

Nel caso di gas piugrave che perfetto la temperatura di ristagno o totale To egraveimmediatamente derivabile dalla relazione H = h + V22 dividendo entrambi i membri per cp

ovvero in termini di numero di Mach dalla relazione

dividendo sempre per cp si ottiene

CONDIZIONI DI RISTAGNO DI UN FLUIDODalla relazione fondamentale entropica per un gas piugrave che perfetto

per cui sostituendo nella formula precedente la relazione

si ottiene lespressione della densitagrave di ristagno o totale ρo in funzione di quella statica

per una trasformazione isoentropica

e ricordando che si ricava


Sostituendo nella

la prima equazione di stato p = ρ RT di un gas piugrave che perfetto si ottiene il rapporto tra la pressione di ristagno o totale po e la pressione statica pdella corrente

ovvero

Anche la pressione statica p egrave quella misurata da un manometro che viaggia alla stessa velocitagrave della corrente

FATTORE DI COMPRESSIBILITArsquo

Sviluppando in serie di Mac-Laurin lrsquoespressione della pressione di ristagno

per bassi numeri di Mach (M ltlt 1) si ottiene

od in altra forma

Poicheacute la quantitagrave

si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1


Per M ltlt 1 questa formula coincide con quanto si ricaverebbe dallapplicazione dellequazione di Bernoulli (per moti incompressibili) senza il termine ρ g z

Si puograve quindi concludere che un moto omoenergetico (adiabatico e anergodico) e isoentropico (ipotesi fatte per le condizioni di ristagno) si puograve considerare incompressibile se il suo numero di Mach egrave bassoLa quantitagrave ρ V2 2 egrave chiamata pressione dinamica della corrente

Il rapporto

Per moti incompressibili (M ltlt 1) si ha ovviamente Fc = 1

egrave definito come fattore di compressibilitagrave del moto

ELLISSE DELLE VELOCITArsquoIn condizioni omoenergetiche e stazionarie si ha

La massima velocitagrave raggiungibile da un gas che possiede unrsquoentalpia totale pari ad H detta anche velocitagrave limite o velocitagrave massima egrave data da

che corrisponde alla condizione per la quale si annulla lentalpia sensibile h = 0

che esprime la velocitagrave raggiunta in un moto incompressibile sotto un battente di pressione H

In quel caso infatti lrsquoenergia potenziale trasformata dal fluido in energia cinetica per unitagrave di massa egrave gH mentre in questo caso egrave tutta la H

Si noti come la precedente relazione ricordi la ben nota formula di Torricelli

H

V

ELLISSE DELLE VELOCITArsquo

Osservando inoltre che per un gas piugrave che perfetto

si ha

e quindi

in cui ao rappresenta la velocitagrave del suono laplaciana in condizioni di ristagno

ricordando che diventa lrsquoequazione di unrsquoellisse in forma canonica

per cui lrsquoequazione

Questa equazione rappresenta la cosiddetta ellisse delle velocitagrave raffigurata per il quadrante di interesse nella figura a lato

Si ritrova ovviamente che

per a = h = 0 rarr V = Vl

per V = 0 rarr a = a0

Egrave interessante notare come allrsquoaumentare della velocitagrave V la velocitagrave del suono adiminuisca e viceversa

Nella figura egrave anche indicata la bisettrice del quadrante di equazione V = ache corrisponde alle condizioni soniche per le quali si ha M = 1 Per tali condizioni la velocitagrave del fluido V coincide con quella del suono a pari a

Le condizioni termofluidodinamiche corrispondenti a M = 1 sono generalmente indicate con lapice lowast e sono dette condizioni critiche


Poicheacute M = Va = cotgδ = 1tanδ la zona dellrsquoellisse a sinistra della retta M = 1 corrisponde a condizioni di moto subsonico (M lt 1) mentre quella a destra a moto supersonico (M gt 1)

Nellambito di queste due zone si possono riconoscerne altre due una per numeri di Mach molto bassi giagrave detta di moto iposonico e laltra per numeri di Mach molto alti giagrave detta di moto ipersonico

La zona a cavallo della retta M = 1 egrave detta di moto transonico

aV

La prima zona (iposonica) che corrisponde al tratto di curva a sinistra dellellisse delle velocitagrave dove egrave possibile approssimare lellisse stessa con la sua tangente (orizzontale) nel punto di intersezione con lrsquoasse delle a egravecaratterizzata dal fatto che il fattore di compressibilitagrave del moto egrave molto prossimo allunitagrave (per M = 02 rarr Fc = 1010) e quindi il moto se egrave anche omoenergetico e reversibile puograve essere considerato incompressibile

La seconda zona (ipersonica) che corrisponde al tratto di curva a destra dellellisse delle velocitagrave dove egrave possibile approssimare lellisse stessa con la sua tangente (verticale) nel punto di intersezione con lrsquoasse delle V egrave caratte-rizzata dal fatto che lenergia cinetica ordinata egrave molto maggiore di quella disordinata h

Va qui comunque osservato che nel caso di moto ipersonico gli effetti di gas reale possono diventare molto importanti per cui occorre abbandonare lipotesi di modello di gas piugrave che perfetto

VELOCITArsquo DI PROPAGAZIONE DEI PICCOLI DISTURBI DI PRESSIONE

Un piccolo disturbo di pressione viaggia in un condotto alla velocitagrave a (verso destra) attraverso un fluido in quiete In un nuovo sistema di riferimento avente velocitagrave a rispetto al primo il disturbo di pressione si puograve fermare

aΔt


dV positivo (corrente che accelera) dagrave dp e dρ positivi (compressione) e viceversa

Lequazione di conservazione della massa per moti stazionari in forma differenziale

tenendo conto che V = ndash a dagrave luogo a

(a)

Trascurando la forza peso lequazione del bilancio della quantitagrave di moto

tenendo ancora conto che V = ndash a conduce a

(b)Eliminando tra la (a) e la (b) la quantitagrave dV si ottiene


= RT (gas perfetto)

= γ RT (gas perfetto)

Si hanno quindi almeno due diverse velocitagrave caratteristiche di propagazione dei piccoli disturbi di pressione

Delle due la velocitagrave che riguarda quasi sempre le presenti applicazioni egravequella laplaciana

Attenzione Per ricavare le due velocitagrave non si egrave fatta alcuna ipotesi sul modello di gas quindi le formule sono valide qualunque sia il modello di gas utilizzato

La velocitagrave di propagazione dei piccoli disturbi di pressione (del suono) newtoniana (isoterma) egrave definita dalla relazione

La velocitagrave di propagazione dei piccoli disturbi di pressione (del suono) laplaciana (isoentropica) egrave definita dalla relazione


Del fatto che il suono sia un piccolo disturbo di pressione ci si puograve facilmente convincere con un aneddoto riportato in una delle edizioni della Enciclopedia Britannica

Se in una notte di agosto si ha la ventura di passeggiare in aperta campagna si puograve sentire a lungo un grillo cantare In effetti egrave dimostrato che in assenza di rumori di fondo si puograve ascoltare il canto del grillo a piugrave di un chilometro di distanza Ciograve significa che il grillo mette in movimento almeno tutta lrsquoaria racchiusa in una semisfera di raggio un chilometro

Questa semisfera ha un volume 2πR33 che puograve essere approssimato con 2R3 (dove R egrave il raggio della semisfera) e che quindi risulta 2 times 109m3

Poicheacute la densitagrave dellrsquoaria alla temperatura di 20degC (siamo in agosto) ed alla pressione di una atmosfera egrave pari a circa 12kgm3 risulta che il grillo mette in movimento con il suo canto una massa pari a 24 times 109kg di aria (due milioni quattrocentomila tonnellate)

I corrispondenti disturbi di pressione devono essere decisamente piccoli poicheacute la potenza sonora emessa dal violino del grillo egravenecessariamente limitata

1km

INFLUENZA DEL NUMERO DI MACH IN UN CONDOTTO AD AREA VARIABILE

Si consideri ora un moto quasi unidimensionale quasi stazionario omoenergetico e isoentropico attraverso un condotto ad area variabileSi sta quindi considerando il moto di un fluido attraverso un condotto che presenta variazioni della sua area trasversale

Ricordando lrsquoespressione per la velocitagrave di propagazione dei piccoli disturbi di pressione (del suono) laplaciana (isoentropica)

lrsquoequazione di conservazione della massa in forma differenziale per moti unidimensionali e stazionari

puograve essere scritta nella forma


Si ricorda che la forma differenziale dellrsquoequazione generale del bilancio della quantitagrave di moto per moti unidimensionali e stazionari egrave la seguente

e tenendo presente che per il particolare problema in esame nella fattispecie si puograve porre

(poicheacute si trascurano sia le forze viscose che quelle gravitazionali) si ottiene


Sostituendo questa relazione

nella equazione prima trovata

e ricordando la definizione del numero di Mach (laplaciano) si ottiene infine la relazione che lega la variazione di velocitagrave a quella di area

Attenzione Anche per ricavare lrsquoultima relazione non egrave stata fatta alcuna ipotesi sul modello di gas per cui essa egrave valida qualunque sia il modello di gas utilizzato


Moto SubsonicoM lt 1

Moto SupersonicoM gt 1

dA rarr

dV rarr

bull in un moto supersonico (M2 gt 1) il fluido accelera (dV gt 0) in un condotto divergente (dA gt 0) mentre decelera (dV lt 0) in un condotto convergente (dA lt 0)

Vediamo cosa succede

bull in un moto subsonico (M2 lt 1) il fluido accelera (dV gt 0) in un condotto convergente (dA lt 0) mentre decelera (dV lt 0) in un condotto divergente (dA gt 0) Si ha quindi lo stesso comportamento di un moto incompressibile (moto iposonico)


bull se M2 = 1 deve necessariamente essere dA = 0 cioegrave la sezione retta del condotto deve avere un punto di stazionarietagrave in particolare un minimoo un massimo Egrave facile convincersi che per raggiungere M2 = 1 il

condotto deve presentare una sezione di minimo Infatti se la sezione presentasse un massimo una corrente subsonica che si muovesse verso detta sezione decelererebbe mentre una corrente supersonica accelere-rebbe senza mai poter raggiungere M2 = 1 bullQuando M2 = 1 si puograve avere sia dV = 0 che dV ne 0 e cioegrave il passaggio da moto subsonico a supersonico o viceversa

Space Shuttle as seen from its back with fired engines


bull La condizione dA = 0 (gola del condotto quando lrsquoarea egrave minima) puograve comportare dV ne 0 solo se M2 = 1 potendosi comunque avere anche per M2 = 1 dV = 0

bull Il punto M2 = 1 (che comporta dA = 0) egrave quindi un punto di biforcazionedella soluzione e cioegrave del comportamento del fluido in quanto lo stesso puograve sia passare da moto subsonico a supersonico ovvero ritornare ancora subsonico che passare da moto supersonico a subsonico ovvero ritornare ancora supersonico

bull In un condotto convergente (dA lt 0) un moto subsonico (risp supersonico) puograve solo accelerare (risp decelerare) fino a M = 1


Dato ora un ugello convergente divergente di cui sia nota la distribuzione dellarea della sua sezione retta A = A(x) in funzione della ascissa x fissata lungo lasse del condotto si ha

Per un gas piugrave che perfetto saragrave in seguito ricavata la relazione

che sostituita nellrsquoequazione

diventa


Le curve colorate non rappre-sentano soluzioni del problema percheacute non connettono gli stati a monte con quelli a valle e preve-dono M = 1 non nella sezione di gola

ADIMENSIONALIZZAZIONE

= rrr

rAVtSr V

Il raggruppamento adimensionale

che moltiplica il termine instazionario egrave chiamato numero di Strouhal Esso rappresenta limportanza relativa del termine instazionario rispetto al termine convettivo nellequazione di conservazione della massa

Se lintegrale di superficie egrave esteso a un dominio semplicemente connessoda cui entra o esce massa (una sola superficie permeabile) poicheacute entrambi i termini che contengono le grandezze asteriscate sono di O(1) anche il numero di Strouhal egrave di ordine di grandezza unitario e non puograve essere altrimenti percheacute lequazione consta di due termini uguali e di segno opposto

In tal caso bisogneragrave tenere conto di tutti e due i termini e se la scelta delle grandezze di riferimento egrave stata corretta il fatto che Sr = O(1) permette ad esempio la stima del tempo caratteristico del fenomeno in esame

Se invece lintegrale di superficie egrave esteso a due diversi domini permeabili dei quali in uno entra massa e dallaltro ne esce e se il numero di Strouhal egravesufficientemente basso il termine instazionario potragrave essere trascurato rispetto agli altri due termini





poi gt pa










rarrSr




lowast dAnV2A ρ






CONCLUSIONI





gtgt 1






rarr





















Fig 1 Fig 2



ltlt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxdA

A




1 1 2ltlt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dxdA

A

r









Aini




V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa







poi gt pa










rarrSr




lowast dAnV2A ρ






CONCLUSIONI





gtgt 1






rarr





















Fig 1 Fig 2



ltlt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxdA

A




1 1 2ltlt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dxdA

A

r









Aini




V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa












rarrSr




lowast dAnV2A ρ






CONCLUSIONI





gtgt 1






rarr





















Fig 1 Fig 2



ltlt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxdA

A




1 1 2ltlt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dxdA

A

r









Aini




V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa








CONCLUSIONI





gtgt 1






rarr





















Fig 1 Fig 2



ltlt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxdA

A




1 1 2ltlt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dxdA

A

r









Aini




V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa







gtgt 1






rarr





















Fig 1 Fig 2



ltlt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxdA

A




1 1 2ltlt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dxdA

A

r









Aini




V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa






rarr





















Fig 1 Fig 2



ltlt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxdA

A




1 1 2ltlt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dxdA

A

r









Aini




V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa





















Fig 1 Fig 2



ltlt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dxdA

A




1 1 2ltlt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dxdA

A

r









Aini




V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa






1 1 2ltlt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dxdA

A

r









Aini




V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa











Aini




V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa






V1 n1 = - V1 V2 n2 = V2






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa






























-g middot idx =-

dz





rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa







rarr







Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa









Ponendo



si ottiene infine

















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa



















Lrsquoequazione












dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa








dagrave luogo a




























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa






























si ricava

e













Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa















Sostituendo nella


ovvero





od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa






od in altra forma


si ha

(1 + x)a = 1 + ax + a(a - 1)x22 +

x ltlt 1




Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa






Il rapporto









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa









H

V



si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa





si ha

e quindi















aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa














aV






aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa








aΔt





(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa







(a)





= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa




= RT (gas perfetto)













1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa









1km


















dA rarr

dV rarr
















diventa




















dA rarr

dV rarr
















diventa















diventa



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