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Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004

Cristian Secchi Pag. 1

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522234

e-mail: [email protected]://www.ingre.unimore.it/staff/secchi

TEORIA DEI SISTEMILaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale – Indirizzo Gestione Industriale

TEORIA DEI SISTEMITEORIA DEI SISTEMISTABILITA’STABILITA’

Cristian Secchi Stabilità -- 2Teoria dei Sistemi

Stabilità del movimentoStabilità del movimento

In sintesi, il problema della stabilità consiste nell’esaminare se il comportamento di un sistema perturbato è simile a quello nominale.

Il comportamento del sistema è un particolare movimento:

dove

ed è individuato dall’istante iniziale, dallo stato iniziale e dalla funzione di ingresso, cioè dalla tripla

La perturbazione considerata consiste nella sola variazione dello stato iniziale. Diremo che il comportamento del sistema è stabile se, perturbando lo stato iniziale, il movimento risultante è “abbastanza” simile a quello nominale.




Stabilità del movimentoStabilità del movimentoPer poter definire il concetto di “abbastanza simile” è necessario che sia definita una distanza, e, quindi, una norma, nello spazio degli stati X. In tal caso è possibile dare la seguente definizione:

Definizione [Stabilità secondo Lyapunov]: Un movimento

si dice:

semplicemente stabile, se ∀ ε > 0 ∃ δ >0 tale che per ogni che soddisfa

si ha



instabile, se non è stabile

asintoticamente stabile, se è stabile e inoltre:

Mentre la semplice stabilità richiede che il movimento perturbato rimanga vicino al movimento nominale, l’asintotica stabilità impone qualcosa di più, cioè che la perturbazione venga in qualche modo“assorbita” e che il movimento perturbato tenda a quello nominale.




Interpretazione geometrica della stabilitàInterpretazione geometrica della stabilità

x1

x2

t

2δ

2ε

movimento nominale

movimento perturbato

Movimento stabile



x1

x2

t

2δ

2ε

movimento nominale


Movimento asintoticamente stabile





x2

t

2δ

2ε

movimento nominale


Movimento instabile


Stabilità del movimento Stabilità del movimento

La definizione di stabilità è locale poiché non vengono posti limiti per la scelta di δ che può essere scelto piccolo a piacere. E’ possibile dare una definizione globale di stabilità:

Definizione (GAS): Un movimento

si dice globalmente asintoticamente stabile (GAS), se ∀ ∈ X

Un movimento GAS è in grado di assorbire una perturbazione di qualsiasi entità.





L’esame della stabilità è legata al particolare movimento che si sta considerando. In uno stesso sistema possono esistere, al variare di istante iniziale, stato iniziale o funzione di ingresso, sia movimenti stabili che movimenti instabile. Pertanto, non ha senso, in generale, dire che un sistema è stabile o instabile in quanto la proprietà di stabilità è associata a un singolo movimento.


Esempio Esempio –– Stabilità sempliceStabilità semplice

Consideriamo un sistema dinamico composto da un generatore di corrente u(t) e da un condensatore C; scegliamo come variabile di stato x(t) la tensione ai capi del condensatore.

Cu(t) x(t)

Il generico movimento del sistema è rappresentato da:




Esempio Esempio –– Stabilità sempliceStabilità semplice

Consideriamo il movimento corrispondente a:

In tal caso:

Il movimento perturbato è dato da:

Pertanto, preso δ=ε, si ha che per

risulta

Pertanto il movimento è stabile.


Esempio Esempio –– Stabilità asintoticaStabilità asintotica

Consideriamo un sistema dinamico composto da un generatore di corrente u(t), da un condensatore C e da una resistenza R; scegliamo comevariabile di stato x(t) la tensione ai capi del condensatore.

Cu(t) x(t)

R

Il sistema è retto dall’equazione differenziale:





considerando le condizioni nominali:

e sfruttando il fatto che:

Si ottiene che il movimento nominale è:



Il movimento perturbato è dato da:

Pertanto, preso δ=ε si ha che per

risulta

Inoltre

Pertanto il movimento è asintoticamente stabile.




Stabilità dell’equilibrioStabilità dell’equilibrio

La definizione di stabilità del movimento si applica anche al caso particolare di movimenti costanti, cioè al caso di stati di equilibrio. E’ utile specializzare la definizione generale per il caso della stabilità di stati di equilibrio.

Definizione: Uno stato di equilibrio corrispondente ad un ingresso e ad un istante iniziale si dice semplicemente stabile se per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che per tutti gli che soddisfano la relazione:

si ha


Stabilità dell’equilibrioStabilità dell’equilibrio

Lo stato di equilibrio si dice asintoticamente stabile, se è stabile ed inoltre vale la relazione:

Lo stato di equilibrio si dice instabile se non è stabile.

Prima di studiare la stabilità di un punto di equilibrio occorre trovare quali sono i punti di equilibrio di un sistema dinamico …




L’equilibrio nei sistemi regolariL’equilibrio nei sistemi regolari

Consideriamo il problema di determinare gli stati di equilibrio di un sistema regolare e tempo invariante.

Non si perde di generalità nel considerare solo funzioni di ingresso costanti u(t)=u0. Infatti per un sistema regolare e tempo invariante tutti gli stati di equilibrio sono ottenibili medianti funzioni di ingresso costanti.

Un sistema regolare e tempo invariante può essere descritto da:



Lo stato xe è uno stato di equilibrio relativo all’ingresso costante u(t)=u0per il sistema se:

Definendo la funzione:

L’evoluzione del sistema autonomo (cioè senza ingresso) :

a partire da qualsiasi stato x(t0) coincide con quello del sistema originario sollecitato dall’ingresso u0. In particolare xe è stato di equilibrio per il sistema autonomo se e solo se è stato di equilibrio per il sistema originale.





Pertanto la ricerca degli stati di equilibrio relativi a un certo ingresso può essere ricondotto allo studio degli stati di equilibrio di un sistema autonomo.

Gli stati di equilibrio di un sistema autonomo sono tutte e sole le soluzioni dell’equazione algebrica:

D’ora innanzi ci concentreremo sulla stabilità dell’equilibrio per sistemi autonomi. Vedremo poi come poter generalizzare alla stabilità del movimento i risultati che otterremo.


EsempioEsempio

Si consideri un pendolo semplice di massa m e lunghezza l sotto l’azione della forza di gravità:

mgm

ϑ l




EsempioEsempio

Considerando come variabili di stato la posizione angolare rispetto alla verticale e la velocità angolare, cioè:

si ha che il comportamento del sistema può essere modellato (provare a ricavare il modello!) dalle seguenti equazioni:


EsempioEsempio

Il sistema è autonomo e, pertanto, gli stati di equilibrio si ottengono risolvendo:

La prima equazione ci dice che gli stati di equilibrio sono ovviamente caratterizzati da velocità nulla. Dalla seconda equazione otteniamo che:




EsempioEsempio

Limitandoci a 0 · ϑ · 2π abbiamo due stati di equilibrio:

corrispondenti alle seguenti configurazioni del pendolo:

x1=0 x2=0 x1=π x2=0


EsempioEsempio

Dall’esempio è evidente che non ha senso dire se il sistema è stabile o instabile. Infatti il pendolo possiede sia configurazioni stabili (es.: (0,0)) che configurazioni instabili (es.: (π,0)). Ha senso parlare di stabilità solo in relazione a un particolare movimento o a un particolare stato di equilibrio.




Significato pratico della stabilitàSignificato pratico della stabilità

La definizione di stabilità data considera solo perturbazioni sullo stato iniziale.

Tuttavia in pratica le perturbazioni agiscono sul sistema durante tutta la sua evoluzione e non solo all’istante iniziale. Tali perturbazioni, dette anche disturbi, sono ad esempio dovute a:

• Errori nella modellazione del sistema • Applicazioni di un carico al sistema• Rumore elettromagnetico

Un importante risultato afferma che se un movimento è asintoticamente stabile nel senso di Lyapunov (cioè per perturbazioni sullo stato iniziale) allora è stabile anche nel caso di perturbazioni persistenti.


Proprietà di Proprietà di MalkinMalkin (1958)(1958)

Sia xe uno stato di equilibrio asintoticamente stabile in corrispondenza di un ingresso costante u(t)=u0 per il sistema regolare e tempo invariante

allora ∀ ε>0 esistono un η>0 e un δ>0 tali che per tutti gli x(t0) che soddisfano la relazione

e per tutti i disturbi p(x(t),t) che soddisfano

il movimento relativo al sistema perturbato φp(t,t0,x(t0),u0) soluzione di

è semplicemente stabile, cioè:




Criteri di stabilitàCriteri di stabilità

Esistono due metodi per testare la stabilità di un punto di equilibrio:

1) Primo metodo di Lyapunov: Si esegue un’analisi diretta sulle soluzioni dell’equazione di stato

2) Secondo metodo di Lyapunov: L’analisi della stabilità si effettua utilizzando, oltre l’equazione di stato, opportune funzioni scalari definite sullo spazio di stato dette Funzioni di Lyapunov.

Il primo metodo di Lyapunov è di scarsa applicabilità poiché, come già sottolineato in precedenza, l’equazione di stato è un’equazione differenziale non lineare e non esiste una forma chiusa per trovare una soluzione. Il secondo metodo non richiede di risolvere l’equazione di stato ed è di gran lunga il più utilizzato in pratica. Noi analizzeremo in dettaglio il secondo metodo di Lyapunov.


Criteri di stabilitàCriteri di stabilità

Supporremo, per semplicità, che il sistema dinamico regolare e tempo invariante preso in considerazione abbia uno stato di equilibrionell’origine. E’ sempre possibile, nel caso il sistema ammetta almeno uno stato di equilibrio, riportarsi in questa situazione con unatrasformazione degli assi cartesiani.

Pertanto, in virtù di quanto detto finora, nel seguito svilupperemo il secondo metodo di Lyapunov per lo studio della stabilità dello stato di equilibrio xe=0 del sistema autonomo:




Funzioni definite e Funzioni definite e semidefinitesemidefinite positivepositive

Definizione: Sia W ⊂ X=Rn un intorno dell’origine. Una funzione continua:

si dice semidefinita positiva se:

si dice invece definita positiva se


Esempi di funzioni definite positiveEsempi di funzioni definite positive

Sia Rn=R2.

x y

x y




Funzioni definite e Funzioni definite e semidefinitesemidefinite negativenegative

Definizione: Sia W ⊂ X=Rn un intorno dell’origine. Una funzione continua:

si dice semidefinita negativa se:

si dice invece definita negative se


Esempi di funzioni definite negativeEsempi di funzioni definite negative

Sia Rn=R2.




Forme QuadraticheForme Quadratiche

Sia P una matrice quadrata n × n, simmetrica e (semi)definita positiva. La forma quadratica:

è una funzione (semi)definita positiva.

Una matrice quadrata n × n e simmetrica si dice:

1) definita positiva: se tutti i suoi autovalori sono maggiori di zero2) semidefinita positiva: se tutti i suoi autovalori sono maggiori o

uguali a zero.


Derivata della funzione V(x(t))Derivata della funzione V(x(t))

Si consideri il sistema regolare tempo invariante e autonomo:

e sia W ⊂ X un intorno dell’origine, sul quale è definita una funzione V(x) scalare continua e con derivate prime continue:

Definiamo:




Derivata della funzione V(x(t))Derivata della funzione V(x(t))

Se x(t) è una soluzione del sistema si ha che, lungo tale soluzione:

Si noti che la derivata di V(x(t)) NON richiede la determinazione del movimento e, quindi, non richiede l’integrazione (spesso molto difficoltosa) dell’equazione di stato.


Criterio di Stabilità di LyapunovCriterio di Stabilità di Lyapunov

Sia x=0 uno stato di equilibrio per il sistema

se in un intorno W dell’origine esiste una funzione V(x):W→ R definita positiva e con derivate prime continue e se è semidefinita negativa , allora l’origine è stabile. Se è definita negativa, allora l’origine è asintoticamente stabile.

Una funzione V(x) che soddisfa le precedenti ipotesi è detta funzione di Lyapunov per il sistema.




Criterio di Stabilità di LyapunovCriterio di Stabilità di Lyapunov

Il criterio di Lyapunov è una condizione sufficiente ma non necessaria. Non è detto, in generale, che l’origine non sia stabile se non esiste una funzione di Lyapunov definita in un intorno dell’origine. Tuttavia esistono i cosiddetti teoremi inversi di Lyapunov che dimostrano che l’esistenza di una funzione di Lyapunov è anche condizione necessaria per la stabilità dello stato di equilibrio nella maggior parte dei sistemi dinamici di interesse.

Non esiste un algoritmo per trovare la funzione di Lyapunov relativa a un sistema. La funzione di Lyapunov si deve cercare per tentativi, basandosi sul tipo di funzione di stato e su eventuali considerazioni fisiche.


Interpretazione del criterio di LyapunovInterpretazione del criterio di LyapunovIl criterio di Lyapunov non è altro che una generalizzazione del fatto, ben noto dalla fisica, che un sistema meccanico, se lasciato libero di evolvere, tende a portarsi in una configurazione dove la sua energia potenziale è minima.

La funzione di Lyapunov può essere interpretata come una funzione di energia potenziale generalizzata. Il criterio di Lyapunov dice che uno stato di equilibrio è stabile se:

a) E’ il minimo per una certa funzione di energia generalizzata (cioè se esiste un funzione di Lyapunov definita positiva)

b) Se il sistema tende a portarsi verso la configurazione di minimo della funzione di Lyapunov (cioè se la derivata della funzione di Lyapunov è semidefinita negativa)

In virtù di tali considerazioni, quando si analizza la stabilità di stati di equilibrio di sistemi fisici, un buon punto di partenza per la scelta della funzione di Lyapunov consiste nel considerare una funzione legata all’energia del sistema.




EsempioEsempio

Si consideri un pendolo semplice di massa m e lunghezza l sotto l’azione della forza di gravità:

mgmϑ

l

Il sistema ha due punti di equilibrio: (x1,x2)=(0,0) e (x1,x2)=(π,0). Supponiamo di voler studiare la stabilità del punto (0,0).


EsempioEsempio

Consideriamo come funzione di Lyapunov l’energia totale del sistema:

Energia cinetica Energia potenziale

Consideriamo il seguente intorno dell’origine:

x1

x2




EsempioEsempio

V(0,0)=0 e V(x1,x2)>0 ∀ (x1,x2) ∈ W (x1,x2) ≠ (0,0), pertanto V(x1,x2) è definita positiva.

La derivata di V(x1,x2) è semidefinita negativa e pertanto, lo stato di equilibrio (0,0), come era intuitivo aspettarsi, è stabile in virtù del criterio di Lyapunov.


EsempioEsempio

Supponiamo ora che sia presente un attrito che genera una forza proporzionale alla velocità angolare con un coefficiente b>0. In tal caso, il modello del pendolo semplice smorzato risulta (provare a ricavarlo!):

I punti di equilibrio del sistema sono gli stessi del pendolo semplice non smorzato. Analizziamo ancora una volta la stabilità dello stato di equilibrio (x1,x2)=(0,0). Consideriamo lo stesso intorno dell’origine e la stessafunzione di Lyapunov considerati per il pendolo semplice non smorzato. V(x1,x2) è definita positiva in W ma, nel caso in considerazione, si ha che:

La derivata risulta definita negativa e, quindi, (0,0) è asintoticamente stabile




Teorema di Teorema di BarbashinBarbashin--KrasowskiiKrasowskii

Siccome le proprietà di stabilità e asintotica stabilità sono locali anche il criterio di Lyapunov è locale (infatti è richiesto che la funzione di Lyapunov sia definita solamente in un intorno dell’origine). Se nello stato di equilibrio è soddisfatto il criterio di Lyapunov, significa che, per perturbazioni abbastanza piccole dello stato iniziale, il movimento del sistema rimane vicino allo stato di equilibrio (nel caso di stabilità) oppure vi torna asintoticamente (nel caso di asintotica stabilità).

Il criterio di Lyapunov non è sufficiente per testare se lo stato di equilibrio è globalmente asintoticamente stabile (GAS), cioè se, a partire da un qualsiasi stato iniziale, il sistema torna asintoticamente nello stato diequilibrio.

Per poter testare se un punto di equilibrio è GAS occorre imporre qualche ulteriore condizione sulla funzione di Lyapunov.


Teorema di Teorema di BarbashinBarbashin--KrasowskiiKrasowskii

Teorema di Barbashin-Krasowskii:

Sia x=0 uno stato di equilibrio per il sistema

Lo stato di equilibrio è GAS se esiste un funzione definita su tuttolo spazio degli stati V(x):X → R continua e con derivate prime continue tale che:

1. V(x) è definita positiva

2. è definita negativa

3. V(x) radialmente illimitata, cioè




EsempioEsempio

Il punto di equilibrio (0,0) del pendolo semplice smorzato è asintoticamente stabile ma NON globalmente asintoticamente stabile. Infatti, nonostante V(x) sia definita su tutto X e la sua derivata sia definita negativa su tutto X:

A causa della presenza del coseno, il limite non è definito e, pertanto, la funzione di Lyapunov non è radialmente illimitata e, quinidi, il teorema di Barbashin-Krasowskii non è soddisfatto.


Criterio di stabilità di Criterio di stabilità di LaSalleLaSalle--KrasowskiiKrasowskii

Il criterio di stabilità di LaSalle-Krasowskii è un raffinamento del criterio di Lyapunov; esso consente di verificare l’asintotica stabilità di un punto di equilibrio anche nei casi in cui il criterio di Lyapunov può garantire solo la stabilità semplice.

Criterio di LaSalle-Krasowskii

Sia x=0 uno stato di equilibrio per il sistema descritto da

Se:

1. In un intorno W dell’origine esiste una funzione V(x):W→ R definita positiva continua con derivate continue

2. La funzione è semidefinita negativa3. L’insieme N={ x ∈ W | =0} non contiene traiettorie

perturbate

Allora x=0 è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.




EsempioEsempio

Consideriamo il circuito elettrico in figura in cui è presente un elemento non lineare N con una caratteristica corrente–tensione IN=g(v) in cui g(v) è una funzione tale per cui vg(v)>0. Consideriamo il vettore di stato x=(I,v)T. Il sistema è descritto dalle seguenti equazioni:

v

g(v)

N LC

INI

v


EsempioEsempio

L’origine (I,v)=(0,0) è un punto di equilibrio. Per studiarne la stabilità consideriamo la funzione definita positiva:

che rappresenta l’energia totale accumulata nel sistema.

quindi, per il criterio di Lyapunov, il punto di equilibrio è almeno semplicemente stabile.




EsempioEsempio

L’insieme dei punti in cui si annulla la derivata di V(x) sono:

Un movimento è totalmente contenuto in N se e solo se in ogni istante v(t)=0. Imponendo questa condizione, dalla seconda equazione di stato, si ottiene:

Ma allora il movimento si riduce all’origine e, pertanto, non esistono traiettorie perturbate completamente contenute in N. Quindi, applicando il criterio di LaSalle-Krasowskii si conclude che l’origine è asintoticamente stabile.


Criterio di instabilità di LyapunovCriterio di instabilità di Lyapunov

Sia x=0 uno stato di equilibrio per il sistema descritto da

e sia W un intorno dell’origine nel quale sia definita una funzione V(x):W→ R continua e con derivate prime continue. Se:

1. V(x) è definita positiva

2. è definita positiva

Allora l’origine è un punto di equilibrio instabile




Criterio di instabilità di LyapunovCriterio di instabilità di Lyapunov

Il criterio di instabilità di Lyapunov è il risultato più basilare per testare l’instabilità di un punto di equilibrio. Esistono svariate generalizzazioni e raffinamenti del criterio; in particolare, il risultato più generale per testare l’instabilità di un punto di equilibrio è il criterio di Cetaev.



I criteri visti finora servono per testare la stabilità o l’instabilità di un punto di equilibrio. Tuttavia, è possibile generalizzare quanto visto finora per valutare la stabilità di un movimento.

Lo studio della stabilità di un movimento, infatti, può essere ricondotto allo studio di un punto di equilibrio corrispondente all’origine ed è, quindi, possibile utilizzare i criteri illustrati.

Si indichi con:

Il movimento nominale del sistema regolare e tempo invariante preso in considerazione.





Si avrà:

Indicando con:

Il generico movimento perturbato, si avrà:

Si consideri il movimento perturbato relativamente al movimento nominale, cioè la differenza z(t) tra movimento perturbato e movimento nominale:



Dalle equazioni di stato si ha che:

E’ evidente che z=0 è uno stato di equilibrio. Siccome il movimento nominale è noto, sono noti i termini:

Pertanto l’unica incognita nell’equazione è z(t). Pertanto possiamo scrivere:

Possiamo usare i criteri visti finora per testare la stabilità o l’instabilità del punto z=0.





Se lo stato di equilibrio z=0 è:

1) Stabile, significa che il movimento perturbato x(t) rimane vicino a quello nominale

2) Asintoticamente stabile, significa che il movimento perturbato x(t) rimane vicino a quello nominale e, inoltre, tende al movimento nominale

3) Instabile, significa che il movimento perturbato x(t) diverge dal movimento nominale.

E’ quindi possibile ricavare le caratteristiche di stabilità di un movimento dallo studio della stabilità del punto di equilibrio relativo al sistema che rappresenta il generico movimento perturbato rispetto al movimento nominale.

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522234

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