Elementi di Teoria dei Sistemi Universit`a di Perugia ... Dei Sistemi/Anno... · Capitolo1:...

Elementi di Teoria dei Sistemi

Universita di Perugia

Dipartimento di Ingegneria

Paolo Valigi

Versione del Febbraio 2014

Indice

1 Modellazione di sistemi dinamici 71.1 I sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Un semplice sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Un ulteriore sistema meccanico: oscillatore smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Un circuito elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Un motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Il pendolo: un robot ad un grado di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Un altro approccio alla modellazione di sistemi meccanici: le equazioni di Lagrange . . . . . . . . 191.8 Modelli decisionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Dinamica di popolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10 Successione di Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.11 Un modello di magazzino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.12 Sistemi a segnali campionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.13 Algoritmi per il calcolo numerico: la radice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.14 Il modello di un motore a combustione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.15 Un modello dell’apparato cardio-circolatorio umano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.16 Un circuito elettrico nonlineare: l’oscillatore di Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.17 Un sistema preda-predatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.18 Modellazione di fenomeni alla scala biomolecolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.19 Un modello di sistema dinamico ad eventi discreti: un sistema soggetto a guasti . . . . . . . . . . 331.20 Un sistema soggetto a guasti: modello stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.21 Un impianto di produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.22 Modellazione della corsa agli armamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.23 Colonna di distillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.24 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Analisi di sistemi lineari stazionari a tempo continuo 392.1 Rappresentazione esplicita per sistemi lineari, stazionari, a tempo continuo . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Matrice di transizione dello stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2 Risposta libera e risposta forzata per sistemi LSTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Analisi modale per sistemi LSTC: approccio nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.1 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.2 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.3 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.4 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori complessi . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.5 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.6 Caratterizzazione di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.7 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.8 Il significato fisico del concetto di autovettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.9 Decomposizione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.10 Il piano delle fasi per sistemi planari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.11 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 La trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.1 Proprieta della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.2 Trasformata di Laplace di segnali notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2

SysDin [Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 0-3

2.3.3 Alcuni teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.4 Esponenziale di matrice e matrice di trasferimento per sistema LSTC . . . . . . . . . . . 632.3.5 Antitrasformata di funzioni razionali proprie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.6 Esercizi svolti sulla trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4 Analisi modale per sistemi LSTC: approccio nel dominio di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.1 Il caso di autovalori distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.2 Il caso di autovalori qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5 Analisi del comportamento ingresso-uscita per sistemi LSTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.2 Risposta indiciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.5.3 Risposta ad ingresso sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.5.4 Il caso dei poli immaginari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.5.5 Risposta permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.6 Risposta armonica e diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.6.1 Tracciamento dei diagrammi di Bode: esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.6.2 Tracciamento dei diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.7 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.7.1 Esempio: analisi di un circuito elettrico RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.7.2 Analisi di un ulteriore circuito elettrico a componenti passivi . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.7.3 Esempio: analisi circuito RLC [RLC100] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.8 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3 Analisi di sistemi lineari stazionari a tempo discreto 1283.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.2 Rappresentazione esplicita per sistemi LTDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2.1 Risposta libera e risposta forzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.3 La trasformata Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.3.1 Proprieta della trasformata Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.3.2 Trasformata Zeta di segnali notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.3.3 Alcuni teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.3.4 Esponenziale di matrice e matrice di trasferimento per sistemi LSTD . . . . . . . . . . . . 1343.3.5 Antitrasformata di funzioni razionali proprie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.3.6 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.4 Analisi modale per sistemi LSTD: approccio nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.4.1 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.4.2 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.4.3 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.4.4 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori complessi . . . . . . . . . . . . . . . 1483.4.5 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.4.6 Caratterizzazione dei modi naturali rispetto alla convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.4.7 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.4.8 Eccitazione di singoli modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.5 Analisi modale per sistemi LSTD: approccio nel dominio Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.5.1 Il caso di autovalori distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.5.2 Il caso di autovalori qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.6 Analisi del comportamento ingresso-uscita per sistemi LSTD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.6.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.6.2 Risposta indiciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.6.3 Risposta ad ingresso sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.6.4 Risposta permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163



4 Stabilita 1694.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2 Definizione di stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.3 Stabilita di sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.3.1 L’equazione di Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.4 Il criterio ridotto di Lyapunov per sistemi non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.5 Il metodo diretto di Lyapunov per sistemi non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.7 Stabilita esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.8 Retroazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.9 Analisi di circuiti con OpAmp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.9.1 Modelli ideali per un OpAmp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.9.2 OpAmp in configurazione non invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.9.3 OpAmp in configurazione invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.9.4 Interconnesione di piu OpAmp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.9.5 Convertitore tensione-corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4.10 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.10.1 Diagramma di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.10.2 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.10.3 Stabilita e robustezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202


5 Proprieta strutturali: raggiungibilita 2075.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.3 Raggiungibilita per sistemi LSTD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.4 Raggiungibilita per sistemi LSTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.5 Risultati notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.6 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6 Allocazione degli autovalori per sistemi scalari 2176.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.2 Regolazione e dinamica d’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.3 Allocazione degli autovalori: formulazione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.4 Allocazione degli autovalori: soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.4.1 Le funzioni di trasferimento a ciclo aperto e a ciclo chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.5 Il caso dei sistemi non completamente raggiungibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.6 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7 Proprieta strutturali: Osservabilita 2287.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.2 Osservabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.3 Dualita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.4.1 Sistemi a singola uscita, tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.4.2 Sistemi a due uscite, tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357.4.3 Sistemi a singola uscita, tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8 Osservatori asintotici dello stato e regolatori in retroazione dall’uscita per sistemi scalari 2388.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.2 Osservatori asintotici dello stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.3 Regolatori dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2398.4 Un esempio: regolazione di un motore a corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.4.1 Le proprieta strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.4.2 Progetto del controllore in retroazione dinamica dall’uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . 242


8.5 Ulteriori problemi di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.5.1 Un problema di regolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.5.2 Inseguimento di traiettoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.5.3 Sistemi a segnali campionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.5.4 Stima dei disturbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

8.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.6.1 Osservatori asintotici e regolatori per sistemi a singolo ingresso e singola uscita . . . . . . 249

9 Esercizi di riepilogo risolti 2529.1 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

9.2.1 Soluzione esercizio 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2549.2.2 Soluzione esercizio 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.2.3 Esercizio 9.3: traccia della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2659.2.4 Esercizio 9.4: traccia della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

A Strumenti geometrici per l’analisi di sistemi dinamici lineari 270A.1 Autovalori ed autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270A.2 Trasformazioni di similarita algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271A.3 Forme canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

A.3.1 Forma diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273A.3.2 Forma canonica reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273A.3.3 Forma di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

A.4 Esponenziale di matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278A.4.1 Forma canonica reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

A.5 Forma di Jordan di sistemi in forma canonica di controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

B Riferimenti 280B.1 Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Capitolo 1: Modelli dinamici [Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 1-7

Capitolo 1

Modellazione di sistemi dinamici

1.1 I sistemi dinamici

In questo capitolo verranno presentati alcuni modelli dinamici di sistemi reali, con lo scopo di illustrare siai metodi e gli strumenti tipici della Teoria dei Sistemi sia i problemi di analisi e progetto che possono essereaffrontati in tale contesto.

Il concetto di sistema e ampio e generico, e viene utilizzato in molto contesti ed ambiti, con molteplici signi-ficati. Nel quadro di questo testo, ed in generale nel quadro dell’Automatica, il riferimento e ai sistemi dinamici,cioe a degli “enti” reali (nel senso di enti esistenti nella realta), in grado di avere interazioni con l’ambienteesterno ed il cui comportamento dipende sia dalla storia passata del sistema stesso sia da tali interazioni.

La dipendenza del comportamento del sistema dalla storia passata e una caratteristica fondamentale per laconnotazione “dinamica”, anzi, e la caratteristica fondamentale di tale connotazione.

L’approccio della Teoria dei Sistemi consiste nell’introdurre un modello astratto, matematico, dell’ente realedi interesse, che prescinda dalla specifica natura fisica sia del sistema stesso sia delle interazioni con l’ambienteesterno. Le proprieta del sistema reale vengono dedotte dalla proprieta del modello matematico astratto.

Un modello matematico, nel senso di questo testo, e costituito da relazioni tra tre classi di segnali, cioe treclassi di funzioni del tempo: a) i segnali di ingresso, che descrivono le interazioni tra ambiente e sistema, b)le variabili di stato, che descrivono in modo completo il comportamento del sistema e che tengono conto dellastoria passata del sistema, e infine, c) i segnali di uscita, che descrivono in modo sintetico il comportamento delsistema (si noti che i segnali di uscita non descrivono entita o quantita che “escono” dal sistema, bensı grandezzedi specifico interesse nello studio del sistema).

Tali relazioni tra gli ingressi, lo stato e le uscite possono essere molto diverse al variare della natura fisicadel sistema.

In questo testo l’attenzione vertera principalmente sui sistemi a variabile continua, sia a tempo discreto siaa tempo continuo, e cioe su sistemi il cui comportamento sia ben descritto da variabili di ingresso, stato e uscitadefinite nell’insieme dei reali o degli interi e a valori nell’insieme dei reali.

Per completezza, verranno presentati anche alcuni esempi di sistemi ad eventi discreti, per i quali le grandezzeche ne descrivono il comportamento assumono valori solo in un insieme discreto.

Una ulteriore caratterizzazione molto importante riguarda la natura delle relazioni tra ingresso, stato eduscita, che possono essere lineari o non lineari, ed essere indipendenti dal tempo o meno.

Piu esplicitamente, il testo tratta (quasi esclusivamente) sistemi lineari, a dimensione finita, stazionari,causali, con evoluzione guidata dal tempo, e descritti da equazioni differenziali, se il tempo e una grandezzareale:

x(t) = Ax(t) +Bu(t), x ∈ Rn, u ∈ R

m (1.1a)

y(t) = Cx(t) +Du(t), y ∈ Rp, (1.1b)

o da equazioni alle differenze finite, se il tempo e una quantita intera:

x(t + 1) = Ax(t) +Bu(t), x ∈ Rn, u ∈ R

m (1.2a)

y(t) = Cx(t) +Du(t), y ∈ Rp. (1.2b)


In entrambe le classi di modelli, le quattro matrici A, B, C e D sono matrici ad elementi reali costanti, didimensioni compatibili con le dimensioni del vettore di stato x, del vettore dei segnali di ingresso u e dl vettoredelle funzioni di uscita y. La matrice A e detta anche matrice dinamica o matrice del sistema, la matrice Bdescrive le modalita con le quali l’ingresso influenza lo stato (sinteticamente, matrice di ingresso), la matriceC descrive le modalita con le quali lo stato determina l’uscita (sinteticamente, matrice di uscita), ed infine lamatrice D descrive il legame diretto ingresso-uscita.

La natura “stazionaria” corrisponde al fatto che le quattro matrici A, B, C e D sono matrici costanti, lanatura “a dimensione finita” corrisponde al fatto che i vettori di ingresso, stato ed uscita hanno dimensionefinita, la natura causale, e cioe il fatto che il futuro non inflenzi il passato e il presente corrisponde al fatto chele equazioni differenziali e alle differenze finite dipendono solo dal valore corrente del segnale di ingresso (nondipendono ne da valori futuri, ne da derivate temporali dell’ingresso).

Alcuni risultati verranno presentati per la classe piu ampia dei sistemi non lineari, sinteticamente descrittidai modelli:

x(t) = f(x(t), u(t)), x ∈ Rn, u ∈ R

m (1.3a)

y(t) = h(x(t), u(t)), y ∈ Rp, (1.3b)

nel caso di sistemi a tempo continuo e, nel caso dei sistemi a tempo discreto, dai modelli:

x(t+ 1) = f(x(t), u(t)), x ∈ Rn, u ∈ R

m (1.4a)

y(t) = h(x(t), u(t)), y ∈ Rp. (1.4b)

In alcune situazioni, in particolare nei sistemi del tipo (1.2) o (1.4), la variabile indipendente puo ancheessere diversa dal tempo. Tale variabile sara comunque indicativa dell’evoluzione del sistema.

Nelle sezioni seguenti vengono presentati esempi di calcolo di modelli dinamici, prevalentemente descritti daequazioni diffenziali e alle differenze finite, e con alcuni esempi di altra natura.

1.2 Un semplice sistema meccanico

Il sistema meccanico rappresentato in Figura 1.1 e costituito da un corpo rigido di massa m che scorre lungoun binario poggiato su di un piano perfettamente liscio, senza attrito, collegato tramite una molla lineare aduna parete rigida e sottoposto all’azione di una forza esterna. Si vuole determinare un modello matematico checonsenta di descrivere il moto del corpo, ed in particolare la traiettoria seguita dal centro di massa.

Il comportamento del sistema puo essere descritto a partire dall’equazione fondamentale del moto (secon-do principio della dinamica): F = ma, tenendo conto di tutte le forze agenti sul sistema, e ricavando lacorrispondente equazione del moto.

m

ℓℓ0

ke fa

Figura 1.1: Sistema meccanico massa-molla

Nel caso in esame, sulla massa agiscono la forza esterna fa(t), esercitata il tramite un opportuno attuatore,e la forza fe(t) esercitata dalla molla. Indicando con ℓ0 la posizione del centro di massa del corpo quando lamolla e a riposo, con ℓ(t) la posizione del centro di massa all’istante t e con ke, ke > 0, la costante di elasticita,la forza esercitata dalla molla e pari a:

fe(t) = −ke(ℓ(t)− ℓ0). (1.5)


La risultate delle forze applicate al corpo e quindi:

f(t) = fe(t) + fa(t) = −ke(ℓ(t)− ℓ0) + fa(t), (1.6)

da cui, indicando con p(t) := ℓ(t) − ℓ0 la posizione della massa rispetto a quella di riposo, e ricordando chea = p, il moto della massa e descritto dalla seguente equazione differenziale del secondo ordine:

mp(t) + kep(t) = fa(t), (1.7)

La soluzione dell’equazione differenziale omogenea associata alla (1.7), data da:

mp(t) + kep(t) = 0, (1.8)

e legata alle radici dell’equazione caratteristica:

mλ2 + ke = 0, (1.9)

che sono immaginarie pure. Ne segue, per noti risultati sulle equazioni differenziali, che la soluzione nellavariabile p(t) e una sinusoide di pulsazione determinata dalle costanti m e ke e con fase ed ampiezza deter-minate dalle condizioni iniziali. Piu precisamente, la pulsazione e data dalla parte immaginaria delle radicidell’equazione caratteristica, e quindi, in questo caso, vale:

ω =

√

kem

. (1.10)

Un tipico andamento della risposta libera in uscita, per ke = 1, m = 1, e per un vettore condizioni inizialix1(0) = 1, x2(0) = 0 (cioe, massa inizialmente nella posizione p = 1, con velocita nulla) e riportato in figura1.2.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Risposta libera di un sistema massa−molla [m=1, ke=1]

Tempo (secs)

Pos

izio

ne p

(t)

del c

entr

o di

mas

sa (

m)

Figura 1.2: Risposta libera nella variabile p(t).

L’equazione omogenea descrive il sistema in evoluzione libera, cioe nelle situazioni in cui la forza esterna enulla. La soluzione sinusoidale individuata implica quindi che, se la forza esterna e nulla, una perturbazionedella condizione di riposo induce un moto oscillatorio permanente della massa.

L’equazione del moto puo essere riscritta sotto forma di sistema di equazioni lineari del primo ordine intro-ducendo le variabili x1(t) := p(t), x2(t) := p(t) = v(t) e u(t) := fa(t):

x1 = x2 (1.11a)

x2 = −kem

x1 +1

mu(t). (1.11b)


Il sistema di equazioni (1.11) viene detto modello dinamico nello spazio di stato. In particolare, le duevariabili x1 ed x2, cioe la posizione e la velocita della massa, costituiscono il vettore di stato del sistema, inquanto racchiudono tutte le informazioni sulla storia passata del sistema rilevanti per determinare l’evoluzionefutura.

La connotazione di modello dinamico deriva dal fatto che la storia passata del sistema, attraverso il vettoredi stato, ne influenza il comportamento corrente e futuro. Viceversa, nel caso di un modello statico, il valorepassato delle variabili non ha alcun ruolo nella determinazione dei rispettivi valori all’istante corrente, ne tantomeno dei loro valori futuri.

Un modello dinamico nello spazio di stato, di norma, e descritto in modo compatto, con una notazionematriciale. Si consideri il vettore di stato x = [x1 x2]

T , e le matrici:

A =

[

0 1

−kem

0

]

, b =

[

01

m

]

, c =[

1 0]

, (1.12)

allora il modello (1.11), insieme all’equazione che descrive il comportamento della variabile di interesse (in questocaso la posizione della massa), puo essere posto nella forma:

x = Ax + bu (1.13a)

y = cx. (1.13b)

La seconda equazione descrive il legame tra la variabile di interesse, detta funzione di uscita, e lo stato delsistema. Si noti infine che il polinomio caratteristico della matrice A, dato da p(λ) = det(λI − A), coincidecon l’equazione caratteristica (1.9). Infatti, gli autovalori della matrice A determinano la forma della soluzionedell’equazione differenziale (1.11), cioe determinano i modi naturali del sistema.

E bene precisare che la forma matriciale (1.13) e strettamente legata alla natura lineare dei fenomeni e dellecorrispondenti equazioni.

La disponibilita di un modello dinamico del sistema in esame consente di analizzarne in modo rigoroso ilcomportamento. Ad esempio, note le condizioni iniziali della massa (posizione e velocita) e nota la legge orariadella forza esterna applicata, si puo determinare la posizione della massa e la sua velocita in qualunque istantefuturo. Il modello dinamico ha insomma un ruolo predittivo, che risulta di fondamentale importanza nell’analisidel comportamento di un sistema.

1.3 Un ulteriore sistema meccanico: oscillatore smorzato

Un modello piu realistico per il sistema massa-molla considera anche la presenza di un termine di attritoviscoso fv, proporzionale alla velocita v(t) della massa tramite un coefficiente di attrito viscoso kv:

fv(t) = −kvv(t). (1.14)

Il sistema e illustrato in figura 1.3.

m

ℓℓ0

ke

kvkv

fa

Figura 1.3: Sistema meccanico massa-molla-smorzamento


In questo caso, la risultante delle forze applicate alla massa e pari a:

f(t) = fe(t) + fv(t) + fa(t) = −kep(t)− kvv(t) + fa(t), (1.15)

e quindi l’equazione che descrive il moto della massa rispetto alla posizione di riposo e:

mp(t) + kv p(t) + kep(t) = u(t). (1.16)

La soluzione dell’equazione omogenea associata alla (1.16) dipende dalle radici dell’equazione caratteristicaassociata:

mλ2 + kvλ+ ke = 0, (1.17)

che in generale non sono immaginari pure. A seconda del valore della costante di smorzamento kv, tali soluzionipossono avere parte reale negativa, nulla o positiva. Nel caso in cui la parte reale sia nulla, che si verifica solo seka = 0, si ricade nel sistema precedente. Se il parametro kv e positivo si hanno due zeri di (1.17) con parte realenegativa (e cioe due autovalori della matrice A con parte reale negativa), e quindi la soluzione nella variabilep(t) e una funzione decrescente in modo esponenziale (si veda la figura 1.4), eventualmente con un terminesinusoidale moltiplicativo se le radici dell’equazione caratteristica sono complesse coniugate.

0 5 10 15−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Risposta libera di un sistema massa−molla [m=1, ke=20, k

v=1]

Tempo (secs)

Pos

izio

ne p

(t)

del c

entr

o di

mas

sa (

m)

Figura 1.4: Risposta libera nella variabile p(t), con smorzamento positivo.

Viceversa, se il parametro kv fosse negativo, le radici dell’equazione caratteristica avrebbero parte realepositiva (e cioe due autovalori della matrice A con parte reale positiva) e quindi la soluzione nella variabile p(t),cioe la posizione del centro di massa, sarebbe una funzione con crescita esponenziale (si veda la figura 1.5),anche in questo caso con un possibile fattore sinusoidale moltiplicativo.

Da un punto di vista fisico, la massa tende a fermarsi nel caso di soluzione decrescente, mentre tende adallontanarsi sempre di piu dalla posizione di riposo nel caso di soluzione crescente: in questo ultimo caso (in cuigli autovalori hanno parte reale positiva) il sistema e instabile.

L’equazione differenziale del secondo ordine (1.17) puo essere riscritta nella forma matriciale:

x =

[

0 1

−kem

−kvm

]

x+

[

01

m

]

, (1.18a)

y =[

1 0]

x. (1.18b)

e puo essere utilizzato, tra l’altro, per studiare il comportamento di una sospensione attiva. In effetti, in tal casoil moto, di norma, avviene in un piano verticale, e quindi si deve tenere conto anche della forza di gravita. Ciopero avrebbe il solo effetto di modificare la posizione di riposo della molla, senza modificare il comportamentodinamico (piu precisamente, il comportamento dinamico di interesse in queste note).

La scelta di un opportuno segnale di ingresso, e cioe di una opportuna forza fa(t) applicata dall’esterno,dipendente dalla misura istantanea della posizione e dalla velocita della massa, consente di imporre un compor-tamento assegnato alla sospensione attiva. In altre parole, una scelta opportuna della forza esterna consente dicontrollare la sospensione attiva. Si veda, a titolo di esempio, quanto detto alla fine del prossimo esempio.


0 5 10 15−2000

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

Risposta libera di un sistema massa−molla [m=1, ke=20, k

v=−1]

Tempo (secs)

Pos

izio

ne p

(t)

del c

entr

o di

mas

sa (

m)

Figura 1.5: Risposta libera nella variabile p(t), con smorzamento negativo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Risposta libera di un sistema massa−molla controllato [m=1, k1=15, k

2=8]

Tempo (secs)

Pos

izio

ne p

(t)

del c

entr

o di

mas

sa (

m)

Figura 1.6: Risposta libera “desiderata” nella variabile p(t) per il sistema controllato 1.17.

Fino ad ora abbiamo utilizzato il modello dinamico per analizzare il comportamento di questo semplicesistema massa-molla, ed in particolare per studiare la sua risposta libera. In effetti, il modello e particolarmenteutile anche per capire in che modo agire sul sistema qualora tale comportamento non risulti soddisfacente.

Si supponga ad esempio che lo smorzamento non sia adeguato, perche troppo basso (cioe, la massa tornaalla posizione di riposo troppo lentamente). Se il sistema massa-molla e il modello di una sospensione di unautoveicolo, questo significa che, a seguito di una perturbazione nella posizione, il veicolo stesso continuera adoscillare, sia pure in modo smorzato, per troppo tempo e con oscillazioni troppo ampie.

Si potrebbe cercare di utilizzare la forza esterna applicabile alla massa per modificare il suo comportamentonaturale (sospensione attiva). Il modello dinamico introdotto consente di capire come scegliere questa azioneda esercitare sulla massa. Si supponga di disporre di sensori per misurare in modo continuo la posizione dellamassa rispetto a quella di riposo e la sua velocita. Si supponga inoltre di avere determinato due valori k1 e k2per i parametri che caratterizzano il modello, in corrispondenza dei quali il sistema avrebbe il comportamentodesiderato, ad esempio quello riportato in figura 1.6.

Allora, e facile vedere come una forza esterna del tipo:

u(t) = kvv(t) + kep(t)− k2v(t)− k1p(t), (1.19)

applicata al corpo, dia luogo ad un modello “controllato” del tipo:

mp(t) + k2p(t) + k1p(t) = 0, (1.20)

che, per la scelta dei parametri k1 e k2, ha il comportamento desiderato.


L’equazione (1.19) definisce una legge di controllo in reazione dallo stato, perche, sulla base di misure dellostato, consente di modificare, cioe di controllare, il comportamento del sistema per renderlo conforme a delleassegnate specifiche di comportamento. La legge di controllo definita dalla (1.19) e detta statica, perche la forzada applicare, in ogni istante di tempo, dipende solo dalla posizione e dalla velocita allo stesso istante.

Nel seguito di questo corso, e nei corsi successivi, si vedranno anche leggi di controllo dinamiche, chedeterminano il valore istantaneo del segnale di controllo non solo sulla base di misure relative allo stesso istante,ma anche sulla base della storia passata, descritta dallo stato di un opportuno sistema aggiuntivo: il controlloreo compensatore.

1.4 Un circuito elettrico

In modo del tutto simile a quanto fatto per i sistemi meccanici precedenti, e possibile ricavare un modellodinamico nello spazio di stato per un circuito elettrico. Si consideri il semplice sistema illustrato in figura 1.4,costituito da un generatore di corrente e dal parallelo di un resistore R, un condensatore C ed un induttore L.Si indichi con iG(t) la corrente erogata dal generatore e con vR(t) la tensione ai capi della resistenza, e cioe lagrandezza di interesse, detta funzione di uscita.

iG C L R

Figura 1.7: Circuito elettrico a componenti passivi.

La tensione vL(t) ai capi di un induttore percorso da una corrente iL(t) e pari a:

vL(t) = Ld iL(t)

dt. (1.21)

La corrente iC(t) che fluisce in un condensatore ai cui capi sia applicata una differenza di potenziale vC(t) edata da:

iC(t) = Cd vC(t)

dt. (1.22)

L’applicazione della legge di Kirchhoff ai nodi permette di scrivere:

iG(t) = iR(t) + iL(t) + iC(t) (1.23a)

=vRR

+ iL(t) + Cd vC(t)

dt, (1.23b)

dove vR e iR indicano, rispettivamente, la tensione ai capi del resistore R e la rispettiva corrente.Assumendo come grandezza di interesse, cioe come funzione di uscita vO(t), la tensione vR(t) ai capi del

resistore, il modello del circuito puo essere riscritto in forma di equazione differenziale del secondo ordine:

CvO(t) +1

R˙vO(t) +

1

LvO(t) =

iG(t)

dt. (1.24)

Se l’interesse e solo per il legame dinamico tra la grandezza di ingresso iG(t) e l’uscita vO(t), cioe per lamappa ingresso-uscita,il modello precedente e sufficiente.

Lo studio del legame ingresso-uscita di norma e condotto utilizzando la trasformata di Laplace, che costituisceuna diversa rappresentazione di una funzione del tempo. Sotto ipotesi abbastanza deboli, una data funzione deltempo puo essere rappresentata, senza perdere alcuna informazione, in un dominio diverso da quello temporale:il dominio della variabile di Laplace s. L’interesse nell’uso di questa rappresentazione risiede principalmentenel fatto che in questo dominio l’operazione di differenziazione rispetto al tempo corrisponde semplicemente alprodotto per s, e quindi le equazioni differenziali vengono trasformate in equazioni algebriche. Se f(t) e una data


funzione del tempo, differenziabile, e F (s) indica la sua trasformata di Laplace, brevemente F (s) := Lf(t),allora la trasformata di Laplace della derivata rispetto al tempo di f(t) e pari a s · F (s) (assumendo f(0) = 0).Indicando allora con V (s) la trasformata di Laplace della tensione ai capi del resistore, ed utilizzando la regoladi derivazione, l’equazione differenziale (1.24), nel dominio di Laplace, diviene:

VO(s)

[

s2C + s1

R+

1

L

]

= sIG(s), (1.25)

che puo essere riscritta nella seguente forma, di prodotto tra funzioni di s, ove la funzione razionale propriaW (S) e detta funzione di trasferimento:

VO(s) = W (s)IG(s), W (s) :=s/C

s2 +1

RCs+

1

LC

. (1.26)

Ad esempio, volendo calcolare la risposta in uscita ad un ingresso sinusoidale del tipo iG(t) = sin(t), applicatoa partire dall’istante t = 0 ed assumendo condizioni iniziali nulle, si ottiene in modo immediato, nel dominio diLaplace, la funzione di uscita:

VO(s) =s/C

s2 +1

RCs+

1

LC

1

s2 + 1(1.27)

dove il fattore moltiplicativo1

s2 + 1rappresenta la trasformata di Laplace del segnale sinusoidale sin(t). L’andamento

nel tempo della risposta si puo ottenere con un’operazione di trasformazione inversa del segnale VO(s) trovato.Si noti comunque che l’uscita dipende sia dal segnale applicato, attraverso la trasformata del segnale di ingresso,che dalla caratteristiche del circuito, attraverso i termini che derivano dalla funzione di trasferimento.

Un modello del circuito elettrico che tenga conto anche delle variabili di stato puo essere ottenuto costruendouna realizzazione di tale funzione di trasferimento. Come si vedra successivamente, il modello nello spazio distato corrispondente alla funzione di trasferimento in esame ha due variabili di stato (poiche il denominatore eun polinomio di grado due). Siano z1(t) e z2(t) tali variabili di stato e si indichi con u(t) il segnale di ingresso:u(t) = iG(t). Una possibile realizzazione di tale funzione di trasferimento e data da:

z1 = z2 (1.28a)

z2 = − 1

LCz1 −

1

RCz2(t) + u(t), (1.28b)

y =1

Cz2 (1.28c)

ed in termini matriciali:

z = Az + bu (1.29a)

y = cz. (1.29b)

con il vettore di stato e le matrici date da:

z =

[

z1z2

]

, A =

[

0 1

− 1

LC− 1

RC

]

, b =

[

01

]

, c =

[

01

C

]

. (1.30)

Il significato fisico delle variabili di stato, nel modello precedente, non e immediato. La particolare forma dellematrici A e c dipende solo dai coefficienti della matrice di trasferimento.

La risposta libera del circuito e riportata in figura 1.8. Si noti come sia del tutto identica alla risposta liberadell’oscillatore meccanico smorzato analizzato nella precedente sezione.

La risposta dello stesso sistema a fronte del segnale di ingresso u(t) = sin(2t), e riportato nella seguentefigura 1.9.

Commento 1.1Val la pena sottolineare come il modello appena ricavato ed il modello dell’oscillatore meccanico smorzato

abbiano esattamente la stessa struttura, e si differenzino solo per i valori dei parametri. Questa caratteristicae uno dei punti di forza della Teoria dei Sistemi. Attraverso l’uso di sistemi astratti orientati, cioe di modelli


0 5 10 15−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Risposta libera di un circuito RLC [R=1, L=1/20, C=1]

Tempo (secs)

Ten

sion

e ai

cap

i di R

(V

olt)

Figura 1.8: Risposta libera del circuito nella variabile vR(t).

0 5 10 15−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15Risposta alla funzione sin(2 t) di un circuito RLC [R=1, L=1/20, C=1]

Tempo (secs)

Ten

sion

e ai

cap

i di R

(V

olt)

Figura 1.9: Risposta forzata per ingresso u(t) = sin(2t), del circuito nella variabile vR(t).

differenziali indipendenti dalla specifica natura fisica del sistema fisico (o processo) in esame, si possono intro-durre strumenti di analisi e sintesi di validita generale. Nel seguito vedremo spesso come i risultati astrattiricavati in questo modo, quando vengono poi calati nello specifico ambito applicativo di interesse, hanno sempreinterpretazioni fisiche evidenti e notevoli.

Tornando al sistema in esame, le matrici A e b che caratterizzano il modello hanno una struttura particolare,detta forma canonica di controllo ad un ingresso. Quando le matrici che descrivono un sistema sono in questaforma, e possibile determinare in modo immediato una legge di controllo che consenta di modificare gli autovaloridel sistema, e quindi i suoi modi naturali.

Per ottenere un modello nello spazio di stato, si possono introdurre, in alternativa alla scelta precendente,le variabili x1(t) = iL(t) e x2(t) = vC(t), che hanno un significato fisico piu immediato. In tal caso si ottiene ilsistema di equazioni:

x1 =1

Lx2 (1.31a)

x2 = − 1

Cx1 −

1

RCx2 +

1

Cu(t) (1.31b)

y = x2. (1.31c)

I due modelli nello spazio di stato del circuito elettrico, descritti dalle equazioni (1.29) e (1.31), sono dettisimili o algebricamente equivalenti, ed hanno le stesse proprieta, e costituiscono due diverse rappresentazioni dello


stesso sistema, espresse tramite due insiemi distinti di variabili, o, meglio, tramite due diversi, ma equivalenti,sistemi di coordinate. A seconda del tipo di studio da condurre puo essere utile esprimere un modello dinamicoutilizzando diversi sistemi di coordinate.

Il modello del circuito dipende, ovviamente, dai valori dei componenti passivi che lo costituiscono. Se talicomponenti non cambiano valore nel corso del funzionamento, il sistema e detto stazionario, e cioe descrittoda matrici i cui elementi sono costanti, non cambiano valore al trascorrere del tempo. Puo accadere che, adesempio per effetto di variazioni della temperatura ambiente, uno o piu componenti cambiano valore. In tal caso,il sistema e detto non stazionario, o anche tempo variante. Tale considerazione puo essere estesa a qualsiasisistema dinamico.

L’analisi dei sistemi non stazionari richiede strumenti sensibilmente piu avanzati del caso stazionario. Invero, nel caso generale, non vi sono strumenti per il loro studio se non l’analisi simulativa al calcolatore. Inquesto testo verranno presi in considerazione solo sistemi stazionari.

1.5 Un motore in corrente continua

Il modello dinamico di un motore in corrente continua, a magneti permanenti e con alimentazione d’armatura,puo essere determinato a partire dalle equazioni che descrivono il comportamento della parte elettrica e di quellameccanica. Per una trattazione piu dettagliata e precisa della modellazione delle macchine elettriche si rimandaa testi specifici, tra cui [1, 2, 3, 4]. Il diagramma1 in figura 1.10 illustra il principio di funzionamento del motoreelettrico in corrente continua.

Figura 1.10: Principio di funzionamento di un motore in corrente continua.

Il circuito di armatura puo essere descritto dalla seguente equazione differenziale:

Lad iadt

+Raia +Keω = va, (1.32)

in cui ia indica la corrente nel circuito di armatura, La ed Ra sono l’induttanza e la resistenza equivalentid’armatura, Ke e la costante di proporzionalita velocita/tensione relativa alla forza contro-elettromotrice ec =Keω, ed infine va indica la tensione di armatura, e rappresenta il segnale di ingresso.

La sezione meccanica del motore puo essere descritta tramite le due equazioni differenziali:

Jdω

dt+ kvω + τd = Kmia, (1.33a)

d θ

dt= ω, (1.33b)

in cui ω e θ indicano, rispettivamente, velocita e posizione angolari del rotore del motore, J indica il momentodi inerzia del rotore e di un eventuale carico, kv indica il coefficiente di attrito viscoso (o smorzamento), kmindica la costante di coppia ed infatti il termine kmia indica la coppia meccanica fornita dal campo magnetico,ed infine τd indica una eventuale coppia di disturbo.

1Immagine elaborata da hyperphysics.phy-astr.gsu.edu

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu


Si consideri il caso, di notevole interesse reale, in cui sia accessibile per la misura solo la posizione del rotoreθ, che svolge quindi il ruolo di uscita (misurata).

Introducendo, per semplicita di notazione, le variabili x1 = θ, x2 = ω, x3 = ia, x = [x1 x2 x3]T , u = ea,

ed i parametri f22 = kv/J , f23 = km/J , f32 = ke/La, f33 = Ra/La e b3 = 1/La, d = τd m2 = 1/J , ed infineconsiderando come funzione di uscita la posizione del rotore, il modello dinamico del motore e dato da:

x1 = x2

x2 = −f22x2 + f23x3 −m2d

x3 = −f32x2 − f33x3 + b3u

y = x1

ed in termini matriciali:

x = Ax + bu+mu

y = cx

con le matrici descritte da:

A =

0 1 00 −f22 f230 −f32 −f33

, b =

00b3

, m =

0−m2

0

, c =[

1 0 0]

. (1.35)

Un insieme realistico di parametri e dato, ad esempio, da: Ra = 1Ω, La = 10−2H , ke = 0.5volts/rps,km = 0.7N −m/A, J = 2× 10−3Kg −m3, kv = 2× 10−5N −m/rps.

1.6 Il pendolo: un robot ad un grado di liberta

Il sistema illustrato in figura 1.11 e un pendolo ideale, costituito da un braccio rigido di lunghezza ℓ, collegatoad un estremo ad un motore in grado di produrre una coppia τ(t), e con una massa puntiforme m fissata all’altroestremo. Il pendolo si muove in un piano verticale, ed e quindi soggetto alla forza di gravita. La configurazionedel pendolo, ad un dato istante, e completamente caratterizzata dalla misura dell’angolo θ che il braccio formacon l’asse verticale del sistema di riferimento (x, y) (si noti che la configurazione del pendolo non coincide conil vettore di stato).

Il sistema in esame e, ad esempio, il modello della parte meccanica di un robot ad un solo grado di liberta.Nella maggior parte dei casi, un robot industriale e costituito da una insieme di braccia (e quindi, di pendoliad un grado di liberta), collegati tra loro in successione. Per una trattazione dettagliata del problema dellamodellazione di robot si veda, tra l’altro, [5]. Il sistema e detto anche pendolo semplice, e costituisce un ottimomodello per lo studio della stabilita di corpi rigidi sospesi tramite un vincolo, soggetti alla forza di gravita e,in taluni casi, anche all’azione di forze esterne ulteriori. In certe situazioni un quadricottero rientra uin questaclasse di sistemi.

θm

l

x

y

Figura 1.11: Pendolo verticale

Per determinare il moto del pendolo si puo procedere applicando l’equazione di Newton per moti rotazionali:Jα = τR. Il contributo della forza di gravita e dato dalla componente perpendicolare al braccio (giacche quellaallineata al braccio viene compensata dalla assunta non estendibilita del braccio stesso):

τg = −mgℓ sin(θ(t)), (1.36)


mentre il momento di inerzia J della massa e pari a mℓ2, per cui il moto del pendolo e descritto dall’equazione:

mℓ2α(t) = −mgℓ sin(θ(t)) + τ(t), (1.37)

dove α(t) = θ(t) indica l’accelerazione angolare del pendolo.Riordinando le equazioni e ricordando che ω = θ e α = θ, si trova il seguente modello non lineare:

θ(t) = −g

ℓsin(θ(t)) +

1

mℓ2τ(t). (1.38)

Lo studio di questo modello, ed il suo controllo, pua essere condotto con tecniche di controllo non lineare[11], oppure introducendo un modello lineare approssimato.

Quest’ultimo puo essere ottenuto linearizzando la funzione f(θ) = sin(θ) in un intorno dell’origine, checostituisce una posizione di equilibrio per il sistema autonomo, ottenendo:

¨θ(t) = −g

ℓθ(t) +

1

mℓ2τ(t), (1.39)

dove θ indica lo scostamento del pendolo rispetto alla posizione di equilibrio. Questo modello descrive conun’approssimazione lineare il pendolo, e quindi vale solo in un’intorno piccolo, di norma molto piccolo, dell’origine.Il vantaggio della linearita del modello e cosı importante che assai spesso si utilizza tale approssimazione, dettaanche approssimazione a piccoli segnali.

Il modello completo, non lineare, puo essere posto in forma di spazio di stato. Si scelgano come variabili distato posizione e velocita angolari del pendolo, cioe x1 = θ ed x2 = θ = ω, e si indichi con u(t) = τ(t) la coppiadi ingresso. Si trova:

x1 = x2 (1.40)

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u. (1.41)

Il modello dinamico in questo caso e non lineare, e quindi non puo essere scritto in forma matriciale. La formacompatta abitualmente utilizzata (se il sistema conserva la linearita negli ingressi, come in questo caso) e deltipo:

x = f(x) + g(x)u (1.42)

y = h(x) (1.43)

con le funzioni f , g ed h date da:

f(x) =

[

x2

−g

ℓsin(x1)

]

, g(x) =

[

01

mℓ2

]

, h(x) = x1, (1.44)

assumendo interesse per la posizione angolare del pendolo (funzione di uscita).Le tecniche di controllo non lineare (che esulano dagli scopi di questo testo), consentono di indurre un

comportamento effettivamente lineare per il pendolo, in modo globale e non solo in un’intorno dell’origine,agendo tramite il segnale di controllo.

Si supponga di poter misurare la posizione e la velocita del pendolo per mezzo di opportuni sensori. Allora,si puo pensare di applicare al pendolo una coppia data da:

τ = mℓ2[g

ℓsin(θ)− k1θ − k2θ

]

, (1.45)

ottenendo, per il sistema controllato, il modello:

θ(t) = −k1θ − k2θ, (1.46)

e cioe un modello lineare, con parametri che possono essere scelti liberamente, e quindi con un comportamentoa ciclo chiuso che puo essere scelto a piacere. Insomma, in certi casi, e possibile utilizzare il segnale di controlloper compiere una operazione di linearizzazione esatta tramite retroazione.


1.7 Un altro approccio alla modellazione di sistemi meccanici: leequazioni di Lagrange

Nel caso particolare dei sistemi meccanici (ed anche per alcune classi di sistemi elettromeccanici [12]) unapproccio alternativo a quello seguito nell’esempio precedente e basato sull’uso delle equazioni di Lagrange[13, 14]. Infatti l’approccio basato sull’equilibrio delle forze, nel caso di sistemi meccanici composti da piu corpirigidi interconnessi, richiede di tener conto di tutte le forze agenti sui vari corpi, comprese le forze di reazionevincolare. Cio rende il metodo particolarmente complesso da un punto di vista computazionale.

Viceversa, la determinazione del modello per mezzo delle equazioni di Lagrange richiede solo il calcolodell’energia cinetica e potenziale dei vari corpi, e di norma tale calcolo e piu semplice della determinazione ditutte le forze agenti.

Piu precisamente, la derivazione del modello e fatta a partire dalla funzione Lagrangiana L, definita da:

L(q, q) := T (q, q)− V (q) (1.47)

dove T (q, q) indica l’energia cinetica del sistema, V (q) l’energia potenziale e q indica il vettore ad n componentidelle coordinate generalizzate, cioe il vettore dell’insieme di grandezze che descrivono in modo completo laconfigurazione degli n corpi che compongono il sistema. Indicato con τ il vettore delle forze e coppie agenti sulsistema, le equazioni del moto sono date dalle seguenti equazioni di Lagrange:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= τi, i = 1, 2, . . . , n. (1.48)

Nel caso particolare del pendolo, il vettore delle coordinate generalizzate e dato semplicemente da q =θ. L’energia cinetica del sistema, assumendo la massa del braccio nulla (perche concentrata nella masssapuntiforme), e data da:

T (q, q) =1

2mℓ2θ2, (1.49)

mentre l’energia potenziale e data da:V (q) = −mgℓ cos(θ). (1.50)

La funzione Lagrangiana e quindi:

L(q, q) =1

2mℓ2θ2 +mgℓ cos(θ). (1.51)

da cui, sostituendo nelle equazioni di Lagrange, si ottiene:

d

dt

∂L

∂q=

d

dt(mℓ2θ) = mℓ2θ (1.52a)

∂L

∂q= −mgℓ sin(θ) (1.52b)

e quindi:mℓ2θ +mgℓ sin(θ) = τ. (1.53)

1.8 Modelli decisionali

Una classe molto importante di sistemi dinamici e costituita dai modelli decisionali, cioe da modelli utilizzatiper valutare l’effetto di possibili decisione alternative. Nel caso dei sistemi a tempo continuo tali modelli possonoessere facilmente descritti in termini di modelli fluidi.

Si consideri, a titolo di esempio, il caso di un’azienda di trasporti che gestisce un parco autoveicoli moltonumeroso. L’azienda organizza gli autoveicoli in due insiemi: gli autoveicoli che hanno percorso meno di 15.000Km, indicati come autoveicoli di classe A, e quelli che hanno percorso piu di 15.000 Km, indicati come autoveicolidi classe B. Entrambe le classi di autoveicoli sono soggette a guasti e/o a manutenzioni periodiche. Ogni veicologuasto, in funzione dell’entita del guasto stesso, verra riparato o dismesso.

Complessivamente quindi l’intero parco puo essere diviso in quattro insiemi (o compartimenti):

• compartimento (o insieme) 1: autoveicoli di classe A (meno di 15.000 Km) funzionanti;

• compartimento (o insieme) 2: autoveicoli di classe A (meno di 15.000 Km) guasti/in manutenzione;


• compartimento (o insieme) 3: autoveicoli di classe B (piu di 15.000 Km) funzionanti;

• compartimento (o insieme) 4: autoveicoli di classe B (piu di 15.000 Km) guasti/in manutenzione.

Per costruire un modello decisionale, ad esempio finalizzato a studiare il numero previsto di veicoli inogni classe, o il tasso al quale inserire nuovi veicoli, od altri elementi di interesse, e importante caratterizzareulteriormente il modello. In particolare e importante conoscere il tasso di transizione tra i vari insiemi, e cioequale frazione di autoveicoli di ogni insieme transita ad un insieme contiguo.

In particolare, si assuma che ogni giorno:

• lo 0.1 % dei veicoli della classe A si danneggi e/o debba essere sottoposto a manutenzione;

• lo 0.15% dei veicoli della classe B si danneggi e/o debba essere sottoposto a manutenzione;

• il 1% dei veicoli della classe A danneggiati venga rimesso in operazione;

• lo 0.20% dei veicoli di classe A danneggiati venga dismesso;

• il 1.5 % dei veicoli della classe B danneggiati venga rimesso in operazione;

• lo 0.25% dei veicoli di classe B danneggiati venga dismesso.

• il 0.10% dei veicoli funzionanti della classe B venga dismesso.

E bene precisare che la scala temporale utilizzata per i precedenti parametri, il giorno, corrisponde all’unitadi misura del tempo.

Il sistema in esame puo essere descritto tramite un modello fluido se il numero di elementi coinvolti e alto(in questo esempio il numero di veicoli), in modo tale da poter approssimare i valori interi con valori reali,e se i singoli eventi, cioe i “fatti” che influenzano il comportamento del sistema stesso, avvengono in modoindipendente. In tal caso, si puo associare ad ogni compartimento una variabile di stato reale, e descrivere letransizioni degli autoveicoli tra i vari insiemi in termini di flussi (o velocita), assumendo che i passaggi tra dueinsiemi avvengano con continuita.

Una rappresentazione grafica del sistema e riportata nella seguente figura 1.8. Si tratta di un grafo bipartito,in cui cioe i nodi sono di due classi distinte: nodi compartimento (indicati con un cerchio vuoto) e nodisorgente/pozzo (indicati con un triangolo).

I nodi sono collegati tra loro da archi pesati ed orientati. Il peso di ciascun arco indica la frazione dicontenuto del nodo origine che fluisce nel nodo destinazione nell’unita di tempo. In assenza di etichetta di peso,si assume peso unitario.

A ciascun nodo di tipo compartimento deve essere associata una variabile di stato, mentre i nodi sor-gente/pozzo determinano variazioni nette di flusso nel sistema. In particolare, i nodi sorgente/pozzo autonomisono indicati con un triangolo vuoto, caratterizzato da un parametro (u1 nell’esempio in figura 1.8) che indicail flusso indotto dal nodo. Per tali nodi, nel caso di un arco da una sorgente verso un nodo compartimento epositivo per il nodo compartimento, mentre nel caso di un arco da un compartimento ad un pozzo il flusso enegativo per il nodo di tipo compartimento.

I nodi di tipo pozzo dipendenti dallo stato del sistema sono indicati con un triangolo nero, ed assorbono unflusso caratterizzato dall’arco in ingresso. Tale flusso e quindi un flusso negativo per il nodo origine dell’arcopesato con destinazione il pozzo. Nell’esempio in esame, si tratta dei nodi legati tra loro dagli archi con pesoa2,0, a3,0 e a4,0.


x1

x2

x3

x4

u11

a1,3

a1,2a2,1 a3,4a4,3

a3,0

a2,0 a4,0

Per tali classi di modelli, le variabili di stato descrivono ciascun singolo insieme (o compartimento), etipicamente denotano la quantita di beni (materiali, oggetti, liquidi, etc ...) contenuti nell’insieme.

Nel caso del sistema in esame si puo quindi porre:

1. x1: numero di veicoli nel compartimento (o insieme) 1, cioe numero di veicoli di classe A (meno di 15.000Km) funzionanti;

2. x2: numero di veicoli nel compartimento (o insieme) 2, cioe numero di veicoli di classe A (meno di 15.000Km) guasti/in manutenzione;

3. x3: numero di veicoli nel compartimento (o insieme) 3, cioe numero di veicoli di classe B (piu di 15.000Km) funzionanti;

4. x4: numero di veicoli nel compartimento (o insieme) 4, cioe numero di veicoli di classe B (piu di 15.000Km) guasti/in manutenzione.

Si indichi con ai,j il flusso di veicoli dall’insieme i all’insieme j. Nel caso in esame si ha quindi:

• a1,2 = 1×10−3 (% dei veicoli della classe A che si danneggia e/o debba essere sottoposto a manutenzione);

• a1,3 = 1× 10−3 (% dei veicoli della classe A che passano alla classe B);

• a2,1 = 10× 10−3 (% dei veicoli della classe A danneggiati e rimessi in operazione);

• a2,0 = 2× 10−3 (% dei veicoli di classe A danneggiati e dismessi);

• a3,0 = 1.0× 10−3 (% dei veicoli funzionanti della classe B dismessi);

• a3,4 = 1.5×10−3 (% dei veicoli della classe B che si danneggia e/o debba essere sottoposto a manutenzione);

• a4,3 = 15× 10−3 (% dei veicoli della classe B danneggiati e rimessi in operazione);

• a4,0 = 2.5× 10−3 (% dei veicoli di classe B danneggiati e dismessi).

Il comportamento dinamico del sistema e quindi descritto dalle seguenti equazioni

x1 = −a1,2x1 − a1,3x1 + a2,1x2 + u1 (1.54)

x2 = a1,2x1 − a2,1x2 − a2,0x2 (1.55)

x3 = a1,3x1 − a3,4x3 + a4,3x4 − a3,0x3 (1.56)

x4 = −a4,3x3 + a3,4x32− a4,0x4. (1.57)

Assumendo inoltre come grandezze di interesse il numero di veicoli di classe A operativi ed il numero totaledi veicoli operativi, si hanno le due funzioni di uscita (cioe l’uscita vettoriale)

y1 = x1 (1.58)

y2 = x1 + x3. (1.59)


Si noti come i flussi verso un dato compartimento, ad esempio il flusso descritto dal parametro a1,2, dia luogoad un termine positivo nella seconda equazione, e ad un corrispondente termine negativo nella prima equazione.

In termini matriciali il modello puo quindi essere scritto nella forma seguente:

x = Ax+Bu (1.60)

y = Cx (1.61)

ove le matrici che descrivono il modello sono date da:

A =

−a1,2 − a1,3 a2,1 0 0a1,2 −a2,1 − a2,0 0 0a1,3 0 −a3,4 − a3,0 a4,30 0 −a4,3 +a3,4 − a4,0

, B =

1000

(1.62)

C =

[

1 0 0 01 0 1 0

]

(1.63)

1.9 Dinamica di popolazioni

I modelli matematici vengono utilizzati spesso anche per studiare dinamiche di popolazioni. Anche in questocaso si fa riferimento a modelli fluidi.

A titolo di esempio, si consideri un corso di studio universitario di durata triennale. La popolazione di talecorso puo essere organizzata in tre insiemi di studenti:

• compartimento (o insieme) 1: studenti iscritti al primo anno di corso;

• compartimento (o insieme) 2: studenti iscritti al secondo anno di corso;

• compartimento (o insieme) 3: studenti iscritti al terzo anno di corso e studenti fuori corso (iscritti da piudi tre anni).

Anche per tali classi di modelli, le variabili di stato descrivono ciascun singolo insieme (o compartimento),ed in particolare misurano la popolazione in ogni compartimento. Nel caso del sistema in esame si puo quindiporre:

• x1: numero di studenti iscritti al primo anno di corso;

• x2: numero di studenti iscritti al secondo anno di corso;

• x3: numero di studenti iscritti al terzo anno di corso e studenti fuori corso (iscritti da piu di tre anni).

Le variabili di stato, e cioe la popolazione che contraddistingue ciascun anno di corso, cambia con cadenzaannuale, in corrispondenza del processo di iscrizione, ed e (sostanzialmente) costante nel corso di ciascun anno. Icambiamenti nelle variabili di stato possono quindi essere associati ad un indice intero che descriva il trascorreredegli anni accademici: la quantita reale x1(k) indica il numero di studenti iscritti al primo anno nel corso delk-esimo anno accademico e la quantita reale x1(k+1) indica la popolazione iscritta al primo anno nel successivoanno accademico. Il modello e quindi a tempo discreto: la variabile indipendente “tempo” assume solo valoriinteri.

Analogamente a quanto visto nel caso del modello decisionale, la derivazione delle equazioni che descrivonol’evoluzione della popolazione di interesse si basa sulla conoscenza delle caratteristiche del sistema, e nellospecifico sia sulla conoscenza dei tassi di passaggio degli studenti da un anno al successivo, sia sulla conoscenzadei tassi di abbandono ai vari anni e del tasso di laurea.

A titolo di esempio, si assuma che:

• il 70 % degli studenti iscritti al primo anno passi, nel successivo anno accademico, al secondo;

• il 5 % degli studenti iscritti al primo anno rimanga, nel successivo anno accademico, al primo;

• il 25 % degli studenti iscritti al primo anno abbandoni gli studi nel corso dell’anno accademico;

• il 90 % degli studenti iscritti al secondo anno passi, nel successivo anno accademico, al terzo;


• il 5 % degli studenti iscritti al secondo anno rimanga, nel successivo anno accademico, al secondo;

• il 5 % degli studenti iscritti al secondo anno abbandoni gli studi nel corso dell’anno accademico;

• il 50 % degli studenti iscritti al terzo anno o successivi, consegua la laurea nel corso dell’anno accademico;

• il 5 % degli studenti iscritti al terzo anno abbandoni gli studi nel corso dell’anno accademico;

• ogni anno si immatricoli un numero noto di studenti (al primo anno).

Il sistema in esame, analogamente a quanto visto per il precedente modello decisionale, puo essere descrittotramite un modello fluido. Una rappresentazione grafica del sistema e riportata nella seguente figura 1.9.

A differenza del precedente modello, in questo caso (cioe nel caso dei modelli fluidi a tempo discreto) ciascunarco determina un flusso positivo per il nodo destinazione, ma non determina alcun flusso per il nodo origine.

x1 x2 x3u11

710

910

5100

5100

4510025

1005

1005

100

Il comportamento dinamico del sistema e quindi descritto dalle seguenti equazioni, dette equazioni alledifferenze finite

x1(k + 1) =5

100x1(k) + u1(k) (1.64)

x2(k + 1) =7

10x1(k) +

5

100x2(k) (1.65)

x3(k + 1) =9

10x2(k) +

45

100x3(k). (1.66)

Assumendo come grandezza di interesse il numero complessivo di studenti:

y(k) = x1(k) + x2(k) + x3(k) (1.67)

(1.68)

il modello puo essere scritto nella seguente forma matriciale:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) (1.69)

y(k) = Cx(k) (1.70)

ove le matrici che descrivono il modello sono date da:

A =

5

1000 0

7

10

5

1000

09

10

45

100

, B =

100

(1.71)

C =[

1 0 0]

(1.72)


1.10 Successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci2 e una successione di numeri interi naturali, con la proprieta che ciascun numerodella successione e il risultato della somma dei due precedenti.

I numeri di tale successione, detti numeri di Fibonacci, trovano applicazione in molti contesti. Una dellecaratteristiche di tali numeri e che il rapporto tra due valori consecutivi tende alla sezione aurea o numero diFidia. Indicato con F (k) il generico numero di Fibonacci, si ha insomma:

limk→∞

F (k)

F (k − 1)=

1 +√5

2. (1.73)

Il calcolo di un assegnato numeri di elementi consecutivi della successione di Fibonacci puo essere condottoutilizzando la definizione ricorsiva del generico termine:

F (k) = F (k − 1) + F (k − 2), ∀k ≥ 2, (1.74)

a partire dalle condizioni iniziali F (0) = 0 e F (1) = 1. Il calcolo della sequenza e frequentemente utilizzato neicorsi di programmazione come esempio di realizzazione ricorsiva o iterativa di algoritmi.

La stessa sequenza puo essere studiata introducendo un modello a tempo discreto nello spazio di stato. Lasoluzione di tale modello consente il calcolo, in forma chiusa, di un generico elemento, mentre la sua analisiconsente di ricavare le proprieta di tale sequenza, ad esempio la proprieta sintetizzata dalla (1.73).

Per costruire un modello nello spazio di stato che descriva la successione di Fibonacci si considerino le duevariabili di stato:

(

x1(k)x2(k)

)

=

(

F (k)F (k + 1)

)

, x :=

(

x1(k)x2(k)

)

, x ∈ R2. (1.75)

Dalla definizione di tali variabili e dei numeri di Fibonacci (1.74) segue facilmente che:

x1(k + 1) = F (k + 1) = x2(k) (1.76a)

x2(k + 1) = F (k + 2) = F (k + 1) + F (k) = x1(k) + x2(k) (1.76b)

y(k) = F (k) = x1(k) (1.76c)

da cui il modello matriciale:

x(k + 1) = Ax(k) (1.77)

y(k) = Cx(k) (1.78)

con

A =

[

0 11 1

]

, C =[

1 0]

. (1.79)

Rispetto alla proprieta (1.73), ci si limita in questa sede a notare come la sezione aurea sia uno degliautovalori della matrice A.

1.11 Un modello di magazzino

Un ulteriore tipico esempio di sistema a tempo discreto e costituito dal modello dinamico di un magazzino.Si indichi con y(k), k ∈ Z, il livello della merce presente nel magazzino all’inizio di un fissato intervallo di

tempo, ad esempio all’inizio di ogni settimana, prima degli approvvigionamenti e delle consegne della settimanastessa. Si supponga che gli ordini per il rifornimento del magazzino vengano inviati al fornitore all’inizio dellasettimana, cioe all’inizio del k-esimo periodo di tempo, e che il fornitore consegni nell’arco di tempo tra l’inizioe la fine del periodo k-esimo la merce ordinata all’inizio del periodo k − 1; si indichi con u(k) tale quantita.Infine, si indichi con v(k) la merce consegnata ai clienti del magazzino durante il periodo k.

Considerando le funzioni u(k) e v(k) come ingressi al sistema, ed assumendo che l’interesse e nello studio dellivello della merce nel magazzino, indicato tramite la funzione di uscita y(k), il legame tra le varie grandezze eespresso dalla seguente equazione alle differenze finite del secondo ordine:

y(k + 1) = y(k) + u(k − 1)− v(k). (1.80)

2Leonardo da Pisano, detto Leonardo Fibonacci, (Pisa, 1170 - Pisa, 1240 ca.)


Una possibile scelta delle variabili di stato e:

x1(k) = y(k), x2(k) = u(k − 1). (1.81)

Con tale scelta, il modello del magazzino diviene:

x1(k + 1) = x1(k) + x2(k)− v(k) (1.82a)

x2(k + 1) = u(k) (1.82b)

y(k) = x1(k) (1.82c)

In forma matriciale il sistema puo essere scritto come:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) (1.83)

y(k) = Cx(k) (1.84)

con

A =

[

1 10 0

]

, B =

[

−1 00 1

]

, C =[

1 0]

. (1.85)

1.12 Sistemi a segnali campionati

Il controllo dei sistemi dinamici e ormai realizzato, salve rarissime eccezioni, esclusivamente tramite control-lori digitali, e quindi con leggi di controllo a tempo discreto, per l’intrinseca natura discreta degli elaboratoridigitali. In modo analogo, la quasi totalita degli apparati di elaborazione e trasmissione dei segnali e basata sutecnologie digitali.

Viceversa, la maggior parte dei sistemi reali sono intrinsecamente a tempo continuo. Si pone quindi ilproblema di studiare sistemi di controllo a segnali campionati, in cui cioe siano presenti elementi a tempodiscreto ed elementi a tempo continuo.

Un primo approccio allo studio di tali sistemi e quello di condurre l’intero processo di analisi e sintesi delcontrollore a tempo continuo, e poi discretizzare il controllore cosı ottenuto. In alternativa, si puo discretizzareil modello del processo, e poi condurre l’analisi e la sintesi a tempo discreto. In entrambi i casi, si pone ilproblema di passare da un modello a tempo continuo ad un modello a tempo discreto.

Un concetto fondamentale per trattare tali argomenti e quello di intervallo di campionamento: si assumeche i seganli a tempo continuo di interesse, abitualmente detti segnali analogici, vengano acquisiti ad istanti ditempo regolari. La distanza di tempo tra due acquisizioni consecutive e detta periodo di campionamento.

Se si dispone di un modello nello spazio di stato del sistema da discretizzare, si puo procedere come segue.Per semplicita, si considera un sistema con una sola variabile di stato; l’approccio e comunque generale. Quellopresentato e uno degli approcci possibili: in altri corsi verranno introdotte altre procedure.

Dato il sistema:

x = ax+ bu, x ∈ R, u ∈ R, (1.86)

y = cx, y ∈ R, (1.87)

la sua soluzione nella variabile x(t), a partire dalla condizione iniziale x(0) = x0, e data da:

x(t) = e atx0 +

∫ t

0

e a(t−τ)bu(τ)dτ. (1.88)

Nel caso di sistemi a segnali campionati, le grandezze di controllo sono costanti all’interno di un periodo dicampionamento. Sia T la durata del periodo campionamento/controllo, e sia u(k) il valore assunto dal segnaledi controllo durante il k-esimo periodo di controllo. Si ha:

u(τ) = u(k), ∀τ ∈ [kT, (k + 1)T ). (1.89)

Si consideri ora la soluzione nella variabile di stato x(t) del sistema (1.88) all’interno del k-esimo intervallodi controllo:

x(t) = e a(t−kT )x(kT ) +

∫ t

kT

e a(t−τ)bu(τ)dτ, t ∈ [kT, (k + 1)T ). (1.90)


Poiche il segnale di controllo e costante in tale intervallo, puo essere portato fuori dall’integrale, ottenendo:

x(t) = e a(t−kT )x(kT ) +

(

∫ kT+t

kT

e a(t−τ)dτ

)

bu(k), t ∈ [kT, (k + 1)T ), (1.91)

da cui, ponendo l’attenzione sull’istante di tempo t = (k + 1)T e cambiando variabile di integrazione, si trova:

x((k + 1)T ) = e aTx(kT ) +

(

∫ T

0

e aσdσ

)

bu(k). (1.92)

L’equazione precedente descrive la legge di aggiornamento dei valori dello stato in corrispondenza degli istantidi campionamento. Definite le costanti:

aD := e aT , bD :=

[

∫ T

0

e aσdσ

]

b, (1.93)

lo stato del sistema, in corrispondenza degli istanti di campionamento e sotto l’ipotesi che il segnale di controllosia costante tra due istanti di campionamento successivi, e descritto dall’equazione alle differenze finite:

x(k + 1) = aDx(k) + bDu(k), (1.94a)

y(k) = cx(k), (1.94b)

dove l’equazione di uscita e ottenuta semplicemente ricordando che il legame stato-uscita e statico, e la duratadel periodo di controllo e stata omessa dall’argomento dello stato e dell’ingresso (cioe, x(k + 1) indica in effettix((k + 1)T )).

Con procedimento del tutto analogo, salvo l’uso di operazioni matriciali, si puo ricavare il modello a tempodiscreto di un sistema continuo di dimensione maggiore di uno.

Si noti che il modello a tempo discreto ricavato, sotto le ipotesi fatte, ed in particolare sotto l’ipotesi che ilsegnale di controllo sia costante in un periodo, non e una approssimazione del sistema a tempo continuo, mainvece e una descrizione esatta del comportamento dello stato in corrispondenza degli istanti di campionamento.

1.13 Algoritmi per il calcolo numerico: la radice quadrata

Un’altra classe molto importante di sistemi dinamici a tempo discreto e costituita da algoritmi iterativi peril calcolo numerico. Un esempio di tale classe di sistemi e dato dal semplice algoritmo per il calcolo della radicequadrata del numero reale α, descritto dall’equazione:

x(k + 1) = x(k) + α− x(k)2. (1.95)

E immediato verificare che il valore xe = +α e un punto di equilibrio del sistema, asintoticamente stabile (cioe,tale che l’evoluzione libera del sistema tende alla soluzione cercata) per α ∈ (0, 1) e per condizioni inizialisufficientemente vicine alla soluzione cercata.

Un altro algoritmo per il calcolo della radice quadrata, valido per un insieme piu ampio di valori del parametroα3, e dato dalla legge iterativa:

x(k + 1) = x(k) − x(k)2 − α

2x(k). (1.96)

Si suggerisce di studiare gli algoritmi (1.95) e (1.96) per via simulativa, realizzando due semplici programmiin un qualsiasi linguaggio di programmazione.

1.14 Il modello di un motore a combustione

L’approccio seguito finora per la determinazione di modelli dinamici di sistemi reali e basato principalmentesull’uso delle leggi fisiche che regolano il funzionamento del sistema stesso.

3formalmente: un insieme piu ampio di valori del parametro α cui corrisponda la stabilita asintotica del punto di equilibrioxe = α.


Nel caso di sistemi complessi si ricorre spesso a modelli approssimati costruiti sulla base di procedimentidi identificazione del legame ingresso-uscita che caratterizza il sistema. Tipicamente, si determina prima unmodello parametrico del sistema o sulla base di alcune considerazioni fisiche, o sulla base di misure preliminari,e si procede poi all’identificazione del valore numerico dei parametri. Un approccio molto comune per risolveretale problema e quello di immettere in ingresso al sistema segnali sinusoidali, misurare l’uscita corrispondente,in un intervallo di frequenze ritenuto di interesse, e risolvere poi un problema di minimizzazione, calcolando ivalori numerici dei parametri che danno luogo allo scarto minimo tra le uscite misurate e quelle ottenute dalmodello.

Procedendo in questo modo e possibile costruire, ad esempio, il modello dinamico di un motore a combustioneinterna. L’esempio che segue descrive il modello del motore di una Lancia Dedra [15].

Si considerino come grandezze di ingresso l’anticipo di accensione, a(s), e l’apertura della valvola a farfalla,d(s). Le grandezze di uscita di interesse, di norma, sono la pressione nel collettore di aspirazione, p(s), e lavelocita del motore, n(s). Sulla base di alcune considerazioni circa i principi di funzionamento del motore, siritiene che i legami tra queste grandezze siano bene rappresentati dal seguente modello parametrico in forma dimatrice di trasferimento:

[

p(s)n(s)

]

=

[

g1,1(s) g1,2(s)g2,1(s) g2,2(s)

] [

a(s)d(s)

]

, (1.97)

in cui le quattro funzioni gi,j(s) sono descritte da:

g1,1(s) =−q3q6

q7s2(q2q7 + q5)s+ (q3q4 + q2q5), (1.98)

g1,2(s) =q1(q7s+ q5

q7s2(q2q7 + q5)s+ (q3q4 + q2q5), (1.99)

g2,1(s) =q6(s+ q2)

q7s2(q2q7 + q5)s+ (q3q4 + q2q5), (1.100)

g2,2(s) =q1q4

q7s2(q2q7 + q5)s+ (q3q4 + q2q5). (1.101)

Per quanto riguarda il valore dei parametri q1, . . ., q7, si e visto che per ogni condizione di funzionamentoe conveniente scegliere un insieme diverso di valori. Per una descrizione piu accurata del modello, per i valorinumerici dei parametri e per ulteriore bibliografia sull’argomento si veda [15, Cap. 3 e Cap. 10].

Il problema della stima dei parametri di un modello dinamico, ad esempio del tipo analizzato in questasezione, sulla base di misure dei segnali di ingresso ed uscita e detto problema di identificazione.

1.15 Un modello dell’apparato cardio-circolatorio umano

GLi strumenti di modellazione ed analisi tipici dell’ingegneria dell’informazione sono molto utili anche nelsettore della medicina e della biologia.

In tale contesto, un interessante esempio di sistema dinamico e costituito dall’apparato cardio-circolatorioumano. Per la realizzazione di efficienti sistemi di ausilio meccanico alla circolazione (cuore artificiale e ventricoloartificiale (VAD)), e necessario disporre di un accurato modello di tale apparato. Sono stati proposti varimodelli, di complessita ed accuratezza diversa. In quasi tutti i casi, la struttura del modello e definita a partireda considerazioni di meccanica dei fluidi, mentre la determinazione dei parametri numerici e fatta sulla base diopportune procedure di identificazione. Un problema assai rilevante, in questo caso, e legato al fatto che non sipuo ricorrere, se non in misura assai contenuta, alla stimolazione esterna del sistema con segnali sinusoidali difrequenza arbitraria!

I modelli del sistema circolatorio sono di solito descritti facendo ricorso ad analogie elettriche. La deter-minazione del modello in spazio di stato del sistema e quindi possibile seguendo la traccia vista nella sezione1.4. Un modello di uso molto frequente per la descrizione semplificata del sistema circolatorio, che tiene contosolo del ventricolo sinistro e del carico arterioso, e riportato in figura 1.12 [16]. Il sistema e non lineare, per lapresenza dei diodi che modellano le valvole mitrale ed aortica. Il generatore controllato che appare nello schemadescrive il funzionamento interno del ventricolo, secondo il modello piu accreditato in questo momento, dettomodello ad elastanza variabile. Secondo tale modello, il volume VLV e la pressione interna PLV del ventricolosinistro (Left Ventricle) sono legati dalla relazione:

PLV (t) = PL0 + (VLV (t)− VL0)E(t) +RVLV (t), (1.102)


in cui il parametro E(t), variabile nel tempo in modo periodico, con periodo pari a quello cardiaco, descrive lecapacita elastiche del muscolo, e le costanti PL0 e VL0 sono invece parametri di traslazione.

Piso

=E(t)

R D

Rc

L

Ca RidPLV

QLV

Figura 1.12: Sistema cardio-circolatorio (Interazione ventricolo-carico)

Partendo dall’analogia elettrica, in base alla quale una pressione (differenza di pressione) corrisponde aduna tensione (differenza di potenziale) ed un flusso corrisponde ad una corrente (flusso di cariche), si ricavafacilmente il vettore di stato del sistema, costituito dal flusso QL attraverso l’induttanza di carico Lc (inertanzadel sangue in aorta), dalla tensione P1 ai capi del condensatore Ca (complianza arteriosa), ed infine dal volumedel ventricolo VLV , che ne descrive lo stato interno. Le variabile di interesse, che possono essere scelte comefunzioni di uscita del modello, sono invece la pressione in ventricolo, PLV , la pressione in aorta, PAo, ed il flussoin uscita dal ventricolo. Le grandezze esogene (cioe, i segnali esterni che influenzano il comportamento delsistema, ma che, in questo caso, non possono essere modificati dal “controllo”) sono invece dati dal parametrodi traslazione PL0 (assumendo nullo il parametro VL0) e dalla pressione media nel ciclo in atrio Pmc. Con talescelta delle variabili, il modello nello spazio di stato diviene:

d

dtP1 = −

NoΓ + 1RTP

CAP1 +

NoΓRC

CAQL +

NoΓE(t)

CAVLV +

NoΓ

CAPL0 (1.103a)

d

dtQL = −NoΓRC

LP1 +

RC(NoΓRC − 1)

LQL +

NoΓRCE(t)

LVL +

NoΓRC

LPL0 (1.103b)

d

dtVLV =

(

NoΓ− NiRNoΓ

Rid

)

P1 −N1RRCNoΓ

Rid −RCNoΓQL −

(

NoΓE(t)− NiE(t)

Rid(1−NoΓR)

)

VLV(1.103c)

+Ni

RidPmc −

(

NoΓ +Ni(1 −NoΓR

Rid

)

PL0 (1.103d)

QLV = −NoΓP1 +NoΓRCQL +NoΓE(t)VLV +NoΓPLO (1.103e)

PAo = (1−RCNoΓ)P1 + (NoΓR2C −RC)QL +NoΓRCE(t)VLV +NoΓRCPLO (1.103f)

PLV = NoΓRP1 −NoΓRRCQL − (NoΓR− 1)E(t)VLV + (1−NoΓR)PLO (1.103g)

(1.103h)

Per una descrizione piu dettagliata del modello e del corrispondente problema di identificazione, nonche perulteriori riferimenti bibliografici, si puo vedere [16, 17].

1.16 Un circuito elettrico nonlineare: l’oscillatore di Van der Pol

Un sistema nonlineare molto studiato e l’oscillatore armonico di van der Pol.4 Il sistema e costituito da unsemplice circuito RLC con elementi in parallelo, con induttanza e capacita lineari e resistenza non lineare, concaratteristica corrente-tensione descritta da:

iR(vR) = αvR(v2R − 1), α > 0, (1.104)

4Balthasar van der Pol (Utrecht, 1889 - Wassenaar, 1959).

http://en.wikipedia.org/wiki/Balthasar_van_der_Pol


dove iR e vR indicano, rispettivamente, la corrente attraverso la resistenza e la corrente ai suoi capi. Si noti cheper piccoli valori della tensione il componente ha un comportamento attivo.

Il modello dinamico del sistema, ricordando che i tre elementi sono collegati in parallelo, indicando con vCla tensione ai capi del condensatore (e quindi di tutti gli elementi) e con iL la corrente nell’induttanza, edassumendo parametri unitari, e dato da:

diLdt

= vC (1.105a)

dvCdt

= −iL − vC(v2C − 1). (1.105b)

L’oscillatore di van der Pol puo essere descritto anche nella seguente forma, diversa nel termine non lineare:

x1 = x2 (1.106a)

x2 = −x1 + x2(1 − x21). (1.106b)

Si noti che, per entrambe le formulazioni, l’origine e punto di equilibrio. Tuttavia, l’equilibrio e instabile. Ilcomportamento del sistema e caratterizzata da un ciclo limite stabile. In altri termini, traiettorie con origineal di fuori del ciclo limite convergono ad esso, mentre traiettorie con origine sul ciclo limite vi rimangono.Inconsiderazione di tale comportamento, il sistema costituisce un oscillatore autosostenuto: il ciclo limite infattinon dipende dalle condizioni iniziali, ma solo dai parametri che caratterizzano il sistema.

Il comportamento del sistema, nella variante (1.106), e illustrato dai due diagrammi in figura 1.13. Ildiagramma a sinisra illustra l’evoluzione temporale delle due variabili di stato, quello a destra il piano dellefasi. La curva magenta rappresenta il ciclo limite, le frecce gialle l’andamento del flusso, la curva in colore verdel’evoluzione, nel piano delle fasi, di una traiettoria con punto di origine all’interno del ciclo limite, ed infine lacurva in blu descrive l’evoluzione di una traiettoria con origine al di fuori del ciclo limite.

0 5 10 15 20−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Modello di van der Pol − Andamenti temporali

tempo

Var

iabi

li di

sta

to x

1 (bl

u) &

x2 (

verd

e)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

Modello di van der Pol − Piano delle fasi

Coordinata x1

Coo

rdin

ata

x 2

Ciclo limite

Figura 1.13: Comportamento dell’oscillatore di van der Pol.

1.17 Un sistema preda-predatore

Il comportamento di un sistema ecologico, con due specie diverse, una specie preda ed un specie predatore, puoessere descritto tramite un sistema dinamico. Il modello, detto modello di Volterra-Lotka, ha origine dagli studidi Vito Volterra5 su alcune popolazioni ittiche dell’Adriatico. Indicando con x1 il livello di popolazione (numero

5Vito Volterra, (Ancona, 1860 - Roma, 1940)

http://it.wikipedia.org/wiki/Vito_Volterra


di individui, assunto continuo) della specie preda e con x2 il livello della specie predatore, il modello e descrittodalla seguente coppia di equazioni:

x1 = ax1 − bx1x2

x2 = cx1x2 − dx2,

dove i parametri a, b, c e d sono tutti positivi. L’equazione puo essere giustificata sulla base di alcune consid-erazioni qualitative:

• in assenza di predatori (cioe, x2 = 0) il livello delle prede cresce con tasso a, e cio giustifica il termine ax1

nella prima equazione;

• in assenza di predatori (cioe, x1 = 0) il livello dei predatori decresce con tasso d, e cio giustifica il termine−dx2 nella seconda equazione;

• se sono presenti entrambe le specie, il numero di prede decresce in funzione del numero di incontri preda-predatore, e cio giustifica il termine −bx1x2 nella prima equazione;

• se sono presenti entrambe le specie, il numero di predatori cresce in funzione del numero di incontripreda-predatore, e cio giustifica il termine cx1x2 nella seconda equazione.

Il modello, pur estremamente semplice, riesce a riprodurre, per scelte opportune dei parametri, alcuni importantifenomeni che si osservano nella realta. La soluzione del modello descrive andamenti della popolazione oscillante:nei periodi in cui vi sono molti predatori il livello delle prede e basso, nei periodi con pochi predatori vi sonomolte prede.

Si noti come le popolazioni delle prede e dei predatori siano descritte tramite variabili reali: si tratta di unulteriore esempio di modello fluido.

Il comportamento del sistema e illustrato dai due diagrammi in figura 1.14. Il diagramma a sinisra illustral’evoluzione temporale delle due variabili di stato, quello a destra il piano delle fasi.

0 5 10 15 20 25

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Modello di Volterra − Lotka − Andamenti temporali

tempo

Var

iabi

li di

sta

to x

1 (bl

u) &

x2 (

verd

e)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

Modello di Volterra − Lotka − Piano delle fasi

Coordinata x1

Coo

rdin

ata

x 2

Figura 1.14: Comportamento del modello di Volterra-Lotka.

1.18 Modellazione di fenomeni alla scala biomolecolare

Gli strumenti di modellazione matematica possono essere utilizzati anche per descrivere il comportamento direazioni biochimiche alla scala dei fenomeni genetici e di quelli interni ad una cellula. Si tratta di un approcciooramai comune nel campo della systems biology [7]).

A titolo di esempio, si consideri la catena di reazioni biochimiche che si incontrano nel percorso cellulare dairecetottori EGFR and IGF1R, posti sulla membrana cellulare, fino alle proteine MAPK e PIK3, all’interno della


cellula e dello stesso nucleo cellulare. Il modello matematico che si puo costruire descrive il comportamentocomplessivo del sistema e le interdipendenze funzionali e dinamiche tra i recettori, le proteine e le altre sostanzecoinvole [6]). Lo schema di principio della rete biochimica e illustrato nella figura 1.15.

Figura 1.15: Lo schema della rete EGFR e IGF1R.

Per descrivere l’approccio modellativo, si consideri una singola reazione, quella che porta alla attivazionedella proteina Ras da parte di SOS. La corrispondente reazione biochimica, di tipo enzimatico, e data da:

SOS +Rasa1−−d1

SOS −Rask1−→ Ras∗ + SOS, (1.107)

dove Ras∗ rappresenta la forma attiva della proteina Ras e SOS − Ras il prodotto intermedio della reazione.In termini matematici, tale reazione pu o essere descritta dalle sequenti equazioni differenziali, che conseguonoda una semplice applicazione della legge di azione di massa:

d[SOS]

dt= −a1[SOS][Ras] + d1[SOS −Ras] + k1[SOS −Ras] (1.108a)

d[Ras]

dt= −a1[SOS][Ras] + d1[SOS −Ras] (1.108b)

d[SOS −Ras]

dt= +a1[SOS][Ras]− d1[SOS −Ras]− k1[SOS −Ras] (1.108c)

d[Ras∗]

dt= k1[SOS −Ras]. (1.108d)

Nelle equazioni precedenti, [S] indica la concentrazione della sostanza “S′′. In considerazione della specificanatura delle reazioni enzimatiche, viene abitualmente introdotta una forma approssimata di tali equazioni,basata sulla della cinetica di Michaelis-Menten. Nel caso della reazione in (1.107), si ha:

SOS +Rask1−→ Ras∗ + SOS, (1.109)

cui corrisponde il sistema di equazioni differenziali:

d[Ras∗]

dt= k1[SOS]

[Ras]

kM + [Ras](1.110a)

d[Ras]

dt= −k1[SOS]

[Ras]

kM + [Ras], (1.110b)

dove [SOS] indica la concentrazione di enzima e kM e la costante di Michaelis, legata alle costanti del modellocompleto (1.108) dalla relazione kM = (d1 + k1)/a1.


L’approccio descritto sopra puo essere utilizzato per l’intera rete EGFR-IGF1R, ottenendo il modello com-pleto riportato sotto, e composto da 18 variabili di stato, 3 segnali di ingresso e 39 parametri.

d

dt[EGFR

∗] = −γEGFR [EGFR∗]

d

dt[IGF1R∗] = −γIGF1R [IGF1R∗]

d

dt[SOS] = kSOS:E[EGFR

∗][DSOS]

KMSOS:E + [DSOS]+ kSOS:I[IGFR

∗][DSOS]

KMSOS:I + [DSOS]

− kDSOS:p90Rsk[p90Rsk∗]

[SOS]

KMDSOS:p90Rsk + [SOS]

d

dt[DSOS] = kDSOS:p90Rsk[p90Rsk

∗][SOS]

KMDSOS:p90Rsk + [SOS]

− kSOS:E[EGFR∗]

[DSOS]

KMSOS:E + [DSOS]− kSOS:I[IGFR

∗][DSOS]

KMSOS:I + [DSOS]

d

dt[Ras

∗] = kRas:SOS[SOS][Ras]

KMRas:SOS + [Ras]− kRas:RasGab[RasGab]

[Ras∗]

KMRas:RasGab + [Ras∗]

d

dt[Ras] = −kRas:SOS[SOS]

[Ras]

KMRas:SOS + [Ras]+ kRas:RasGab[RasGab]

[Ras∗]

KMRas:RasGab + [Ras∗]

d

dt[Raf

∗] = kRaf :Ras[Ras∗]

[Raf ]

KMRaf :Ras + [Raf ]− kRaf :RafPP [RafPP ]

[Raf∗]

KMRaf :RafPP + [Raf∗]

− kRaf :Akt[Akt∗]

[Raf∗]

KMRaf :Akt + [Raf∗]

d

dt[Raf ] = −kRaf :Ras[Ras

∗][Raf ]

KMRaf :Ras + [Raf ]+ kRaf :RafPP [RafPP ]

[Raf∗]

KMRaf :RafPP + [Raf∗]

+ kRaf :Akt[Akt∗]

[Raf∗]

KMRaf :Akt + [Raf∗]

d

dt[MEK] = −kMEK:Raf [Raf

∗][MEK]

KMMEK:Raf + [MEK]+ kMEK:PP2A[PP2A]

[MEK∗]

KMMEK:PP2A + [MEK∗]

d

dt[MEK

∗] = +kMEK:Raf [Raf∗]

[MEK]

KMMEK:Raf + [MEK]− kMEK:PP2A[PP2A]

[MEK∗]

KMMEK:PP2A + [MEK∗]

d

dt[Erk

∗] = kErk:MEK[MEK∗]

[Erk]

KMErk:MEK + [Erk]− kErk:PP2A[PP2A]

[Erk∗]

KMErk:PP2A + [Erk∗]

d

dt[Erk] = −kErk:MEK[MEK

∗][Erk]

KMErk:MEK + [Erk]+ kErk:PP2A[PP2A]

[Erk∗]

KMErk:PP2A + [Erk∗]

d

dt[p90Rsk

∗] = kp90Rsk:Erk[Erk∗]

[p90Rsk]

KMp90Rsk:Erk + [p90Rsk]− kdp90Rsk[p90Rsk

∗]

d

dt[p90Rsk] = kdp90Rsk[p90Rsk

∗]− kp90Rsk:Erk[Erk∗]

[p90Rsk]

KMp90Rsk:Erk + [p90Rsk]

d

dt[PIK3∗] = kPIK3:Ras[Ras

∗][PIK3]

KMPIK3:Ras + [PIK3]+ kPIK3:IGF1R[IGF1R∗]

[PIK3]

KMPIK3:IGF1R + [PIK3]

+ kPIK3:EGFR[EGFR∗]

[PIK3]

KMPIK3:EGFR + [PIK3]− kfPIK3 ∗ [PIK3∗]

d

dt[PIK3] = −kPIK3:Ras[Ras

∗][PIK3]

KMPIK3:Ras + [PIK3]− kPIK3:IGF1R[IGF1R∗]

[PIK3]

KMPIK3:IGF1R + [PIK3]

− kPIK3:EGFR[EGFR∗]

[PIK3]

KMPIK3:EGFR + [PIK3]+ kfPIK3 ∗ [PIK3∗]

d

dt[Akt

∗] = +kAkt:PIK3[PIK3∗][Akt]

KMAkt:PIK3 + [Akt]− kdAkt[Akt

∗]

d

dt[Akt] = −kAkt:PIK3[PIK3∗]

[Akt]

KMAkt:PIK3 + [Akt]+ kdAkt[Akt

∗]


1.19 Un modello di sistema dinamico ad eventi discreti: un sistemasoggetto a guasti

I modelli visti fino ad ora sono relativi a sistemi per i quali lo stato e costituito da un vettore di variabilicontinue.

Un’altra classe molto importante e costituita dai sistemi dinamici ad eventi discreti, cioe sistemi dinamiciper i quali lo stato puo assumere valori in un insieme discreto, ad esempio l’insieme degli interi non negativi.Modelli di questo tipo sono utilizzati per studiare sistemi di produzione industriale, sistemi di comunicazione,reti di elaboratori, sistemi di traffico [18, 19, 20].

Un semplice sistema di questo tipo, molto utile nella modellazione degli impianti di produzione industriale, ecostituito da un sistema con due soli stati, e transizioni descritte dal verificarsi di eventi (automa a stati finiti).Ad esempio, l’automa rappresentato in figura 1.16 puo trovarsi in due soli stati, lo stato F e lo stato G, ed ilpassaggio da uno stato all’altro avviene solo in corrispondenza del verificarsi dell’evento g o dell’evento r.

F G

g

r

Figura 1.16: Un semplice automa a stati finiti

Tale automa e utile, ad esempio, per descrivere il comportamento di dispositivi soggetti a guasti. Se ilsistema si trova inizialmente nello stato F , cioe nello stato “funzionante”, puo passare allo stato G (stato diguasto) in corrispondenza del verificarsi di un evento di guasto g. Similmente, se il sistema si trova nello statoG, tornera allo stato di funzionamento F in corrispondenza del verificarsi di un evento di riparazione r. Si notiche nello stato F e considerato ammissibile solo l’evento g, mentre l’evento r non e ammissibile, come indical’assenza di un arco con etichetta r in uscita da tale stato. In modo analogo, l’evento g non e ammissibile apartire dallo stato G. Per questo automa, lo stato puo assumere quindi solo i due valori F o G. Un automa espesso rappresentato, formalmente, tramite un grafo orientato o tramite una matrice di transizione [18, 19, 20].

Si noti che in questo caso lo stato non indica la misura di una grandezza fisica, come tipicamente avvienenel caso dei piu comuni sistemi di variabile continua, ma piuttosto indica una configurazione del sistema, unasituazione nella quale si trova il sistema: lo stato di un sistema ad eventi discreti ha spesso un significatosimbolico, rappresentativo.

1.20 Un sistema soggetto a guasti: modello stocastico

Un automa puo essere anche non deterministico, e cioe l’evoluzione dello stato dipende anche da fenomenidescrivibili solo in termini probabilistici.

Relativamente all’automa della sezione precedente, un caso molto importante da un punto di vista applicativoe quello in cui la transizione tra due stati sia descritta solo in termini stocastici, e vi sia interesse, ad esempio,a conoscere con quale probabilita la macchina sara nello stato funzionante nel prossimo futuro.

Nel caso in cui i tempi di permanenza in ciascuno stato sono descritti per mezzo di variabili aleatorie condistribuzione geometrica (esponenziale) l’intero sistema e descrivibile tramite una catena (processo) di Markov.

In particolare, si consideri una catena con due stati F e G, sia g il parametro della distribuzione geometricache descrive la transizione da F a G ed r il parametro della distribuzione geometrica che descrive la transizioneda G ad F . Infine, sia σ(t), t ∈ Z, σ(·) ∈ F,G, lo stato della catena all’istante t. L’ipotesi che il sistema siamarkoviano corrisponde allora alla condizione:

Prob σ(t+ 1) = σ1|σt = σ0, σt−1 = σ−1, σt−2 = σ−2, . . . = Prob σ(t+ 1) = σ1|σt = σ0 (1.112)


ove σi, i = 1, 0,−1,−2, . . ., ∈ F,G. Si definisca ora il vettore π(t) = [πF (t)πG(t)]T , πF (·), πG(·) ∈ R, come

πF (t) = Prob σ(t) = F, (1.113a)

πG(t) = Prob σ(t) = G, (1.113b)

che rappresenta la probabilita che lo stato dell’automa, all’istante t, sia F o G. Si definisca inoltre la probabilitadi transizione

Pij = Prob σ(t+ 1) = i|σ(t) = j, ∀t ≥ 0, (1.114)

e si assuma che tale probabilita non dipenda dal tempo t (cioe, equivalentemente, si assuma che la catena diMarkov corrispondente sia omogenea rispetto al tempo).

Si ricordi inoltre il seguente teorema della probabilita totale.

Teorema 1.1 Se E1, E2, E3, . . ., En sono n eventi mutuamente esclusivi (cioe, Prob Ei ∩Ej = 0, ∀ i 6= j)e complessivamente esaustivi (cioe,

⋃

i Ei = Ω, ove Ω indica lo spazio campione), ed A e un generico evento,allora:

Prob A =n∑

i=1

Prob A|Ei Prob Ei. (1.115)

Il teorema della probabilita totale ha un ruolo fondamentale nella costruzione di processi stocastici, ed in parti-colare di processi (e catene) di Markov. Si consideri infatti il caso E1 = Prob σ(t) = F, E2 = Prob σ(t) =G. E facile vedere che E1 ed E2 sono mutuamente esclusivi e completamente esaustivi. Si considerino oragli eventi Prob σ(t + 1) = F e Prob σ(t + 1) = G e si ricordi che, secondo le notazioni introdotte,πj(t) = Prob σ(t) = j, j = F,G. Allora:

πF (t+ 1) = PF,FπF (t) + PF,GπG(t), (1.116a)

πG(t+ 1) = PG,FπF (t) + PG,GπG(t), (1.116b)

e cioe:

πF (t+ 1) = (1 − g)πF (t) + rπG(t), (1.117a)

πG(t+ 1) = gπF (t) + (1 − r)πG(t), (1.117b)

ed in forma matriciale:

π(t+ 1) = Pπ(t), P =

[

1− g rg 1− r

]

. (1.118)

Il sistema di equazioni alle differenze (1.118) descrive la dinamica della conoscenza dello stato della catena diMarkov, e non, si badi bene, la dinamica della catena. In altre parole, il modello (1.118) non descrive l’evoluzionedello stato della catena, ma solo la conoscenza che si ha di tale evoluzione. E di interesse determinare la soluzionedi regime dell’equazione (1.118), cioe π = limt→∞ π(t). Se tale soluzione esiste, deve soddisfare l’equazione

π = Pπ, (1.119)

insieme all’equazione di consistenzaπF + πG = 1. (1.120)

La soluzione di tale sistema e data da:

πF =r

r + g, (1.121a)

πG =g

r + g. (1.121b)

Si noti che la catena di Markov in esame e ergodica, o che, e cio e equivalente, la matrice di transizione dellostato P ha un, ed uno solo, autovalore pari ad uno. La soluzione del sistema di equazioni alle differenze (1.118)e data da:

πF (t) = (1− r − g)tπF (0) +r

r + g[1− (1− r − g)t], (1.122a)

πG(t) = (1− r − g)tπG(0) +g

r + g[1− (1 − r − g)t], (1.122b)

da cui si vede facilmente chelimt→∞

π(t) = π. (1.123)

Per una trattazione piu approfondita del tema si puo vedere, tra l’altro, [21, 22, 19].


1.21 Un impianto di produzione

Il modello stocastico della sezione precedente e particolarmente utile se si vuole studiare il comportamentodi una macchina rispetto ai guasti. Se invece l’interesse e per il comportamento logico di un sistema, ad esempiose si e interessati a studiare la possibilita che il sistema finisca in una situazione di stallo, sono utili modelli dialtro tipo. In particolare, il funzionamento logico di sistemi ad eventi discreti e descritto bene tramite l’uso direti di Petri.

Si consideri un semplice sistema di produzione, costituito da una macchina per l’assemblaggio automatico.La funzione della macchina e quella di prelevare, da appositi magazzini, una scocca e montare su di essa uncomponente. Ad esempio, una macchina di questo tipo e utilizzata nell’industria automobilistica per montare icruscotti. La macchina puo procedere al montaggio di una nuova parte solo se e disponibile almeno una scoccaed almeno un componente. Questo fenomeno di sincronizzazione e descritto in modo naturale dalla rete di Petririportata in figura 1.17.

P1

P2

P3

T1

T2

T3 T4

Figura 1.17: Una rete di Petri.

Una rete di Petri e un grafo bipartito, cioe costituito da due tipi di nodi, detti posti e transizioni, collegatitra loro da archi orientati. I posti sono indicati con cerchi e le transizioni con barre. Ogni arco ha origine in unposto e termina in una transizione, o viceversa. Non sono ammessi archi con origine e destinazione in due postio in due transizioni.

All’interno dei posti vi possono essere dei gettoni, ed un posto che contiene almeno un gettone si dice marcato.Una transizione e abilitata a scattare quando tutti i posti a monte sono marcati. Quando una transizione scatta,preleva un gettone da ciascuno dei posti a monte ed aggiunge un gettone a ciascuno dei posti a valle (in effetti, gliarchi possono essere pesati, ed il peso di un arco indica il numero di gettoni spostati dalla transizione collegataall’arco).

Si consideri la rete in figura 1.17, in cui il posto P1 indica la disponibilita di scocche, il posto P2 la disponibilitadi parti da montare, ed il posto P3 indica la macchina.

Allora, e immediato vedere che la transizione T3 immette un nuovo gettone nella macchina (cioe, mette lamacchina in condizioni di produrre una nuova parte) solo se e disponibile sia una scocca che un componente.Infatti, a monte di questa transizione vi sono i due posti P1 e P2.

Si consideri poi il caso in cui la macchina e in grado di produrre una sola parte alla volta. Questo fatto puotenuto in conto semplicemente aggiungendo un nuovo posto P4, come in figura 1.18.

P1

P2

P3

P4

T1

T2

T3 T4

Figura 1.18: Una rete di Petri.

In questo modo la transizione T3 puo scattare solo se, oltre alla disponibilita di una scocca ed un componente,la macchina e libera, cioe il posto P4 e marcato.


Da un punto di vista formale, una rete di Petri puo essere descritta ed analizzata, a partire dalla matricedi incidenza, cioe una matrice n × m, con n pari al numero di posti ed m pari al numero di transizioni. Ilgenerico elemento di posizione i, j della matrice di incidenza vale 1 se il posto i-esimo ha un arco che lo collegain uscita alla transizione j-esima, lo stesso elemento vale invece − se il posto ha tra i suoi archi di ingressoun arco proveniente dalla j-esima transizione. Se non vi sono archi dal posto i alla transizione j l’elementocorrispondente vale zero [19].

La letteratura sulle Reti di Petri e estremamente vasta. Per una trattazione piu approfondita di questostrumento di modellazione dal punto di vista del controllo dei sistemi ad eventi discreti si possono consultare,tra l’altro, [23, 24].

1.22 Modellazione della corsa agli armamenti

Gli strumenti della modellazione matematica e della teoria dei sistemi sono stati utilizzati, ad esempio daLewis Fry Richardson, anche per descrivere conflitti tra nazioni e corse agli armamenti. Si indichi con x1 ed x2

il livello di armamenti disponibili ad un certo tempo t a due distinte nazioni in competizione tra loro.Il tasso di variazione del livello di armamenti di ciascuna nazione e proporzionale al livello di armamenti

dell’altra nazione, con un meccanismo di “corsa agli armamenti”. Al contempo, il livello di ciascun arsenalediminuisce per obsolescenza e viene modificato in base alle politiche militari specifiche di ciascuna nazione.

In termini differenziali, questo comportamento puo essere descritto dalle seguenti equazioni:

x1 = −o1x1 + c1x2 + u1 (1.124a)

x2 = +c2x1 − o2x2 + u2. (1.124b)

Nell’equazione precedente, i coefficienti oi descrivono il tasso di obsolescenza e in generale di disarmo, i coeffi-cienti ci il tasso di corsa agli armamenti, ed i due segnali ui gli effetti ulteriori delle politiche militari dei duepaesi.

In forma matriciale il sistema e descritto da:

x = Ax+Bu (1.125)

con

A =

[

−o1 c1c2 −o2

]

, B =

[

1 00 1

]

. (1.126)

Assumendo, per semplicita di analisi, che i tasso di obsolescenza siano unitari e i tassi di corsa uguali per idue paesi, la matrice A che descrive il sistema diviene:

A =

[

−1 cc −1

]

, (1.127)

il cui polinomio caratteristico e pari a:

det(λI −A) = λ2 + λ+ 1− 2c, (1.128)

le cui radici sono pari a:λ = −1±

√2c, (1.129)

e quindi il sistema ammette un autovalore con parte reale positiva (il che implica che le variabili di stati cresconoesponenzialmente!) se il tasso di “corsa” a maggiore di 1/2, e cioe se tale tasso e superiore alla meta del tassodi obsolescenza.

1.23 Colonna di distillazione

Gli strumenti che verranno introdotti in questo testo, e piu in generale gli strumenti della teoria del controllotrovano applicazione in moltissimi contesti industriali.

Tra i processi di traasformazione, qui viene citato, a titolo di esempio, il modello di una colonna di distil-lazione. Nello specifico, una colonna binaria, cioe con fluido di ingresso a due sole componenti, del tipo a piatti.Il modello tiene esplicitamente conto delle variazioni nella pressione interna.


Figura 1.19: Schema di principio di una colonna di distillazione (tratto da [26])

La dinamica del sistema, di norma, e descritto da equazioni non lineari. Il modello proposto e una versionelineare, approssimata. Si tratta di un modello di dimensione undici (cioe, lo spazio di stato e costituito da R11),con tre ingressi di controllo u, un ingresso di disturbo d e tre uscite y. Il modello puo quindi essere descritto,in forma matriciale, come segue:

x = Ax +Bu(t) +Md(t), x ∈ R11, u ∈ R

3, d ∈ R1 (1.130)

y = Cx, y ∈ R3 (1.131)

in cui le variabili di stato, i segnali di ingresso ed uscita ed il disturbo hanno il significato descritto nellatabella seguente. I valori numerici delle matrici che descrivono il sistema sono riportati nel file colonna.m,reperibile tramite le pagine web del corso. Per una descrizione piu dettagliata degli aspetti di modellazione sipuo consultare [26, 27, 28, 29, 30], mentre per una descrizione di alcuni problemi di controllo per una torre didistillazione si puo vedere, tra l’altro, [30, 31, 32].

1.24 Esercizi proposti

Esercizio 1.1 (Classificazione) Classificare i modelli descritti nel corso del capitolo rispetto alla natura deltempo (a tempo continuo o a tempo discreto), rispetto al tipo di legami funzionali tra i segnali (lineari o nonlineari), rispetto alle caratteristiche del vettore di stato (variabile continua o sistema ad eventi), e rispetto alladipendenza o meno dal tempo (sistemi stazionari o non stazionari).

Esercizio 1.2 (Simulazione) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, del codice che consentadi simulare il comportamento dei due algoritmi per il calcolo della radice quadrata introdotti nella sezione 1.13,verificandone e confrontando i risultati per α = 1

4 e per α = 4

Esercizio 1.3 (Successione di Fibonacci) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, del codiceche consenta di simulare il comportamento del sistema che descrive la successione di Fibonacci, descritto nellasezione 1.10 e verificare per via simulativa una delle caratteristiche di tale successione: il rapporto tra due valori

consecutivi tende alla sezione aurea o numero di Fidia, pari a 1+√5

2 .

Esercizio 1.4 (Autovalori) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, del codice che consenta divisualizzare graficamente l’andamento degli autovalori del circuito RLC descritto nella sezione 1.4, al variare della


Variabili Significatox1 composizione del componente piu volatile nel condensatorex2 composizione del componente piu volatile nel primo piatto...

...xi composizione del componente piu volatile nel piatto i− 1-esimo...

...x9 composizione del componente piu volatile nel piatto n. ottox10 composizione del componente piu volatile nel ribollitorex11 pressione nella colonnay1 composizione del componente piu volatile nel prodotto di coda (in basso)y2 composizione del componente piu volatile nel prodotto di testa (in alto)y3 pressioneu1 temperatura del vapore nel ribollitoreu2 temperatura del liquido nel condensatoreu3 livello di riflussod composizione del liquido in ingresso

Tabella 1.1: Descrizione delle variabili di stato e dei segnali di ingresso-uscita per il modello di una colonna didistillazione (tratto da [27])

resistenzaR nell’insieme dei reali strettamente positivi, per valori unitari della capacita, C = 1, e dell’induttanza,L = 1.

Esercizio 1.5 (Simulazione tempo continuo) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di programmazione, delcodice che consenta di simulare il comportamento del circuito RLC descritto nella sezione 1.4, per ingressosinusoidale u(t) = sin(t) e assumendo condizione iniziale nulla e valori unitari di tutti i componenti.

Esercizio 1.6 (Simulazione tempo continuo: linearita) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di program-mazione, del codice che consenta di simulare il comportamento del circuito RLC descritto nella sezione 1.4, pervalori unitari di tutti i componenti ed utilizzare tale codice per verificare la linearita del sistema.

Esercizio 1.7 (Sospensione attiva) Determinare il modello dinamico semplificato di una sospensione attiva,costituita da un sistema massa-molla del tipo descritto nella sezione 1.3, ruotato in modo tale da muoversi lungoun binario verticale anziche orizzontale.

Esercizio 1.8 (Simulazione tempo continuo: piano delle fasi) Scrivere, in un qualsiasi linguaggio di pro-grammazione, del codice che consenta di simulare il comportamento dell’oscillatore di van der Pol descritto nellasezione 1.16, e tracciare il comportamento della soluzione nel piano delle fasi, riproducendo la figura 1.13.

Esercizio 1.9 (Dimensioni fisiche delle grandezze fisiche) Discutere le dimensioni fisiche delle variabilidi stato di un sistema dinamico.

Capitolo 2: Analisi sistemi LSTC [Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 2-39

Capitolo 2

Analisi di sistemi lineari stazionari atempo continuo

In questo capitolo vengono presentati strumenti per l’analisi del comportamento nel tempo di sistemi dinamicilineari, stazionari, a tempo continuo (LSTC)

Dopo aver introdotto la rappresentazione esplicita si affronta il tema dell’analisi modale (cioe, lo studio dellarisposta libera nello stato). Viene successiamente introdotta la trasformata di Laplace e lo studio della rispostaforzata (cioe, lo studio del comportamento in uscita a fronte di segnali noti applicati in ingresso). Il capitoloprosegue con lo studio della risposta forzata per segnali notevoli, della risposta armonica. Segue poi uno degliargomenti piu importanti dell’intero corso: i diagrammi di Bode. Vengono inoltre presentati esercizi risolti edesempi, e vengono proposti esercizi di riepologo ed approfindimento.

2.1 Rappresentazione esplicita per sistemi lineari, stazionari, a tempo

continuo

La classe di sistemi dinamici considerata in questa sezione e costituita dai sistemi lineari, a tempo continuo,stazionari, a dimensione finita e causali, rappresentabili per mezzo di equazioni differenziali della seguenteforma:

x(t) = Ax(t) +Bu(t), x ∈ Rn, u ∈ R

m, t ∈ R (2.1a)

y(t) = Cx(t) +Du(t), y ∈ Rp (2.1b)

in cui A, B, C e D sono matrici ad elementi reali di dimensioni compatibili con il vettore di stato x, il vettoredei segnali di ingresso u ed il vettore dei segnali di uscita y.

Molti dei modelli visti nel precedente capitolo rientrano in tale categoria di sistemi.Nel seguito un sistema del tipo precedente verra sinteticamente indicato con la notazione Σ(A,B,C,D),

mentre la coppia di equazioni (2.1) verra indica anche con il termine rappresentazione implicita del sistema.Lo studio del comportamento di un sistema dinamico a tempo continuo puo essere condotto analizzando

le proprieta della soluzione dell’equazione differenziale corrispondente. In particolare, il comportamento delvettore di stato x(t) e del vettore di uscita y(t) puo essere descritto tramite la rappresentazione esplicita, cioetramite la soluzione dell’equazione differenziale (2.1a) e dell’equazione algebrica (2.1b). Nel caso generale talerappresentazione esplicita e data, formalmente, dalle due funzioni seguenti:

x(t) = x(t, t0, x0, u[t0,t)) = x(t, t0, x0, u(·)) (2.2a)

y(t) = y(t, t0, x0, u[t0,t)) = y(t, t0, x0, u(·)). (2.2b)

La funzione x(t, t0, x0, u[t0,t)), per semplicita indicata con la notazione x(t, t0, x0, u(·)), e la rappresentazioneesplicita nello stato, e definisce il valore dello stato all’istante t, a partire dalla condizione iniziale x0 all’istantet0, sotto l’effetto del segnale di ingresso u(·), applicato nell’intervallo [t0, t)

1. La funzione y(t, t0, x0, u(·)) e la

1La notazione s[t1,t2) si riferisce alla porzione del segnale s relativa all’intervallo temporale [t1, t2). Se il segnale s e continuo int = t2, allora s[t1,t2) ed s[t1,t2] coincidono.


rappresentazione esplicita in uscita, a partire dalla condizione iniziale x0 all’istante t0, sotto l’effetto del segnaledi ingresso u(·) , applicato nell’intervallo [t0, t).

Lo studio della risposta esplicita verra condotto inizialmente per un sistema scalare, cioe per un sistema conmatrice della dinamica A pari allo scalare reale a, e cioe con spazio di stato dato dalla retta reale.

Si consideri inizialmente il caso di un sistema omogeneo, cioe senza segnale di ingresso; limitatamenteall’equazione che descrive l’evoluzione dello stato, il modello di interesse e:

x = ax, (2.3)

da cui, risolvendo l’equazione differenziale per separazione ed avendo indicato con x0 il valore dello statoall’istante iniziale t0, si trova:

x(t) = e a(t−t0)x0. (2.4)

La soluzione nella variabile di stato del sistema dinamico omogeneo (2.3), ovvero la risposta libera nellostato, a partire dalla condizione iniziale x0 all’instante iniziale t0, assume quindi la forma:

x(t, t0, x0, 0) = e a(t−t0)x0. (2.5)

Nel caso generale di un sistema con spazio di stato di dimensione n, la soluzione e esprimibile generalizzandola funzione esponenziale scalare al caso matriciale. Data una matrice quadrata ad elementi reali A, la matriceesponenziale a tempo continuo associata e definita dalla seguente serie esponenziale matriciale:

eAt :=

∞∑

i=0

Aiti

i!. (2.6)

Sulla base di tale definizione, la risposta libera nello stato per un sistema a tempo continuo, omogeneo, del tipo:

x = Ax, (2.7)

a partire dallo stato x(t0) = x0 all’instante t0 e data da:

x(t) = x(t, t0, x0, 0) = eA(t−t0)x0. (2.8)

La forma (2.8) della soluzione dell’equazione differenziale omogenea (2.7) puo essere dimostrata facilmentederivando l’esponenziale di matrice rispetto al tempo e ricordando il teorema di esistenza ed unicita dellasoluzione di una equazione differenziale.

Nel caso generale in (2.1), e cioe nel caso di un sistema vettoriale sottoposto all’azione di un forzamentoesterno, si trova:

x(t) = x(t, t0, x0, u(·)) = eA(t−t0)x0 +

∫ t

t0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ, (2.9)

che costituisce la soluzione, nelle variabili di stato, del sistema dinamico (2.1), e cioe la risposta completa nellostato, a partire dalla condizione iniziale x0 all’instante iniziale t0, sotto l’azione della funzione di ingresso u(·).La dimostrazione di tale risultato puo essere condotta verificando che tale espressione determina un’identita sesostituita nella (2.1).

Il fatto che la risposta completa nello stato all’istante t dipenda solo dal segmento del segnale di ingressotra l’istante iniziale t0 e tale istante t costituisce la proprieta di causalita. Meglio, e l’evidenza del sussistere ditale proprieta.

L’integrale che compare nell’equazione precedente descrive l’effetto del segnale di ingresso sullo stato delsistema ed e detto integrale di convoluzione.

2.1.1 Matrice di transizione dello stato

L’esponenziale matriciale (2.6), quando riferita alla soluzione di un sistema dinamico, come in queste note,prende anche il nome di matrice di transizione dello stato (a tempo continuo). Posto:

Φ(t, t0) = eA(t−t0), (2.10)

si ha quindi:x(t, t0, x0, 0) = Φ(t, t0)x0. (2.11)

L’esponenziale di matrice gode di alcune importanti proprieta, generalizzazioni delle corrispondenti proprietadella funzione esponenziale scalare.


Proprieta 2.1 (Derivata dell’esponenziale di matrice)

d

dteAt = AeAt. (2.12)

Inoltre, vale la proprieta commutativa tra una matrice A ed il suo esponenziale, perche:

d

dteAt = AeAt = eAtA (2.13)

La dimostrazione segue facilmente dalla definizione (2.6) di esponenziale di matrice.

Proprieta 2.2 (Composizione temporale tra esponenziali di matrice)

eAt1 · eAt2 = AeA(t1+t2). (2.14)

La dimostrazione segue facilmente dalla definizione (2.6) di esponenziale di matrice.

Proprieta 2.3 (Inversa di un esponenziale di matrice)

[

eAt]−1

= e−At, (2.15)

e quindi:[

eAt]−1 · eAt = I. (2.16)

Anche questa dimostrazione segue facilmente dalla definizione (2.6) di esponenziale di matrice. La proprietaappena descritta implica anche il fatto che l’esponenziale di matrice, o matrice di transizione dello stato a tempocontinuo, sia sempre una matrice non singolare e quindi ammetta sempre inversa.

Nello studio del comportamento di sistemi dinamici si fa largo uso dello strumento della trasformazione disimilarita algebrica, o trasformazione di coordinate nello spazio di stato. Di fatto, si tratta di un cambio dibase nello spazio vettoriale che descrive lo spazio di stato. L’argomento e trattato in dettaglio nella sezione Adell’Appendice. Qui si anticipa solo che, dato un sistema descritto da una matrice dinamica Ax, nelle nuovecoordinate z = T−1x la stessa matrice e rappresentata da:

Az = T−1Ax T. (2.17)

Gli esponenziali delle due matrici algebricamente equivalenti Ax e Az sono legati tra loro da una analogarelazione di equivalenza, come sintetizzato nella seguente proprieta.

Proprieta 2.4 (Esponenziali di matrici algebrica equivalenti) Siano Ax e Az due matrici algebricamenteequivalenti, cioe legate dalla relazione Az = T−1Ax T . Allora

eAzt = T−1 eAxt T. (2.18)

Ancora una volta, la dimostrazione segue facilmente dalle definizioni di sistemi algebricamente equivalenti edi esponenziale di matrice, notando che, per qualsiasi matrice quadrata ad elementi reali A, si ha:

[

T−1 AT]i

= T−1 [A]iT, ∀i ∈ Z. (2.19)

2.1.2 Risposta libera e risposta forzata per sistemi LSTC

Si noti come la risposta completa nello stato (2.9) risulti lineare sia rispetto alla condizione iniziale, siarispetto alla funzione di ingresso. In virtu di questa linearita, si ha che la risposta completa alla condizioneiniziale x0 ed alla funzione di ingresso u(·) puo essere scomposta nel contributo della risposta libera xℓ(t), chedipende solo dalla condizione iniziale, e della risposta forzata xf (t), che dipende solo dal segnale di ingresso. Insintesi:

x(t) = x(t, t0, x0, u(·)) = xf (t) + xℓ(t) = eA(t−t0)x0 +

∫ t

t0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ (2.20a)

xf (t) := x(t, t0, 0, u(·)) =∫ t

t0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ (2.20b)

xℓ(t) := x(t, t0, x0, 0) = eA(t−t0)x0. (2.20c)


Si noti come la risposta libera nello stato xℓ(·) descrive solo l’effetto della condizione iniziale del sistema, inassenza di ingresso, mentre la risposta forzata nello stato xf (·) descrive solo l’effetto della funzione di ingresso,a partire da condizioni iniziali nulle. Le relazioni (2.20) costituiscono una applicazione del ben noto principiodi sovrapposizione degli effetti.

Le considerazione relative all’evoluzione dello stato possono essere estese facilmente al caso dell’uscita,tenendo conto del fatto che il legame uscita-stato e statico:

y(t) = Cx(t) +Du(t). (2.21)

La risposta completa in uscita e data quindi da:

y(t) = y(t, t0, x0, u(·)) = CeA(t−t0)x0 +

∫ t

t0

CeA(t−τ)Bu(τ)dτ +Du(t), (2.22)

ed analogamente per la risposta libera in uscita yℓ(·) e la risposta forzata in uscita yf (·) si trova:

yℓ(t) := y(t, t0, x0, 0) = CeA(t−t0)x0 (2.23a)

yf (t) := y(t, t0, 0, u(·)) =∫ t

t0

CeA(t−τ)Bu(τ)dτ +Du(t). (2.23b)

La natura stazionaria dei sistemi in esame rende arbitraria la scelta dell’istante iniziale. Nel seguito del testosi assumera quindi, come regola generale, nullo l’istante iniziale: t0 = 0.


2.2 Analisi modale per sistemi LSTC: approccio nel dominio deltempo

In questa sezione verranno studiate le proprieta di maggiore interesse, dal punto di vista della Teoria deiSistemi, della risposta libera nello stato per un sistema LSTC, e cioe dell’esponenziale matriciale a tempocontinuo. Scopo di questa analisi e lo studio del comportamento temporale delle funzioni che compogono talesoluzione, funzioni (tutte a valori reali) che sono dettemodi naturali del sistema dinamico. Tale studio costituiscel’analisi modale, che e di fondamentale importanza per valutare il comportamento di un sistema dinamico afronte di variazioni, eventualmente improvvise, del suo stato interno. In altre parole, l’analisi modale di unsistema dinamico lineare e stazionario consente di studiare il comportamento dello stesso sistema quando il suostato interno viene perturbato rispetto al punto di lavoro nominale.

Si vedra nel seguito come la maggior parte delle proprieta di un sistema dinamico dipendano dalle caratter-istiche dei modi naturali, e in particolare dalla loro convergenza e dalla velocita di tale convergenza.

L’analisi modale verra presentata secondo un approccio classico, nel dominio del tempo. In una sezionesuccessiva verra presentato un approccio nel dominio di Laplace. L’approccio nel dominio del tempo presupponel’uso di strumenti algebrici, ed in particolare di trasformazioni di similarita tra sistemi dinamici (strumentidescritti nel capitolo A dell’appendice).

Poiche l’analisi riguarda la risposta libera nello stato, ci si limita alla sola equazione differenziale omogenea.Si consideri allora il sistema dinamico:

x = Ax, x(0) = x0, x ∈ Rn. (2.24)

Sia pA(λ) = det(λI −A) il polinomio caratteristico di tale sistema:

pA(λ) = det(λI −A) =

r∏

i=1

(λ− λi)µi , (2.25)

dove i numeri λi, i = 1, · · · , r, sono gli autovalori distinti del sistema, reali o complessi coniugati a coppie,ciascuno con molteplicita algebrica (cioe molteplicita come radice del polinomio caratteristico) pari a µi. Nelcaso di un autovalore complesso, se ne indichi con σi e ωi la parte reale ed immaginaria, rispettivamente:λi = σi + ωi.

A ciascun autovalore del sistema dinamico in esame (della matrice A del sistema in esame) e associatoun autospazio Vi, costituito da tutti gli autovettori del sistema legati a tale autovalore, cioe da tutti i vettorisoluzione del sistema omogeneo:

Avi = λivi ⇔ (λiI −A)vi = 0, i = 1, · · · , r. (2.26)

Il numero di vettori linearmente indipendenti che sono soluzione della precedente equazione omogenea, checorrisponde alla dimensione dell’autospazio Vi, e detto molteplicita geometrica del corrispondente autovalore everra indicato con il simbolo νi. Sulla base di risultati noti, la molteplicita geometrica e uguale alla dimensionedel kernel, o nucleo, della matrice (λiI −A):

νi := dim(Vi) = dim [ker(λiI −A)] = n− rango (λiI −A). (2.27)

Infine, si ricordi che la molteplicita algebrica e sempre maggiore od uguale alla molteplicita geometrica: µi ≥ νi,∀i.

Il risultato fondamentale della sezione e sintetizzato dal seguente teorema, che descrive la totalita dei modinaturali che compogono la risposta libera di un sistema LSTC.

Teorema 2.1 (Modi naturali di un sistema LSTC) Sia dato il sistema lineare stazionario a tempo con-tinuo, omogeneo:

x = Ax, x(0) = x0, x ∈ Rn, (2.28)

e siano λi, i = 1, · · · , r, i corrispondenti autovalori distinti, caratterizzati dalle molteplicita algebrica e geomet-rica µi e νi, rispettivamente.

Allora si ha che:

• ad ogni autovalore λi ∈ R sono associati i seguenti µi modi naturali:

– λi ∈ R, µi = 1, ⇒ mi(t) = e λit ;


– λi ∈ R, µi = νi, ⇒ mi,j(t) = e λit, j = 1, · · · , µi;

– λi ∈ R, µi > νi, ⇒ mi,1(t) = e λit, mi,2(t) = te λit, mi,3(t) = · · · ;

• ad ogni coppia di autovalori complessi coniugati (λi, λ∗i ) = σi ± ωi sono associati le seguenti µi coppie di

modi naturali:

– λi ∈ C, µi = 1, ⇒ mi,c(t) = e σit cos(ωit), mi,s(t) = e σit sin(ωit) ;

– λi ∈ C, µi = νi, ⇒ mi,c,j(t) = e σit cos(ωit), mi,s,j(t) = e σit sin(ωit), j = 1, · · · , µi ;

– λi ∈ C, µi > νi, ⇒ mi,c,1(t) = e σit cos(ωit), mi,s,1(t) = e σit sin(ωit), mi,c,2(t) = te σit cos(ωit),mi,s,2(t) = te σit sin(ωit), mi,c,3(t) = ..., mi,c,3(t) = .....

Dal teorema precedente emergono alcune considerazioni.

Commento 2.1

• Il modo naturale base per un sistema LSTC e una funzione esponenziale con parametro pari all’autovaloreassociato. Cio vale sia per un autovalore reale semplice (cioe con molteplicita algebrica unitaria), sia peruna coppia di autovalori complessi coniugati semplici.

• Se tutti gli autovalori sono reali, ed inoltre semplici (cioe µi = 1, ∀i) o con molteplicita algebriche egeometriche uguali (cioe µi = νi, ∀i), i modi naturali sono costituiti solo da funzioni esponenziali reali.

• Se tutti gli autovalori sono complessi ed inoltre semplici (cioe µi = 1, ∀i) o con molteplicita algebrichee geometriche uguali (cioe µi = νi, ∀i), i modi naturali sono costituiti solo da prodotti tra funzioniesponenziali reali e funzioni sinusoidali e cosinusoidali.

• Se anche un solo autovalore ha molteplicite algebrica strettamente maggiore della molteplicita geometrica,compaiono una o piu funzioni polinomiali del tempo a moltiplicare i modi naturali base (il terzo caso diciascuno dei due scenari citati nel teorema). In particolare, se le due molteplicita sono divese comparecertamente il termine polinomiale di grado uno.

• Nei casi in cui, per uno o piu autovalori λi, si abbia µi > νi, il numero ed il grado delle corrispondentifunzioni polinomiali dipende da ulteriori considerazioni (sulla molteplicita del corrispondente autovalorecome radice del polinomio minimo) che esulano dagli scopi di queste note.

I modi naturali del tipo e λit e del tipo te λit, associate ad autvalori reali, sono dette funzioni aperiodiche. Imodi naturali associati ad autovalori complessi coniugati, del tipo e σit cos(ωit), e

σit sin(ωit), e le corrispondentimoltiplicate per polinoni del tempo, sono dette funzioni pseudoperiodiche. Nel caso particolare di autovaloriimmaginari puri e coniugati, con molteplicita uguali, i modi naturali diventano funzioni periodiche: cos(ωit) esin(ωit).

Il teorema 2.1 verra discusso in dettaglio nelle successive sottosezioni, che ne costituiscono quindi tracciadi dimostrazione. In particolare la sottosezione 2.2.1 discute il primo e secondo caso relativo ad un autovalorereale, la sottosezione 2.2.2 discute il primo e secondo caso relativo ad una coppia di autovalore complessi, lasottosezione 2.2.3 completa il caso di autovalore reale e la sottosezione 2.2.4 completa l’esame della coppiacomplessa. Infine, la sottosezione 2.2.5 trae delle conclusioni e completa la traccia di dimostrazione del teorema.

2.2.1 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori reali

Si consideri inizialmente il caso di un sistema scalare, cioe con spazio di stato di dimensione unitaria. In talcaso la matrice A diviene uno scalare, A = a, a ∈ R, e quindi il sistema dinamico e la risposta libera nello statosono descritti, rispettivamente, dall’equazione e dalla funzione seguenti:

x = ax(t) (2.29a)

x(t) = e atx0, t ≥ 0, x(0) = x0. (2.29b)

La funzione e at rappresenta il modo naturale del sistema in esame.


La soluzione del caso vettoriale e immediata se la matrice dinamicaA e diagonale: A = diag λ1, λ2, · · · , λn =:Λ. In questo caso il sistema dinamico e descritto dall’equazione:

x =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

x. (2.30)

Si noti che, poiche la matrice e diagonale, gli elementi λi sono anche gli autovalori della matrice stessa. Per ilcalcolo della risposta libera nello stato si trova facilmente:

x(t) =

e λ1t 0 · · · 00 e λ2t · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · e λnt

x0, t ≥ 0, x(0) = x0, (2.31)

e cioe la collezione di sistemi scalari

x1(t) = e λ1tx1,0 (2.32a)

x2(t) = e λ2tx2,0 (2.32b)

...

xn(t) = e λntxn,0 (2.32c)

ove xi,0 indica la i-esima componente della condizione iniziale x0.Dalle considerazioni precedenti segue che l’esponenziale di matrice a tempo continuo del sistema (2.30),

descritto da una matrice diagonale Λ, e dato da:

e Λt =

e λ1t 0 · · · 00 e λ2t · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · e λnt

. (2.33)

Le funzioni e λit, i = 1, 2, . . . , n, che descrivono la soluzione del sistema, sono associate agli autovalori delsistema e sono i modi naturali del sistema Σ(Λ, ·, ·, ·), brevemente Σ(Λ) (si veda anche la figura 2.1).

Si noti com non siano state poste ipotesi sulla molteplicita degli autovalori del sistema. In particolare, alcuniautovalori (anche tutti) possono essere tra loro coincidenti.

La forma (2.31) della soluzione o, equivalentemente, la forma (2.33) dell’esponenziale di matrice, per unsistema diagonale deriva in modo immediato dalla constatazione che tale sistema sia riconducibile ad unacollezione di sistemi scalari. In alternativa, la forma (2.33) dell’esponenziale di matrice puo essere ricavata dalladefinizione stessa di esponenziale di matrice, notando la seguente relazione generale:

Λi =

λi1 0 · · · 00 λi

2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λi

n

, ∀i ∈ Z, (2.34)

da cui segue:

eΛt =

∞∑

i=0

Λiti

i!=

∑∞i=0

λi1t

i

i!0 · · · 0

0∑∞

i=0

λi2t

i

i!· · · 0

......

. . ....

0 0 · · · ∑∞i=0

λint

i

i!

=

e λ1t 0 · · · 00 e λ2t · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · e λnt

. (2.35)


Si noti che la forma della risposta libera, per ciascuna componente, dipende dal modo naturale relativo,mentre l’ampiezza dipende dalla rispettiva condizione iniziale. Ad esempio, se la condizione iniziale e pari alvettore e1 (cioe, la prima colonna della matrice identita), la risposta libera nello stato sara nulla per tutte lecomponenti dello stato, salvo la prima, il cui andamento sara descritto dalla funzione x1(t) = e λ1tx1,0 = e λ1t,t ≥ 0.

Si consideri ora il caso di un sistema descritto da una matrice dinamica A non diagonale, ma diagonalizzabile.Cio implica l’esistenza di una matrice di trasformazione di coordinate T , non singolare, tale che, nelle nuovecoordinate, la matrice A diviene una matrice Λ con struttura diagonale:

T−1AT = Λ, Λ =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

, (2.36)

in cui gli elementi λi, i = 1, 2, . . . , n, sono gli autovalori della matrice A (si ricordi che gli autovalori sonoinvarianti rispetto a trasformazioni di similarita algebrica). In particolare, una matrice A, di dimensione n× n,e diagonalizzabile se, e solo se, ha n autovettori indipendenti, e cioe se e solo se µi = νi, ∀i. In tal caso, la matricedi trasformazione T che consente la diagonalizzazione e la matrice costituita da n autovettori indipendenti.

Si ricordi che tale operazione (la trasformazione di coordinate) corrisponde ad un cambio di base nello spaziovettoriale utilizzato per rappresentare la matrice.

Per quanto riguarda l’esponenziale di matrice nelle coordinate originali, cioe relativo alla matrice A, appli-cando la proprieta 2.4 si trova facilmente:

eAt = T eΛtT−1 = T

e λ1t 0 · · · 00 e λ2t · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · e λnt

T−1. (2.37)

L’esponenziale di matrice a tempo continuo e quindi composta da combinazioni lineari delle funzioni e λit,i = 1, 2, · · · , n, associate ai rispettivi autovalori del sistema, cioe da combinazioni lineari dei modi naturali delsistema.

2.2.2 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori complessi

L’analisi condotta finora, basata sull’uso di una matrice diagonale, non e utilizzabile se il sistema possiedeautovalori complessi. In tal caso infatti, vi sarebbero un’infinita di condizioni iniziali cui corrisponderebberorisposte libere nello stato caratterizzate da funzioni a valori complessi. Cio non e ammissibile, poiche i sistemidinamici di interesse in queste note sono descrizioni di processi reali, e quindi non rappresentabili con grandezzecomplesse. La necessita di ottenere solo comportamenti reali comporta l’introduzione di vincoli nella scelta dellepossibili condizioni iniziali: tale approccio non e soddisfacente. Per ovviare a cio, si introduce la cosiddettaforma canonica reale.

Si consideri per semplicita un sistema planare, cioe un sistema con spazio di stato di dimensione due, descrittoda una matrice dinamica Ap, con autovalori complessi coniugati λ e λ∗, cioe:

λ = σ + ω, λ∗ = σ − ω. (2.38)

Gli autovettori associati ai due autovalori complessi coniugati sono anch’essi complessi coniugati, e quindiindipendenti. Indicati con v1 = vR + vI e v2 = v∗1 = vR − vI i due autovettori, tra loro indipendenti, e facilevedere che anche i due vettori vR e vI sono indipendenti, e quindi possono essere scelti come nuovi vettori dibase. In tal caso, scelta la matrice di trasformazione come:

T =[

vR vI]

, (2.39)

la matrice dinamica, nelle nuove coordinate, assume la forma:

Λp = T−1ApT =

[

σ ω−ω σ

]

. (2.40)


La forma Λp in (2.40) e detta forma canonica reale. L’esponenziale di matrice a tempo continuo in questo casoe dato da:

eΛpt = e σt

[

cos(ωt) sin(ωt)− sin(ωt) cos(ωt)

]

= e σtΩ(t). (2.41)

dove Ω(t) indica la matrice quadrata di dimesione due che descrive la componente periodica dei due modinaturali:

Ω(t) :=

[


]

. (2.42)

Le funzioni e σt cos(ωt) e e σt sin(ωt) sono i modi naturali del sistema con autovalori complessi coniugatiλ = σ + ω e λ∗ = σ − ω.

La risposta libera nello stato del sistema planare in esame, nelle nuove coordinate z = T−1x, e data da:

z(t) = e σt

[


]

z(0), (2.43)

ed e facile vedere come non sia possibile eccitare in modo indipendente i due modi: nel caso di un sistemaplanare con autovalori complessi coniugati, la risposta libera nello stato contiene sempre almeno due modiindipendenti. Ovviamente, la stessa considerazione puo essere estesa anche al sistema planare nelle coordinateoriginali, poiche la matrice di trasformazione di coordinate e ad elementi reali. Si ottiene

eAt = T eΛpT−1, x(t) = T e σt

[


]

T−1 x(0), (2.44)

Si consideri ora il caso di un sistema dinamico di dimensione n, con matrice dinamica A diagonalizzabile.Si assuma, senza perdita di generalita, che i primi nr autovalori λi, i = 1, 2, · · · , nr, siano reali, ed i rimanentin − nr autovalori siano costituiti da nc coppie complesse coniugate, n − nr = 2nc. Siano vi, i = 1, 2, · · · , nr,gli autovettori associati agli autovalori reali, e (wi, w

∗i ), wi = wR,i + wI,i, i = 1, 2, · · · , nc, le coppie di autovet-

tori associati agli autovalori complessi. Scelte come nuove coordinate gli autovettori reali e le parti reali edimmaginarie degli autovettori complessi, la nuova matrice di cambio di coordinate e data da:

T =[

v1 v2 · · · vnrwR,1 wI,1 wR,2 wI,2 · · · wR,nc

wI,nc

]

. (2.45)

Nelle nuove coordinate la matrice dinamica e esprimibile nella seguente forma diagonale a blocchi:

ΛR =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λnr

. . .

0. . .

. . .

0. . .

Λp,1 0 · · · 00 Λp,2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Λp,nc

, (2.46)

in cui i termini Λp,i, i = 1, 2, · · · , nc rappresentano forme canoniche reali del tipo (2.40):

Λp,i =

[

σi ωi

−ωi σi

]

. (2.47)

Tenendo conto del fatto che la potenza k-esima di una matrice diagonale a blocchi e ancora diagonale ablocchi, e facile trovare la seguente forma per la matrice esponenziale, nelle nuove coordinate:

eΛRt =

e λ1t 0 · · · 00 e λ2t · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · e λnr t

. . .

0. . .

. . .

0. . .

e Λp,1t 0 · · · 00 eΛp,2t · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · e Λp,nc t

, (2.48)


ove eΛp,it indica la matrice di risposta libera nello stato di un sistema planare con autovalori complessi del tipodescritta in (2.41):

e Λp,it = e σit

[

cos(ωit) sin(ωit)− sin(ωit) cos(ωit)

]

= e σitΩi(t). (2.49)

La risposta libera nello stato in coordinate originali e quindi:

eAt = T eΛRtT−1. (2.50)

Poiche la matrice di cambio di coordinate e non singolare, l’esponenziale di matrice eΛt nelle coordinate diagonalie l’esponenziale di matrice eAt nelle coordinate originali contengono esattamente le stesse funzioni del tempo.Piu precisamente, ogni singolo elemento dell’esponenziale di matrice in coordinate originali sara costituito dallacombinazione lineare di uno o piu modi naturali del sistema. Il comportamento temporale dell’esponenziale dimatrice, e quindi dell’intero sistema, e governato quindi esclusivamente dai modi naturali del sistema, dati dallefunzioni esponenziali e λit, i = 1, 2, . . . , nr, e dalle funzioni esponenziali-sinusoidali e σit cos(ωit) ed e σit sin(ωit)i = 1, 2, . . . , nc.

2.2.3 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori reali

L’analisi dei modi naturali ed il calcolo della risposta nello stato per un sistema non diagonalizzabile ebasata sulla forma canonica di Jordan, che costituisce la generalizzazione della forma diagonale esaminata inprecedenza. Il blocco base per la costruzione di una forma canonica di Jordan e costituito dal miniblocco diJordan Jλ, di dimensione r, associato all’autovalore reale λ, dato dalla matrice r × r della forma seguente:

Jλ =

λ 1 0 · · · 0 00 λ 1 · · · 0 0...

......

......

0 0 0 · · · λ 10 0 0 · · · 0 λ

, (2.51)

cui corrisponde una matrice esponenziale a tempo continuo della forma:

e Jλt =

e λt te λt · · · tr−1

(r − 1)!e λt

0 e λt · · · tr−2

(r − 2)!e λt

......

. . ....

0 0 · · · e λt

. (2.52)

Le funzioni e λt, te λt, · · · , tr−1e λt sono i modi naturali generati da un miniblocco di Jordan di dimensione rassociato all’autovalore reale λ (si veda la figura 2.3).

La forma canonica di Jordan JA di una matrice A e una struttura diagonale a blocchi, con blocchi sulladiagonale costituiti da miniblocchi di Jordan Jλ di dimensioni opportune:

JA =

Jλ10 · · · 0

0 Jλ2· · · 0

......

. . ....

0 0 · · · Jλp

(2.53)

ed ottenibile per similarita algebrica dalla matrice A tramite un’opportuna matrice di trasformazione T basatasu una generalizzazione del concetto di autovettore:

JA = T−1AT. (2.54)

L’esponenziale matriciale in coordinate di Jordan e ancora una matrice diagonale a blocchi, con blocchi deltipo riportato nella (2.52):

e JAt =

e Jλ1t 0 · · · 0

0 e Jλ2t · · · 0

......

. . ....

0 0 · · · e Jλp t

(2.55)


mentre l’esponenziale di matrice in coordinate originali e dato:

eAt = T e JAtT−1 (2.56)

ed e quindi costituito da combinazioni lineari del vari modi naturali. Si noti che nella forma di Jordan di unamatrice A assegnata possono essere presenti piu miniblocchi Jλ relativi ad uno stesso autovalore λ. A riguardo,si hanno le seguenti proprieta e caratteristiche importanti.

L’andamento del modo naturale base e dei modi con termini polinomiali di ordine uno e di ordine due eillustrato nella seguente figura 2.3, piu avanti nel capitolo.

Commento 2.2

• La somma delle dimensioni di tutti i miniblocchi associati ad uno stesso autovalore λ e uguale allamolteplicita algebrica µ dello stesso autovalore, e cioe uguale alla molteplicita di tale autovalore comesoluzione del polinomio caratteristico.

• La dimensione del miniblocco piu grande associato ad un dato autovalore λ e uguale alla molteplicita ditale autovalore come soluzione del polinomio minimo.

• Il numero di miniblocchi associati ad uno stesso autovalore λ e uguale alla molteplicita geometrica ν dellostesso autovalore, e cioe uguale alla dimensione del sottospazio vettoriale ker(λI −A).

2.2.4 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori complessi

Infine, per completare l’analisi dei possibili modi naturali di un sistema dinamico a tempo continuo, si deveanalizzare il caso di matrice non diagonalizzabile con autovalori complessi di molteplicita maggiore di uno.La determinazione dei modi naturali passa per la generalizzazione della forma canonica reale. Indica con Ap

una forma canonica reale planare, la sua generalizzazione al caso di una sola coppia di autovalori complessi dimolteplicita pari ad r, r > 1, e una matrice con r × r blocchi, del tipo:

JR =

Λp I2 0... 0

0 Λp I2... 0

0 0 Λp

... 0...

......

. . ....

0 0 · · · · · · Λp

, (2.57)

cui sono associati modi naturali del tipo tje σt cos(ωt) e tje σt sin(ωt), con j = 0, 1, . . . , r − 1.Nel caso particolare di un sistema con una coppia di autovalori complessi coniugati λ = σ+ω e λ∗ = σ−ω,

ciascuno di molteplicita due, si trova la seguente forma di Jordan reale:

JR2=

σ ω 1 0−ω σ 0 10 0 σ ω0 0 −ω σ

, (2.58)

cui corrisponde il seguente esponenziale matriciale:

e JR2t = e σt

cos(ωt) sin(ωt) t cos(ωt) t sin(ωt)− sin(ωt) cos(ωt) −t sin(ωt) t cos(ωt)

0 0 cos(ωt) sin(ωt)0 0 − sin(ωt) cos(ωt)

. (2.59)

Nel caso in cui il sistema abbia solo autovalori complessi, ma con molteplicita arbitraria, l’esponenziale dimatrice, in coordinate reali, ricordando la notazione (2.42), assume la forma:

e JRt = e σt

Ω(t) tΩ(t) · · · tr−1

(r − 1)!Ω(t)

0 Ω(t) · · · tr−2

(r − 2)!Ω(t)

......

. . ....

0 0 · · · Ω(t)

. (2.60)


2.2.5 Il caso generale

Si consideri ora il caso generale, di un sistema con nR autovalori reali, alcuni di loro eventualmente coincidenti,ed nC autovalori complessi coniugati, alcuni di loro eventualmente coincidenti, sia gli autovalori reali sia quellicomplessi con molteplicita arbitraria. Per tale sistema, nelle coordinate di Jordan, si ha un’esponenziale dimatrice della seguente forma, che contiene tutti i modi naturali del sistema stesso:

e Jt =

e Jλ1t 0 · · · 0 0 0 · · · 0

0 e Jλ2t · · · 0 0 0 · · · 0

......

. . .... 0 0 · · · 0

0 0 · · · e JλnRt 0 0 · · · 0

0 0 · · · 0 e JR1t 0 · · · 0

0 0 · · · 0 0 e JR2t · · · 0

0 0 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · 0 0 0 · · · e JRnCt

. (2.61)

in cui le sottomatrici e Jλit, i = 1, 2, · · · , nR, sono matrici (di dimensione opportuna) del tipo in equazione (2.52),

mentre le sottomatrici e JRit, i = 1, 2, · · · , nC , sono matrici (di dimensione opportuna) del tipo in equazione

(2.60).L’esponenziale di matrice nelle coordinate originali si ottiene per trasformazione di similarita di tale matrice,

e contiene tutti e soli i modi naturali presenti nella (2.61). Cio completa l’analisi del teorema 2.1 relativo aimodi naturali di un sistema lineare, stazionario, a tempo continuo.

2.2.6 Caratterizzazione di convergenza

Al variare della posizione degli autovalori nel piano complesso, i modi naturali di un sistema sono caratteriz-zati da specifiche proprieta di convergenza, che costituiscono uno degli elementi fondamentali dell’analisi modale.Come si vedra successivamente infatti, le proprieta di stabilita dei punti di equilibrio di un sistema LSTC edello stesso sistema dipendono unicamente da tali proprieta di convergenza. In modo analogo, l’esistenza dellarisposta permamente per un sistema LSTC dipende esclusivamente dalle proprieta di convergenza dei modinaturali.

La caratterizzazione di convergenza a sintetizzata dal seguente teorema.

Teorema 2.2 (Caratterizzazione di converganza del modi naturali di un sistema LSTC) Sia dato ilsistema lineare stazionario a tempo continuo, omogeneo:

x = Ax, x(0) = x0, x ∈ Rn, (2.62)


Allora, per ciascun autovalore λi ∈ R e per ciascuna coppia di autovalori complessi (λi, λ∗i ) ∈ C, si ha che i

corrispondenti modi naturali sono:

• convergenti se la parte reale dell’autovalore e negativa: Re(λi) < 0, ∀µi;

• limitati se la parte reale dell’autovalore e nulla, Re(λi) = 0, ed inoltre le molteplicita algebrica e geomet-rica sono uguali, µi = νi ;

• divergenti se la parte reale dell’autovalore e nulla, Re(λi) = 0, ed inoltre le molteplicita algebrica egeometrica sono diverse, µi > νi ;

• divergenti se la parte reale dell’autovalore e positiva: Re(λi) > 0, ∀µi.

I vari casi vengono descritti, con una traccia di dimostrazione.


Autovalori reali semplici

Nel caso di un autovalore reale semplice λ, il modo naturale associato e dato dalla funzione esponenziale e λt. Eben noto che in tal caso il comportamento asintotico dipende dal segno dell’autovalore. Nel caso di autovalorenegativo, si ha un modo naturale convergente, mentre nel caso di autovalore positivo (cioe, se l’autovalore ealla destra dell’asse immaginario) il modo naturale e divergente. Infine, il modo naturale e detto limitato sel’autovalore corrispondente e nullo (cioe, se l’autovalore coincide con l’origine del piano complesso): il modonaturale e infatti un segnale costante. La situazione e sintetizzata dalla figura 2.1.

0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Autovalore reale negativo

Tempo (secs)

Modo

natura

le

0 50

50

100

150Autovalore reale positivo

Tempo (secs)

Modo

natura

le

0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Autovalore nullo

Tempo (secs)

Modo

natura

le

Figura 2.1: Modi naturali associati ad autovalori reali.

Autovalori complessi coniugati semplici

La caratterizzazione di convergenza e del tutto analoga nel caso di autovalori complessi, con la sola differenzadi un comportamento oscillatorio, dovuto ai termini sin(ωt) e cos(ωt) che compongono i modi naturali: i modinaturali sono convergenti se gli autovalori hanno parte reale negativa; i modi naturali sono divergenti se gliautovalori hanno parte reale maggiore di zero, i modi naturali sono limitati se gli autovalori hanno parte realenulla. Si noti che, nel caso di autovalori complessi, parte reale nulla corrisponde a modi naturali oscillatori puri,cioe del tipo sin(ωt) e cos(ωt). La situazione e sintetizzata dalla figura 2.2.

0 1 2 3 4 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Autovalori parte reale negativa

Tempo (secs)

Modo

natura

le

0 1 2 3 4 5

−100

−50

0

50

100

150

Autovalore parte reale positiva

Tempo (secs)

Modo

natura

le

0 1 2 3 4 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Autovalore parte reale nulla

Tempo (secs)

Modo

natura

le

Figura 2.2: Modi naturali associati ad autovalori complessi.


Autovalori reali non semplici

La caratterizzazione rispetto alla convergenza dei modi naturali nel caso di autovalori con molteplicita algebricae geometrica diverse e legata ancora al segno della parte reale dell’autovalore: si hanno modi convergenti nelcaso di autovalori con parte reale negativa e modi divergenti nel caso di autovalori con parte reale positiva. Nelcaso di un autovalore con parte reale nulla, la convergenza dei modi e legata alla molteplicita nel polinomiominimo 2. Ad esempio, il modo naturale te λt, per autovalore nullo, diviene la funzione t, e quindi e una funzionecrescente del tempo. Analogamente per tutti i modi di ordine superiore, cioe del tipo tje λt, con 0 < j < r edautovalore nullo. In conclusione, per autovalori con parte reale nulla e con molteplicita algebrica e geometricadiverse 3, i modi naturali sono divergenti, sia pure con tasso di crescita minore di quello associato ad autovaloria parte reale positiva (si veda la figura 2.3).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

m1(t)=et

Tempo (secs)

Mod

o

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

m2(t)=t et

Tempo (secs)

Mod

o

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

m3(t)=t2 et

Tempo (secs)

Mod

o

Figura 2.3: Modi naturali associati ad autovalori reali non semplici.

Autovalori complessi coniugati non semplici

Il caso di autovalori complessi coniugati con molteplicita algebrica e geometrica diverse e del tutto analogo alcaso precedente: la presenza di termini polinomiali rende i modi naturali divergenti sia in caso di autovalori aparte reale positiva, sia a parte reale nulla. Sono invece convergenti i modi naturali associati ad autovalori conparte reale negativa.

2.2.7 Riepilogo

Nel caso generale una matrice dinamica A potra avere autovalori sia reali che complessi, ciascuno conmolteplicita unitaria o maggiore. Nel calcolo della sua matrice esponenziale saranno quindi coinvolti alcuni, odal limite tutti, i casi particolari visti in precedenza. Tuttavia l’esponenziale di matrice sara sempre basata su unacombinazione lineare di modi naturali, per la cui determinazione e sufficiente un’analisi completa degli autovaloridella matrice A. In altre parole, di norma (ad esempio, se l’interesse e limitato allo caratterizzazione dei modirispetto alla convergenza), non e richiesto il calcolo esplicito dell’esponenziale matriciale e delle relative matricidi similarita, ma e invece sufficiente valutare in modo completo gli autovalori della matrice A, in coordinateoriginali.

I possibili modi naturali di un sistema a tempo continuo sono riepilogati nella prima colonna della tabella2.1, e le loro proprieta di convergenza sono riepilogate nelle successive colonne della stessa tabella.

2 che coincide con la dimensione del miniblocco associato3cioe per molteplicita non unitaria nel polinomio minimo, che corrisponde a miniblocchi di dimensione maggiore di uno associati

ad autovalori (reali) nulli


Modo Caratterizzazione di convergenza

naturale convergente limitato divergente

e λt, λ ∈ R Re(λ) < 0 Re(λ) = 0 Re(λ) > 0

tje λt, λ ∈ R Re(λ) < 0 Re(λ) = 0, j = 0 [Re(λ) = 0, j > 0], [Re(λ) > 0]

e σt cos(ωt), λ ∈ C Re(λ) = σ < 0 Re(λ) = σ = 0 Re(λ) = σ > 0

e σt sin(ωt), λ ∈ C Re(λ) = σ < 0 Re(λ) = σ = 0 Re(λ) = σ > 0

tje σt cos(ωt), λ ∈ C Re(λ) = σ < 0 Re(λ) = σ = 0, j = 0 [Re(λ) = σ = 0, j > 0], [Re(λ) = σ > 0]

tje σt sin(ωt), λ ∈ C Re(λ) = σ < 0 Re(λ) = σ = 0, j = 0 [Re(λ) = σ = 0, j > 0], [Re(λ) = σ > 0]

Tabella 2.1: Modi naturali di un sistema a tempo continuo e condizioni di convergenza

2.2.8 Il significato fisico del concetto di autovettore

Per studiare la dipendenza della risposta libera nello stato dalle condizioni iniziali, ed in particolare per studiarela possibilita di eccitare singoli modi naturali con opportune condizioni iniziali, e utile approfondire il significatofisico del concetto di autovettore.

Si scriva il sistema in esame nelle coordinate in cui la sua matrice dinamica e diagonale. Indicato conz = T−1x il nuovo vettore di stato, la dinamica corrispondente e data da:

z = Λz, Λ = diag λ1, λ2, . . . , λn (2.63)

Come visto in precedenza, in questo caso ciascun modo naturale puo essere eccitato indipendentemente, scegliendoin modo opportuno il vettore delle condizioni iniziali. Analogamente, ciascuna condizione iniziale eccita solo imodi naturali lungo i quali la condizione stessa ha componenti non nulle. Ad esempio, la condizione inizialez0 = e1 eccita solo il primo modo, descritto da e λ1t. Viceversa, la condizione iniziale z0 = e2 + 3e4 eccita i duemodi naturali e λ2t e e λ4t, e la corrispondente risposta libera nello stato e data da x(t) = e λ2t + 3e λ4t. (Lanotazione ei indica la i-esima colonna della matrice identita).

Passando alle coordinate originali, si ricordi che la matrice di cambio di coordinate che consente di diagonaliz-zare la matrice A e costituita dagli n autovettori della matrice stessa (se tali autovettori non sono indipendenti,la matrice non e diagonalizzabile, come noto). Cioe, detti vi, i = 1, 2, · · · , n, gli autovettori associati agliautovalori λi, i = 1, 2, · · · , n, la matrice di trasformazione e data da:

T =[

v1 v2 · · · vn]

, (2.64)

come si deduce facilmente anche dalla relazione:

AT = TΛ = T

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

. (2.65)

Allora, e immediato vedere che una condizione iniziale x0 eccita un solo modo naturale se e allineata secondo ilcorrispondente autovettore e viceversa. Analogamente, una data condizione iniziale eccita tutti i modi naturaliassociati agli autovettori che concorrono alla rappresentazione della condizione iniziale stessa.


Lo studio delle condizioni iniziali che consentono di eccitare singoli modi naturali, puo essere condotto ancheper altra via, lavorando in coordinate originali.

Si assuma una condizione iniziale allineata con un autovettore. Ad esempio, sia vj l’autovettore relativoall’autovalore λj , e sia x(0) = vj la condizione iniziale. La risposta libera nello stato e quindi:

x(t) = eAtx(0) = eAtvj . (2.66)

Ricordando le definizioni di autovettore e di matrice esponenziale:

Av = λv, eAt =

∞∑

i=0

Aiti

i!, (2.67)

e notando, ad esempio per induzione, che, dato un autovettore v ed un intero positivo qualsiasi ℓ, vale larelazione:

Aℓv = λℓv, (2.68)

la risposta libera nello stato diviene:

x(t) = eAtx(0) = eAtvj (2.69a)

=∞∑

i=0

Aiti

i!vj (2.69b)

=

∞∑

i=0

λijt

i

i!vj (2.69c)

= e λjtvj , (2.69d)

e quindi tale risposta libera contiene solo ed unicamente il modo naturale relativo all’autovettore che descrivela condizione iniziale.

Si noti che le considerazioni svolte in questa ultima parte prescindono completamente dalla molteplicitaalgebrica e geometrica e sono quindi di validita generale.

2.2.9 Decomposizione spettrale

La matrice dinamica A, rappresentativa del comportamento dinamico di un sistema, puo essere rappresentatacome combinazione lineare di opportune matrici quadrate, derivate dagli autovettori e pesate con gli autovaloridel sistema stesso. Sia A una matrice diagonalizzabile, siano λi i suoi autovalori, vi i corrispondenti autovettori(destri), e wT

i gli autovettori sinistri (cioe, vettori riga che soddisfano le equazioni wTi A = λiw

Ti ). Allora, la

matrice A puo essere riscritta secondo la seguente decomposizione spettrale:

A =n∑

i=1

λi viwTi . (2.70)

Si noti che i termini viwTi sono matrici quadrate. La decomposizione (2.70) puo essere estesa anche alla

corrispondente matrice esponenziale:

eAt =

n∑

i=1

e λitviwTi . (2.71)

2.2.10 Il piano delle fasi per sistemi planari

Nel caso di sistemi planari, cioe con spazio di stato di dimensione due, e interessante studiare, in modoqualitativo, il comportamento delle traiettorie nel piano delle fasi (cioe, nel piano che rappresenta le due variabilidi stato). In particolare, si consideri un sistema planare autonomo, con autovalori complessi, e con condizioneiniziale pari a x0 = [1, 0]T :

x =

[

σ ω−ω σ

]

x. (2.72)

Il comportamento nel piano delle fasi, per σ = ±0.2, ω=2, e riportato in figura (2.4), a sinistra nel casodi parte reale positiva e al centro nel caso di parte reale negativa. Il diagramma a destra e relativo a parte


−4 −2 0 2 4−8

−6

−4

−2

0

2

4

6Modi pseudo−periodici divergenti

Coordinata x1

Coo

rdin

ata

x 2

−0.5 0 0.5−1

−0.5

0

0.5

1Modi pseudo−periodici convergenti

Coordinata x1

Coo

rdin

ata

x 2

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Modi periodici

Coordinata x1

Coo

rdin

ata

x 2

Figura 2.4: Comportamento nel piano delle fasi per un sistema con modi naturali pseudo-periodici divergenti.

reale nulla. Il comportamento pseudo-periodico divergente dei due modi naturtali corrisponde ad una spiralecrescente, quello dei due modi pseudo-periodici convegenti ad una spirale decrescente.

Lo studio del comportamento nel piano delle fasi per sistemi planari con autovalori reali viene lasciato comeesercizio.

2.2.11 Esercizi risolti

Esercizio 2.1 Si consideri il sistema dinamico descritto dal modello:

x =

−1 0 00 −2 00 0 3

x (2.73)

Il sistema e caratterizzato da una matrice A diagonale, e quindi i suoi autovalori sono semplicemente gli elementisulla diagonale, e cioe:

λ1 = −1; λ2 = −2; λ3 = 3, (2.74)

cui corrispondono, rispettivamente, i modi naturali:

m1(t) = e−t; m2(t) = e−2t; m3(t) = e 3t. (2.75)

I primi due modi naturali sono convergenti, il terzo modo naturale e divergente. L’esponenziale di matrice delsistema in esame e dato da:

eAt =

e−t 0 00 e−2t 00 0 e 3t

. (2.76)


x =

3 0 04 −2 −1−4 0 −1

x (2.77)

Il polinomio caratteristico del sistema e dato da:

pA(λ) = det(λI −A)

= det

λ− 3 0 0−4 λ+ 2 14 0 λ+ 1

= λ3 − 7λ− 6,


che puo essere fattorizzato nella forma pA(λ) = (λ+ 1)(λ+ 2)(λ− 3), e quindi i suoi autovalori sono:

λ1 = −1; λ2 = −2; λ3 = 3, (2.78)

cui corrispondono, rispettivamente, i modi naturali:

m1(t) = e−t; m2(t) = e−2t; m3(t) = e 3t. (2.79)

I primi due modi naturali sono convergenti, il terzo modo naturale e divergente. Si noti che si tratta degli stessimodi naturali dell’esempio precedente.

Infatti, presa come matrice di trasformazione (costruita utilizzando come nuova base i tre autovettori) lamatrice

T−1 =

1 0 10 1 1−1 0 0

, (2.80)

ed indicate con A1 ed A2 le matrici, rispettivamente, dei due esempi 2.1 e 2.2, si trova:

A2 = T−1A1T, (2.81)

da cui segue, per l’esponenziale di matrice dell’esempio corrente:

eA2t = T−1eA1tT =

e 3t 0 0−e−t + e 3t e−2t −e−t + e−2t

e−t − e 3t 0 e−t

. (2.82)

Come atteso, tale esponenziale contiene solo combinazioni lineari dei modi naturali.


x =

−1 1 00 −1 00 0 −1

x (2.83)

Il sistema e costituito da due miniblocchi di Jordan, il primo di dimensione due ed associato all’autovaloreλ1 = −1, il secondo di dimensione uno ed associato allo stesso autovalore. Sulla base della teoria dell’analsimodale, e noto che a tale situazione corrispondono, rispettivamente, i seguenti modi naturali:

m1(t) = e−t; m2(t) = te−t; m3(t) = e−t. (2.84)

In tal caso, tutti i modi naturali sono convergenti, poiche la parte reale dell’unico autovalore e negativa.L’esponenziale di matrice del sistema in esame e dato da:

eAt =

e−t te−t 00 e−t 00 0 e−t

. (2.85)


x =

−1 0 00 −2 −10 1 0

x (2.86)

Il polinomio caratteristico del sistema vale:


= det

λ+ 1 0 00 λ+ 2 10 −1 λ

= λ3 + 3λ2 + 3λ+ 1 = (λ+ 1)3.

Il sistema ha un solo autovalore con moltiplicita pari a tre:

λ1 = −1; µ1 = 3. (2.87)


Per valutare la forma dei modi naturali si deve studiare la molteplicita geometrica di tale autovalore. Si trattaquindi di valutare la dimensione del nucleo della matrice λI −A, per λ = −1, che corrisponde poi a valutare ilnumero di autovettori indipendenti associati all’autovalore λ = −1. Si trova:

λI −A = −I −A =

0 0 00 1 10 −1 −1

.

Si vede facilmente che la matrice ha due righe dipendenti, e quindi il suo nucleo ha dimensione 2 (in alternativa,la matrice ha rango uno, e quindi il nucleo ha dimensione n−1 = 3−1 = 2). L’autovalore di interesse ha quindimolteplicitia geometrica pari a 2. Ne segue che il sistema ha due miniblocchi di Jordan, ed appare un terminepolinomiale. I modi naturali sono quindi:

m1(t) = e−t; m2(t) = te−t; m3(t) = e−t. (2.88)

In tal caso, tutti i modi naturali sono convergenti, poiche la parte reale dell’unico autovalore e negativa.Si noti come si tratti degli stessi modi naturali dell’esempio precedente.Infatti, presa come matrice di trasformazione (calcolabile con procedura non parte del programma d’esame)

la matrice

T−1 =

1 0 10 1 1−1 0 0

, (2.89)

ed indicate con A1 ed A2 le matrici, rispettivamente, dei due esempi 2.3 e 2.4, si trova:

A2 = T−1A1T, (2.90)

da cui segue, per l’esponenziale di matrice dell’esempio corrente:

eA2t = T−1eA1tT =

e−t 0 00 −te−t + e−t −te−t

0 te−t e−t + te−t

. (2.91)



x =

0 0 0−1 −1 −10 1 1

x (2.92)

Il polinomio caratteristico del sistema vale


= det

λ 0 01 λ+ 1 10 −1 λ− 1

= λ3.

e quindi il sistema ha un solo autovalore λ = 0, con moltiplicita µ = 3.Per valutare la forma dei modi naturali si deve studiare la molteplicita geometrica di tale autovalore. Si

tratta quindi di valutare la dimensione del nucleo della matrice λI −A, per λ = 0. Si trova:

λI −A = −A =

0 0 01 1 10 −1 −1

.

Si vede facilmente che la matrice ha due righe indipendenti ed una riga nulla, e quindi il suo nucleo ha dimensione1 (in alternativa, la matrice ha rango due, e quindi il nucleo ha dimensione n − 2 = 3 − 2 = 1). L’autovalorenullo ha quindi molteplicitia geometrica pari ad 1. Ne segue che il sistema ha un solo miniblocco di Jordan. Trai suoi modi naturali vi saranno quindi un termine polinomiale di grado uno ed un ulteriore termine di gradodue.


I modi naturali sono quindi:

m1(t) = δ−1(t); m2(t) = tδ−1(t) = t; m3(t) = t2δ−1(t) = t2. (2.93)

In tal caso, il primo modo naturale e limitato, gli altri due crescono e sono quindi divergenti.Nel caso in esame, presa come matrice di trasformazione (calcolabile con procedura non parte del programma

d’esame) la matrice

T−1 =

1 0 10 1 1−1 0 0

, (2.94)

si trova:

AJ = T−1AT =

0 1 00 0 10 0 0

, (2.95)

cui corrisponde l’esponenziale di matrice:

eAJ t =

δ−1(t) tδ−1(t) t2δ−1(t)0 δ−1(t) tδ−1(t)0 0 δ−1(t)

=

δ−1(t) t t2

0 δ−1(t) t0 0 δ−1(t)

(2.96)

da cui segue, per l’esponenziale di matrice in coordinate originali, la forma:

eAt = T−1eAJ tT =

δ−1(t) 0 0t2δ−1(t)− tδ−1(t) −tδ−1(t) + δ−1(t) −tδ−1(t)

−t2δ−1(t) tδ−1(t) δ−1(t) + tδ−1(t)

=

δ−1(t) 0 0t2 − t −t+ δ−1(t) −t−t2 t δ−1(t) + t

.



2.3 La trasformata di Laplace

Lo studio dei sistemi lineari stazionari a tempo continuo, ed in particolare lo studio dei legami ingresso-uscitadi tali sistemi, e di solito condotto facendo uso delle strumento formale-simbolico della trasformata di Laplace4.

In queste note la trasformata di Laplace viene presentata in modo estremamente sintetico ed operativo. Pertutti gli aspetti formali, di esistenza della trasformata, e per i legami con altre trasformate ed integrali, adesempio con la trasformata di Fourier, si rimanda a testi specifici.

Si consideri una funzione del tempo f(·), a valori complessi, nulla per t < 0, e maggiorata da Me γt, perqualche valore di M > 0 e γ > 0: f : R → C, f(t) = 0, t < 0, f(t) < Me γt, t > 0.

La trasformata di Laplace della funzione f(·), indicata (sia pure impropriamente) con la notazione:

F (s) := L[f(t)], (2.97)

e definita dal seguente integrale, supposto che converga:

F (s) := limǫ → 0ǫ > 0

∫ ∞

−ǫ

f(t)e−stdt =

∫ ∞

0−f(t)e−stdt (2.98)

Se l’integrale (2.98) converge per un certo s0 = σ0 + ω0, allora converge per tutti i valori s tali che Re(s) ≥ σ0.Il piu piccolo valore di σ0 tale che, per ogni s con Re(s) > σ0 l’integrale (2.98) converge, e detto ascissa diconvergenza, e sara indicato con α; la regione del piano complesso E := s ∈ C : Re(s) > α e detta regione diesistenza. La funzione F (s) ha lo stesso contenuto informativo del segnale di origine f(t); piu precisamente,F (s) ed f(t) sono due diverse rappresentazioni dello stesso segnale: F (s) e la rappresentazione nel dominio dellavariable di Laplace, mentre f(t) e la rappresentazione dello stesso segnale nel dominio del tempo.

Nota la trasformata di Laplace F (s) di un segnale, la sua rappresentazione nel dominio del tempo, f(t),puo essere ricostruita a partire dalla trasformata inversa di Laplace o antitrasformata di Laplace, definitadall’integrale di linea:

f(t) = L−1[F (s)] =1

2π

∫ σ+∞

σ−∞F (s)e stds, t ≥ 0 (2.99)

cioe:

f(t) = L−1[F (s)] =1

2π

∫ ∞

−∞F (σ + ω)e (σ+ω)tdω, t ≥ 0 (2.100)

ove σ e un qualunque numero reale maggiore dell’ascissa di convergenza α. Si noti che l’integrale e calcolatolungo una retta del piano complesso parallela all’asse immaginario. Di norma, tale integrale si calcola tramiteil teorema dei residui, considerando il percorso chiuso costituito dalla retta verticale s = σ+ ω e da un arco dicerchio antiorario di raggio infinito.

La trasformata di Laplace ha interesse perche le due trasformazioni (2.98) e (2.99) rappresentano una re-lazione biunivoca tra funzioni del tempo e corrispondenti trasformate, nel senso meglio precisato dalla seguenteproprieta di unicita.

2.3.1 Proprieta della trasformata di Laplace

Le seguenti proprieta della trasformata di Laplace sono di fondamentale importanza.

Proprieta 2.5 (Proprieta di unicita) Se L[x(t)] = L[y(t)] lungo una qualche linea s = σ + ω, con σ >maxαx, αy, allora le due funzioni del tempo coincidono, cioe x(t) = y(t), t ≥ 0 (quasi ovunque).

Proprieta 2.6 (Linearita) Siano u(t) e y(t) due funzioni del tempo, con trasformata U(s) ed Y (s), rispetti-vamente. Allora, vale la seguente proprieta di linearita:

L[c1u(t) + c2y(t)] = c1U(s) + c2Y (s), ∀c1, c2 ∈ R. (2.101)

⊓⊔4Pierre Simon Laplace (Beaumont-en-Auge, 1749 – Parigi, 5 marzo 1827).


Le due proprieta di unicita e linearita sono di fondamentale importanza concettuale: se non valessero, latrasformata di Laplace non sarebbe di alcun interesse pratico.

Le sequenti proprieta hanno invece un significato operativo: descrivono le situazioni specifiche nelle quali latrasformata riveste interesse e le corrispondenti forme di impiego.

Proprieta 2.7 (Ritardo finito) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo e la sua trasformata, con ascissa diconvergenza αu . Allora, dato un reale T > 0, la funzione traslata nel tempo u(t−T ) ha trasformata ed ascissadi convergenza pari a:

L[u(t− T )] = e−sTU(s), α = αu. (2.102)

Dimostrazione

L[u(t− T )] =

∫ ∞

0−u(t− T )e−stdt =

∫ ∞

−T

u(τ)e−s(τ+T )dτ

= e−sT

∫ ∞

0−u(τ)e−sτdτ = e−sTU(s), Re(s) > αu.

⊓⊔

Proprieta 2.8 (Trasformata di una derivata) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo e la sua trasfor-mata. Allora, la derivata temporale u(t) della funzione u(t) ha trasformata pari a:

L[

d u(t)

dt

]

= sU(s)− u(0−). (2.103)

Dimostrazione Integrando per parti si trova:

L[

d

dtu(t)

]

=

∫ ∞

0−

d

dtu(t)e−stdt =

[

u(t)e−st]∞0

+ s

∫ ∞

0−u(t)e−stdt = −u(0−) + sU(s).

⊓⊔La dimostrazione assume, implicitamente, che valga il seguente limite: limt→∞ u(t)e−st = 0. Perche cio e

vero? Si veda anche l’esercizio proposto 2.14.

Proprieta 2.9 (Trasformata di una derivata seconda) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo e la sua

trasformata. Allora, la derivata temporale secondad2

dt2u(t) della funzione u(t) ha trasformata pari a:

L[

d2

dt2u(t)

]

= s2U(s)− su(0)−[

d

dtu(t)

]

|t=0. (2.104)

Proprieta 2.10 (Trasformata di un integrale) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo e la sua trasfor-

mata. Allora, l’integrale∫ t

0u(τ)dτ ha trasformata pari a:

L[∫ t

0

u(τ)dτ

]

=1

sU(s). (2.105)

Dimostrazione. Integrando per parti si trova:

L[∫ t

0

u(τ)dτ

]

=

∫ ∞

0−

(∫ t

0

u(τ)dτ

)

e−stdt =

[

−1

s

∫ t

0

u(τ)dτe−st

]∞

0

+1

s

∫ ∞

0−u(t)e−stdt =

1

sU(s).

⊓⊔

Proprieta 2.11 (Traslazione nel dominio di s (traslazione complessa)) Siano u(t) ed U(s) un segnaledel tempo e la sua trasformata. Allora, la funzione e atu(t) ha trasformata pari a:

L[e atu(t)] = U(s− a). (2.106)

⊓⊔


Proprieta 2.12 (Trasformata di un integrale di convoluzione) Siano u(t) ed y(t) due funzioni del tempo,U(s) ed Y (s) le loro trasformate. Allora, l’integrale di convoluzione delle due funzioni del tempo, se esiste, hatrasformata pari a:

L[∫ t

0

u(t− τ)y(τ)dτ

]

= U(s)Y (s). (2.107)

⊓⊔

Proprieta 2.13 (Antitrasformata della derivata rispetto ad s) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo

e la sua trasformata. Allora, la funzioned

dsU(s) ha antitrasformata pari a:

L−1

[

d

dsU(s)

]

= −tu(t). (2.108)

⊓⊔

2.3.2 Trasformata di Laplace di segnali notevoli

Si danno ora le trasformate di alcuni segnali elementari, di interesse nello studio di sistemi dinamici.

Proprieta 2.14 (Gradino unitario) Sia δ−1(t) la funzione gradino unitario:

δ−1(t) =

0 t < 01 t ≥ 0

, (2.109)

la sua trasformata di Laplace e la corrispondente ascissa di convergenza α sono date da:

L[δ−1(t)] =1

s, α = 0. (2.110)

Dimostrazione

L [δ−1(t)] =

∫ ∞

0−e−stdt =

[

−e−st

s

]∞

0−= −1

s

(

limt→∞

e−st − limt→0

e−st)

=1

s, Re(s) > 0.

⊓⊔

Proprieta 2.15 (Rampa unitaria) Sia δ−2(t) una rampa con pendenza unitaria:

δ−2(t) =

0 t < 0t t ≥ 0

, (2.111)

la sua trasformata di Laplace e la corrispondente ascissa di convergenza sono:

L [δ−2(t)] =1

s2, α = 0. (2.112)

Dimostrazione Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di un gradino, applicando la proprieta (2.10) ditrasformazione di un integrale. Si noti che δ−2(t) = tδ−1(t). Si noti inoltre che per il calcolo della trasformata(2.112) si potrebbe applicare anche la proprieta 2.13, riscritta come:

L [tu(t)] = − d

dsU(s). (2.113)

⊓⊔


Proprieta 2.16 (Segnale esponenziale) Sia u(t) un segnale esponenziale con costante a positiva:

u(t) =

0 t < 0e at t ≥ 0

, (2.114)

la sua trasformata di Laplace ed ascissa di convergenza sono:

L[e atδ−1(t)] =1

s− a, α = a. (2.115)

Dimostrazione Innanzitutto, si noti che la funzione u(t) definita sopra coincide con la funzione e atδ−1(t). Datauna generica funzione del tempo f(t), la notazione f(t)δ−1(t) e usata per indicare il fatto che la funzione inesame e nulla per tempi negativi.

L[

e atδ−1(t)]

=

∫ ∞

0−e ate−stdt =

[

−e−(s−a)t

s− a

]∞

0−=

= − 1

s− a

(

limt→∞

e−(s−a)t − limt→0

e−(s−a)t)

=1

s− a, Re(s) > a.

⊓⊔

Proprieta 2.17 (Segnale sinusoidale) Sia u(t) un segnale sinusoidale con pulsazione ω: u(t) = sin(ωt). Lasua trasformata di Laplace ed ascissa di convergenza sono:

L[sin(ωt)δ−1(t)] =ω

s2 + ω2, α = 0. (2.116)

La dimostrazione di questa proprieta e lasciata per esercizio.A scopo esemplificativo, la tabella 2.2 raccoglie le trasformate dirette ed inverse di alcune funzioni di uso

comune. Di norma, tali trasformate si ottengono facilmente a partire da quelle riportate sopra, tramite leproprieta descritte in precedenza.

2.3.3 Alcuni teoremi

Nello studio dei sistemi dinamici sono utili alcuni teoremi sui legami tra i valori limite di un segnale deltempo e della corrispondente trasformata di Laplace.

Teorema 2.3 (Valore finale) Sia u(t) una funzione del tempo, con trasformata U(s). Allora, il limite per tche tende ad infinito di tale funzione, se esiste ed e finito, e dato da:

limt→∞

u(t) = lims→0+

sU(s). (2.117)

Si noti che il teorema e applicabile solo se il punto s = 0 e interno alla regione di convergenza, cioe solo sel’ascissa di convergenza e nel semipiano complesso sinistro. In effetti, l’esistenza del limite di interesse, cioelimt→∞ u(t), garantisce tale posizione dell’ascissa di convergenza (e viceversa).

A titolo di esempio, per sottolineare l’importanza del commento precedente, si consideri la funzione u(t) =sin(ωt). Apparentemente, si ha:

limt→∞

sin(ωt) = lims→0+

sω

s2 + ω2= 0. (2.118)

Teorema 2.4 (Valore iniziale) Sia u(t) una funzione del tempo, con trasformata U(s). Allora il valore in-iziale per t che tende a zero da destra di tale funzione, se esiste ed e finito, e dato da:

limt→0+

u(t) = lims→∞

sU(s). (2.119)

Teorema 2.5 (Valore dell’integrale) Sia u(t) una funzione del tempo, con trasformata U(s). Allora, sel’integrale

∫∞0

u(t)dt esiste, il suo valore e dato da:

∫ ∞

0

u(t)dt = lims→0

U(s). (2.120)


2.3.4 Esponenziale di matrice e matrice di trasferimento per sistema LSTC

Si consideri il sistema dinamico:x = Ax, x(0) = x0. (2.121)

E noto che la soluzione di tale equazione differenziale omogenea, cioe la risposta libera nello stato, e descrittadall’esponenziale di matrice:

x(t) = eAtx0, t ∈ R+. (2.122)

Per il calcolo dell’esponenziale di matrice eAt si puo far uso alla trasformata di Laplace. Infatti, per laproprieta della trasformata di una funzione derivata, il sistema precedente, nel dominio di Laplace, puo esserescritto come:

sX(s)− x(0) = AX(s), (2.123)

da cui segue facilmente:(sI −A)X(s) = x(0). (2.124)

Nel campo delle funzioni razionali (e non, si badi bene, nel campo dei reali o dei complessi), la matrice(sI −A) e non singolare, infatti il suo determinante e il polinomio caratteristico del sistema, per cui l’equazioneprecedente puo essere risolta rispetto alla trasformata dello stato, trovando:

X(s) = (sI −A)−1x(0), (2.125)

da cui, antitrasformando, segue:x(t) = L−1

[

(sI −A)−1]

x(0), (2.126)

e quindi, dal confronto con (2.122), segue:

eAt = L−1[

(sI −A)−1]

. (2.127)

Per quanto riguarda invece l’analisi di un sistema lineare a tempo continuo, il metodo della trasformata diLaplace consente di determinare in modo semplice il legame ingresso-uscita, e cioe la matrice di trasferimento,di tale sistema. Si consideri allora il sistema:

x = Ax+Bu, x ∈ Rn, u ∈ R

m, (2.128)

y = Cx+Du, y ∈ Rp. (2.129)

Nel dominio di Laplace il sistema e quindi descritto da:

sX(s)− x(0) = AX(s) +BU(s) (2.130)

Y (s) = CX(s) +DU(s), (2.131)

e quindi, tenendo conto della non-singolarita della matrice (sI −A) nel campo delle funzioni razionali, si trova:

X(s) = (sI −A)−1BU(s) + (sI −A)−1x(0), (2.132a)

Y (s) = C(sI − A)−1BU(s) +DU(s) + C(sI −A)−1x(0). (2.132b)

Le due equazioni (2.132) descrivono completamente il sistema: la (2.132a) la risposta completa nello stato,la (2.132b) la risposta completa in uscita.

I termini delle (2.132) che descrivono l’effetto delle condizioni iniziali sullo stato e sull’uscita sono detterisposte libere, nello stato e nell’uscita, rispettivamente:

Xℓ(s) = (sI −A)−1x(0), (2.133)

Yℓ(s) = C(sI −A)−1x(0) (2.134)

mentre i termini che descrivono l’effetto del segnale (vettoriale) di ingresso sullo stato e sull’uscita sono detterisposte forzate, nello stato e nell’uscita, rispettivamente:

Xf(s) = (sI −A)−1BU(s), (2.135)

Yf (s) = C(sI −A)−1BU(s) +DU(s). (2.136)

Infine, la matrice di funzioni razionali

W (s) = C(sI −A)−1B +D, (2.137)

che descrive completamente il legame tra il segnale di ingresso e quello di uscita (nel caso di condizioni inizialinulle), e detta matrice di trasferimento del sistema. Nel caso in cui sia il segnale di ingresso che quello di uscitasiano scalari, e cioe nel caso m = 1 e p = 1, si parla di funzione di trasferimento.


2.3.5 Antitrasformata di funzioni razionali proprie

Il legame ingresso-uscita di un sistema lineare stazionario a tempo continuo e rappresentabile con una matricedi funzioni razionali proprie nella variabile s. Tenendo conto della forma della trasformata di segnali esponenzialie polinomiali, anche la corrispondente risposta forzata in uscita e descritta da una funzione razionale. E quindidi notevole importanza vedere come antitrasformare una funzione razionale.

Si consideri allora la seguente funzione Y (s), propria e con denominatore monico:

Y (s) =βns

n + βn−1sn−1 + · · ·+ β1s+ β0

sn + αn−1sn−1 + · · ·+ α1s+ α0, (2.138)

e si assuma, per semplicita, che le radici del denominatore siano tutte distinte (e complesse coniugate a coppia,se non reali), cioe:

sn + αn−1sn−1 + · · ·+ α1s+ α0 =

n∏

i=1

(s− pi), pi 6= pj , i 6= j. (2.139)

Per ben noti risultati sulle funzioni razionali, la funzione Y (s) puo essere scomposta in frazioni parziali(detto anche sviluppo di Heaviside):

Y (s) = A0 +A1

s− p1+

A2

s− p2+ · · ·+ An

s− pn, (2.140)

con A0 = lims→∞ Y (s) ed inoltre Ai = lims→pi(s− pi)Y (s), per il teorema dei residui. Il calcolo dei residui Ai,

i = 1, 2, . . . , n, puo essere verificato in modo immediato. Infatti dalla (2.139) si ha, per il generico residuo Ai:

(s− pi)Y (s) = (s− pi)A0 + (s− pi)

n∏

j = 1j 6= i

Aj

s− pj+Ai (2.141)

A partire dalla scomposizione in frazioni parziali (2.140), tenendo conto della proprieta di linearita (2.12) edelle trasformate di segnali elementari, si vede immediatamente che il segnale y(t) e dato da:

y(t) = A0δ(t) +A1ep1t +A2e

p2t + · · ·+Anepnt. (2.142)

Nel caso in cui alcuni degli zeri del denominatore della funzione razionale da anti-trasformare, (cioe alcunipoli della funzione), abbiano molteplicita maggiore di uno, il procedimento e analogo, salvo la forma dellaespansione in frazioni parziali ed il calcolo dei residui.

Sia allora W (s) una generica funzione razionale propria,

W (s) =βns

n + βn−1sn−1 + · · ·+ β1s+ β0

sn + αn−1sn−1 + · · ·+ α1s+ α0. (2.143)

W (s) puo essere espansa in frazioni parziali nella forma:

W (s) = A0 +

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(s− pi)j, (2.144)

dove r indica il numero di zeri distinti del denominatore della W (s), qi indica la molteplicita di pi come zero ditale denominatore, A0 indica il legame diretto, cioe A0 = limt→∞ W (s), ed il generico residuo Ai,j e calcolatocome:

Ai,j = lims→pi

1

(qi − j)!

dqi−j

dsqi−j[(s− pi)

qiW (s)]

. (2.145)

In tal caso, tenendo conto delle varie proprieta della trasformata di Laplace, si ha:

w(t) = L−1 [W (s)] = A0δ(t) +

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jtj−1

(j − 1)!e pit. (2.146)


Funzione del tempo Trasformata di Laplace

δ(t) (impulso di Dirac) 1

δ−1(t) (gradino unitario)1

s

δ−2(t) = tδ−1(t) (rampa unitaria)1

s2

δ−1(t− a) (gradino unitario con inizio in t = a)1

se−as

e at (esponenziale)1

s− a

tn−1

(n− 1)!e at (esponenziale polinomiale)

1

(s− a)n

sin(ωt) (sinusoide)ω

s2 + ω2

cos(ωt) (cosinusoide)s

s2 + ω2

1

ωn

√

1− ζ2e−ζωnt sin(ωn

√

1− ζ2t)1

s2 + 2ζωns+ ω2n

(fattore trinomio)

e−at cos(ωt)s+ a

(s+ a)2 + ω2

e−at sin(ωt)ω

(s+ a)2 + ω2

x(t) s X(s) - x(0)

∫ t

0 x(τ)dτ s−1X(s)

x(t− T ), T > 0 e−sTX(s)

e atx(t) X(s− a)

∫ t

0x1(t− τ)x2(τ)dτ X1(s)X2(s)

tx(t) − d

dsX(s) (derivata nel dominio di s)

Tabella 2.2: Trasformate ed antitrasformate di Laplace di uso comune


2.3.6 Esercizi svolti sulla trasformata di Laplace

Esercizio 2.6 Si considerino le funzioni ξ1(t) = e tx1(0), ξ2(t) = e−tx2(0), con valore iniziale x1(0) = x1,0 6= 0e x2(0) = x2,0 6= 0, e si definisca la seguente funzione:

y(t) = (1 + t)ξ1(t)δ−1(t) + t2ξ2(t− 1)δ−1(t− 1), t ∈ R,

dove δ−1(·) e la funzione gradino unitario. Calcolare la trasformata di Laplace della y(t).

Soluzione La trasformata della funzione y(t) si puo calcolare usando le proprieta enunciate in precedenza, efacendo uso delle trasformate notevoli riportate in tabella.

Si introducano le funzioni y1(t) = e tx1,0δ−1(t) e y2(t) = e−tx2,0δ−1(t). Il termine (1 + t)ξ1(t)δ−1(t) puoallora essere riscritto come:

(1 + t)ξ1(t)δ−1(t) = (1 + t)y1(t),

mentre il secondo termine, tenendo conto che t2 = (t− 1)2 + 2(t− 1) + 1, puo essere riscritto come:

t2ξ2(t− 1)δ−1(t− 1) = (t− 1)2y2(t− 1) + 2(t− 1)y2(t− 1) + y2(t− 1).

La funzione di interesse e quindi:

y(t) = (1 + t)y1(t) + (t− 1)2y2(t− 1) + 2(t− 1)y2(t− 1) + y2(t− 1).

Dalle trasformate notevoli segue facilmente che:

Y1(s) = L[y1(t)] =x1,0

s− 1,

Y2(s) = L[y2(t)] =x2,0

s+ 1.

Inoltre, tenendo conto della forma della trasformata della funzione esponenziale-polinomiale, si ha:

L[ty1(t)] =x1,0

(s− 1)2,

L[ty2(t)] =x2,0

(s+ 1)2,

L[t2y1(t)] =2x1,0

(s+ 1)3,

ed infine, tenendo conto della trasformata di una funzione traslata, si trova:

L[y2(t− 1)] = e−s x2,0

(s+ 1),

L[(t− 1)y2(t− 1)] = e−s x2,0

(s+ 1)2,

L[(t− 1)2y1(t− 1)] = e−s 2x1,0

(s+ 1)3.

Complessivamente quindi, per linearita, la trasformata di Laplace della funzione y(t) e pari a:

L[y(t)] = x1,0

s− 1+

x1,0

(s− 1)2+ e−s x2,0

(s+ 1)+ e−s x2,0

(s+ 1)2+ e−s 2x1,0

(s+ 1)3. (2.147)

♦

Esercizio 2.7 Calcolare le trasformate di Laplace delle seguenti tre funzioni del tempo:

x1(t) =

eα(t+1) t ≥ 0,0 t < 0,

x2(t) =

eα(t−1) t ≥ 1,0 t < 1,

x3(t) =

eα(t−1) t ≥ 0,0 t < 0.

Discutere le differenze fra le varie trasformate.


Soluzione. Ci si limita a calcolare la trasformata della funzione x1(t). Il calcolo delle altre due trasformateviene lasciato per esercizio. Si noti che gli intervalli di tempo in cui le due funzioni x2(t) ed x3(t) sono non nullenon coincidono.

Per quanto riguarda la funzione x1(t) si trova facilmente:

L[x1(t)] = L[e α(t+1)] = L[e αe αt]

= e αL[e αt] = e α 1

s− α.

♦

Esercizio 2.8 Calcolare la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni:

y(t) =

0, t ∈ R, t < 0,sin(2πt), t ∈ R, 1/2 ≥ t ≥ 0,0, t ∈ R, t > 1/2,

e

x(t) =

0, t ∈ R, t < 0,|cos(2πt)|, t ∈ R, 1 ≥ t ≥ 0,0, t ∈ R, t > 1,

dove | · | indica la funzione valore assoluto.

Soluzione. In questo caso ci si limita a considerare la funzione y(t). La trasformata del segnale x(t) puo esserecalcolata in modo simile.

Si noti che la funzione in esame, riportata in figura 2.5, e ottenibile combinando opportunamente funzionesinusoidali troncate (cioe, moltiplicate per un gradino) ed opportunamente traslate nel tempo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tempo

Grafico della funzione u(t)

Figura 2.5: Esercizio (2.8): funzione y(t)

In particolare, la funzione e ottenibile sommando alla funzione seno (troncata) la stessa funzione traslata inavanti di un semiperiodo. Sia y1(t) = sin(2πt)δ−1(t) la funzione seno troncata, allora e facile vedere che

y(t) = y1(t) + y1(t− 1/2). (2.148)

Per quanto riguarda la trasformata di Laplace si ottiene allora, usando, nell’ordine, la proprieta di linearita, laregola per il calcolo della trasformata di una funzione traslata e la trasformata della funzione seno:

L[y(t)] = L[y1(t)] + L[y1(t− 1/2)]

= (1 + e−s/2)L[y1(t)]

= (1 + e−s/2)2π

(s2 + 4π2).

♦


Esercizio 2.9 Calcolare la funzione antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni:

X1(s) =4

(s− 2),

X2(s) =5

(s− 2)(s+ 3),

X3(s) =1

(s− 2)2,

X4(s) =1

(s2 − 2)2,

Soluzione. L’antitrasformata della funzione X1(s) e immediata:

L−1

[

4

(s− 2)

]

= 4e 2t, t ∈ R+.

Per antitrasformare la funzione X2(s) conviene effettuare prima l’espansione in frazioni parziali:

X2(s) =5

(s− 2)(s+ 3)=

1

(s− 2)− 1

(s+ 3),

tenendo conto che i residui sono A1 = lims→2(s− 2)X2(s) = lims→25

(s+ 3)= 1, ed A2 = lims→−3(s+ 3)X2(s)

= lims→−35

(s− 2)= −1. La funzione antitrasformata e quindi:

L−1[X2(s)] = L−1

[

1

(s− 2)− 1

(s+ 3)

]

= e 2t − e−3t.

L’antitrasformata della funzione X3(s) e ancora immediata:

L−1[X3(s)] = L−1

[

1

(s− 2)2

]

= te 2t, t ∈ R+.

Infine, per antitrasformare la funzione X4(s) conviene espandere in frazioni parziali, tenendo conto dellapresenza di poli con molteplicita maggiore di uno. Basandosi sulle relazioni (2.145) si trova:

X4(s) =A1,1

(s− 2)+

A1,2

(s− 2)2+

A2,1

(s+ 2)+

A2,2

(s+ 2)2, (2.149)

con

A1,2 = lims→2

(s− 2)2X4(s) = lims→2

1

(s+ 2)2=

1

16,

A1,1 = lims→2

d

ds

[

(s− 2)2X4(s)]

= lims→2

d

ds

[

1

(s+ 2)2

]

= lims→2

−2

(s+ 2)3= − 1

32,

A2,2 = lims→−2

(s+ 2)2X4(s) = lims→−2

1

(s− 2)2=

1

16,

A2,1 = lims→−2

d

ds

[

(s+ 2)2X4(s)]

= lims→−2

d

ds

[

1

(s− 2)2

]

= lims→−2

−2

(s− 2)3=

1

32.

Dalle relazioni precedenti segue quindi:

X4(s) =1

16

1

(s− 2)2− 1

32

1

(s− 2)+

1

16

1

(s+ 2)2+

1

32

1

(s+ 2)

da cui segue immediatamente:

x4(t) =1

16te 2t − 1

32e 2t +

1

16te−2t +

1

32e−2t, t ∈ R

+.

♦


Esercizio 2.10 Data la seguente matrice

B =

4 0 0 01 4 0 01 0 4 11 0 0 4

determinare, per mezzo della trasformazione di Laplace, la matrice eBt, t ∈ R+.

Soluzione. Il calcolo dell’esponenziale di matrice richiede l’inversione della matrice polinomiale:

(sI −B) =

s− 4 0 0 0−1 s− 4 0 0−1 0 s− 4 −1−1 0 0 s− 4

, (2.150)

che, per la struttura della B, e diagonale a blocchi. In tal caso, nel calcolo dell’inversa si puo far uso dellaseguente relazione, di immediata dimostrazione:

M =

[

M1,1 0M2,1 M2,2

]

, M−1 =

[

M−11,1 0

−M−12,2M2,1M

−11,1 M−1

2,2

]

, (2.151)

in cui le matrici M1,1, M1,2 e M2,2 sono generiche matrici, di dimensioni tra loro compatibili, ed inoltre lematrici M1,1 ed M2,2 sono nonsingolari.

Facendo uso della regola precedente, l’inversa di interesse si puo calcolare ponendo:

M1,1 = (s− 4), M2,2 =

s− 4 0 00 s− 4 −10 0 s− 4

, M2,1 =

−1−1−1

. (2.152)

La matrice M2,2 si puo invertire precedente allo stesso modo, oppure utilizzando la relazione:

M−1 =adj(M)

det(M). (2.153)

In ogni caso si trova:

M−11,1 =

1

(s− 4), M−1

2,2 =

1

(s− 4)0 0

01

(s− 4)

1

(s− 4)2

0 01

(s− 4)

, (2.154)

ed inoltre:

M−12,2M2,1M

−11,1 =

− 1

(s− 4)2

− s− 3

(s− 4)3

− 1

(s− 4)2

, (2.155)

per cui la matrice (sI −B)−1 e data da:

(sI −B)−1 =

1

(s− 4)0 0 0

1

(s− 4)21

(s− 4)0 0

s− 3

(s− 4)30

1

(s− 4)

1

(s− 4)21

(s− 4)20 0

1

(s− 4)

. (2.156)


Si tratta ora di calcolare la trasformata inversa dei vari elementi della matrice. Per il termines− 3

(s− 4)3, ricor-

dando che moltiplicare per s corrisponde a derivare nel tempo, si trova:

L−1

[

s− 3

(s− 4)3

]

= L−1

[

s

(s− 4)3

]

+ L−1

[ −3

(s− 4)3

]

=d

dt

(

t2

2e 4t

)

− 3t2

2e 4t = te 4t +

1

2t2e 4t. (2.157)

La trasformata inversa appena determinata puo essere calcolata anche utilizzando il metodo dell’espansione infrazioni parziali. In questo caso si ha:

F (s) :=s− 3

(s− 4)3=

A1

(s− 4)+

A2

(s− 4)2+

A3

(s− 4)3, (2.158)

con

A3 = (s− 4)3F (s)|s=4 = (s− 3)|s=4 = 1,

A2 =d

ds

(

(s− 4)3F (s))

|s=4 = 1,

A1 =d2

ds2(

(s− 4)3F (s))

|s=4 = 0,

e quindi la trasformata inversa e semplicemente data da:

L−1

[

s− 3

(s− 4)3

]

= te 4t +1

2t2e 4t. (2.159)

La trasformata inversa degli altri elementi e invece immediata:

L−1

[

1

(s− 4)

]

= e 4t,

L−1

[

1

(s− 4)2

]

= te 4t,

e quindi:

eBt =

e 4t 0 0 0te 4t e 4t 0 0

te 4t +1

2t2e 4t 0 e 4t te 4t

te 4t 0 0 e 4t

. (2.160)

♦

Esercizio 2.11 Calcolare l’uscita di un sistema dinamico caratterizzato dalla funzione di trasferimento:

W (s) =2s+ 3

s3 + 6s2 + 11s+ 6,

per un segnale di ingresso sinusoidale di pulsazione ω compresa tra 0.1 e 100 rad/sec, ed assumendo condizioniiniziali nulle.

Soluzione. Il calcolo dell’uscita del sistema in esame si puo determinare facilmente, considerando la trasfor-mata della funzione seno, ed espandendo in frazioni parziali il prodotto della funzione di trasferimento per latrasformata della funzione seno.

La funzione di uscita ha quindi una trasformata di Laplace data da:

Y (s) =2s+ 3

s3 + 6s2 + 11s+ 6

ω

(s2 + ω2). (2.161)

Tale trasformata, notando che i poli del sistema sono pari a −1, −2 e −3, puo essere riscritta nella forma:

Y (s) =A1

s+ 1+

A2

s+ 2+

A3

s+ 3+

B1

(s− ω)+

B2

(s+ ω). (2.162)


I due residui relativi alla coppia di poli immaginari complessi coniugati ±ω sono anch’essi complessi coniugati,e possono quindi essere scritti, in termini di modulo e fase, come

B1 =1

2Mωe

ϕω

B2 = − 1

2Mωe

−ϕω .

Con questa notazione, i due termini dell’espansione in frazioni parziali relativi al segnale di ingresso divengono:

B1

(s− ω)+

B2

(s+ ω)=

Mωeϕω

2(s− ω)+

Mωeϕω

2(s+ ω)(2.163)

e quindi la loro trasformata inversa e data da:

1

2Mω

(

e ωte ϕω − e−ωte−ϕω)

= Mω sin(ωt+ ϕω), (2.164)

ricordando che

sin(α) =1

2

(

e α − e−α)

. (2.165)

Complessivamente quindi, il segnale di uscita e descritto dalla funzione:

y(t) = A1e−t +A2e

−2t +A3e−3t +Mω sin(ωt+ ϕω). (2.166)


2.4 Analisi modale per sistemi LSTC: approccio nel dominio diLaplace

In questa sezione viene presentato un approccio nel dominio di Laplace per l’analisi modale di un sistemalineare a tempo continuo.

Si consideri il sistema dinamico:x = Ax, x(0) = x0. (2.167)

E noto (si veda la sezione 2.3.4) che la soluzione di tale equazione differenziale omogenea, cioe la rispostalibera nello stato, e descritta dall’esponenziale di matrice:

x(t) = eAtx0, t ∈ R+. (2.168)

Per il calcolo dell’esponenziale di matrice eAt si puo ricorrere alla trasformata di Laplace. Infatti, per laproprieta della trasformata di una funzione derivata, il sistema precedente, nel dominio di Laplace, puo esserescritto come:

sX(s)− x(0) = AX(s), (2.169)

da cui segue facilmente:(sI −A)X(s) = x(0), (2.170)

e quindiX(s) = (sI −A)−1x(0), (2.171)

da cui, per confronto con l’equazione (2.168), segue immediatamente:

eAt = L−1

(sI −A)−1

(2.172)

Per determinare la forma assunta nel dominio del tempo dall’esponenziale di matrice a partire dalla suarappresentazione nel dominio di Laplace, conviene ricordare la seguente espressione per l’inversa di una matriceM data:

M−1 =adj (M)

det(M), (2.173)

da cui segue:

(sI −A)−1 =adj (sI −A)

det(sI −A). (2.174)

L’esponenziale di matrice nel dominio di Laplace ha alcune proprieta che saranno utili per trattare in modocompleto l’analisi modale:

Proprieta 2.18 Gli elementi della matrice (sI − A)−1 sono funzioni razionali strettamente proprie, poicheadj (sI −A) e una matrice polinomiale.

Proprieta 2.19 Le radici del denominatore di ciascun elemento della matrice (sI − A) sono un sottoinsiemedelle radici del polinomio det(sI −A), e quindi sono un sottoinsieme degli autovalori della matrice A.

Proprieta 2.20 Ciascun autovalore della matrice A e radice del denominatore di almeno un elemento dellamatrice (sI −A)−1.

Per analizzare in dettaglio il comportamento della risposta libera di un sistema lineare a tempo continuo, ebene esaminare inizialmente alcuni casi particolari.

2.4.1 Il caso di autovalori distinti

Si consideri inizialmente il caso di un sistema con tutti gli autovalori distinti, e quindi il caso in cui ildenominatore della matrice esponenziale nel dominio di Laplace abbia tutte le radici del suo denominatoredistinte. In tale caso si puo porre:

det(sI −A) =n∏

i=1

(s− λi), λi 6= λj , i 6= j, (2.175)


ove n indica l’ordine del sistema, e quindi il numero dei suoi autovalori.

Sia p(s) =np(s)dp(s)

un generico elemento della matrice (sI − A)−1, dopo eventuali cancellazioni di ter-

mini comuni numeratore/denominatore. La corrispondente antitrasformata, e cioe il corrispondente elementodell’esponenziale di matrice, si puo ottenere facilmente tramite espansione in frazioni parziali.

Tenendo conto dell’ipotesi di autovalori distinti, si ha dp(s) =∏m

i=1(s − λi), (ove m ≤ n, perche possonoesservi cancellazioni) e quindi la seguente espansione in frazioni parziali5:

p(s) =np(s)

∏mi=1(s− λi)

=A1

s− λ1+

A2

s− λ2+ · · ·+ Am

s− λm(2.176)

cui corrisponde, nel dominio del tempo, la funzione:

p(t) = A1eλ1t +A2e

λ2t + · · ·+Ame λmt (2.177)

La singola funzione esponenziale e λit e detta modo naturale associato all’autovalore λi, e descrive appunto ilcomportamento naturale del sistema, cioe il comportamento proprio, specifico del sistema, indipendentementedalla sollecitazione eventualmente esercitata dall’ambiente esterno tramite il segnale di ingresso.

Gli elementi della matrice esponenziale sono quindi costituiti da combinazioni lineari di modi naturali,ciascun modo associato ad un diverso autovalore, ed i coefficienti della combinazioni lineare sono i residuidell’espansione in frazioni parziali dell’elemento stesso.

E importante esaminare con maggior dettaglio il caso in cui tra i valori autovalori vi siano coppie complesseconiugate (e ben noto che non vi possono essere autovalori complessi non “accompagnati” dal corrispondenteconiugato). Siano quindi λi = σ + ω e λj = λ∗

i = σ − ω due autovalori complessi coniugati. I terminicorrispondenti dell’espansione in frazioni parziali sono dati da:

Ai

s− λi+

Aj

s− λj=

Ai

s− λi+

A∗i

s− λ∗i

, (2.178)

poiche ad autovalori coniugati corrispondono residui coniugati. Nel dominio del tempo, indicando con Ai =12Mie

ϕi il residuo, il suo modulo e la sua fase, si ottiene quindi:

L−1

Ai

s− λi+

A∗i

s− λ∗i

=1

2Mie

ϕie σite ωt +1

2Mie

−ϕie σite−ωt (2.179)

cui corrisponde la funzione realeMie

σit cos(ωt+ ϕi). (2.180)

Ad una coppia di autovalori complessi coniugati e quindi associata una funzione pseudo-periodica esponenziale-cosinusoidale, con pulsazione pari alla parte immaginaria dell’autovalore e parametro del termine esponenzialepari alla parte reale dell’autovalore.

E ben noto che la funzione cos(ωt+ ϕi) puo essere ottenuta per combinazione lineare delle funzioni di basecos(ωt) e sin(ωt), e e quindi evidente che sono sempre presenti, per ciascun coppia di autovalori complessiconiugati, sia la funzione cosinusoidale e σit cos(ωt) che la sua ortogonale sinusoidale e σit sin(ωt). In altreparole, alla coppia di autovalori complessi coniugati λi e λ∗

i sono associati i due modi naturali reali e σit sin(ωt)e e σit sin(ωt).

Esempio 2.1 (Sistema con autovalori reali) Si consideri il sistema dinamico planare

x =

[

0 12 −1

]

x, (2.181)

il cui polinomio caratteristico e dato da det(sI − A) = λ2 + λ − 2 = (λ + 2)(λ − 1), ed i cui autovalori sonoquindi λ1 = 1 e λ2 = −2. I modi naturali associati sono quindi le due funzioni esponenziali pure e t ed e−2t.

Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Laplace.Seguendo la traccia delineata sopra, e ricordando le regole per l’espansione in frazioni parziali, si ottiene:

(sI −A) =

[

s −1−2 s+ 1

]

, adj (sI −A) =

[

s+ 1 12 s

]

, det(sI −A) = s2 + s− 2 (2.182)

5Si noti che il termine A0 non e presente, poiche tutti gli elementi della matrice sI − A sono funzioni razionali strettamenteproprie


e quindi

(sI −A)−1 =

s+ 1

s2 + s− 2

1

s2 + s− 2

2

s2 + s− 2

s

s2 + s− 2

. (2.183)

Espandendo in frazioni parziali il primo elemento della matrice si trova:

m1,1(s) =s+ 1

s2 + s− 2=

2

3

1

s− 1+

1

3

1

s+ 2(2.184)

e quindi, per il corrispondente elemento dell’esponenziale di matrice, si ha:

m1,1(t) =2

3e t +

1

3e−2t. (2.185)

Procedendo in modo analogo per gli altri elementi si trova la seguente matrice esponenziale a tempo continuo:

eAt =

2

3e t +

1

3e−2t 1

3e t − 1

3e−2t

2

3e t − 2

3e−2t 1

3e t +

2

3e−2t

, (2.186)

che, come e immediato vedere, e costituita da combinazioni lineari dei due modi naturali gia individuati sullabase della semplice analisi degli autovalori. ♦

Esempio 2.2 (Sistema con autovalori complessi) Si consideri il sistema dinamico planare

x =

[

−1 2−2 −1

]

x, (2.187)

il cui polinomio caratteristico e dato da det(sI −A) = (λ+1)2 +4 = λ2 +2λ+5 = (λ+1− 2)(λ+1+ 2), edi cui autovalori sono quindi λ1 = −1− 2 e λ2 = −1 + 2. I modi naturali associati sono quindi le due funzioniesponenziali-cosinusoiali e−t cos(2t) ed e−t sin(2t).

Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Laplace.

(sI −A) =

[

s+ 1 −22 s+ 1

]

, adj (sI −A) =

[

s+ 1 2−2 s+ 1

]

, det(sI −A) = (s+ 1)2 + 4 (2.188)

e quindi

(sI −A)−1 =

s+ 1

(s+ 1)2 + 4

2

(s+ 1)2 + 4

−2

(s+ 1)2 + 4

s

(s+ 1)2 + 4

. (2.189)

Ricordando le trasformate di segnali notevoli, per i vari elementi della matrice esponenziale si trova facil-mente:

L−1

s+ 1

(s+ 1)2 + 4

= e−t cos(2t), L−1

2

(s+ 1)2 + 4

= e−t sin(2t), (2.190)

e quindi la matrice esponenziale, nel dominio del tempo, e data da:

eAt =

e−t cos(2t) e−t sin(2t)

−e−t sin(2t) e−t cos(2t)

, (2.191)

che, come e immediato vedere, e costituita da combinazioni lineari (in questo caso banali) dei due modi naturaligia individuati sulla base della semplice analisi degli autovalori. ♦


2.4.2 Il caso di autovalori qualsiasi

Si passi ora ad esaminare il caso di un sistema dinamico con autovalori comunque piazzati nel piano complesso(salvo, ovviamente, il vincolo della chiusura rispetto alla coniugazione complessa).

In tal caso il polinomio caratteristico puo essere fattorizzato nella forma:

det(sI −A) =

r∏

i=1

(s− λi)ni ,

r∑

i=1

ni = n (2.192)

ove l’intero r indica il numero di autovalori distinti ed il generico intero ni indica la molteplicita dell’autovaloreλi. La molteplicita di un autovalore come radice del polinomio caratteristico e detta molteplicta algebricadell’autovalore.

Nel caso generale quindi, in virtu della forma (2.192) del polinomio caratteristico, l’esponenziale di matricenel dominio di Laplace e costituita da funzioni razionali che possono avere radici del denominatore di molteplicitamaggiore di uno.

Sia m(s) il minimo comune denominatore degli elementi di Exp(A,L), matrice di funzioni razionali. Essopuo essere fattorizzato nella forma:

m(s) =

r∏

i=1

(s− λi)mi , 1 ≤ mi ≤ ni. (2.193)

In merito a tale fattorizzazione, e importante notare come 1) ogni autovalore (cioe, ogni radice di det(sI −A))compare come radice di tale polinomio; 2) la molteplicita mi di ciascun autovalore come radice del polinomioin (2.193) puo essere minore della molteplicita algebrica.

Il polinomio m(s) e detto polinomio minimo del sistema, e la molteplicita mi dell’autovalore λi come radicedi m(s) e detta molteplicita come radice del polinomio minimo.

Si consideri ora la forma dell’esponenziale di matrice nel dominio del tempo, nel caso generale in esame. Siap(s) = np(s)/dp(s) il generico elemento della matrice (sI−A)−1. Ricordando la forma della trasformata inversadi una funzione razionale si ottiene, per un qualche intero q e per un opportuno ordinamento degli autovalori:

p(s) =np(s)

∏

(s− λi)mi=

A1,1

(s− λ1)+ · · ·+ A1,m1

(s− λ1)m1++ · · ·+ Aq,1

(s− λq)+ · · ·+ Aq,mq

(s− λq)mq(2.194)

dove i q autovalori sono un sottoinsieme degli autovalori del sistema. Tenendo conto di tale forma dell’espansionein frazioni parziali ed antitrasformando nel dominio del tempo si trova il generico elemento dell’esponenziale dimatrice:

p(t) = A1,1eλ1t + · · ·+ A1,m1

(m1 − 1)!tm1−1e λ1t + · · ·+Aq,1e

λqt + · · ·+ Aq,mq

(mq − 1)!tmq−1e λqt. (2.195)

Gli elementi della matrice esponenziale sono quindi composti da combinazioni lineari di funzioni polinomiale-esponenziale del tipo:

tµe λt (2.196)

in cui la potenza µ del termine polinomiale varia tra zero e la molteplicita meno uno del corrispondente autovalorecome radice del polinomio minimo.

Analogamente a quanto gia visto nel caso di autovalori distinti, nel caso di coppie di autovalori complessiconiugati λ = σ + ω, di molteplicita arbitraria m, si ottengono modi naturali costituiti da funzioni del tipo:

tµe σt cos(ωt), tµe σt sin(ωt), (2.197)

con la potenza µ del termine polinomiale compresa tra zero ed m− 1.Le funzioni (2.196) sono i modi naturali associati ad autovalori reali di molteplicita maggiore di uno.Le funzioni (2.197) sono i modi naturali reali associati ad autovalori complessi coniugati di molteplicita

maggiore di uno.Riepilogando, ad ogni autovalore, reale o complesso, semplice o con moltiplicita maggiore di uno, possono

essere associati modi naturali di forma determinata solo dalla posizione dall’autovalore stesso nel piano complessoed in numero pari alla molteplicita dell’autovalore come radice del polinomio minimo.


Esempio 2.3 (Sistema planare con molteplicita non unitaria) Si consideri il sistema dinamico planare

x =

[

−1 10 −1

]

x. (2.198)

il cui polinomio caratteristico e dato da det(sI−A) = (λ+1)2, ed i cui autovalori sono quindi λ = −1, molteplicitaalgebrica pari a due. I modi naturali associati potrebbero essere quindi le due funzioni esponenziali-polinomialee−t ed te−t, in dipendenza della molteplicita dell’autovalore nel polinomio minimo.


(sI −A) =

[

s+ 1 −10 s+ 1

]

, adj (sI −A) =

[

s+ 1 10 s+ 1

]

, det(sI −A) = s2 + 2s+ 1 (2.199)

e quindi

(sI −A)−1 =

s+ 1

(s+ 1)21

(s+ 1)2

0s+ 1

(s+ 1)2

=

1

(s+ 1)

1

(s+ 1)2

01

(s+ 1)

. (2.200)

Come si vede, in questo caso nel calcolo dell’esponenziale nel dominio di Laplace vi sono delle cancellazionipolo/zero in alcuni termini. Il polinomio minimo, e immediato vedere, coincide con il polinomio caratteristico, equindi i modi naturali sono dati sia dalla funzione esponenziale pura che dalla funzione esponenziale polinomiale.


L−1

1

(s+ 1)2

= te−t, L−1

1

(s+ 1)

= e−t, (2.201)


eAt =

e−t te−t

0 e−t

, (2.202)

che, come e immediato vedere, e costituita da combinazioni lineari dei due modi naturali gia individuati sullabase dell’analisi degli autovalori e del polinomio minimo. ♦

Esempio 2.4 Si consideri il sistema dinamico planare

x =

[

−1 00 −1

]

x, (2.203)

il cui polinomio caratteristico e dato da det(sI − A) = (λ + 1)2, ed i cui autovalori sono quindi λ = −1,molteplicita algebrica pari a due. Si noti come il polinomio caratteristico, e quindi gli autovalori e la loromolteplicita algebrica, siano del tutto identici all’esempio precedente. I modi naturali associati potrebberoquindi essere le due funzioni esponenziali-polinomiale e−t ed te−t, o la sola funzione esponenziale e−t.


(sI −A) =

[

s+ 1 00 s+ 1

]

, adj (sI −A) =

[

s+ 1 00 s+ 1

]

, det(sI −A) = s2 + 2s+ 1 (2.204)

e quindi

(sI −A)−1 =

s+ 1

(s+ 1)20

0s+ 1

(s+ 1)2

=

1

(s+ 1)0

01

(s+ 1)

. (2.205)

Come si vede, in questo caso nel calcolo dell’esponenziale nel dominio di Laplace vi sono delle cancellazionipolo/zero in alcuni termini. Il polinomio minimo, e immediato vedere, in questo caso non coincide con ilpolinomio caratteristico, ed dato da: m(s) = (s+1). L’autovalore ha quindi molteplicita unitaria nel polinomiominimo. Cio implica che il sistema ha un solo modo naturale, dato dalla funzione esponenziale pura e−t.


Ricordando le trasformate di segnali notevoli, per l’elemento significativo della matrice esponenziale si trovafacilmente:

L−1

1

(s+ 1)

= e−t, (2.206)


eAt =

e−t 0

0 e−t

, (2.207)

che, come e immediato vedere, contiene solo il modo naturale gia individuato sulla base dell’analisi degli auto-valori e del polinomio minimo. ♦

Si consiglia al lettore di svolgere i due esercizi seguenti, che saranno particolarmente utili nello studio dicondizioni di stabilita, nel seguito.

Esercizio 2.12 Si consideri il sistema dinamico planare

x =

[

0 10 0

]

x, (2.208)

e si conduca l’analisi modale.


x =

[

0 00 0

]

x, (2.209)



2.5 Analisi del comportamento ingresso-uscita per sistemi LSTC

In questa sezione si studiera il problema del calcolo della risposta in uscita di un sistema dinamico ad unsegnale u(·) applicato in ingresso, secondo lo schema di principio in figura 2.6.

Sistema

Uscita y(·) =?Ingresso u(·) (noto)

Figura 2.6: Analisi ingresso-uscita di un sistema dinamico

Il sistema dinamico e descritto da un modello differenziale del tipo seguente

x = Ax+Bu, x ∈ Rn, u ∈ R

m,

y = Cx+Du, y ∈ Rp,

la cui rappresentazione nel dominio di Laplace, gia determinata in precedenza, e data dalla risposta completanello stato (comprendente sia la risposta libera Xℓ gia studiata con l’analisi modale sia la risposta forzata Xf ):

X(s) = (sI −A)−1x(0) + (sI −A)−1BU(s),

X(s) = Xℓ(s) +Xf (s), Xℓ(s) := (sI −A)−1x(0), Xf (s) := (sI −A)−1BU(s),

e dalla risposta completa in uscita, che puo anch’essa essere decomposta nella risposta libera Yℓ ed in quellaforzata Yf (si vedano anche la sezione 2.1 e la sezione 2.3.4)

Y (s) = C(sI −A)−1x(0) + [C(sI −A)−1B +D]U(s),

Y (s) = Yℓ(s) + Yf (s), Yℓ(s) = C(sI −A)−1x(0), Yf (s) = C(sI −A)−1BU(s) +DU(s).

Si noti come, dalla linearita dell’operatore trasformata, discenda in modo immediato il principio sovrappo-sizione degli effetti: dato un segnale u(·), combinazione lineare di segnali elementari u1(·) ed u2(·), la rispostacomplessiva in uscita e pari alla somma delle risposte ai singoli segnali elementari:

U(s) = Lu(t) = Lc1u1(·) + c2u2(·) = c1U1(s) + c2U2(s) (2.210a)

Y (s) = W (s)U(s) = W (s) · (c1U1(s) + c2U2(s)) = c1Y1(s) + c2Y2(s) (2.210b)

In questa sezione l’interesse specifico e per l’analisi della risposta forzata, che e determinata in modo imme-diato (nel dominio di Laplace, si veda ancora la sezione 2.3.4) come prodotto tra la funzione di trasferimento ela trasformata del segnale di ingresso:

Yf (s) = C(sI −A)−1BU(s) +DU(s) =[

C(sI −A)−1B +D]

U(s) = W (s)U(s) (2.211)

W (s) = C(sI −A)−1B +D. (2.212)

Si noti come, in virtu delle proprieta dell’esponenziale di matrice nel dominio di Laplace, la funzione ditrasferimento sia una matrice di funzioni razionali.

E molto importante sottolineare le seguenti caratteristiche della risposta forzata (e quindi della matrice ditrasferimento quale modello descrittivo): da un lato ne sottolineano l’estrema importanza, dall’altro evidenzianoalcuni limiti ed elementi di attenzione.

Commento 2.3

• La risposta forzata di un sistema dinamico descrive il legame ingresso-uscita del sistema stesso.

• La risposta forzata di un sistema dinamico assume condizioni iniziali nulle.

• La risposta forzata di un sistema dinamico puo trascurare alcune componenti del comportamento dinamicointerno (si veda, ad esempio il circuito elettrico riportato nell’esercizio 2.7.1 e la Fig. 2.39).


Si consideri ora, per semplicita e senza perdita di generalita, il caso di un sistema scalare (dal punto di vistaingresso-uscita, cioe con un solo ingresso ed una sola uscita). Sia

W (s) = c(sI −A)−1b + d =c · adj (sI −A) · b

det(sI −A)+ d (2.213)

la sua funzione di trasferimento che, come gia notato in precedenza, e una funzione razionale propria (se d 6= 0)o strettamente propria (se d = 0).

Commento 2.4 Per semplicita notazionale, l’ordine del denominatore di una generica funzione di trasferimento(e quindi il numero di poli) verra ancora indicato con la lettera n, analogamente alla notazione utilizzata perindicare la dimensione dello spazio di stato di un generico sistema (e quindi il numero di autovalori). Si ricordituttavia che, in generale, il numero di poli puo essere minore del numero di autovalori. Si veda, a titolo diesempio, il gia citato esercizio 2.7.1.

2.5.1 Risposta impulsiva

L’analisi della risposta forzata di norma viene condotta considerando alcuni segnali notevoli. Tra le possibilerisposte forzate, la piu semplice e la risposta impulsiva, e cioe la risposta ad un segnale di ingresso dato da unimpulso di Dirac δ(t) (illustrato nella figura 2.7 insieme ad una possibile sequenza di funzioni approssimanti).

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

Figura 2.7: Impulso di Dirac.

L’impulso di Dirac e un segnale di estrema importanza, benche non fisicamente realizzabile. Una delle suecaratteristiche principali consiste nel descrivere una variazione istantanea dell’energia interna del sistema. Unaseconda caratteristica fondamentale e la sua proprieta campionatrice.

Una descrizione di tale segnale, del tutto qualitiva e informale, e riportata in figura 2.7; per una definizionerigorosa dell’impulso di Dirac si rimanda a testi di teoria dei segnali o ad altri testi di teoria dei sistemi. Qui,ci si limita a sottolineare che la trattazione formale di questo argomento richiede l’introduzione del concetto didistribuzione, che estende e generalizza la nozione classica di funzione.

Ricordando come la trasformata di Laplace di un impulso sia pari ad uno, si ricava la considerazione che larisposta impulsiva, e cioe la risposta del sistema ad una variazione istantanea e finita dell’energia interna, hauna forma (cioe un andamento nel tempo) che dipende solo dalle caratteristiche del sistema stesso.

Esaminando in dettaglio tale uscita, si trova infatti:

Y (s) = W (s)U(s) ⇒ Yimp(s) = W (s) · 1. (2.214)

Assumendo, per semplicita, un sistema con funzione di trasferimento strettamente proprio e con tutti i polidistinti, si ha:

Yimp(s) =βn−1s

n−1 + βn−2sn−2 + · · ·+ β1s+ β0

sn + αn−1sn−1 + · · ·+ α1s+ α0=

n∑

i=1

Ai

(s− pi), (2.215)


da cui segue, per la risposta nel dominio del tempo:

yimp(t) = L−1 [Yimp(s)] =

n∑

i=1

Aiepit. (2.216)

Poiche i poli sono un sottoinsieme degli autovalori, le funzioni che appaiono nella risposta impulsiva sonoun sottoinsieme dei modi naturali del sistema: la risposta impulsiva contiene tutti, e soli, i modi naturalidel sistema che influenzano il legame ingresso-uscita. Nel caso in cui alcuni poli siano complessi coniugati acoppie, i modi naturali relativi possono essere raccolti ed espressi in termini reali, sotto forma di funzioni ditipo esponenziale-sinusoidale e esponenziale-cosinusoidale.

Il comportamento asintotico della risposta impulsiva si ricava immediatamente dalla caratterizzazione rispettoalla convergenza dei modi naturali che la compongono. Se tutti tali modi naturali sono convergenti, la rispostaimpulsiva tende asintoticamente a zero.

Nel caso di poli qualsiasi, e quindi con molteplicita anche non unitaria, si trova facilmente6:

Yimp(s) = W (s) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(s− pi)j,

r∑

i=1

qi = n, (2.217)

e quindi, nel dominio del tempo:

yimp(t) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jtj−1

(j − 1)!e pit. (2.218)

La risposta e ancora una combinazione lineare di modi naturali, che possono essere di qualsiasi tipo, equindi anche di tipo polinomiale-esponenziale. Considerazioni analoghe valgono anche nel caso di poli complessiconiugati non semplici.

Anche in questo caso, il comportamento asintotico della risposta impulsiva si ricava immediatamente dallacaratterizzazione rispetto alla convergenza dei modi naturali che la compongono. Se tutti tali modi naturalisono convergenti, la risposta impulsiva tende asintoticamente a zero. In tutti i casi, la presenza anche di un solomodo limitato o divergente, e cioe di un solo autovalore con parte reale non negativa, rende l’intera rispostaimpulsiva non convergente.

Infine, e facile vedere, dal confronto tra la risposta impulsiva in uscita e la risposta libera in uscita, rispet-tivamente date da:

Yimp(s) = c(sI −A)b · 1, Yℓ(s) = c(sI −A)x(0) (2.219)

come la risposta impulsiva possa essere interpretata anche come una risposta libera a partire dalla condizioneiniziale x(0) = b. Qualitativamente, l’impulso di Dirac trasferisce istantaneamente al sistema una quantita dienergia pari a quella descritta da una condizione iniziale x(0) = b.

Esempio 2.5 (Circuito elettrico: modello I/O) Si consideri il circuito elettrico in figura 2.8, di cui si e giadeterminato il modello nello spazio di stato nel primo capitolo (sezione 1.4).

iG C L R

Figura 2.8: Circuito elettrico a componenti passivi.

Procedendo al calcolo della funzione di trasferimento, a partire dal modello seguente, gia determinato:

x = Ax + bu

y = cx

6si assume ancora una funzione di trasferimento strettamente propria


A =

− 1

RC− 1

C

1

L0

, b =

1

C

0

, c =

[

1 0]

, (2.220)

si trova:

W (s) = W (s) =s/C

s2 +1

RCs+

1

LC

. (2.221)

In modo dettagliato, i vari elementi che concorrono al calcolo della matrice di trasferimento sono l’aggiuntadi (sI −A):

adj (sI −A) = adj

s+1

RC

1

C

− 1

Ls

=

s − 1

C

1

Ls+

1

RC

, (2.222)

il polinomio c adj (sI −A)b, che costituisce il numeratore

c adj (sI −A)b =[

1 0]

s − 1

C

1

Ls+

1

RC

1

C

0

,= s/C (2.223)

ed infine in denominatore:

det(sI −A) = s2 +1

RCs+

1

LC. (2.224)

Assumendo i valori R = 0.1, C = 1 ed L = 1 per i parametri che caratterizzano il circuito, si ottiene:

W (s) =s

s2 + 10s+ 1(2.225)

i cui poli sono dati da:s2 + 10s+ 1 = (s+ 9.9)(s+ 0.1); p1 = −9.9, p2 = −0.1. (2.226)

Poiche i due poli (e quindi i due autovalori) sono reali e negativi, il sistema ha due modi convergenti.Procedendo al calcolo della risposta impulsiva si ottiene:

Yimp(s) = W (s) · 1 =s

s2 + 10s+ 1=

A1

(s+ 9.9)+

A2

(s+ 0.1)≃ 1.01

(s+ 9.9)− 0.01

(s+ 0.1), (2.227)

avendo calcolato i residui corrispondenti:

A1 =

[

(s+ 9.9)s

(s+ 9.9)(s+ 0.1)

]

s=−9.9

=s

s+ 0.1

∣

∣

∣

∣

s=−9.9

≃ 1.01, (2.228a)

A2 =

[

(s+ 0.1)s

(s+ 9.9)(s+ 0.1)

]

s=−0.1

=s

s+ 9.9

∣

∣

∣

∣

s=−0.1

≃ −0.01. (2.228b)

La risposta impulsiva nel dominio del tempo e quindi:

yimp(t) = 1.01e−9.9t − 0.01e−0.1t, (2.229)

ed il corrispondente andamento nel tempo e illustrato in figura 2.9.Nel caso in cui il sistema fosse caratterizzato dai seguenti diversi parametri R = 1, C = 1 ed L = 1, si

otterrebbe la seguente funzione di trasferimento:

W (s) =s

s2 + s+ 1(2.230)

cui corrispondono poli complessi coniugati:

(s2 + s+ 1) = (s+ 0.5 + 0.866)(s+ 0.5− 0.866) (2.231)


0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Riposta impulsiva

Tempo (secs)

Usc

ita

Figura 2.9: Risposta impulsiva per il circuito in figura 2.8 (R = 0.1, C = 1, L = 1).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Risposta Impulsiva

Tempo (sec)

Am

piez

za

Figura 2.10: Risposta impulsiva per il circuito in figura 2.8 (R = 1, C = 1, L = 1).

e quindi modi naturali pseudo-periodici (cioe esponenziale-periodico), con termine reale e−0.5t e termini periodicidi pulsazione ω = 0.866.

In tal caso, la risposta impulsiva ha l’andamento illustrato nella figura 2.10.Per completezza, in figura 2.11 viene riportato l’andamento della risposta impulsiva nel caso di un circuito

costituito dal solo palallelo L−C, senza resistenza eletttrica. Si noti il comportamento periodico della rispostaimpulsiva, dovuto all’assenza, in questo caso, di termini dissipativi.

Esempio 2.6 (Circuito elettrico: modello diretto ingresso/uscita)Il modello dinamico, in termini di funzione di trasferimento, puo essere determinato direttamente, intro-

ducendo modelli ad “impedenza” dei vari componenti elettrici. Tale approccio consente di giungere piu veloce-mente alla determinazione della funzione di trasferimento, ma perde la completezza modellativa dello spazio distato.

A titolo esemplificativo, si consideri il sistema in figura 2.12, in cui i componenti vengono modellati come


0 5 10 15 20 25 30−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Riposta impulsiva

Tempo (sec)

Usc

ita

Figura 2.11: Risposta impulsiva per il circuito in figura 2.8 (R = ∞, C = 1, L = 1).

vG

C

R

Figura 2.12: Circuito elettrico a componenti passivi: modello ingresso/uscita

“impedenze”, introducendo un modello equivalente nel dominio di Laplace:

Resistenza: vR(t) = RiR(t) → VR(s) = RIR(s), (2.232a)

Induttanza: vL(t) = Ld iL(t)

dt→ VL(s) = sLIL(s), (2.232b)

Capacita: iC(t) = Cd vC(t)

dt→ IC(s) = sCVC(s). (2.232c)

Assumendo come grandezze di interesse le tensioni di ingresso ed uscita:

• Tensione di ingresso u(t) → U(s)

• Tensione di uscita y(t) = vR(t) → Y (s) = VR(s)

l’uso delle leggi di KirchoffU(s) = VC(s) + VR(s); IC(s) = IR(s) = I(s), (2.233)

e delle relazioni (2.232) porta in modo immediato al seguente modello ingresso-uscita:

U(s) = VC(s) + VR(s) =I(s)

sC+ VR(s) (2.234)

=VR(s)

R

1

sC+ VR(s) =

sRC + 1

sRCVR(s)

cui corrisponde la seguente funzione di trasferimento

VR(s) =sRC

sRC + 1U(s), W (s) =

sRC

sRC + 1. (2.235)


2.5.2 Risposta indiciale

Un secondo segnale notevole, molto importante per lo studio del comportamento di sistemi dinamici, e ilgradino unitario, che verra indicato con δ−1(t), e che puo essere interpretato anche come integrale dell’impulsodi Dirac. In tal caso l’uscita forzata viene indicata con il termine risposta al gradino, o risposta indiciale.

La trasformata di Laplace del gradino e pari a1

s, e quindi la risposta forzata e data da:

Ygra(s) = W (s)1

s. (2.236)

La risposta nel dominio del tempo di ottiene facilmente per espansione in frazioni parziali e trasformazioneinversa. Si assuma inizialmente un sistema con funzione di trasferimento priva di poli nell’origine. In tal casola risposta indiciale puo essere espansa in frazioni parziali:

Ygra(s) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(s− pi)j+

B

s(2.237)

dove r indica il numero di poli distinti del denominatore della W (s), qi indica la molteplicita del polo pi, ed ilgenerico residuo Ai,j e calcolato come indicato nella condizione (2.145).

La risposta indiciale nel dominio del tempo e quindi:

ygra(t) = L−1 [Ygra(s)] =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jtj−1

(j − 1)!e pit +Bδ−1(t). (2.238)

Si vede facilmente i termini che costituiscono la risposta indiciale possano essere organizzati in due gruppi.Il primo gruppo contiene tutti i termini che derivano dai poli della funzione di trasferimento e coincide, a menodei coefficienti della combinazione lineare, con la risposta impulsiva:

ygra,t(t) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jtj−1

(j − 1)!e pit, (2.239)

mentre il secondo gruppo contiene solo un termine della stessa forma del segnale di ingresso ed ampiezza variata:

ygra,p(t) = Bδ−1(t). (2.240)

L’ampiezza B con cui il segnale di ingresso appare in uscita e pari al guadagno in continua del sistema:

B := s · Ygra(s)|s=0 = W (s)|s=0 = W (0). (2.241)

Analogamente a quanto accade per la risposta impulsiva (e piu in generale per l’antitrasformata di una gener-ica funzione razionale), nel caso di coppie di poli complessi coniugati le corrispondenti funzioni esponenzialepossono essere raccolte nella forma di funzioni reali di tipo esponenziale-sinusoidale, eventualmente con terminipolinomiali se i poli non sono semplici.

La risposta indiciale quindi puo essere decomposta nella somma di termini che descrivono la risposta im-pulsiva, e cioe di modi naturali, e di un termine con la stessa forma dell’ingresso. Nel caso particolare in cui larisposta impulsiva sia convergente a zero, si ottiene una risposta che converge asintoticamente ad un gradino diampiezza B = W (0). In tal caso, si suole indicare con la dizione di risposta transitoria la somma ygra,t(t) ditutti i termini che dipendono dai poli del sistema, mentre il termine derivante dall’ingresso viene indicato conla dizione di risposta permanente:

Se limt→∞

ygra,t(t) = 0 ⇒ ygra(t) = ygra,t(t) + ygra,p(t), (2.242)

ygra,t(t) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jtj−1

(j − 1)!e pit risposta transitoria (2.243)

ygra,p(t) = Bδ−1(t) risposta permanente. (2.244)

Il caso di un sistema con un polo nullo viene lasciato per esercizio al lettore (una situazione simile verradiscussa nel paragrafo 2.5.4).

Nello studio dei sistemi dinamici, e piu in particolare nell’analisi e nel progetto di sistemi di controllo, e moltoimportante considerare la risposta al gradino per un sistema del primo e del secondo ordine. I comportamentitipici sono descritti dalle seguenti figure. La risposta indiciale puo essere influenzata in modo significativo anchedalla presenza di uno zero nella funzione di trasferimento, come descritto dalla figura 2.16.


0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Risposta indiciale sistema del primo ordine (p=−1)

Tempo (secs)

Usc

ita

Figura 2.13: Risposta indiciale di un sistema del primo ordine

0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Risposta indiciale secondo ordine (p1=−1, p

2=−2)

Tempo (secs)

Usc

ita

0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Risposta indiciale secondo ordine (p1=−1, p

2=−10)

Tempo (secs)

Usc

ita

Figura 2.14: Risposta indiciale di un sistema del secondo ordine, con poli reali.


0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Risposta indiciale secondo ordine (p1=−1+5j, p

2=−1−5j)

Tempo (secs)

Usc

ita

Figura 2.15: Risposta indiciale di un sistema del secondo ordine, con poli complessi.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo (secs)

Usc

ita

Risposta indiciale (z1=−5 (r); z

1=−3 (b); z

1=−1 (v))

Figura 2.16: Risposta indiciale di un sistema del secondo ordine, al variare della posizione dello zero (polip1 = −2, p2 = −4).


2.5.3 Risposta ad ingresso sinusoidale

Il segnale sinusoidale e uno dei piu rilevanti, anche in considerazione del suo ruolo fondamentale comecomponente di base nella costruzione di segnali arbitrari, secondo quanto noto dalla teoria dell’analisi armonicadei segnali.

Per lo studio della risposta forzata in uscita si consideri quindi un sistema dinamico descritto dalla seguentefunzione di trasferimento:

W (s) =βns

n + βn−1sn−1 + · · ·+ β1s+ β0

sn + αn−1sn−1 + · · ·+ α1s+ α0. (2.245)

Applicando in ingresso un segnale sinusoidale di ampiezza unitaria e pulsazione pari ad ω rad/s, con trasfor-mata come sotto indicato:

u(t) = sin(ωt), U(s) =ω

s2 + ω2, (2.246)

assumendo che il sistema non abbia poli immaginari coniugati posti in ±ω, si ottiene la seguente rispostaforzata, nel dominio di Laplace:

Ysin(s) =βns

n + βn−1sn−1 + · · ·+ β1s+ β0

sn + αn−1sn−1 + · · ·+ α1s+ α0· ω

s2 + ω2=

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(s− pi)j+

B1

s− ω+

B2

s+ ω(2.247)

che, nel dominio del tempo, puo essere scritta nella forma seguente, raggruppando insieme i termini che derivanodai poli del sistema e quelli che derivano dai poli della trasformata del segnale di ingresso:

ysin(t) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jtj−1

(j − 1)!e pit +B1e

ωt +B2e−ωt, .

dove la somma

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jtj−1

(j − 1)!e pit

raccoglie tutti i termini generati dal sistema (cioe tutti i modi naturali presenti nella risposta forzata in uscita),mentre la somma

B1eωt +B2e

−ωt

rappresenta il contributo dovuto al segnale di ingresso.Il calcolo dei residui procede come nel caso generale. In particolare i residui Ai, relativi ai poli del sistema,

richiedono, nel caso generale, l’uso delle relazioni valide per punti singolari non semplici, mentre i residui B1 eB2, relativi ai due termini caratterizzanti il segnale di ingresso, possono essere calcolati sulla base delle relazioniper i poli semplici, in considerazione dell’ipotesi precedente di non coincidenza tra i poli del segnale e quelli delsistema. Si ottiene quindi:

Ai,j = lims→pi

1

(qi − j)!

dqi−j

dsqi−j[(s− pi)

qiY (s)]

, (2.248)

B1 = [(s− ω)Y (s)]s=ω =

[

(s− ω)W (s)ω

(s− ω)(s+ ω)

]

s=ω

(2.249a)

=

[

W (s)ω

(s+ ω)

]

s=ω

= W (ω)ω

2ω=

1

2W (ω) =

1

2Mωe

ϕω ,

dove Mω := |W (ω)|, ϕω := ∠W (ω),

B2 = [(s+ ω)Y (s)]s=−ω =

[

(s+ ω)W (s)ω

(s− ω)(s+ ω)

]

s=−ω

(2.249b)

=

[

W (s)ω

(s− ω)

]

s=−ω

= W (−ω) ·(

− ω

2ω

)

= − 1

2W (−ω) = − 1

2Mωe

−ϕω ,

dove ancora Mω := |W (ω)|, ϕω := ∠W (ω).


La risposta forzata ad ingresso sinusoidale, nel dominio del tempo, vale quindi:

ysin(t) = ysin,t(t) + ysin,p(t) (2.250a)

ysin,t(t) =r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jtj−1

(j − 1)!e pit Modi del sistema (2.250b)

ysin,p(t) = B1eωt +B2e

−ωt Modi del segnale di ingresso (2.250c)

=1

2Mω

(

e ωt+ϕω − e−ωt−ϕω)

= Mω sin(ωt+ ϕω),

in cui il termine ysin,t(t) raccoglie tutti i modi naturali del sistema e coincide, a meno dei coefficienti dellacombinazione lineari, cioe a meno dei residui, con la risposta impulsiva, mentre il termine ysin,p(t) contiene unareplica del segnale di ingresso, modificato in ampiezza e fase in modo dipendente solo dal valore della funzionedi trasferimento alla pulsazione del segnale stesso.

Se il sistema ha tutti i poli con parte reale negativa (cioe, come vedremo in seguito, se il sistema e esterna-mente stabile), allora, e solo in questo caso, il termine ysin,t(t) puo prendere il nome di risposta transitoria econverge a zero esponenzialmente (in modo del tutto analogo a quanto visto per il caso dell’ingresso a gradino).

In tal caso, il termine ysin,p(t) e il solo segnale che “permane” dopo l’esaurimento del transitorio, ed e larisposta permanente per ingressi sinusoidali.

Si noti come, sia nel caso di ingressi sinusoidali sia nel caso precedente di ingressi a gradino, la rispostatransitoria esiste solo se la risposta impulsiva converge asintoticamente a zero. In tal caso, la risposta transitoria ela risposta impulsiva sono costruite dalle stesse funzioni elementari, i modi naturali associati ai poli del sistema,combinate linearmente con diversi coefficienti (i residui relativi). Il concetto di risposta permanente e piuarticolato di quanto detto sommariamente nelle righe precedenti, e verra ripreso piu estesamente nella sezione2.5.5.

2.5.4 Il caso dei poli immaginari

Infine, alcune considerazione circa l’ipotesi di poli della funzione di trasferimento non coincidenti con ipoli del segnale. Nel seguito si considera il caso in cui il segnale di ingresso sia sinusoidale, rimandando adapprofondimenti personali il caso della risposta indiciale per un sistema con un polo nullo.

Si consideri un sistema caratterizzato da due poli immaginari in ±ω. Nell’espansione in frazioni parzialidella risposta forzata riportata in (2.247) non e piu possibile separare tra loro i termini che derivano da tali polie quelli che derivano dai poli del segnale. La risposta forzata, nel dominio di Laplace, deve quindi essere scrittanella forma seguente:

Y (s) =βns

n + βn−1sn−1 + · · ·+ β1s+ β0

sn + αn−1sn−1 + · · ·+ α1s+ α0· ω

s2 + ω2(2.251a)

=r∑

i=3

qi∑

j=1

Ai,j

(s− pi)j+

B1,1

(s− ω)+

B1,2

(s− ω)2+

B2,1

(s+ ω)+

B2,2

(s+ ω)2(2.251b)

avendo assunto, senza perdita di generalita, che i poli p1 e p2 siano i due poli immaginari in ±ω. La rispostaforzata in uscita allora conterra termini che derivano dai poli non immaginari del sistema, e termini che derivanodall’effetto congiunto dei poli in ±ω. Tali termini, nel dominio del tempo, danno luogo ad una funzionesinusoidale di fase ed ampiezza opportune (in corrispondenza delle frazioni parziali con poli semplici) ed unafunzione rampa-sinusoidale (in corrispondenza delle frazioni parziali con poli multipli) del tipo:

M2 t sin(ωt+ ϕ2) (2.252)

la cui ampiezza cresce al crescere del tempo secondo una rampa. In tal caso la risposta permanente non e bendefinita, ed infatti la risposta impulsiva non e convergente a zero. La risposta impulsiva infatti, a motivo dellacoppia di poli immaginari, avrebbe una componente limitata di tipo sinusoidale. La coppia di poli immaginarinella funzione di trasferimento caratterizza la presenza di una frequenza di risonanza. Su tale concetto si torneraanche nella sezione relativa ai diagrammi di Bode.


Ovviamente, nel caso in cui il sistema avesse coppie di poli immaginari di molteplicta non unitaria, la rispostain uscita a segnali sinusoidali coincidenti con tali poli sarebbe caratterizzata da termini polinomiali di ordinepari alla molteplicita dei poli del sistema.

Esempio 2.7 (Risposta forzata per ingressi sinusoidali)Si consideri un sistema dinamico descritto dalla seguente funzione di trasferimento:

W (s) =2s+ 3

s3 + 6s2 + 11s+ 6=

2s+ 3

(s+ 1)(s+ 2)(s+ 3), (2.253)

e sottoposto all’effetto di un segnale di ingresso sinusoidale di pulsazione ω = 1 rad/s:

u(t) = sin(t), U(s) =1

(s2 + 1). (2.254)

Il sistema ha tre poli reali, rispettivamente in −1, −2 e −3, e quindi ammette risposta transitoria e rispostapermanente in uscita.

La risposta forzata in uscita e descritta dalla funzione razionale:

Y (s) =2s+ 3

s3 + 6s2 + 11s+ 6· 1

(s2 + 1), (2.255)

che puo essere espansa in frazioni parziali come segue:

Y (s) =A1

s+ 1+

A2

s+ 2+

A3

s+ 3+

B1

(s+ )+

B2

(s− ). (2.256)

I residui relativi ai vari poli del sistema sono dati da:

A1 = (s+ 1)Y (s)|s=−1 =(2s+ 3)

(s+ 2)(s+ 3)

1

(s2 + 1)|s=−1 =

1

4(2.257a)

A2 = (s+ 2)Y (s)|s=−2 =(2s+ 3)

(s+ 1)(s+ 3)

1

(s2 + 1)|s=−2 =

1

5(2.257b)

A3 = (s+ 1)Y (s)|s=−3 =(2s+ 3)

(s+ 1)(s+ 2)

1

(s2 + 1)|s=−3 = − 3

20(2.257c)

mentre quelli relativi al segnale sono:

B1 = (s− )Y (s)|s= =

[

(s− )(2s+ 3)

(s+ 1)(s+ 2)(s+ 3)· 1

(s+ )(s− )

]

s=

(2.258a)

=

[

(2s+ 3)

(s+ 1)(s+ 2)(s+ 3)· 1

(s+ )

]

s=

=1

2Me ϕ, M = 0.36, ϕ = −0.98

B2 = (s+ )Y (s)|s=− =

[

(s+ )(2s+ 3)

(s+ 1)(s+ 2)(s+ 3)· 1

(s+ )(s− )

]

s=−

(2.258b)

=

[

(2s+ 3)

(s+ 1)(s+ 2)(s+ 3)· 1

(s− )

]

s=−

= − 1

2Me−ϕ,

Il termine relativo al segnale di ingresso, e cioe la risposta permanente, in Laplace e quindi pari a:

B1 =1

2Me ϕ, B2 = − 1

2Me−ϕ, M = 0.36, ϕ = −0.98 (2.259)

cui corrisponde, nel dominio del tempo:

L−1

[

B1

(s− )+

B2

(s+ )

]

= B1et +B2e

−t =1

2Me ϕe t − 1

2Me−ϕe−t (2.260)

=1

2M(

e (t+ϕ) − e−(t+ϕ))

= M sin(t+ ϕ)


La risposta forzata infine e data da:

y(t) = A1e−t +A2e

−2t +A3e−3t +M sin(ωt+ ϕ), (2.261)

mentre la sola risposta transitoria vale:

y(t) = A1e−t +A2e

−2t +A3e−3t. (2.262)

Gli andamenti delle risposte forzata, permanente e transitoria in uscita sono riportati nella figura 2.17,ove la curva verde indica la riposta forzata, la curva rossa la risposta transitoria e la curva ciano la rispostapermanente.

La figura 2.18 e invece relativa ad un sistema con la stessa funzione di trasferimento gia studiata, salvo ilprimo polo posto in p = 1, e quindi instabile. La figura riporta la risposta forzata, nonche i termini legati aipoli del sistema ed i termini legati al segnale di ingresso. Mentre tale ultimo contributo e identico nei due casi,il contributo legati ai poli del sistema e sostanzialmente diverso, e quindi le due risposte forzate sono del tuttodiverse.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Risposte dinamiche in uscite, per ingresso sinusoidale

tempo

Figura 2.17: Risposte forzata, permanente e transitoria per il sistema 2.253.

2.5.5 Risposta permanente

La risposta permanente descrive il comportamento di un sistema dinamico, a fronte dell’applicazione di unsegnale di ingresso e dopo molto tempo dall’istante di applicazione iniziale del segnale stesso. Piu precisamente,descrive la risposta completa in uscita e nello stato, dopo molto tempo dall’istante iniziale di tale applicazione. Inquesta sezione il concetto, gia introdotto informalmente in precedenza, verra discusso in modo piu approfondito,presentando anche le relative condizioni di esistenza.

Affinche la riposta permanente sia ben definita, essa deve essere indipendente dalla condizione iniziale, cioe,dato un assegnato sistema dinamico e fissato il segnale di ingresso, si deve avere la stessa risposta permanenteal variare della condizione iniziale.

Ricordando le espressioni della risposta completa in uscita, nel dominio del tempo e di Laplace secondo co-modita, e evidente come il concetto di risposta permanente in uscita sia ben posto solo se (condizione necessaria)tutti i poli del sistema sono a parte reale negativa, cosı da dar luogo ad una risposta impulsiva convergente as-intoticamente a zero. In aggiunta, per avere anche indipendenza dalla condizione iniziale, e sufficiente che tuttigli autovalori abbiano parte reale negativa. Tale condizione e piu forte della convergenza a zero della rispostaimpulsiva, perche, in generale, non tutti gli autovalori compaiono tra i poli della funzione di trasferimento, equindi tra i poli della risposta impulsiva.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Risposte dinamiche in uscite, per ingresso sinusoidale

tempo

Figura 2.18: Risposta forzata per un sistema con polo positivo.

Si vedano, a titolo di esempio, i grafici nelle due figure 2.17 e 2.18 ed il corrispondente sistema.

Per discutere con maggior dettaglio la relazione tra le due condizioni citate (quella necessaria e quellasufficiente) sono richiesti concetti non ancora discussi. In particolare e richiesto il concetto di osservabilita dellostato e di sottosistema osservabile: verranno trattati in un capitolo successivo. In questa sede e sufficientericordare, come si e gia visto in alcuni esempi, il fatto che la risposta completa in uscita, in generale, ha uncontenuto di modi naturali piu ricco rispetto alla corrispondente risposta forzata.

Si consideri, a titolo di esempio, il seguente sistema dinamico:

x =

[

0 −p1p21 p1 + p2

]

x+

[

−p11

]

u (2.263a)

y =[

0 1]

x (2.263b)

Il sistema (2.263) ha polinomio caratteristico pari a (λ− p1)(λ− p2) e funzione di trasferimento W (s) = 1s−p2

.Uno dei due autovalori non figura come polo, e quindi il corrispondente modo naturale non figura nella rispostaimpulsiva. Entrambi i modi naturali sono presenti nella risposta libera in uscita.

Cio implica che la risposta forzata in uscita del sistema contiene, rispetto ai modi naturali, solo la funzionee p2t, mentre la risposta libera in uscita, data da yℓ(t, x0) = ceAtx0, contiene entrambe le funzioni e p1t e e p2t.La risposta impulsiva tende quindi a zero solo se (condizione necessaria) l’autovalore p2 e negativo, mentre larisposta libera tende a zero, per qualsiasi condizione iniziale, se (e solo se) entrambi gli autovalori sono negativi.

Formalmente, la risposta permanente in uscita, yp(t), e il limite, se esiste, cui tende la risposta completa,per istante di applicazione t0 del segnale di ingresso tendente a meno infinito:

yp(t) := limt0→−∞

yc(t, t0, x(t0), u(·)), ∀x(t0), (2.264)

ove yc(t, t0, x(t0), u(·)) indica la risposta completa in uscita, corrispondente all’applicazione del segnale u(·) apartire dall’istante t0, con condizione iniziale in t0 pari a x(t0).

In modo equivalente, si assuma l’esistenza di una funzione yp(t), dipendente dal sistema considerato e dalsegnale di ingresso, ma indipendente dalla condizioni iniziali. Una tale funzione si chiama risposta permanentese e solo se vale il seguente limite:

limt→∞

(yc(t, t0, x(t0), u(·)) − yp(t)) = 0, ∀x(t0). (2.265)


In tal caso, la funzione yp(t) viene detta risposta permanente e la funzione

yt(t) := yc(t, t0, x(t0), u(·))− yp(t), (2.266)

viene detta risposta transitoria.Si noti che la risposta permanente non corrisponde al limite della risposta forzata per tempi tendenti ad

infinito (come talora si afferma, in modo qualitativo). Tale limite infatti, per molti segnali di interesse tra cuiquelli sinusoidali, non e definito.

E possibile dare una definizione analoga per la risposta permanente nello stato. Nel seguito si presteramaggiore attenzione al caso del segnale di uscita, riservando qualche commento conclusivo al caso della rispostanello stato.

Il concetto di risposta permanente e di interesse per tutti i segnali con trasformata di Laplace razionalepropria e con i corrispondenti poli a parte reale non negativa, e cioe per tutti i segnali con trasformata razionalepropria che permangono nel tempo, cioe che non convergono asintoticamente a zero. E opportuno sottolineareil fatto che i segnali a trasformata razionale propria sono di interesse particolare perche sono “autofunzioni”(modi naturali, come vengono chiamati in questo corso), cioe possono essere generati come risposta libera inuscita di opportuni sistemi lineari a tempo continuo. Tali segnali quindi sono naturalmente associati ai sistemidinamici che vengono studiati in questo capitolo.

Si consideri quindi un segnale di ingresso u(t) la cui trasformata U(s) sia una funzione razionale:

U(s) =γµs

µ + γµ−1sγ−1 + · · ·+ γ1s+ γ0

sµ + ηµ−1sµ−1 + · · ·+ η1s+ η0=

γµsµ + γµ−1s

γ−1 + · · ·+ γ1s+ γ0∏ρ

i=1(s− πi)µi

(2.267)

e tutti i poli πi, i = 1, . . . , ρ, abbiano parte reale non negativa (eventuali poli del segnale con parte realenegativa fornirebbero componenti che svanirebbero al crescere del tempo, e quindi irrilevanti rispetto alla rispostapermanente).

Si consideri un sistema dinamico

x = Ax + bu, (2.268a)

y = cx+ du, (2.268b)

indicato per brevita con la notazione Σ(A, b, c, d), descritto da una funzione di trasferimento di forma generale:

W (s) =βns

n + βn−1sn−1 + · · ·+ β1s+ β0

sn + αn−1sn−1 + · · ·+ α1s+ α0=

βnsn + βn−1s

n−1 + · · ·+ β1s+ β0∏r

i=1(s− pi)qi

(2.269)

caratterizzata da poli arbitrari, salvo l’avere tutti parte reale negativa (per la condizione necessaria vista sopra).Cio implica che la risposta impulsiva del sistema tende a zero.

In tal caso, la risposta forzata in uscita puo essere scritta, dopo l’espansione in frazioni parziali, nella forma:

Yf (s) = W (s)U(s) =βns

n + βn−1sn−1 + · · ·+ β1s+ β0

∏ri=1(s− pi)

qi

· γµsµ + γµ−1s

γ−1 + · · ·+ γ1s+ γ0∏ρ

i=1(s− πi)µi

(2.270a)

=r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(s− pi)j+

ρ∑

i=1

µi∑

j=1

Bi,j

(s− πi)j= YW (s) + Yu(s),

YW (s) :=

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(s− pi)j, Yu(s) :=

ρ∑

i=1

µi∑

j=1

Bi,j

(s− πi)j. (2.270b)

Antitrasformando nel domino del tempo si ottiene quindi:

yf (t) = yW (t) + yu(t), (2.271a)

yW (t) = L−1 YW (s) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jtj−1

(j − 1)!e pit (2.271b)

yu(t) = L−1 Yu(s) =

ρ∑

i=1

µi∑

j=1

Bi,jtj−1

(j − 1)!e πit. (2.271c)

Si notino alcuni fatti rilevanti per la forma della risposta forzata scritta sopra.


Commento 2.5

• Innanzitutto, il fatto che i poli del sistema siano a parte reale negativa e quelli del segnale siano a parte realenulla o positiva rende vuota l’intersezione dei rispettivi insiemi, e quindi rende possibile, nell’espansionein frazioni parziali operata nella (2.270b), separare i termini derivanti dai poli del sistema dai terminiderivanti dai poli del segnale.

• Cio implica, come secondo fatto, che la funzione yW (t) definita sopra contenga solo i modi naturaliassociati ai poli della funzione di trasferimento W (s), e quindi il fatto che il comportamento asintotico ditale funzione sia lo stesso della risposta impulsiva.

• Il terzo fatto importante e che la funzione yu(t) contiene solo le funzioni del tempo presenti nel segnale diingresso, trasferite in uscita al sistema con la stessa forma e, in generale, con pesi relativi diversi.

• Il quarto fatto importante e che, come visto in piu esempi, l’insieme dei poli della funzione di trasferimentoe, in generale, un sottoinsieme proprio dell’insieme degli autovalori del sistema.

Se vale l’ipotesi, ricordata sopra, che tutti i poli del sistema sono a parte reale negativa, il termine yW (t)converge asintoticamente a zero ed allora la funzione yu(t) rappresenta cio che “permane” in uscita dopol’esaurimento a zero della risposta yW (t) (che, come detto sopra, ha lo stesso comportamento asintotico dellarisposta impulsiva). Tale analisi pero e riferita alla sola risposta forzata, ed assume quindi condizioni inizialinulle, cioe trascura la risposta libera in uscita.

Come si e visto anche con il semplice esempio (2.263), la risposta libera in uscita puo contenere modi naturaliaggiuntivi rispetto a quelli presenti nella risposta forzata, e quindi la risposta completa in uscita puo, in funzionedelle condizioni iniziali e della caratterizzazione di convergenza di tali modi aggiuntivi, avere un comportamentoasintotico diverso da quello che caratterizza la sola risposta forzata.

E opportuno formalizzare tale concetto qualitativo. Si consideri un generico sistema dinamico Σ(A, b, c, d),con funzione di trasferimento del tipo (2.269), e con poli di tale funzione di trasferimento che possono ancheessere un sottoinsieme proprio degli autovalori dello stesso sistema. Si assuma un segnale di ingresso u(t) contrasformata razionale del tipo in (2.267). La risposta completa in uscita, a partire da una generica condizioneiniziale x0 all’istante t0 = 0 e sotto l’effetto del segnale di ingresso u(t), tenendo conto della scomposizione(2.271a) per la risposta forzata, assume la forma:

yc(t, 0, x0, u(·)) = yℓ(t, x0) + yW (t) + yu(t). (2.272)

Se vale il seguente limite:limt→∞

yc(t, 0, x0, u(·))− yu(t) = 0, ∀x0, (2.273)

allora il termine yu() e la risposta permanente in uscita del sistema ed il termine yℓ(t, x0) + yW (t) e la rispostatransitoria in uscita, cioe:

yp(t) := yu(t) (2.274a)

yt(t) := yℓ(t, x0) + yW (t). (2.274b)

Il limite 2.273 vale se tutte le funzioni del tempo che compaiono in yℓ(t, x0) e in yW (t) convergono a zero, equindi se tutti i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale negativa (per il termine yW (t)) e se tuttigli autovalori che compaiono nella risposta libera in uscita (il termine yℓ(t, x0)) hanno parte negativa. Si noticome questo secondo insieme contenga (in generale strettamente) tutti i poli della funzione di trasferimento.

Complessivamente quindi, si puo formulare il seguente teorema, che descrive il criterio di esistenza dellarisposta permanente in uscita.

Teorema 2.6 (Criterio di esistenza della risposta permanente in uscita per sistemi LSTC)Un sistema dinamico Σ(A, b, c, d) ammette risposta permanente in uscita, indipendente dalla condizione

iniziale, se e solo se tutti gli autovalori associati ai modi naturali presenti nella risposta libera in uscita hannoparte reale negativa. ⋄

Da un punto di vista pratico, la determinazione della risposta permanente, qualora esista, puo essere condottalimitando il calcolo alla porzione di risposta forzata in uscita relativa ai soli termini che costituiscono il segnaledi ingresso, e cioe ai soli termini Yu(s) nella relazione generale (2.270b).


Commento 2.6 La condizione citata nel criterio, e cioe la condizione “se e solo se tutti gli autovalori associatiai modi naturali presenti nella risposta libera in uscita hanno parte reale negativa” corrisponde, formalmente,alla condizione: “se e solo se tutti gli autovalori del sottosistema osservabile hanno parte reale negativa”. Cioemergera con maggior chiarezza nel capitolo dedicato alle proprieta strutturali dell’uscita.

Si noti come la trattazione riportata sopra sia relativa al solo segnale di uscita, in analogia con il tipo ditrattazione piu comune per tale argomento. Ancora piu precisamente: in molte discipline la trattazione dellarisposta permanente si limita alla sola risposta forzata, ed addirittura, spesso si trascura il contributo dellarisposta transitoria e si considera come risposta in uscita di un sistema dinamico il solo contributo che abbiamoqui chiamato “permanente”. Cio deriva dal fatto che in tali discipline la stabilita interna del sistema, cheimplica la esistenza della risposta permamente, viene data per valida in virtu di una adeguata progettazione erealizzazione del sistema stesso. In questo corso invece lo studio della stabilita e argomento centrale e quindinon puo esser dato per certo: anzi, studiare la stabilita e, per quanto possibile, garantirla, e uno degli obiettiviprincipali degli strumenti che vengono proposti.

Si richiama ancora una volta l’attenzione sulle figure 2.17 e 2.18 e sul corrispondente sistema per sottolin-eare come l’assumere come risposta in uscita il solo contributo “permanente” costituisca una approssimazioneaccettabile del comportamento effettivo solo in alcuni casi e non abbia validita generale.

Come mostrato dall’esempio (2.263) all’inizio della sezione, il contributo della risposta libera a volte puoessere determinante. Il prossimo esempio mostra come, nel caso generale, si debba estendere l’attenzione anchealla risposta nello stato, e non ci si possa limitare alla risposta in uscita, sia pure nella forma completa.

Si consideri il seguente sistema dinamico:

x =

[

0 1−p1p2 p1 + p2

]

x+

[

01

]

u (2.275a)

y =[

−p1 1]

x. (2.275b)

caratterizzato da un polinomio caratteristico pari a (λ− p1)(λ− p2) e da una funzione di trasferimento W (s) =1

s−p2. Uno dei due autovalori non figura come polo, e quindi il corrispondente modo naturale non figura nella

risposta impulsiva. In questi termini, tale sistema ha le stesse caratteristiche del sistema (2.263).Una analisi della risposta libera in uscita consente di capire che il modo naturale e p1t non figura neanche

nella risposta libera in uscita. Ne segue che la risposta completa in uscita contiene, rispetto ai modi naturali,solo la funzione e p2t.

Per verificare tale forma per la risposta libera in uscita (non potendo ancora utilizzare il concetto di osserv-abilita) si considerino i due autovettori del sistema. Si trova facilmente, per i due autovalori λ1 = p1 e λ2 = p2,la coppia di rispettivi autovettori:

v1 =

[

1p1

]

, v2 =

[

1p2

]

. (2.276)

Poiche tali vettori sono linearmente indipendenti se gli autovalori sono distinti, possono essere scelti comenuova base nello spazio di stato. Ne consegue che una generica condizione iniziale x0 puo essere espressa comecombinazione lineare di questi due vettori:

x0 = α1v1 + α2v2, (2.277)

per opportuni valori dei coefficienti reali α1 e α2. La risposta libera in uscita, per una generica condizioneiniziale, vale quindi:

yℓ(t, x0) = ceAtx0 = ceAt(α1v1 + α2v2) = α1cv1ep1t + α2cv2e

p2t, (2.278)

in cui si e tenuto conto del fatto che una condizione iniziale allineata con un autovettore eccita solo il corrispon-dente modo naturale. Notando poi che, per il sistema in esame, la matrice di uscita c e ortogonale all’autovettorev1, e quindi cv1 = 0, ne segue:

yℓ(t, x0) = ceAtx0 = α2(p2 − p1)ep2t, (2.279)

e quindi il modo naturale e p2t appare in tale risposta, ma il modo naturale e p1t non vi appare mai.La risposta libera nello stato invece, data da xℓ(t, x0) = eAtx0, contiene, ovviamente, entrambe le funzioni

e p1t ed e p2t.


La risposta permanente in uscita quindi, in base al criterio visto in precedenza, esiste se e solo se l’autovalorep2 e negativo. La risposta libera nello stato, invece, tende a zero per qualsiasi condizione iniziale se, e solo se,entrambi gli autovalori sono negativi. Ne segue che, se il sistema ha autovalore p1 positivo, per un fissatoingresso si ha risposta completa in uscita tendente alla risposta permanente, e risposta completa nello statodivergente verso infinito.

La formalizzazione della risposta permanente nello stato puo essere fatta utilizzando lo stesso approccioseguito per l’uscita. La risposta completa nello stato, a partire da una generica condizione iniziale x0 all’istantet0 = 0 e sotto l’effetto del segnale di ingresso u(t), tenendo conto di una scomposizione della risposta forzatanello stato analoga alla (2.271a), assume la forma:

xc(t, 0, x0, u(·)) = xℓ(t, x0) + xH(t) + xu(t), (2.280)

ove i termini xH(t) e xu(t) vanno intesi come i contributi nella risposta forzata nello stato derivanti dai polilegati alla relazioni ingresso-stato in Laplace7 e dai poli del segnale di ingresso, rispettivamente.

Se il limite seguente vale:limt→∞

xc(t, 0, x0, u(·))− xu(t) = 0, ∀x0, (2.281)

allora il termine xu() e la risposta permanente nello stato del sistema ed il termine xℓ(t, x0)+xH(t)e la rispostatransitoria nello stato.

Il limite 2.281 vale se tutte le funzioni del tempo che compaiono in xℓ(t, x0) e in xH(t) convergono a zero, equindi se tutti i poli del legame ingresso-stato hanno parte reale negativa (per il termine xH(t)) e se tutti gliautovalori (per il termine xℓ(t, x0)) hanno parte negativa. Si noti come questo secondo insieme contenga (ingenerale strettamente) tutti i poli del legame ingresso-stato.

Complessivamente quindi, si puo formulare il seguente criterio di esistenza della risposta permanente nellostato, che garantisce anche l’esistenza della risposta permanente in uscita (come condizione sufficiente ma nonnecessaria).

Teorema 2.7 (Criterio di esistenza della risposta permanente nello stato per sistemi LSTC)Un sistema dinamico Σ(A, b, c, d) ammette risposta permanente nello stato, indipendente dalla condizione in-iziale, se e solo se tutti i suoi autovalori hanno parte reale negativa. ⋄

2.6 Risposta armonica e diagrammi di Bode

L’analisi della risposta permanente per segnali sinusoidali e di estrema importanza nello studio di un sistemadinamico. Si e visto che, se tale risposta permanente esiste, allora il segnale di ingresso e riportato in uscita,a regime (cioe, dopo l’esaurimento della risposta transitoria), con una ampiezza ed una fase dati dal modulo edalla fase della funzione di trasferimento, rispettivamente, alla pulsazione del segnale di ingresso.

Cioe, se la risposta transitoria esiste, allora la risposta completa in uscita, per ingresso u(t) = sin(ωt), tendeasintoticamente alla risposta permanente:

yp(t) = M(ω) sin(ωt+ ϕ(ω)), M(ω) = |W (ω)|, ϕ(ω) = ∠W (ω). (2.282)

E quindi utile studiare la risposta armonica, e cioe l’andamento della funzione di trasferimento, in moduloe fase, in funzione della pulsazione ω: insomma le due funzioni reali M(ω) e ϕ(ω).

Considerando, a titolo di esempio, il sistema del primo ordine con funzione di trasferimento W (s) = 1s+1 ,

per il modulo della risposta armonica si trova l’andamento nella seguente figura 2.19.Per consentire una migliore rappresentazione delle ascisse (per dilatare la zona di basse pulsazioni e contrarre

quella della alte) e per rappresentare meglio la parte di bassi valori del modulo, di norma si utilizza una scalalogaritmica per le pulsazioni, sia per il diagramma dei moduli sia per quello delle fasi. In aggiunta, il modulo eabitualmente espresso in decibel:

MdB(ω) := 20 log10(|W (ω)|). (2.283)

I due andamenti, del modulo in decibel e della fase in gradi, sono dati in forma grafica in funzione dellapulsazione. Tale coppia di diagrammi viene indicata con il termine diagrammi di Bode8 del sistema. A titolodi esempio, i diagrammi di Bode del sistema con funzione di trasferimento W (s) = 1

s+1 sono riportati nellaseguente figura 2.20.

7tale relazione e data da: H(s) = (sI − A)−1b8Hendrik Wade Bode.(Madison, 1905 – Cambridge, 1982)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ω rad/sec

Mud

ulo

rispo

sta

arm

onic

a M

(ω)

Risposta in frequenza (scala lineare)

Figura 2.19: Modulo della risposta armonica per W (s) = 1s+1 .

−40

−30

−20

−10

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Diagrammi di Bode

Frequency (rad/sec)

Figura 2.20: Diagrammi di Bode per W (s) = 1s+1 .

L’analisi dei diagrammi di Bode consente quindi di determinare in modo immediato la risposta in frequenzadi un sistema dinamico, e cioe il modo in cui un segnale con dato contenuto armonico transita attraverso unsistema.

Si ricorda, ancora una volta, come i diagrammi di Bode descrivano in modo corretto la risposta armonica in


uscita solo per sistemi con autovalori del sottosistema osservabile a parte reale negativa (i poli rendono contosolo della risposta forzata e non della risposta libera in uscita). In caso contrario, il diagramma di Bode descrivesolo una parte della risposta armonica, tralasciando termini legati ai modi naturali, che sono divergenti o talida poter generare segnali con crescita lineare o polinomiale.

2.6.1 Tracciamento dei diagrammi di Bode: esempio

I diagrammi di Bode si possono tracciare utilizzando semplici regole grafiche. Si consideri, a titolo di esempioiniziale, il sistema con funzione di trasferimento W (s) = 1

s+p , con p numero reale. Per motivi che saranno chiarinel seguito, conviene riscrivere la funzione di trasferimento nella forma di costanti di tempo:

W (s) =1

s+ p=

1/p

1 + sp

. (2.284)

Il diagramma dei moduli corrisponde quindi al grafico di9:

MdB(ω) = 20 log

(

|1/p||1 + ω

p |

)

= −20 log(|p|)− 20 log

(

(

1 +ω2

p2

)1/2)

. (2.285)

Si noti come, grazie alla presenza della funzione logaritmo, i due contributi del numeratore e del denominatore– che sono moltiplicativi nella funzione di trasferimento – siano ora additivi: possono quindi essere analizzatiseparatamente e poi sommati.

Il termine di “guadagno” 20 log(p) e una retta orizzontale, con ordinata positiva, nulla o negativa a secondache il fattore moltiplicativo positivo |p| sia, rispettivamente, maggiore, uguale o minore di uno. Nel caso inesempio, fissato p = 2, si trova il diagramma riportato in figura 2.21.

10−2

10−1

100

101

102

−7.5

−7

−6.5

−6

−5.5

−5Diagramma asintotico di Bode (moduli) − Termine guadagno

ω (rad/sec)

MdB

Figura 2.21: Diagramma di Bode dei moduli, asintotico, per un guadagno p = 2.

Il termine −20 log((1 + ω2

p2 )1/2) puo essere analizzato per valori della pulsazione ω molto piccoli o molto

grandi, rispetto a p. Nel primo caso si ottiene una funzione nulla, nel secondo caso, trascurando il termine

1, si ha −20 log

(

(

1 + ω2

p2

)1/2)

≃ −20 log(ωp ). Poiche l’asse delle ascisse e logaritmico, e quindi la variabile

indipendente ω aumenta esponenzialmente, la funzione −20 log(ωp ) risulta essere una retta con pendenza di

−20dB per ogni decade di aumento della pulsazione. Tenendo conto che tale retta assume il valore zero (indecibel) per ω = p, si puo tracciare un diagramma asintotico costituito da una spezzata: la semiretta conordinata nulla fino al valore ω = p, detto punto di rottura o anche pulsazione di rottura, e la semiretta conpendenza pari a −20dB per decade da tale valore in avanti. Il diagramma asintotico relativo (assumendo p = 2)e riportato in figura 2.22.

Il diagramma asintotico complessivo si ottiene sommando i due contributi, ottenendo il risultato riportatoin figura 2.23. Si noti che il diagramma dei moduli, dipendendo dal modulo del polo p, e lo stesso sia per polia parte negativa sia per poli a parte reale positiva.

9Nel seguito si omettera il pedice 10 nella indicazione del logaritmo


10−2

10−1

100

101

102

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0Diagramma asintotico di Bode (moduli) − Termine polo

ω (rad/sec)

MdB

Figura 2.22: Diagramma di Bode dei moduli, asintotico, per il polo 11+s/2 .

10−2

10−1

100

101

102

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5Diagramma asintotico di Bode (moduli)

ω (rad/sec)

MdB

Figura 2.23: Diagramma di Bode dei moduli, asintotico, per W (s) = 21+s/2 .


Per valutare lo scostamento tra tale diagramma asintotico (e quindi approssimato) ed il diagramma corretto,

si consideri il punto di rottura ω = p. Qui il valore esatto del diagramma, per il termine −20 log((1 + ω2

p2 )1/2),

vale MdB(p) = −20 log((1+ p2

p2 )1/2) = −20 log(

√2) ≃ −3. Il diagramma esatto del termine associato al polo nel

punto di rottura vale −3dB. Tale valore e anche l’errore massimo che si commette nel considerare il diagrammaasintotico in luogo di quello corretto.

La figura 2.24 illustra l’andamento della differenza tra diagramma asintotico e diagramma corretto in unintervallo di quattro decadi a cavallo del punto di rottura ω = p. Come si vede, i due diagrammi hanno unadifferenza apprezzabile solo da una decade prima il punto di rottura ad una decade dopo, mentre sono del tuttoidentici fuori da tale intervallo.

10−2

10−1

100

101

102

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0Diagramma asintotico di Bode (moduli) − Correzione binomio

Figura 2.24: Diagramma di Bode dei moduli, asintotico, per W (s) = 21+s/2

.

Ne segue che il diagramma esatto (corretto) puo essere ottenuto da quello asintotico con una curva diraccordo che parte da ω = 0.1p, passa per il punto di quota −3dB in corrispondenza del punto di rottura ω = pe si raccorda nuovamente al diagramma asintotico in ω = 10p. La figura 2.25 illustra il diagramma asintotico equello corretto per il sistema in esame.

10−2

10−1

100

101

102

−50

−40

−30

−20

−10

0

Figura 2.25: Diagrammi di Bode dei moduli, asintotico e corretto, per W (s) = 21+s/2

.

Il diagramma delle fasi viene tracciato in modo analogo. La proprieta di additivita vale ancora, e quindi icontributi dei singoli termini possono essere determinati separatamente e poi sommati. Il diagramma della fasidel termine di guadagno p vale 0 o, alternativamente, −180o, in funzione del segno di p.


Per il termine associato al polo si procede con l’analisi del diagramma asintotico e poi si introducono lecorrezioni opportune. La fase, al contrario del modulo, dipende dal segno del polo. Si assume nel seguito unpolo a parte reale negativa (e quindi un valore positivo per il parametro p).

La fase del termine 1 + ωp vale zero per valori della pulsazione piccoli rispetto a p, e vale novanta gradi per

valori grandi della pulsazione (rispetto a p). Poiche il termine in esame e a denominatore, il valore della fasedeve essere cambiato di segno. Ne segue che la fase di tale termine parte da un valore nullo e diminuisce fino adun valore di −90 gradi. La forma piu semplice di diagramma asintotico per la fase e costituita da una funzionegradino, con valore nullo fino al punto di rottuta ω = p e con valore pari a −90o dopo tale punto, come riportatoin figura 2.26.

10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

Figura 2.26: Diagramma di Bode delle fasi, asintotico a gradino, per W (s) = 1s+2 .

Una forma piu accurata di diagramma asintotico si basa su una curva spezzata, ma continua, con fase nullafino ad una decade prima del punto di rottura, fase pari a −90o a partire da una decade dopo il punto di rottura,e fase decrescente linearmente nelle due decadi a cavallo del punto di rottura, e con valore pari a −45o nel puntoω = p. L’andamento e illustrato in figura 2.27.

10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

Figura 2.27: Diagramma di Bode delle fasi, asintotico, per W (s) = 1s+2 .

L’andamento esatto della fase di un termine polo e riportato in figura 2.28: si noti che la fase corretta nelpunto di rottura e −45 gradi10.

2.6.2 Tracciamento dei diagrammi di Bode

Le regole utilizzate nell’esempio precedente per la costruzione dei diagrammi di Bode possono essere estese allostudio di una generica funzione di trasferimento.

In generale, un sistema dinamico espresso tramite funzione di trasferimento ha poli e zeri reali e non nulli,poli e zeri nulli, poli e zeri complessi coniugati, ed un numeratore che puo essere non monico. Una tale funzionedi trasferimento e rappresentabile nella seguente forma:

W (s) =k∏

i(s+ zi)∏

i(s2 + 2ξiωn,is+ ω2

n,i)

sq∏

i(s+ pi)∏

i(s2 + 2ξiωn,is+ ω2

n,i), (2.286)

10Infatti per ω = p parte reale e parte immaginaria del termine in esame, a denominatore, sono uguali a meno del segno.


10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

Figura 2.28: Diagrammi di Bode delle fasi, asintotico e corretto, per W (s) = 1s+2 .

dove i parametri zi e pi indicano gli zeri ed i poli reali non nulli, l’intero q indica il numero netto di poli e zerinulli, i parametri ξi e ωn,i caratterizzano le coppie di zeri complessi coniugati, i parametri ξi e ωn,i caratterizzanole coppie di poli complessi coniugati, ed il termine costante k indica il coefficiente di grado massimo del polinomioa numeratore. Le produttorie a numeratore e denominatore si intendono estese ad un numero opportuno ditermini, a seconda del sistema, che per semplicita di notazione non vengono indicati esplicitamente.

Per la costruzione dei diagrammi di Bode conviene scrivere il sistema nella forma di costanti di tempo, dettaanche forma di Bode:

W (s) =g∏

i(1 +szi)∏

i(s2

ω2n,i

+ 2 ξisωn,i

+ 1)

sq∏

i(1 +spi)∏

i(s2

ω2n,i

+ 2 ξisωn,i

+ 1), (2.287)

ove il guadagno g, che nel caso di assenza di poli e zeri nulli coincide con il guadagno in continua, vale:

g =k∏

i zi∏

i ω2n,i

∏

i pi∏

i ω2n,i

. (2.288)

Con questa rappresentazione, i vari fattori che compongono la funzione di trasferimento (eccezion fatta peril guadagno g e per eventuali poli e zeri nulli) hanno contributo nullo a basse frequenze.

Una generica funzione di trasferimento si ottiene quindi dalla combinazione moltiplicativa di quattro terminifondamentali, corrispondenti al guadagno g, ad un termine binomio per rappresentare poli e zeri reali, adun termine s per rappresentare poli o zeri nulli (nell’origine del piano complesso), e ad un termine trinomioper rappresentare poli e zeri complessi coniugati. Poiche il modulo, espresso in decibel, rende additiva talecombinazione di termini e poiche anche la fase di tali termini e additiva, il tracciamento dei diagrammi di Bodedi una funzione di trasferimento corrisponde al tracciamento dei diagrammi dei singoli termini ed alla lorosuccessiva somma, analogamente a quanto visto nell’esempio iniziale.

I quattro termini da analizzare sono quindi:

wg(s) = g, (2.289a)

w0(s) = s, (2.289b)

wb(s) = 1 +s

p, (2.289c)

wt(s) =s2

ω2n

+ 2ξs

ωn+ 1, (2.289d)

tenendo conto che, salvo il guadagno, tutti gli altri termini possono essere sia a numeratore sia a denominatore.

Diagrammi di Bode del termine wg(s) = g

Per tale termine sia il diagramma dei moduli sia il diagramma delle fasi sono costanti. Il diagramma dei modulie una retta di ordinata pari a 20 log(|g|), mentre il diagramma delle fasi vale 0o se g e positivo e −180o se g enegativo. Si vedano le due coppie di diagrammi in figura 2.29.


19

19.5

20

20.5

21

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

−1

−0.5

0

0.5

1

Pha

se (

deg)

Diagramma di Bode termine wg(s)=g, g=10

ω (rad/sec)

11

11.5

12

12.5

13

13.5

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

179

179.5

180

180.5

181

Pha

se (

deg)

Diagramma di Bode termine wg(s)=g, g=−4

ω (rad/sec)

Figura 2.29: Diagrammi di Bode del termine wg(s) = g, per g = 10 (alto) e g = −4 (basso).

Diagrammi di Bode del termine w0(s) = s

Il termine relativo ad un polo o uno zero nullo corrisponde ai diagrammi delle funzioni 20 log(ω) per il modulo earg (ω) per la fase. In considerazione della scala logaritmica per le pulsazioni il diagramma dei moduli e quindi


una retta con pendenza costante e pari a +20 decibel per decade nel caso di uno zero (termine a numeratoree quindi crescente con ω) e pari invece a −20 dB/decade nel caso di un polo nell’origine. In entrambi i casi lerette passano per il punto di ordinata 0 db per pulsazione pari a ω = 1. Si vedano le due coppie di diagrammiin figura 2.30.

−20

−10

0

10

20M

agni

tude

(dB

)

10−1

100

101

89

89.5

90

90.5

91

Pha

se (

deg)

Diagramma di Bode termine w0(s)=s, (zero)

ω (rad/sec)

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

−91

−90.5

−90

−89.5

−89

Pha

se (

deg)

Diagramma di Bode termine w0(s)=1/s, (polo)

ω (rad/sec)

Figura 2.30: Diagrammi di Bode del termine w0(s) = s (alto) e w0(s) =1s (basso) .


Diagrammi di Bode del termine binomio wb = 1 + sp

I diagrammi di tale termine, nel caso di polo positivo, sono stati analizzati con cura nell’esempio precedente. Ingenerale, si deve tener conto del fatto che tale termine puo descrivere uno zero od un polo, e in entrambi i casisia positivo sia negativo. La forma dei due diagrammi rimane invariata, salvo riflessioni rispetto all’asse delleascisse.

Nel caso di un polo p, il diagramma dei moduli ha valore iniziale nullo e decresce al crescere della pulsazione.Il diagramma delle fasi invece dipende dal segno del polo: la fase iniziale vale 0o mentre la fase finale vale −90o

per poli negativi e +90o per poli positivi.Nel caso in cui il termine wb(s) faccia riferimento ad uno zero, e quindi sia un termine a numeratore, il

diagramma dei moduli cresce al crescere della pulsazione, ed asintoticamente cresce con pendenza pari a +20dB/decade a partire dal punto di rottura: si ottiene quindi per ribaltamento del corrispondente diagramma diun polo rispetto all’asse delle ascisse. Anche in questo caso la posizione nel piano complesso dello zero non erilevante. Per quanto riguarda la fase, il diagramma parte da fase iniziale nulla e poi ci si muove verso una fasefinale pari a −90o per zeri positivi e +90o per zeri negativi (anche in questo caso con ribaltamento rispetto allaascisse del corrispondente diagramma dei poli).

Le situazioni possibili sono illustrare nelle figure 2.31 e 2.32 per il caso di un polo reale ed nelle figure 2.33e 2.34 per il caso di uno zero reale. In entrambe le figure, l’asse delle ascisse riporta le pulsazioni normalizzateal parametro p (cioe riporta la quantita ω/p, e quindi il punto di rottura vale ω/p = 1). I diagrammi deimoduli sono rappresentati nella forma asintotica e corretta. I diagrammi delle fasi sono rappresentati con dueforme approssimate e nella forma corretta per le due varianti associate ai poli, mentre nel caso degli zeri (persemplicita) si riporta solo la forma asintotica a gradino e la forma corretta.

10−2

10−1

100

101

102

−50

−40

−30

−20

−10

0

ω/|p| (rad/sec)

Mod

ulo

(dB

)

Diagrammi di Bode termine wb(s)=1+s/p, (polo positivo)

10−2

10−1

100

101

102

0

20

40

60

80

100

ω/|p| (rad/sec)

Fas

e (g

radi

)

Figura 2.31: Diagrammi di Bode del termine wb(s) = 1 + sp nel caso di un polo negativo.

Diagrammi di Bode del termine trinomio wt =s2

ω2n+ 2 ξ s

ωn+ 1,

Il polinomio wt =s2

ω2n+ 2 ξ s

ωn+1 descrive un termine trinomio ed e caratterizzato da due radici, la cui posizione

nel piano complesso, per un fissato valore del parametro ωn, detto frequenza naturale, dipende dal parametro ξ,detto smorzamento. Nelle applicazioni di interesse pratico lo smorzamento e un numero reale compreso tra zero


10−2

10−1

100

101

102

−50

−40

−30

−20

−10

0

ω/|p| (rad/sec)

Mod

ulo

(dB

)

Diagrammi di Bode termine wb(s)=1+s/p, (polo negativo)

10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω/|p| (rad/sec)

Fas

e (g

radi

)

Figura 2.32: Diagrammi di Bode del termine wb(s) = 1 + sp nel caso di un polo positivo.

10−2

10−1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

ω/|p| (rad/sec)

Mod

ulo

(dB

)

Diagrammi di Bode termine wb(s)=1+s/p, (zero negativo)

10−2

10−1

100

101

102

0

20

40

60

80

100

ω/|p| (rad/sec)

Fas

e (g

radi

)

Figura 2.33: Diagrammi di Bode del termine wb(s) = 1 + sp nel caso di un zero negativo.


10−2

10−1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

ω/|p| (rad/sec)

Mod

ulo

(dB

)

Diagrammi di Bode termine wb(s)=1+s/p, (zero positivo)

10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω/|p| (rad/sec)

Fas

e (g

radi

)

Figura 2.34: Diagrammi di Bode del termine wb(s) = 1 + sp nel caso di un zero positivo.

ed uno. Le due radici sono reali, coincidenti e pari a ωn per smorzamento di valore unitario, sono complesseconiugate e con parte reale negativa per tutti i valori ξ ∈ [0, 1). In particolare, al diminuire dello smorzamentoda uno verso zero le due radici si muovono lungo la semicirconferenza centrata nell’origine, di raggio pari a ωn

e posta a sinistra dell’asse immaginario. Per smorzamento nullo le due radici sono sull’asse immaginario nelleposizioni ±ωn.

Per ξ = 1, il termine trinomio coincide con il quadrato di un termine binomio. I diagrammi di Bode siottengono quindi sommando i diagrammi di due termini binomio identici. Se il termine descrive una coppiadi poli, il diagramma asintotico dei moduli ha un valore nullo fino al punto di rottura ω = ωn e poi decrescelinearmente con pendenza pari a −40 dB/decade. Il diagramma delle fasi invece parte da valori iniziali nulli edecresce fino al valore di −180o. I due diagrammi asintotici appena descritti vengono utilizzati come riferimentoper il termine trinomio, indipendentemente dal valore dello smorzamento. La costruzione dei due diagrammiesatti si basa su una correzione che invece dipende in modo significativo dallo smorzamento. Per quanto riguardai moduli, al ridursi dello smorzamento da uno verso zero il diagramma si riduce (rispetto a quello asintotico)via via piu lentamente, fino allo smorzamento ξ = 0.707, a partire dal quale il diagramma corretto assume,per un certo intervallo di pulsazioni, valori maggiori di zero (in dB) per tendere poi ad assestarsi, una decadedopo la pulsazione naturale, al diagramma asintotico (si veda il diagramma in alto nella figura 2.35). In questoultimo scenario il sistema e in grado di amplificare il segnale applicato in ingresso. Cio e vero anche per sistemia componenti passivi. In tal caso si parla di frequenza di risonanza11. Si noti come, nel caso di smorzamentonullo, in corrispondenza di ω = ωn il diagramma dei moduli abbia un asintoto verticale. Per completezza, illettore e invitato a rivisitare le considerazioni fatte in precedenza nella sezione 2.5.4.

In modo analogo, il diagramma asintotico della fase e via via piu simile al diagramma asintotico a gradino,al ridursi dello smorzamento. La figura 2.35 illustra tale comportamento. In tale figura, l’asse delle ascisseriporta le pulsazioni normalizzate alla pulsazione naturale wn.

Il caso in cui il termine trinomio si riferisca ad una coppia di zeri (ma sempre con smorzamento positivo) siricava dai diagramma precedenti per ribaltamento rispetto all’asse delle ascisse, come indicato in figura 2.36.

La correzione da applicare al diagramma asintotico dei moduli di un termine trinomio in funzione del

11Alcuni testi parlano di frequenza di risonanza solo per smorzamento nullo, e quindi solo nel caso di asintoto verticale


10−1

100

101

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

ω/ωn (rad/sec)

Mod

ulo

(dB

)

Diagrammi di Bode moduli − wt(s)=s2/ω

n2 + 2 ζ s /ω

n + 1, (coppia poli)

ζ=0ζ=0.1ζ=0.2ζ=0.4ζ=0.5ζ=0.6ζ=0.707ζ=0.8ζ=1

10−1

100

101

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω/ωn (rad/sec)

Fas

e (g

radi

)

Diagrammi di Bode fasi − wt(s)=s2/ω

n2 + 2 ζ s /ω


ζ=0ζ=0.1ζ=0.2ζ=0.4ζ=0.5ζ=0.6ζ=0.707ζ=0.8ζ=1

Figura 2.35: Diagrammi di Bode del termine wt(s) =s2

ω2n+ 2 ξ s

ωn+ 1 nel caso di una coppia di poli

.

parametro di smorzamento e riportata in figura 2.37.

Infine, i diagrammi relativi al caso di poli o zeri con parte reale positiva (cioe il caso di smorzamenti negativi)


10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

ω/ωn (rad/sec)

Mod

ulo

(dB

)

Diagrammi di Bode moduli − wt(s)=s2/ω

n2 + 2 ζ s /ω

n + 1, (coppia zeri)

ζ=0ζ=0.1ζ=0.2ζ=0.4ζ=0.5ζ=0.6ζ=0.707ζ=0.8ζ=1

10−1

100

101

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω/ωn (rad/sec)

Fas

e (g

radi

)

Diagrammi di Bode fasi − wt(s)=s2/ω

n2 + 2 ζ s /ω


ζ=0ζ=0.1ζ=0.2ζ=0.4ζ=0.5ζ=0.6ζ=0.707ζ=0.8ζ=1

Figura 2.36: Diagrammi di Bode del termine wt(s) =s2

ω2n+ 2 ξ s

ωn+ 1 nel caso di una coppia di zeri

.

si ottengono dai corrispondenti diagrammi a smorzamento positivo per ribaltamento del solo diagramma dellefasi. Non vengono riportati esplicitamente per il loro scarso uso.


10−1

100

101

−10

−5

0

5

10

15

20

25Diagramma di Bode (moduli) − Correzione per termine trinomio

ω/ωn (rad/sec)

MdB

ζ=0ζ=0.1ζ=0.2ζ=0.4ζ=0.5ζ=0.6ζ=0.77ζ=0.8ζ=1

Figura 2.37: Diagrammi di Bode - correzione di wt(s) =s2

ω2n+ 2 ξ s

ωn+ 1

.

Il diagramma in figura 2.38 illustra il caso di un sistema con funzione di trasferimento data da:

W (s) =1

(s2 + 1), (2.290)

e quindi caratterizzato da una frequenza di risonanza in ωn = 1, con smorzamento nullo (insomma, due polisull’asse immaginario). Come si vede, il diagramma di Bode dei moduli presenta un asintoto verticale incorrispondenza della frequenza di risonanza.

Benche in tal caso il diagramma di Bode non descriva correttamente la risposta armonica (in questa situazioneil sistema non ammette risposta permanente), pur tuttavia l’asintoto verticale indica che un segnale sinusoidalein ingresso, con pulsazione ω = 1, sarebbe riportato in uscita con ampiezza infinita. Cio e qualitativamentevicino al reale comportamento della risposta forzata, che in tal caso e caratterizzata dalla presenza di un termineseno con ampiezza a crescita lineare, a motivo della doppia coppia di poli immaginari nella espressione in Laplacedella risposta forzata (si veda la relazione (2.252)).


−40

−20

0

20

40

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

−180

−135

−90

−45

0

Mod

ulo

(dB

) (d

eg)

Diagrammi di Bode sistema con smorzamento nullo

ω/ωn (rad/sec) (rad/sec)

Figura 2.38: Diagramma di Bode per un sistema con frequenza di risonanza in ω = 1


2.7 Esercizi di riepilogo

2.7.1 Esempio: analisi di un circuito elettrico RLC

Il modello dinamico di un circuito elettrico a componenti passivi puo essere determinato facilmente seguendol’approccio gia visto nel primo capitolo. In questa sezione l’esercizio viene risolto in forma parametrica, finquando possibile, per generalita. Di norma, salvo richiesta e/o necessita diversa, esercizi di questo tipo possoessere risolti piu agevolmente sostituendo i valori numerici dei parametri.

Vin

R1 L1

R2

C1

R3

R4

C2

Figura 2.39: Circuito RLC1.

Si consideri il circuito elettrico illustrato in figura 2.39. In tal caso le equazioni costitutive dei componentidescrivono l’induttanza, le due capacita ed i vari resistori. Indicata con iL la corrente lungo l’induttanza, convC1

e vC2 le tensioni ai capi della prima e della seconda capacita, ed utilizzando analoga notazione per le altrecorrenti e tensioni nel circuito, si ha:

Ld

d tiL = vL (2.291a)

C1d

d tvC1

= iC1, C2

d

d tvC2

= iC2, (2.291b)

vRi= RiiRi

, i = 1, . . . , 4. (2.291c)

Le leggi di Kirchoof, per il sistema in esame, sono date da due equazioni sulle tensioni, relative a due maglieindipendenti, e da una equazione delle correnti, relativa alle correnti nell’induttanza, nel resistore R2 e nelresistore R3. Le equazioni relative alle correnti in componenti in serie, ed in particolare R1 ed L, R2 e C1, R3,C2 ed R4, sono omesse per semplicita. Le equazioni rilevanti,posto u = vin, sono quindi:

u = vR1+ vL + vR2

+ vC1, (2.292a)

vR2+ vC1

= vR3+ vC2

+ vR4, (2.292b)

iL = iC1+ iC2

. (2.292c)

Le variabili di stato, per un circuito elettrico a componenti passive, sono date dalle correnti lungo tutte leinduttanze e dalle tensioni ai capi dei condensatori. Nel caso in esame si hanno quindi tre variabili di stato:

x1 = iL (2.293a)

x2 = vC1(2.293b)

x3 = vC2(2.293c)

Le equazioni costitutive dei componenti con memoria, riscritte in termini di equazioni differenziali del primoordine, sono quindi:

x1 =1

LvL (2.294a)

x2 =1

C1iC1

(2.294b)

x3 =1

C2iC2

. (2.294c)


Per determinare il modello nello spazio di stato e quindi richiesta la conoscenza delle grandezze vL, iC1ed

iC2rispetto alle variabili di stato ed al segnale di ingresso. Tali relazioni possono essere ricavate utilizzando le

equazioni di equilibrio e le relazioni costitutive delle resistenze (cioe, le equazioni non ancora utilizzate).Dalle precedenti equazioni (2.292) si ricava il sistema algebrico:

u = R1x1 + vL +R2iC1+ x2, (2.295a)

R2iC1+ x2 = R3iC2

+ x3 +R4iC2, (2.295b)

iL = iC1+ iC2

(2.295c)

la cui soluzione, nelle variabili vL, iC1ed iC2

rispetto alle variabili di stato ed ingresso e data da:

vL = −R1(R2 +R3 +R4) +R2(R3 +R4)

R2 +R3 +R4x1 −

R3 +R4

R2 +R3 +R4x2 −

R2

R2 +R3 +R4x3 + u (2.296a)

iC1=

R3 +R4

R2 + R3 +R4x1 −

1

R2 +R3 +R4x2 +

1

R2 +R3 +R4x3 (2.296b)

iC2=

R2

R2 + R3 +R4x1 +

1

R2 +R3 +R4x2 −

1

R2 +R3 +R4x3. (2.296c)

Il modello dinamico del circuito elettrico in esame si ottiene combinando le equazioni (2.294) con le (2.296):

x1 = −R1(R2 +R3 +R4) +R2(R3 +R4)

L(R2 +R3 +R4)x1−

R3 +R4

L(R2 +R3 +R4)x2−

R2

L(R2 +R3 +R4)x3+

u

L(2.297a)

x2 =R3 +R4

C1(R2 +R3 +R4)x1 −

1

C1(R2 +R3 +R4)x2 +

1

C1(R2 +R3 +R4)x3 (2.297b)

x3 =R2

C2(R2 +R3 +R4)x1 +

1

C2(R2 +R3 +R4)x2 −

1

C2(R2 +R3 +R4)x3. (2.297c)

Tali equazioni vanno completate con l’equazione di uscita. Se la grandezza di interesse (cioe, l’uscita), e latensione vR4 ai capi della resistenza R4, si ha:

yR4= R4iR4

= R4

(

R2

R2 +R3 +R4x1 +

1

R2 +R3 +R4x2 −

1

R2 +R3 +R4x3

)

(2.298)

In forma matriciale il modello dinamico, sulla base delle (2.297) e della (2.298), e quindi:

x = Ax+ bu, (2.299a)

y = cx (2.299b)

con le matrici A, b e c pari a:

A =

−R1(R2 +R3 +R4) +R2(R3 +R4)

L(R2 +R3 +R4)− R3 +R4

L(R2 +R3 +R4)− R2

L(R2 +R3 +R4)x3

R3 +R4

C1(R2 +R3 +R4)− 1

C1(R2 +R3 +R4)

1

C1(R2 +R3 +R4)R2

C2(R2 +R3 +R4)

1

C2(R2 +R3 +R4)− 1

C2(R2 +R3 +R4)

(2.300a)

b =

1

L00

, c =

[

R2R4

(R2 +R3 +R4)

R4

(R2 +R3 +R4)− R4

(R2 +R3 +R4)

]

. (2.300b)

Per valori fissati dei componenti, ad esempio:

R1 = 1, R2 = 2, R3 = 1, R4 = 1 L =1

2, C1 =

1

4, C2 =

1

4(2.301)

si ottengono le seguenti matrici,

A =

−4 −1 −12 −1 12 1 −1

, b =

200

, c =

[

1

2

1

4−1

4

]

. (2.302)


Il calcolo della matrice di trasferimento puo essere condotto in modo dettagliato, esaminando la forma dellamatrice c adj (sI −A)−1 b e la forma del polinomio det(sI −A). Si trova:

c adj (sI −A) b = s(s+ 2), (2.303)

det(sI −A) = (s+ 2)3 (2.304)

e quindi, dopo aver operato la cancellazione polo-zero, si ottiene la seguente funzione di trasferimento:

wR4(s) =

s

s2 + 4s+ 4. (2.305)

Si noti, infine, come uno degli autovalori del sistema, cancellandosi con uno zero, non appare nella funzionedi trasferimento. Cio implica una “perdita di informazione” sulla struttura interna del sistema nell’uso dellafunzione di trasferimento come modello. Si vedra nel seguito che tale fenomeno e legato ad una carenza dellaproprieta strutturale di “raggiungibilita”. Approfondendo la cancellazione polo-zero, si puo notare, dal calcolodettagliato della matrice adj (sI − A) e del polinomio det(sI − A), che lo zero interessato alla cancellazioneemerge dal prodotto adj (sI − A) b, e quindi tale cancellazione dipende dal modo in cui il segnale di ingresso(il cui effetto sullo stato e legato alla matrice b) interagisce con la dinamica. Tale interazione e estremamenteimportante, e sara studiata in modo particolarmente approfondito in un capitolo successivo.

In questo caso particolare (ma il fatto non ha assolutamente validita generale) vi e anche una perdita diosservabilita. Infatti, anche dal polinomio c adj (sI − A) emerge un termine comune con il denominatore cheporta, per altra via, alla stessa cancellazione.

Si noti infine, anche la presenza di uno zero nell’origine.E interessante studiare la risposta al gradino del circuito in esame. Il calcolo della risposta forzata, condotto

nel dominio di Laplace, consente di ottenere:

Y (s) = wR4(s)

1

s=

s

s2 + 4s+ 4

1

s. (2.306)

Omettendo di semplificare il termine polo-zero comune (allo scopo di illustrare l’effetto dello zero), che derivadall’interazione ingresso-sistema, si ottiene:

Y (s) =A1

s+ 2+

A2

(s+ 2)2+

B

s, (2.307)

in cui i residui A1 ed A2, legati ai modi naturali del sistema, sono dati da:

A2 = lims→2

(s+ 2)2Y (s) = 1, (2.308)

A1 = lims→2

d

d s[1] = 0 (2.309)

Il guadagno in continua del sistema, che descrive la variazione in ampiezza del gradino, vale:

B = lims→0

sY (s) =s

(s+ 2)2|s=0 = 0. (2.310)

Tale guadagno e nullo proprio per la presenza dello zero nell’origine, il cui significato e esattamente quello dibloccare la trasmissione attraverso il sistema di un segnale con polo nullo, e cioe un segnale a gradino. Ciocorrisponde ad una proprieta generale degli zeri di una funzione di trasferimento, che vengono anche detti zeridi blocco o zeri di trasmissione.

Infine, l’analisi in frequenza del sistema consente di tracciare il diagramma dei moduli riportato nella seguentefigura 2.40. La risposta forzata in uscita per ingresso sinusoidale, di pulsazione ω1 = 1 e di pulsazione ω2 = 100,e riportata nelle successive figure 2.41 e 2.42.

Se, in alternativa alla tensione vR4si considera come funzione di uscita la tensione vC2

ai capi della secondacapacita, si ottiene la relazione:

yC2= x2, (2.311)

cui corrisponde la matrice di uscita:

c =[

0 0 1]

, (2.312)


−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

45

90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 2.40: Risposta in frequenza del circuito RLC1.

mentre le matrici A e b non vengono modificate. Procedendo come sopra per il calcolo della funzione ditrasferimento si trova:

c adj (sI −A)−1b = 2(s+ 2), (2.313)

det(sI −A) = (s+ 2)3 (2.314)


wC2(s) =

2

s2 + 4s+ 4. (2.315)

Si noti come sia ancora presente una cancellazione polo-zero, ma il sistema non abbia piu uno zero nell’origine.L’assenza dello zero nell’origine porta ad una risposta al gradino non nulla a regime.

Il modello dinamico del circuito elettrico puo essere analizzato estesamente ricorrendo ad un semplice modellodi simulazione in Matlab, utilizzando il codice riportato di seguito.

R1=1; R2=2; R3=1; R4=1; R234=(R2+R3+R4);

L=1/2; C1=1/4; C2=1/4;

A=[-(R1*R234+R2*(R3+R4))/(R234*L), -(R3+R4)/(R234*L), -R2/(R234*L);

(R3+R4)/(R234*C1), -1/(R234*C1), 1/(R234*C1);

(R2)/(R234*C2), 1/(R234*C2), -1/(R234*C2)];

b=[1/L; 0; 0]; c=[R2*R4/R234, R4/R234, -R4/R234];

sys=ss(A,b,c,0); systf=tf(sys)

zero(systf) pole(systf)

bode(systf)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Figura 2.41: Risposte forzata, permamente e transitoria per ingresso sin(t) del circuito RLC1.

om1=1; W1=(i*om1/((i*om1+2)^2)); M1=abs(W1); phi1=angle(W1);

t=0:0.1:20; s1=sin(om1*t); ys1=lsim(sys,s1,t); ys1=ys1’; yp1=M1*sin(om1*t+phi1); yt1=ys1-yp1;

plot(t,ys1,t,yp1,t,yt1);

om2=100; W2=((i*om2)/((i*om2+2)^2)); M2=abs(W2); phi2=angle(W2);

figure(2)

t2=0:0.001:0.8; s2=sin(om2*t2); ys2=lsim(sys,s2,t2); ys2=ys2’; yp2=M2*sin(om2*t2+phi2);

yt2=ys2-yp2;

plot(t2,ys2,t2,yp2,t2,yt2);


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Figura 2.42: Risposta forzata, permamente e transitoria per ingresso sin(100t) del circuito RLC1.

2.7.2 Analisi di un ulteriore circuito elettrico a componenti passivi

Si consideri il circuito elettrico illustrato in figura 2.43, il cui modello dinamico puo essere ottenuto utilizzandole equazioni di Kirkoff, analogamente a quanto gia visto in precedenti esempi.

Vin

RG

C1

C2

R1

C3

Figura 2.43: Circuito RLCNC .

Indicate con vC1, vC2

e vC3 le tensioni ai capi delle tre capacita, ed utilizzando analoga notazione per lealtre correnti e tensioni nel circuito, si ottengono le seguenti equazioni dinamiche, costitutive dei componenticon memoria:

C1d

d tvC1

= iC1, (2.316a)

C2d

d tvC2

= iC2, (2.316b)

C3d

d tvC3

= iC3, (2.316c)

e le seguenti equazioni algebriche, costitutive delle resistenze:

vRi= RiiRi

, i = 1, 2. (2.317)

Le leggi di Kirchoof, per il sistema in esame, sono date da due equazioni sulle tensioni, relative a due maglieindipendenti, e da una equazione delle correnti. Le equazioni relative alle correnti in componenti in serie, ed in


particolare C2 R2 C3, sono omesse per semplicita. Le equazioni rilevanti,posto u = Vin, sono quindi:

u = vR1+ vC1

, (2.318a)

vC1= vC2

+ vR2+ vC3

, (2.318b)

iR1= iC1

+ iC2. (2.318c)

Le variabili di stato, per un circuito elettrico a componenti passive, sono date dalle correnti lungo tutte leinduttanze e dalle tensioni ai capi dei condensatori. Nel caso in esame si hanno quindi tre variabili di stato:

x1 = vC1(2.319a)

x2 = vC2(2.319b)

x3 = vC3(2.319c)

Le equazioni costitutive dei componenti con memoria, riscritte in termini di equazioni differenziali del primoordine, sono quindi:

x1 =1

C1iC1

(2.320a)

x2 =1

C2iC2

(2.320b)

x3 =1

C3iC3

. (2.320c)

Per determinare il modello nello spazio di stato e quindi richiesta la conoscenza delle grandezze iC1, iC2

ediC3

rispetto alle variabili di stato ed al segnale di ingresso. Tali relazioni possono essere ricavate utilizzando leequazioni di equilibrio e le relazioni costitutive delle resistenze (cioe, le equazioni non ancora utilizzate).

Dalle precedenti equazioni (2.318) si ricava il sistema algebrico:

u = R1iR1+ x1, (2.321a)

x1 = x2 + x3 +R2iR2, (2.321b)

iR1= iC1

+ iC2(2.321c)

la cui soluzione, nelle variabili iC1, iC2

ed iC3rispetto alle variabili di stato ed ingresso, e data da (assumendo

componenti di valore unitario):

iC1= u− 2x1 + x2 + x3 (2.322a)

iC2= x1 − x2 − x3 (2.322b)

iC3= x1 − x2 − x3. (2.322c)

Il modello dinamico del circuito elettrico in esame si ottiene combinando le equazioni (2.320) con le (2.322):

x1 = −2x1 + x2 + x3 + u (2.323a)

x2 = x1 − x2 − x3 (2.323b)

x3 = x1 − x2 − x3. (2.323c)

Tali equazioni vanno completate con l’equazione di uscita. Se la grandezza di interesse (cioe, l’uscita), e latensione vR2 + vC3

ai capi della serie resistenza R2 e capacita C3, si ha:

y = x1 − x2 (2.324)

In forma matriciale il modello dinamico, sulla base delle (2.323) e della (2.324), e quindi:

x = Ax+ bu, (2.325a)

y = cx (2.325b)

con le matrici A, b e c pari a:

A =

−2 1 11 −1 −11 −1 −1

, b =

100

, c =[

1 −1 0]

. (2.326a)


Gli autovalori della matrice A risultano essere: λ1 = 0, λ2 = −0.58 e λ3 = −3.41, cui sono quindi associatii tre modi naturali reali:

m1(t) = e 0t = δ−1(t), (2.327a)

m2(t) = e−0.58t, (2.327b)

m3(t) = e−3.41t. (2.327c)

Il calcolo della matrice di trasferimento puo essere condotto in modo dettagliato, esaminando la forma dellamatrice c adj (sI −A)−1 b e la forma del polinomio det(sI −A). Si trova:

c adj ((sI −A)) b = s(s+ 1), (2.328)

det((sI −A)) = s(s2 + 4s+ 2) (2.329)


w(s) =s+ 1

s2 + 4s+ 2. (2.330)

Da un punto di vista meramente algebrico, si noti come, in virtu della forma delle matrici b e c del sistema, siasufficiente calcolare solo i primi due elementi della prima riga della matrice adj (sI − A) per determinare lafunzione di trasferimento. Infatti, la forma della matrice b implica che la seconda e terza riga di adj (sI−A) nonsono rilevanti (poiche vengono moltiplicate per zero), mentre la forma della matrice c implica la non rilevanzadella terza colonna di tale matrice.

Si noti come uno degli autovalori del sistema, quello nell’origine, cancellandosi con uno zero, non apparenella funzione di trasferimento. Cio implica una “perdita di informazione” sulla struttura interna del sistemanell’uso della funzione di trasferimento come modello. Si vedra nel seguito che tale fenomeno e legato, come nelcaso del precedente esercizio, ad una carenza della proprieta strutturale di “raggiungibilita”.

Approfondendo la cancellazione polo-zero, si puo notare, dal calcolo dettagliato della matrice adj (sI −A)e del polinomio det(sI − A), che lo zero interessato alla cancellazione emerge dal prodotto adj (sI − A) b, equindi tale cancellazione dipende dal modo in cui il segnale di ingresso (il cui effetto sullo stato e legata allamatrice b) interagisce con la dinamica. Cio e del tutto analogo a quanto gia visto nell’esempio riportato nellasezione precedente.

Tale interazione e estremamente importante, e sara studiata in modo particolarmente approfondito in uncapitolo successivo.

A titolo di esercizo, in questo caso si propone lo studio dell’intera matrice esponenziale. Lavorando neldominio di Laplace, verra studiata quindi l’intera matrice (sI −A)−1:

adj (sI −A) =

s2 + 2s s ss s2 + 3s+ 1 −s− 1s −s− 1 s2 + 3s+ 1

, (2.331a)

(sI −A)−1 =

s2 + 2s s ss s2 + 3s+ 1 −s− 1s −s− 1 s2 + 3s+ 1

1

s(s2 + 4s+ 2)(2.331b)

=

s+ 2

s2 + 4s+ 2

1

s2 + 4s+ 2

1

s2 + 4s+ 21

s2 + 4s+ 2

s2 + 3s+ 1

s(s2 + 4s+ 2)

−s− 1

s(s2 + 4s+ 2)1

s2 + 4s+ 2

−s− 1

s(s2 + 4s+ 2)

s2 + 3s+ 1

s(s2 + 4s+ 2)

. (2.331c)

Si noti come gli elementi relativi alla seconda e terza variabile di stato (cioe, gli elementi in posizione (2, 2),(2, 3), (3, 2) e (3, 3)) non presentino la cancellazione dell’autovalore nell’origine. Si noti che tali elementi (inbase alla considerazione riportata poco sopra) non concorrono a determinare la funzione di trasferimento.

E molto utile anche esaminare l’autovettore associato all’autovalore nullo, verificare la corrispondente soluzionenel dominio del tempo, ed utilizzare la forma di tale autovettore per dedurre indicazioni sul significato fisico delmodo naturale costante e della sua mancata presenza nel legame ingresso/uscita.

Per studiare meglio la cancellazione polo-zero (in attesa di approfondire il tema con lo studio delle proprietastrutturali) che porta alla “perdita di informazione”, per cui un autovalore non appare come polo, si puo provarea studiare l’autovettore associato all’autovalore “perso”.


Ricordando che la relazione tra una matrica A, un suo autovalore λ ed il corrispondente autovettore v eλv = Av, per il caso dell’autovalore nullo del modello in esame si trova:

Av =

−2 1 11 −1 −11 −1 −1

v1v2v3

= 0, (2.332)

la cui soluzione si trova facilmente essere v1 = 0, v2 = −v3, e quindi l’autovettore cercato e:

v =

01−1

. (2.333)

Le condizioni iniziali che eccitano solo il modo naturale costante associato a tale autovalore sono quindicaratterizzate dal fatto che il condensatore C1 e scarico, mentre i condensatori C2 e C3 sono carichi con duetensioni uguali ed opposte. In tale situazione, la caduta di tensione ai capi della resistenza di uscita e nulla.Tale condizione iniziale, se osservata solo a partire dalla funzione di uscita, e quindi del tutto indistinguibiledalla condizione iniziale nulla. Su questo aspetto si tornera con maggiore dettaglio in occasione dello studiodella proprieta strutturale di osservabilita.

Analogamente, un punto dello spazio di stato caraterizzato dalla prima componente dello stato nulla, comel’autovettore in esame, corrisponde ad un circuito equivalente del tipo in figura 2.44, da cui si evince facilmentel’ostruzione che trova il segnale di ingresso. Su questo aspetto si tornera con maggiore dettaglio in occasionedello studio della proprieta strutturale di raggiungibilita.

Vin

RG C2

R1

C3

Figura 2.44: Circuito RLCNC ridotto.

2.7.3 Esempio: analisi circuito RLC [RLC100]

Dato il seguente circuito elettrico, con R1 = α, e tutti gli altri parametri di valore unitario, a) determinare ilmodello dinamico, parametricamente rispetto al reale α, e inoltre b), fissato α = 1, tracciare i diagrammi diBode del sistema.

Modello dinamico

Il sistema, caratterizzato da tre componenti con memoria, puo essere descritto da un modello dinamico con trevariabili di stato, ed in particolare dalla caduta di tensione ai capi del condensatore e dalla corrente lungo i dueinduttori:

x1 = VC (2.334)

x2 = iL1(2.335)

x3 = iL2. (2.336)


Vin

RG C

L1

R1

L2

Ro VRo= Vout

Figura 2.45: Schematico del circuito RLC100.

Si ricava facilmente il modello differenziale:

x1 = x2 + x3 (2.337a)

x2 = −x1 − (1 + α)x2 − x3 + u (2.337b)

x3 = −x1 − x2 − 2x3 + u (2.337c)

y = x3, (2.337d)

che in forma matriciale e descritto da:

x =

0 1 1−1 −(1 + α) −1−1 −1 −2

x+

011

u (2.338a)

y =[

0 0 1]

x. (2.338b)

Per il calcolo della funzione di trasferimento si puo procedere con la formula classica:

W (s) = c(sI −A)−1b =c adj (sI −A) b

det(sI −A). (2.339)

Per il numeratore si tratta di calcolare il prodotto:

c adj (sI −A) b =[

0 0 1]

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ e3,2 e3,3

011

(2.340)

trovando:

c adj (sI −A) b = s2 + s = s(s+ 1). (2.341)

Per il denominatore si trova facilmente:

det(sI −A) = s3 + 4s2 + 5s+ 2 = (s+ 1)2(s+ 2), (2.342)

e quindi la funzione di trasferimento, operando la semplificazione del fattore comune numeratore/denominatore,e pari a:

W (s) =s(s+ 1)

(s+ 1)2(s+ 2)=

s

(s+ 1)(s+ 2). (2.343)

Tracciamento dei diagrammi di Bode

Per il tracciamento dei diagrammi di Bode si parte dalla funzione di trasferimento, gia calcolata al puntoprecedente, riscrivendola nella forma di costanti di tempo e guadagno:

W (s) =s

(s+ 1)(s+ 2)=

1

2

s

(1 + s)(1 + s/2). (2.344)


10−1

100

101

102

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40Diagramma asintotico di Bode (moduli)

rad/sec

MdB

Figura 2.46: Circuito RLC100: diagramma di Bode del termine di guadagno

10−1

100

101

102

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30


rad/sec

MdB

Figura 2.47: Circuito RLC100: diagramma di Bode asintotico del polo p1 = −1.

Si procede tracciando i diagrammi asintotici dei moduli per il termine di guadagno (pari a g = 1/2), per itermini associati ai due poli e per il termine associato allo zero nell’origine.

Il guadagno e un termine costante pari a 20 log10(1/2) = −6dB:Il contributo del primo polo, p1 = −1, e nullo fino ad una pulsazione pari a 1 rad/s (Fig. 2.47). Il contributo

del secondo polo, p2 = −2, e nullo fino ad una pulsazione pari a 2rad/s (Fig. 2.48).Infine, il contributo dello zero nell’origine e una retta con pendenza costante su tutto lo spettro e pari a

20dB/dec (Fig. 2.49).Sommando tutti i singoli diagrammi asintotici, si ottiene il diagramma asintotico complessivo (Fig. 2.50),

che si trasforma facilmente nel diagramma esatto tenendo conto delle correzioni da apportare in corrispondenzadei punti di rottura associati a ciascun polo (Fig. 2.51).

Per quanto riguarda il diagramma delle fasi, si riporta solo il diagramma corretto, ottenuto con l’utilizzo di


10−1

100

101

102

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30


rad/sec

MdB

Figura 2.48: Circuito RLC100: diagramma di Bode asintotico del polo p2 = −2.

10−1

100

101

102

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30


rad/sec

MdB

Figura 2.49: Circuito RLC100: diagramma di Bode asintotico dello zero nell’origine z1 = 0.

Matlab (Fig. 2.52). ♦


Esercizio 2.14 Si dimostri, con riferimento sia alla proprieta 2.8 di trasformazione di una derivata sia allanotazione utilizzata in tale contesto e alle relative ipotesi, che:

limt→∞

u(t)e−st = 0. (2.345)


10−1

100

101

102

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30


rad/sec

MdB

Figura 2.50: Circuito RLC100: diagramma di Bode asintotico (moduli)

10−1

100

101

102

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40Diagramma asintotico e corretto di Bode (moduli)

rad/sec

MdB

Figura 2.51: Circuito RLC100: diagramma di Bode dei moduli corretto

Esercizio 2.15 Si dimostri, con riferimento alla proprieta 2.17, la trasformata di Laplace di una funzionesinusoidale.


10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100Diagramma corretto di Bode (fasi)

rad/sec

deg

Figura 2.52: Circuito RLC100: diagramma di Bode delle fasi corretto


x =

[

0 10 0

]

x, (2.346)



x =

[

0 00 0

]

x, (2.347)


Esercizio 2.18 Calcolare la funzione trasformata di Laplace della funzione del tempo:

x(t) = e3t(t+ 1)2(δ−1(t− 2)− δ−1(t− 5)), t ∈ R,

dove δ−1(·) e la funzione a gradino unitario.

Esercizio 2.19 Data le seguenti matrici

A =

λ 1 00 λ 10 0 λ

F =

λ 1 00 λ 00 0 λ

determinare, per mezzo della trasformazione di Laplace, gli esponenziali di matrice definiti da eAt, t ∈ R+ e dae Ft, t ∈ R+.

Discutere le due funzioni matriciali trovate.



A =

λ1 1 00 λ2 10 0 λ3

determinare, per mezzo della trasformazione di Laplace, la matrice eAt, t ∈ R+.

Esercizio 2.21 Calcolare la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni:

Y1(s) =e−2s

(s+ 2)(s+ 3),

Y2(s) =2

s2(s+ 1)(s− 1),

Y3(s) =s

(s+ 6π)2.

Esercizio 2.22 Calcolare la trasformata di Laplace della seguente funzione:

x(t) =

0, t ∈ R, t < 0,

| sin(2πt6

)|, t ∈ R, 6 ≥ t ≥ 0,

0, t ∈ R, t > 6,

dove | · | indica la funzione valore assoluto. Si consiglia di disegnare la funzione, ed esprimerla poi comecombinazione lineare di funzioni trasformabili in modo semplice.

Esercizio 2.23 Per mezzo della trasformazione di Laplace, calcolare il valore numerico del seguente integrale:

∫ +∞

0

τ4e−3τdτ.

Esercizio 2.24 Calcolare la funzione antitrasformata di Laplace della seguente funzione:

X(s) =s

(s2 + 4)2.


X(s) =s

(s2 − 4)(s2 − 9).


X(s) =s

(s2 + 4)(s2 + 9).


X(s) =1

(s2 + 1)(s2 − 1).


X(s) =1

(s2 − 16)(s2 + 9).

Esercizio 2.29 Calcolare la funzione trasformata di Laplace della seguente funzione:

x(t) = e 2t(2t+ 1)(δ−1(t− 2)− δ−1(t− 4)),

dove δ−1(t) e la funzione gradino unitario.


Esercizio 2.30 Calcolare la funzione trasformata di Laplace della seguente funzione:

x(t) = e 2t(t+ 2)(δ−1(t− 1)− δ−1(t− 3)),

dove δ−1(t) e la funzione gradino unitario.

Esercizio 2.31 Determinare la trasformata di Laplace della seguente funzione

x(t) = |e 10 − e 2t|δ−1(t), t ∈ R,

dove δ−1(·) e la funzione a gradino unitario.


B =

1 0 0 04 0 0 01 0 0 41 4 0 4

determinare, per mezzo della trasformazione di Laplace, la matrice eBt, t ∈ R+.

Esercizio 2.33 Si consideri il seguente sistema di due equazioni differenziali lineari e stazionarie:

x1(t) = −x2(t)− et + 1,

x2(t) = x2(t) + et,

y(t) = x1(t) + x2(t).

Si determini, per mezzo della trasformazione di Laplace, la soluzione di tale sistema (sia nelle variabili distato che nella variabile di uscita) a partire da una condizione iniziale x(0) = (x1(0), x2(0))

T nulla.

Esercizio 2.34 Si consideri il seguente sistema di due equazioni differenziali lineari e stazionarie:

x1(t) = −x2(t),

x2(t) = x2(t),

y(t) = x1(t) + x2(t).

Si determini, per mezzo della trasformazione di Laplace, la soluzione di tale sistema (sia nelle variabili distato che nella variabile di uscita) a partire da una condizione iniziale x1(0) = 1, x2(0) = 0 ed a partire da unacondizioni iniziale x1(0) = 0, x2(0) = 1.

Esercizio 2.35 Dato il sistema lineare a tempo continuo:

x1 = x2

x2 = −p1x1 − (p1 + 1)x2 + u(t),

y(t) = 2x1,

se ne determini la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(t) e l’uscita y(t), parametricamente rispetto alparametro p1.

Si studi poi la forma della risposta nelle variabili x1(t) ed y(t) per ingresso forzante u(t) = u1(t), u1(t) =δ−1(t) e per ingresso forzante u(t) = u2(t), u2(t) = sin(6πt), al variare del parametro p1 nell’insieme dei numerireali.


x1 = x2

x2 = −p1x1 − (p1 + 1)x2 + u(t),

y(t) = x1 + x2,

se ne determini la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(t) e l’uscita y(t), al variare del parametro p1nell’insieme dei reali.



x1 = x2

x2 = −6x1 − 5x2 + u(t),

y(t) = x1,

si risolvano i seguenti problemi.

1. Determinare la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(t) e l’uscita y(t).

2. Calcolare la risposta in uscita per i seguenti segnali di ingresso, assumendo condizioni iniziali nulle:

u(t) = sin(0.1t);

u(t) = sin(t);

u(t) = sin(10t);

u(t) = 2δ1(t);

u(t) = e 2t;

u(t) = t.

3. Valutare l’esistenza della risposta permanente del sistema.

4. Calcolare, se esiste, il vettore di condizioni iniziali x1(0) = x1,0, x2(0) = x2,0 cui corrisponde una rispostacompleta coincidente con la risposta permanente, assumendo come segnale di ingresso un gradino unitario.


x1 = x2

x2 = −x1 − 2x2 + 2u(t),

y(t) = x1,

risolvere i seguenti problemi.

1. Determinare la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(t) e l’uscita y(t).

2. Calcolare la risposta in uscita per i seguenti segnali di ingresso, assumendo condizioni iniziali nulle:

u(t) = sin(0.5t);

u(t) = sin(t);

u(t) = δ2(t);

u(t) = e 4t.


4. Calcolare, se esiste, il vettore di condizioni iniziali x1(0) = x1,0, x2(0) = x2,0 cui corrisponde una rispostacompleta coincidente con la risposta permanente, assumendo come segnale di ingresso una rampa conpendenza unitaria.

Capitolo 3: Analisi sistemi LTDS [Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 3-128

Capitolo 3

Analisi di sistemi lineari stazionari atempo discreto

3.1 Introduzione

In questo capitolo vengono presentati strumenti per l’analisi del comportamento nel tempo di sistemi dinamicilineari, stazionari, a tempo discreto (LSTD).

Dopo aver introdotto la rappresentazione esplicita e la trasformata Zeta, si affronta il tema dell’analisimodale, del comportamento ingresso-uscita e della risposta forzata. Il capitolo si conclude con lo studio dellarisposta permamente e con esempi ed esercizi.

3.2 Rappresentazione esplicita per sistemi LTDS

La classe di sistemi a tempo discreto considerata in queste note e costituita dai sistemi lineari, stazionari, adimensione finita e causali, rappresentabili per mezzo di equazioni alle differenze finite della seguente forma:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), x ∈ Rn, u ∈ R

m, k ∈ Z (3.1a)

y(k) = Cx(k) +Du(k), y ∈ Rp (3.1b)

in cui A, B, C e D sono matrici ad elementi reali di dimensioni compatibili con il vettore di stato x, il vettoredelle sequenze di ingresso u ed il vettore delle sequenze di uscita y.

Nel seguito un sistema del tipo precedente verra sinteticamente indicato con la notazione Σ(A,B,C,D),mentre le equazioni alle differenze finite verranno indicate anche con il termine rappresentazione implicita delsistema.

Lo studio del comportamento dei sistemi dinamici a tempo discreto puo essere condotto analizzando leproprieta della soluzione dell’equazione alle differenze finite corrispondente. In particolare, il comportamentodel vettore di stato x(k) e del vettore di uscita y(k) puo essere descritto tramite la rappresentazione esplicita,cioe tramite la soluzione dell’equazione alle differenze finite (3.1) e dell’equazione algebrica (3.1b). Nel casogenerale tale rappresentazione esplicita e data, formalmente, dalle due funzioni seguenti:

x(k) = x(k, k0, x0, u[k0,k]) = x(k, k0, x0, u(·)) (3.2a)

y(k) = y(k, k0, x0, u[k0,k]) = y(k, k0, x0, u(·)). (3.2b)

La funzione x(k, k0, x0, u[k0,k]), per semplicita indicata con la notazione x(k, k0, x0, u(·)) e la rappresentazioneesplicita nello stato, e definisce il valore dello stato all’istante k, a partire dalla condizione iniziale x0 all’istante k0sotto l’effetto della sequenza di ingresso u(·), ristretta all’intervallo temporale [k0, k]

1. La funzione y(k, k0, x0, u(·))e la rappresentazione esplicita in uscita, a partire dalla condizione iniziale x0 all’istante k0 sotto l’effetto dellasequenza di ingresso u[k0,k].

Nel caso dei sistemi a tempo discreto la forma della rappresentazione esplicita, cioe della soluzione dell’equazionealle differenze, puo essere ricavata per semplice ragionamento induttivo. Si consideri inizialmente il caso di un

1La notazione s[k1,k2] indica la porzione di seguenza s relativa all’intervallo [k1, k2].


sistema omogeneo, cioe senza segnale di ingresso, caratterizzato dalla condizione iniziale x(0) = x0. In tal caso,limitatamente alla dinamica dello stato ed assumendo nullo l’istante iniziale, il sistema e descritto dall’equazione:

x(k + 1) = Ax(k), (3.3)

da cui, per induzione:

x(1) = Ax(0) (3.4a)

x(2) = Ax(1) = A2x0 (3.4b)

x(3) = Ax(2) = A3x0 (3.4c)

...

x(k) = Ax(k − 1) = Akx0. (3.4d)

La soluzione nelle variabili di stato del sistema dinamico omogeneo (3.3), ovvero la risposta libera nello stato, apartire dalla condizione iniziale x0 all’instante iniziale k0 = 0, assume quindi la forma:

x(k, 0, x0, 0) = Akx0. (3.5)

La matrice Ak verra detta nel seguito matrice esponenziale a tempo discreto, brevemente matrice esponenzialediscreta. E detta anche matrice di transizione dello stato a tempo discreto.

Nel caso generale di sistema forzato, descritto quindi dalla rappresentazione implicita:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) (3.6)

procedendo ancora per induzione si trova:

x(1) = Ax0 +Bu(0) (3.7a)

x(2) = Ax(1) +Bu(1)

= A2x0 +ABu(0) +Bu(1)

= A2x0 +

1∑

i=0

A2−1−iBu(i) (3.7b)

x(3) = Ax(2) +Bu(2)

= A3x0 +A2Bu(0) +ABu(1) +Bu(2)

= A3x0 +2∑

i=0

A3−1−iBu(i) (3.7c)

...

x(k) = Ax(k − 1) + Bu(k − 1)

= Akx0 +Ak−1Bu(0) + · · ·+ABu(k − 2) +Bu(k − 1)

= Akx0 +

k−1∑

i=0

Ak−1−iBu(i), (3.7d)

e quindi la soluzione del sistema dinamico (3.6) nello stato, ovvero la risposta completa nello stato, a partiredalla condizione iniziale x0 all’instante iniziale k0 = 0, sotto l’azione della sequenza di ingresso u(·), assume laforma:

x(k, 0, x0, u(·)) = Akx0 +

k−1∑

i=0

Ak−1−iBu(i). (3.8)

La sommatoria∑k−1

i=0 Ak−1−iBu(i) nell’equazione (3.8) e l’equivalente a tempo discreto dell’integrale diconvoluzione, ed e chiamata convoluzione discreta.


3.2.1 Risposta libera e risposta forzata

Si noti che la risposta completa nello stato e lineare sia rispetto alla condizione iniziale, sia rispetto alla sequenzadi ingresso. In virtu di questa linearita per la risposta completa vale il ben noto principio di sovrapposizione deglieffetti: la risposta completa alla condizione iniziale x0 ed alla sequenza di ingresso u(·) puo essere scompostanel contributo della risposta libera xℓ)(·) e della risposta forzata xf (·):

x(k) = xf (k) + xℓ(k), (3.9a)

x(k) = x(k, 0, x0, u(·)) = Akx0 +

k∑

i=0

Ak−1−iBu(i) (3.9b)

xf (k) = x(k, 0, 0, u(·)) =k∑

i=0

Ak−1−iBu(i) (3.9c)

xℓ(k) = x(k, 0, x0, 0) = Akx0. (3.9d)

Si noti come la risposta libera nello stato xℓ(·) descrive solo l’effetto della condizione iniziale del sistema, inassenza di ingresso, mentre la risposta forzata nello stato xf (·) descrive solo l’effetto della sequenza di ingresso,a partire da condizioni iniziali nulle.

Le considerazione relative all’evoluzione dello stato possono essere estese facilmente al caso dell’uscita,tenendo conto del fatto che il legame uscita-stato e statico:

y(k) = Cx(k) +Du(k). (3.10)

La risposta completa in uscita e data quindi da:

y(k) = y(k, 0, x0, u(·)) = CAkx0 +k−1∑

i=0

CAk−1−iBu(i) +Du(k), (3.11)

ed analogamente per la risposta libera in uscita yℓ(·) e la risposta forzata in uscita yf (·):

yℓ(k) = y(k, 0, x0, 0) = CAkx0 (3.12a)

yf(k) = y(k, 0, 0, u(·)) =k−1∑

i=0

CAk−1−iBu(i) +Du(k). (3.12b)


3.3 La trasformata Z

Lo studio dei sistemi lineari stazionari a tempo discreto, ed in particolare lo studio dei legami ingresso-uscitadi tali sistemi, e di solito condotto facendo uso delle strumento formale-simbolico della trasformata Z.

In queste note la trasformata Z viene presentata in modo estremamente sintetico ed operativo. Per tutti gliaspetti formali e di esistenza della trasformata si rimanda a testi specifici.

Si consideri una sequenza f : Z+ → C, f(k) = fk, k = 0, 1, 2, . . .. La trasformata Z e un operatoredallo spazio di tali sequenze allo spazio di funzioni di variabile complessa, ed associa ad ogni sequenza f(·) unafunzione, indicata (impropriamente) con F (z) = Z[f(k)], e definita dalla serie:

F (z) :=

∞∑

k=0

f(k)z−k, (3.13)

ammesso che tale serie converga. Tenendo conto del fatto che F (z) e definita a partire da una serie in z−1,la convergenza sara ottenuta all’esterno di un cerchio centrato nel’origine del piano complesso e di raggio Rsufficientemente grande. Il valore di tale raggio e detto raggio di convergenza della trasformata U(z), e dipendedalla specifica sequenza considerata. La regione del piano complesso esterna al cerchio di raggio R centratonell’origine e detta regione di convergenza o dominio di convergenza.

Ad esempio, si consideri la funzione (a tempo discreto) impulso unitario, definito da:

δ(k) =

1 k = 00 k 6= 0

(3.14)

La trasformata Z di u(k) = δ(k) e data da:

U(z) = Z[u(k)] = 1, (3.15)

infatti, dalla definizione, segue immediatamente:

U(z) = u(0) + u(1)z−1 + u(2)z−2 + · · · = u(0) = 1. (3.16)

Da quanto precede, segue facilmente che il raggio di convergenza e R = 0.Nota la trasformata Z di una sequenza, sia essa X(z), la sua rappresentazione nel dominio del tempo puo

essere ottenuta tramite la anti-trasformata Z, o trasformata inversa, definita dal seguente integrale di inversione:

x(k) = Z−1 [X(z)] =1

2π

∫

Γ

zk−1X(z)dz, ∀k ∈ Z+, (3.17)

dove l’integrale di linea e calcolato lungo una circonferenza Γ interna alla regione di convergenza e con centronell’origine del piano z.

L’uso della trasformata Z, analogamente a quanto visto per la trasformata di Laplace, e reso particolarmenteagevole da alcune proprieta fondamentali, che consentono di ricavare la trasformata della maggior parte deisegnali di interesse a partire da quella di pochi segnali notevoli (si veda le seguente tabella 3.1).

3.3.1 Proprieta della trasformata Zeta

Le seguenti proprieta della trasformata Zeta sono di fondamentale importanza.

Proprieta 3.1 (Proprieta di unicita) Data una funzione olomorfa U(z), definita nella regione di piano com-plesso esterna ad un cerchio di raggio ρ, esiste ed e unica una funzione x(k), k ∈ Z+, che soddisfa la condizione:

U(z) = Z[x(k)], (3.18)

e che puo essere calcolata per mezzo dell’integrale (3.17), con Γ cerchio di raggio maggiore di ρ.

Proprieta 3.2 (Linearita) Siano u(k) e y(k), k ∈ Z+, due sequenze temporali, con trasformata Zeta U(z) edY (z), rispettivamente. Allora, vale la seguente proprieta di linearita:

Z[c1u(k) + c2y(k)] = c1U(z) + c2Y (z), ∀c1, c2 ∈ R. (3.19)

⊓⊔


Analogamente a quanto gia visto nel caso dei sistemi a tempo continuo, le due proprieta di unicita e linearitasono di fondamentale importanza concettuale, e senza di loro la trasformata Zeta non sarebbe di alcun interessepratico. Le sequenti proprieta hanno invece un significato operativo: descrivono le situazioni specifiche nellequali la trasformata riveste interesse e le corrispondenti forme di impiego.

Proprieta 3.3 (Ritardo (Scorrimento a destra)) Siano u(k) ed U(z) una sequenza temporale e la suatrasformata. Allora, dato un intero h > 0, la funzione traslata nel tempo u(k − h) ha trasformata:

Z[u(k − h)] = z−hU(z). (3.20)

Dimostrazione.

Z[u(k − h)] =

∞∑

k=0

u(k − h)z−t =

∞∑

k=−h

u(k)z−(k+h) = z−h∞∑

k=−h

u(k)z−k = z−h∞∑

k=0

u(k)z−k = z−hU(z).

⊓⊔

Proprieta 3.4 (Anticipo (Scorrimento a sinistra)) Siano u(k) ed U(z) una sequenza temporale e la suatrasformata. Allora, dato un intero h > 0, la funzione traslata nel tempo a sinistra (anticipata) u(k + h) hatrasformata:

Z[u(k + h)] = zh

[

U(z)−h−1∑

k=0

u(k)z−t

]

. (3.21)

Nel caso particolarmente importante in cui lo scorrimento e di un solo passo, si ha:

Z[x(k + 1)] = zU(z)− zu(0). (3.22)

Dimostrazione. La trasformata di interesse e data da:

Z [x(k + h)] =

∞∑

t=0

x(k + h)z−t =

∞∑

k=h

x(k)z−(k−h) = zh∞∑

k=h

x(k)z−k

= zh∞∑

k=h

x(k)z−k ± zhh−1∑

k=0

x(k)z−k = zh∞∑

k=0

x(k)z−k − zhh−1∑

k=0

x(k)z−k = zhX(z)− zhh−1∑

k=0

x(k)z−k

⊓⊔

Proprieta 3.5 (Traslazione nel dominio di z (traslazione complessa)) Siano u(k), k ∈ Z+, ed U(z) unsegnale del tempo e la sua trasformata. Allora, la funzione aku(k) ha trasformata pari a:

Z[aku(k)] = U(z

a). (3.23)

⊓⊔

Proprieta 3.6 (Convoluzione) Siano u(k) ed y(k) due sequenze del tempo, k ∈ Z+, U(z) ed Y (z) le lorotrasformate. Allora, la convoluzione delle due sequenze, definita da:

u(k) ∗ y(k) :=k∑

τ=0

u(k − τ)y(τ) =

k∑

τ=0

u(τ)y(k − τ) (3.24)

ha trasformata pari a:Z [u(k) ∗ y(k)] = U(z)Y (z). (3.25)

⊓⊔

Proprieta 3.7 (Differenziazione rispetto a z) Siano u(k), k ∈ Z, ed U(z) un segnale del tempo e la suatrasformata. Allora, la funzione ku(k) ha trasformata Zeta pari a:

Z [ku(k)] = −zd

dzU(z). (3.26)

⊓⊔


3.3.2 Trasformata Zeta di segnali notevoli

Si danno ora le trasformate di alcuni segnali elementari, di interesse nello studio di sistemi dinamici.

Proprieta 3.8 (Gradino unitario) Sia δ−1(k), k ∈ Z la funzione gradino unitario:

δ−1(k) =

0 ∈ Z, < 01 k ∈ Z, k ≥ 0

, (3.27)

la sua trasformata Zeta e data da:

Z[δ−1(k)] =z

(z − 1). (3.28)

Dimostrazione In questo caso la serie formale che definisce la trasformata Zeta diviene:

∞∑

k=0

u(k)z−k =

∞∑

k=0

z−k, (3.29)

e tale serie converge, per tutti i valori z con |z| > 1, ed ha come somma:

1

1− z−1=

z

z − 1. (3.30)

⊓⊔

Proprieta 3.9 (Rampa unitaria) Sia δ−2(k) una rampa con pendenza unitaria:

δ−2(k) =

0 k ∈ Z, k < 0k k ∈ Z, k ≥ 0

, (3.31)


Z [δ−2(k)] =z

(z − 1)2. (3.32)

Dimostrazione Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di un gradino, applicando la proprieta (3.7) didifferenziazione rispetto a z. ⊓⊔

Proprieta 3.10 (Segnale esponenziale) Sia u(k) un segnale esponenziale (a tempo discreto) con costantea:

u(k) =

0 k ∈ Z, k < 0ak k ∈ Z, k ≥ 0

, (3.33)


Z[akδ−1(k)] =z

z − a. (3.34)

Dimostrazione Il risultato si puo dimostrare a partire dalla trasformata di un gradino, tenendo conto dellaproprieta 3.5 di traslazione nel dominio di z. ⊓⊔

Proprieta 3.11 (Segnale esponenziale-rampa) Sia u(k) il prodotto di un esponenziale per una rampa:

u(k) =

0 k ∈ Z, k < 0kak k ∈ Z, k ≥ 0

, (3.35)


Z[kak] =az

(z − a)2. (3.36)

Dimostrazione Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di un gradino, applicando la proprieta (3.7) didifferenziazione rispetto a z. ⊓⊔

A scopo esemplificativo, la tabella 3.1 raccoglie le trasformate dirette ed inverse di alcune funzioni di usocomune. Di norma, tali trasformate si ottengono facilmente a partire da quelle riportate sopra, tramite leproprieta descritte in precedenza.


3.3.3 Alcuni teoremi

Nello studio dei sistemi dinamici sono utili alcuni teoremi sui legami tra i valori limite di un segnale deltempo e della corrispondente trasformata Zeta.

Teorema 3.1 (Valore finale) Sia u(k), k ∈ Z+, una funzione del tempo, con trasformata U(z). Allora, illimite per k che tende ad infinito di tale funzione, se esiste ed e finito, e dato da:

limk→∞

u(k) = limz→1+

z − 1

zU(z). (3.37)

Si noti che il teorema e applicabile solo se il raggio di convergenza e minore di uno, cioe solo se il cerchio unitarioe tutto interno alla regione di convergenza.

Teorema 3.2 (Valore iniziale) Sia u(k), k ∈ Z+, una funzione del tempo, con trasformata U(z). Allora ilvalore iniziale della sequenza, u(0), e dato da:

u(0) = lim|z|→∞

U(z). (3.38)

(3.39)

3.3.4 Esponenziale di matrice e matrice di trasferimento per sistemi LSTD

Si consideri il sistema dinamico:

x(k + 1) = Ax(k), x(0) = x0, k ∈ Z+ (3.40)

E noto che la soluzione di tale equazione omogenea alle differenze finite, cioe la risposta nello stato del sistemaalla data condizione iniziale, la risposta libera nello stato, e descritta dall’esponenziale di matrice (a tempodiscreto):

x(k) = Akx0, k ∈ Z+. (3.41)

Per il calcolo di tale esponenziale di matrice si puo far uso della trasformata Zeta. Infatti, per la proprietadella trasformata di una funzione traslata nel tempo, il sistema precedente, nel dominio della variabile z, puoessere scritto come:

zX(z)− zx0 = AX(z), (3.42)

da cui segue facilmente:

(zI −A)X(z) = zx0. (3.43)

Nel campo razionale (e non, si badi bene, nel campo dei reali o dei complessi), la matrice (zI − A) e nonsingolare, infatti il suo determinante e il polinomio caratteristico del sistema, per cui l’equazione precedente puoessere risolta rispetto alla trasformata dello stato, trovando:

X(z) = z(zI −A)−1x0, (3.44)

da cui, antitrasformando, segue:

x(k) = Z−1[

z(zI −A)−1]

x0, (3.45)

e quindi, dal confronto con (3.41), segue:

Ak = Z−1[

z(zI −A)−1]

. (3.46)

Per quanto riguarda invece l’analisi di un sistema lineare a tempo discreto, il metodo della trasformata Zetaconsente di determinare in modo semplice il legame ingresso-uscita, e cioe la matrice di trasferimento, di talesistema. Si consideri allora il sistema:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), x ∈ Rn, u ∈ R

m, k ∈ Z+ (3.47)

y(k) = Cx(k) +Du(k), y ∈ Rp. (3.48)


Nel dominio della variabile z il sistema e quindi descritto da:

zX(z)− zx0 = AX(z) +BU(z) (3.49)

Y (z) = CX(z) +DU(z), (3.50)

e quindi, tenendo conto della non-singolarita della matrice (zI −A) nel campo delle funzioni razionali, si trova:

X(z) = (zI −A)−1BU(z) + z(zI −A)−1x0, (3.51a)

Y (z) = C(zI −A)−1BU(z) +DU(z) + zC(zI −A)−1x0. (3.51b)

Le due equazioni (3.51) descrivono completamente il sistema. La (3.51a) descrive l’effetto delle condizioniiniziali e dell’ingresso sullo stato, mentre la seconda descrive il legame tra le stesse grandezze e la funzione diuscita.

I termini delle (3.51) che descrivono l’effetto delle condizioni iniziali sullo stato e sull’uscita sono detterisposte libere, nello stato e nell’uscita, rispettivamente:

Xℓ(z) = z(zI −A)−1x0, (3.52)

Yℓ(z) = zC(zI −A)−1x0 (3.53)

mentre i termini che descrivono l’effetto del segnale (vettoriale) di ingresso sullo stato e sull’uscita sono detterisposte forzate, nello stato e nell’uscita, rispettivamente:

Xf (z) = (zI −A)−1BU(z), (3.54)

Yf (z) = C(zI −A)−1BU(z) +DU(z). (3.55)

Infine, la matrice di funzioni razionali

W (z) = C(zI −A)−1B +D, (3.56)

che descrive completamente il legame tra il segnale di ingresso e quello di uscita (nel caso di condizioni inizialinulle), e detta matrice di trasferimento del sistema. Nel caso in cui sia il segnale di ingresso che quello di uscitasiano scalari, e cioe nel caso m = 1 e p = 1, si parla di funzione di trasferimento.

3.3.5 Antitrasformata di funzioni razionali proprie

Il legame ingresso-uscita di un sistema lineare stazionario a tempo discreto e rappresentabile con una matricedi funzioni razionali proprie nella variabile z. Tenendo conto della forma della trasformata di segnali esponenzialie polinomiali, anche l’uscita di un sistema lineare, in risposta a segnali di questo tipo, e descritta, nel dominiodi z, da una funzione razionale. E quindi di notevole importanza vedere come calcolare la trasformata inversadi una data funzione razionale Y (z). Si procede esattamente come nel caso dei sistemi a tempo continuo, salvo

l’opportunita di lavorare con la funzione Y (z) :=1

zY (z). Si noti che la funzione Y (z) e propria, o strettamente

propria, e quindi la funzione Y (z) e sempre strettamente propria.Si consideri allora la seguente funzione Y (z), propria e con denominatore monico:

Y (z) =βnz

n + βn−1zn−1 + · · ·+ β1z + β0

zn + αn−1zn−1 + · · ·+ α1z + α0, (3.57)

e si assuma, per semplicita, che le radici del denominatore siano tutte distinte (e complesse coniugate a coppia,se non reali), e non sia presente un polo nell’origine (perche introdotto artificialmente nel seguito), cioe:

zn + αn−1zn−1 + · · ·+ α1z + α0 =

n∏

i=1

(z − pi), pi 6= pj , i 6= j, pi 6= 0. (3.58)

Per ben noti risultati sulle funzioni razionali, la funzione Y (z) =1

zY (z), che e sempre strettamente propria,

puo essere scomposta in frazioni parziali:

Y (z) =A0

z+

A1

z − p1+

A2

z − p2+ · · ·+ An

z − pn, (3.59)


con A0 = limz→0 zY (z) = limz→0 Y (z) ed inoltre Ai = limz→pi(z − pi)Y (z) = limz→pi

(z − pi)

zY (z).

A partire dalla scomposizione in frazioni parziali (3.59), la funzione originale Y (z) puo essere riscritta come:

Y (z) = A0 +A1z

z − p1+A2

z

z − p2+ · · ·+An

z

z − pn, (3.60)

e quindi, tenendo conto della proprieta 3.2 di linearita e delle trasformate di segnali notevoli, si vede immedi-atamente che il segnale y(k) e dato da:

y(k) = A0δ(k) +A1pk1 +A2p

k2 + · · ·+Anp

kn. (3.61)

Nel caso in cui alcuni poli del sistema abbiano molteplicita maggiore di uno, il procedimento e analogo, salvola forma della espansione in frazioni parziali. In questo caso, possono essere presenti un numero qualsiasi di polinell’origine. Sia allora Y (z) una generica funzione razionale propria,

Y (z) =βnz

n + βn−1zn−1 + · · ·+ β1z + β0

zn + αn−1zn−1 + · · ·+ α1z + α0. (3.62)

e si consideri la funzione Y (z) =1

zY (z), che e strettamente propria. Tale funzione puo essere espansa in frazioni

parziali nella forma:

Y (z) =r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(z − pi)j, (3.63)

dove r indica il numero di poli distinti della Y (z), compreso il polo nell’origine, sicuramente presente, qi indicala molteplicita del polo pi, ed il generico residuo Ai,j e calcolato come:

Ai,j = limz→pi

1

(qi − j)!

dqi−j

dzqi−j

[

(z − pi)qiW (z)

]

= limz→pi

1

(qi − j)!

dqi−j

dzqi−j

[

(z − pi)qi

zW (z)

]

.

(3.64)

In tal caso, tenendo conto delle varie proprieta della trasformata Zeta, ed assumendo che p1 indica il polonell’origine (p1 = 0), si ha:

y(k) = Z−1 [Y (z)] =

q1∑

j=1

A1,jδ(k − j) +

r∑

i=2

qi∑

j=1

Ai,j

(

kj

)

pik−j . (3.65)

Un modo alternativo per tenere conto di possibili poli nell’origine nella funzione razionale da trattare consistenel notare che un fattore zν a denominatore corrisponde ad un ritardo di ν passi della corrispondente funzione deltempo. Si possono quindi trascurare tali poli nulli, calcolare la trasformata inversa della funzione Y (z) = zνY (z),e poi traslare a destra (ritardare) di ν passi il segnale cosı ottenuto.


Funzione del tempo (sequenza) Trasformata Zeta

δ(k) (impulso unitario) 1

δ−1(k) (gradino unitario)z

(z − 1)

kδ−1(k) (rampa unitaria)z

(z − 1)2

δ−1(k − a) (gradino unitario con inizio in k = a) z−a z

(z − 1)

ak (potenza)z

z − a

kak (potenza-polinomio)az

(z − a)2

sin(kωT ) (sinusoide)z sin(ωT )

z2 − 2z cos(ωT ) + 1

cos(kωT ) (cosinusoide)z[z − cos(ωT )]

z2 − 2z cos(ωT ) + 1

ak−h

(

kh

)

(esponenziale-fattore binomio)z

(z − a)h+1

u(k − h) z−hU(z)

u(k + h) zhU(z)− zh∑h−1

t=0 u(k)z−k

aku(k) U( za )

u(k) ∗ y(k) U(z)Y (z)

ku(k) −zd

dzU(z)

Tabella 3.1: Trasformate ed antitrasformate Zeta di uso comune


3.3.6 Esercizi risolti

Esercizio 3.1 Calcolare la trasformate z delle due funzioni seguenti:

x(k) = 3k(

k + 12

)

(δ−1(k − 2)− δ−1(k − 5)), k ∈ Z

x(k) = 2k(

k + 23

)

(δ−1(k − 1)− δ−1(k − 3)), k ∈ Z,

dove

(

k + hk

)

, con h e k positivi, k < t+ h, e definito nel modo seguente:

(

k + hk

)

=

0, k ∈ Z, k < k − h,(k + h)!

(k + h− k)!k!, k ∈ Z, k ≥ k − h.

ed inoltre δ−1(·) e la funzione gradino unitario.

Soluzione Per risolvere l’esercizio conviene scrivere le funzioni di interesse come somma di segnali con trasfor-mata nota, eventualmente traslati nel tempo. In questo caso la presenza dei due gradini unitari traslati sug-gerisce di costruire opportune funzioni del tempo traslate allo stesso modo. Nel seguito si risolvere l’eserciziosolo relativamente alla prima funzione, lasciando la seconda al “lettore”.

Conviene cominciare scrivendo in modo esplicito il termine binomio:(

k + 12

)

=(k + 1)!

(k − 1)! 2!=

(k + 1)k(k − 1)!

(k − 1)! 2!, k ≥ 1,

=(k + 1)t

2.

La funzione di interesse puo quindi essere riscritta, per la parte relativa a k ≥ 1, come:

x(k) = 3k(k + 1)k

2(δ−1(k − 2)− δ−1(k − 5)) = x2(k)− x5(k),

x2(k) := 3k(k + 1)k

2δ−1(k − 2),

x5(k) := 3k(k + 1)k

2δ−1(k − 5).

Si scriva ora la funzione x2(k) sotto forma di funzione del tempo traslata di due passi:

x2(k) = 3k(k + 1)k

2δ−1(k − 2) = 323(k−2) [(k − 2) + 3][(k − 2) + 2]

2δ−1(k − 2)

= 323(k−2) [(k − 2)2 + 5(k − 2) + 6]

2δ−1(k − 2)

=32

23(k−2)[(k − 2)2 + 5(k − 2) + 6]δ−1(k − 2)

e quindi tale funzione e interpretabile come combinazione lineare delle funzioni k23k, k3k e 3k, traslate di duepassi. Si devono quindi determinare le seguenti trasformate:

Z[

k23k]

=3z(z + 3)

(z − 3)3,

Z[

k3k]

=3z

(z − 3)2,

Z[

3k]

=z

(z − 3).

La trasformata del termine k23k si puo ottenere dalla proprieta di differenziazione rispetto a z:

Z[

k23k]

= −zd

dzZ[

k3k]

= −zd

dz

[

3z

(z − 3)2

]

=3z(z + 3)

(z − 3)3.


Sulla base delle identita precedenti, la trasformata della funzione x2(k), tenendo conto del ritardo di duepassi che la caratterizza, e pari a:

X2(z) =32

2

[

z−2 3z(z + 3)

(z − 3)3+ 5z−2 3z

(z − 3)2+ 6z−2 z

(z − 3)

]

,

=32

2

[

3(z + 3)

z(z − 3)3+

15

z(z − 3)2+

6

z(z − 3)

]

.

Per determinare la trasformata della funzione x5(k) si procede in modo analogo. Si scriva la funzione x5(k)sotto forma di funzione del tempo traslata di cinque passi:

x5(k) = 3k(k + 1)k

2δ−1(k − 5) = 353(k−5) [(k − 5) + 6][(k − 5) + 5]

2δ−1(k − 5)

=35

23(k−5)[(k − 5)2 + 11(k − 5) + 30]δ−1(k − 5)

e quindi anche questa funzione e interpretabile come combinazione lineare delle funzioni k23k, k3k e 3k, traslatedi cinque passi. Sulla base delle trasformate calcolate in precedenza, la funzione X5(z) e pari a:

X5(z) =35

2

[

z−5 3z(z + 3)

(z − 3)3+ 11z−5 3z

(z − 3)2+ 30z−5 z

(z − 3)

]

,

=35

2

[

3(z + 3)

z−4(z − 3)3+

33

z−4(z − 3)2+

30

z−4(z − 3)

]

.

Infine, la trasformata della funzione x(k) e data da:

X(z) = X2(z) +X5(z)

=32

2

[

3(z + 3)

z(z − 3)3+

15

z(z − 3)2+

6

z(z − 3)

]

+

35

2

[

3(z + 3)

z−4(z − 3)3+

33

z−4(z − 3)2+

30

z−4(z − 3)

]

.

♦

Esercizio 3.2 Date le matrici:

A =

2 1 00 2 10 0 2

, B =

λ 1 00 λ 10 0 λ

, F =

λ 1 00 λ 00 0 λ

,

calcolare gli esponenziali di matrice (a tempo discreto) Ak, k ∈ Z+, Bk, k ∈ Z+ e F k, k ∈ Z+, per mezzo dellatrasformata z. Commentare il risultato, in termini di presenza di termini polinomiale-esponenziale nel risultato.

Soluzione Si tratta di determinare l’esponenziale (a tempo discreto) relativa alla matrice:

A =

2 1 00 2 10 0 2

.

utilizzando la relazione Ak = Z−1[z(zI−A)−1]. Punto di partenza e quindi il calcolo della matrice (zI −A)−1,data da:

(zI −A)−1 =adj (zI −A)

det(zI −A), (zI −A) =

z − 2 −1 00 z − 2 −10 0 z − 2

.

Per quanto riguarda il determinante, si trova facilmente:

det(zI −A) = (z − 2)3,


mentre per l’aggiunta:

complementi algebrici =

(z − 2)2 0 0(z − 2) (z − 2)2 0

1 (z − 2) (z − 2)2

,

aggiunta =

(z − 2)2

(z − 2) 10 (z − 2)2 (z − 2)0 0 (z − 2)2

,

e quindi la trasformata zeta dell’esponenziale di matrice e pari a:

z(zI −A)−1 =

z

(z − 2)

z

(z − 2)2z

(z − 2)3

0z

(z − 2)

z

(z − 2)2

0 0z

(z − 2)

.

Ricordando che Z[

a(k−h)

(

kh

)]

=z

(z − a)h+1si trova facilmente, per la trasformata dei vari elementi della

matrice:

Z−1

[

z

z − 2

]

= (2)k,

Z−1

[

z

(z − 2)2

]

= (2)(k−1)

(

k1

)

,

Z−1

[

z

(z − 2)3

]

= (2)(k−2)

(

k2

)

.

Complessivamente quindi l’esponenziale di matrice a tempo discreto cercata e data da:

Ak =

(2)k (2)(k−1)

(

k1

)

(2)(k−2)

(

k2

)

0 (2)k (2)(k−1)

(

k1

)

0 0 (2)k

.

La soluzione relativamente alle matrici B ed F e lasciata per ulteriore esercizio, che non presenta difficolta,alla luce di quanto gia risolto. ♦

Esercizio 3.3 Dato il sistema dinamico a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni alle differenze finite:

x1(k + 1) = x2(k),

x2(k + 1) =1

4x1(k) + u(k),

y(k) = x1(k),

si determini:

1. la sua funzione di trasferimento;

2. l’esponenziale di matrice soluzione dell’equazione alle differenze;

3. la risposta libera nello stato e in uscita alle condizioni iniziali x1(0) = 1, x2(0) = 1;

4. la risposta forzata in uscita per un segnale di ingresso u(k) = 2δ−1(k);

5. le condizioni iniziali a partire dalle quali la risposta completa nell’uscita per un ingresso a gradino unitarioe costante per ogni istante di tempo (cioe, le condizioni iniziali per le quali la risposta completa al gradinocoincide con la corrispondente risposta permanente).


Soluzione Ci si limita a risolvere esplicitamente solo il punto 5, relativo alla determinazione di opportunecondizioni iniziali. Per ottenere questo risultato tuttavia sara necessario risolvere, di fatto, anche alcuni deglialtri punti.

La risposta completa in uscita del sistema in esame, riscritto nella forma:

x(k + 1) = Ax(k) + bu(k),

y(k) = cx(k),

con

A =

[

0 11/4 0

]

, b =

[

01

]

, c =[

1 0]

, (3.66)

ha una trasformata zeta pari a:

Y (z) = c(zI −A)−1bU(z) + zc(zI −A)−1x0,

dove x0 = (x1,0, x2,0)T indica la generica condizione iniziale. Si vede facilmente che il determinante ∆ e l’inversa

della matrice (zI − F )−1 sono pari a:

∆ = z2 − 1

4, (zI −A)−1 =

1

∆

[

z 114 z

]

.

La funzione di trasferimento del sistema in esame e data da:

W (z) = c(zI −A)−1b =1

∆

[

1 0]

[

z 114 z

] [

01

]

=1

z2 − 1

4

(si noti che il sistema di interesse e in forma canonica di controllore, e quindi la sua funzione di trasferimentosi puo calcolare in modo immediato senza passare per il prodotto c(zI −A)−1b).

Considerando un gradino in ingresso, con trasformata pari az

z − 1, la funzione Y (z) vale:

Y (z) =z

(z − 1)(z2 − 14 )

+z2x1,0 + zx2,0

(z2 − 14 )

.

Espandendo in frazioni parziali si trova:

Y (z) = Az

(z − 1)+B

z

(z − 12 )

+ Cz

(z + 12 )

con i parametri A, B e C dati da:

A =z − 1

zY (z)|z=1 =

1

(z2 − 14 )

|z=1 =4

3,

B =z − 1

2

zY (z)|z= 1

2=

1 + (z − 1)(zx1,0 + x2,0)

(z − 1)(z + 12 )

|z=1/2 = −2 +1

2x1,0 + x2,0,

C =z + 1

2

zY (z)|z=− 1

2=

1+ (z − 1)(zx1,0 + x2,0)

(z − 1)(z − 12 )

|z=−1/2 =2

3+

1

2x1,0 − x2,0.

Ne segue quindi che la risposta completa, nel dominio del tempo, e data da:

y(k) = Aδ−1(k) +B

(−1

2

)k

+ C

(

1

2

)k

, k ≥ 0,

e quindi si ottiene una risposta costante per tutti gli istanti, cioe si ottiene fin dall’istante iniziale la rispostapermanente, se le costanti B e C sono nulle, cioe se valgono le:

−2 +1

2x1,0 + x2,0 = 0,

2

3+

1

2x1,0 − x2,0 = 0,


la cui soluzione e data da:

x1,0 =4

3, x2,0 =

4

3.

Con queste condizioni iniziali la risposta completa del sistema nella funzione di uscita e quindi:

y(k) =4

3δ−1(k), k ≥ 0,

cioe:

(y(0), y(1), y(2), y(3), . . .) = (4

3,4

3,4

3,4

3, . . .).

♦

Esercizio 3.4 Trovare la soluzione, a partire della condizioni iniziali X(0) = 1, x(1) = e (e numero di Nepero),della seguente equazione non lineare alle differenze finite:

x(n+ 2) = x(n+ 1)3x(n)4, n ∈ Z+,

utilizzando il metodo della trasformata z.

Soluzione Per trovare la soluzione dell’equazione alle differenze finite

x(n+ 2) = x(n+ 1)3x(n)4, n ∈ Z+,

conviene innanzitutto rimuove, attraverso un opportuno cambio di coordinate, i termini non lineari (qualorapossibile). In questo caso, notando che i termini non lineari sono prodotto di potenze, si puo provare applicandola funzione logaritmo ai due lati dell’equazione. Si trova:

ln (x(n+ 2)) = 3 ln (x(n+ 1)) + 4 ln (x(n)) ,

da cui, operando il cambio di variabili y(n) = ln(x(n)), si trova:

y(n+ 2) = 3y(n+ 1) + 4y(n).

Insomma, il sistema “appariva” non lineare perche descritto in un sistema di coordinate “non idoneo”. Si notiche, date le condizioni iniziali, la sequenza x(·) assume sempre valori positivi (e reali), e quindi la trasformazioneproposta e biunivoca.

Utilizzando la proprieta di anticipo nel tempo, l’equazione alle differenze finite di interesse puo essere riscrittacome:

z2Y (z)− z2(y(0) + z−1y(1)) = 3(zY (z)− zy(0)) + 4Y (z),

da cui:Y (z)

(

z2 − 3z − 4)

= (z2 − 3z)y(0) + zy(1),

e quindi:

Y (z) =z2 − 3z

(z2 − 3z − 4)y(0) +

z

(z2 − 3z − 4)y(1).

La trasformata inversa della Y (z) determinata sopra, per le condizioni iniziali date, risolve il problema nellavariabile trasformata. Si tratta poi di utilizzare la funzione esponenziale per trovare la soluzione nella variabilex originale. Si noti ora che le condizioni iniziali date corrispondono, nella nuova variabile, a:

y(0) = ln(x(0)) = ln(1) = 0, y(1) = ln(x(1)) = ln(e) = 1

e quindi e sufficiente determinare la trasformata inversa del solo secondo termine (diviso per z). Notando che ipoli del sistema sono p1 = 4 e p2 = −1, si trova:

z

z(z2 − 3z − 4)=

1

(z2 − 3z − 4)=

A1

(z − 4)+

A2

(z + 1),

con

A1 =(z − 4)

(z2 − 3z − 4)|z=4 =

1

z + 1|z=4 =

1

5, A2 =

(z + 1)

(z2 − 3z − 4)|z=−1 =

1

z − 4|z=−1 = −1

5.


La funzione del tempo y(k) si ottiene quindi calcolando la trasformata inversa della funzione:

Y (z) =z

5(z − 4)− z

5(z + 1),

vale:

y(k) = Z−1 [Y (z)] =1

54k − 1

5(−1)k,

ed ovviamente soddisfa alle condizioni iniziali date. Infine, la soluzione nella variabile originale x(k) vale:

x(k) = e y(k) = e

(4k − (−1)k)

5 .

♦


3.4 Analisi modale per sistemi LSTD: approccio nel dominio deltempo

In questa sezione verranno studiate le proprieta di maggiore interesse dell’esponenziale matriciale a tempodiscreto, seguendo un approccio nel dominio del tempo, del tutto analogo a quanto visto per i sistemi a tempocontinuo.

Nella prossima sezione verra presentato un approccio basato sulla trasformata Zeta.Il risultato fondamentale della sezione e sintetizzato dal seguente teorema, che descrive la totalita dei modi

naturali che compogono la risposta libera di un sistema lineare, stazionario, a tempo discreto. A differenza diquanto visto nel caso dei sistemi LSTC2, qui gli autovalori complessi verranno descritti con la notazione modulo(indicato con σ) e fase (indicata conω): λ ∈ C ⇒ λ = σe ω.

Teorema 3.3 (Modi naturali di un sistema LSTD) Sia dato il sistema lineare stazionario a tempo dis-creto, omogeneo:

x(k + 1) = Ax, x(0) = x0, x ∈ Rn, k ∈ Z, (3.67)


Allora si ha che:

• ad ogni autovalore λi ∈ R sono associate le seguenti µi funzioni reali:

– λi ∈ R, µi = 1, ⇒ mi(k) = λik ;

– λi ∈ R, µi = νi, ⇒ mi,j(k) = λik, j = 1, · · · , µi;

– λi ∈ R, µi > νi, ⇒ mi,1(k) = λik−1, mi,2(k) = kλi

k, mi,3(k) = · · · ;

• ad ogni coppia di autovalori complessi coniugati (λi, λ∗i ) = σie

±ωi sono associate le seguenti µi coppie difunzioni reali:

– λi ∈ C, µi = 1, ⇒ mi,c(k) = σk cos(ωk), mi,s(k) = σk sin(ωk) ;

– λi ∈ C, µi = νi, ⇒ mi,c,j(k) = σk cos(ωk), mi,s,j(k) = σk sin(ωk), j = 1, · · · , µi ;

– λi ∈ C, µi > νi, ⇒ mi,c,1(k) = σk sin(ωk), mi,s,1(k) = σk sin(ωk), mi,c,2(k) = kσk−1 sin(ωk),mi,s,2(k) = kσk−1 sin(ωk), mi,c,3(k) = ..., mi,c,3(k) = .....

Dal teorema precedente emergono alcune considerazioni, ancora del tutto analoghe alle corrispondenti atempo continuo.

Commento 3.1

• Il modo naturale base per un sistema LSTD e una funzione esponenziale a tempo discreto con parametropari all’autovalore associato. Cio vale sia per un autovalore reale semplice (cioe con molteplicita algebricaunitaria), sia per una coppia di autovalori complessi coniugati semplici.

• Se tutti gli autovalori sono reali, ed inoltre semplici (cioe µi = 1, ∀i) o con molteplicita algebriche egeometriche uguali (cioe µi = νi, ∀i), i modi naturali sono costituiti solo da funzioni esponenziali reali.

• Se tutti gli autovalori sono complessi ed inoltre semplici (cioe µi = 1, ∀i) o con molteplicita algebrichee geometriche uguali (cioe µi = νi, ∀i), i modi naturali sono costituiti solo da prodotti tra funzioniesponenziali reali e funzioni sinusoidali e cosinusoidali.

• Se anche un solo autovalore ha molteplicite algebrica strettamente maggiore della molteplicita geometrica,compaiono una o piu funzioni polinomiali del tempo a moltiplicare i modi naturali base (il terzo caso diciascuno dei due scenari citati nel teorema). In particolare, se le due molteplicita sono divese comparecertamente il termine polinomiale di grado uno.

2Si noti come nel caso dei sistemi a tempo discreto si sia scelto di indicare con il simbolo σ il modulo dell’autovalore complesso,e non la sua parte reale, come nel caso a tempo continuo. Analogamente, il simbolo ω indica ora la fase e non la parte immaginariadi un autovalore. Il motivo di questa diversa notazione apparira chiaro dalla dipendenza dei modi dai parametri σ ed ω e dallacaratterizzazione di convergenza.


• Nei casi in cui, per uno o piu autovalori λi, si abbia µi > νi, il numero ed il grado delle funzioni polinomialiche appaiono dipende da ulteriori considerazioni (sulla molteplicita del corrispondente autovalore comeradice del polinomio minimo) che esulano dagli scopi di queste note.

I modi naturali del tipo λik e del tipo kλi

k, associate ad autvalori reali, sono dette funzioni aperiodiche. Imodi naturali associati ad autovalori complessi coniugati, del tipo σi

k cos(ωik), σik sin(ωik), e le corrispondenti

moltiplicate per polinoni del tempo, sono dette funzioni pseudoperiodiche. Nel caso particolare di autovaloriimmaginari puri e coniugati, con molteplicita uguali, i modi naturali diventano funzioni periodiche: cos(ωik) esin(ωik).

Il teorema 3.3 verra discusso in dettaglio nelle successive sottosezioni, con un approccio analogo a quelloseguito nel caso dei sistemi LSTC.

3.4.1 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori reali

Si consideri inizialmente il caso di un sistema scalare, cioe con spazio di stato di dimensione unitaria. In talcaso la matrice A diviene uno scalare, A = a, a ∈ R, e quindi il sistema dinamico e la risposta libera nello statosono descritti, rispettivamente, dall’equazione e dalla successione seguenti:

x(k + 1) = ax(k) (3.68)

x(k) = akx0, k ≥ 0, x(0) = x0 (3.69)

La successione ak rappresenta il modo naturale del sistema in esame.

La soluzione del caso vettoriale e immediata se la matrice dinamicaA e diagonale: A = diag λ1, λ2, · · · , λn.In questo caso il sistema dinamico e descritto dall’equazione:

x(k + 1) =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

x(k). (3.70)

Si noti che, poiche la matrice e diagonale, gli elementi λi sono anche gli autovalori della matrice stessa. Per ilcalcolo della risposta libera nello stato si trova facilmente:

x(k) =

λk1 0 · · · 00 λk

2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λk

n

x0, (3.71)

e cioe la collezione di sistemi scalari

x1(k) = λk1 x1,0 (3.72)

x2(k) = λk2 x2,0 (3.73)

...

xn(k) = λkn xn,0. (3.74)

Si noti che la forma della risposta libera, per ciascuna componente, dipende dal modo naturale relativo,mentre la corrispondente ampiezza dipende dalla rispettiva condizione iniziale. Ad esempio, se la condizioneiniziale e pari al vettore e1 (cioe, la prima colonna della matrice identita), la risposta libera nello stato saranulla per tutte le componenti dello stato, salvo la prima, il cui andamento sara descritto dalla sequenza x1(k) =λk1x1,0 = λk

1 , k ≥ 0.L’esponenziale matriciale a tempo discreto del sistema in esame e dato da:

Ak =

λk1 0 · · · 00 λk

2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λk

n

. (3.75)


Le successioni temporali λki , i = 1, 2, . . . , n, che descrivono la soluzione del sistema, sono associate agli

autovalori del sistema e sono dette modi naturali del sistema Σ(A).Si noti che non sono state poste ipotesi sugli autovalori del sistema. In particolare, alcuni autovalori (od

anche tutti) possono essere coincidenti.

Si consideri ora il caso di un sistema descritto da una matrice dinamica A non diagonale, ma diagonalizzabile.Ricordando le relazioni (2.36) e (2.19) (che, si noti bene, descrivono proprieta della matrice A e non del sistemadinamico associato), e ricordando l’invarianza degli autovalori rispetto a trasformazioni di similarita, si trova,per l’esponenziale di matrice nelle coordinate originali:

Ak = (TΛT−1)k (3.76)

= TΛkT−1 (3.77)

= T

λk1 0 · · · 00 λk

2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λk

n

T−1. (3.78)

L’esponenziale di matrice a tempo discreto e quindi composto da combinazioni lineari delle sequenze λki , i =

1, 2, · · · , n, e cioe da combinazioni lineari dei modi naturali del sistema.

3.4.2 Il caso di sistema diagonalizzabile, con autovalori complessi

L’analisi condotta finora, basata sull’uso di una matrice diagonale, non e utilizzabile se il sistema ammetteautovalori complessi (ovviamente, complessi coniugati a coppie). In tal caso infatti vi sono un’infinita di con-dizioni iniziali cui corrispondono risposte libere nello stato caratterizzate da funzioni a valori complessi. Cionon e ammissibile, poiche i sistemi dinamici di interesse in queste note sono descrizioni di processi reali, e quindinon rappresentabili con grandezze complesse. Per ovviare a cio, si introduce la forma canonica reale.

Si consideri per semplicita un sistema planare, cioe un sistema con spazio di stato di dimensione due, descrittoda una matrice dinamica Ap, con autovalori complessi coniugati λ e λ∗, cioe (λ, λ∗) = σe±ω.

In questo caso, con opportuan scelta dei nuovi vettori di base, si ottiene la matrice dinamica nella formaseguente:

Λp = T−1ApT = σ

[

cos(ω) sin(ω)− sin(ω) cos(ω)

]

, (3.79)

detta forma canonica reale a tempo discreto. E facile calcolare in forma chiusa l’esponenziale di matrice a tempodiscreto in questo caso, trovando:

Λkp = σk

[

cos(ωk) sin(ωk)− sin(ωk) cos(ωk)

]

= σkΩ(k), (3.80)

ove Ω(k) indica la matrice delle componenti periodiche a tempo discreto:

Ω(k) =

[


]

. (3.81)

Le funzioni σk cos(ωk) e σk sin(ωk) sono i modi naturali (reali) del sistema con autovalori complessi coniugatiλ = σe ω e λ∗ = σe−ω.

La risposta libera nello stato del sistema planare in esame, nelle nuove coordinate e a partire dalla condizioneiniziale x(0), e data da:

x(k) = σk

[


]

x(0) = σkΩ(k)x(0), (3.82)

ed e facile vedere come non sia possibile eccitare in modo indipendente i due modi: nel caso di sistema conautovalori complessi coniugati, la risposta libera nello stato contiene sempre almeno due modi distinti. Ovvia-mente, la stessa considerazione puo essere estesa anche al sistema planare nelle coordinate originali, poiche lamatrice di trasformazione di coordinate e ad elementi reali.

Si consideri ora il caso di un sistema dinamico di dimensione n, con matrice dinamica A diagonalizzabile.Si assuma, senza perdita di generalita, che i primi nr autovalori λi, i = 1, 2, · · · , nr, siano reali, ed i rimanenti


n − nr autovalori siano costituiti da nc coppie complesse coniugate, n − nr = 2nc. Siano vi, i = 1, 2, · · · , nr,gli autovettori associati agli autovalori reali, e (wi, w

∗i ), wi = wR,i + wI,i, i = 1, 2, · · · , nc, le coppie di autovet-

tori associati agli autovalori complessi. Scelte come nuove coordinate gli autovettori reali e le parti reali edimmaginarie degli autovettori complessi, la nuova matrice di cambio di coordinate e data da:

T =[

v1 v2 · · · vnrwR,1 wI,1 wR,2 wI,2 · · · wR,c wI,nc

]

. (3.83)

Nelle nuove coordinate la matrice dinamica e esprimibile nella seguente forma diagonale a blocchi:

ΛR =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λnr

. . .

0. . .

. . .

0. . .

Λp,1 0 · · · 00 Λp,2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Λp,nc

, (3.84)

in cui i termini Λp,i, i = 1, 2, · · · , nc rappresentano matrici di dimensione due della forma:

Λp,i = σi ·[

cos(ωi) sin(ωi)− sin(ωi) cos(ωi)

]

. (3.85)

Tenendo conto del fatto che la potenza k-esima di una matrice diagonale a blocchi e ancora diagonalea blocchi, e facile trovare la seguente forma per la matrice di transizione del sistema dinamico, nelle nuovecoordinate:

ΛkR =

λk1 0 · · · 00 λk

2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λk

nr

. . .

0. . .

. . .

0. . .

Λkp,1 0 · · · 00 Λk

p,2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Λk

p,nc

, (3.86)

ove Λkp,i indica la matrice di risposta libera nello stato di un sistema planare:

Λkp,i = σk

i

[

cos(ωik) sin(ωik)− sin(ωik) cos(ωik)

]

= σki Ωi(k). (3.87)

La risposta libera nello stato in coordinate originali e quindi:

Ak = TΛkRT

−1 (3.88)

e quindi e costituita da combinazioni lineari dei modi naturali del sistema, dati dalle successioni λk, σ cos(ωk)e σ sin(ωk).

3.4.3 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori reali

L’analisi dei modi naturali ed il calcolo della risposta nello stato per sistemi con matrice dinamica non diag-onalizzabile e basata sulla forma canonica di Jordan, gia introdotta nel caso di sistemi LSTC: una strutturadiagonale a blocchi, con blocchi sulla diagonali costituiti da miniblocchi di Jordan. Un miniblocco di Jordan Jλdi dimensione r associato all’autovalore reale λ:

Jλ =

λ 1 0 · · · 0 00 λ 1 · · · 0 0...

......

......

0 0 0 · · · λ 10 0 0 · · · 0 λ

, (3.89)


ha una matrice esponenziale a tempo discreto dato dalla seguente funzione matriciale del tempo:

Jkλ =

λk

(

k1

)

λk−1 · · ·(

kr − 1

)

λk−(r−1)

0 λk · · ·(

kr − 2

)

λk−(r−2)

......

. . ....

0 0 · · · λk

. (3.90)

Le successioni λk,

(

k1

)

λk−1, · · · ,(

kr − 1

)

λk−(r−1) sono i modi naturali generati da un miniblocco di

Jordan di dimensione r associato all’autovalore reale λ.

La caratterizzazione dei modi naturali e legata ancora al modulo dell’autovalore: si hanno modi convergentinel caso di autovalori con modulo minore di uno e modi divergenti nel caso di autovalori con modulo maggioredi uno. Nel caso di un autovalore reale di modulo unitario, si tratta da valutare la dimensione del miniblocco

associato. Il modo naturale

(

k1

)

λk−1 per autovalore di modulo unitario, diviene la successione k(sign(λ))k−1,

e quindi e una funzione crescente del tempo. Analogamente per tutti i modi di ordine superiore, cioe del tipo

(e tutti i modi del tipo

(

kr − j

)

λk−(r−j), con 0 < j < r ed autovalore reale di modulo unitario. In tal caso,

e cioe per miniblocchi di dimensione maggiore di uno associati ad autovalori (reali) a modulo unitario, i modinaturali sono divergenti.

3.4.4 Il caso di sistema non diagonalizzabile, con autovalori complessi

Infine, per completare l’analisi dei possibili modi naturali di un sistema dinamico a tempo discreto, si deveanalizzare il caso di matrice non diagonalizzabile con autovalori complessi di molteplicita maggiore di uno. Ladeterminazione dei modi naturali passa per la generalizzazione della forma canonica reale, del tipo:

JR =

Λp I2... 0

0 Λp

... 0...

.... . .

...0 0 · · · Λp

, (3.91)

cui sono associati modi naturali del tipo

(

kr − 1

)

σk−(r−1) cos(ωk) e

(

kr − 1

)

σk−(r−1) sin(ωk). Analoga-

mente a quanto visto nel caso immediatamente precedente, questi modi sono: convergenti per autovalori conmodulo minore di uno; divergenti per autovalori con modulo maggiore di uno; limitati per modulo unitario e di-mensione del miniblocco piu grande uguale ad uno; divergenti per modulo unitario e dimensione del minibloccopiu grande maggiore di uno.

Nel caso in cui il sistema abbia solo autovalori complessi, ma con molteplicita arbitraria, l’esponenziale dimatrice a tempo discreto, in coordinate reali, assume quindi la forma:

JRk = σk

i

Ω(k)

(

k1

)

Ω(k) · · ·(

kr − 1

)

Ω(k)

0 Ω(k) · · ·(

kr − 2

)

Ω(k)

......

. . ....

0 0 · · · Ω(k)

. (3.92)

3.4.5 Il caso generale

Si consideri ora il caso generale, di un sistema con nR autovalori reali, alcuni di loro eventualmente coincidenti,ed nC autovalori complessi coniugati, alcuni di loro eventualmente coincidenti, sia gli autovalori reali sia quelli


complessi con molteplicita arbitraria. Per tale sistema, nelle coordinate di Jordan, si ha un’esponenziale dimatrice a tempo discreto della seguente forma, che contiene tutti i modi naturali del sistema stesso:

Jk =

Jλ1

k 0 · · · 0 0 0 · · · 0

0 Jλ2

k · · · 0 0 0 · · · 0...

.... . .

... 0 0 · · · 0

0 0 · · · JλnR

k 0 0 · · · 0

0 0 · · · 0 JR1

k 0 · · · 0

0 0 · · · 0 0 JR2

k · · · 0

0 0 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · 0 0 0 · · · JRnC

k

. (3.93)

in cui le sottomatrici Jλi

k, i = 1, 2, · · · , nR, sono matrici (di dimensione opportuna) del tipo in equazione (3.90),mentre le sottomatrici JRi

k, i = 1, 2, · · · , nC , sono matrici (di dimensione opportuna) del tipo in equazione(3.92).

L’esponenziale di matrice nelle coordinate originali si ottiene per trasformazione di similarita di tale matrice,e contiene tutti e soli i modi naturali presenti nella (3.93).

3.4.6 Caratterizzazione dei modi naturali rispetto alla convergenza

Al variare della posizione degli autovalori nel piano complesso, i modi naturali di un sistema a tempo discreto,analogamente a quanto gia visto per i sistemi a tempo continuo, sono caratterizzati da proprieta di convergenzadi varia natura. Nel caso di un autovalore reale, cui corrisponde un modo naturale λk, il modo ha un compor-tamento decrescente al crescere del tempo, ed il modo e detto convergente, se l’autovalore ha modulo minoredi uno (cioe, se l’autovalore e interno al cerchio unitario); il modo naturale e detto divergente se l’autovalorecorrispondente ha modulo maggiore di uno (cioe, se l’autovalore e esterno al cerchio unitario); infine, il modonaturale e detto limitato se l’autovalore corrispondente ha modulo unitario (cioe, se l’autovalore e esattamentesul cerchio unitario). Si noti che nel caso di autovalore reale a modulo unitario, il modo naturale corrispondentepuo essere costante, pari ad 1, oppure oscillare tra 1 e −1.

0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Modulo = 0.7

Tempo0 5

0

5

10

15

20

25

30

35Modulo = 2

Tempo0 5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Modulo = 1

Tempo0 5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Modulo = −1

Tempo

Figura 3.1: Modi naturali associati ad autovalori reali per sistemi a tempo discreto

La caratterizzazione dei modi naturali e del tutto analoga nel caso di autovalori complessi, con la soladifferenza di un comportamento oscillatorio, dovuti ai termini sin(ωk) e cos(ωk) che compone i modi naturali:i modi naturali sono convergenti se gli autovalori hanno modulo minore di uno; i modi naturali sono divergentise gli autovalori hanno modulo maggiore di uno, i modi naturali sono limitati se gli autovalori hanno modulounitario. Si noti che, nel caso di autovalori complessi, modulo unitario corrisponde a modi naturali oscillatoripuri, cioe del tipo sin(ωk) e cos(ωk).


0 10 20−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Modulo = 0.7

Tempo0 10 20

−100

−50

0

50

100

150

200Modulo = 2

Tempo0 10 20

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Modulo = 1

Tempo

Figura 3.2: Modi naturali associati ad autovalori complessi per sistemi a tempo discreto

Analogamente, nel caso di autovalori non semplici, la caratterizzazione rispetto alla convergenza dei modinaturali e legata ancora al modulo dell’autovalore: si hanno modi convergenti nel caso di autovalori con modulominore di uno e modi divergenti nel caso di autovalori con modulo maggiore di uno. Nel caso di un autovaloricon modulo unitario, la convergenza dei modi e legata alla molteplicita nel polinomio minimo 3. Ad esempio, ilmodo naturale k(1)k, per autovalore unitario, diviene la funzione k, e quindi e una funzione crescente del tempo.Analogamente per tutti i modi di ordine superiore, cioe del tipo kj(1)k, con 0 < j < r e modulo unitario. Intal caso, e cioe per autovalori con unitario di molteplicita non unitaria nel polinomio minimo4, i modi naturalisono divergenti.

3.4.7 Riepilogo

Analogamente a quanto gia affermato per i sistemi lineari a tempo continuo, una matrice dinamica A potraavere autovalori sia reali che complessi, ciascuno con molteplicita unitaria o maggiore. Nel calcolo della suamatrice esponenziale a tempo discreto saranno quindi coinvolti alcuni, od al limite tutti, i casi particolari vistiin precedenza. Tuttavia l’esponenziale di matrice sara sempre basata su una combinazione lineare di modinaturali, per la cui determinazione e sufficiente un’analisi completa degli autovalori della matrice A. Di normainsomma (ad esempio, se l’interesse e limitato allo caratterizzazione dei modi rispetto alla convergenza), non erichiesto il calcolo esplicito dell’esponenziale matriciale (e delle relative matrici di similarita nel caso geometricoo dell’esponenziale nelle coordinate Zeta nel secondo caso), ma e invece sufficiente valutare in modo completogli autovalori della matrice A, in coordinate originali.

Anche in ordine alla possibilita di eccitare modi naturali semplici (cioe, modi naturali esponenziali discretipuri), valgono considerazioni del tutte analoghe a quelle condotte nel caso dei sistemi a tempo continuo. Inparticolare, un modo naturale semplice viene eccitato come unico modo se e solo se lo stato iniziale del sistemae allineato con l’autovettore corrispondente.

I possibili modi naturali di un sistema a tempo discreto sono riepilogati nella prima colonna della tabella3.2, mentre le loro proprieta di convergenza sono riepilogate nelle successive colonne della stessa tabella.

3.4.8 Eccitazione di singoli modi

Per studiare la dipendenza della risposta libera nello stato dalle condizioni iniziali, e per studiare la possibilitadi eccitare singoli modi naturali con opportune condizioni iniziali, si puo procedere esattamente come nel casodei sistemi a tempo continuo.

Anche in questo caso si giunge alla conclusione che una condizione iniziale x0 eccita un solo modo naturale see allineata secondo il corrispondente autovettore e viceversa. Analogamente, una data condizione iniziale eccita

3che coincide con la dimensione del miniblocco associato4cioe per miniblocchi di dimensione maggiore di uno associati ad autovalori (reali) nulli


Modo Caratterizzazione

naturale convergente limitato divergente

λk, λ ∈ R |λ| < 1 |λ| = 1 |λ| > 1

(

tj

)

λk−j , λ ∈ R |λ| < 1 |λ| = 1 [|λ| = 1, j > 1], [|λ| > 1]

σk cos(ωk), λ ∈ C σ < 1 σ = 1 σ > 1

σk sin(ωk), λ ∈ C σ < 1 σ = 1 σ > 1

(

tj

)

σk−j cos(ωk), λ ∈ C σ < 1 σ = 1 [σ = 1, j > 1], [σ > 1]

(

tj

)

σk−j sin(ωk), λ ∈ C σ < 1 σ = 1 [σ = 1, j > 1], [σ > 1]

Tabella 3.2: Modi naturali di un sistema a tempo discreto: condizioni di convergenza

tutti i modi naturali associati agli autovettori che concorrono alla rappresentazione della condizione inizialestessa.


3.5 Analisi modale per sistemi LSTD: approccio nel dominio Zeta

In questa sezione viene presentato un approccio nel dominio Zeta per l’analisi modale di un sistema linearea tempo discreto. La trattazione e del tutto parallela a quanto gia proposto per i sistemi a tempo continuo.

Si consideri il sistema dinamico:

x(k + 1) = Ax(k), x(0) = x0. (3.94)

E noto (si veda la sezione 3.2) che la soluzione di tale equazione omogenea alle differenze finite, cioe larisposta libera nello stato, e descritta dall’esponenziale di matrice a tempo discreto:

x(k) = Akx0, k ∈ Z+. (3.95)

Per il calcolo dell’esponenziale di matrice a tempo discreto Ak si puo ricorrere alla trasformata Zeta. Infatti,per la proprieta della trasformata di una funzione traslata (anticipata) nel tempo, il sistema precedente, neldominio Zeta, puo essere scritto come:

zX(z)− zx(0) = AX(z), (3.96)

da cui segue facilmente:(zI −A)X(z) = zx(0), (3.97)

e quindiX(z) = z(zI −A)−1x(0), (3.98)

da cui, per confronto con l’equazione (3.95), segue immediatamente:

Ak = Z−1

z(zI −A)−1

(3.99)

Per analizzare le proprieta dell’esponenziale di matrice tempo discreto, conviene ricordare la seguente espres-sione:

z(zI −A)−1 = zadj (zI −A)

det(zI −A). (3.100)

da cui seguono facilmente, come gia visto anche per i sistemi a tempo continuo, le seguenti proprieta, chesaranno utili per trattare in modo completo l’analisi modale:

Proprieta 3.12 Gli elementi della matrice z(zI − A)−1 sono funzioni razionali proprie, poiche adj (zI − A)e una matrice polinomiale.

Proprieta 3.13 Le radici del denominatore di ciascun elemento della matrice (zI−A)−1 sono un sottoinsiemedelle radici del polinomio det(zI −A), e quindi sono un sottoinsieme degli autovalori della matrice A.

Proprieta 3.14 Ciascun autovalore della matrice A e radice del denominatore di almeno un elemento dellamatrice (zI −A)−1.

Per analizzare in dettaglio il comportamento della risposta libera di un sistema lineare a tempo discreto, ebene esaminare inizialmente alcuni casi particolari.

3.5.1 Il caso di autovalori distinti

Si consideri inizialmente il caso di un sistema con tutti gli autovalori distinti, e quindi il caso in cui ildenominatore della matrice esponenziale nel dominio della variabile Zeta abbia tutte le radici. In tale caso sipuo porre:

det(zI −A) =

n∏

i=1

(z − λi), λi 6= λj , i 6= j, (3.101)

ove n indica l’ordine del sistema, e quindi il numero dei suoi autovalori.Sia p(z) = np(z)/dp(z) un generico elemento della matrice z(zI − A)−1, dopo eventuali cancellazioni di

termini comuni numeratore/denominatore. La corrispondente antitrasformata, e cioe il corrispondente elementodell’esponenziale di matrice a tempo discreto, si puo ottenere facilmente tramite espansione in frazioni parziali.


Tenendo conto dell’ipotesi di autovalori distinti, si ha dp(z) =∏m

i=1(z − λi), (ove m ≤ n, perche possonoesservi cancellazioni) e quindi la seguente espansione in frazioni parziali:

p(z) =np(z)

∏mi=1(z − λi)

=A1z

z − λ1+

A2z

z − λ2+ · · ·+ Amz

z − λm(3.102)

cui corrisponde, nel dominio del tempo, la funzione:

p(k) = A1λk1 +A2λ

k2 + · · ·+Amλk

m (3.103)

La singola funzione esponenziale λki e detta modo naturale associato all’autovalore λi, e descrive appunto il

comportamento naturale del sistema, cioe il comportamento proprio, specifico del sistema, indipendentementedalla sollecitazione eventualmente esercitata dall’ambiente esterno tramite il segnale di ingresso.

Gli elementi della matrice esponenziale a tempo discreto sono quindi costituiti da combinazioni lineari dimodi naturali, ciascun modo associato ad un diverso autovalore, ed i coefficienti della combinazioni lineare sonoi residui dell’espansione in frazioni parziali dell’elemento stesso.

E importante esaminare con maggior dettaglio il caso in cui tra i valori autovalori vi siano coppie complesseconiugate (e ben noto che non vi possono essere autovalori complessi non “accompagnati” dal corrispondenteconiugato). Siano quindi λ = σe ω e λ∗ = σe−ω due autovalori complessi coniugati. Si noti che in questo casoσ indica il modulo dell’autovalore, e non la parte reale, come nel caso a tempo continuo, e ω indica invece lafase, e non la parte immaginaria, come nel caso a tempo continuo. I termini corrispondenti dell’espansione infrazioni parziali sono dati da:

Az

z − λ+

A∗z

z − λ∗ , (3.104)

poiche ad autovalori coniugati corrispondono residui coniugati. Nel dominio del tempo, indicando con A =12Me ϕ modulo e fase del residuo A, si ottiene quindi:

Z−1

Az

z − λ+

A∗z

z − λ∗

=1

2Me ϕσke ωk +

1

2Me−ϕσke−ωk (3.105)

cui corrisponde la funzione realeMσk cos(ωk + ϕ). (3.106)

Ad una coppia di autovalori complessi coniugati e quindi associata una funzione pseudo-periodica esponenziale-cosinusoidale, con pulsazione pari alla fase dell’autovalore e parametro del termine esponenziale pari al modulodell’autovalore.

E ben noto che la funzione cos(ωk + ϕ) puo essere ottenuta per combinazione lineare delle funzioni di basecos(ωk) e sin(ωk), e quindi e evidente sono sempre presenti, per ciascun coppia di autovalori complessi coniugati,sia la funzione cosinusoidale σk cos(ωk) che la sua ortogonale sinusoidale σk sin(ωk). In altre parole, alla coppiadi autovalori complessi coniugati λ e λ∗ sono associati i due modi naturali reali σk sin(ωk) e σk cos(ωk).

Esempio 3.1 (Sistema con autovalori reali) Si consideri il sistema dinamico planare

x(k + 1) =

[

0 12 −1

]

x(k), (3.107)

il cui polinomio caratteristico e dato da det(λI − A) = λ2 + λ − 2 = (λ + 2)(λ − 1), ed i cui autovalori sonoquindi λ1 = 1 e λ2 = −2. I modi naturali associati sono quindi le due funzioni esponenziali pure 1k = 1 ed(−2)k.

Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Zeta.Seguendo la traccia delineata sopra, e ricordando le regole per l’espansione in frazioni parziali, si ottiene:

(zI −A) =

[

z −1−2 z + 1

]

, adj (zI −A) =

[

z + 1 12 z

]

, det(zI −A) = z2 + z − 2 (3.108)

e quindi

z(zI −A)−1 =

z(z + 1)

z2 + z − 2

z

z2 + z − 2

2z

z2 + z − 2

z2

z2 + z − 2

. (3.109)


Espandendo in frazioni parziali il primo elemento della matrice si trova:

m1,1(z) =z(z + 1)

z2 + z − 2=

2

3

z

z − 1+

1

3

z

z + 2(3.110)

e quindi, per il corrispondente elemento dell’esponenziale di matrice, si ha:

m1,1(k) =2

31k +

1

3(−2)k =

2

3δ−1(k) +

1

3(−2)k. (3.111)

Procedendo in modo analogo per gli altri elementi si trova la seguente matrice esponenziale a tempo discreto:

Ak =

2

3δ−1(k) +

1

3(−2)k

1

3δ−1(k)−

1

3(−2)k

2

3δ−1(k)−

2

3(−2)k

1

3δ−1(k)−

2

3(−2)k

, (3.112)

che, come e immediato vedere, e costituita da combinazioni lineari dei due modi naturali gia individuati sullabase della semplice analisi degli autovalori. ♦

Esempio 3.2 (Sistema con autovalori complessi) Si consideri il sistema dinamico planare

x(k + 1) =

[

1 1−1 1

]

x(k), (3.113)

il cui polinomio caratteristico e dato da det(λI − A) = λ2 − 2λ+ 2 = (λ −√2e π/4)((λ −

√2e−π/4)), ed i cui

autovalori sono quindi λ1 =√2e π/4 e λ2 =

√2e−π/4. I modi naturali associati sono quindi le due funzioni

esponenziali-cosinusoiali (1.4124)−k cos(π/4k) ed (1.4142)−k sin(π/4k).Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Zeta.

(zI −A) =

[

z − 1 −11 z − 1

]

, adj (zI −A) =

[

z − 1 1−1 z − 1

]

, det(zI −A) = z2 − 2z + 2 (3.114)

e quindi

z(zI −A)−1 =

z(z − 1)

z2 − 2z + 2

z

z2 − 2z + 2

−z

z2 − 2z + 2

z(z − 1)

z2 − 2z + 2

. (3.115)

Ricordando le trasformate di segnali notevoli, la matrice esponenziale a tempo discreto e data da:

Ak =√2k

cos(π/4k) sin(π/4k)

− sin(π/4k) cos(π/4k)

, (3.116)

che, come e immediato vedere, e costituita da combinazioni lineari (in questo caso banali) dei due modi naturaligia individuati sulla base della semplice analisi degli autovalori. ♦

3.5.2 Il caso di autovalori qualsiasi

Si passi ora ad esaminare il caso di un sistema dinamico con autovalori comunque piazzati nel piano complesso(salvo, ovviamente, il vincolo della chiusura rispetto alla coniugazione complessa).

In tal caso il polinomio caratteristico puo essere fattorizzato nella forma:

det(zI −A) =

r∏

i=1

(z − λi)ni ,

r∑

i=1

ni = n (3.117)

ove l’intero r indica il numero di autovalori distinti ed il generico intero ni indica la molteplicita dell’autovaloreλi. La molteplicita di un autovalore come radice del polinomio caratteristico e detta molteplicta algebricadell’autovalore.


Nel caso generale quindi, in virtu della forma (3.117) del polinomio caratteristico, l’esponenziale di matricenel dominio Zeta e costituita da funzioni razionali che possono avere radici del denominatore di molteplicitamaggiore di uno.

Sia m(z) il minimo comune denominatore (cioe, il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore)degli elementi di Exp(A,Z). Esso puo essere fattorizzato come:

m(z) =

r∏

i=1

(z − λi)mi , 1 ≤ mi ≤ ni. (3.118)

In merito a tale fattorizzazione, e importante notare come 1) ogni autovalore (cioe, ogni radice di det(zI −A))compare come radice di tale polinomio; 2) la molteplicita mi di ciascun autovalore come radice del polinomioin (3.118) puo essere minore della molteplicita algebrica.

Il polinomio m(z) e detto polinomio minimo del sistema, e la molteplicita mi dell’autovalore λi come radicedi m(z) e detta molteplicita come radice del polinomio minimo.

Si consideri ora la forma generale dell’esponenziale di matrice nel dominio del tempo. Sia p(z) = np(z)/dp(z)il generico elemento della matrice z(zI −A)−1. Ricordando la forma della trasformata inversa di una funzionerazionale si ottiene, per un qualche intero q e per un opportuno ordinamento degli autovalori:

p(z) =np(z)

∏

(z − λi)mi=

A1,1z

(z − λ1)+ · · ·+ A1,m1

z

(z − λ1)m1+ · · ·+ Aq,1z

(z − λq)+ · · ·+ Aq,mq

z

(z − λq)mq(3.119)

dove i q autovalori λi, i = 1, . . . , q sono un sottoinsieme degli autovalori del sistema. Tenendo conto di tale formadell’espansione in frazioni parziali, ed antitrasformando nel dominio del tempo, si trova il generico elementodell’esponenziale di matrice:

p(k) = A1,1λk1+ · · ·+A1,m1

(

km1 − 1

)

λk−(m1−1)1 + · · ·+Aq,1λ

kq + · · ·+Aq,mq

(

kmq − 1

)

λk−(mq−1)q . (3.120)

Gli elementi della matrice esponenziale sono quindi composti da combinazioni lineari di funzioni polinomiale-esponenziale del tipo:

kµλk (3.121)

in cui la potenza µ del termine polinomiale varia tra zero e la molteplicita meno uno del corrispondente autovalorecome radice del polinomio minimo. Le funzioni (3.121) sono i modi naturali associati ad autovalori reali dimolteplicita maggiore di uno.

Analogamente a quanto gia visto nel caso di autovalori distinti, nel caso di coppie di autovalori complessiconiugati λ = σe ω, di molteplicita arbitraria m, si ottengono modi naturali costituiti da funzioni del tipo:

kµσk cos(ωk), kµσk sin(ωk), (3.122)

con la potenza µ del termine polinomiale compresa tra zero ed m− 1. Le funzioni (3.122) sono i modi naturalireali associati ad autovalori complessi coniugati di molteplicita maggiore di uno.

Esempio 3.3 (Sistema planare con molteplicita non unitaria) Si consideri il sistema dinamico planare

x(k + 1) =

[

−1 10 −1

]

x(k). (3.123)

il cui polinomio caratteristico e dato da det(zI − A) = (λ + 1)2, ed i cui autovalori sono quindi λ = −1,molteplicita algebrica pari a due. I modi naturali associati potrebbe essere quindi le due funzioni esponenziali-polinomiale (−1)

ked k(−1)

k, in dipendenza della molteplicita dell’autovalore nel polinomio minimo.

Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Zeta.

(zI −A) =

[

z + 1 −10 z + 1

]

, adj (zI −A) =

[

z + 1 10 z + 1

]

, det(zI −A) = z2 + 2z + 1 (3.124)

e quindi

z(zI −A)−1 =

z(z + 1)

(z + 1)2z

(z + 1)2

0z(z + 1)

(z + 1)2

=

z

(z + 1)

z

(z + 1)2

0z

(z + 1)

. (3.125)


Come si vede, in questo caso nel calcolo dell’esponenziale nel dominio Zeta vi sono delle cancellazioni polo/zeroin alcuni termini. Il polinomio minimo, e immediato vedere, coincide con il polinomio caratteristico, e quindi imodi naturali sono dati sia dalla funzione esponenziale pura che dalla funzione esponenziale polinomiale.


Z−1

z

(z + 1)2

= −k(−1)k, Z−1

z

(z + 1)

= (−1)k, (3.126)


Ak =

(−1)k −k(−1)

k

0 (−1)k

, (3.127)

che, come e immediato vedere, e costituita da combinazioni lineari dei due modi naturali gia individuati sullabase dell’analisi degli autovalori e del polinomio minimo. ♦

Esempio 3.4 Si consideri il sistema dinamico planare

x(k + 1) =

[

−1 00 −1

]

x(k), (3.128)

il cui polinomio caratteristico e dato da det(λI − A) = (λ + 1)2, ed i cui autovalori sono quindi λ = −1,molteplicita algebrica pari a due. Si noti come il polinomio caratteristico, e quindi gli autovalori e la loromolteplicita algebrica, siano del tutto identici all’esempio precedente. I modi naturali associati potrebberoquindi essere le due funzioni esponenziali-polinomiale (−1)

ked k(−1)

k, o la sola funzione esponenziale (−1)

k.

Per verifica, si proceda al calcolo dell’esponenziale di matrice con il metodo della trasformata di Zeta.

(zI −A) =

[

z + 1 00 z + 1

]

, adj (zI −A) =

[

z + 1 00 z + 1

]

, det(zI −A) = z2 + 2z + 1 (3.129)

e quindi

z(zI −A)−1 =

z(z + 1)

(z + 1)20

0z(z + 1)

(z + 1)2

=

z

(z + 1)0

0z

(z + 1)

. (3.130)

Come si vede, in questo caso nel calcolo dell’esponenziale nel dominio Zeta vi sono delle cancellazioni polo/zeroin alcuni termini. Il polinomio minimo, e immediato vedere, in questo caso non coincide con il polinomiocaratteristico, ed dato da: m(z) = (z + 1). L’autovalore ha quindi molteplicita unitaria nel polinomio minimo.

Cio implica che il sistema ha un solo modo naturale, dato dalla funzione esponenziale pura (−1)k.

Ricordando le trasformate di segnali notevoli, per l’elemento significativo della matrice esponenziale si trovafacilmente:

Z−1

z

(z + 1)

= (−1)k, (3.131)


Ak =

(−1)k

0

0 (−1)k

, (3.132)

che, come e immediato vedere, contiene solo il modo naturale gia individuato sulla base dell’analisi degli auto-valori e del polinomio minimo. ♦

Esempio 3.5 Si consideri il sistema dinamico di ordine tre

x(k + 1) =

0 1 00 0 10 0 0

x. (3.133)


Il polinomio caratteristico di tale matrice e dato da: det(zI −A) = z3, cui corrisponde un autovalore nullo,di molteplicita tre. Si proceda al calcolo della matrice (zI −A)−1, trovando:

z(zI −A)−1 =

11

z

1

z2

0 11

z

0 0 1

. (3.134)

Il calcolo delle trasformate inverse e immediato, ricordando la trasformata del’impulso unitario ed il signifi-cato della moltiplicazione per z−1 (operatore di ritardo unitario). Si trova quindi che i vari termini della matriceesponenziale sono impulsi unitari, ritardi di zero, uno e due passi. L’esponenziale di matrice nel dominio deltempo e quindi:

Ak =

δ(k) δ(k − 1) δ(k − 2)0 δ(k) δ(k − 1)0 0 δ(k)

. (3.135)

Come si puo notare, i modi naturali del sistema vanno a zero in tre passi, e cioe, a partire dal passo k = 3tutti i modi naturali sono esattamente nulli. Cio accade solo per autovalori nulli.

Un sistema con tale caratteristica, e cioe con tutti i modi naturali che vanno a zero in un numero finito dipassi (o, equivalentemente, con tutti gli autovalori nulli), si chiama a tempo di risposta finita od anche sistemaa risposta piatta. Tali sistemi sono di estrema importanza nel settore dei filtri digitali, dove sono noti come filtriFinite Impulse Response (filtri FIR). ♦


3.6 Analisi del comportamento ingresso-uscita per sistemi LSTD

In questa sezione si studiera il problema del calcolo della risposta in uscita di un sistema dinamico ad unasequenza u(·) applicata in ingresso, secondo lo schema di principio in figura 3.3.

Sistema

Uscita y(·) =?Ingresso u(·) (noto)

Figura 3.3: Analisi ingresso-uscita di un sistema dinamico

Il sistema dinamico e descritto da un modello alle differenze finite del tipo seguente

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), x ∈ Rn, u ∈ R,

y = Cx(k) +Du(k), y ∈ R,

la cui rappresentazione nel dominio della variabile Zeta, gia determinata in precedenza, e data dalla rispostacompleta nello stato (comprendente sia la risposta libera Xℓ gia studiata con l’analisi modale sia la rispostaforzata Xf ):

X(z) = z(zI −A)−1x(0) + (zI −A)−1BU(z),

X(z) = Xℓ(z) +Xf (z), Xℓ(z) = z(zI −A)−1x(0), Xf (z) = (zI −A)−1BU(z),

e dalla risposta completa in uscita, che puo anch’essa essere decomposta nella risposta libera Yℓ ed in quellaforzata Yf (si vedano anche la sezione 3.2 e la sezione 3.3.4)

Y (z) = zC(zI −A)−1x(0) + [C(zI −A)−1B +D]U(z),

Y (z) = Yℓ(z) + Yf (z), Yℓ(z) = zC(zI −A)−1x(0), Yf (z) = C(zI −A)−1BU(z) +DU(z).

Si noti come, dalla linearita dell’operatore trasformata, discenda in modo immediato il principio sovrappo-sizione degli effetti: dato un segnale u(k), combinazione lineare di segnali elementari u1(k) ed u2(k), la rispostacomplessiva in uscita e pari alla somma delle risposte ai singoli segnali elementari:

U(z) = Z u(k) = Z c1u1(k) + c2u2(l) = c1U1(z) + c2U2(z) (3.136)

Y (z) = W (z)U(z) = W (z) · (c1U1(z) + c2U2(z)) = c1Y1(z) + c2Y2(z) (3.137)

In questa sezione l’interesse specifico e per l’analisi della risposta forzata, che e determinata in modo im-mediato (nel dominio della variabile Zeta, si veda ancora la sezione 3.3.4) come prodotto tra la funzione ditrasferimento e la trasformata del segnale di ingresso:

Yf (z) = C(zI −A)−1BU(z) +DU(z) =[

C(zI −A)−1B +D]

U(z) = W (z)U(z) (3.138)

W (z) := C(zI −A)−1B +D. (3.139)

Si noti come, in virtu delle proprieta dell’esponenziale di matrice nel dominio Zeta, la funzione di trasferi-mento sia una matrice di funzioni razionali.

E molto importante sottolineare le seguenti proprieta della risposta forzata (e quindi della matrice di trasfer-imento quale modello descrittivo), che ne caratterizzano l’estrema importanza, ma anche i limiti.

Commento 3.2

• La risposta forzata di un sistema dinamico descrive il legame ingresso-uscita del sistema stesso.

• La risposta forzata di un sistema dinamico assume condizioni iniziali nulle.

• La risposta forzata di un sistema dinamico puo trascurare alcune componenti del comportamento dinamicointerno.


Si consideri ora, per semplicita e senza perdita di generalita, il caso di un sistema scalare (dal punto di vistaingresso-uscita). Sia

W (z) = c(zI −A)−1b+ d =c · adj (zI −A) · b

det(zI −A)+ d (3.140)

la sua funzione di trasferimento che, come gia notato in precedenza, e una funzione razionale propria (se d 6= 0)o strettamente propria (se d = 0).

Commento 3.3 Per semplicita notazionale, l’ordine del denominatore di una generica funzione di trasferimento(e quindi il numero di poli) verra ancora indicato con la lettera n, analogamente alla notazione utilizzata perindicare la dimensione dello spazio di stato di un generico sistema (e quindi il numero di autovalori). Si ricordituttavia che, in generale, il numero di poli e minore del numero di autovalori.

3.6.1 Risposta impulsiva

L’analisi della risposta forzata di norma viene condotta considerando alcuni segnali notevoli. Tra le possibilerisposte forzate, la piu semplice e la risposta impulsiva, e cioe la risposta ad un segnale di ingresso dato da unimpulso a tempo discreto.

Ricordando come la trasformata Zeta di un impulso sia pari ad uno, si ricava la considerazione che la rispostaimpulsiva descrive la reazione del sistema in esame ad una variazione finita di energia, e la forma di tale rispostadipende solo dalle caratteristiche del sistema stesso.

Esaminando in dettaglio tale uscita, si trova infatti:

Y (z) = W (z)U(z) ⇒ Y imp(z) = W (z) · 1. (3.141)

Assumendo, per semplicita, un sistema con tutti i poli distinti e strettamente proprio, si ha:

Y imp(z) =βn−1z

n−1 + βn−2zn−2 + · · ·+ β1z + β0

zn + αn−1zn−1 + · · ·+ α1z + α0=

n∑

i=1

Aiz

(z − pi), (3.142)

da cui segue, per la risposta nel dominio del tempo:

yimp(k) = Z−1[

Y imp(z)]

=

n∑

i=1

Aipki . (3.143)

Poiche i poli sono un sottoinsieme degli autovalori, le funzioni che appaiono nella risposta impulsiva sonoun sottoinsieme dei modi naturali del sistema. Poiche il segnale di ingresso, avendo trasformata pari ad uno,non contribuisce con specifiche funzioni del tempo, la risposta impulsiva contiene tutti, e soli, i modi naturalidel sistema che influenzano il legame ingresso-uscita.

Il comportamento asintotico della risposta impulsiva si ricava immediatamente dalla caratterizzazione rispettoalla convergenza dei modi naturali che la compongono. Se tutti tali modi naturali sono convergenti, la rispostaimpulsiva tende asintoticamente a zero.

Nel caso di poli qualsiasi, e quindi con molteplicita anche non unitaria, si trova facilmente5:

Y imp(z) = W (z) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jz

(z − pi)j,

r∑

i=1

qi = n, (3.144)

e quindi, nel dominio del tempo:

yimp(k) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(

kj − 1

)

λt−(j−1)pik−(j−1). (3.145)

La risposta e ancora una combinazione lineare di modi naturali, che possono essere di qualsiasi tipo, e quindianche di tipo polinomiale-esponenziale. Nel caso in cui alcuni poli siano complessi coniugati a coppie, i modinaturali relativi possono essere raccolti ed espressi in termini reali, sotto forma di funzioni di tipo polinomiale-esponenziale-sinusoidale e polinomiale-esponenziale-cosinusoidale.

5si assume ancora una funzione di trasferimento strettamente propria


Anche in questo caso, il comportamento asintotico della risposta impulsiva si ricava immediatamente dallacaratterizzazione rispetto alla convergenza dei modi naturali che la compongono. Se tutti tali modi naturalisono convergenti, la risposta impulsiva tende asintoticamente a zero.

Infine, e facile vedere, dal confronto tra la risposta impulsiva in uscita, data da:

Y imp(z) = c(zI −A)b · 1 (3.146)

e la risposta libera in uscita, data da:Yℓ(z) = c(zI −A)x(0) (3.147)

come la risposta impulsiva possa essere interpretata anche come una risposta libera a partire dalla condizioneiniziale x(0) = b.

3.6.2 Risposta indiciale

Un secondo segnale di interesse per lo studio del comportamento di sistemi dinamici e il gradino unitarioδ−1(k). In tal caso l’uscita forzata viene indicata con il termine risposta al gradino, o risposta indiciale.

La trasformata di Zeta del gradino e pari az

z − 1, e quindi la risposta forzata e data da:

Y gra(z) = W (z)z

z − 1. (3.148)

La risposta nel dominio del tempo di ottiene facilmente per espansione in frazioni parziali e trasformazioneinversa. Si assuma inizialmente un sistema con funzione di trasferimento priva di poli in uno. In tal caso larisposta indiciale puo essere espansa in frazioni parziali:

Y gra(z) =r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jz

(z − pi)j+

Bz

z − 1(3.149)

dove r indica il numero di poli distinti del denominatore della W (z), qi indica la molteplicita del polo pi, ed ilgenerico residuo Ai,j e calcolato come indicato nella condizione (3.64).

La risposta indiciale nel dominio del tempo e quindi:

ygra(k) = Z−1 [Y gra(z)] =r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(

kj − 1

)

pik−(j−1) +Bδ−1(k). (3.150)

Si vede facilmente i termini che costituiscono la risposta indiciale possano essere organizzati in due gruppi.Il primo gruppo contiene tutti i termini che derivano dai poli della funzione di trasferimento e coincide, a menodei coefficienti della combinazione lineare, con la risposta impulsiva:

ygra,t(k) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(

kj − 1

)

pk−(j−1)i , (3.151)

mentre il secondo gruppo contiene semplicemente un termine della stessa forma del segnale di ingresso edampiezza variata:

ygra,p(k) = Bδ−1(k). (3.152)

L’ampiezza B con cui il segnale di ingresso appare in uscita e pari al guadagno in continua del sistema:

B = (z − 1) · Y gra(z)|z=1 = W (z)|z=1 = W (1). (3.153)

Analogamente a quanto accade per la risposta impulsiva (e piu in generale per l’antitrasformata di una gener-ica funzione razionale), nel caso di coppie di poli complessi coniugati le corrispondenti funzioni esponenzialepossono essere raccolte nella forma di funzioni reali di tipo esponenziale-sinusoidale, eventualmente con terminipolinomiali se i poli non sono semplici.

La risposta indiciale quindi puo essere decomposta nella somma di termini che descrivono la risposta im-pulsiva (e che sono un sottoinsieme dei termini che compongono la risposta libera in uscita del sistema) e diun termine con la stessa forma dell’ingresso. Nel caso particolare in cui la risposta impulsiva sia convergente azero, si ottiene una risposta che converge asintoticamente ad un gradino di ampiezza B = W (0). In tal caso, si


suole indicare con la dizione di risposta transitoria la somma ygra,t(k) di tutti i termini che dipendono dai polidel sistema, mentre il termine derivante dall’ingresso viene indicato con la dizione di risposta permanente:

Se limk→∞

ygra,t(k) = 0 ⇒ ygra(k) = ygra,t(k) + ygra,p(k), (3.154)

ygra,t(k) =r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(

kj − 1

)

pik−(j−1) risposta transitoria (3.155)

ygra,p(k) = Bδ−1(k) risposta permanente. (3.156)

3.6.3 Risposta ad ingresso sinusoidale

Si considerti ora il caso di una sequenza di ingresso sinusoidale, ad esempio ottenuta per campionamentodi un segnale a tempo continuo. Per lo studio della risposta forzata in uscita si consideri quindi un sistemadinamico descritto dalla seguente funzione di trasferimento:

W (z) =βnz

n + βn−1zn−1 + · · ·+ β1z + β0

zn + αn−1zn−1 + · · ·+ α1z + α0. (3.157)

Applicando in ingresso un segnale sinusoidale di ampiezza unitaria e pulsazione pari ad ωT , con trasformatacome sotto indicato:

u(k) = sin(ωTk) = sin(αk), U(z) =z sin(α)

z2 − 2z cos(α) + 1. (3.158)

Si noti come, nel caso di sistema a tempo discreto ottenuto per campionamento di un sistema a tempocontinuo, con periodo di campionamento T , allora la sequenza di ingresso sin(ωTk) rappresenta appunto ilcampionamento di un segnale a tempo continuo sin(ωt), di pulsazione pari ad ωrad/sec, mentre la pulsazionedel segnale a tempo discreto dipende anche dal periodo di campionamento. Per semplicita, nel seguito il termineωT varra sinteticamente indicato con α: α = ωT . I poli del segnale (cioe, i poli della trasformata Zeta del segnaledi ingresso) sono sul cerchio unitario nelle posizioni cos(α) + sin(α) = eα e cos(α)− sin(α) = e−α.

Assumendo quindi che il sistema non abbia poli complessi coniugati posti in cos(α) ± sin(α), si ottiene laseguente risposta forzata, nel dominio Zeta:

Y sin(z) =βnz

n + βn−1zn−1 + · · ·+ β1z + β0

zn + αn−1zn−1 + · · ·+ α1z + α0· z sin(α)

z2 − 2z cos(α) + 1(3.159)

=

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jz

(z − pi)j+

B1z

z − cos(α)− sin(α)+

B2z

z − cos(α) + sin(α)(3.160)

che, nel dominio del tempo, puo essere scritta nella forma seguente, raggruppando insieme i termini che derivanodai poli del sistema e quelli che derivano da dai poli della sequenza di ingresso:

ysin(k) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(

kj − 1

)

pik−(j−1) Modi sistema

+ B1eαk +B2e

−αk Modi ingresso.

Il calcolo dei residui procede come nel caso generale. In particolare i residui Ai, relativi ai poli del sistema,richiedono, nel caso generale, l’uso delle relazioni valide per punti singolari non semplici, mentre i residui B1 eB2, relativi ai due termini caratterizzanti il segnale di ingresso, possono essere calcolati sulla base delle relazioniper i poli semplici, in considerazione dell’ipotesi precedente di non coincidenza tra i poli del segnale e quelli delsistema. Si ottiene quindi:

Ai,j = limz→pi

1

(qi − j)!

dqi−j

dzqi−j

[

(z − pi)qi

zY sin(z)

]

, (3.161)


B1 =

[

(z − cos(α)− sin(α))

zY (z)

]

z=cos(α)+ sin(α)

(3.162)

=

[

(z − cos(α)− sin(α))

zW (z)

z sin(α)

(z − cos(α) − sin(α))(z − cos(α) + sin(α))

]

z=cos(α)+ sin(α)

(3.163)

=

[

W (z)sin(α)

(z − cos(α) + sin(α))

]

z=cos(α)+ sin(α)

(3.164)

= W (cos(α) + sin(α))sin(α)

2 sin(α)=

1

2W (cos(α) + sin(α)) (3.165)

=1

2Mαe

ϕα ,

dove Mα := |W (cos(α) + sin(α))| = |W (eα)|, ϕα := ∠W (cos(α) + sin(α)) = ∠W (eα),

B2 =

[


zY (z)

]

z=cos(α)− sin(α)

(3.166)

=

[


zW (z)

z sin(α)

(z − cos(α)− sin(α))(z − cos(α) + sin(α))

]


(3.167)

=

[

W (z)sin(α)

(z − cos(α) − sin(α))

]


(3.168)

= W (cos(α)− sin(α)) − sin(α)− sin(α)

2 sin(α)= − 1

2W (cos(α) − sin(α)) (3.169)

= − 1

2Mαe

ϕα ,

dove Mα := |W (cos(α) − sin(α))| = |W (e−α)|, ϕα := ∠W (cos(α) − sin(α)) = ∠W (e−α),

La risposta forzata ad ingresso sinusoidale, nel dominio del tempo, vale quindi:

ysin(k) = ysint (k) + ysinp (k) (3.170)

ysint (k) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(

kj − 1

)

pik−(j−1) Modi sistema (3.171)

ysinp (k) = B1eαk +B2e

−αk Modi ingresso (3.172)

=1

2Mα

(

e αk+ϕα − e−αk−ϕα)

= Mα sin(αk + ϕα),

in cui il termine ysint (k) raccoglie tutti i modi naturali del sistema e coincide, a meno dei coefficienti dellacombinazione lineari, cioe a meno dei residui, con la risposta impulsiva, mentre il termine ysinp (k) contieneuna replica della sequenza di ingresso, modificato in ampiezza e fase in modo dipendente solo dal valore dellafunzione di trasferimento alla pulsazione del segnale stesso.

Se il sistema ha tutti i poli con modulo minore di uno (cioe, come vedremo in seguito, se il sistema eesternamente stabile), allora, e solo in questo caso, il termine ysint (k) prende il nome di risposta transitoria econverge a zero esponenzialmente (in modo del tutto analogo a quanto visto per il caso dell’ingresso a gradino).

In tal caso, il termine ysinp (k) e il solo segnale che “permane” dopo l’esaurimento del transitorio, ed e larisposta permanente per ingressi sinusoidali.

Si noti come, sia nel caso di ingressi sinusoidali sia nel caso precedente di ingressi a gradino, la rispostatransitoria esiste solo se la risposta impulsiva converge asintoticamente a zero. In tal caso, la risposta transitoriae la risposta impulsiva sono costruite dalle stesse funzioni elementari, i modi naturali associati ai poli del sistema,combinate linearmente con diversi coefficienti (i residui relativi).


3.6.4 Risposta permanente

La risposta permanente (in uscita) descrive il comportamento in uscita di un sistema dinamico, a frontedell’applicazione di un segnale di ingresso e dopo molto tempo dall’istante di applicazione iniziale del segnalestesso. Analoghe considerazioni possono essere svolte per la risposta permamente nello stato.

Si noti che la risposta permanente non corrisponde al limite, per tempi tendenti ad infinito, della rispostaforzata. Tale limite infatti, per molti segnali di interesse tra cui quelli sinusoidali, non e definito. Formalmente,la risposta permanente e il limite cui tende la risposta forzata, per istante di applicazione k0 del segnale diingresso tendente a meno infinito:

yp(k) := limk0→−∞

y(k, k0, 0, u(·)), (3.173)

ove y(k, k0, 0, u(·)) indica la risposta forzata in uscita, corrispondente all’applicazione del segnale u(·) a partiredall’istante k0, con condizione iniziale in k0 pari a zero.

La risposta permamente, per essere ben definita, non deve dipendere dalle condizioni iniziali. Condizionesufficiente per tale comportamento e che tutti gli autovalori del sistema abbiano modulo minore di uno, conassoluta analogia con quanto gia discusso nel caso dei sistemi a tempo continuo.

I criteri di esistenza sono analoghi a quelli visti per i sistemi a tempo continuo, e sono sintetizzati dai dueseguenti teoremi.

Teorema 3.4 (Criterio di esistenza della risposta permanente in uscita per sistemi LSTD)Un sistema dinamico Σ(A, b, c, d) ammette risposta permanente in uscita se e solo se tutti gli autovalori

associati ai modi naturali presenti nella risposta libera in uscita hanno modulo minore di uno. ⋄

Teorema 3.5 (Criterio di esistenza della risposta permanente nello stato per sistemi LSTD)Un sistema dinamico Σ(A, b, c, d) ammette risposta permanente nello stato se e solo se tutti i suoi autovalori

hanno modulo minore di uno. ⋄

Il concetto di risposta permanente, descritto finora per segnali a gradino e per segnali sinusoidali, puo essereesteso a tutti i segnali con trasformata Zeta razionale e con poli a moduo maggiore od uguale ad uno. Ci silimita allo studio della sola risposta forzata in uscita, lasciando al lettore l’estensione al caso della rispostacompleta in uscita e nello stato.

Nel caso generale quindi, sia dato un sistema con funzione di trasferimento:

W (z) =βnz

n + βn−1zn−1 + · · ·+ β1z + β0

zn + αn−1zn−1 + · · ·+ α1z + α0=

βnzn + βn−1z

n−1 + · · ·+ β1z + β0∏r

i=1(z − pi)qi

(3.174)

caratterizzata da poli arbitrari, ma tutti con modulo minore di uno, e si consideri un segnale U(z) con trasformatarazionale:

U(z) =γµz

µ + γµ−1zµ−1 + · · ·+ γ1z + γ0

zµ + ηµ−1zµ−1 + · · ·+ η1z + η0=

γµzµ + γµ−1z

µ−1 + · · ·+ γ1z + γ0∏ρ

i=1(z − πi)µi

(3.175)

e tutti i poli πi, i = 1, . . . , ρ con modulo maggiore od uguale ad uno.In tal caso, la risposta forzata puo essere scritta, dopo l’espansione in frazioni parziali, nella forma:

Y (z) = W (z)U(z) =βnz

n + βn−1zn−1 + · · ·+ β1z + β0

∏ri=1(z − pi)

qi

· γµzµ + γµ−1z

µ−1 + · · ·+ γ1z + γ0∏ρ

i=1(z − πi)µi

(3.176)

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jz

(z − pi)j+

ρ∑

i=1

µi∑

j=1

Bi,jz

(z − πi)j= Yt(z) + Yp(z),

Yt(z) :=r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,jz

(z − pi)j, Yp(z) :=

ρ∑

i=1

µi∑

j=1

Bi,jz

(z − πi)j. (3.177)

Antitrasformando nel domino del tempo si ottiene quindi:

y(k) = yt(k) + yp(k), (3.178)

yt(k) = Z−1 Yt(z) =

r∑

i=1

qi∑

j=1

Ai,j

(

kj − 1

)

pik−(j−1) (3.179)

yp(k) = Z−1 Yp(z) =

ρ∑

i=1

µi∑

j=1

Bi,j

(

kj − 1

)

πik−(j−1). (3.180)


Se tutti i poli del sistema sono con modulo minore di uno, il termine yt(k) converge asintoticamente a zero,e costituisce la risposta transitoria: in tal caso, e solo in tal caso, il termine yp(k), che contiene gli stessi modidel segnale di ingresso (a meno dei coefficienti della combinazione lineare), indica la risposta permanente delsistema all’ingresso dato.

Da un punto di vista pratico, la determinazione della risposta permanente, qualora esista, puo quindi esserecondotta limitando il calcolo alla porzione di risposta forzata in uscita relativa ai soli termini che costituisconoil segnale di ingresso, e cioe ai soli termini Yp(z) nella relazione generale (3.177).

Come in tutti i casi precedenti, il caso in cui alcuni poli del segnale siano complessi coniugati si tratta,a partire dalla (3.177), raccogliendo i termini esponenziali relativi alle coppie complesse (tenendo conto dellamolteplicita) ed esprimendo le corrispondenti combinazioni in forma reale, utilizzando funzioni polinomiale-esponenziale-sinusoidale e polinomiale-esponenziale-sinusoidale.




x(k + 1) =

[

0 00 0

]

x, (3.181)


Esercizio 3.6 Determinare la trasformata z della sequenza temporale:

x(k) =πk−2

2k−1

[

1− sin(π

2k)− cos(

π

2k)]

δ−1(k − 10), k ∈ Z,

con δ−1(k) funzione gradino unitario.

Esercizio 3.7 Calcolare la funzione antitrasformata z della seguente funzione:

X(z) =1

(z2 + 16)2.

Esercizio 3.8 Calcolare le trasformate inverse delle seguenti funzioni razionali in z:

X1(z) =1

(z2 + 2),

X2(z) =1

(z2 − 2),

X3(z) =1

(z2 + 2)2,

X4(z) =z + 4

(z2 + 2)(z + 1)(z + 3).

Esercizio 3.9 La sequenza x(k), k ∈ Z+, sia generata a partire da x(−1) =2

3, x(0) = 1 per mezzo della

seguente regola induttiva sull’intero k ∈ N, k ≥ 1:

x(k + 1) =

k−1∑

τ=−1

(

2

3x(τ) − 2x(τ + 1)

)

.

Dopo avere espresso x(k) come soluzione di un’equazione alle differenze finite, utilizzare il metodo della trasfor-mazione z per calcolare l’espressione analitica di x(k) come funzione di k ∈ Z+.

Esercizio 3.10 Sia assegnata la seguente serie formale

+∞∑

h=0

(

h+ 33

)

ρh, ρ ∈ R,

dove

(

h+ 33

)

e definito nel modo seguente:

(

h+ 33

)

=

0, h ∈ Z, h < 0,(h+ 3)!

h!3!, h ∈ Z, h ≥ 0.

Utilizzando il metodo della trasformazione z, determinare i valori di ρ per i quali la serie converge e (nel casodi convergenza) la somma di tale serie.


B =

4 0 0 01 4 0 01 0 4 11 0 0 4

determinare, per mezzo della trasformazione z, la matrice Bk, k ∈ Z+.



X(z) =z

(z2 + 4)2.


X(z) =z

(z2 − 4)(z2 − 9).


X(z) =z

(z2 + 4)(z2 + 9).


X(z) =1

(z2 − 4)(z2 + 1).


X(z) =1

(z2 + 1)(z2 − 9).

Esercizio 3.17 Date le matrici:

A =

λ1 1 00 λ2 10 0 λ3

,

F =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

,

con i tre parametri λ1, λ2 e λ3 reali e distinti tra loro, calcolare gli esponenziali di matrice (a tempo discreto)Ak, k ∈ Z+ e F k, k ∈ Z+, per mezzo della trasformata z. Commentare il risultato.

Esercizio 3.18 Dato il sistema dinamico a tempo discreto:

x1(k + 1) = 1/2x1(k) + 2x2(k),

x2(k + 1) = −1/2x2(k) + u(k),

y(k) = x1

1. determinare la funzione di trasferimento ingresso-uscita;

2. calcolare la risposta in uscita ad un gradino unitario (a partire da condizioni iniziali nulle);

3. determinare, se esistono, le condizioni iniziali che assicurano una risposta in uscita, per ingresso a gradinounitario, costante per tutti i tempi.

Esercizio 3.19 Calcolare la funzione trasformata z della seguente funzione:

x(k) = 2k(

k1

)

(δ−1(k − h)− δ−1(k − k)),

dove δ−1(k) e la funzione gradino unitario, e h, k sono numeri interi positivi.

Esercizio 3.20 Calcolare la funzione trasformata z della seguente funzione, parametrica in h e k:

x(k) = 4k(

k + 11

)

(δ−1(k − h)− δ−1(k − k)),



Esercizio 3.21 Calcolare la funzione trasformata z della seguente funzione, parametrica in h e k:

x(k) = 6k(

k − 11

)

(δ−1(k − h)− δ−1(k − k)),


Esercizio 3.22 Utilizzando il metodo della trasformazione z, determinare la soluzione, a partire da condizioniiniziali nulle all’istante k = 0, della seguente equazione alle differenze finite:

x(k + 4)− 1

16= k + 3k, k ∈ Z

+.

Utilizzando il metodo della trasformazione z, determinare inoltre la soluzione a regime permanente e lasoluzione transitoria a partire da condizioni iniziali nulle all’istante t = 0.


F =

2 1 0 00 2 0 00 0 λ 00 0 0 λ∗

ove λ e un numero complesso e λ∗ il suo coniugato, determinare, per mezzo della trasformazione z, la matriceF k, k ∈ Z+,.


B =

1 0 0 03 0 0 01 0 0 31 3 0 3

determinare, per mezzo della trasformazione z, la matrice Bk, k ∈ Z+,.

Esercizio 3.25 Dato il sistema dinamico a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni alle differenzefinite:

x1(k + 1) = x2(k),

x2(k + 1) = x1(k) + x2(k),

y(k) = x1(k) + x2(k),

si determini, per mezzo della trasformazione Zeta, la soluzione di tale sistema (sia nelle variabili di stato chenella variabile di uscita) a partire da una condizione iniziale x1(0) = 1, x2(0) = 0 ed a partire da una condizioniiniziale x1(0) = 0, x2(0) = 1.

Esercizio 3.26 Dato il sistema dinamico a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni alle differenzefinite:

x1(k + 1) = −x2(k),

x2(k + 1) = x1(k),

y(k) = x1(k),

si determini, per mezzo della trasformazione Zeta, la soluzione di tale sistema (sia nelle variabili di stato chenella variabile di uscita) a partire da una condizione iniziale x1(0) = 1, x2(0) = 0 ed a partire da una condizioniiniziale x1(0) = 0, x2(0) = 1.

Esercizio 3.27 Dato il sistema lineare a tempo discreto:

x1(k + 1) = x2(k)

x2(k + 1) = −p1x1(k)− (p1 + 1)x2(k) + u(k),

y(k) = x1(k) + x2(k),

se ne determini la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(k) e l’uscita y(k), al variare del parametro p1nell’insieme dei reali.


Esercizio 3.28 Dato il sistema lineare a tempo discreto:

x1(k + 1) = x2

x2(k + 1) =1

6(x1 − x2) + u(k),

y(k) = x1,

si risolvano i seguenti problemi.

1. Determinare la funzione di trasferimento tra l’ingresso u(k) e l’uscita y(k).

2. Determinare l’esponenziale di matrice soluzione dell’equazione omogenea associata.

3. Calcolare la risposta in uscita per i seguenti segnali di ingresso (nulli per k < 0), assumendo condizioniiniziali nulle:

u(k) = 2δ−1(k);

u(k) = δ(k − 2);

u(k) = 3k;

u(k) = (−1)k.


5. Calcolare, se esiste, il vettore di condizioni iniziali x1(0) = x1,0, x2(0) = x2,0 cui corrisponde una rispostacompleta coincidente con la risposta permanente, assumendo come segnale di ingresso un gradino unitario.

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