CromodinamicaQuantisticauz.sns.it/~BeppeBogna/qcd.pdf · 2020. 6. 22. · 8 CAPITOLO1....

Cromodinamica Quantistica

Giuseppe Bogna

22 giugno 2020

Indice

1 Teoria dei gruppi 51.1 Gruppi unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Algebra di SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Rappresentazione aggiunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Rappresentazione coniugata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Decomposizione di prodotti tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Misura di Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Verso la QCD 152.1 Una pletora di adroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Il modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Paradossi del modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Evidenze sperimentali del colore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Teorie di gauge classiche 233.1 Richiami sulla QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Teorie di gauge non abeliane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Lagrangiana per la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Connessione di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.3 Lagrangiana completa per la QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Trasporto parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Quantizzazione delle teorie di gauge 314.1 Path integral bosonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Path integral fermionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Quantizzazione delle teorie di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 QCD perturbativa 455.1 Regole di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1 Propagatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.2 Vertici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2 Rinormalizzazione a un loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.1 Cenni alla regolarizzazione dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.2 Rinormalizzazione nello schema MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

4 INDICE

5.2.3 Calcolo alternativo della β function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.4 Running coupling constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.5 Dipendenza di ΛQCD dallo schema di rinormalizzazione . . . . . . . 56

6 Formulazione euclidea delle teorie di gauge 596.1 Rotazione di Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Formulazione su reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3 Rinormalizzazione su reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4 Cenni alle simulazioni su reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.5 Potenziale qq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Simmetrie di flavour e lagrangiane efficaci 697.1 Richiami sul teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.2 Rottura spontanea di una simmetria globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3 Simmetrie SU(2) e SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.4 Lagrangiane efficaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.4.1 Lagrangiana di Gell-Mann e Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.4.2 σ model non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.4.3 Lagrangiane chirali efficaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.4.4 Rottura esplicita di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.4.5 Correzioni elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.5 Masse dei quark u, d, s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8 Argomenti avanzati 918.1 Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.1.1 Il problema dell’U(1)A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.1.2 Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.1.3 Anomalia chirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.1.4 Anomalie nelle lagrangiane chirali efficaci . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.2 Large N expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.2.1 Applicazione al problema U(1)A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2.2 Lagrangiana di Witten-Di Vecchia-Veneziano e istantoni . . . . . . . 104

8.3 Violazione forte di CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.3.1 Modello di Peccei-Quinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Capitolo 1

Teoria dei gruppi

In questo capitolo rivediamo le nozioni di base di teoria dei gruppi che ci serviranno nelseguito.

1.1 Gruppi unitariSi ricordi che U(N) è il gruppo di matrici N×N unitarie, i.e. U ∈ U(N) sse U †U = 1N×N .Chiaramente tale condizione implica che detU è una fase, e in particolare SU(N) è ilsottogruppo di U(N) in cui si richiede che il determinante sia unitario

SU(N) = U ∈ CN×N : U †U = 1 , detU = 1 (1.1)

e anzi U(N) ∼= U(1)× SU(N), e il centro di U(N) è isomorfo a U(1).

1.1.1 Algebra di SU(N)

Passiamo ai generatori di SU(N), dato che tale gruppo è connesso per archi. Se U ∈SU(N) è della forma U = exp(iM), l’unitarietà di U richiede che sia Hermitiana. Inpiù, ricordando che det eA = etrA, M è anche a traccia nulla. Ovviamente, le matriciHermitiane a traccia nulla formano uno spazio vettoriale reale di dimensione N2 − 1. Lospazio tangente all’identità di SU(N) ha ovviamente la struttura di un’algebra di Lie,denotata con su(N), dove il prodotto di Lie è dato dall’usuale commutatore. Fissata unabase dell’algebra Fa, possiamo introdurre costanti di struttura fabc definendole come

[Fa, Fb] = ifabcFc (1.2)

La presenza della i ci permette di scegliere le costanti di struttura reali. Inoltre, sicura-mente queste sono antisimmetriche nei primi due indici, ed è possibile scegliere una baseopportuna di su(N) in cui le costanti di struttura sono totalmente antisimmetriche.1 Nelseguito, supporremo di essere sempre in tale base. Inoltre, c’è un’ovvia rappresentazionedi SU(N) detta rappresentazione fondamentale, in cui le matrici di SU(N) agiscono suCN proprio tramite la loro azione naturale. Si ricordi inoltre che per una generica algebradi Lie g vale l’identità di Jacobi, i.e. se A,B,C ∈ g, allora

[A, [B,C]] + [B, [C,A]] + [C, [A,B]] = 0 (1.3)1Lo mostreremo nel seguito.

5

6 CAPITOLO 1. TEORIA DEI GRUPPI

e in particolare applicando tale identità ai generatori si trova per le costanti di struttura

fabdfcdf + fbcdfadf + fcadfbdf = 0 (1.4)

Riportiamo ora alcuni risultati senza dimostrazione:

• la sottoalgebra di Cartan di un’algebra di Lie è la sottoalgebra massimale di operatoricommutanti dell’algebra; il rango di un’algebra di Lie è la dimensione della suasottoalgebra di Cartan,

• il rango di un’algebra di Lie coincide con il numero di operatori di Casimir (i.e. dioperatori che commutano con tutti gli elementi dell’algebra e che non appartengononecessariamente all’algebra) indipendenti,

• per su(N), il rango è N − 1.

In particolare, un ovvio operatore di Casimir per una qualunque algebra di Lie è ilCasimir quadratico

C(2) =∑a

FaFa (1.5)

dato che per l’antisimmetria delle costanti di struttura è

[C(2), Fb] = [Fa, Fb], Fa= ifabcFc, Fa= 0

(1.6)

Tale Casimir è anche l’unico per su(2), mentre per su(N) per N ≥ 3 compaiono altriN − 2 Casimir. In particolare, un ulteriore Casimir è il Casimir cubico

C(3) = 2

3dabcFaFbFc (1.7)

dove il tensore completamente simmetrico dabc è definito tramite la relazione

Fa, Fb =1

Nδab1N×N + dabcFc (1.8)

dove i generatori in questa relazione sono presi nella rappresentazione fondamentale.2.Per il lemma di Schur, gli operatori di Casimir in una data rappresentazione irriducibile

sono proporzionali all’identità. In particolare, se in una rappresentazione ρ di grado dρ èC(2) = Cρ1dρ×dρ e se i generatori in tale rappresentazione sono ortogonali, nel senso che

tr (F ρa , Fρb ) = Tρδab (1.9)

per un’opportuna costante Tρ, si può mostrare che per su(N) vale

(N2 − 1)Tρ = dρCρ (1.10)

In particolare, Tρ è detto indice di Dynkin di ρ.2Si può mostrare che dabc = 0 per su(2), di modo che non si generi un altro Casimir non banale.

1.1. GRUPPI UNITARI 7

1.1.2 Rappresentazione aggiunta

Una rappresentazione fondamentale tanto quanto la fondamentale (pun intended) è larappresentazione aggiunta. In astratto, per un’algebra g questa rappresentazione è l’omo-morfismo3 di algebre ρ(adj) : g→ GL(g) tale che

ρ(adj)(x)y = [x, y] (1.11)

per x, y ∈ g. In componenti, se Fa è una base dell’algebra è facilmente

Fa 7−→ (F (adj)a )bc = −ifabc (1.12)

In particolare, l’indice di Dynkin dell’aggiunta di su(N) è T(adj) = N .Ora che abbiamo introdotto la rappresentazione aggiunta, possiamo mostrare alcuni

risultati generali. Il primo è la completa antisimmetria delle costanti di struttura: se igeneratori possono essere scelti hermitiani nella fondamentale (come è il caso di su(N)),allora sicuramente la matrice

gab = tr (F aF b) (1.13)

è reale, simmetrica e definita positiva. Possiamo quindi ruotare i generatori per portaregab in forma diagonale, e a meno di riscalare i generatori possiamo scegliere gab = λδab.Fatto questo, è

ifabc = tr ([F a, F b]F c) (1.14)

e da questa formula è ovvio che le costanti di struttura sono totalmente antisimmetriche.Il risultato gab = λδab vale per la fondamentale, ma se l’aggiunta è irriducibile questarelazione è vera, per un opportuno λ, in ogni rappresentazione. L’idea è semplice: posto

g(r)ab = tr (F a(r)F

b(r)) (1.15)

dove r indica una qualche rappresentazione, basta mostrare che g(r) commuta con T a(adj) econcludere con Schur. A questo punto, posto

h(r)abc = tr ([F a(r), F

b(r)]F

c(r)) (1.16)

è banalmenteh(r)abc = −(T

a(adj))bd g

(r)dc (1.17)

Ovviamente h(r)abc è completamente antisimmetrico, dunque è

− (T aadj)(bd) g(r)dc = (T aadj)(cd) g

(r)db (1.18)

e si conclude notando che g(r) è simmetrica, mentre T a(adj) è antisimmetrica.

3Il fatto che tale mappa sia un omomorfismo segue dall’identità di Jacobi.


1.1.3 Rappresentazione coniugata

Infine, data una rappresentazione ρ di un’algebra g, in cui i generatori sono rappresentatidalle matrici Fa, la rappresentazione coniugata si ottiene rappresentando i generatori con−F ∗a . Il segno negativo assicura che la rappresentazione coniugata dell’algebra corrispondeeffettivamente alla rappresentazione coniugata del gruppo, i.e. se abbiamo una rappresen-tazione U = exp(iαaFa), allora è U∗ = exp(−iαaF ∗a ), i.e. la rappresentazione coniugatadel gruppo si ottiene esponenziando la rappresentazione coniugata dell’algebra. Va da séche tali mappe sono banalmente rappresentazioni, dato che il coniugato si compone benecon il prodotto (nel gruppo) o con il commutatore (nell’algebra).

Una domanda spontanea è allora se la rappresentazione coniugata è genuinamenteindipendente dalla rappresentazione di partenza, infatti dato che hanno entrambe lo stessogrado può accadere che siano isomorfe. Ciò ovviamente accade se e solo se esiste unamatrice invertibile S tale che

SFaS−1 = −F ∗a (1.19)

Ad esempio, nella fondamentale di su(2) i generatori sono dati dalle matrici di Pauli (ameno di una normalizzazione) e dunque dalla nota proprietà

σ2σaσ2 = −σa∗ (1.20)

si deduce che la fondamentale di su(2) è isomorfa alla sua coniugata. Per questo motivo,la rappresentazione è detta reale, mentre una rappresentazione complessa è una rappre-sentazione non isomorfa alla sua coniugata. Più in generale, si può mostrare che per unarappresentazione reale ed hermitiana gli autovalori dei generatori dell’algebra si presenta-no a coppie di segno opposto. La dimostrazione è immediata: se |λ〉 è autovalore di Fa,i.e.

Fa |λ〉 = λ |λ〉 (1.21)

allora è ancheF ∗aS |λ〉 = −λS |λ〉 (1.22)

In particolare, (S |λ〉)∗ è autovettore di Fa con autovalore −λ∗. L’hermitianità di Fa ciassicura λ∗ = λ, e dunque Fa ammette come autovalori λ e −λ.

1.1.4 SU(2)

Richiamiamo i fatti fondamentali su su(2): tale algebra ha tre generatori T1,2,3, con regoledi commutazione

[Ti, Tj ] = iεijkTk (1.23)

Una base dei generatori è ad esempio Ti = σi/2, dove le σi sono le matrici di Pauli

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)(1.24)

e con tale scelta dei generatori è

tr (TiTj) =1

2δij (1.25)


Come noto, su(2) ha come unico Casimir il Casimir quadratico, e avendo rango 1possiamo prendere come sottoalgebra di Cartan quella generata da uno qualunque dei ge-neratori (convenzionalmente, T3). I restanti generatori T1 e T2 possono essere riorganizzatinegli operatori di salita e discesa T± = T1 ± iT2, di modo che l’algebra si riduca a

[T3, T±] = ±T± , [T+, T−] = 2T3 (1.26)

Le rappresentazioni irriducibili sono poi identificate dal valore di C(2) = T 2 in tali rap-presentazioni, e gli stati possono essere caratterizzati dall’autovalore di T3, dato che[T3, T

2] = 0. Gli operatori di salita e discesa cambiano l’autovalore di T3 di +1 e −1rispettivamente, i.e. un multipletto di su(2) è formato da 2j + 1 stati della forma |j, t3〉,con 2j ∈ N, t3 = −j,−j + 1, . . . , j−, j,

T 2 |j, t3〉 = j(j + 1) |j, t3〉 , T3 |j, t3〉 = t3 |j, t3〉 (1.27)

eT± |j, t3〉 =

√j(j + 1)− t3(t3 ± 1) |j, t3 ± 1〉 (1.28)

Una data rappresentazione irriducibile può quindi essere rappresentata su una retta su cuiindichiamo con un pallino gli stati. La posizione degli stati è l’autovalore sotto T3. Un talediagramma è detto diagramma peso, e per quanto abbastanza inutile per su(2), diventeràmolto comodo per su(3).

1.1.5 SU(3)

Per su(3) la questione è naturalmente più complessa. I generatori sono convenzionalmenteFi = λi/2, dove le λi sono le matrici di Gell-Mann

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

, λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

,

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

, λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

,

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

, λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

,

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

, λ8 =1√3

1 0 00 1 00 0 −2

(1.29)

Come per su(2), i generatori sono scelti in modo che sia

tr (FiFj) =1

2δij (1.30)

e inoltre le costanti di struttura non nulle (a meno di scambio di indici) sono

f123 = 1 , f147 = f246 = f257 = f345 =1

2,

f156 = f367 = −1

2, f458 = f678 =

√3

2

(1.31)


La sottoalgebra di Cartan ha dimensione 2 ed è ovviamente generata da F3 e F8, mentrei due Casimir sono C(2) e C(3). Come per su(2), una rappresentazione irriducibile è carat-terizzata dal valore dei due Casimir, mentre gli autovalori di F3 e F8 caratterizzano glistati in un dato multipletto, quindi il diagramma peso è bidimensionale. A questo puntoè comodo ridefinire i generatori come

T± = F1 ± iF2 , T3 = F3 , Y =2√3F8 ,

V± = F4 ± iF5 , U± = F6 ± iF7

(1.32)

e anche2U3 =

3

2Y − T3 , 2V3 =

3

2Y + T3 (1.33)

di modo che le regole di commutazione siano

[T3, T±] = ±T± , [Y, T±] = 0 , [T+, T−] = 2T3 ,

[T3, U±] = ∓1

2U± , [Y, U±] = ±U± , [U+, U−] = 2U3 ,

[T3, V±] = ±1

2V± , [Y, V±] = ±V± , [V+, V−] = 2V3

(1.34)

e[T+, V+] = 0 , [U+, V+] = 0 ,

[T+, V−] = −U− , [U+, V−] = T− ,

[T+, U+] = V+ , [T3, Y ] = 0 ,

[T+, U−] = 0

(1.35)

Così, i set T±, T3, V±, V3 e U±, U3 formano tre sottoalgebre isomorfe a su(2),dette rispettivamente T -spin, V -spin e U -spin. Inoltre, sul piano (t3, y), l’azione deiT±, U±, V± sono delle semplici traslazioni, come mostrato in figura 1.1. Le frecce oriz-

t3

y

T− T+

V−

V+U+

U−

Figura 1.1: azione degli operatori di salita e discesa sui pesi.

zontali hanno lunghezza unitaria, quelle oblique hanno lunghezza√3/2 e sono inclinate

di 60 con l’orizzontale.Diamo ora i risultati sulle rappresentazioni irriducibili di su(3) senza dimostrazione

• una generica rappresentazione è caratterizzata da due interi non negativi (p, q),


• la coniugata di tale rappresentazione è (q, p),

• tale rpresentazione ha come diagramma peso una figura il cui bordo esterno è unesagono, di lati p e q,

• gli altri stati della rappresentazione si ottengono dal bordo agendo opportunamentecon T±, U±, V±,

• la degenerazione degli stati sul bordo è 1, e aumenta di 1 ogni volta che spostiamoverso l’interno, fino a che la figura risultante non è un esagono,

• il grado della rappresentazione è

d(p, q) =1

2(p+ 1)(q + 1)(p+ q + 2) (1.36)

• lo stato con peso massimo |ψ〉 rispetta

T3 |ψ〉 =p+ q

2, U3 |ψ〉 = −

q

2|ψ〉 , V3 |ψ〉 =

p

2|ψ〉 , Y |ψ〉 = p− q

3|ψ〉 (1.37)

ed è annichilito da T+, V+ e U−.

Facciamo alcuni esempi di rappresentazioni di su(3):

• la fondamentale 3 è rappresentata da un triangolo di vertici (±1/2, 1/3) e (0,−2/3),

• la sua coniugata 3? è un triangolo di vertici (±1/2,−1/3) e (0, 2/3)

• la 6 è un triangolo di vertici (±1, 2/3) e (0,−4/3), con tre stati per lato (verticicompresi),

• similmente, la 6∗ è un triangolo di vertici (±1,−2/3) e (0, 4/3),

• l’aggiunta 8 è un esagono con due stati per lato (ossia i due vertici) e uno statodoppiamente degenere nell’origine.

1.1.6 Decomposizione di prodotti tensori

Ci manca un ultimo ingrediente, ossia come decomporre un dato prodotto tensore dirappresentazioni irriducibili di SU(3). Ci sono essenzialmente due metodi, che presentiamosenza troppe dimostrazioni.

Metodo grafico

In questo metodo, per decomporre il prodotto ρ1 ⊗ ρ2 si parte dal diagramma peso diρ1. A questo punto, per ogni stato di questo diagramma si ricopia il diagramma pesodi ρ2, centrato in tale stato. Gli stati così ottenuti (ma senza quelli del diagramma dipartenza!) formano il diagramma peso di ρ1⊗ρ2, che può essere decomposto a partire dallostrato esterno, individuando cioè la sottorappresentazione irriducibile di grado massimo inρ1 ⊗ ρ2, e poi procedendo iterativamente. Ovviamente, tale metodo diventa rapidamentepoco efficace al crescere dei gradi di ρ1 e ρ2.


Metodo tensoriale

Supponiamo, in generale, di voler studiare il prodotto di rappresentazioni di SU(N). Lafondamentale agisce su dei vettori qi che definiamo controvarianti. L’azione di U ∈ SU(N)è

qi 7−→ U ij qj (1.38)

dove U ij = Uij . Similmente, un vettore qi nella coniugata della fondamentale (o antifon-damentale) trasforma come

qi 7−→ U ji qj (1.39)

dove U ji = U∗ij . Da questo due tipo di vettori possiamo costruire gli usuali tensori di

tipo (p, q), i.e. vettori di N⊗p ⊗ N⊗q. Ovviamente, ci sono dei tensori invarianti, e perSU(N) tali tensori sono l’identità δij e il simbolo totalmente antisimmetrico εi1...iN . Grazieai tensori invarianti, possiamo definire alcune operazioni che cambiano il rango di un datotensore

• possiamo contrarre un indice alto e un indice basso con una δ, mappando così untensore (p, q) in un tensore (p− 1, q − 1)

• possiamo contrarre un certo numero di indici bassi con un certo numero di indicidi εi1...iN . Se gli indici contratti sono k, mappiamo un tensore (p, q) in un tensore(p+N − k, q − k)

In particolare, diciamo che un tensore è irriducibile se tutte queste operazioni dannosempre il tensore nullo.

Ovviamente, se un tensore T di tipo (p, q) ha d componenti indipendenti φ1, . . . , φd,possiamo riarrangiare tali componenti in un vettore d-dimensionale, su cui SU(N) agiscelinearmente. Sia V (·) tale rappresentazione, i.e sotto U ∈ SU(N) è φ1

...φd

7−→ V (U)

φ1...φd

(1.40)

Un risultato fondamentale è allora il seguente: T è irriducibile se e solo se V (U) è irriduci-bile, con l’eccezione della banale e delle totalmente antisimmetriche (che sono irriducibili,ma non associate a tensori irriducibili).

Ad esempio, se T ij è un tensore (2, 0) di SU(3), questo si scrive naturalmente come

T ij = Sij +Aij (1.41)

dove Sij e Aij sono rispettivamente la parte simmetrica e antisimmetrica di T ij . Chiara-mente Sij è irriducibile e la rappresentazione associata è la 6. Anche Aij è irriducibile, omeglio il tensore qk = εijkA

ijk è irriducibile ed è ovviamente la 3∗.Supponiamo ora di avere un tensore di tipo (p, q) di SU(3) irriducibile. Ovviamente

tale tensore deve essere completamente simmetrico, dunque ha al più(p+22

)(q+22

)compo-

nenti indipendenti. La condizione di traccia nulla impone poi altre(p+12

)(q+12

)condizioni,

dunque la dimensione di tale rappresentazione è

d(p, q) =

(p+ 2

2

)(q + 2

2

)−(p+ 1

2

)(q + 1

2

)=

1

2(p+ 1)(q + 1)(p+ q + 2) (1.42)

1.2. MISURA DI HAAR 13

in accordo con quanto enunciato in precedenza.Infine, riportiamo alcuni prodotti molto ricorrenti, decomponibili facilmente con en-

trambi i metodi esposti

3⊗3∗ = 1⊕8 , 3⊗3 = 3∗⊕6 , 3⊗6 = 8⊕10 , 3⊗3⊗3 = 1⊕8⊕8⊕10 (1.43)

1.2 Misura di Haar

È possibile dare una definizione di integrale per funzioni continue C(G) da un gruppotopologico G a R (o anche a C). Tale integrale è un funzionale lineare

∫: C(G)→ R che

associaf 7−→

∫Gdg f(g) (1.44)

che soddisfa inoltre la seguente condizione di ”positività”: se f(g) ≥ 0 per ogni g ∈ G,allora è ∫

Gdg f(g) ≥ 0 (1.45)

La misura dg è detta invariante sinistra se per ogni g′ ∈ G è∫Gdg f(g′g) =

∫Gdg f(g) (1.46)

mentre è detta invariante destra se∫Gdg f(gg′) =

∫Gdg f(g) (1.47)

Infine, una misura di Haar è una misura invariante sia destra che sinistra. Si può alloramostrare che per gruppi compatti esiste un’unica misura invariante di Haar, a meno dinormalizzazione. Tipicamente, tale normalizzazione è scelta in modo che sia∫

Gdg = 1 (1.48)

Ad esempio, per un gruppo finito tale misura è semplicemente la media sul gruppo∫Gdg f(g) =

1

|G|∑g∈G

f(g) (1.49)

mentre per SU(2) ∼= S3 la misura di Haar è la misura di S3 ereditata da R4∫SU(2)

dg f(g) =1

2π2

∫S3

dx1 . . . dx4 f(x1, x2, x3, x4) (1.50)

Più in generale, per SU(N) è

dU =

√2N2−1 det g(θ)

N2−1∏a=1

dθa (1.51)


dove

g(θ)ab =

(1− cosΦ(θ)

Φ2(θ)

)ab

, Φ(θ)ab =

N2−1∑c=1

θc(T c(adj))ab (1.52)

In particolare, tale misura è normalizzata in modo che in un intorno dell’identità sia

dU 'N2−1∏a=1

dθa (1.53)

Capitolo 2

Verso la QCD

In questo capitolo indaghiamo i motivi fenomenologici che hanno portato a ipotizzare ilmodello a quark.

2.1 Una pletora di adroniUn adrone è una particella che interagisce tramite la forza forte e può essere un mesone(a spin intero) o un barione (a spin semi-intero). Sperimentalmente, intorno a metà delsecolo scorso si sapeva che il numero barionico B è conservato nei processi forti, e inoltresi osservava una simmetria SU(2) approssimata di spin isotopico. La presenza di questasimmetria è dovuta al fatto che il neutrone n e il protone p hanno la stessa massa (o quasi, ilche rende la simmetria approssimata), e pertanto formano un doppietto isotopico. Inoltre,erano presenti anche altri multipletti isotopici, riportati in tabella 2.1. In particolare, Cisono cinque singoletti, quattro doppietti, tre tripletti e un quadrupletto. All’interno di undato multipletto, le masse delle varie particelle sono molto simili, mentre la carica elettricaè variabile. In particolare, in alcuni casi si verifica che la carica (in unità di e) è riprodottadalla relazione

Q = t3 +B

2(2.1)

Tale relazione non vale però per tutti gli adroni riportati. Tuttavia, possiamo introdurreun numero quantico aggiuntivo, detto ipercarica forte, in maniera tale che sia

Q = t3 +Y

2(2.2)

La differenza tra l’ipercarica forte e il numero barionico è detta stranezza, S = Y − B.Per quanto l’introduzione dell’ipercarica forte sembri abbastanza ad hoc, si osserva cheanch’essa è conservata nei vari processi. La cosa sorprendente è che l’ipercarica forte,oltre a essere conservata, può essere anche effettivamente interpretata come l’operatoreY di su(3) del capitolo precedente: in altre parole, sul piano (t3, y) le risonanze descritteformano effettivamente i diagrammi peso di alcune rappresentazioni di su(3), in particolaredella 8, 10 e 10∗. Partiamo dai due singoletti di mesoni, riportati in figura 2.1 La differenzatra i due mesoni è lo spin, in particolare per η′ e φ è rispettivamente JP = 0− e JP =1−. Abbiamo poi due ottetti, di mesoni pseudoscalari e pseudovettoriali rispettivamente,riportati in figura 2.2. Infine, i barioni si organizzano in un ottetto e in un decupletto,

15

16 CAPITOLO 2. VERSO LA QCD

t Particelle B S Y

0t3

η, η′, ω, φ

t3

Λ0

0

1

0

−1

0

0

1/2

t3

K0 K+

t3

K− K0

t3

n p

t3

Ξ− Ξ0

0

0

1

1

1

-1

0

-2

1

-1

1

-1

1

t3

π− π0 π+

t3

ρ− ρ0 ρ+

t3

Σ− Σ0 Σ+

0

0

1

0

0

-1

0

0

0

3/2 t3

∆− ∆0 ∆+ ∆++

0 0 0

Tabella 2.1: principali risonanze adroniche.

come mostrato in figura 2.3.Per questo motivo, si cominciò a sospettare dell’esistenza di una simmetria ”allargata”

sotto SU(3), ovviamente anch’essa solo approssimata (e anzi, approssimata in manierapiù grezza dell’SU(2) isotopico, dato che le differenze di massa sono più grandi). Si notiinoltre che tale idea di simmetria allargata porta a predire l’esistenza di una particellainizialmente non osservata, ossia l’Ω− nel decupletto, con Y = −2, S = −3. Inoltre, siosservi che i multipletti di U -spin hanno stessa carica: ciò è dovuto al fatto che [U±, Q] = 0,come si mostra con un rapido calcolo.

2.1. UNA PLETORA DI ADRONI 17

t3

y

η′ t3

y

φ

Figura 2.1: singoletti dei mesoni.

t3

y

π+π−

K+K0

K0K−

η

π0

t3

y

ρ+ρ−

K∗+K∗0

K∗0K∗−

ω

ρ0

Figura 2.2: ottetti dei mesoni.


t3

y

Σ+Σ−

pn

Ξ0Ξ−

Λ0

Σ0

t3

y

Σ∗+

∆++∆+∆0∆−

Σ∗−

Ξ∗0Ξ0−

Ω−

Σ∗0

Figura 2.3: ottetto e decupletto dei barioni.

2.2. IL MODELLO A QUARK 19

2.2 Il modello a quark

Più esplicitamente, il modello formulato da Gell-Mann e Zweig prevede l’introduzione ditre particelle di spin 1/2 che trasformano secondo la 3 di SU(3): queste particelle sono iquark up, down e strange, e sono riportati in figura 2.4. I corrispondenti antiquark sono il

t3

y

ud

s

Figura 2.4: primi tre quark.

tripletto 3∗ e i diversi tipi di quark sono detti sapori. I principali numeri quantici dei tresapori introdotti sono riportati in tabella 2.2 Come suggerisce il nome, il quark s è l’unico

Sapore t t3 y Q B S

u 1/2 1/2 1/3 2/3 1/3 0d 1/2 −1/2 1/3 −1/3 1/3 0s 0 0 −2/3 −1/3 1/3 −1

Tabella 2.2: numeri quantici dei primi tre quark.

con stranezza non nulla (ed è dunque ragionevole che componga i mesoni e i barioni constranezza non nulla). Così, utilizzando il metodo grafico è possibile dedurre il contenutoin quark dei vari mesoni, ossia

π+ = ud , π− = du , K0 = ds

K+ = us , K− = su , K0 = sd

η0 =uu+ dd− 2ss√

6, π0 =

uu− dd√2

(2.3)


Allo stesso modo si può dedurre il contenuto in quark dei barioni, in particolare n = udde p = uud.

2.3 Paradossi del modello a quarkQuanto è ragionevole questo modello? Se i quark hanno effettivamente spin 1/2, alloralo spin dei mesoni (che sono schematicamente una coppia qq) è intero, come osservatosperimentalmente, e quello dei barioni (qqq o qqq) è semi-intero. Inoltre, se i quark checostituiscono i mesoni sono in onda s, allora i mesoni hanno necessariamente parità nega-tiva, in accordo con quanto osservato. Anche nel caso dei barioni la parità osservata è inaccordo con quella teorica. Ci sono però ache diversi svantaggi in questo modello

• i quark hanno carica frazionaria, che non è mai stata misurata negli stati asintoticiosservati sperimentalmente,

• i mesoni che abbiamo descritto sono stati della 3⊗3∗, mentre non abbiamo descritto(né sono stati osservati) mesoni nella 3⊗ 3, i.e. del tipo qq,

• similmente, non è mai stato visto un barione del tipo qqq, i.e. nella 15,

• c’è un’apparente contraddizione con il teorema di spin-statistica. Infatti, il barione∆++ ha spin parità JP = 3

2

+, dunque dovrebbe essere formato da∣∣∣∣∆++, JP =3

2

+⟩

=∣∣∣u↑(1)u↑(2)u↑(3); ` = 0

⟩(2.4)

Tale stato è simmetrico sotto scambio dei quark sia nella parte orbitale che di spin,mentre dovrebbe essere antisimmetrico se i quark hanno spin 1/2.

L’ultimo punto è sicuramente quello più critico, ma anche quello che ci permette di risolve-re questi apparenti problemi. Infatti, è ben noto che un anione (ossia una particella che hacaratteristiche sia bosoniche che fermioniche, come sembrano essere i quark che formano il∆++) può anche essere pensato come un bosone o un fermione, a patto di aggiungere uncerto insieme di numeri quantici addizionali. In particolare, nel modello a quark è statosufficiente aggiungere un solo numero quantico addizionale, detto colore, associato a unospazio di Hilbert tridimensionale (cioè esistono tre stati di colore diversi, per convenzionerosso, verde e blu). In tal modo, lo stato ∆++ rispetta il teorema di spin-statistica unavolta che si antisimmetrizza la parte di colore. Si postula poi che ci sia una simmetriaSU(3) addizionale sul colore e inoltre si introduce il postulato di confinamento: tutte leparticelle osservabili devono essere singoletti di colore. In tal modo è chiaro che i singoliquark non possono essere stati asintotici, e in più questo spiega anche perché non osservia-mo le rappresentazioni mancanti elencate in precedenza: in generale, la rappresentazione3⊗n ⊗ 3⊗m ha un singoletto se e solo se n ≡ m mod 3. Ad esempio, ricordando che imesoni sono formati da una coppia qq e che vale 3 ⊗ 3∗ = 1 ⊕ 8, lo stato di colore di unmesone è il singoletto

1√3

3∑i=1

∣∣qiqi⟩ (2.5)

Allo stesso modo, per i barioni osserviamo che 3⊗3 = 1⊕8⊕10, e dunque è possibile avereun singoletto di colore.

2.4. EVIDENZE SPERIMENTALI DEL COLORE 21

2.4 Evidenze sperimentali del coloreAbbiamo dunque capito che l’introduzione del colore risolve i problemi del modello a quark,ma che tale carica non è direttamente osservabile, a causa del postulato del confinamento.É naturale allora chiedersi se esistono predizioni teoriche che dipendono dal numero dicolori che possiamo introdurre nella teoria. La prima predizione interessante è data dallalarghezza per il decadimento π0 → γγ, che al tree level è

Γ(π0 → γγ) = N2c

(Q2u −Q2

d

) α2M3π0

64π3F 2π

(2.6)

dove α è la costante di struttura fine, Qu e Qd le cariche di quark up e down in unitàdi e, Nc il numero di colori e Fπ è una costante detta costante di decadimento del pione.Tale costante è nota sperimentalmente e vale Fπ ' 92MeV. La dipendenza Γ ∝ N2

c èabbastanza ovvia, dato che il π0 è formato da una coppia qq, e in presenza di Nc coloriabbiamo Nc diagrammi differenti da considerare, dunque l’ampiezza è proporzionale a Nc

e la larghezza è proporzionale a N2c . Inserendo le costanti note, è

Γ(π0 → γγ) =

(Nc

3

)2

× 1.16× 1016 sec−1 (2.7)

e il confronto con il valore sperimentale

Γexp(π0 → γγ) = (1.19± 0.08)× 1016 sec−1 (2.8)

richiede Nc = 3.Un’altra evidenza sperimentale proviene dall’annichilazione e+e− in adroni. Il processo

di base è dato dal diagramma

e−

e+

q

q

Ovviamente, una volta prodotti i quark ci saranno una serie di processi, complessivamentenoti come adronizzazione, che provvederanno a formare degli adroni, in accordo col postu-lato di confinamento. Comunque, è ragionevole che la sezione d’urto totale per il processosia

σ(e+e− → adroni) =Nf (s)∑f=1

Nc∑i=1

σ(e+e− → qif qf,i) (2.9)

dove f è un indice di flavour, i un indice di colore e Nf (s) è il numero di flavour accessibiliquando l’energia nel centro di massa è s (i.e. il numero di flavour con massa mf tale che2mf ≤

√s). Si noti che nello scrivere questa relazione stiamo assumendo che l’interazio-

ne elettromagnetica non distingua il colore. Comunque, è noto dai corsi precedenti chel’usuale lagrangiana di interazione

Lint = −eΨ /AΨ− eNf∑f=1

Qf

Nc∑i=1

ψf,i /Aψif (2.10)


dove Ψ è il campo per l’elettrone e ψf,i il campo per il quark di sapore f e colore i, prediceche la sezione d’urto al tree level per e+e− → qif qf,i a energie s m2

f ,m2e sia

σ(e+e− → qif qif ) '4πα2

3sQ2f (2.11)

In tal modo, il rapporto di Drell R, definito come

R =σ(e+e− → adroni)σ(e+e− → µ+µ−)

(2.12)

dovrebbe essere approssimativamente (almeno lontano dai valori di s per cui diventanoaccessibili nuovi sapori)

R ' Nc

Nf (s)∑f=1

Q2f (2.13)

cioè uno spettro piatto in s. Effettivamente è quello che si osserva sperimentalmente, inparticolare

• per√s . 3GeV gli unici quark accessibili sono u, d e s e R ' 2. In effetti per tali

specie la somma di Q2f è 2/3, dunque tale misura è in accordo con Nc = 3,

• per 3GeV .√s . 4GeV ci sono risonanze dovute all’apertura del canale e+e− → cc,

dove c è il quark charm, di cui non abbiamo ancora parlato

• per 4GeV .√s . 9GeV, R è ancora circa piatto e vale circa 10/3, dunque ci

si aspetta che sia Qc = ±2/3 (il segno ovviamente non è determinabile in questamisura) e mc ' 1.5GeV,

• per 9GeV .√s . 10GeV ci sono di nuovo delle risonanze, dovute all’apertura del

canale e+e− → bb. b è detto quark bottom e ci si aspetta che abbia una massamb ' 5GeV,

• inoltre, per 10GeV .√s è R ' 11/3, dunque ci si aspetta Qb = ±1/3.

En passant, effettivamente oggi sappiamo che ci sono tre famiglie di quark(ud

),

(cs

),

(tb

)(2.14)

in cui il primo quark di ogni doppietto ha Q = +2/3 e il secondo Q = −1/3. L’unico quarkdi cui non abbiamo parlato è il quark top t, ed è estremamente massivo, con mt ' 174GeV.

Capitolo 3

Teorie di gauge classiche

In questo capitolo costruiamo la versione classica della QCD, anche se spesso abuseremodel termine QCD. Più propriamente, qui descriviamo la CCD.

3.1 Richiami sulla QEDPrima di introdurre la QCD vera e propria, richiamiamo la QED, che è in un certo sensola versione semplificata della QCD. La lagrangiana libera è

L = −1

4FµνF

µν + ψ(i/∂ −m)ψ (3.1)

dove Fµν = ∂[µAν] è il tensore dei campi elettromagnetici, Aµ è il quadripotenziale e ψl’elettrone. Tale lagrangiana gode della simmetria globale U(1)

ψ 7−→ eiθψ , ψ 7−→ e−iθψ , Aµ 7−→ Aµ (3.2)

e dell’invarianza di gauge

ψ 7−→ ψ , ψ 7−→ ψ , Aµ 7−→ Aµ −1

e∂µα(x) (3.3)

per θ costante reale e α funzione generica. La lagrangiana di interazione si ottiene tramitela sostituzione minimale ∂µ → Dµ, dove Dµ è la derivata covariante

Dµ = ∂µ + ieAµ (3.4)

o equivalentemente tramite la lagrangiana di interazione

Lint = −eψ /Aψ (3.5)

La simmetria U(1) globale è ancora una simmetria, mentre l’invarianza di gauge dellateoria libera diventa una simmetria U(1) locale, ossia

ψ 7−→ eiθ(x)ψ , ψ 7−→ e−iθ(x)ψ , Aµ 7−→ Aµ −1

e∂µθ(x) (3.6)

In particolare, l’invarianza di gauge della lagrangiana è assicurata dal fatto che la derivatacovariante è, appunto, covariante, i.e.

Dµ 7−→ eiθ(x)Dµe−iθ(x) (3.7)

23

24 CAPITOLO 3. TEORIE DI GAUGE CLASSICHE

dove ovviamente si intende che Dµ agisce sia sulla fase a destra che sui campi a destra,qui sottintesi. Inoltre, il tensore dei campi è anche scrivibile come

ieFµν = [Dµ, Dν ] (3.8)

3.2 Teorie di gauge non abeliane

3.2.1 Lagrangiana per la materia

Cerchiamo di costruire l’analogo della QED, in cui però il gruppo di gauge U(1) è sostituitoda un gruppo di gauge genericoG, possibilmente non abeliano. Per semplicità, supponiamoche sia G = SU(N) per qualche N .

Partiamo dalla lagrangiana libera per la materia: possiamo considerare un certo nu-mero n di fermioni ψi, con stessa massa m, e considerare l’usuale lagrangiana1

Lf =

n∑i=1

ψi(i/∂ −m)ψi (3.10)

Se n coincide con il grado di una qualche rappresentazione di G, allora è chiaro che pos-siamo formare il vettore ψ = (ψ1, . . . ψn)

t e considerare SU(N) come gruppo di simmetriaglobale della lagrangiana libera. La sua azione sui campi fermionici è

ψ 7−→ Uψ , ψ 7−→ ψU † (3.11)

Nel seguito, supporremo che sia n = N e che i fermioni trasformino secondo la fondamen-tale di SU(N).2 Così, per una trasformazione infinitesima U = 1+ iθ è

δψi = iθaT aijψj (3.12)

3.2.2 Connessione di gauge

Cerchiamo ora un modo per rendere locale la simmetria sotto SU(N). Come nel caso dellaQED, la semplice derivata ∂µ non è adatta a costruire una teoria invariante localmente,infatti se ψ′(x) = U(x)ψ(x) e ψ′(x) = ψ(x)U †(x) è

ψ′/∂ψ′ = ψ /∂ψ + ψ(U †/∂U)ψ (3.13)

Il problema si risolve, come nel caso abeliano, introducendo un’opportuna connessione Aµ,con un’altrettanto opportuna legge di trasformazione, e introducendo la derivata covariante

Dµ = ∂µ + igAµ (3.14)

1Come al solito, gli indici di Dirac sono omessi. La lagrangiana con tutti gli indici espliciti è

Lf =

n∑i=1

ψi,α(i/∂αβ −mδαβ)ψi,β (3.9)

2Ci sono comunque esempi in cui ciò non si verifica, ad esempio in teorie di gauge supersimmetriche.

3.2. TEORIE DI GAUGE NON ABELIANE 25

Prima di vedere le trasformazioni di gauge, richiediamo che la simmetria globale sottoSU(N) sia ancora una simmetria della lagrangiana. Questo richiede che Aµ trasformisotto trasformazioni globali come

Aµ 7−→ UAµU† (3.15)

Questo significa che la connessione trasforma secondo la rappresentazione aggiunta delgruppo di gauge, infatti a livello infinitesimo se U = 1+ iεaT a +O(ε2) è

Aµ 7−→ A′µ = Aµ + iεa[T a, Aµ] (3.16)

ossia la differenza infinitesima δAµ = A′µ − Aµ trasforma effettivamente come l’aggiuntadi su(N). In altre parole, è possibile sviluppare la connessione Aµ in componenti

Aµ = AaµTa (3.17)

dove a = 1, . . . N2 − 1 e i T a sono i generatori di su(N) nella fondamentale. In tal modo,sotto trasformazioni di gauge globali è

Dµ 7−→ UDµU† (3.18)

e la lagrangiana è invariante. Passiamo alla simmetria locale: imponendo che tale opera-zione sia una simmetria, deve essere

ψ′ /D′ψ′ = ψ(/∂ + U †/∂U + igU †A′µU)ψ

= ψ /Dψ(3.19)

ossiaU †∂µU + igU †A′µU = igAµ (3.20)

o ancoraA′µ = UAµU

† +i

gU †∂µU (3.21)

A livello infinitesimo, per U = 1+ iθ, è

δAµ = i[θ,Aµ]−1

g∂µθ (3.22)

e in componenti le trasformazioni di gauge sono

δAaµ = −fabcθbAcµ −1

g∂µθ

a (3.23)

Di nuovo, la legge di trasformazione di Aµ assicura che sotto trasformazioni di gauge sia

Dµ 7−→ UDµU† (3.24)

e questo è sufficiente ad assicurare l’invarianza di gauge della lagrangiana.Infine, costruiamo la parte cinetica per la connessione. Questa deve essere in qualche

modo la generalizzazione del termine cinetico del fotone, quindi è opportuno trovare primauna definizione per il tensore dei campi. Iniziamo notando subito che la costruzione naive


∂[µAν] ha pessime proprietà di trasformazione sotto trasformazioni di gauge. Tuttavia,possiamo definire il tensore dei campi come

igFµν = [Dµ, Dν ]

= ∂[µAν] + ig[Aµ, Aν ](3.25)

Ricordando come trasformano le derivate covarianti, sotto trasformazioni di gauge è

Fµν 7−→ UFµνU† (3.26)

e dunque nel caso non-abeliano i campi ”elettromagnetici” non sono invarianti di gauge,e di conseguenza neanche osservabili. Questo di per sé non è troppo un problema nellacostruzione della lagrangiana, infatti dalla seconda forma di Fµν deduciamo che anchetale tensore è a valori nell’algebra di Lie del gruppo di gauge (perché questa è uno spaziovettoriale chiuso per commutazione), dunque possiamo scrivere

Fµν = F aµνTa (3.27)

Esplicitamente, le componenti del tensore dei campi sono

F aµν = ∂[µAaν] − gf

abcAbµAcν (3.28)

di modo che per trasformazioni di gauge infinitesime sia

δF aµν = −fabcθbF cµν = iθb(T b(adj))acF cµν (3.29)

Infine, il termine ”libero” per la connessione è

L0 = −1

2trFµνF

µν (3.30)

dove si suppone che la fondamentale abbia indice di Dynkin 1/2, in modo da riprodurrel’usuale fattore 1/4. La presenza della traccia rende tale termine effettivamente invariantedi gauge, e inoltre può anche essere scritto come

L0 = −1

4

∑a

F aµνFµν,a (3.31)

Alternativamente, è possibile riassorbire il couplig della derivata covariante definendoAµ = gAµ, i.e. ponendo

Dµ = ∂µ + iAµ (3.32)

In tal caso, il coupling ricompare nella lagrangiana chiedendo che il termine cinetico di Aµsia correttamente normalizzato, i.e.

L0 = −1

2g2tr FµνF

µν (3.33)

3.3. TRASPORTO PARALLELO 27

3.2.3 Lagrangiana completa per la QCD

La lagrangiana in questo caso ha gruppo di gauge SU(Nc), dove Nc è il numero di colori.Inoltre, i quark possono essere in Nf stati di sapore diversi, a cui però non è associata(per ora!) alcuna simmetria. La lagrangiana completa è allora

L = −1

2trFµνF

µν +

Nf∑f=1

ψf (i /D −mf )ψf

= −1

4F aµνF

µν,a +

Nf∑f=1

Nc∑i,j=1

ψf,i(i /Dij −mfδij)ψf,j

(3.34)

Tale lagrangiana (o meglio, la parte per la connessione) è nota anche come lagrangiana diYang-Mills.

C’è una differenza sostanziale con la lagrangiana per la QED: in quest’ultima, i fotoniinteragiscono esclusivamente con i fermioni. In QCD invece la lagrangiana contiene an-che dei termini di interazione gluone-gluone, dovute alla presenza dei commutatori dellaconnessione nella definizione del tensore dei campi.

3.3 Trasporto paralleloVediamo un’interpretazione geometrica della connessione di gauge: dal punto di vista dellarelatività generale, sappiamo che un campo vettoriale è una sezione del fibrato tangente,dunque sembra naturale definire i campi di materia come sezioni di un opportuno fibratovettoriale. In altre parole, per ogni punto x dello spaziotempo abbiamo uno spazio vet-toriale (complesso) Vx (la cui dimensione non dipende da x) su cui sono definiti i campiψ(x). Una simmetria locale consiste allora in una mappa che associa a un elemento U delgruppo di gauge una mappa lineare U(x) su Vx, e tale mappa è liscia in x. Ovviamente, sesiamo interessati a confrontare due vettori ψ(x) e ψ(y) definiti in due punti x e y differenti,dobbiamo trovare un modo per trasportare tali vettori da uno spazio all’altro (infatti, ladifferenza è definita tra vettori dello stesso spazio vettoriale, non tra vettori di spazi vetto-riali diversi). Il modo naturale per farlo è tramite l’assegnazione di un trasporto parallelo:fissati due punti x e y nello spaziotempoM e una curva γy←x : [0, 1]→M che abbia comeendpoints rispettivamente x e y, il trasporto parallelo W (γy←x) è un’applicazione linearee invertibile W (γy←x) : Vx → Vy con le seguenti proprietà

• se y = x e se γx←x è la curva costante (i.e. γx←x(t) = x per ogni t) allora W (γx←x) =1Vx ,

• dato un cammino γy←x e denotando con γ−1y←x il cammino in verso opposto, i.e.γ−1y←x(t) = γy←x(1− t), allora è

W (γ−1y←x) =W−1(γy←x) (3.35)

• Se γ(2)z←y e γ(1)y←x sono due cammini con un endpoint comune e se γ(2) γ(1)z←x è ilcammino ottenuto componendo i due cammini, i.e.

γ(2) γ(1)z←x(t) =

γ(1)y←x(2t) , 0 ≤ t ≤ 1/2

γ(2)z←y(2t− 1) , 1/2 ≤ t ≤ 1

(3.36)


allora èW (γ(2) γ(1)z←x) =W (γ(2)z←y)W (γ(1)y←x) (3.37)

• sotto trasformazioni di gauge locali, è

W ′(γy←x) = U(y)W (γy←x)U†(x) (3.38)

Consideriamo ora due punti vicini, xµ e xµ + dxµ, connessi da un percorso rettilineo. Intal caso il trasporto parallelo sarà della forma

W (γx+dx←x) = 1− igAµ(x)dxµ +O(dx2)= exp(−igAµ(x)dxµ) +O(dx2)

(3.39)

Abbiamo cioè introdotto la connessione di gauge in un dato punto come generatore infi-nitesimo dei trasporti paralleli che partono da quel punto. Vediamo ora come trasformala connessione, a partire da come trasforma il trasporto parallelo. Ovviamente è

1− igA′µ(x)dxµ = U(x+ dx)(1− igAµ(x)dxµ)U †(x) (3.40)

e così espandendo U(x+ dx) = U(x) + ∂µU dxµ si trova di nuovo

A′µ = UAµU† +

i

g∂µUU

† (3.41)

Infine, definiamo il differenziale covariante come

Dψ(x) =W (γx+dx←x)−1ψ(x+ dx)− ψ(x) (3.42)

In tal modo, esplicitando il trasporto parallelo è

Dψ(x) = Dµψ(x) dxµ (3.43)

dove Dµ è la derivata covariante introdotta precedentemente. Inoltre, è ora chiaro dalladefinizione che il differenziale covariante trasforma come

Dψ 7−→ UDψ (3.44)

e dunque per la derivata covariante

Dµ 7−→ UDµU† (3.45)

Ovviamente, la definizione del tensore dei campi tramite [Dµ, Dν ] ha una naturale inter-pretazione geometrica: il trasporto parallelo lungo una curva chiusa non è l’identità, eanzi lungo un quadrato infinitesimo di lati dxµ e dyµ intorno a punto x è

W (γx←x) ' exp(−igFµν(x)dxµdyν) (3.46)

Vediamo infine il trasporto parallelo per una curva finita. Data una curva γ : [0, 1] 3s → zµ(s) ∈ M, con endpoints x e y, poniamo W (s) = W (γz(s)←x). Usando le proprietàdi composizione del trasporto parallelo è

W (s+ ds)−W (s) = (Wγz(s)+dz←z(s) − 1)W (γz(s)←x)

= −igAµ(z(s))dzµ

dsdsW (s) +O(ds2)

(3.47)

3.3. TRASPORTO PARALLELO 29

i.e.dW

ds= −igAµ(z(s))

dzµ

dsW (s) (3.48)

La soluzione di tale equazione è ben nota dalla meccanica quantistica, dato che formal-mente è identica alla soluzione di Dyson per l’operatore di evoluzione temporale. Alloraè

W (s) = P exp

(−ig

∫ s

0Aµ(z(s

′))dzµ

ds′ds′)

(3.49)

dove P denota il path-ordering, analogo all’ordinamento temporale. W è noto anchecome Wilson line e, in generale, non è invariante di gauge. Tuttavia, se la curva γ èchiusa possiamo costruire una quantità invariante di gauge nota come come Wilson loop,semplicemente prendendo la traccia

W = trW (1) = trP exp

(−ig

∮γA

)(3.50)

Capitolo 4

Quantizzazione delle teorie digauge

Siamo ora pronti a quantizzare la lagrangiana per la cromodinamica e a studiarla, almenoperturbativamente.

4.1 Path integral bosonicoUna generica teoria di campo quantistica è descritta da un certo set (continuo) di coor-dinate canoniche Qa(x) e Pa(x), con regole di commutazione (in unità naturali) a tempiuguali

[Qa(t0,x), Pb(t0,y)] = iδab δ(3)(x− y) (4.1)

e con tutti gli altri commutatori nulli. a e b denota altri possibili indici discreti del campo,ad esempio un indice vettoriale o di colore. Dato che le ”posizioni” commutano tra loro,possiamo diagonalizzarle simultaneamente

Qa |q, t0〉 = qa |q, t0〉 (4.2)

e valgono le usuali regole di orgonalità e di completezza

〈q′, t0|q, t0〉 =∏a

δ(qa − q′a) = δ(q − q′) ,∫ ∏

a

dqa |q, t0〉〈q, t0| = 1 (4.3)

Lo stesso possiamo fare per gli ”impulsi”

Pa |p, t0〉 = pa |p, t0〉 (4.4)

e in tal caso

〈p′, t0|p, t0〉 =∏a

δ(pa − p′a) = δ(p− p′) ,∫ ∏

a

dpa |p, t0〉〈p, t0| = 1 (4.5)

Inoltre, le funzioni d’onda sono date da

〈q, t0|p, t0〉 =∏a

eiqapa

√2π

(4.6)

31

32 CAPITOLO 4. QUANTIZZAZIONE DELLE TEORIE DI GAUGE

Tali definizioni valgono a un dato e fissato tempo t0, ma possono essere estese a tuttii tempi a patto di passare in rappresentazione di interazione, ponendo

Qa(t,x) = eiH(t−t0)Qa(t0,x)e−iH(t−t0) , Pa(t,x) = eiH(t−t0)Pa(t0,x)e

−iH(t−t0) (4.7)

L’Hamiltoniana qui è pensata come una funzione diQa(t0) e Pa(t0). Si noti che gli autostatidi posizione e impulso al tempo t sono dati da

|q, t〉 = eiH(t−t0) |q, t0〉 , |p, t〉 = eiH(t−t0) |q, t0〉 (4.8)

di modo che le relazioni di ortogonalità e completezza siano valide ad ogni tempo (datal’hermitianità dell’Hamiltoniana).

Consideriamo ora due tempi t e t′ > t e supponiamo di voler calcolare l’ampiezza ditransizione

〈q′, t′|q, t〉 (4.9)

Chiaramente, tale ampiezza si riscrive come il valor medio

〈q′, t′|q, t〉 = 〈q′, t|e−iH(t′−t)|q, t〉 (4.10)

dunque effettivamente dal calcolo dei valori medi a tempi uguali possiamo ricostruire unaqualunque ampiezza di interesse. Partiamo dal caso in cui t′ = t + δt, con δt t. In talcaso, supponendo che l’Hamiltoniana abbia una espansione in serie di Qa(t0) e Pa(t0), è

H(Qa(t0), Pa(t0)) = e−iH(t−t0)H(Qa(t), Pa(t))eiH(t−t0) (4.11)

e così〈q′, t′|q, t〉 = 〈q′, t0|e−iH(Qa(t0)Pa(t0))δt|q, t0〉 (4.12)

Così, se H è l’Hamiltoniana ”QP -ordinata”, ossia l’Hamiltoniana ottenuta da H riscri-vendo tramite le regole di commutazione tutte le coordinate a sinistra e tutti gli impulsia destra, è

〈q′, t′|q, t〉 =∫ ∏

a

dpa2π

exp

−iH(q′, p)δt+ i

∑a

pa(q′a − qa)

(4.13)

dove si è usata la relazione di completezza per gli autostati dell’impulso. Non abbiamomai usato il fatto che δt sia infinitesimo: effettivamente, tale assunzione mostra che l’e-sponenziale di Hδ e l’esponenziale di Hδt differiscono per termini al più O(δt2), graziealla relazione BCH. In tal modo, l’ampiezza per differenze temporali finite si può otteneretramite l’usuale proprietà convolutiva per l’operatore di evoluzione temporale

〈q′, t′|q, t〉 =⟨q′, t′

∣∣ ∫ ∏a

N∏j=1

dqa(j)∣∣q(N), tN

⟩ ⟨q(N), tN

∣∣ . . . ∣∣q(1), t1⟩ 〈q(1), t1|q, t〉 (4.14)

dove δt = (t′ − t)/N e tj = t+ j δt. Se N è scelto abbastanza grande, allora è

〈q′, t′|q, t〉 =∫ ∏

a

N∏j=1

dqa(j)

N∏k=0

dpa,(k)

2πexp

iN+1∑j=1

(∑b

pb,(k−1)(qb(k) − q

b(k−1))−H(q(k), p(k−1))δt

)(4.15)

4.1. PATH INTEGRAL BOSONICO 33

dove q(0) = q e q(N+1) = q′.1 Prendiamo ora il limite per N → ∞ e introduciamo duefunzioni opportune qa(τ) e pa(τ) tali che

qa(t+ j δt) = qa(j) , pa(t+ j δj) = pa,(j) (4.16)

In tal modo, l’esponente nella 4.15 è, con precisione O(δt2)

i

∫ t′

tdτ

(−H(q(τ), p(τ)) +

∑a

pa(τ)qa(τ)

)(4.17)

Nello stesso limite, poniamo

DqDp =∏a,τ

dqa(τ)dpa(τ)

2π= lim

N→∞

∏a

N∏i=1

N∏j=0

dqa(i)dpa,(j)

2π(4.18)

e in tal modo è

〈q′, t′|q, t〉 =∫ q(t′)=q′

q(t)=qDqDp exp

i

∫ t′

tdτ

(−H(q(τ), p(τ)) +

∑a

pa(τ)qa(τ)

)(4.19)

Questo integrale è detto integrale sui cammini, perchè di fatto stiamo associando unacerta ampiezza di transizione ad ogni cammino q(τ) che abbia q e q′ come endpoints, i.e.q(t) = q e q(t′) = q′, e poi stiamo sommando tali ampiezze al variare del cammino2. Più ingenerale, supponiamo di avere degli operatori O1, . . .On funzioni di Qa e Pa, e supponiamodi voler calcolare l’elemento di matrice

〈q′, t′|T[O1(Qa(t1), Pa(t1) . . .On(Qa(tn), Pa(tn)]|q, t〉 (4.20)

Supponendo t1 ≥ t2 ≥ . . . ≥ tn, possiamo ripetere i passaggi precedenti e discretizzarel’intervallo temporale t′−t in N intevarlli di ampiezza δt = (t′−t)/N . Una volta inserite lerelazioni di completezza, possiamo valutare gli operatori Oi negli autovalori della posizionee dell’impulso, e l’errore commesso èO(δt2) come in precedenza. Così l’elemento di matriceè facilmente

〈q′, t′|T[. . .]|q, t〉 =∫ q(t′)=q′

q(t)=qDqDpO1(q

a(t1), pa(t1) . . .On(qa(tn), pa(tn)×

× exp

i

∫ t′

tdτ

(−H(q(τ), p(τ)) +

∑a

pa(τ)qa(τ)

)(4.21)

e in generale possiamo calcolare allo stesso modo un qualunque prodotto T-ordinato.Concentriamoci ora sull’esponente del path integral. Questo ricorda da molto vicino

la trasformata di Legendre dell’Hamiltoniana, cioè la lagrangiana, ma non lo è, dato che1Si noti che abbiamo un integrale sugli impulsi in più. Questo fatto, in una trattazione non relativistica

e per la singola particella, è essenzialmente il motivo per cui la costante di normalizzazione del path integralrisulterà divergente.

2Per essere precisi, questo cammino è in realtà nello spazio delle fasi, visto che stiamo integrando anchesugli impulsi.


le funzioni q(τ) e p(τ) non sono legate dalle equazioni di Hamilton. Tuttavia, possiamosupporre che l’Hamiltoniana sia quadratica negli impulsi, ossia

H(q, p) =1

2paA

ab(q)pb +H ′(q) (4.22)

In tal caso, ricordando che per una forma quadratica Q(x) su Rn

Q(x) =1

2xiMijxj +Bixi + c (4.23)

con M matrice simmetrica definita positiva e invertibile, è∫dx1 . . . dxn e

−Q(x) =e−Q(x)√det

M

2π

(4.24)

dove x è il punto stazionario di Q, allora si ottiene per il path integral sugli impulsi∫Dp exp

i

∫ t′

tdτ

(−H(q(τ), p(τ)) +

∑a

pa(τ)qa(τ)

)=

1√det

A(q)

2π

exp

i

∫ t′

tdτ

(−H(q(τ), p(τ)) +

∑a

pa(τ)qa(τ)

)(4.25)

Il punto stazionario è ovviamente definito da

∂H

∂p= q (4.26)

e dunque in tal caso l’esponente si riduce effettivamente alla lagrangiana. Nella maggiorparte dei casi di interesse, A non dipende esplicitamente da q e dunque può essere estrattadall’integrale rimanente sulle posizioni. Il path integral si riduce allora ai soli cammini sullospazio delle q, con le opportune condizioni al bordo, e pesati con l’esponenziale dell’azioneclassica valutata sulla soluzione classica delle equazioni del moto con le condizioni al bordoopportune.

Fermiamoci un attimo. Abbiamo capito come calcolare gli elementi di matrice 4.20 pergenerici stati iniziale e finale, e generici operatori inseriti. In realtà, in teoria dei campisiamo più interessati alle funzioni di Green, cioè ai valor medi sul vuoto dei prodotti deicampi, schematicamente3

G(n)(x1, . . . , xn) = 〈Ω|T[ϕ(x1), . . . ϕ(xn)]|Ω〉 (4.27)

Qui il cappuccio ci ricorda che gli operatori di campi sono, appunto, operatori. Percalcolare le funzioni di Green, supponiamo che ci sia un mass gap (ossia che l’energiadel ground state |Ω〉 sia strettamente minore di quella di ogni altro stato) e continuiamo

3Per brevità, ignoriamo i possibili indici discreti, che possono essere reintrodotti banalmente.


analiticamente gli elementi di matrice che abbiamo calcolato per tempi immaginari. Inparticolare, calcoliamo4

〈ϕ′, T e−iε|T[ϕ(x1), . . . ϕ(xn)]|ϕ,−Te−iε〉 (4.28)

per T, ε > 0. Inserendo un set completo di autostati dell’Hamiltoniana e ponendo |ϕ, 0〉 =|ϕ〉, è

〈q′, T e−iε|T[Q(x1), . . . Q(xn)]|q,−Te−iε〉 =∑n,m

e−i(En+Em)Te−iε〈q′|n〉〈n|T[Q(x1), . . . Q(xn)]|m〉〈m|q〉

(4.29)Supponiamo di prendere ora i limiti T → ∞ e ε → 0 in questo ordine. Dato che stiamosupponendo che ci sia un mass gap, il contributo degli stati diversi dal fondamentale èsoppresso esponenzialmente, dunque per grandi T (e ”piccoli” ε, cioè per 0 < ε < π) è

〈q′, T e−iε|T[Q(x1), . . . Q(xn)]|q,−Te−iε〉 ' e−2iEΩTe−iε〈ϕ′|Ω〉〈Ω|ϕ〉G(n)(x1, . . . xn) (4.30)

Ovviamente, lo stesso vale anche in assenza di prodotti T-ordinati, i.e.

〈ϕ′, T e−iε|ϕ,−Te−iε〉 ' e−2iEΩTe−iε〈ϕ′|Ω〉〈Ω|ϕ〉 (4.31)

Di conseguenza, se |ϕ〉 e |ϕ′〉 sono scelti con overlapping non nullo col vuoto, è

G(n)(x1, . . . , xn) = limε→0

limT→∞

〈ϕ′, T e−iε|T[ϕ(x1), . . . ϕ(xn)]|ϕ,−Te−iε〉〈ϕ′, T e−iε|ϕ,−Te−iε〉

=

∫Dϕϕ(x1) . . . ϕ(xn)ei

∫d4xL[ϕ]∫

Dϕei∫d4xL[ϕ]

(4.32)

Abbiamo introdotto la densità lagrangiana L[ϕ] e usato il fatto che, per grandi T , l’espo-nente diventa effettivamente l’integrale di L sullo spaziotempo. Le condizioni al bordo peril calcolo del path integral sono ovviamente ϕ(−∞+ iε) = ϕ e ϕ(+∞− iε) = ϕ′. Possiamoperò anche porre ϕ = ϕ′ e integrare su ϕ sia a numeratore che denominatore, senza chela frazione venga modificata. Nel seguito supporremo quindi che il path integral sia fattocon condizioni periodiche al ”bordo” (intendendo con bordo quello a tempi lievementeimmaginari). Infine, notiamo che la 4.32 ricorda molto da vicino i valor medi ottenibili inmeccanica statistica. Per questo motivo, la funzione

Z =

∫Dϕei

∫d4xL[ϕ] (4.33)

viene detta funzione di partizione. Più in generale, possiamo accoppiare una sorgenteclassica J al campo ϕ e definire il funzionale generatore Z[J ] come

Z[J ] =∫Dϕei

∫d4x (L[ϕ]+ϕ(x)J(x)) (4.34)

4Qui |ϕ, t〉 è l’autostato di ϕ al tempo t con autovalore ϕ.


In tal modo, la funzione di partizione è Z = Z[0], e inoltre le funzioni di Green sonobanalmente date dalle derivate del funzionale generatore rispetto alla sorgente

G(n)(x1, . . . , xn) =(−i)n

Z[0]δn

δJ(x1) . . . δJ(xn)Z[J ]

∣∣∣∣J=0

(4.35)

Come esempio di applicazione, consideriamo una teoria scalare con un potenziale V

L =1

2∂µϕ∂

µϕ− 1

2m2ϕ2 − V (ϕ) (4.36)

e indichiamo con L0 = L + V la lagrangiana libera. Similmente, denotiamo con Z[J ] eZ0[J ] i funzionali generatori della teoria interagente e della teoria libera rispettivamente.Ovviamente, la discussione sulle funzioni di Green è facilmente generalizzabile al calcolodi Z[J ] e porta facilmente a

Z[J ] = exp

(−i∫

d4xV

(δ

δJ(x)

))Z0[J ] (4.37)

dunque possiamo pensare di definire la teoria interagente ”appoggiandoci” sulla teorialibera. Questo si traduce poi anche nelle usuali formule per le funzioni di Green costruitea partire dalla teoria libera, infatti denotando con |0〉 il vuoto libero si ottiene subito laformula LSZ

〈Ω|T[ϕ(x1) . . . ϕ(xn)]|Ω〉 =〈0|T[ϕ(x1) . . . ϕ(xn)e−i

∫d4xV ]|0〉

〈0|Te−i∫d4xV |0〉

(4.38)

Comunque, difficilmente è possibile fare questi calcoli esattamente, dunque tale definizioneè ragionevole solo se è possibile mantenere i primi termini dell’espansione 4.37, i.e. solo sela teoria interagente ha una ragionevole espansione perturbativa. Intuitivamente, questoaccade se il potenziale (ossia i termini di interazione) sono ”piccoli” rispetto ai terminiliberi. Veniamo ora al calcolo di Z0, ossia al calcolo degli unici integrali sui cammini chesappiamo fare: infatti, per la teoria libera otteniamo l’integrale gaussiano

Z0[J ] =

∫Dϕ exp

[i

∫d4x

(−1

2ϕ(+m2)ϕ+ Jϕ

)]=

1√det

+m2

2π

exp

(i

2

∫d4x d4y J(x)K−1(x, y)J(y)

)(4.39)

Per il calcolo, si è usato l’integrale gaussiano su Rn∫dx1 . . . dxn e

− 12xtAx+Btx+C =

e12BtA−1B√det

A

2π

(4.40)

valido per una generica matrice A simmetrica e invertibile. Inoltre, K(x, y) è l’operatore

K(x, y) = δ(4)(x− y)(y +m2) (4.41)


e il suo inverso è definito come∫d4z K(x, z)K−1(z, y) = δ(4)(x− y) (4.42)

i.e. K−1 è la funzione di Green per l’operatore cinetico K, o ancora K(x, y) e K−1(x, y)sono le ”matrici” associate agli operatori K e K−1 nello spazio delle coordinate. Chiara-mente, l’equazione per K−1 si riscrive come

(x +m2)K−1(x, y) = δ(4)(x− y) (4.43)

e dunque passando in trasformata di Fourier è

K−1(p) =1

m2 − p2(4.44)

In realtà, nel path integral dobbiamo tener conto che dobbiamo ruotare alla Wick lacoordinata temporale. In tal modo, definendo

xµ = (x0e−iε,x) (4.45)

con ε 1, si ottiene che la corretta definizione di K e K−1 è tramite le coordinate tildate.La definizione naturale per gli impulsi è invece

kµ = (k0eiε,k) (4.46)

Infatti in tal modo la trasformata di Fourier della δ rimane invariataδ(x0 − y0) = eiε δ(x0 − y0)

= eiε∫

dk0

2πe−ik

0(x0−y0)

=

∫dk0

2πe−ik

0(x0−y0)

(4.47)

In tal modo, la corretta funzione di Green è

K−1(p) =1

m2 − p2(4.48)

i.e., tornando agli impulsi reali

K−1(p) =1

m2 − p2 − iε(4.49)

e infineK−1(x, y) =

∫d4k

(2π)41

m2 − k2 − iεe−ik(x−y) (4.50)

Da questa, è immediato calcolare la funzione di Green a due punti per la teoria libera,dato che in tale teoria il funzionale generatore è noto. Si trova

G(2)0 (x1, x2) =

∫d4k

(2π)4i

k2 −m2 + iεe−ik(x1−x2) (4.51)

e in generale la funzione ha due punti ha sempre questa forma per una qualunque teorialibera, i.e è −iK−1, dove K−1 è l’inverso dell’operatore cinetico, e dove ci si ricorda diimplementare la prescrizione di Feynamn m2 → m2 − iε.


4.2 Path integral fermionicoIn questa sezione cerchiamo di generalizzare la costruzione precedente al caso di unateoria fermionica. In tale teoria infatti le coordinate canoniche soddisfano regole dianticommutazione della forma

Qa(t0,x), Pb(t0,y) = iδab δ(3)(x− y) (4.52)

mentre gli altri anticommutatori sono nulli. Nella sezione precedente, l’intera costruzionedel path integral si basava sul commutatore a tempi uguali tra posizioni e impulsi, dunqueil path integral ottenuto descrive teorie bosoniche. Il corrispondente integrale funzionaleper fermioni richiede invece l’introduzione di variabili anticommutanti, dette variabili diGrassmann, che svolgono il ruolo che nella sezione precedente avevano gli autovalori di Qae Pa. Supponiamo quindi di avere N variabili ηi anticommutanti

ηi, ηj = 0 (4.53)

e supponiamo che tali oggetti siano una base di un’algebra. Dato che η2i = 0, la piùgenerale funzione di tali variabili ha un’espansione in serie finita

f(η) = f (0) +∑i

f(1)i ηi +

∑ij

f(2)ij ηiηj + . . .+ f

(N)12...NηNηN−1 . . . η2η1 (4.54)

Più in generale, le funzioni analitiche sono definite tramite la propria serie di Taylor,opportunamente troncata. Così, l’esponenziale di una singola variabile di Grassmann è

eη = 1 + η (4.55)

mentre per 2N variabili di Grassmann η1, η1 . . . ηN , ηN e per una matrice antisimmetricaA N ×N è

e∑

ij ηiAijηj =∏i

e∑

j ηiAijηj =∏i

1 + ηi∑j

Aijηi

(4.56)

Fatta questa osservazione, vediamo come definire le derivate e gli integrali. Ovviamenteci basta dare le definizioni per una stringa di variabili di Grassmann. Per le derivate,possiamo definire una derivata sinistra e una derivata destra, e queste sono (per unastringa contenente ηi)

∂

∂−→η i(ηiR) = R , (Lηi)

∂

∂←−η i= L (4.57)

dove R e L sono le stringhe di variabili di Grassmann ottenute da quella di partenzaspostando ηi a sinistra o destra, rispettivamente. Se invece ηi non compare, la derivata ènulla. Ad esempio, è

∂

∂−→η ieηjηj = ηie

ηjηj , eηjηj∂

∂←−η i= eηjηj ηi (4.58)

L’integrazione su variabili di Grassmann, detta integrazione di Berezin, è invece definitatramite ∫

dηi 1 = 0 ,

∫dηi ηi = 1 , dηi, dηj = 0 (4.59)

4.2. PATH INTEGRAL FERMIONICO 39

In particolare, questa definizione di integrale assicura che la misura sia invariante pertraslazioni, e inoltre con tale definizione l’integrale coincide con la derivata sinistra. Ov-viamente, per N variabili di Grassmann e per una f come in 4.54, è∫

dη1 . . . dηN f(η) = f12...N (4.60)

Si noti l’ordine in cui compaiono le variabili di integrazione! Comunque, l’integrale piùimportante con cui avremo a che fare è sicuramente l’usuale integrale gaussiano. Si ricordiche per variabili reali su Rn è∫

dx1√2π

. . .dxn√2π

e−∑

i.j xiAijxj =1√detA

(4.61)

Viceversa, per 2n variabili di Grassmann è∫dη1dη1 . . . dηndηn e

−∑

i,j ηiAijηj =

∫dη1dη1 . . . dηndηn

∑j1,...,jn

ηnAnjnηjn . . . η1A1j1η1

=∑σ∈Sn

(−)σAnσ(n) . . . A1σ(1)

= detA(4.62)

Similmente, quando si effettua un cambio di variabili per variabili di Grassmann compareuno Jacobiano inverso. Infatti, riprendendo la 4.54, abbiamo già notato che∫

dη1 . . . dηN f(η) = f12...N (4.63)

Se ora facciamo il cambio di variabili

ηi =Mijφj (4.64)

dove φ1, . . . φN sono altre N variabili di Grassmann, è∫dφ1 . . . dφN f(η(φ)) = f12...NMNjN . . .M1j1

∫dφ1 . . . dφN φjN . . . φj1

= f12...N detM

(4.65)

e così èdη1 . . . dηN =

dφ1 . . . dφNdetM

(4.66)

Infine, siamo pronti a dare il funzionale generatore per una teoria fermionica libera.Questa sarà caratterizzata da una certa matrice cinetica A, di modo che sia

Z[ρ, ρ] =∫DψDψ exp

∫d4x

(−∫

d4y ψ(x)A(x, y)ψ(y) + ψ(x)ρ(x) + ρ(x)ψ(x)

)(4.67)

Se trasliamo le coordinate fermioniche come

ψ(x) = ψ′(x) +

∫d4z A−1(x, z)ρ(z) , ψ(x) = ψ′(x) +

∫d4z ρ(z)A−1(z, x) (4.68)


si ottiene subito

Z[ρ, ρ] =∫Dψ′Dψ′ exp

−∫

d4x d4y(−ψ′(x)A(x, y)ψ(y) + ρ(x)A−1(x, y)ρ(y)

)= detA exp

(∫d4x d4y ρ(x)A−1(x, y)ρ(y)

)(4.69)

Più in generale, per una generica funzione di Green avremo

G(n,n)(x1, . . . xn, y1, . . . , yn) = 〈Ω|T[ψ(x1) . . . ψ(xn) ˆψ(y1) . . . ˆψ(yn)]|Ω〉

=

∫DψDψ ψ(x1) . . . ψin(xn)ψ(y1) . . . ψ(yn) e−

∫d4xd4y ψ(x)A(x,y)ψ(y)∫

DψDψ e−∫d4xd4y ψ(x)A(x,y)ψ(y)

(4.70)e tale rapporto può essere calcolato come derivata funzionale del funzionale generatore

G(n,n)(x1, . . . xn, y1, . . . , yn) =1

Z[0, 0]

(∂

∂−→ρ (x1)

. . .∂

∂−→ρ (xn)

Z[ρ, ρ] ∂

∂←−ρ (y1). . .

∂

∂←−ρ (yn)

)ρ=ρ=0

(4.71)ve si intende che le derivate sono svolta partire da quella a sinistra. Ad esempio, per lafunzione a due punti è

G(1,1)(x, y) = A−1(x, y) (4.72)

Come esempio, consideriamo l’usuale teoria libera per un fermione

L = ψ(i/∂ −m)ψ (4.73)

di modo che, esplicitando gli indici di Lorentz degli spinori

Aαβ(x, y) = −iδ(4)(x− y)(i/∂y −m)αβ (4.74)

L’operatore inverso è definito, come al solito, da∫d4z Aαγ(x, z)A

−1γβ (z, y) = δαβδ

(4)(x− y) (4.75)

ossia, in trasformata di Fourier

(/p−m)αγA−1γβ (p) = iδαβ (4.76)

e la soluzione è banalmente

A−1αβ(x, y) =

∫d4k

(2π)4i(/k +m)αβk2 −m2 + iε

e−ik(x−y) (4.77)

dove ci siamo anche ricordati di inserire la corretta prescrizione iε, m2 → m2 − iε.

4.3. QUANTIZZAZIONE DELLE TEORIE DI GAUGE 41

4.3 Quantizzazione delle teorie di gauge

Veniamo infine alla quantizzazione delle teorie di gauge. Questa sezione ovviamente potràessere applicata anche alla QED. Il problema fondamentale delle teorie di gauge è che,classicamente, sono teorie con vincoli. Ciò significa che ci sono delle sottigliezze nel passaredalla descrizione lagrangiana a quella hamiltoniana del sistema. Questo è chiaro, in QED,dal fatto che il momento coniugato ad Aµ è

πµ =dL

d∂0Aµ= F 0µ (4.78)

e in particolare è π0 = 0. Questo fatto dà seri problemi nella quantizzazione canonicadella teoria, perché ovviamente non possiamo richiedere simultaneamente π0 = 0 e

[A0(x, t), π0(y, t)] = iδ(3)(x− y) (4.79)

In più, il propagatore fotonico non è ben definito, perchè l’operatore cinetico è

Kµν(x, y) = δ(4)(x− y)(∂µ∂ν − ηµν) (4.80)

e in particolare non è invertibile, dato che le funzioni della forma ∂νλ sono autofunzionidell’operatore cinetico con autovalore nullo. In realtà sappiamo già come trattare que-st’ultimo problema: le configurazioni di campo fisicamente rilevanti non corrispondonodirettamente a una data funzione Aµ, ma piuttosto a tali funzioni a meno di gauge. Intal senso quindi lo spazio delle configurazioni è lo spazio di tali funzioni modulo ∼, dovela relazione di equivalenza ∼ è

Aµ ∼ A′µ ⇐⇒ A′µ = Aµ + ∂µλ (4.81)

e dunque i modi zero dell’operatore cinetico sono gauge-equivalent alla configurazione nullaAµ = 0. Le classi di equivalenza sotto ∼ sono dette, per ovvie ragioni, orbite di gauge.

Vediamo come quantizzare queste teorie tramite path integral. Partendo dalla teoriadi sola gauge, la funzione di partizione è

Z =

∫DAeiS[A] (4.82)

doveS[A] =

∫d4x

(−1

4trFµνF

µν

), Fµν = ∂[µAν] + ig[Aµ, Aν ] (4.83)

Per prima cosa, mostriamo che la misura è invariante di gauge. Esplicitamente, è

DA =∏a,µ,x

dAaµ(x) (4.84)

Sotto trasformazioni di gauge infinitesime è

δAaµ = −fabcθbAcµ −1

g∂µθ

a (4.85)


di modo che

δ(Aaµ(x) + δAaµ(x))

δAbν(y)= δabδνµδ

(4)(x− y) + fabcθc(x)δνµδ(4)(x− y) (4.86)

Il cambiamento della misura funzionale è allora

DA′ = DAdet(δabδνµδ(4)(x− y) + fabcθc(x)δνµδ

(4)(x− y))

= DA[1 + tr (fabcθc(x)δνµδ(4)(x− y))]

= DA

(4.87)

dato che le costanti di struttura sono antisimmetriche. Si è usato il fatto che la trasfor-mazione è infinitesima e che det(1+A) = 1 + trA all’ordine più basso.

Il path integral scritto ha quindi un enorme double counting delle configurazioni fi-sicamente inequivalenti, dato che stiamo integrando su tutte le configurazioni di Aµ, inparticolare anche su quelle nella stessa orbita di gauge, e tali configurazioni danno lo stessocontributo. Possiamo quindi pensare di considerare la funzione di partizione per il volumedel gruppo di gauge

Z ′ = 1

VG

∫DAeiS[A] (4.88)

Infatti, le funzioni di correlazione calcolate con Z o con Z ′ sono chiaramente le stesse.Poniamo ora

A(U)µ = UAµU

† +i

g(∂µU)U † (4.89)

e introduciamo una (generica) condizione di gauge fixing: questa è definita come unacondizione del tipo

GµA(U),aµ (x) = Ba(x) (4.90)

che abbia una e una sola soluzione U per una data orbita di gauge. In tal modo, lacondizione di gauge fixing permette di estrarre un rappresentante per ogni orbita di gauge.Definiamo ora il determinante di Faddeev-Popov come

∆FP[A]−1 =

∫DU δ(GµA(U)

µ −B) (4.91)

dove la misura DU è intesa come misura di Haar del gruppo di gauge. In tal modo ildeterminante di Faddeev-Popov è facilmente invariante di gauge

∆FP[A(U ′)]−1 =

∫DU δ(GµA(U ′U)

µ −B)

=

∫D(U ′U) δ(GµA(U ′U)

µ −B)

= ∆FP[A]−1

(4.92)

In tal modo, inserendo l’identità nella funzione di partizione, è

Z ′ = 1

VG

∫DADU ∆FP [A]δ(G

µA(U)µ −B) eiS[A] (4.93)

4.3. QUANTIZZAZIONE DELLE TEORIE DI GAUGE 43

Dato che la misura, l’azione e il determinante di Faddeev-Popov sono invarianti di gauge,è

Z ′ = 1

VG

∫DUDA(U)∆FP [A

(U)]δ(GµA(U)µ −B) eiS[A

(U)]

=1

VG

∫DUDA∆FP [A]δ(G

µAµ −B) eiS[A]

=

∫DA∆FP [A]δ(G

µAµ −B) eiS[A]

(4.94)

dove al terzo passaggio si è cambiato il nome della variabile di integrazione A(U). Così, alquarto passaggio l’integrale sul gruppo di gauge cancella esattamente V −1G .

Lavoriamo ora sul determinante di Faddeev-Popov: usando le proprietà della δ ericordando la misura di Haar di SU(N), è

∆FP[A]−1 =

∫Dθ J(θ)δ(GµA(U)

µ −B)

=J(θ)

detM(θ)

(4.95)

dove U = eiθaTa , con U unica soluzione della condizione di gauge fixing, e dove

Mab(x, y)(θ) =δ(GµA

(U(θ)),aµ (x))

δθb(y)

∣∣∣∣∣θ=θ

(4.96)

Si noti tuttavia che nell’espressione per Z ′ il determinante di Faddev-Popov comparesempre con δ(GµAµ − B), dunque è GµA(U)

µ = GµAµ e per unicità della soluzione dellacondizione di gauge fixing è U = 1, così è

∆FP[A]δ(GµAµ −B) = detM δ(GµAµ −B) (4.97)

dove M =M(0) e dove si è ricordato J(0) = 1. M è detta matrice di Faddeev-Popov. Lafunzione di partizione è dunque

Z ′ =∫DA detMδ(GµAµ −B) eiS[A] (4.98)

e, naturalmente, non dipende esplicitamente dai Ba. Possiamo allora integrare su B e usarela misura di integrazione che più ci aggrada: questa operazione moltiplica la funzione dipartizione per una costante, che come sappiamo è irrilevante nel calcolo delle funzioni dicorrelazione. Allora, scegliendo una misura gaussiana, è

Z ′ =∫DADB e−

i2α

∫d4xBaBa

detMδ(GµAµ −B) eiS[A]

=

∫DA detM eiS[A]+iSGF[A]

(4.99)

dove SGF[A] è l’azione di gauge-fixing

SGF[A] = −∫

d4x1

2α(GµAaµ)

2 (4.100)


In altre parole, il gauge fixing può essere implementato in maniera naturale a livello dellalagrangiana, introducendo un parametro ausiliario e non dinamico α, la cui equazionedel moto è proprio la condizione di gauge-fixing. Similmente, anche il determinante diFaddev-Popov può essere implementato a livello di lagrangiana, dato che

detM =

∫DcDc exp

(−1

2

∫d4x d4y ca(x)Mab(x, y)c

b(y)

)(4.101)

La forma esplicita di M dipende effettivamente dalla scelta del gauge-fixing. I campi ca eca sono detti ghost e anti-ghost e hanno strane proprietà: infatti, sono chiaramente campiscalari, dato che non hanno indici di Lorentz, ma sono anche anticommutanti, quindiviolano il teorema di spin-statistica. In altre parole, non possono mai essere presenticome stati asintotici in un processo. Veniamo ora alla forma esplicita della matrice diFaddeev-Popov in gauge di Lorentz. In tal caso, è

Mab(x, y) =δ(∂µ(Aaµ(x)− fadcθd(x)Acµ(x)− g−1∂µθa(x))

δθb(y)

∣∣∣∣∣θ=0

= −1

g∂µx(δab∂µ + gfabcA

cµ(x)

)δ(4)(x− y)

= −1

g∂µx (D

(adj)µ )abδ

(4)(x− y)

(4.102)

e così la lagrangiana per i ghost, nota come lagrangiana di Faddeev-Popov, è (a meno didivergenze totali, e a meno di ridefinire i campi dei ghost per eliminare g−1)

LFP = ∂µca (D(adj)µ c)a (4.103)

Si noti che nel caso di una teoria abeliana come la QED le costanti di struttura sono nulle,dunque la derivata covariante si riduce a una derivata usuale, dunque i ghost sono liberie non interagiscono in alcun modo con le particelle fisiche della teoria, dunque possonoessere tranquillamente ignorati. Nel caso generale invece possono essere presenti comestati intermedi. L’introduzione dei fermioni non introduce ulteriori sottigliezze, dunque lafunzione di partizione per una teoria di gauge è

Z =

∫DADcDcDψDψ ei

∫d4x (LG[A]+LF [A,ψ,ψ]+LGF[A]+LFP[A,c,c]) (4.104)

conLG = −1

2trFµνF

µν

LF = ψ(i /D −m)ψ

LGF = − 1

2α(∂µAµ)

2

LFP = ∂µc D(adj)µ c

(4.105)

Capitolo 5

QCD perturbativa

In questo capitolo descriviamo le regole di Feynman per una generica teoria di gauge, epoi studiamo la rinormalizzazione di una generica teoria di gauge con gruppo di gaugeSU(Nc), Nc colori e Nf flavour.

5.1 Regole di FeynmanCon la funzione di partizione, siamo in grado di dare tutte le regole di Feynman per lateoria. Estriamo la parte quadratica nei campi della lagrangiana

L(2) = −1

4(∂[µA

aν])

2 − 1

2α(∂µAaµ)

2 + ψi(i/∂ −m)ψi + ∂µca ∂µca (5.1)

ed esplicitiamo anche la parte di interazione

Lint = gfabc(∂µAa,ν)AbµAcν − gψi /A

aT aijψj + gfabcAaµ ∂

µcbcc (5.2)

5.1.1 Propagatori

Il propagatore per il gluone è −i(Kabµν)−1, dove K è l’operatore

Kabµν(x, y) = δabδ(4)(x− y)(ηµν− ∂µ∂ν + α−1∂µ∂ν) (5.3)

Un calcolo diretto mostra allora che

− i(Kabµν)−1(x− y) =

∫d4k

(2π)4(−i)δab

ηµν − (1− α) kµkνk2+iε

k2 + iεe−ik(x−y) (5.4)

o, a livello di diagrammi

ka, µ b, ν = −iδab

ηµν − (1− α) kµkνk2+iε

k2 + iε(5.5)

Il propagatore per i fermioni è quello libero, e in più è diagonale sul colore

k

i j = iδij/k +m

k2 −m2 + iε(5.6)

45

46 CAPITOLO 5. QCD PERTURBATIVA

Infine, il propagatore per i ghost è quello usuale per uno scalare non massivo

k

a b = iδab1

k2 + iε(5.7)

5.1.2 Vertici

Passiamo ai vertici di interazione. Abbiamo un vertice a un gluone e due fermioni similea quello della QED

j, β

i, α

a, µ = −igγµαβTaij (5.8)

Gli indici greci sono indici di Dirac. La differenza sostanziale tra la QED e una teoria nonabeliana è il fatto che anche i gluoni hanno una carica di colore e interagiscono tra loro.In particolare, è presente un vertice a tre gluoni

k

p

q

a, µ

b, ν c, ρ

= gfabcV µνρ(k, p, q)

= gfabc[ηµν(k − p)ρ + ηνρ(p− q)µ + ηρµ(q − k)ν ]

(5.9)

e anche un vertice a quattro gluoni

a, µ b, ν

c, ρd, σ

= − ig2Wµνρσabcd

= − ig2[fabef cde(ηµρηνσ − ηµσηνρ)+ facef bde(ηµνηρσ − ηµσηνρ)+ fadef bce(ηµνηρσ − ηµρηνσ)]

(5.10)

5.2. RINORMALIZZAZIONE A UN LOOP 47

Infine, è presente un’interazione a un gluone e due ghost

p

b

a

c, µ = −gfabcpµ (5.11)

5.2 Rinormalizzazione a un loop

La QCD è rinormalizzabile, quanto meno per power counting. Come al solito, introducia-mo i campi e le costanti bare in modo che sia

LB = −1

2trFB,µνF

µνB +

∑f

ψB,f (i /DB−mB,f )ψB,f−1

2αB(∂µAB,µ)

2+∂µcBD(adj)B,µ cB (5.12)

dove la derivata covariante bare sui fermioni è

DB,µ = ∂µ + igBAB,µ (5.13)

e similmente per la derivata covariante sui ghost. I campi rinormalizzati sono dati intermini dei campi bare tramite le costanti di rinormalizzazione, che convenzionalmentesono indicate come

AB,µ = Z1/23 AR,µ , ψB = Z

1/22 ψR , cB = Z

1/23 cR

αB = Z3αR , mB,f = Zm,fmR,f , gB = ZggR(5.14)

e le costanti di rinormalizzazione sono generalmente divergenti nel limite in cui il regolatoreviene rimosso. Si noti inoltre che la costante per il parametro di gauge α è la stessa (ameno di un quadrato) del campo di gauge. In linea di principio tali costanti sono diverse,ma in realtà si può mostrare che l’azione efficace è, a parte per il termine di gauge-fixing, invariante di gauge, dunque il termine di gauge-fixing non deve rinormalizzare.Equivalentemente, si può mostrare che la parte longitudinale del propagatore gluoniconon viene modificata dalla rinormalizzazione, dunque il termine di gauge-fixing non vienetoccato dalla procedura di rinormalizzazione.

Come al solito, la lagrangiana bare 5.12 può essere separata in una parte rinormalizzata


e in una parte di contro-termini, esplicitamente

LR = − 1

2trFR,µνF

µνR +

∑f

ψR,f (i /DR −mR,f )ψR,f −1

2αR(∂µAR,µ)

2 + ∂µcRD(adj)R,µ cR

LCT = − 1

4(Z3 − 1)(∂[µA

aν])

2∑f

ψR,f (i(Z2 − 1)/∂ − (Z2Zm − 1)mR,f )ψR,f

+ (Z3 − 1)∂µcR ∂µcR − (ZgZ2Z1/23 − 1)gR

∑f

ψR,f /ARψR,f

+ gR(ZgZ3/23 − 1)fabc∂µA

aR,νA

b,µR Ac,νR + gR(ZgZ3Z

1/23 − 1)fabc∂µcaRA

cR,µc

bR

− 1

4g2R(Z

2gZ

23 − 1)fabef cdeAaR,µA

bR,νA

c,µR Ad,νR

(5.15)Ognuno dei termini nella lagrangiana dei controtermini dà un contributo alle corrispon-denti funzione di correlazione dello stesso ”ordine” delle correzioni a un loop.

5.2.1 Cenni alla regolarizzazione dimensionale

Senza entrare nel dettaglio dei calcoli, supporremo sempre di regolarizzare le funzioni dicorrelazione tramite regolarizzazione dimensionale. Per prima cosa, si passa dall’integralein segnatura minkowskiana all’integrale in segnatura euclidea, tramite la rotazione di Wickk0 → ikDE e ki → kiE . Poi, si cerca di calcolare g integrali di loop in dimensione d generica,possibilmente complessa. Se tali integrali ammettono una certa regione del piano compleoin cui convergono a una data funzione f(d), il loro valore al di fuori di tale regione è definitocome la continuazione analitica di f , se esiste. In tal modo, la presenza di divergenze perdeterminati valori interi di d manifesta ora tramite opportuni poli nella funzione f . Ilregolatore consiste allora nel mettersi in una dimensione non intera, tipicamente 4− 2ε, ela rimozione del regolatore corrisponde a ε → 0. Come esempio, tramite regolarizzazionedimensionalsi ottiene facilmente∫

d4q

(2π)d1

(q2 +m2)α=

(m2)d/2−α

(4π)d/2Γ(α− d/2)

Γ(α)(5.16)

e ha dei poli quando α − d/2 è un intero non positivo.1 Infine, per semplificare il calcolodegli integrali di loop è molto comodo utilizzare le formule di Feynman

1

ab=

∫ 1

0dx

1

(xa+ (1− x)b)2(5.19)

1Si ricordi che la funzione Γ(z) ha dei poli semplici in z = −n, n ∈ N, e che in un intorno di tali poli è

Γ(−n+ ε) =(−)n

n! ε(1 + εψ(n+ 1) +O(ε))) (5.17)

dove ψ è la funzione digamma, che per valori interi positivi vale

ψ(n+ 1) = −γ +

n∑k=1

1

k(5.18)

con γ la costante di Eulero-Mascheroni.


e più in generale

n∏i=1

1

aλii=

Γ

(n∑i=1

λi

)n∏i=1

Γ(λi)

n∏j=1

(∫ 1

0dxj x

λj−1j

) δ

(1−

n∑k=1

xk

)(

n∑`=1

x`a`

)∑nm=1 λm

(5.20)

Infine, nel caso l’integrale da regolarizzare contenga anche matrici gamma, la regola-rizzazione convenzionale usa

γµ, γν = 2ηµν , γµγµ = d , γµγνγµ = (2− d)γν , tr (γµγν) = 4ηµν (5.21)

mentre una buona definizione della matrice di chiralità non è possibile.2

5.2.2 Rinormalizzazione nello schema MS

Fatta la premessa sulla regolarizzazione dimensionale, diamo i risultati per la rinormaliz-zazione a un loop della QCD per un numero generico di colori e flavour, nello schema dirinormalizzazione MS (cioè nello schema in cui si rimuove solamente la parte di polo dallefunzioni di correlazione). L’ultima osservazione da fare è che il coupling g è adimensionalesolo in d = 4, mentre in dimensione generica d = 4− 2ε ha dimensione ε. Come couplingusiamo quindi gRµε, dove µ è una scala di massa arbitraria, detta scala di rinormaliz-zazione. Si ricordi che per regolarizzare la teoria, è sufficiente regolarizzare i diagrammiconnessi, amputati e 1PI. A un loop, i contributi diagrammatici alle funzioni a due puntisono

2Si ricordi che tale matrice è definita solo in dimensione pari, e che uno spinore di Dirac è irriducibilein dimensione dispari.


• per il gluone

a, µ b, ν =

+

+

+

+

(5.22)

e così si trova in d = 4

Z3 = 1−g2R

(4π)2

[4

3TRNf −

1

2CG

(13

3− αR

)]1

ε+O(g4R) (5.23)

dove TR è l’indice di Dynkin della fondamentale di G e CG il valore del Casimircubico della fondamentale di G.

• Similmente, per i ghost

a b =

+

(5.24)

e così

Z3 = 1 +g2R

(4π)2CG

3− αR4

1

ε+O(g4R) (5.25)


• Per i quark il contributo diagrammatico è analogo a quello dei ghost

i j =

+

(5.26)

e così

Z2 = 1−3g2R(4π)2

CF1

ε+O(g4R) (5.27)

Zm = 1−g2R

(4π)2CFαR

1

ε+O(g4R) (5.28)

CF è il valore del Casimir quadratico di G nella fondamentale.Passiamo ai vertici di interazione. Questi sono

• per il vertice gluone-fermione-fermione

j, β

i, α

a, µ =

+

+

j, β

i, α

a, µ

(5.29)


e si ottiene

ZgZ2Z1/23 = 1−

g2R(4π)2

[3 + αR

4CG + αRCF

]+O(g4R) (5.30)

• per il vertice a tre gluoni e si ottiene

ZgZ3/23 = 1−

g2R(4π)2

[CG

(−17

12+

3αR4

)+

4

3TRNf

]1

ε+O(g4R) (5.31)

• per il vertice a quattro gluoni e si ottiene

Z2gZ

23 = 1−

g2R(4π)2

[(−2

3+ αR

)CG +

4

3TRNf

]1

ε+O(g4R) (5.32)

• per il vertice ghost-gluone si ottiene

Z3Z1/23 = 1−

g2R(4π)2

CGαR2

1

ε+O(g4R) (5.33)

Per fortuna, tutte queste espressioni per le costanti di rinormalizzazione sono consistenticon le espressioni trovate rinormalizzando le sole funzioni a due punti. Questo check diconsistenza prende il nome di identità di Slavnov-Taylor. Inoltre, per una teoria abelianaCG = 0, così è Zg = Z

−1/23 . Più in generale, anche nel caso non abeliano è

Zg = 1−g2R32π2

[11

3CG −

4

3TRNf

]1

ε+O(g4R) (5.34)

La costante bare gB è legata alla costante rinormalizzata da

gBµε0 = ZggRµ

ε (5.35)

e la scala di massa a sinistra può essere scelta, in generale, diversa dalla scala di massa adestra. Dato che il membro di sinistra deve essere indipendente da µ, che come abbiamodetto è una scala arbitraria, allora deve essere

d

dµ(ZggRµ

ε) = 0 (5.36)

e questo richiede che gR dipenda in modo non banale da µ. Così, definendo la β functioncome

β = µdgRdµ

(5.37)

èβ = −εgR −

µ

Zg

dZgdµ

gR (5.38)

Si noti che, in linea di principio, Zg può dipendere da µ esplicitamente, e anche implicita-mente tramite gR, mR e αR. Una proprietà notevole dello schema di rinormalizzazione MS


è che ciò non accade: Zg è funzione di µ solo attraverso gR. Questo rende particolarmentefacile risolvere l’equazione

µdgRdµ

= β(gR) (5.39)

che, nel caso di uno schema di rinormalizzazione diverso, è invece generalmente accoppiataalle equazioni per le β function per mR e αR, ossia

µdgRdµ

= β(gR, αR,

mRµ

)µdmR

dµ= −mRγm

(gR, αR,

mRµ

)µdαRdµ

= −2αRγα(gR, αR,

mRµ

) (5.40)

Inoltre, lo schema MS ha un’altra importante proprietà: sia β che γm non dipendono daαR.

Tornando ai calcoli nello schema MS, dato Zg è una funzione della sola gR, la 5.38 siriscrive come

β = − εgR

1 +gRZg

dZgdgR

(5.41)

e esplicitando Zg dalla 5.34

β = −g3R

(4π)2

(11

3CG −

4

3TRNf

)+O(g5R) (5.42)

Più in generale, β avrà un’espansione in serie di gR della forma

β = −β0g3R − β1g5R − . . . (5.43)

Il calcolo svolto mostra che

β0 =1

(4π)2

(11

3Nc −

2

3Nf

)(5.44)

dove sono stati esplitati CG = Nc e TR = 1/2 nel caso G = SU(Nc). Inoltro, nello schemaMS sono stati calcolati anche β1 e β2, che riportiamo per completezza

β1 =1

(4π)4

[34

3C2G − 4

(5

3CG + CF

)TRNf

](5.45)

β2 =1

(4π)6

[2857

54C3G −

(1415

27C2G +

205

9CGCF − 2C2

F

)TRNf +

(158

27C2G +

44

9C2F

)T 2RN

2f

](5.46)

β0 e β1 non dipendono dal particolare schema di rinormalizzazione, a differenza di βk perk ≥ 2.


5.2.3 Calcolo alternativo della β function

Più in generale, si può mostrare che nello schema MS Zg si espande come

Zg = 1 +∞∑k=1

ak(gR)

εk(5.47)

Inoltre, si ricordi che la β function è

β = −εgR − gRf(gR) , f(gR) =d logZgdlogµ

(5.48)

Si può poi mostrare che la β function è finita nel limite ε→ 0: con tale risultato, è chiaroche anche f ha un limite finito nel limite ε→ 0. Allora è

Zgf(gR) = µdZgdµ

= β

∞∑k=1

a′k(gR)

εk

= −(εgR + gRf(gR))

∞∑k=1

a′k(gR)

εk

(5.49)

In questa relazione, il termine finito a primo membro per ε → 0 è proprio f , mentre iltermine finito al secondo membro è −gRa′1(gR), così è f = −gRa′1(gR) e di conseguenza

β = −εgR + g2Ra′1 (5.50)

5.2.4 Running coupling constant

Integriamo ora l’equazione che definisce la β function. Dato che β dipende da µ solotramite gR, è facilmente

logµ2µ1

=

∫ gR(µ2)

gR(µ1)

dg

β(g)(5.51)

Tale equazione è detta equazione di Gell-Mann e Low. Nel caso in cui consideriamol’approssimazione di β a un loop, è facilmente

logµ2µ1

=1

2β0

(1

g2R(µ2)− 1

g2R(µ1)

)(5.52)

o ancheg2R(µ2) =

g2R(µ1)

1 + 2β0g2R(µ1) logµ2µ1

(5.53)

o, se si preferisce

µ2e− 1

2β0g2R

(µ2) = µ1e− 1

2β0g2R

(µ1) (5.54)

Questo significa che possiamo introdurre una scala ΛQCD con le dimensioni di una massae indipendente da µ

ΛQCD = µe− 1

2β0g2R

(µ) (5.55)


e in termini di tale scala il parametro gR è

g2R(µ) =1

β0 logµ2

Λ2QCD

(5.56)

Si noti in particolare che

• se β0 > 0, allora è ΛQCD < µ e inoltre gR è una funzione decrescente di µ. Questosignifica che la teoria è debolmente interagente a grandi µ e fortemente interagentea piccoli µ. Per tale motivo si parla di libertà asintotica (e in effetti gR → 0 quandoµ → ∞) e di schiavitù infrarossa (dato che gR diverge quando µ → ΛQCD, ma inun intorno di tale valore i nostri calcoli perturbativi non vanno davvero presi sulserio perché per gR > 1 la teoria perturbativa non vale). Questo accade per laQCD, dove Nc = 3 e Nf = 6, e più in generale accade per 11Nc > 2Nf . La libertàasintotica è una proprietà ben voluta da una teoria delle interazioni forti, perchésperimentalmente osservata nelle collisioni e−p a SLAC ed è stato uno dei motiviper cui la teoria di Yang-Mills è stata accettata.

• se β0 < 0, allora è ΛQCD > µ e gR è una funzione crescente di µ. La teoria ora èdebolmente interagente a piccoli µ e fortemente interagente a grandi µ, e di nuovoil coupling diverge quando µ → ΛQCD. Ciò accade ad esempio in QED, in cuiβ0 = −1/(12π2), e ΛQCD viene rimpiazzata da un’analoga scala di massa ΛQED. Ladivergenza in corrispondenza di tale valore per µ prende il nome di polo di Landau,ma come prima tale divergenza non va davvero presa sul serio. Inoltre, nel caso dellaQED tale polo si trova in

ΛQED ∼ 10280me ∼ 10276 GeV (5.57)

e dunque ben al di fuori da ogni limite raggiungibile sperimentalmente (e ancheteoricamente).

Infine, facciamo una puntualizzazione: abbiamo intrdotto µ come una scala di massaarbitraria, per poi usarla come ”scala di energia” in questi ultimi calcoli. Questa identifi-cazione è a prima vista illegittima, ma in realtà può essere giustificata. Mostriamolo in uncaso particolare, ossia nel caso del rapporto di Drell. Si può mostrare che tale rapportovale

R(s

µ2, gR(µ), Nc

)= Nc

∑f

Q2f

[1 +

3

4CF

αs(µ)

π+A

(s

µ2

)(αs(µ)

π

)2]

(5.58)

dove CF è il valore del Casimir quadratico nella fondamentale e αs è l’analogo della costantedi struttura fine

αs(µ) =g2R(µ)

4π(5.59)

In tal modo, è chiaro che se µ2 = s possiamo calcolare il rapporto di Drell per una datascala di energia

√s come se il coupling dipendesse da

√s

R(s

µ2, gR(µ), Nc

)= R(1, gR(

√s), Nc) (5.60)


Più in generale, si potrebbe mostrare che una generica funzione di correlazione rinor-malizzata nello spazio degli impulsi trasforma sotto riscalamento degli impulsi esterni3come

G(n)R (spi, g, µ) = s4−nG

(n)R (pi, g(s), µ) (5.61)

dove s è un parametro reale positivo e dove g(s) è la soluzione di

sdg

ds= β(g) , g(1) = g (5.62)

e in questo senso µ gioca il ruolo di scala di energia del processo.

5.2.5 Dipendenza di ΛQCD dallo schema di rinormalizzazione

Finora abbiamo capito che ΛQCD è una scala indipendente da µ. È naturale chiedersi sesia anche indipendente dallo schema di rinormalizzazione, e la risposta è negativa. Permostrarlo, confrontiamo i calcoli in MS e MS. In questo schema i controtermini sono sceltiin modo da sottrarre sia i poli in ε, sia i termini −γ + log 4π, dunque Zg è a un loop

Z(MS)g = 1−Ag2MS

1

ε+O(g4MS)

Z(MS)g = 1−Ag2MS

(1

ε− γ + log 4π

)+O(g4MS)

(5.63)

dove 32π2A = (11Nc − 2Nf )/3. Le due costanti di accoppiamento rinormalizzate nondevono necessariamente coincidere. Tuttavia, visto che i controtermini consistono effetti-vamente in una ridefinizione dei coupling e dei campi, le costanti di accoppiamento barenon devono dipendere dallo schema. Questo significa che i due coupling rinormalizzati g2MSe g2MS sono valutati a due scale µMS e µMS diverse. Ricordando poi che è gBµε0 = Zgµ

εgR,è all’ordine più basso in gB

g2MS,MS(µMS,MS) = g2B

(1 + ε log

µ20µ2MS,MS

)+O(g4B) (5.64)

e in particolare èZ

(MS)g = 1−Ag2B

(1

ε+ log

µ20µ2MS

)+O(g4MS)

Z(MS)g = 1−Ag2B

(1

ε+ log

µ20µ2MS

− γ + log 4π

)+O(g4MS)

(5.65)

Questo significa che le due costanti di rinormalizzazione sono numericamente uguali sescegliamo

µ2MS = 4πe−γµ2MS (5.66)Nel limite ε→ 0, avere uguali costanti di rinormalizzazione implica avere lo stesso couplingrinormalizzato, tuttavia nei due schemi vale ovviamente

g2MS(µMS) =1

β0 logµ2MSΛ2

MS

, g2MS(µMS) =1

β0 logµ2MSΛ2

MS

(5.67)

3Se si trascura la dimensione anomala γm.


Qui si è usata l’indipendenza di β0 dallo schema di rinormalizzazione (che equivale all’in-dipendenza di A dallo schema, già usata tacitamente nella 5.63). Si conclude allora

Λ2MS = 4πe−γΛ2

MS (5.68)

e dunque ΛQCD dipende effettivamente dallo schema di rinormalizzazione. Comunque,almeno in questo esempio, la dipendenza è debole, dato che numericamente è

ΛMS ∼ 2.66ΛMS (5.69)

Per gli stessi motivi, il coupling rinormalizzato a una data scala dipende dallo schema,esplicitamente

gMS =Z

(MS)g

Z(MS)g

gMS

= [1−A(γ − log 4π)g2MS +O(g4MS)]gMS

(5.70)

Volendo, questo può anche essere visto come un altro metodo per calcolare il rapportoΛMS/ΛMS, infatti se è

gMS = gMS

(1 +

∞∑k=0

γkg2k+2MS

)(5.71)

allora èΛMSΛMS

= limµ→∞

e− 1

2β0g2MS

(µ)+ 1

2β0g2MS(µ)

= eγ0/β0(5.72)

Capitolo 6

Formulazione euclidea delle teoriedi gauge

In questo capitolo costruiamo la versione euclidea di una teoria di Yang-Mills con gruppodi gauge SU(N). Usando poi i risultati di simulazioni numeriche per tale teoria, discutiamoil potenziale qq nel limite non relativistico.

6.1 Rotazione di WickAbbiamo già fatto una rotazione delle coordinate spaziali e degli impulsi durante il calcolodei propagatori. In quel caso la rotazione era infinitesima, mentre ora facciamo una rota-zione vera e propria di π/2, definendo i quadrivettori ruotati e la loro controparte euclideacome

x = (x0,x) 7−→ x = (−ixE,4,+xE)

k = (k0,k) 7−→ k = (+ikE,4,−kE)(6.1)

La convenzione sui segni ci assicura che x2 = −x2E , k2 = −k2E e k · x = kE · xE , dove iprodotti scalari a primo membro sono rispetto alla metrica (+,−,−,−), mentre i prodottiscalari a secondo membro sono rispetto alla metrica (+,+,+,+). La rotazione di Wickagisce inoltre sulle derivate come

∂µ = (∂0,∇) 7−→ ∂µ = (i∂E,4,∇E) (6.2)

La rotazione di Wick va ovviamente definita anche sui campi della teoria. Partiamoda un campo scalare ϕ, su cui agiamo come

ϕ(x) 7−→ ϕ(x) = ϕE(xE) (6.3)

In tal modo, una generica azione del tipo

iS = i

∫d4x

(1

2∂µϕ∂

µϕ− V (ϕ)

)(6.4)

viene mandata in −SE , con

SE =

∫d4xE

(1

2∂EϕE · ∂EϕE + V (ϕE)

)(6.5)

59

60 CAPITOLO 6. FORMULAZIONE EUCLIDEA DELLE TEORIE DI GAUGE

Si noti che il potenziale ha cambiato di segno! Tale cambio è di fondamentale importanzanelle applicazioni: ad esempio, nel caso di una particella non relativistica in un potenzialea doppia buca, permette di interpretare l’ampiezza di transizione tra i due minimi (inapprossimazione WKB) come ampiezza di transizione dovuta a un istantone nella teoriaeuclidea. Data la forma dell’azione, possiamo calcolare le funzioni di correlazione nellateoria euclidea. Ad esempio, il propagatore è

GE(xE , yE) =

∫d4kE(2π)4

1

k2E +m2e−ikE(xE−yE) (6.6)

Passiamo alla rotazione di un campo di gauge. Questo ha naturalmente un indice inbasso, dunque è ragionevole che la rotazione di Wick agisca allo stesso modo in cui agiscesu ∂µ. Poniamo allora

A(x) 7−→ A(x) = (iAE,4(xE),AE(xE)) (6.7)

In tal modo, definendo la derivata covariante euclidea DE = ∂E + igAE , è

Dµ 7−→ (iDE,4,DE) (6.8)

e allo stesso modo, definendo il tensore dei campi euclideo

igFE,µν = [DE,µ, DE,ν ] (6.9)

èF0i(x) 7−→ iFE,4i(xE) , Fij(x) 7−→ FE,ij(xE) (6.10)

e in particolareFµνF

µν 7−→ (FE,µν)2 (6.11)

Così, anche per la teoria di Yang-Mills è iS 7−→ −SE , a patto di definire la lagrangianaeuclidea come

LE =1

2tr (F 2

E,µν) (6.12)

Infine, passiamo alla definizione dei fermioni. Poniamo

ψ(x) 7−→ ψ(x) = ψE(xE) (6.13)

dobbiamo però definire le matrici γ euclidee. Se definiamo

γE,4 = γ0 , γE,i = −iγi (6.14)

allora la lagrangiana euclidea è

LE = ψE(γE ·DE +m)ψE (6.15)

e le matrici γ sono hermitiane e con algebra di Clifford

γµE , γνE = 2δµν (6.16)

Volendo, è anche possibile dare una definizione alternativa delle matrici γ in cui questesono anti-hermitiane e in cui LE ha la stessa forma della lagrangiana minkowskiana.

6.2. FORMULAZIONE SU RETICOLO 61

In tale contesto, è anche semplice trovare il legame tra la funzione di partizione in teoriadei campi e la funzione di partizione statistica. Infatti, questa è data da Zstat = tr e−βH ,dunque ricordando che per un’Hamiltoniana quadratica negli impulsi è

〈q′|e−iH(t′−t)|q〉 =∫ q(t′)=q′

q(t)=qDq exp

(∫ t′

tdτ

∫d3xL

)(6.17)

si ottiene tramite la rotazione di Wick t− t′ 7−→ −iβ

Zstat =

∫dq〈q|e−βH |q〉

=

∫Dq exp

(−∫ β

0dxE,4

∫d3xELE

) (6.18)

dove l’ultimo integrale funzionale è sulle configurazioni di campo che sono periodiche diperiodo β su xE,4.1

6.2 Formulazione su reticolo

Siamo ora pronti a dare la definizione euclidea di una teoria di gauge: semplicemente, èuna teoria la cui funzione di partizione è

ZE =

∫DAE DψE DψE e−SE [AE ,ψE ,ψE ] (6.19)

e così il valor medio di una generica osservabile O è

〈O〉 =

∫DAE DψE DψE O e−SE [AE ,ψE ,ψE ]∫DAE DψE DψE e−SE [AE ,ψE ,ψE ]

(6.20)

Ovviamente, la teoria così definita soffre delle usuali divergenze ultraviolette. Un modoassai utile per regolarizzare la teoria euclidea è tramite un reticolo, ossia sostituendo lospazio euclideo con un reticolo discreto: il caso più semplice è un reticolo cubico, i cui sitisono posti in xµ = anµ, con nµ ∈ Z4. In maniera naïve, possiamo pensare a questo puntodi definire i campi di gauge sui siti del reticolo e di sostituire le derivate con opportunedifferenze. Purtroppo, questa scelta rompe l’invarianza di gauge della teoria, quindi èmeglio evitarla. Possiamo considerare come variabili base della teoria i trasporti parallelitra primi vicini: per semplicità, consideriamo una teoria in due dimensioni invece che inquattro, e dato un sito nµ ∈ Z2 del reticolo consideriamo la placchetta di vertici i = nµ,j = nµ+(1, 0), k = nµ+(1, 1) e ` = nµ+(0, 1). Consideriamo dunque il trasporto paralleloUj←i. Le trasformazioni di gauge agiscono su U come

Uj←i 7−→ U ′j←i = GjUj←iG†i (6.21)

1Nel caso di variabili bosoniche, mentre per campi fermionici si può mostrare che la corretta condizioneal bordo è ψE(0,xE) = −ψE(β,xE).


Se definiamoW = Ui←`U`←kUk←jUj←i (6.22)

allora trW è ovviamente gauge invariante. L’azione proposta da Wilson per la teoria sureticolo è allora

S(2)W =

∑placche

Sp (6.23)

doveSp = β

(1− 1

2Nctr (W +W †)

)(6.24)

β è una costante dal nome infelice, perché non ha nulla a che fare con la temperaturainversa. Piuttosto, mostriamo ora che una scelta opportuna di β permette di recuperarel’azione di Yang-Mills nel limite del continuo. Per fare ciò, ritorniamo al reticolo in quattrodimensioni e, dato un punto i del reticolo, indichiamo con Wµν il trasporto parallelo sullaplacchetta con il primo vertice in i, con il secondo vertice j come primo vicino di i indirezione µ, e come terzo vertice il primo vicino in direzione ν di j. Così, l’analogodell’azione di Wilson è

S(4)W =

β

2

∑i

∑µ 6=ν

(1− 1

2Nctr (Wµν +W †µν)

)(6.25)

Il fattore 2 assicura che ogni placchetta è contata una e una sola volta. Facciamo ora illimite a→ 0. Si ricordi che, se definiamo un campo di gauge sul reticolo A(L)

E,µ, con tensoredei campi F (L)

E,µν , è

Wµν = e−iga2F

(L)E,µν(i) +O(a3) (6.26)

Nel limite del continuo, il tensore dei campi sul reticolo tenderà al tensore dei campi, i.e.F

(L)E,µν(i) = FE,µν(i) +O(a). Così, per piccoli a è

tr (Wµν +W †µν) = tr (21Nc×Nc − g2a4FE,µν(i)FE,µν(i) +O(a5))

= 2Nc − g2a4tr (FE,µν(i)FE,µν(i)) +O(a5)(6.27)

dove non si sottintende alcuna somma sulle variabili µ e ν. Così, sommando sulle direzionil’azione di Wilson si riduce a

S(4)W =

βg2a4

4Nc

∑i

tr (FE,µν(i)FE,µν(i)) +O(a) (6.28)

dove adesso si intende che gli indici µ e ν sono contratti. Questa è proprio la versionediscretizzata dell’azione di Yang-Mills euclidea, a patto di porre

βg2

4Nc=

1

2(6.29)

ossiaβ =

2Nc

g2(6.30)

6.3. RINORMALIZZAZIONE SU RETICOLO 63

Infine, notiamo che se definiamo la funzione di partizione su reticolo come

ZL =

∫DU e−S

(4)W (6.31)

conDU =

∏nµ∈Z4,ν

dUnµ+ν←nν (6.32)

allora la misura funzionale è invariante di gauge e nel limite del continuo tende alla correttamisura funzionale DA. Infatti, per a → 0 è Unµ+ν←nµ ∼ 1 + igaAν(nµ), dunque a menodi una costante di proporzionalità irrilevante è DU → DA, dunque il limite del continuodella teoria su reticolo è effettivamente la teoria euclidea.

6.3 Rinormalizzazione su reticoloNella sezione precedente, g è ovviamente la costante di accoppiamento nuda e, in generale,dipende anch’essa dalla dimensione del reticolo a. Supponiamo di aver rinormalizzato lateoria e di avere la costante rinormalizzata gR.2Per analisi dimensionale, questa deve esseredella forma

gR(g(a), aµ) (6.35)

e inoltre è ragionevole che nel limite del continuo la costante di accoppiamento rinorma-lizzata tenda a gR(µ). In tal modo, almeno per piccoli a deve essere

0ad

dagR(g(a), µa)

= −βL∂gR∂g

+ β(6.36)

dove β è la β function nel continuo e dove βL è la β function per il reticolo, definita come

βL = −adgda

(6.37)

Ovviamente, il calcolo fatto mostra che

βL = β

(dgRdg

)−1(6.38)

Si ricordi ora cheβ = −β0g3R − β1g5R +O(g7R) (6.39)

2In genere, si usa uno schema di rinormalizzazione ”compatibile” con il reticolo, qualunque cosa questovoglia dire. Ad esempio, uno schema molto usato è il MOM, che a un loop dà

g2MOM(µ) = g2(1− g2

16π2

11

3Nc

(log(a2µ2) + C

)+O(g4)

)(6.33)

doveC =

6π2

11N2c

− 9.445g (6.34)


e supponiamo che siagR = g +Ag3 +O(g5) (6.40)

In tal modo èβL =

−β0g3(1 +Ag2)3 − β1g5(1 +Ag2)5

1 + 3Ag2+O(g7)

= −β0g3 − β1g5 +O(g7)(6.41)

ossia i primi due coefficienti di βL in funzione di g coincidono con i primi due coefficientidi β in funzione di gR. Gli altri coefficienti sono invece differenti. Allora concludiamo chea un loop la costante nuda è

g2(a) =1

β0 log1

a2Λ2LAT

(6.42)

e che il reticolo ha una naturale scala di massa

ΛLAT =1

ae− 1

2β0g2(a) (6.43)

In linea di principio, tale scala è indipendente da ΛQCD. Inoltre, come abbiamo visto talescala di massa dipende effettivamente dallo schema. Se ci mettiamo nello schema MOM,è

g2MOM(µ) =1

β0 logµ2

Λ2MOM

(6.44)

Inoltre, se scegliamo aµ = e−C/2, allora g e gMOM sono numericamente uguali, dunquedeve essere

Λ2LAT = eCΛ2

MOM (6.45)

6.4 Cenni alle simulazioni su reticoloChiaramente, la formulazione su reticolo non è particolarmente vantaggiosa dal puntodi vista analitico. Tuttavia, se consideriamo un reticolo finito possiamo potenzialmenteimplementare tale formulazione in opportune simulazioni numeriche, fatte tipicamentetramite metodi Montecarlo. Tali simulazioni permettono di misurare solamente grandezzeadimensionali, i.e. stiamo di fatto lavorando in unità di a = 1. Così, una grandezzafisica Θphys avrà la sua controparte sul reticolo Θ(g(a), a), che però non coincide con lagrandezza simulata ΘL(g(a)). Piuttosto, se Θ ha dimensioni in massa dθ, la grandezzasimulata è

ΘL(g(a)) = adθΘ(g(a), a) (6.46)La grandezza nel continuo non può essere estratta ”facendo il limite a → 0”, proprioperché a non comparire direttamente nella simulazione. Tuttavia, a un loop sappiamo cheè

a =1

ΛLATe− 1

2β0g2(a) (6.47)

dunque possiamo pensare di svolgere più simulazioni a valori diversi di g e di studiare ladipendenza dei valori ottenuti da g. Se questi hanno una dipendenza della forma

ΘL ∝ e− dθ

2β0g2(a) (6.48)

6.5. POTENZIALE QQ 65

allora stiamo estraendo correttamente la fisica del continuo, e la costante di proporzionalitàè proprio la grandezza che ci interessa (o meglio, la sua versione adimensionale)

Θphys

ΛdθLAT(6.49)

Più in generale, l’esponenziale sarà sostituito da un’altra funzione f se siamo interessatia effetti di loop superiori, e in tal caso sarà

ΘL 'Θphys

ΛdθLAT(f(g))dθ (6.50)

Questo andamento è detto scaling asintotico e f è detta funzione di scaling

6.5 Potenziale qq

Al tree-level, il potenziale qq è facilmente ottenibile con i diagrammi di Feynman. Datoche tale potenziale è mediato da gluoni non massivi, ci aspettiamo un andamento del tipog2/r. Il corretto coefficiente numerico dipende in realtà dallo stato di colore dei quark, adesempio si trova che per un singoletto di colore è

V = −4

3

g2

4πr(6.51)

mentre per un ottetto di colore è

V =1

6

g2

4πr(6.52)

Tale potenziale tuttavia è poco adatto a descrivere quello che osserviamo, dato che è inaperto contrasto con l’ipotesi del confinamento. Effettivamente, è ragionevole pensare che irisultati a un loop siano effettivamente estendibili a basse energie, dunque se effettivamentela QCD è strongly coupled, è ragionevole che i quark non siano osservabili come statiasintotici. Inoltre, a grandi distanze non abbiamo speranze di poter fare predizioni usandotecniche perturbative, come ad esempio i diagrammi di Feynman. Ancora una volta peròpossiamo ricorrere alle simulazioni. Per prima cosa, supponiamo di voler descrivere unostati di singoletto di colore di due quark QQ molto pesanti (tale assunzione è in effettiequivalente a studiare il limite non relativistico). Per descrivere tale stato, consideriamolo stato

|φ(x,y, 0)〉 = O(x,y, 0) |Ω〉 (6.53)dove O è

O(x,y, 0) = ψ(x, 0)W (C(x,0)←(y,0))Γψ(y, 0) (6.54)ed è detto operatore interpolante. ψ è il campo associato a Q, Γ è un’opportuna matricenegli indici spinoriali e W è il trasporto parallelo lungo il segmento di estremi (y, 0) e(x, 0), di modo che O sia invariante di gauge. L’idea è scegliere Γ in maniera tale che|φ(x,y, 0)〉 abbia overlapping non nullo con lo stato a energia più bassa formato dallacoppia QQ. Consideriamo dunque la funzione a due punti per l’operatore interpolante pert > 0 3

G(x′,y′, t;x,y, 0) = 〈Ω|O†(x′,y′, t′)O(x,y, 0)|Ω〉 (6.55)3Altrimenti, la funzione di Green per t generico ha un ulteriore prodotto T-ordinato.


Al solito, l’evoluzione temporale di O è data da

O(x′,y′, t) = eiHtO(x′,y′, 0)e−iHt (6.56)

e dunque inserendo un set completo di autostati di H

G(x′,y′, t;x,y, 0) =∑n

e−iEnt〈Ω|O†(x′,y′, 0)|n〉〈n|O(x,y, 0)|Ω〉 (6.57)

e così, passando al tempo euclideo t = −iτ e indicando con |n〉 lo stato a energia più bassacon overlapping non nullo con O, si ottiene per grandi τ

G(x′,y′,−iτ ;x,y, 0) ' e−Enτ 〈Ω|O†(x′,y′, 0)|n〉〈n|O(x,y, 0)|Ω〉 (6.58)

Comunque, nel limite statico ci si aspetta che i quark non propaghino, dunque per grandiMQ ci si aspetta anche che sia

G(x′,y′,−iτ ;x,y, 0) ' δ(3)(x− x′)δ(3)(y − y′)F(x,y, τ) (6.59)

Il fatto notevole è che per grandi τ il fattore F è asintoticamente

F(x,y, τ) ' C(x,y)e−E(r)τ (6.60)

dove r = |x − y| e dove E(r) = 2MQ + V (r) è l’energia della coppia QQ. In linea diprincipio poi, tale funzione di correlazione è calcolabile come

G(x′,y′, t;x,y, 0) =1

Z

∫DADψDψO†(x′,y′,−iτ)O(x,y, 0) eiSG[A]+iSF [A,ψ,ψ] (6.61)

dove SG è l’azione di pura gauge e SF è l’azione per i fermioni in accoppiamento minimale.Diamo qualche cenno di calcolo. Il primo risultato utile è il propagatore fermionico nellimite statico e per una data configurazione del campo di gauge

〈Ω|T(ψ(x)ψ(y)|Ω〉 = δ(3)(x− y)W (C(x,x0)←(y,y0))

×[θ(x0 − y0)1 + γ0

2e−iMQ(x0−y0) + θ(y0 − x0)1− γ

0

2eiMQ(x0−y0)

](6.62)

dove il trasporto parallelo è fatto trascurando la propagazione spaziale

W (C(x,x0)←(y,y0)) = P

[exp

(−ig

∫ x0

y0dtA0(x, t)

)](6.63)

Così facendo, è possibile integrare i campi fermionici in 6.61 usando il teorema di Wick enel limite statico si ottiene

G(x′,y′, t;x,y, 0) ' −δ(3)(x− x′)δ(3)(y − y′)tr (P+ΓP−γ0Γ†γ0)e−2iMQt〈WC [A]〉 (6.64)

dove P± = (1 ± γ0)/2 e dove 〈WC [A]〉 è il valore di aspettazione del Wilson loop sulpercorso quadrato C con vertici in (x, 0), (x, t), (y, t) e (y, 0) (visitati in quest’ordine). Se

6.5. POTENZIALE QQ 67

〈W (E)C (r, T )〉 è tale valor medio nella teoria euclidea per un percorso di lati T e r = |x−y|,

concludiamo che il potenziale QQ è

V (r) = − limT→∞

1

Tlog〈W (E)

C (r, T )〉 (6.65)

A questo punto entrano in gioco le simulazioni: il valore simulato per il Wilson loop agrandi T e grandi r è

〈W (E)C (r, T )〉 ' e−σrT (6.66)

dove σ è una costante opportuna, detta tensione di stringa, che però non possiamo misuraredirettamente nelle simulazioni. Questo nome deriva dal fatto che allontanando la coppiaQQ le linee di campo tendono a concentrarsi sulla congiungente, formando quindi unasorta di ”stringa” in cui è concentrata l’energia dei campi. Inoltre, tale risultato per ilWilson loop è noto come legge dell’area, dato che rT è proprio l’area racchiusa da C. Ilpotenziale a grandi r è allora

V (r) ' σr (6.67)

e pertanto è un potenziale confinante! Comunque, a piccole distanze il potenziale otte-nuto con i diagrammi di Feynman deve essere valido, quindi il guess più semplice per ilpotenziale è

V (r) = −CFαsr

+ σr (6.68)

Da alcuni dati sui livelli di particolari stati legati dei quark più pesanti, si è potuto risalirea σ ∼ (0.40 − 0.42GeV)2. Il nome tensione di stringa non è casuale anche per un altromotivo, infatti alla fine degli anni ’60 si iniziarono a costruire modelli per le interazioniforti basati su stringhe. Questo è dovuto al fatto che, definita la pendenza di Reggeα′ = (2πσ)−1, le risonanze adroniche osservate soddisfano una relazione del tipo

J = α0 + α′M2 (6.69)

dove M è la massa della risonanza, J il momento angolare massimo della risonanza, α0

una costante (che in generale dipende dal tipo di risonanza, mentre α′ è universale). Talerelazione è nota come traiettoria di Regge-Chew-Frautschi. Questa proprietà è effettiva-mente ben riprodotta dall’ampiezza di Veneziano, proposta nel ’68, che è stata in seguitoreinterpretata come ampiezza di scattering di quattro stringhe aperte.

Più in generale, Wilson ha mostrato che il potenziale è confinante se l’andamentoasintotico dei Wilson loop nella teoria di pura gauge è del tipo e−A, dove A è la superficiedi area minima che ha per bordo il cammino del loop considerato (criterio di Wilson).

Capitolo 7

Simmetrie di flavour e lagrangianeefficaci

Come visto nei capitoli precedenti, la schiavitù infrarossa rende la dinamica della QCDa basse energie ben diversa da quella studiabile perturbativamente in termini di quark egluoni. In questo capitolo cerchiamo di trovare dei gradi di libertà adatta a una descrizionea basse energie, indagando prima le simmetrie della teoria e poi costruendo opportunelagrangiane efficaci.

7.1 Richiami sul teorema di NoetherSupponiamo di avere una lagrangiana L[φi, ∂µφi] e di fare una trasformazione continuaφi 7−→ φ′i = φi + ε δφi, dove ε è un parametro costante e infinitesimo. Se sotto taletrasformazione la variazione della lagrangiana è

δL = −∂µKµ −∆ (7.1)

allora, postoJµ = −

∑i

∂L∂∂µφi

δφi (7.2)

vale on-shell∂µJ

µ = ∂µKµ +∆ (7.3)

In particolare, se ∆ = 0 l’azione è invariante sotto φi 7−→ φ′i, e in tal caso abbiamo unasimmetria della teoria. Possiamo di conseguenza definire una corrente conservata on-shell,ossia Jµ −Kµ.

A livello quantistico, se δφi dipende dai φi ma non dai loro impulsi coniugati, allora lacarica associata a Jµ (non necessariamente conservata) genera la trasformazione φi 7−→ φ′i.Infatti, tale carica è

Q(t) =

∫d3xJ0(x, t) = −

∑j

∫d3xπj δφj (7.4)

dove πj è l’impulso coniugato con φj . Ricordando che

[φi(x, t), πj(y, t)] = iδijδ(3)(x− y) (7.5)

69

70 CAPITOLO 7. SIMMETRIE DI FLAVOUR E LAGRANGIANE EFFICACI

e notando che nelle nostre ipotesi δφi e φj commutano, è

[Q(t), φi(x, t)] = i δφi(x, t) (7.6)

Lo stesso vale per una simmetria fermionica ψi 7−→ ψ′i = ψi + ε δψi, a patto di assumereche δψi anticommuti con ψj . In tal modo, è

[Q(t), ψi(x, t)] = −∑j

∫d3y [πj(y, t)δψj(y, t), ψi(x, t)]

= −∑j

∫d3y (πjδψj , ψi − πj , ψiδψj)

= i δψi(x, t)

(7.7)

dove si è usato che per variabili fermioniche

ψi(x, t), πj(y, t) = iδijδ(3)(x− y) (7.8)

7.2 Rottura spontanea di una simmetria globaleRivediamo brevemente anche come si implementa una simmetria a livello quantistico. Inmeccanica quantistica non relativistica, un dato gruppo di simmetria G dell’Hamiltonianadi un sistema con uno spazio di Hilbert H è implementato a livello degli stati da unarappresentazione unitaria U di G su H. Si richiede inoltre che U lasci invariato il groundstate (se questo è non degenere). Fatto ciò, se G è connesso per archi possiamo ottenereU come esponenziale di una rappresentazione hermitiana dell’algebra di G. In tale rap-presentazione, i generatori sono mappati nelle cariche conservate Qa date dal teorema diNoether, che vista l’ipotesi di invarianza del vuoto devono per forza annichilire il groundstate. Più in generale, i livelli energetici della teoria formano dei multipletti irriducibilisotto G, dato che le cariche commutano con l’Hamiltoniana.1

In teoria dei campi, questa trattazione continua ad essere valida (e prende il nomedi simmetria realizzata linearmente, o alla Wigner-Weyl), ma non è l’unica possibilità.Infatti, nel caso di sistemi continui, può accadere che la lagrangiana abbia un certo grup-po di simmetria che però non lascia invariato il vuoto: per dare un esempio concreto,consideriamo un ferromagnete, la cui magnetizzazione nel modello di Landau-Ginzburg èdescritto in un intorno della temperatura critica Tc dall’azione

S =

∫d4x

1

2|∇φ|2 + 1

2α22(T − Tc)φ2 +

1

4!α24φ

4

(7.9)

Tale azione è ovviamente simmetrica sotto Z2, che agisce su φ come φ 7−→ −φ. Per T > Tc,il ground state si trova in φ = 0 ed è simmetrico sotto Z2, mentre per T < Tc il ground stateha una magnetizzazione spontanea non nulla, ossia φ = ±φ0, con φ0 =

√3(Tc − T )α2

2/α24.

In questo caso abbiamo dunque due ground state diversi e Z2 li scambia tra loro. Persimmetrie continue si ha una situazione simile: se la lagrangiana è invariante sotto ungruppo di simmetria G, può comunque capitare che ci siano più ground state e che questi

1Si pensi ad esempio ai multipletti con un dato ` nell’atomo di idrogeno.

7.2. ROTTURA SPONTANEA DI UNA SIMMETRIA GLOBALE 71

siano invarianti solamente solo sotto un certo sottogruppo H 6 G.2 In tal caso, si diceche la simmetria è spontaneamente rotta. Potremmo allora essere tentati di dire che igeneratori Qa di G sono realizzati in maniera tale che Qa |Ω〉 = 0 se Qa è anche ungeneratore di H, mentre Qa |Ω〉 6= 0 se Qa non è un generatore di H. Questo in realtà nonè possibile perché lo stato Qa |Ω〉 ha norma infinita. Infatti, assumendo che l’invarianzasotto Poincaré sia realizzata linearmente, è

〈Ω|Q2a(t)|Ω〉 =

∫d3x 〈Ω|J0

a (x, t)Qa(t)|Ω〉

=

∫d3x 〈Ω|e−iP·xJ0

a (0, t)eiP·xe−iP·xQa(t)e

iP·x|Ω〉

= 〈Ω|J0a (0, t)Qa(t)|Ω〉

∫d3x

(7.10)

dove si è usato il fatto che Q(t) è invariante sotto traslazioni spaziali. Comunque, anchese Q(t) è mal definita, possiamo comunque definire

QR(t) =

∫|x|≤R

d3xJ0(x, t) (7.11)

In generale, tale operatore non è conservato, a causa dei termini di bordo, anche se ∂µJµ =0. Tuttavvia, dato un operatore locale A(x), è

limR→∞

d

dt[QR(t),A(0)] = 0 (7.12)

Infatti, usando la conservazione della corrente vale

d

dt[QR(t),A(0)] = −

∫|x|≤R

d3x [∂iJi(x, t),A(0)]

= −∫SR

dSi[Ji(x, t),A(0)]

(7.13)

dove SR è la superficie sferica di centro nell’origine e raggio R. Ora per R abbastanzagrande i punti sulla superficie SR sono tutti a distanza spacelike dall’origine dello spazio-tempo, dunque se la teoria è causale è [J i(x, t),A(0)] = 0 per R abbastanza grande. Daquesto risultato, si può mostrare il teorema di Goldstone: posto

aA(t) = limR→∞

〈Ω|[QR(t),A(0)]|Ω〉 (7.14)

se esiste un operatore locale A per cui aA(t), detto parametro d’ordine, è non nullo,3 alloraesiste uno stato a singola particella, massa nulla e spin nullo con gli stessi numerici quanticidi A e di J0. Tale stato è detto bosone di Goldstone o di Nambu-Goldstone. Veniamoalla dimostrazione: indicando con |n〉 gli autostati dell’Hamiltoniana e dell’impulso, è

aA(t) = limR→∞

∫|x|≤R

d3x∑n

〈Ω|J0(x)|n〉〈n|A(0)|Ω〉 − 〈Ω|A(0)|n〉〈n|J0(x)|Ω〉

(7.15)

2L’invarianza della lagrangiana assicura, a meno di anomalie, la possibilità di definire una corrente Jµ

conservata on-shell.3In particolare, questo implica che la simmetria sia spontaneamente rotta, dato che altrimenti le cariche

annichilano il vuoto.


Ricordando che J0(x) = eiPxJ0(0)e−iPx e supponendo, come al solito, che la simmetria diPoincaré sia realizzata linearmente, è

aA(t) = limR→∞

∫|x|≤R

d3x∑n

e−iPnx〈Ω|J0(0)|n〉〈n|A(0)|Ω〉 − eiPnx〈Ω|A(0)|n〉〈n|J0(0)|Ω〉

=∑n

(2π)3δ(3)(Pn)e−iEnt〈Ω|J0(0)|n〉〈n|A(0)|Ω〉 − eiEnt〈Ω|A(0)|n〉〈n|J0(0)|Ω〉

(7.16)

Comunque, anche se aA(t) 6= 0, la sua derivata temporale è nulla. Così deve essere∑n

(2π)3δ(3)(Pn)e−iEnt〈Ω|J0(0)|n〉〈n|A(0)|Ω〉 − eiEnt〈Ω|A(0)|n〉〈n|J0(0)|Ω〉

6= 0∑

n

(2π)3δ(3)(Pn)Ene−iEnt〈Ω|J0(0)|n〉〈n|A(0)|Ω〉+ eiEnt〈Ω|A(0)|n〉〈n|J0(0)|Ω〉

= 0

(7.17)Di conseguenza, deve esistere uno stato |n〉 con 〈Ω|J0(0)|n〉 6= 0 4 e 〈Ω|A(0)|n〉 6= 0, macon δ(3)(Pn)En = 0. Le prime due condizioni implicano per Wigner-Eckart che |n〉 hagli stessi numeri quantici di J0 e A, mentre l’ultima condizione implica che Mn = 0. Inparticolare, J0 è uno scalare sotto rotazioni spaziali, dunque anche |n〉 lo è. In generale,ci si aspetta un bosone di Goldstone per ogni

In ogni caso, i generatori non rotti possono essere implementati in un’opportunarappresentazione di H.

7.3 Simmetrie SU(2) e SU(3)

Consideriamo la lagrangiana fermionica per Nf flavour (il caso fisico corrisponde a Nf = 6)

LF =

Nf∑f=1

ψf (i /D −mf )ψf (7.18)

Per valori generici delle masse dei vari flavour, il gruppo di simmetria di tale lagrangiana èU(1)Nf = U(1)1×U(1)2× . . .×U(1)Nf

, con il j-esimo U(1) che agisce sui campi fermionicicome

ψj 7−→ eiαψj , ψj 7−→ e−iαψj

ψk 7−→ ψk , ψk 7−→ ψk(7.19)

per k 6= j. La corrente associata è facilmente

Jµj = ψjγµψj (7.20)

e in particolare la carica conservata è il numero di eccitazioni di flavour j. Se invecealcuni sapori hanno la stessa massa m, diciamo i primi L, la simmetria viene allargata aU(L) × U(1)Nf−L, dove U(L) agisce sui primi L sapori con una matrice unitaria e lasciagli altri invariati. Da qui in poi, indichiamo con ψi i primi L sapori e con ΨI i restanti,ossia scriviamo la lagrangiana come

LF =L∑i=1

ψi(i /D −m)ψi +

Nf∑I=L+1

ΨI(i /D −mI)ΨI (7.21)

4E in particolare |n〉 6= |Ω〉 se la simmetria di Lorentz è realizzata alla Wigner-Weyl.

7.3. SIMMETRIE SU(2) E SU(3) 73

in modo che U(L) agisca sui fermioni come

ψi 7−→ Vijψj , ψi 7−→ ψjV∗ij (7.22)

mentre ΨI 7−→ ΨI e ΨI 7−→ ΨI . Se introduciamo il vettore ψ = (ψ1, . . . , ψL)t, l’azione di

U(L) si scrive in maniera compatta come

ψ 7−→ V ψ , ψ 7−→ ψV † (7.23)

Ovviamente, possiamo ricordare che U(L) = U(1)(L) × SU(L), dove U(1)(L) ⊆ U(L) è ilsottogruppo di matrici unitarie proporzionali all’identità, e dunque è banalmente isomorfoa U(1). L’azione di tali sottogruppi sui campi è ovviamente

U(1)(L) :

ψ 7−→ eiαψ

ψ 7−→ e−iαψ

SU(L) :

ψ 7−→ V ψ

ψ 7−→ ψV †

(7.24)

Per L = 2, la simmetria sotto SU(2) è tra i sapori più leggeri, u e d, ed è la simmetriadi isospin descritta qualche capitolo fa. Similmente, per L = 3 recuperiamo la simmetriaSU(3) di Gell-Mann tra i quark u, d e s. Tuttavia, le masse dei quark più leggeri sonodiverse, e se fossero uguali ci sarebbe un problema di fine-tuning. La proposta di Nam-bu è allora di interpretare tali simmetrie come approssimate, cioé come simmetrie quasirealizzate dalla lagrangiana 7.21. Il quasi sta nel fatto che, come vedremo, si può dedurreche

mu ∼ md ms ΛQCD mc,mb,mt (7.25)

e dunque possiamo sperare che alcune proprietà della teoria nel limite mu = md = ms = 0siano più o meno rispettate sperimentalmente, senza però che si debba richiedere un fine-tuning sulle masse. Questo limite è particolarmente interessante perché permette di al-largare ulteriormente il gruppo di simmetria. Infatti, ricordando la matrice di chiralità inrappresentazione chirale

γ5 =

(−1 00 1

)(7.26)

e definendo i proiettori PL,R = (1 ∓ γ5)/2 sugli spinori di Weyl sinistrorsi e destrorsirispettivamente, è

ψ(i /D −m)ψ = ψLi /DψL + ψRi /DψR −mψRψL −mψLψR (7.27)

Qui ψL e ψR sono spinori a quattro componenti, pertanto continuano a comparire lematrici γ. È chiaro allora che nel limite m = 0 possiamo ruotare indipendentemente laparte destrorsa e sinistrorsa degli spinori, dunque il gruppo di simmetria viene allargato a


U(L)L×U(L)R = SU(L)L×SU(L)R×U(1)L×U(1)R, dove l’azione dei vari sottogruppi è

SU(L)L :

ψL 7−→ VLψL

ψL 7−→ ψLV†L

ψR 7−→ ψR

ψR 7−→ ψR

SU(L)R :

ψL 7−→ ψL

ψL 7−→ ψL

ψR 7−→ VRψR

ψR 7−→ ψRV†R

U(1)L :

ψL 7−→ eiαLψL

ψL 7−→ e−iαLψL

ψR 7−→ ψR

ψR 7−→ ψR

U(1)R :

ψL 7−→ ψL

ψL 7−→ ψL

ψR 7−→ eiαRψR

ψR 7−→ e−iαRψR

(7.28)

o, in un unico colpo,

SU(L)L × SU(L)R ×U(1)L ×U(1)R :

ψL 7−→ eiαLVLψL

ψL 7−→ e−iαLψLV†L

ψR 7−→ eiαRVRψR

ψR 7−→ e−iαRψRV†R

(7.29)

Una seconda decomposizione utile e sempre possibile del gruppo di simmetria è in partiassiale e vettoriale, U(L)L × U(L)R = SU(L)V × SU(L)A × U(1)V × U(1)A, dove le partivettoriali agiscono con la stessa matrice nella parte destra e sinistra (e formano un sot-togruppo del gruppo di simmetria), mentre le parti assiali agiscono con una data matricenella parte sinistra e con la sua aggiunta nella parte destra (e non formano un sottogruppo,o meglio U(1)A è un sottogruppo, mentre SU(L)A non lo è). Esplicitamente, è

SU(L)V ×U(1)V :

ψL 7−→ eiαV V ψL

ψL 7−→ e−iαV ψLV†

ψR 7−→ eiαV V ψR

ψR 7−→ e−iαV ψRV†

SU(L)A ×U(1)A :

ψL 7−→ eiαAAψL

ψL 7−→ e−iαAψLA†

ψR 7−→ e−iαAA†ψR

ψR 7−→ eiαAψRA

(7.30)

7.3. SIMMETRIE SU(2) E SU(3) 75

Queste ultime trasformazioni possono essere facilmente implementate a livello di ψ tramitela matrice di chiralità e introducendo i generatori dei vari gruppi, ossia

SU(L)V ×U(1)V :

ψ 7−→ eiαV eiω

aV T

aψL

ψ 7−→ e−iαV ψLe−iωa

V Ta

SU(L)A ×U(1)A :

ψ 7−→ eiαAγ

5eiω

aAT

aγ5ψ

ψ 7−→ ψeiαAγ5eiω

aAT

aγ5

(7.31)

Passiamo a studiare le correnti generate da tali simmetrie. Chiaramente, avremo 2L2

correnti conservate, ma per il momento ci concentriamo sulle 2L2 − 2 correnti associatea SU(L)L × SU(L)R = SU(L)V × SU(L)A. Usando la prima decomposizione, le correntisono

JµL,a = ψLγµTaψL , JµR,a = ψRγ

µTaψR (7.32)

mentre usando la seconda decomposizione

V µa = ψγµTaψ , Aµa = ψγµγ5Taψ (7.33)

Costruiamo ora l’algebra delle correnti e delle cariche, partendo da SU(L)L × SU(L)R. Intal caso, posto

QL,a(t) =

∫d3xJ0

L,a(x, t) , QR,a(t) =

∫d3xJ0

R,a(x, t) (7.34)

è

[QL,a(t), ψi,L(x, t)] = −T aijψj,L(x, t) , [QL,a(t), ψi,L(x, t)] = ψj,L(x, t)Taji

[QR,a(t), ψi,R(x, t)] = −T aijψj,R(x, t) , [QR,a(t), ψi,R(x, t)] = ψj,R(x, t)Taji

(7.35)

mentre tutti gli altri commutatori sono nulli. Allora è facilmente

[QL,a(t), JµL,b(x, t)] = ifabcJµc (x, t) , [QR,a(t), J

µR,b(x, t)] = ifabcJ

µR,c(x, t) (7.36)

mentre gli altri commutatori sono tutti nulli. Queste regole di commutazioni sono dettealgebra delle correnti. Integrando sulle direzioni spaziali otteniamo delle regole analoghe,che formano l’algebra delle cariche

[QL,a(t), QL,b(t)] = ifabcQL,c(t) , [QR,a(t), QR,b(t)] = ifabcQR,c(t) (7.37)

Possiamo fare lo stesso per SU(L)V × SU(L)A. Definiamo le cariche

QV,a(t) =

∫d3xV µ

a (x, t) , QA,a(t) =

∫d3xAµa(x, t) (7.38)

e notiamo che

[QV,a(t), ψi(x, t)] = −T aijψj(x, t) , [QV,a(t), ψi(x, t)] = ψj(x, t)Taji

[QA,a(t), ψi(x, t)] = −T aijγ5ψj(x, t) , [QA,a(t), ψi(x, t)] = −ψj(x, t)T ajiγ5(7.39)


Così si trova facilmente l’algebra delle correnti

[QV,a(t), Vµb (x, t)] = ifabcV µ

c (x, t) , [QV,a(t), Aµb (x, t)] = ifabcAµc (x, t)

[QA,a(t), Vµb (x, t)] = ifabcAµc (x, t) , [QA,a(t), A

µb (x, t)] = ifabcV µ

c (x, t)(7.40)

e integrando troviamo l’algebra delle cariche

[QV,a(t), QV,b(t)] = ifabcQV,c(t) , [QV,a(t), QA,b(t)] = ifabcQA,c(t)

[QA,a(t), QV,b(t)] = ifabcQA,c(t) , [QA,a(t), QA,b(t)] = ifabcQV,c(t)(7.41)

Mostriamo ora che le osservazioni sperimentali non permettono che la simmetria SU(L)V×SU(L)A sia realizzata linearmente. Supponiamo per assurdo che lo sia e per prima co-sa notiamo che QA,a è una quantità pseudoscalare, dato che è costruita a partire dallacomponente temporale dello pseudovettore ψγµγ5ψ. Di conseguenza, se |h〉 è uno statoadronico con parità η, allora QA,a |h〉 è uno stato adronico con parità −η. Se |h〉 non è unsingoletto di SU(L)A,5 allora esiste almeno un a per cui |h′〉 = QA,a |h〉 6= 0. Tale stato haovviamente stessa massa e numerico barionico di |h〉 se SU(L)A è realizzata linearmente,dunque ci si aspetta che la maggior parte delle risonanze adroniche si presenti in coppiedi stessa massa e parità opposta. Questo non è quello che si osserva sperimentalmente,quindi SU(L)A non può essere realizzato linearmente. Ci si aspetta quindi che SU(L)A siaspontaneamente rotta e che ci siano L2−1 bosoni di Goldstone. Dato che le cariche assialisono pseudoscalari, anche i bosoni di Goldstone avranno JP = 0−. In particolare, perL = 2 tali bosoni sono identificati con i mesoni pseudoscalari più leggeri, ossia i tre pioniπ± e π0. Per L = 3, aggiungiamo i successivi cinque mesoni pseudoscalari più leggeri,ossia K±, K0, K0 e η. Idealmente, la simmetria residua sotto SU(L)V è esatta, ma inrealtà la massa dei quark rompe esplicitamente tale simmetria, dando una (piccola) massaai bosoni pseudoscalari più leggeri, che pertanto vengono detti pseudobosoni di Goldstone.

Da un punto di vista analitico, si può mostrare che se SU(L)V è realizzato linearmente,è

〈Ω|[QA,a(0), ψγ5T bψ(0)]|Ω〉 = −1

Lδab〈Ω|ψψ(0)|Ω〉 (7.42)

pertanto se il secondo membro (noto come condensato chirale) è non nullo, allora lasimmetria SU(L)A è spontaneamente rotta. Effettivamente, le simulazioni numerichesuggeriscono che questo sia il caso. Più precisamente, a temperatura finita si trova

〈Ω|ψψ(0)|Ω〉 =

0 T ≥ Tcα 6= 0 T < Tc

(7.43)

per un’opportuna costante α e un’opportuna temperatura critica Tc.

7.4 Lagrangiane efficaciAbbiamo capito che i gradi di libertà adeguati a basse energie sono gli pseudobosoni diGoldstone provenienti dalla rottura spontanea di simmetria SU(2)V ×SU(2)A → SU(2)V , o

5Viceversa, se |h〉 è un singoletto di SU(L)A allora lo è necessariamente anche di SU(L)V , dato che l’al-gebra delle correnti è del tipo [QA, QA] ∼ QV . Fenomenologicamente conosciamo delle risonanze adronichenon singoletti di SU(L)V

7.4. LAGRANGIANE EFFICACI 77

SU(3)V ×SU(3)A → SU(3)V . Tali gradi di libertà interagiranno in qualche modo, dunqueci si aspetta che sia possibile scrivere una qualche lagrangiana valida nel limite di piccoleenergie in gioco.

7.4.1 Lagrangiana di Gell-Mann e Lévy

In questo senso, un primo passo dal punto di vista storico è dato dalla lagrangiana diGell-Mann e Lévy, nota anche come σ model lineare. Tale modello è stato introdotto perstudiare le interazioni tra i pioni e i nucleoni. In particolare, i campi della teoria sono undoppietto di spin isotopico per descrivere i nucleoni

ψ =

(pn

)(7.44)

un singoletto scalare σ e un tripletto di scalari reali π = (π1, π2, π3)t. In particolare, ipioni osservati sono π0 = π3 e π± = (π1 ± iπ2)/

√2. La lagrangiana proposta è

L = iψ /∂ψ − gσψψ + igπ · ψγ5τψ +1

2∂µσ ∂µσ +

1

2∂µτ · ∂µτ − V (σ2 + τ 2) (7.45)

dove τ i sono le matrici di Pauli e dove V è un potenziale opportuno. In particolare, lalagrangiana è ovviamente invariante sotto SU(2). In realtà, la simmetria della lagrangianaè più ampia. Posto infatti

Σ = σ + iπ · τ =

(σ + iπ3 π2 + iπ1

−π2 + iπ1 σ − iπ3)

(7.46)

è facile mostrare che la lagrangiana si può riscrivere come

L = iψ /∂ψ − gψLΣψR − gψRΣ†ψL +1

4tr (∂µΣ† ∂µΣ)− V

(1

2tr (Σ†Σ)

)(7.47)

In tale notazione, è chiaro che la lagrangiana gode di una simmetria SU(2)L×SU(2)R cheagisce sui campi come

ψL 7−→ VLψL

ψR 7−→ VRψR

Σ 7−→ VLΣV†R

(7.48)

Le correnti conservate associate sono

V µa = ψγµT aψ + εabcπb ∂µπc , Aµa = ψγµγ5T aψ − σ ∂µπa + πa∂µσ (7.49)

dove T a = τa/2 sono i generatori di SU(2).Discutiamo ora il termine di potenziale, assumendo che sia del tipo

V (σ2 + π2) =λ

4(σ2 + π2 + v2)2 (7.50)

con λ > 0. In tal caso, il minimo del potenziale si trova in σ = 0 e π = 0. In tal casola simmetria SU(2)L × SU(2)R è realizzata linearmente e il modello ha poco a che farecon il mondo reale: in particolare, il doppietto di nucleoni ha massa nulla ed è presente


un gemello isoscalare di π0, ossia σ. Entrambi i problemi possono essere risolti rompendospontaneamente la simmetria come SU(2)L×SU(2)R → SU(2)V , in particolare scegliendoil potenziale

V (σ2 + π2) =λ

4(σ2 + π2 − v2)2 (7.51)

con λ > 0. In tal caso, il punto σ = 0 e π = 0 è un massimo del potenziale, mentre ilminimo si è spostato nei punti che soddisfano

σ2 + π2 = v2 (7.52)

Consideriamo allora il vuoto con

〈Ω|σ|Ω〉 = v , 〈Ω|π|Ω〉 = 0 (7.53)

Questo corrisponde alla matrice Σ

〈Ω|Σ|Ω〉 =(v 00 v

)(7.54)

e tale matrice è chiaramente invariante solamente sotto SU(2)V , quindi effettivamenteabbia rotto la simmetria come SU(2)V × SU(2)A → SU(2)V . Così, posto σ = σ′ + v eΣ = Σ′ + v, la lagrangiana si scrive come

L = ψ(i/∂ − gv)ψ− gψLΣ′ψR − gψRΣ′†ψL +

1

4tr (∂µΣ†∂µΣ)−

λ

4(2σ′v+ σ′

2+π2)2 (7.55)

In particolare, compaiono due termini di massa importanti: uno per i nucleoni6

mn = mp = gv (7.56)

e uno per σ′mσ = 2λv2 (7.57)

mentre i tre π restano massless. Questo modello è già più ragionevole, almeno in primaapprossimazione: p e n hanno la stessa massa, il σ ha acquisito una massa, mentre i tre πsono i tre bosoni di Goldstone cercati. Verifichiamo quest’ultima affermazione: le caricheassiali sono

QA,a(t) =

∫d3x

[ψ†γ5T aψ − σ ∂0πa + πa ∂0σ

](7.58)

e dunque è[QA,a(t), π

b(0)] = [QA,a(0), πb(0)] = iδabσ(0) (7.59)

dato che ∂0πa è l’impulso coniugato a πa. Allora è banalmente

〈Ω|[QA,a(t), πb(0)]|Ω〉 = iδabv (7.60)

Viceversa, è[QA,a(t), σ(0)] = −iπa(0) (7.61)

6Tale termine di massa comunque non viola la simmetria chirale: questa è una simmetria della la-grangiana espressa in termini di Σ, quindi rimane una simmetria una volta che si riparametrizza Σ comev +Σ′.


e dunque è〈Ω|[QA,a(t), σ(0)]|Ω〉 = 0 (7.62)

e questo è ragionevole, dato che abbiamo già trovato tre bosoni di Goldstone, e dato cheσ è massivo dopo la rottura di simmetria. Per completezza, verifichiamo che non ci sonoparametri d’ordine non nulli per SU(2)V : le cariche associate sono

QV,a(t) =

∫d3x

[ψ†T aψ + εabcπb ∂0πc

](7.63)

e dunque è[QV,a(t), σ(0)] = 0 , [QV,a(t), π

b(0)] = εabcπc(0) (7.64)

e in entrambi i casi il valor medio sul vuoto è nullo.Si noti inoltre che prima la rottura di simmetria tutte le correnti sono bilineari nei

campi. Dopo la rottura invece V µa è ancora bilineare, mentre Aµa acquista una componente

lineare nei πaAµa = −v ∂µπa + ψγµγ5T aψ − σ′ ∂µπa + πa∂µσ′ (7.65)

e tale termine implica una non linearità nelle trasformazioni dei πa. Inoltre, il primotermine è responsabile del parametro d’ordine non nullo, in particolare se

|πb(p)〉 =√2Epa

†b(p) |Ω〉 (7.66)

è lo stato di singola particella con un πb a impulso p, è chiaramente

〈Ω|Aµa(x)|πb(p)〉 = iδabvpµe−ipx (7.67)

Incidentalmente, se facciamo la divergenza di tale espressione e ricordiamo che Aµa èconservata, è subito vM2

π = 0, dunque se v 6= 0 i πa sono effettivamente a massa nulla.Infine, per fare il confronto con gli esperimenti, di solito si introduce la costante di

decadimento del pione fπ. Questa è definita come

〈Ω|Aµ+(0)|π−(p)〉 = ifπpµ (7.68)

dove Aµ± = Aµ1 ± iAµ2 e7

|π±(p)〉 = |π1(p)〉 ± i|π2(p)〉√

2, π±(x) = π1(x)∓ iπ2(x) (7.69)

L’elemento di matrice 7.68 entra nella predizione teorica per la larghezza del decadimentodebole π− → µ−νµ. Dal valore sperimentale di tale ampiezza si deduce fπ ∼ 130MeV, einoltre è

〈Ω|Aµ+(0)|π−(p)〉 =〈Ω|Aµ1 (0)|π1(p)〉+ 〈Ω|A

µ2 (0)|π2(p)〉√

2(7.70)

Di conseguenza, fπ è legata al vev v da

v =fπ√2∼ 92MeV (7.71)

Nel seguito, porremo Fπ = fπ/√2 e ci riferiremo a tale costante come costante di decadi-

mento del pione.7La convenzione sui segni degli stati e dei campi assicura che (π±)† crea uno stato |π±〉.


7.4.2 σ model non lineare

Limitiamoci ora alla parte dei pioni della lagrangiana di Gell-Mann e Lévy

L =1

4tr (∂µΣ† ∂µΣ)− V

(1

2tr (Σ†Σ)

)(7.72)

e riparametrizziamo i campi come8

Σ = (v + S)U (7.73)

dove S è un campo reale e U è una matrice di SU(2), che parametrizziamo con un triplettodi campi reali φa

U = exp

(iτ · φFπ

)(7.74)

La relazione tra (σ,π) e (S,φ) è non banale, in particolare il cambio di variabili èσ = (v + S) cos

|φ|Fπ

π = (v + S)φ

|φ|sin|φ|Fπ

(7.75)

o, fino a termini quadratici, è σ′ = S − |φ|

2

2Fπ+ . . .

π = φ+Sφ

Fπ+ . . .

(7.76)

Studiamo ora le trasformazioni dei campi: sotto SU(2)L × SU(2)R è ovviamenteS 7−→ S

U 7−→ VLUV†R

(7.77)

In particolare, per trasformazioni vettoriali è

U 7−→ V UV † (7.78)

e di conseguenzaτ · φ 7−→ (V τV †) · φ (7.79)

Al solito, questo significa che i φ trasformano come l’aggiunta di SU(2). Viceversa, pertrasformazioni assiali è

U 7−→ AUA (7.80)

e questo implica una trasformazione non lineare dei φ. Esplicitamente, perA = 1+iωaτa/2infinitesima, è

φa 7−→ φa + ωav + . . . (7.81)8Più in generale, si può mostrare che una generica matrice hermitiana H può sempre essere scritta come

H = ΛU , dove Λ è semidefinita positiva e U è unitaria.


La lagrangiana in termini di S e U si riscrive facilmente come

L =1

2∂µS ∂

µS +(v + S)2

4tr (∂µU † ∂µU)− V ((v + S)2) (7.82)

e in particolare, con la scelta fatta per il potenziale

L =1

2∂µS ∂

µS − λF 2πS

2 +F 2π

4tr (∂µU † ∂µU)

+2FπS + S2

4tr (∂µU

† ∂µU)− λvS3 − λ

4S4

(7.83)

In particolare, S ha una massa M2S = 2λF 2

π . I φa invece compaiono solo derivati, dunquesono non massivi. A basse energie, ossia a energie molto minori di MS , questo scalareè congelato e il contributo alla dinamica dei φa è soppresso. Pertanto, in tale regimepossiamo considerare come lagrangiana

LNLσ =F 2π

4tr (∂µU † ∂µU) (7.84)

Tale modello è detto σ model non lineare.

7.4.3 Lagrangiane chirali efficaci

In questa sezione vogliamo capire quanto il modello σ non lineare sia generale, o genera-lizzabile. Per fare ciò, supponiamo di essere nel limite chirale M = 0 per la QCD. Comegià osservato, i gradi di libertà osservati a basse energie non sono i quark e i gluoni, acausa della schiavitù infrarossa. L’idea è quindi individuare i corretti gradi di libertà edescrivere la loro dinamica con una lagrangiana efficace che catturi le principali proprietàdella QCD. I gradi di libertà li abbiamo già trovati: i tre pioni, eventualmente allargatiai successivi cinque mesoni più leggeri. Indichiamo tali stati collettivamente come pioni, econsideriamo tali stati come bosoni di Goldstone. Per la scrittura della lagrangiana effica-ce Leff, richiediamo che questa abbia le stesse simmetrie di LQCD. In particolare, la teoriadeve essere ovviamente invariante di Lorentz, deve avere una simmetria SU(L)L×SU(L)Rspontaneamente rotta a SU(L)V e, se la QCD è invariante sotto CP , deve essere invariantesotto CP . In più, ci proponiamo di fare delle predizioni sulle masse dei tre quark u, d, s,basandoci sulla (piccola) rottura esplicita della simmetria chirale.

Per prima cosa, diamo per buona un’osservazione di Callan, Coleman, Wess e Zumino:in presenza di una rottura spontanea di simmetria G→ H, i bosoni di Goldstone trasfor-mano sotto una rappresentazione non lineare del gruppo, ossia se X è lo spazio dei campiesiste una mappa f : G×X → X compatibile con la struttura di gruppo di G, ossia sottog è

πa 7−→ π′a= fa(g, πb) (7.85)

e valefa(g1, f

b(g2, πc)) = fa(g1g2, π

b) , fa(g−1, πb) = fa(g, πb)−1 (7.86)

ma, in generale, f non sarà un’applicazione lineare. In più, quando G → H i bosoni diGoldstone possono essere pensati come campi a valori in G/H.9 Infatti, data la mappa

9Si noti che tale spazio non è in generale un gruppo.


fa, notiamo che i campi possono essere generati tramite una trasformazione locale, ossiaesiste una mappa g : R1,3 → G tale che

πa(x) = fa(g(x), 0) (7.87)

La richiesta che il vuoto sia invariante sotto H è fa(h, 0) = 0 per h ∈ H. Allora è chiaroche i πa sono definiti a meno dell’azione di H. Più precisamente, è

πa(x) = fa(g(x), 0)

= fa(g(x), f b(h, 0))

= fa(g(x)h, 0)

(7.88)

e in tal senso i campi possono essere intesi come elementi di G/H.Nel caso di SU(L)R × SU(L)L → SU(L)V , è ovviamente

SU(L)R × SU(L)LSU(L)V

= SU(L)A (7.89)

dunque possiamo di embeddare i campi dei pioni in una matrice di SU(L). Inoltre, è

SU(L)R × SU(L)LSU(L)V

= U × 1 , U ∈ SU(L) (7.90)

Infatti, le matrici della forma V × V sono chiaramente in SU(L)V , dunque un genericoVL × VR è nella stessa classe di equivalenza di

VL × VR ∼ (VLV−1R )× 1 (7.91)

e la matrice U = VLV−1R è indipendente dalla classe, infatti

(U × 1)(V × V ) = UV × V ∼ U × 1 (7.92)

Viceversa, sotto moltiplicazione di un elemento qualsiasi di SU(L)L × SU(L)R è

(U × 1)(VL × VR) ∼ VLUV †R × 1 (7.93)

e dunque, una volta che i pioni πa sono rappresentati come una matrice U ∈ SU(L),l’azione di SU(L)L × SU(L)A è

U 7−→ VLUV†R (7.94)

Da qui ci concentriamo su L = 3 e occasionalemnte su L = 2. Dati i pioni πa, definiamo

U = exp(iαπaλa) (7.95)

α è una costante che determineremo a breve, λa sono le matrici di Gell-Mann (dunquecon normalizzazione tr (λaλb) = 2δab). Come detto, ora siamo interessati a scrivere unalagrangiana per i pioni che abbia come gruppo di simmetria SU(3)V ×SU(3)A. In più, vistoche i pioni sono solo i gradi di libertà più leggeri per la teoria, ci accontentiamo di scrivereuna lagrangiana valida solo a basse energie: dal punto di vista pratico, questo significache ci limitiamo a lagrangiane con al più due derivate. Ovviamente, un termine con una


sola derivata non è uno scalare di Lorentz, dunque nelle ipotesi fatte la lagrangiana piùgenerale è

Leff = f1(U) + f ijmn2 (U)∆νij∆

µmnηµν (7.96)

dove f1 e f ijmn2 sono (per ora) due funzioni arbitrarie e dove si è posto

∆µ = −iU † ∂µU (7.97)

Infatti, avere due derivate agenti su U o U † equivale a prendere due volte ∆µ, a menodi ridefinire f ijmn2 (U). Determiniamo ora f1 e f ijmn2 . Per prima cosa, notiamo che lalagrangiana deve essere invariante sotto SU(3)L × SU(3)R anche quando U è costante inx, dunque f1 deve soddisfare

f1(U) = f1(VLUV†R) (7.98)

per ogni VL, VR ∈ SU(3). In particolare, se VL = VR = 1+ iα, è

f1(U) = f1(U) + i[α, ∂Uf1] (7.99)

e dunque vista l’arbitrarietà di α, f1 è costante in U . f1 dunque rappresenta un’energiadi vuoto e possiamo trascurarla. Passiamo a f ijmn2 . Per prima cosa, notiamo che ∆µ èinvariante sotto SU(L)V , dunque anche f ijmn2 deve essere indipendente da U . Allora icoefficienti f ijmn2 sono essenzialmente dei coefficienti di Clebsch-Gordan per il prodotto∆µij∆µ,mn, e devono essere scelti in modo che f ijmn2 ∆µ

ij∆µ,mn sia un singoletto di SU(3).Fortunatamente, ∆µ ∈ 8 e 8 ⊗ 8 = 1 ⊕ . . ., quindi possiamo costruire effettivamenteun singoletto. Notando che ∆µ è a traccia nulla10, questo singoletto è necessariamentetr∆µ∆

µ, dunque rimaniamo con la lagrangiana

Leff = f2(U)tr (∆µ∆µ) (7.102)

e, di nuovo, come per f1 l’invarianza sotto SU(3)L × SU(3)V richiede che f2 sia costante.La lagrangiana più generale con due sole derivate è

Leff = g tr (∂µU† ∂µU) (7.103)

dove si è usato il fatto che ∆µ∆µ = U †∂µU ∂

µU †U . Richiediamo ora che il termine cineticoper i pioni sia correttamente normalizzato: ricordando che U = exp(iαπaλa), è

Leff = 2gα2 ∂µπa ∂µπa + . . . (7.104)

e così fissiamo gg =

1

4α2(7.105)

10Si ricordi infatti che per A = eB è

∂µA =

∫ 1

0

ds esB∂µB e(1−s)B (7.100)

e così se U = eiM con M hermitiana e traceless è

tr∆µ =

∫ 1

0

ds tr(−ie(1−s)iM∂µM e(1−s)iM

)= ∂µtrM = 0 (7.101)


Determiniamo ora α. Le correnti associate a SU(3)V e SU(3)A sono

V µa = igtr (λa[∂µU,U †]) , Aµa = igtr (λa∂µU,U †) (7.106)

In particolare, èAµa = −4αg ∂µπa + . . . (7.107)

dove . . . indica termini almeno bilineari nei pioni. Ricordando allora la definizione di Fπ,deve essere

Fπ = 4αg (7.108)e si conclude allora α = F−1π , g = F 2

π/4. La lagrangiana è

Leff =F 2π

4tr (∂µU ∂

µU †) , U = exp

(i

Fπ

8∑a=1

λaπa

)(7.109)

Si noti che ogni termine della lagrangiana contiene almeno una derivata dei pioni, dunquequesti sono non massivi. In effetti non poteva essere altrimenti, visto che siamo partiti dauna simmetria esatta (nel limite chirale) e l’abbiamo rotta spontaneamente, ottenendo ipioni come bosoni di Goldstone.

7.4.4 Rottura esplicita di simmetria

Abbiamo già notato che un termine di massa per i quark della forma

LQCD ⊇ −ψLMψR + h.c. (7.110)

rompe esplicitamente la simmetria chirale per masse non nulle. Per semplicità, ci limitiamoalla matrice di massa per i primi tre quark

M =

mu 0 00 md 00 0 ms

(7.111)

e notiamo che se mu 6= md 6= ms 6= mu, allora anche SU(3)V è rotta esplicitamente,dunque non possiamo sperare di avere dei bosoni di Goldstone. Un modo standard pertrattare questo tipo di rottura esplicita è tramite gli spurioni: si introduce un gradodi libertà aggiuntivo non dinamico, detto appunto spurione, che restaura la simmetriaesplicitamente rotta. La sua variazione è poi usata per valutare quanto la simmetriaviene rotta. Esplicitamente, supponiamo di sostituire la matrice di massa M con un’altramatrice di massa M, in generale complessa, che trasforma sotto SU(3)L × SU(3)R come

M 7−→ VLMV †R (7.112)

Così, postoL = −1

2tr (FµνF

µν) + iψ /Dψ − ψLMψR − ψRM†ψL (7.113)

è ovvio che L è invariante sotto SU(3)L×SU(3)R, e inoltreM ”indica” ”quanto è rotta” lasimmetria dal termine di massa nel senso che sotto una trasformazione di SU(3)L generatada αaL è

δ

δαaLψLMψR = −ψL

δ

δαaLM∣∣∣∣M=M

ψR (7.114)


e similmente per SU(3)R. In questo caso possiamo allora ripetere la costruzione dellalagrangiana chirale efficace appena fatto, e possiamo anche pensare di inserire un terminecon M nella lagrangiana efficace. Chiaramente, possiamo ordinare i vari termini in basealle potenze diM e alle derivate di U , come prima. Il termine più rilevante è allora UM,con gli indici contratti in qualche modo. La richiesta di invarianza sotto SU(3)L×SU(3)Re la richiesta di hermiticità della lagrangiana richiede che il termine di massa sia

Leff ⊇F 2π

2

[Btr (MU) +B∗tr (M†U †)

](7.115)

dove B è un parametro complesso addizionale, non più determinabile. Comunque, la fasedi B può essere interamente riassorbita in M, e inoltre assumiamo per ora che M siahermitiana11. Così, la lagrangiana efficace è

Leff =F 2π

4tr (∂µU † ∂µU) +

F 2πB

2tr [M(U + U †)] (7.116)

Si ricordi che un condensato chirale non nullo implica la rottura spontanea della simmetriachirale grazie alla 7.42. Ovviamente, in termini dei quark è

〈Ω|ψiψi|Ω〉 = −∂

∂mi〈Ω|LQCD|Ω〉 (7.117)

dove non si sottintende una somma in i. Però, come detto più volte, se Zeff = ZQCD è

〈Ω|ψiψi|Ω〉 =i

V T

1

Zeff

∂Zeff∂mi

= − ∂

∂mi〈Ω|Leff|Ω〉

(7.118)

dove abbiamo immaginato di mettere il sistema in un quadrivolume V T finito, per evitaredivergenze infrarosse. Usando il fatto che M è diagonale, è

∂Leff∂mi

=F 2πB

2(U + U †)ii (7.119)

Si noti ora che 〈Ω|U |Ω〉 = 〈Ω|U †|Ω〉 = 1 dato che assumiamo che SU(L)V sia realizzatolinearmente, così si conclude

〈Ω|ψiψi|Ω〉 = −F 2πB (7.120)

e dunque effettivamente il termine aggiunto rompe la simmetria chirale. Si noti inoltreche dal secondo termine in 7.116 si ottiene un termine di massa per i pioni

Leff ⊇ F 2πB trM− 1

4πaπbtr (Mλa, λb) + . . . (7.121)

dove . . . include termini con almeno quattro pioni. La matrice di massa per i pioni è

mab =1

2Btr (Mλa, λb) (7.122)

e dipende sensibilmente da L. Studiamola nei due casi rilevanti.11Come vedremo, tale assunzione è giustificata dal fatto che la QCD sembra non violare la parità.

Effettivamente, se M è hermitiana e se richiediamo che Leff sia invariante sotto parità, dato che i pionisono pseudoscalari si ottiene B = B∗.


Tre pioni, L = 2

In tal caso, la matrice di massa dei quark è

M =

(mu 00 md

)(7.123)

e inoltre usando le proprietà delle matrici di Pauli è

mab = B(mu +md)δab (7.124)

cioè i tre pioni π± e π0 hanno la stessa massa quadra M2π = B(mu +md). In particolare,

la teoria è ancora invariante sotto SU(2)V , anche se mu e md sono non nulle, e anchese mu 6= md. Questa caratteristica è propria del caso L = 2, infatti l’unico termine chepotrebbe non essere invariante sotto SU(2)V è il termine di massa, che trasforma come

tr [M(U + U †)] 7−→ tr [V †MV (U + U †)] (7.125)

Tuttavia, per L = 2 la matrice U + U † è proporzionale all’identità

U + U † = 2 cos|π|Fπ

(7.126)

e dunque anche il termine di massa è invariante sotto SU(2)V , qualunque sia M. Infine,a bass(issim)e energie solo i primi termini della lagrangiana efficace sono rilevanti per ladinamica dei pioni. Includendo le interazioni fino a quattro particelle12, si trova

Leff = F 2πM

2π +

1

2∂µπ

a ∂µπa +1

6F 2π

(πaπb ∂µπ

a ∂µπb − πaπa ∂µπb ∂µπb +1

4M2ππ

aπaπbπb)

(7.128)

Otto pioni, L = 3

In questo caso, ricordando che per SU(3) è

λa, λb = 4

3δab + dabcλ

c (7.129)

e notando che possiamo scrivereM = α013×3+α3λ3+α8λ8, si ottiene la matrice di massa

mab = 2α0B18×8+B

2α8√3

2α8√3

2α8√3

2α3√3

α3 − α8√3

α3 − α8√3

−α3 − α8√3

−α3 − α8√3

2α8√3

−2α8√3

(7.130)

12Nel calcolo si ricordi che le matrici σ sono le matrici γ per d = 3, dunque

tr (σaσbσcσd) = 2(δabδcd − δacδbc + δadδbc) (7.127)


Alcune masse sono banali e, calcolando gli opportuni α0,3,8, è

M2π1,2 =M2

π± = B(mu +md)

M2π4,5 =M2

K± = B(mu +ms)

M2π6,7 =M2

K0,K0 = B(md +ms)

(7.131)

mentre c’è un mixing non banale tra π3 e π8. Diagonalizzando la matrice di massa troviamole masse per η e π0, i.e

Mπ0 = B(mu +md)− ε+O(ε2)

M2η =

B

3(mu +md + 4ms) + ε+O(ε2)

(7.132)

dove si è espanso nella piccola quantità ε

ε =B

4

(mu −md)2

ms − m, m =

mu +md

2(7.133)

Verificheremo a posteriori tale ipotesi di piccolezza. Si noti inoltre che da tali masse segueuna relazione nota come relazione di Gell-Mann e Okubo

3M2η +M2

π = 2(M2K+ +M2

K0) (7.134)

Inoltre, in tale limite il condensato chirale è dato da

F 2πM

2π = −(mu +md)〈Ω|ψiψi|Ω〉 (7.135)

7.4.5 Correzioni elettromagnetiche

I risultati ottenuti nella sezione precedente non sono direttamente applicabili ai valorisperimentali misurati per le masse. In particolare, abbiamo trovato delle masse uguali perπ0 e per π±, a meno di O(ε) mentre sperimentalmente differiscono di circa 5MeV. Piùprecisamente, il PDG del 2010 riporta le masse in tabella 7.1. Vogliamo ora capire queste

Particella Massaπ0 Mπ0 = 134.98MeVπ± Mπ± = 139.57MeVK± MK± = 493.68MeV

K0, K0 MK0,K0 = 497.61MeV

η0 Mη0 = 547.85MeVη′ Mη′ = 957.78MeV

Tabella 7.1: masse dei mesoni più leggeri.

differenze. Da un punto di vista intuitivo, c’è una differenza fondamentale tra π± e π0,ossia l’interazione con il campo elettromagnetico. Lo stesso si può dire per K±. Questainterazione è data, a livello di quark, dall’hamiltoniana di interazione

∆He.m. = e

∫d3xJµe.mAµ (7.136)


dove Aµ è il campo del fotone e dove la corrente elettromagnetica è

Jµe.m. = ψγµQψ (7.137)

La matrice di carica Q è una matrice negli indici di flavour, mentre è l’identità negli indicispinorali e di colore. Per i tre quark u, d s è

Q =

2/3−1/3

−1/3

(7.138)

Così, il commutatore di Jµe.m. con le cariche di SU(3)V × SU(3)A è

[QV,a, Jµe.m.] = ψγµ[T a, Q]ψ , [QA,a, J

µe.m.] = ψγµγ5[T a, Q]ψ (7.139)

Così, ricordando che in termini di generatori di SU(3) è Q = T3 + T8/√3, è

[Q,T3] = [Q,T8] = [Q,U3] = [Q,V3] = [Q,U±] = 0 (7.140)

mentre gli altri commutatori sono non nulli.Supponiamo ora di essere nel limite chirale. In tal caso, in assenza di interazioni

elettromagnetiche il gruppo di simmetria della lagrangiana è SU(3)L×SU(3)R. In presenzadi interazioni elettromagnetiche, il gruppo di simmetria è in parte rotto esplicitamente.Dal calcolo fatto, il sottogruppo

SU(2)(U−spin)L × SU(2)

(U−spin)R ×U(1)

(Q)L ×U(1)

(Q)R 6 SU(3)L × SU(3)R (7.141)

è il gruppo di simmetria della teoria in presenza di interazioni elettromagnetiche. Comenella sezione precedente, questa simmetria è poi spontaneamente rotta con un pattern

SU(2)(U−spin)L × SU(2)

(U−spin)R ×U(1)

(Q)L ×U(1)

(Q)R → SU(2)

(U−spin)V ×U(1)

(Q)V (7.142)

e le cariche rotte sono le cariche assiali QA,3, QA,6 ± iQA,7 e QA,8. Queste cariche corri-spondono ai mesoni pseudoscalari π0, K0, K0 e η0, che sono dunque i bosoni di Goldstoneper la rottura spontanea di simmetria e, nel limite chirale, sono attesi essere a massa nul-la. Gli altri mesoni pseudoscalari, π± e K±, corrispondono invece ai generatori di SU(3)Aesplicitamente rotti dalle interazioni elettromagnetiche, dunque ci si aspetta che tali par-ticelle acquisiscano una massa. Per di più, dato che [Q,U±], la correzione alla massa perπ+ e K+ è la stessa, così come la correzione alla massa per π− e K−. D’altronde, le massedi π+ e π− sono uguali, così come le masse di K+ e K−. Ovviamente, a questo puntonon possiamo predire altro. Tuttavia, un teorema mostrato da Dashen mostra che lo shiftnelle masse è della forma

M2 =M2QCD + e2QC (7.143)

per un mesone pseudoscalare di massa M e carica Q. MQCD è la predizione della massabasata sulle sole interazioni forti e C è una costante opportuna.

7.5. MASSE DEI QUARK U , D, S 89

7.5 Masse dei quark u, d, s

Se introduciamo anche le masse dei quark, le masse dei mesoni sono

M2π0 = B(mu +md)− ε+O(ε)

M2π± = B(mu +md) + ∆M2

e.m.

M2K± = B(mu +ms) + ∆M2

e.m.

M2K0,K0 = B(md +ms)

M2η0 =

B

3(mu +md + 4ms) + ε+O(ε2)

(7.144)

a patto che, come visto, ε sia piccola, cosa che verificheremo a posteriori. Comunque,qualunque siano i valori di ε e di ∆M2

e.m., è facilmente

ms

md=M2K0,K0 −M2

π± +M2K±

M2K0,K0 +M2

π± −M2K±

= 20.18 (7.145)

dove si sono usate le masse in tabella 7.1. Per valutare mu/md, supponiamo che ε = 0. Intal caso, è

mu

md=M2K± −M2

π± −M2K0,K0 + 2M2

π0

M2K0,K0 −M2

K± +M2π±

= 0.56 (7.146)

Sempre nel limite ε = 0, si ottiene la relazione di Gell-Mann e Okubo

3M2η0 + 2M2

π± −M2π0 = 2M2

K± + 2M2K0,K0 (7.147)

Questa relazione predice una massa per η0

Mη0 = 566MeV (7.148)

un po’ superiore a quella misurata sperimentalmente. Solitamente, tale discrepanza èimputata a un mescolamento di η0 con η′. Si noti ora che, conoscendo i rapporti mu/md emd/ms, è possibile nel limite ε = 0 dedurre i valori di Bmu, Bmd e Bms dalle sole massedei π0 e K0, K0. Questo permette poi di valutare ∆M2

e.m. in due modi diversi, ossia dallemasse dei π± e dei K±. In entrambi i casi si trova

∆M2e.m. = 1242MeV2 (7.149)

mentre con gli stessi valori si trova

ε = 29MeV2 (7.150)

In particolare, la differenza M2π± − M2

π0 = ∆M2e.m. + ε è interamente dominata dalle

correzioni elettromagnetiche. Sempre da tali valori numerici, è

MK0,K0 −MK± = Bmd −mu

MK0,K0 +MK±− ∆M2

e.m.MK0,K0 +MK±

= 5.2MeV − 1.3MeV (7.151)


Supponiamo invece di non tener conto delle correzioni elettromagnetiche. Il rapportomd/ms, come detto, non viene modificato, e così neanche Bmd e Bms singolarmente.Invece, per il rapporto mu/md si trova

mu

md=M2π0 +M2

K± −M2K0,K0

M2π0 −M2

K± +M2K0,K0

= 0.67 (7.152)

Così, posto ms = Λmd e mu = λmd, si trova Bmd tramite la massa del K0 e infine si puòpredire

M2π0 =M2

π± −M2K0,K0

(1− λ)2

2(1 + Λ)(2Λ− 1− λ)(7.153)

e numericamente risultaM2π0,(th) = 139.51MeV (7.154)

Per spiegare la differenza in massa tra π0 e π± è dunque necessario includere le correzionielettromagnetiche.

Infine, sembra che sia ragionevole stimare le masse dei quark a partire dalle masse diρ+ e K∗+

Mρ+ = 770MeV , MK∗,+ = 892MeV (7.155)

ρ+ è formato da ud, K∗,+ è formato da us, dunque ipotizzando che sia13

Mρ+ −MK∗,+ = ms −md (7.157)

si trova, usando i rapporti tra le masse trovati,

mu ' 3.6MeV , md ' 6.4MeV , ms ' 128MeV (7.158)

13O meglio, ipotizzando che sia

Mρ+ =M +mu +md , MK∗,+ =M +mu +ms (7.156)

dove M è la massa (uguale!) di ρ+ e K∗,+ nel limite chirale.

Capitolo 8

Argomenti avanzati

8.1 Anomalie

8.1.1 Il problema dell’U(1)ANel capitolo precedenti abbiamo inizialmente notato che nel limite chirale la lagrangia-na della QCD è invariante sotto SU(L)V × SU(L)A × U(1)V × U(1)A, ma poi abbiamoignorato l’U(1)V × U(1)A nella discussione seguente. Proviamo ora a ripercorrere i passidel capitolo precedente: se U(1)V × U(1)A è realizzato alla Wigner-Weyl, avremmo duecariche conservate Q e Q5, rispettivamente per U(1)V e U(1)A. In particolare, le correntiassociate sono ovviamente

Jµ = ψγµψ , Jµ5 = ψγµγ5ψ (8.1)

Come nel capitolo precedente, una realizzazione lineare di U(1)A richiede l’esistenza dipartner delle particelle note con stessa massa e parità opposta, e questo non sembra ilcaso. Assumiamo dunque che U(1)V × U(1)A sia rotto spontaneamente a U(1)V , con laconseguente comparsa di un bosone di Goldstone. Questo ha gli stessi numeri quantici diQ5, quindi è un singoletto di parità negativa. Il candidato migliore sembra essere η′ e talebosone di Goldstone modifica U in una generica matrice unitaria, ossia poniamo1

U = exp

(i

Fππaλa +

iλ

FπS

√2

31

)= U e

iλFπS√

23 (8.2)

λ è un parametro aggiuntivo che tiene conto di una possibile differenza nella costantedi decadimento per il singoletto. Passiamo alla determinazione della lagrangiana chiraleefficace. Questa ora può contenere anche un termine del tipo tr (∆µ), dove

∆µ = −iU †∂µU (8.3)

Infatti ora tale matrice non è più a traccia nulla, ma anzi è

tr (∆µ) ∝ ∂µS (8.4)

1Si noti che 1√

2/3 ha la stessa normalizzazione delle matrici di Gell-Mann.

91

92 CAPITOLO 8. ARGOMENTI AVANZATI

Così, la lagrangiana chirale efficace diventa

L =1

2∂µS ∂

µS +F 2π

4tr (∂µU

†∂µU) +BF 2

π

2tr [M(U + U †)] (8.5)

Così, la corrente associata a U(1)A è

Jµ5 = −√6Fπλ∂µS (8.6)

e come atteso S è un bosone di Goldstone per U(1)A.Comunque, questa lagrangiana è fenomenologicamente disastrosa. Infatti, pur essendo

partiti dall’idea di avere un singoletto S con gli stessi t3 e y di due particelle nell’ottetto,π3 e π8, è inevitabile un mixing tra le tre particelle, dato dalla matrice di massa. Inparticolare, trascurando il mixing con π3 (cioè a meno di termini O(ε)), la matrice dimassa per π8 e S è

m2 =2

3B

(m+ 2ms λ

√2(m−ms)

λ√2(m−ms) λ2(2m+ms

)(8.7)

Se λ = 1, gli autovalori sono

M2`(λ=1) = 2Bm =M2

π0 , M2h(λ=1) = 2Bms =M2

K± +M2K0,K0 −M2

π+ (8.8)

e i corrispondenti autostati

`(λ=1) =π8√3+

√2

3S , h(λ=1) = −

√2

3π8 +

S√3

(8.9)

In particolare, ricordando che in termini di quark è

π8 =uu+ dd− 2ss√

6, S =

uu+ dd+ ss√3

(8.10)

si trova`(λ=1) =

uu+ dd√2

, h(λ=1) = ss (8.11)

Tali stati sono singoletti di isospin e gli unici candidati sono η0 e η′, ma le masse non sonoquelle osservate.

Nel caso di λ qualunque, comunque l’autovalore minore della matrice di massa soddisfail limite di Weinberg

M`,λ < M`,λ=∞ <√3Mπ0 (8.12)

ma sperimentalmente non c’è traccia di una particella con tale massa, dato che√3Mπ0 = 234MeV < 548MeV =Mη0 < Mη′ (8.13)

Questo problema è noto come problema dell’U(1)A. Come mostreremo, la corrente asso-ciata a U(1)A è anomala, dunque non rispetta le ipotesi del teorema di Goldstone.

8.1. ANOMALIE 93

8.1.2 Anomalie

Si ricordi ora che, classicamente se sotto una trasformazione continua dei campi φ′i =φi + δφi, è δL = ∂µK

µ +∆, allora posto

Jµ = −∑i

∂L∂∂µφi

δφi +Kµ (8.14)

on-shell è∂µJ

µ = −∆ (8.15)

Nel seguito, avremo gruppi con più generatori che agiscono sui campi. La trasformazionedei campi sarà quindi della forma φ′i = φi + ωa δaφ, e per trasformazioni globali (i.e. seωa non dipende da x) questa trattazione rimane invariata.

Consideriamo invece la funzione di partizione per la teoria quantistica

Z =

∫Dφi eiS[φi] (8.16)

Questa è invariante sotto riparametrizzazioni locali dei campi, in particolare sotto

φ′i = φi + εfa δaφi (8.17)

dove fa è una generica funzione scalare sullo spaziotempo (che si annulla abbastanzavelocemente a grandi |x|) e ε un infinitesimo. Così, è∫

Dφi eiS[φi] =∫Dφ′i eiS[φ

′i] (8.18)

Partiamo dall’azione. La sua variazione, nel caso in cui la lagrangiana dipenda dai campie dalle loro derivate prime, è

δS = ε

∫d4x

∑i

∂L∂φi

fa δaφ+∂L∂∂µφi

∂µ(fa δaφ)

= ε

∫d4x

∑i

fa∂L∂φi

δaφi +∂L∂∂µφi

δa∂µφi − ∂µ(

∂L∂∂µφi

δaφi

)= ε

∫d4x fa (∆a + ∂µJ

µa )

(8.19)

proprio come nel caso di fa costanti. In generale, anche la misura funzionale può cambiare.Chiaramente, possiamo parametrizzare tale variazione come

Dφ′i = Dφi eiεA[fa,φi] (8.20)

dove il funzionale A[fa, φi] è detto anomalia ed è convenzionalmente posto come

A[fa, φi] =∫

d4x faAa[φi] (8.21)

Così, l’invarianza del path integral ci assicura che

0 = ε

∫Dφi eiS[φi]

∫d4x fa (∆a +Aa[φi] + ∂µJ

µa ) +O(ε2) (8.22)


Così, indicando con delle parentesi angolate il valor medio sul vuoto, l’arbitrarietà di faimplica

∂µ〈Jµa 〉 = −〈∆a +Aa[φi]〉 (8.23)

Supponiamo ora di voler valutare la variazione sotto φi 7−→ φi + εfa δaφ di∫Dφi F [φi] eiS[φi] (8.24)

dove F [φ] sono operatori locali. Se F [φi] è invariante sotto φi 7−→ φi + fa δaφi, è

∂µ〈Jµa F [φi]〉 = −〈(∆a +Aa[φi])F [φi]〉 (8.25)

Se invece inseriamo una stringa di campi, si ottiene alla stessa maniera

∂

∂yµ〈Jµa (y)φj1(x1) . . . φjn(xn)〉 = − 〈(∆a(y) +Aa[φi(y)])φj1(x1) . . . φjn(xn)〉

+ i

n∑k=1

δ(y − xi)

⟨δaφjk(xk)

∏i 6=k

φji(xi)

⟩ (8.26)

Queste relazioni sono note come identità di Ward-Takahashi anomale e grazie a essepossiamo concludere che vale l’equazione operatoriale

∂µJµa = −(∆a +Aa) (8.27)

dove tutti i termini sono intesi come operatori sullo spazio di Hilbert della teoria. Dunque,ogni volta che abbiamo una simmetria in una teoria classica, per essere sicuri che lasimmetria sia una buona simmetria anche a livello quantistico dobbiamo assicurarci chenon ci siano anomalie nella variazione della misura funzionale.

8.1.3 Anomalia chirale

L’esempio più importante di anomalia che descriviamo è nota come anomalia chirale,o anomalia ABJ (Adler, Bell, Jackiw). Consideriamo dunque una teoria di gauge nonchirale (cioè con stessi accoppiamenti ai campi di gauge per la parte fermionica destra esinistra) e nel limite chirale. Questa teoria ha, come visto, una simmetria chirale classicaU(L)L × U(L)R = U(L)V × U(L)A. Vediamo se tale simmetria è anomala o meno. Seruotiamo i fermioni come

ψm(x) 7−→ Umn(x)ψn(x) (8.28)

o, se si preferisce, se li ruotiamo come

ψm(x) 7−→∫

d4y Umx,nyψn(y) , Umx,ny = Umn(x)δ(4)(x− y) (8.29)

dove gli indici (m,n) = (α, f, c;α′, f ′, c′) sono indici spinorali, di flavour e di colore, alloraè

ψm(x) 7−→ ψn(x)Unm(x) (8.30)

dove U(x) = γ0U †(x)γ0. Equivalentemente

ψn(y) 7−→∫

d4xψn(y)U tmx,ny , Uny,mx = (γ0U †(x)γ0)nmδ(4)(x− y) (8.31)

8.1. ANOMALIE 95

In tal modo, la misura funzionale per i fermioni trasforma come

Dψ′Dψ′ = det(UU)−1DψDψ (8.32)

Così, per una trasformazione unitaria non chirale

U(x) = eiα(x)t (8.33)

dove t = 1s ⊗ tf,c è una matrice hermitiana che agisce banalmente sugli indici spinorali, èU = U †, e di conseguenza non c’è alcuna anomalia

Dψ′Dψ′ = DψDψ (8.34)

Viceversa, per una trasformazione unitaria chirale

U(x) = eiγ5α(x)t (8.35)

dove di nuovo t è una matrice hermitiana che non modifica gli indici spinorali, è U = U edi conseguenza

Dψ′Dψ′ = (detU)−2DψDψ (8.36)

La corrente associata alla simmetria assiale U(1)A × SU(L)A è potenzialmente anomala.Precisamente, l’anomalia è data da2∫

d4xAt(x)α(x) = −2 tr log(eiα(x)γ5tδ(4)(x− y)) (8.37)

e cosìAt(x) = −2 tr (γ5t)δ(4)(0) (8.38)

dove la traccia è sugli indici spinoriali, di flavour e colore. In particolare, dato che tè l’identità sugli indici di Dirac, è tr (γ5t) = tr (γ5)tr (t) = 0, dunque l’espressione perl’anomalia è mal definita. Senza entrare nel dettaglio dei calcoli, diamo subito l’espressioneregolarizzata da Fujikawa per l’anomalia

At(x) = −2 limM→∞

limx→y

tr

[γ5tf

(/D2x

M2

)]δ(4)(x− y)

(8.39)

dove M è un regolatore UV, Dx = ∂x + igAaT ac è la derivata covariante usuale rispetto ax e l’operatore nella traccia agisce sulla distribuzione di Dirac a destra. f è una funzioneliscia su [0,+∞) arbitraria, a parte per i vincoli

f(0) = 1 , lims→∞

f(s) = lims→∞

sf ′(s) = lims→0

sf ′(s) = 0 (8.40)

Calcoliamo l’anomalia. L’anomalia si calcola riscrivendo la δ in trasformata

limx→y

tr

[γ5tf

(/D2x

M2

)]δ(4)(x− y) =

∫d4k

(2π)4tr

[γ5tf

((i/k + /Dx)

2

M4

)](8.41)

2Si ricordi che det eM = etrM .


Cambiamo variabile di integrazione in k/M e espandiamo l’argomento di f , così∫d4k

(2π)4tr

[γ5tf

((i/k + /Dx)

2

M4

)]=M4

∫d4k

(2π)4tr

[γ5tf

(−k2 + 2i

k ·Dx

M+

/D2x

M2

)](8.42)

Supponiamo ora di espandere f in serie. Compariranno alcune matrici γ e alcune potenzedi M . La presenza di γ5 richiede la presenza di almeno quattro matrici γ per avere unrisultato non nullo, mentre la potenza di M di fronte all’integrale richiede di fermarsi alsecond’ordine nello sviluppo in f . Questo significa allora che quando si prende il limite inM è

At(x) = −∫

d4k

(2π)4f ′′(−k2)tr (γ5t /D4

x) (8.43)

L’integrale su k è ora banale: si passa nell’euclideo e qui le ipotesi su f assicurano che∫d4k

(2π)4f ′′(−k2) = i

16π2(8.44)

Passiamo infine alla traccia, scrivendo

/D2x =

1

4Dµ

x , Dνxγµ, γν+

1

4[Dµ

x , Dνx][γµ, γν ]

= D2x +

ig

4Fµν [γµ, γν ]

(8.45)

Nel valutare /D4x, dobbiamo tenere solo l’ultimo termine, così

tr (γ5t /D4x) = −

g2

16tr (γ5tFµνF ρσ[γµ, γν ][γρ, γσ])

= −ig2εµνρσtr f,c(tFµνF ρσ)(8.46)

dove la traccia è solo sugli indici di flavour e colore. Si noti che anche il tensore dei campipuò avere indici di flavour, se si tiene conto anche delle interazioni elettromagnetiche.Comunque, concludiamo che l’anomalia è

At = −g2

16π2εµνρσtr f,c(tF

µνF ρσ) (8.47)

Supponiamo ora di trascurare le interazioni elettromagnetiche. Allora è

At = −g2

16π2εµνρσtr c(F

µνF ρσ)tr f (t) (8.48)

Così, se consideriamo una trasformazione in SU(L)A, t è a traccia nulla e le correnti assialistudiate nel capitolo precedente sono non anomale. Viceversa, per U(1)A la matrice t èl’identità e si trova

AU(1)A = − g2L


µνF ρσ) (8.49)

Solitamente, si esprime l’anomalia in funzione di una quantità detta densità di caricatopologica

Q =g2


µνFµν) (8.50)

8.1. ANOMALIE 97

dove si è introdotto l’usuale duale di Hodge 2Fµν = εµνρσFρσ. In tal modo

AU(1)A = −2LQ (8.51)

Consideriamo ora anche le interazioni elettromagnetiche, così

Dµ = ∂µ + igAaµTac + ieQAµ (8.52)

Q è la matrice di carica ed è l’identità sugli indici di colore, in particolare commuta con iT ac , così il tensore dei campi è

[Dµ, Dν ] = igF (strong)µν + ieQF (e.m.)

µν (8.53)

e pertanto l’anomalia si scrive, nel caso di t identità sui colori, come

At = −2Q tr f (t)−e2Nc

16π2εµνρσF (e.m.)

µν F (e.m.)ρσ tr f (Q

2t) (8.54)

dove si è ricordato che i T a sono a traccia nulla. Le anomalie dunque si sommano. Inparticolare, nel caso L = 3 è

Q =

2/3 0 00 −1/3 00 0 −1/3

(8.55)

così Q2 è una combinazione lineare di 1f , T 3f e T 8

f . Allora le interazioni elettromagnetichehanno sia un’anomalia in U(1)A che nelle due correnti assiali Aµ3 e Aµ8 . Le anomaliecorrispondenti sono

A(e.m.)U(1)A

= −e2Nc


µν F (e.m.)ρσ

A(e.m.)3 = −e

2Nc


µν F (e.m.)ρσ

A(e.m.)8 = − e2NC

96√3π2

εµνρσF (e.m.)µν F (e.m.)

ρσ

(8.56)

Per concludere, scriviamo la divergenza della corrente chirale generata da t

∂µJµA,t = iψγ5t,Mψ + ieψγ5 /A[t,Q]ψ +A(strong)

t +A(e.m.)t (8.57)

8.1.4 Anomalie nelle lagrangiane chirali efficaci

La discussione sulle anomalie pone interessanti problemi per le lagrangiane efficaci. Infat-ti, da una parte vorremmo che le funzioni di partizione per LQCD e Leff coincidano, mamentre LQCD ha alcune anomalie, Leff non può chiaramente averle: essendo definita soloper bosoni, non ci sono anomalie nella misura funzionale. Possiamo però modificare la la-grangiana efficace con un termine di rottura esplicita che riproduca l’effetto dell’anomalia.Ad esempio, sotto la simmetria assiale generata da T 3 è

U 7−→ AUA , A = eiαT3 (8.58)


Se richiediamo che sotto tale trasformazione dei campi sia

δLeff = αA(e.m.)3 (8.59)

allora la lagrangiana efficace riproduce l’anomalia presente nella teoria ultravioletta. Unatale variazione si ottiene, ad esempio, con la lagrangiana

L′eff = Leff +π3A3

Fπ

= Leff −Nce

2

96π2FπεµνρσF (e.m.)

µν F (e.m.)ρσ π3

(8.60)

Tale lagrangiana può dare un’ampiezza non nulla anche al tree level per il decadimentoπ0 → γγ, a patto di poter trascurare il mescolamento con π8 (ossia approssimando π0 'π3). L’ampiezza corrispondente è già presentata in 2.6, ossia

Γπ0→γγ =

(Nc

3

)2 α2M2π0

64π3F 2π

(8.61)

8.2 Large N expansionSupponiamo di voler studiare il seguente limite per la QCD: consideriamo un grandenumero di colori Nc e una piccola costante di accoppiamento gR, scelti in modo tale damantenere costante ΛQCD. Ricordando che

ΛQCD = µ e− 1

2β0g2R

(µ) (8.62)

e ricordando che (4π)2β0 = (11Nc − 2Nf )/3, questo significa che nel limite Nc → ∞ èg2R ∼ N−1c . Si noti che in tale limite ci si aspetta che i mesoni mantengano la stessa massa(dato che sono comunque formati da una coppia qq per Nc generico, dunque mantendendoΛQCD fissa non dovrebbe modificare la loro massa), mentre ci si aspetta che i barioni(formati da Nc quark) siano molto massivi (ragionevolmente con mB = O(Nc)). Allostesso modo, anche altre osservabili e altre funzioni di correlazione avranno un determinatoandamento conNc. Qui ci focalizziamo sulla funzione a due punti per una generica correnteinvariante di gauge della forma

J = ψΓψ (8.63)dove Γ è una matrice negli indici spinoriali, di colore e di flavour, che assumiamo esserel’identità negli indici di colore. Definiamo la trasformata di Fourier della funzione dicorrelazione come

〈JJ〉(k) = −i∫

d4x eikx〈Ω|T[J(x)J(0)]|Ω〉 (8.64)

Ovviamente, tale quantità avrà uno sviluppo perturbativo in termini di diagrammi. Ilprimo contributo è

J J = O(Nc) (8.65)

8.2. LARGE N EXPANSION 99

e ovviamente scala linearmente con Nc. Per estrarre l’andamento degli altri contributi, siricordi che il Casimir quadratico per la fondamentale è CF = (N2

c − 1)/2Nc = O(Nc) eche ∑

a

T aT bT a = − 1

NcT b (8.66)

Così, i primi contributi sono

J J ∼ g2tr (T aT a) = O(Nc)

J J ∼ g2tr (T aT bT bT a) = O(Nc)

J J ∼ g2tr (T aT bT aT b) = O(N−1c )

J J ∼ g4tr (T aT b)tr (T aT b) = O(1)

J J ∼ g4tr (T aT b)tr (T aT b) = O(1)

J J ∼ g4tr (T aT b)tr (T aT d)fabcfdbc = O(Nc)

J J ∼ g4tr (T aT b)tr (T aT d)fabcfdbc = O(Nc)

(8.67)

C’è un metodo molto elegante per capire l’ordine in Nc di un dato diagramma. Intuitiva-mente, un quark trasporta sia un sapore che un colore, mentre un gluone trasporta duecolori. Sostituiamo quindi ogni linea di quark con una doppia linea, una nera orientata euna rossa, e ogni gluone con due linee nere orientate in versi opposti.3 Questa notazione

3La sostituzione per il gluone è esatta nel caso del gruppo di gauge U(Nc), mentre per SU(Nc) c’è unapiccola correzione O(N−1

c ).


è detta notazione di ’t Hooft. Ad esempio

J J =⇒

J J =⇒

J J =⇒

(8.68)

A questo punto, un dato diagramma contribuisce come

O(Nχ−`c ) (8.69)

dove ` è il numero di loop di quark nel diagramma e χ è la caratteristica di Eulero dellasuperficie di Riemann ottenuta associando delle membrane a ogni loop, sia di colore chedi quark, e incollate come mostrato dal diagramma. Equivalentemente (credo), senzaricorrere alla notazione a doppia linea, χ dovrebbe essere la massima caratteristica diEulero delle superfici di Riemann che soddisfano le seguenti proprietà

• la superficie è orientabile,

• dato un aperto di tale superficie che ha per bordo tutti i loop di quark, è possibiledisegnare le altre linee (di gluoni e ghost) senza autointersezioni.

8.2.1 Applicazione al problema U(1)A

In un articolo di Witten, si propone di adattare la discussione precedente al problemaU(1)A. L’anomalia per Jµ5 infatti è proporzionale a g2 = O(N−1c ), dunque ci si aspettache essa possa essere trattata perturbativamente in potenze di Nc nel limite di grandi Nc.In particolare, possiamo provare a studiare la suscettività topologica

χ(k) = 〈QQ〉(k) = −i∫

d4x e−ikx〈Ω|T[Q(x)Q(0)]|Ω〉 (8.70)

La prima osservazione da fare è che nel limite chirale M = 0 la densità topologicasoddisfa

χ(k = 0) = 0 (8.71)

Infatti, postoZ(θ) =

∫DψDψDAei

∫d4xLQCD+iθ

∫d4xQ(x) (8.72)


èχ(k = 0) =

i

V T

1

Z

d2Z(θ)

dθ2

∣∣∣∣θ=0

(8.73)

Tuttavia se facciamo una trasformazione assiale sui fermioni del tipo ψ 7−→ eiαγ5ψ, a causa

dell’anomalia si haZ(θ) = Z(θ − 2Nfα) (8.74)

e dunque Z non dipende da θ, e così χ(k = 0) = 0.Veniamo all’espansione perturbativa di χ in potenze Nc. Dato che la densità di carica

topologica non contiene i campi dei quark, è possibile costruire dei diagrammi con L = 0,a differenza del caso precedente. Inoltre, Q può essere scritta come una quadridivergenza∂µK

µ, dove

Kµ =g2

8π2εµνρσtr

[Aν

(∂ρAσ +

2

3igAρAσ

)](8.75)

è detta corrente di Chern-Simons. Questo significa che possiamo scrivere Q = Q2 + Q3,dove Qk contiene k gluoni. Così, un diagramma per la suscettività topologica può averedue o tre gluoni entranti in ogni Q, ma non quattro come suggerito in maniera naive dalladefinizione di Q. Dunque per un dato diagramma il fattore topologico dato dalla regolasulle doppie linee deve essere ulteriormente moltiplicato per N−2c , a causa del termine g2proveniente da ogni Q. Ad esempio

Q2 Q2 = O(1)

Q3 Q3 = O(1)

(8.76)

Così, il contributo leading χ0(k) alla suscettività topologica per grandiNc èO(1) e provienedai diagrammi planari e puramente gluonici. Il termine next to leading χ1(k) è O(N−1c )e chiaramente può provenire solamente dai diagrammi planari con un loop fermionico.Intuitivamente, questi corrispondono ai diagrammi in cui c’è uno stato intermedio conuno (e uno solo) mesone qq. Ad esempio, il diagramma

Q2 Q2

A B

(8.77)


dà un contributo O(N−1c ) e il loop fermionico può essere pensato come dovuto allo scambiodi un mesone tra i vertici A e B. Questa osservazione può essere resa più precisa nelseguente modo: la suscettività topologica può essere riscritta come

χ(k) =

∫ ∞0

dµ2σ(µ2)

k2 − µ2 + iε(8.78)

dove σ è la densità spettrale per la densità di carica topologica

σ(p2)θ(p0) =∑n

(2π)3δ(4)(p− pn)|〈Ω|Q(0)|n〉|2 (8.79)

La somma è estesa agli autostati dell’impulso totale, i.e. P |n〉 = pn |n〉. Ovviamente, lasomma in realtà sottintende una somma su tutti i numeri quantici e un’integrazione sugliimpulsi. In particolare, possiamo separare la somma in somme sugli stati a un dato numerodi particelle. Così, la parte di densità spettrale relativa agli stati di singola particella è

σ1P(p2)θ(p0) = (2π)3

∑n

∫d3q

(2π)3δ(p2 −m2)θ(p0)δ(3)(p− q)|〈Ω|Q(0)|n,q〉|2

= θ(p0)∑n

|〈Ω|Q(0)|n,0〉|2δ(p2 −m2n)

(8.80)

dove n indica i possibili restanti numeri quantici e dove si è usata l’identità distribuzionale

δ(p2 − q2)θ(p0)δ(3)(p− q) =δ(4)(p− q)

2q0(8.81)

Così, il contributo dagli stati a una particella è

χ1P(k) =∑n

|〈Ω|Q(0)|n,0〉|2

k2 −mn2

(8.82)

In questo contributo, il termine a O(N−1c ) contiene tutti e soli i mesoni, ossia

χ1(k) =∑

mesoni

|〈Ω|Q(0)|n,0〉|2

k2 −mn2

(8.83)

Così, è

χ(k) = χ0(k) +∑

mesoni

|〈Ω|Q(0)|n,0〉|2

k2 −mn2

+ χ2(k) + . . . (8.84)

Definiamo ora la suscettività topologica di pura gauge

A = limk→0

χ0(k) = limk→0

limN→∞

χ(k) (8.85)

Così, per quanto mostrato è

0 = χ(k = 0) = A−∑

mesoni

|〈Ω|Q(0)|n,0〉|2

mn2

+ χ2(k) + . . . (8.86)


dove i termini . . . sono soppressi nel limite Nc → ∞. Così, se A 6= 0,4 quest’ultimaequazione può essere soddisfatta solo se esiste almeno un mesone con massa m2

S = O(N−1c ).Esplicitamente, tale mesone soddisfa

A =|〈Ω|Q(0)|S,0〉|2

m2S

(8.87)

e così, ricordando che nel limite chirale è ∂µJµ5 = −2LQ, è

〈Ω|Q(x)|S,p〉 = − 1

2L∂µ(√2LpµFse

ipx) (8.88)

dove FS = Fπ/λ. Così, otteniamo per la massa del singoletto la formula di Witten

m2S =

2LA

F 2S

(8.89)

e questo in particolare implica che nel limite di grandi Nc è FS = O(N1/2c ). Mostriamo

inoltre che nello stesso limite è FS = Fπ. La stessa analisi fatta per 〈QQ〉(k) può essereripetuta per 〈Aµ3A3,µ〉(k) e 〈Jµ5 J5,µ〉(k). Così, il termine dominante per le due funzioni dicorrelazione è

〈Aµ3A3,µ〉(k) =|〈Ω|Aµ3 (0)|π3(p)〉|2

k2 −M2π3

+ . . .

=F 2πM

2π3

k2 −M2π3

+ . . .

〈Jµ5 J5,µ〉(k) =|〈Ω|Jµ5 (0)|S(p)〉|2

k2 −M2π3

+ . . .

=6F 2

SM2S

k2 −M2S

+ . . .

(8.90)

Nel limite chirale e nel limite Nc → 0, è Mπ3,S → 0, quindi anche le due funzioni dicorrelazione si annullano. Se invece i quark u, d, s hanno stessa massa m è

Aµ3 =1

2uγµγ5u− 1

2dγµγ5d , Jµ5 =

∑q=u,d,s

qγµγ5q (8.91)

e ogni flavour contribuisce allo stesso modo alle due funzioni di correlazione. Così,all’ordine più basso è

〈Aµ3A3,µ〉(k) =1

2qγµγ5q ⊗ qγµγ

5q

〈Jµ3 J3,µ〉(k) = 3qγµγ5q ⊗ qγµγ5q

(8.92)

dove non si sottintende alcuna somma su q. Così, è

F 2πM

2π3

k2 −M2π3

=FSM

2S

k2 −M2S

(8.93)

e per k = 0 tale relazione implica FS = Fπ, e di conseguenza MS =Mπ3 .4Come mostrano effettivamente le simulazioni numeriche.


8.2.2 Lagrangiana di Witten-Di Vecchia-Veneziano e istantoni

Come per le anomalie elettromagnetiche, vediamo come l’anomalia per U(1)A influenzala dinamica a basse energie in un’opportuna lagrangiana efficace Consideriamo dunque lalagrangiana di Witten-Di Vecchia-Veneziano

Leff =1

2∂µS ∂

µS +Fπ4tr (∂µU

† ∂µU)−√6

FπSQ+

Q2

2A(8.94)

dove Q è pensato come campo ausiliario. Equivalentemente, posto U = U exp(

iFπS√

23

),

è anche

Leff =F 2π

4tr (∂µU

† ∂µU) +Q2

2A+i

2Q(log U − log U †

)(8.95)

Si ricordi che sotto una trasformazione di U(1)A è

U 7−→ eiαUeiα (8.96)

e cosìS 7−→ S +

√6Fπα (8.97)

D’altronde, l’anomalia per U(1)A è −6Q, e così la lagrangiana efficace scritta rompe espli-citamente U(1)A nella maniera richiesta. Se ora integriamo via Q,5 si ottiene immediata-mente

Leff =1

2∂µS ∂

µS − 1

2

6A

F 2π

S2 +F 2π

4tr (∂µU

† ∂µU)

=F 2π

4tr (∂µU

† ∂µU) +A

8

(tr log U − tr log U †

)2 (8.98)

In particolare, il singoletto acquista la massa richiesta dalla formula di Witten

m2S =

6A

F 2π

(8.99)

mentre i pioni rimangono non massivi in tale approssimazione.Possiamo ulteriormente generalizzare questa lagrangiana inserendo la massa dei quark.

La modifica della lagrangiana è minima

Leff =F 2π

4tr [∂µU

† ∂µU + 2BM(U + U †)] +A

8

(tr log U − tr log U †

)2(8.100)

Anche qui la matrice di massa è diagonale, a parte un mixing tra π3, π8 e S. Trascurandoil mixing con π3, che dipende da mu −ms, la matrice di massa per π8 e S è

m2 =

(23B(m+ 2ms)

2√2

3 B(m−ms)2√2

3 B(m−ms)6AF 2π+ 2

3B(2m+ms)

)(8.101)

5Il che significa svolgere l’integrale in DQ nell’integrale funzionale. Tuttavia, per azioni quadraticheabbiamo visto che tale operazione è equivalente alla sostituzione delle equazioni del moto per Q nell’azione.


Così, posto M2K = B(m + ms),6, gli autovalori M2

η0 e M2η′ di tale matrice di massa

soddisfano la relazione di Witten-Veneziano

M2η0 +M2

η′ − 2M2K =

6A

F 2π

(8.102)

Le simulazioni numeriche suggeriscono che sia A = (180MeV)4, in accordo con taleformula.

Veniamo infine alla soluzione proposta da ’t Hooft per il problema U(1)A. Infatti,nonostante U(1)A sia anomalo, l’anomalia corrispondente è una quadridivergenza. Sipotrebbe pensare allora che nel limite chirale esista comunque una corrente conservatadella forma

Jµ5 = Jµ5 − 2LKµ (8.103)

e dunque ci si può aspettare che il teorema di Goldstone continui a valere, ma per Jµ5 .Questo non accade perché Kµ non è gauge invariante, dunque neppure Jµ5 lo è e non sipuò accoppiare a stati fisici. Ci si può comunque chiedere se esista una carica conservata(ovviamente non invariante di gauge)

Q5(t) =

∫d3x (J0

5 (x, t)−K0(x, t)) (8.104)

Così, se fissiamo un cilindro C(R, t1, t2) nello spaziotempo

C(R, t1, t2) =(t,x) ∈ R1,3 : t1 ≤ t ≤ t2 , |x| ≤ R

(8.105)

e se indichiamo con ∂sC(R, t1, t2) il bordo spaziale di tale cilindro

∂sC(R, t1, t2) =(t,x) ∈ R1,3 : t1 ≤ t ≤ t2 , |x| = R

(8.106)

allora il teorema della divergenza si scrive come∫|x|≤R

d3x J05 (x, t2)−

∫|x|≤R

d3x J05 (x, t1) +

∫∂sC(R,t1,t2)

dSµ Jµ5 =

∫C(R,t1,t2)

d4x ∂µJµ5 = 0

(8.107)Se a grandi |x| i fermioni vanno a zero abbastanza rapidamente, per grandi R possiamotrascurare Jµ5 nel terzo integrale. Nello stesso limite, i primi due integrali convergono aQ5, così è

limt→∞

(Q5(t)−Q5(−t)) = 2L

∫d4xQ (8.108)

La quantità a secondo membro viene solitamente indicata con 2Lq e q è la carica topologicaper una data configurazione dei campi di gauge. Così, se esistono configurazioni di campocon q 6= 0, Q5 non è in generale conservata. Queste configurazioni effettivamente esistononella teoria euclidea, e anzi sono configurazioni stazionarie per l’azione (i.e. sono soluzionidelle equazioni del moto ad azione finita). Tali soluzioni sono dette istantoni (o anti-istantoni, come vedremo tra un attimo). Nella teoria euclidea, è7

Q(x) = −iQE(xE) (8.109)6Si noti che M2

K = (M2K± +MK0,K0)/2.

7Il −i deriva dal fatto che F0j = iFE,4j e ε0123 = ε1234E = +1.


Così, nel passaggio alla teoria euclidea è

i

∫d4x (L+ θQ) 7−→ −

∫d4xE (LE + iθQE) (8.110)

Se si vuole, il fatto che nel termine topologico rimanga una i deriva dal fatto che la presenzadel tensore completamente antisimmetrico fa comparire una sola derivata temporale nelladensità di carica topologica. La carica topologica nell’euclideo è allora

qE =

∫d4xE QE (8.111)

e si può mostrare che tale quantità è quantizzata, qE ∈ Z. Dato che la carica topologica èdiscreta, possiamo dividere le possibili configurazioni di Aµ in base al valore della caricatopologica. In particolare, dato che QE è una derivata totale, se Aµ decresce all’infinitopiù velocemente di r−1, la carica topologica è sicuramente nulla. Se invece Aµ = O(r−1)a grandi r, è possibile che esistano configurazioni con q 6= 0.

All’interno di un dato settore di carica topologica, l’azione soddisfa dei bound chiamatidisuguaglianze di Bogomol’nyi. In particolare, è

SE =1

2

∫d4xE tr (FE,µνFE,µν)

=8π2

g2qE +

∫1

4

∫d4xE tr (FE,µν − FE,µν)2

≥ 8π2

g2qE

SE =1

2

∫d4xE tr (FE,µνFE,µν)

= −8π2

g2qE +

∫1

4

∫d4xE tr (FE,µν + FE,µν)

2

≥ −8π2

g2qE

(8.112)

e infineSE ≥

8π2

g2|qE | (8.113)

Il modulo della carica topologica è quindi, nelle unità opportune, un bound inferioreall’azione per le configurazioni di gauge nel settore topologico corrispondente. Se il boundè saturato, la configurazione corrispondente è chiaramente una soluzione delle equazioniclassiche del moto ed è ad azione finita. Questo accade per qE > 0 se FE,µν = FE,µν . PerqE = 1, questa soluzione è detta istantone e, anche per qE 6= 1, è una soluzione autodualedelle equazioni del moto. Viceversa, per qE < 0 il bound è saturato per una soluzioneantiautoduale, i.e. FE,µν = −FE,µν , e per qE = −1 si parla di anti-istantone.

8.3 Violazione forte di CPSupponiamo di modificare la lagrangiana della QCD aggiugendo un termine noto come θterm

LQCD = −1

2tr (FµνF

µν) + ψ(i /D −M)ψ + θQ (8.114)

8.3. VIOLAZIONE FORTE DI CP 107

Il θ term è uno pseudoscalare, dunque la lagrangiana scritta viola P , T e CP (ma non C).Inoltre, tale termine genera un momento di dipolo elettrico dn per il neutrone. Questofatto è un modo equivalente per vedere la violazione di P e T e CP , dato che per Wigner-Eckart è dn = αsn, dove α è una costante e sn è lo spin del neutrone. L’accoppiamento−dn ·E allora viola ovviamente P , T e CP . Comunque, un analisi delle interazioni a basseenergie mostra che i diagrammi rilevanti sono

n p n

π− π−γ

,n

p

n

π−

γ

(8.115)

e dal calcolo si ottiene il momento di dipolo

dn ' |θ|eM2π

M3n

' |θ| · 10−16 e cm (8.116)

Sperimentalmente abbiamo un upper bound d(exp)n . 10−26 e cm, dunque se esiste un θ

term nella lagrangiana, esso è molto piccolo

|θ| . 10−10 (8.117)

Una spiegazione soddisfacente della piccolezza (o nullità) di θ è ancora mancante e taleproblema prende il nome di problema della violazione forte di CP. Vediamone alcuneipotetiche soluzioni.

Per prima cosa, mostriamo come riassorbire il termine θ all’interno della matrice dimassa. In effetti, il termine di massa più generale è, come visto

LQCD ⊇ −ψRMψL − ψLM†ψR (8.118)

e se M non è hermitiana tale termine si riscrive come

LQCD ⊇ −ψ(A+ iBγ5)ψ (8.119)

dove

A =M+M†

2, B = −iM−M

†

2(8.120)

Il termine in B, di nuovo, viola P , T e CP . Supponiamo quindi di avere un dato valoredi θ e consideriamo la funzione di partizione

ZQCD =

∫DψDψDAei

∫d4xLQCD[ψ,ψ,A,M,θ] (8.121)

Tale funzione di partizione non cambia se facciamo il cambio di variabili

ψ′ = eiαγ5ψ (8.122)


tuttavia la misura è anomala sotto tale trasformazione e ha un’anomalia A = −2NfQ. Diconseguenza, una semplice sostituzione nella lagrangiana mostra che

ZQCD =

∫DψDψDAei

∫d4xL[ψ,ψ,A,Me2iα,θ−2Nfα] (8.123)

Più in generale, sotto una trasformazione di U(Nf )L ×U(Nf )R del tipo

ψL 7−→ eiαV eiαVLψL , ψR 7−→ eiαV e−iαVRψR (8.124)

la lagrangiana rimane la stessa in forma, ma con i nuovi valori di M e θ

M′ = e2iαV †RMVL , θ′ = θ − 2Nfα (8.125)

Distinguiamo ora due casi. Se M è invertibile, ossia se tutti i quark hanno massa nonnulla, la combinazione

θphys = θ − arg detM (8.126)è invariante sotto U(Nf )L × U(Nf )R e definisce un valore ”fisico” per θ. Possiamo indif-ferentemente trasformare la matrice di massa in maniera tale che sia hermitiana (e talematrice è detta matrice di massa fisica, in quanto i suoi autovalori sono proprio le massedei quark), oppure possiamo scegliere di azzerare il termine θ, ma non possiamo fare en-trambe le cose: se θphys 6= 0, la teoria viola CP e questa violazione deve comparire in unao nell’altra parte.

Viceversa, se invece la matrice di massa non è invertibile, esiste almeno un quark amassa nulla. Possiamo supporre che tale quark sia u e considerare una trasformazione diU(1)A agente solo su u. Se u 7−→ eiαγ

5u, è

M′ =M , θ′ = θ − 2α (8.127)

e così scegliendo α = θ/2 è possibile annullare il θ-term (e di conseguenza possiamorendereM hermitiana). Così, se esiste un quark massless, la QCD sicuramente non violaCP . Purtroppo, la teoria delle perturbazioni chirale del capitolo precedente mostra chequesto non è il caso, almeno all’ordine perturbativo più basso. Calcoli a ordini più altie simulazioni numeriche sembrano confermare questo fatto, dunque questa soluzione nonsembra adatta.

Un’altra soluzione potrebbe essere l’esistenza di un certo meccanismo dinamico cherichieda che sia θ = 0. Un modello in questa direzione è stato formulato da Peccei-Quinne rappresenta un modello di fisica BSM, dato che introduce particelle non ancora osservatesperimentalmente8.

8.3.1 Modello di Peccei-Quinn

Supponiamo di avere una simmetria U(1)PQ aggiuntiva e vediamo se questa può darci unvalore nullo per θ. Consideriamo dunque la lagrangiana efficace

Leff =F 2π

4tr [∂µU ∂

µU † + 2MB(U + U †)] +F 2a

4∂µN ∂µN †

+i

2Q[tr (log U − log U †) + aPQ(logN − logN †)

]+Q2

2A+ θQ

(8.128)

8Non che questo sia davvero un problema, suvvia.

8.3. VIOLAZIONE FORTE DI CP 109

dove N = exp(i√2Sa/Fa). Il campo aggiuntivo Sa è detto assione, Fa è la scala di rottura

spontanea della simmetria U(1)PQ e aPQ è il coefficiente dell’anomalia di U(1)PQ. U(1)PQagisce sui campi come

U(1)PQ =

U 7−→ U

N 7−→ eiγN(8.129)

Integrando via Q si ottiene

L′eff =F 2π

4tr [∂µU

† ∂µU + 2MB(U + U †)] +F 2a

4∂µN

† ∂µN

− A

2

[θ +

i

2

(tr (log U − log U †) + aPQ(logN − logN †)

)]2 (8.130)

e lo stato di vuoto si trova per U = 1 e aPQSa = θ. Comunque, prima di integrare Ql’azione di U(1)PQ sulla lagrangiana è

Leff 7−→ Leff − aPQγQ (8.131)

e per aPQγ = θ possiamo eliminare il θ term dalla lagrangiana. In tal caso la teoriaconserva manifestamente P e CP , dunque anche semplicemente integrando via il campoQ questa proprietà viene mantenuta. In altre parole, θ può essere riassorbito senza sforzinell’assione.

L’inconveniente con questo modello è la presenza di uno stato particolarmente leggeronello spettro. Infatti, nel limite chirale M = 0 la lagrangiana ammette una simmetriaU(1) aggiuntiva. Sotto una generica trasformazione U(1)A ×U(1)PQ della forma

U 7−→ eiαU , N 7−→ eiβN (8.132)

è facilmenteLeff 7−→ Leff − (3α+ βaPQ)Q (8.133)

e per 3α + βaPQ = 0 abbiamo una simmetria U(1) aggiuntiva e non anomala. Talegruppo deve essere spontaneamente rotto, dunque ci si aspetta l’esistenza di un bosone diGoldstone non massivo. Al solito, le masse dei quark rompono esplicitamente tale U(1) equindi ci si aspetta che tale particella, chiamata anch’essa assione, sia massiva. Un calcoloanalogo a quelli fatti mostra che

m2a = b2

2B

m−1u +m−1d +m−1s+O(b4) (8.134)

dove b = aPQFπ/Fa. I vincoli sperimentali sulle varie costanti sono

FaaPQ

& 109GeV , aPQ = O(1) , ma . 0.01 eV (8.135)

ma tale assione non è stato ancora osservato sperimentalmente.

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