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Autore: LUCA ORRU' 1

Teoria dei sistemi


Teoria dei Sistemi

Sistema combinatorio: sistema in cui le uscite all’istante corrente dipendono unicamente dagli ingressi applicati nello stesso istante.

ingressi uscite

Non si ha alcuna dipendenza dal tempo, vale a dire

che la variabile tempo non può influenzare il comportamento del sistema


Sistema combinatorio

Il comportamento di un sistema combinatorio può essere descritto tramite: Una tabella di verità che specifica per ogni

combinazione delle variabili d’ingresso il valore dell’uscita

Una funzione logica y


Tabella di verità

Esempio:

X Y Z

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Questa tabella di verità descrive il funzionamentodella porta logica AND


Funzione logica

Z = X Y Sistema complesso:

Z=(abcd+ab)(a+bcd)


Teoria dei sistemi

Sistema sequenziale: sistema in cui le uscite all’istante t dipendono oltre che dagli ingressi applicati allo stesso istante, anche dallo stato del sistema, vale a dire dalla storia passata del sistema, quindi dagli ingressi applicati negli istanti precedenti. Il tempo è quindi una variabile del sistema.

usciteingressi

Stati attuali

Stati successivi

Elementi di memoria


Sistema sequenziale

Un sistema sequenziale può essere descritto tramite due forme diverse di rappresentazione: Tabella degli stati Diagramma degli stati

Esempio di sistema sequenziale: sommatore binario seriale


Sommatore binario seriale

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

ZX1

X2

1 1 0 1 0

Esegue la somma tra due numeri a n bit in maniera seriale, sommando prima i bit meno significativi e poi via via quelli più significativi


Tabella degli stati

Stati attuali

Stati prossimi/uscita

X1,X2 ingressi

00 01 11 10

A A/0 A/1 B/0 A/1

B A/1 B/0 B/1 B/0Gli stati possibili sono due: A e BLo stato A è lo stato del sommatore quando non si è verificato un riporto all’istante precedente;Lo stato B è lo stato del sommatore quando c’è stato riporto all’istante precedente.



Diagramma degli stati


A B

01/100/010/1

01/010/011/1

11/0

00/1


Esempi di reti combinatorie

Semisommatore (Half Adder)

H.Asomma

CO= Carry Out o riporto in uscita

X1

X2

Realizza l’addizione binaria tra due bit fornendoin uscita l’eventuale riporto e la somma. Non tiene conto di eventuali riporti dagli stati precedenti


Half Adder

Tabella di veritàX1 X2 S CO

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

La sintesi delle due uscite fornisce:S=X1X2CO=X1•X2


Half Adder

Il circuito logico combinatorio è dunque:

X1

X2CO (CARRY OUT)

S (somma)


Full Adder (sommatore completo)

Ha tre ingressi e due uscite

F.AX1X2

Cin

somma

CO

X1 X2 CI S C0

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

SOMMA=(X1X2)CI

C0=X1•X2+CI•(X1X2)Oppure C0=X1•X2+X1•CI+X2•CI


Full Adder (la somma)

)21()21(

)2121()2121(

21212121

xxCIxxCIS

xxxxCICIxxxxS

CIxxCIxxCIxxCIxxS

S=(X1X2)CI


Full Adder (il riporto)

2121

)(21)2121(

21212121

xx)x(xCICO

CICIxxxxxxCICO

CIxxCIxxCIxxCIxxCO

CO=X1X2+X1CI+X2CICON LE MAPPE DI KARNAUGH

Usando le mappe di Karnaugh si può esprimere il riporto in uscitacon la seguente funzione logica


Circuito logico

Circuito logico relativo alla prima espressione logica di CO

s

x1

x2

CI

CO

Il circuito è su tre livelli

A

B

C

D

E


Livelli

Ad ogni porta logica è associato un livello Le porte che ricevono direttamente gli ingressi del circuito

sono al primo livello Tutte le altre porte del circuito hanno un livello pari al livello

della porta d’ingresso avente livello massimo, più 1 Nell’esempio precedente si ha:

Porta A: primo livello Porta B: primo livello Porta C: secondo livello (livello di A + 1) Porta D: secondo livello (livello di A più 1) Porta E: terzo livello (livello di C più 1)


Schema alternativo del F.A

Considerando la seconda forma di rappresentazione del riporto CO e utilizzando una porta exor a tre ingressi per rappresentare la somma, il circuito logico rappresentativo del F.A diventa il seguente

CO=X1X2+X1CI+X2CI


Circuito logico

somma

X1 X2 CI

CO

CO ora è su due livelli


Ripple Carry Adder

Somma 2 numeri di n bit attraverso al connessione di n full-adder in cascata

Architettura semplice ma non particolarmente veloce Il ritardo complessivo nella generazione del

risultato dipende dal numero di stadi e quindi dal numero di bit delle parole d’ingresso

Per poter eseguire la somma dei bit in posizione i-esima è necessario conoscere il riporto in uscita dallo stadio precedente


Ripple Carry Adder

Ricordando che ogni Full Adder è realizzato con una rete su due livelli, se indichiamo con T il ritardo di commutazione introdotto da ogni porta logica, allora il ritardo introdotto da ciascun F.A nella generazione del riporto è pari a 2T

Il ritardo complessivo, ovvero il ritardo nella generazione del riporto n-esimo è pari a 2T*n

Il numero di porte logiche necessarie è pari a 5*n e quindi l’area necessaria per la realizzazione è abbastanza contenuta


Ripple Carry Adder Implementazione di una somma a 4 bit

F.A F.A F.A F.A

S0S2 S1S3

X1X0 Y0 CI0

X2 Y2Y3X3 Y1CI2 CI1CI3

CO3 CO2 CO1 CO0

Il primo F.A può essere sostituito da un H.A in quanto CI0=0


Sommatore carry look-ahead

Consente di ridurre i tempi di ritardo tipici del Ripple-Carry dovuti all’attesa per la propagazione del riporto da uno stadio all’altro

Disponendo in anticipo di tutti i riporti, la somma sui vari bit dei numeri da sommare potrebbe essere eseguita in parallelo, cioè contemporaneamente



Per ottenere i riporti in anticipo si introducono due funzioni booleane definite nel modo seguente

iii

iii

yxG

yxP

Le due funzioni sono chiamate rispettivamente funzione di propagazione e funzione di generazione

Le due funzioni non dipendono dai riporti e quindi possono essere calcolate immediatamente e contemporaneamente in quanto dipendono solo dai bit che compongono i due numeri da sommare che naturalmente sono noti



Si può esprimere il riporto in uscita dallo stadio i-esimo nel modo seguente

iiiiiiiiiiiiiii cPGcyxyxcycxyxC 1

Si noti la dipendenza di Ci+1 da Ci. Iterando il procedimento si ottiene però:

1111

1111

11111111

111111

iiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiii

iiiiiii

cPPGPGC

cPGPGcPGC

cPGcyxyx

cycxyxC



In conclusione: iterando fino a C0 si riesce a ricondurre il riporto

Ci+1 a dipendere solo da C0 oltre che dalle funzioni di generazione e di propagazione.

Nel caso di un sommatore a 4 bit si ottengono le seguenti espressioni


carry look-ahead a 4 bit

0012301231232334

00120121223

0010112

0001

cPPPPGPPPGPPGPGC

cPPPGPPGPGC

cPPGPGC

cPGC

Ora tutti i riporti sono noti ed è possibile eseguire la somma usando 4 full adder in cascata

Nella slide successiva è rappresentato lo schema circuitale del carry look-ahead a 4 bit


Sommatore carry look-ahead a 4 bit

Circuito di generazione e propagazione

Circuito che fornisce i riporti anticipati

F.A 4 F.A 3 F.A 2 F.A 1

C0

x3 y3 x2 x1

S3

y2 y1 x0 Y0

S2 S1C4 S0

C0C3 C2 C1

P3 P2 P1 P0G2G3 G0G1

y3x3 x2 y2 y1 y0x1 X0



Il circuito di generazione e di propagazione e su un solo livello ed è costituito da 4 porte OR e 4 porte AND

Il circuito che fornisce i riporti anticipati è su due livelli (es. C4 è generato con 4 porte AND e una OR a 5 ingressi)

I Full Adder sono su due livelli In conclusione, il circuito ha un ritardo pari a 5T con

T ritardo di ciascuna porta logica ed è in teoria indipendente dal numero di bit da sommare (lunghezza delle parole)

Un Ripple Carry a 4 bit ha invece un ritardo di 8T



La maggiore velocità si paga con una complessità circuitale superiore rispetto al Ripple Carry Il numero di porte cresce notevolmente al

crescere della dimensione delle parole da sommare e quindi cresce l’area richiesta

Questo pone un limite al numero di ritardi che possono essere generati in anticipo

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