Autore: LUCA ORRU' 1
Teoria dei sistemi
Autore: LUCA ORRU' 2
Teoria dei Sistemi
Sistema combinatorio: sistema in cui le uscite all’istante corrente dipendono unicamente dagli ingressi applicati nello stesso istante.
ingressi uscite
Non si ha alcuna dipendenza dal tempo, vale a dire
che la variabile tempo non può influenzare il comportamento del sistema
Autore: LUCA ORRU' 3
Sistema combinatorio
Il comportamento di un sistema combinatorio può essere descritto tramite: Una tabella di verità che specifica per ogni
combinazione delle variabili d’ingresso il valore dell’uscita
Una funzione logica y
Autore: LUCA ORRU' 4
Tabella di verità
Esempio:
X Y Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Questa tabella di verità descrive il funzionamentodella porta logica AND
Autore: LUCA ORRU' 5
Funzione logica
Z = X Y Sistema complesso:
Z=(abcd+ab)(a+bcd)
Autore: LUCA ORRU' 6
Teoria dei sistemi
Sistema sequenziale: sistema in cui le uscite all’istante t dipendono oltre che dagli ingressi applicati allo stesso istante, anche dallo stato del sistema, vale a dire dalla storia passata del sistema, quindi dagli ingressi applicati negli istanti precedenti. Il tempo è quindi una variabile del sistema.
usciteingressi
Stati attuali
Stati successivi
Elementi di memoria
Autore: LUCA ORRU' 7
Sistema sequenziale
Un sistema sequenziale può essere descritto tramite due forme diverse di rappresentazione: Tabella degli stati Diagramma degli stati
Esempio di sistema sequenziale: sommatore binario seriale
Autore: LUCA ORRU' 8
Sommatore binario seriale
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
ZX1
X2
1 1 0 1 0
Esegue la somma tra due numeri a n bit in maniera seriale, sommando prima i bit meno significativi e poi via via quelli più significativi
Autore: LUCA ORRU' 9
Tabella degli stati
Stati attuali
Stati prossimi/uscita
X1,X2 ingressi
00 01 11 10
A A/0 A/1 B/0 A/1
B A/1 B/0 B/1 B/0Gli stati possibili sono due: A e BLo stato A è lo stato del sommatore quando non si è verificato un riporto all’istante precedente;Lo stato B è lo stato del sommatore quando c’è stato riporto all’istante precedente.
Sommatore binario seriale
Autore: LUCA ORRU' 10
Diagramma degli stati
Sommatore binario seriale
A B
01/100/010/1
01/010/011/1
11/0
00/1
Autore: LUCA ORRU' 11
Esempi di reti combinatorie
Semisommatore (Half Adder)
H.Asomma
CO= Carry Out o riporto in uscita
X1
X2
Realizza l’addizione binaria tra due bit fornendoin uscita l’eventuale riporto e la somma. Non tiene conto di eventuali riporti dagli stati precedenti
Autore: LUCA ORRU' 12
Half Adder
Tabella di veritàX1 X2 S CO
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
La sintesi delle due uscite fornisce:S=X1X2CO=X1•X2
Autore: LUCA ORRU' 13
Half Adder
Il circuito logico combinatorio è dunque:
X1
X2CO (CARRY OUT)
S (somma)
Autore: LUCA ORRU' 14
Full Adder (sommatore completo)
Ha tre ingressi e due uscite
F.AX1X2
Cin
somma
CO
X1 X2 CI S C0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
SOMMA=(X1X2)CI
C0=X1•X2+CI•(X1X2)Oppure C0=X1•X2+X1•CI+X2•CI
Autore: LUCA ORRU' 15
Full Adder (la somma)
)21()21(
)2121()2121(
21212121
xxCIxxCIS
xxxxCICIxxxxS
CIxxCIxxCIxxCIxxS
S=(X1X2)CI
Autore: LUCA ORRU' 16
Full Adder (il riporto)
2121
)(21)2121(
21212121
xx)x(xCICO
CICIxxxxxxCICO
CIxxCIxxCIxxCIxxCO
CO=X1X2+X1CI+X2CICON LE MAPPE DI KARNAUGH
Usando le mappe di Karnaugh si può esprimere il riporto in uscitacon la seguente funzione logica
Autore: LUCA ORRU' 17
Circuito logico
Circuito logico relativo alla prima espressione logica di CO
s
x1
x2
CI
CO
Il circuito è su tre livelli
A
B
C
D
E
Autore: LUCA ORRU' 18
Livelli
Ad ogni porta logica è associato un livello Le porte che ricevono direttamente gli ingressi del circuito
sono al primo livello Tutte le altre porte del circuito hanno un livello pari al livello
della porta d’ingresso avente livello massimo, più 1 Nell’esempio precedente si ha:
Porta A: primo livello Porta B: primo livello Porta C: secondo livello (livello di A + 1) Porta D: secondo livello (livello di A più 1) Porta E: terzo livello (livello di C più 1)
Autore: LUCA ORRU' 19
Schema alternativo del F.A
Considerando la seconda forma di rappresentazione del riporto CO e utilizzando una porta exor a tre ingressi per rappresentare la somma, il circuito logico rappresentativo del F.A diventa il seguente
CO=X1X2+X1CI+X2CI
Autore: LUCA ORRU' 20
Circuito logico
somma
X1 X2 CI
CO
CO ora è su due livelli
Autore: LUCA ORRU' 21
Ripple Carry Adder
Somma 2 numeri di n bit attraverso al connessione di n full-adder in cascata
Architettura semplice ma non particolarmente veloce Il ritardo complessivo nella generazione del
risultato dipende dal numero di stadi e quindi dal numero di bit delle parole d’ingresso
Per poter eseguire la somma dei bit in posizione i-esima è necessario conoscere il riporto in uscita dallo stadio precedente
Autore: LUCA ORRU' 22
Ripple Carry Adder
Ricordando che ogni Full Adder è realizzato con una rete su due livelli, se indichiamo con T il ritardo di commutazione introdotto da ogni porta logica, allora il ritardo introdotto da ciascun F.A nella generazione del riporto è pari a 2T
Il ritardo complessivo, ovvero il ritardo nella generazione del riporto n-esimo è pari a 2T*n
Il numero di porte logiche necessarie è pari a 5*n e quindi l’area necessaria per la realizzazione è abbastanza contenuta
Autore: LUCA ORRU' 23
Ripple Carry Adder Implementazione di una somma a 4 bit
F.A F.A F.A F.A
S0S2 S1S3
X1X0 Y0 CI0
X2 Y2Y3X3 Y1CI2 CI1CI3
CO3 CO2 CO1 CO0
Il primo F.A può essere sostituito da un H.A in quanto CI0=0
Autore: LUCA ORRU' 24
Sommatore carry look-ahead
Consente di ridurre i tempi di ritardo tipici del Ripple-Carry dovuti all’attesa per la propagazione del riporto da uno stadio all’altro
Disponendo in anticipo di tutti i riporti, la somma sui vari bit dei numeri da sommare potrebbe essere eseguita in parallelo, cioè contemporaneamente
Autore: LUCA ORRU' 25
Sommatore carry look-ahead
Per ottenere i riporti in anticipo si introducono due funzioni booleane definite nel modo seguente
iii
iii
yxG
yxP
Le due funzioni sono chiamate rispettivamente funzione di propagazione e funzione di generazione
Le due funzioni non dipendono dai riporti e quindi possono essere calcolate immediatamente e contemporaneamente in quanto dipendono solo dai bit che compongono i due numeri da sommare che naturalmente sono noti
Autore: LUCA ORRU' 26
Sommatore carry look-ahead
Si può esprimere il riporto in uscita dallo stadio i-esimo nel modo seguente
iiiiiiiiiiiiiii cPGcyxyxcycxyxC 1
Si noti la dipendenza di Ci+1 da Ci. Iterando il procedimento si ottiene però:
1111
1111
11111111
111111
iiiiiii
iiiiiiiii
iiiiiiii
iiiiiii
cPPGPGC
cPGPGcPGC
cPGcyxyx
cycxyxC
Autore: LUCA ORRU' 27
Sommatore carry look-ahead
In conclusione: iterando fino a C0 si riesce a ricondurre il riporto
Ci+1 a dipendere solo da C0 oltre che dalle funzioni di generazione e di propagazione.
Nel caso di un sommatore a 4 bit si ottengono le seguenti espressioni
Autore: LUCA ORRU' 28
carry look-ahead a 4 bit
0012301231232334
00120121223
0010112
0001
cPPPPGPPPGPPGPGC
cPPPGPPGPGC
cPPGPGC
cPGC
Ora tutti i riporti sono noti ed è possibile eseguire la somma usando 4 full adder in cascata
Nella slide successiva è rappresentato lo schema circuitale del carry look-ahead a 4 bit
Autore: LUCA ORRU' 29
Sommatore carry look-ahead a 4 bit
Circuito di generazione e propagazione
Circuito che fornisce i riporti anticipati
F.A 4 F.A 3 F.A 2 F.A 1
C0
x3 y3 x2 x1
S3
y2 y1 x0 Y0
S2 S1C4 S0
C0C3 C2 C1
P3 P2 P1 P0G2G3 G0G1
y3x3 x2 y2 y1 y0x1 X0
Autore: LUCA ORRU' 30
Sommatore carry look-ahead a 4 bit
Il circuito di generazione e di propagazione e su un solo livello ed è costituito da 4 porte OR e 4 porte AND
Il circuito che fornisce i riporti anticipati è su due livelli (es. C4 è generato con 4 porte AND e una OR a 5 ingressi)
I Full Adder sono su due livelli In conclusione, il circuito ha un ritardo pari a 5T con
T ritardo di ciascuna porta logica ed è in teoria indipendente dal numero di bit da sommare (lunghezza delle parole)
Un Ripple Carry a 4 bit ha invece un ritardo di 8T
Autore: LUCA ORRU' 31
Sommatore carry look-ahead a 4 bit
La maggiore velocità si paga con una complessità circuitale superiore rispetto al Ripple Carry Il numero di porte cresce notevolmente al
crescere della dimensione delle parole da sommare e quindi cresce l’area richiesta
Questo pone un limite al numero di ritardi che possono essere generati in anticipo
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