TEORIA DEGLI INSIEMI

INIZIO

N°1

GLI INSIEMI

N°2

LE OPERAZIONI

FONDAMENTALI

CON GLI INSIEMI

N°3

LE RELAZIONI

TRA INSIEMI

N°1 GLI INSIEMI

M. Escher

Il concetto di insieme

Nel linguaggio comune il termine insieme indica un raggruppamento, una raccolta, una collezione di elementi che possono essere oggetti, individui, simboli, numeri, figure geometriche…

Un insieme si può considerare definito solo se è possibile decidere inequivocabilmente se un elemento appartiene o no all’insieme.

Esempi:

“Gli alunni simpatici di questa classe” non costituiscono un insieme, perché non si conosce un criterio oggettivo in base al quale un alunno è considerato simpatico, ma esistono soltanto criteri soggettivi.Invece “gli alunni di questa classe più alti di 1,70m” costituiscono un insieme; infatti posso stabilire, misurando la loro altezza, quali alunni appartengono al suddetto insieme e quali no; quindi ho un criterio oggettivo.

Il simbolo di appartenenza

Generalmente gli insiemi si indicano con lettere maiuscole:

A, B, C, …, X, Y, …

Gli elementi di un insieme con lettere minuscole:

a, b, c, …, x, y, …

Per indicare che un elemento “a” appartiene ad un insieme A si usa il simbolo di appartenenza ;

la scrittura a A si legge “a appartiene ad A”.

Per indicare invece che un elemento x non è dell’insieme A, si scrive x A, e si legge “x non appartiene ad A”.

Rappresentazioni di un insieme

Con i diagrammi di Eulero-Venn;

In modo estensivo;

In modo intensivo.

Un insieme può essere rappresentato in 3 modi diversi:

ab

c

A

d e

f

g

Con i diagrammi di Eulero-Venn si dà una rappresentazione geometrica:

gli elementi all’interno della linea appartengono all’insieme A, quelli all’esterno no.

La rappresentazione estensiva o tabulare consiste nell’elencare i nomi degli elementi dell’insieme scrivendoli tra parentesi graffe, senza ripetizioni e senza dare importanza all’ordine.

Esempio

Consideriamo l’insieme C delle consonanti della parola “stivale”;

la sua rappresentazione estensiva è:

C=s,t,v,l

Infine, la rappresentazione intensiva di un insieme è la specificazione di una proprietà p(x), se esiste, che ne caratterizza gli elementi.

Esempio

L’insieme A dei numeri naturali minori di 5 può essere così rappresentato:

A= xN / x < 5

Insiemi uguali, insieme vuoto

DEF Diremo uguali due insiemi A e B quando hanno esattamente gli stessi elementi, ossia quando ogni elemento di A appartiene a B e quando ogni elemento di B appartiene ad A.

Per indicare che due insiemi A e B sono uguali scriveremo A=B.

E’ questo il cosiddetto:

principio di equiestensione

Esempio

Sia C l’insieme delle consonanti della parola “stivale” e D quello delle consonanti della parola “velista”; rappresentiamoli:

C= s,t,v,l

D= v,l,s,t

Poiché i due insiemi contengono gli stessi elementi, per il principio di equiestensione, essi sono uguali:

C = D

Consideriamo ora l’insieme dei cerchi con 3 angoli. L’insieme è ben definito, ossia esiste un criterio oggettivo per stabilire se un elemento appartiene o no a questo insieme, eppure ci rendiamo conto che non esiste alcun elemento che soddisfi la proprietà enunciata perché non esistono cerchi che abbiano degli angoli; allora:

DEF Definiamo insieme vuoto l’insieme che non ha alcun elemento. Tale insieme lo indicheremo con il simbolo:

oppure

Insieme ambiente o universo

Quando si rappresenta un insieme mediante la proprietà caratteristica, occorre indicare l’ambiente da cui trarre gli elementi x dell’insieme. Questo ambiente, cioè la totalità degli elementi, è esso stesso un insieme e viene detto:

insieme ambiente o insieme universo.

SottoinsiemiB A

Tutti gli elementi di B appartengono anche a A

Es: B={1,2,3} A= {1,2,3,4,5}

A

B

123

4

5

N°2 LE OPERAZIONI

FONDAMENTALI CON GLI INSIEMI

Unione tra 2 insiemiA B

E’ l’insieme formato dagli elementi che si trovano in A o in BEs: A = {1,2,3} B ={2,4,5} A U B = {1,2,3,4,5}

1

3

24

5

BA

Intersezione A B

E’ l’insieme formato dagli elementi che si trovano sia in A che in B

Es: A = {1,2,3} B ={2,4,5} A B = {2}

1

32

4

5

BA

A B

Insieme complementareSe A B si chiama Complementare di A rispetto

a B e si scrive AB l’insieme degli elementi di B che non appartengono ad A.

Es : A ={1,2} B ={1,2,3,4} AB ={3,4}

1 23 4

B

A

Insieme differenza Dati 2 insiemi A B si chiama Differenza di A

rispetto a B e si scrive A – B l’insieme degli elementi di A che non appartengono ad B.Es : A ={1,2,5,6} B ={1,2,3,4} A-B={5,6}

5

6

1

2

3

4

BA

N°3LE RELAZIONI TRA DUE

INSIEMI

Concetto di relazione

Una relazione tra due insiemi A e B è un insieme di coppie formate ognuna da un elemento di A, e da uno di B; i due elementi si dicono allora in relazione.

Il primo insieme si dice dominio della relazione, il

secondo codominio.

A B

Esempio di relazione

A B Mando un elemento nel doppio

1 2 Le coppie sono:

3 10 (1,2) (3,6) (5,10)

5 6 A è il dominio

B è il codominio

ImmagineData una relazione tra A e B si chiama immagine di un elemento a A l’insieme degli elementi in relazione con a e si indica con f(a) dove f indica la relazione

A B Mando un elemento di A in un 8 2 in suo divisore in B 6 4 9 3 f(8)={2,4} f(6)={2,3} f(9)={3} f(7)=Φ 7 5

L’immagine di tutta la relazione è {2,4,3}

ControimmagineData una relazione tra A e B si chiama controimmagine di un elemento b B l’insieme degli elementi in relazione con b e si indica con f-1(b) dove f indica la relazione

A B Mando un elemento di A in un 8 2 in suo divisore in B 6 4 9 3 f-1(2)={8,6} f-1(4)={8} f-1(3)={6,9} f-1(5)=Φ 7 5

La controimmagine di tutta la relazione è {8,6,9}

FunzioneData una relazione tra A e B si dice che è una funzione se ogni elemento di A ha uno ed un solo corrispondente il B. Es:

f: A ------>B g: A------> B h: A------>B 1 a 1 a 1 a 2 b 2 b 2 b 3 c 3 c 3 c

La f non è una funzione perché 1 non ha corrispondente, la g non è una funzione perché 2 ha due corrispondenti, la h è una funzione perché ogni elemento di A ha uno ed un solo corrispondente. Il controllo si fa sull’insieme A!

Funzione iniettivaUna funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. Es:

f: A ------>B g: A------> B 1 a 1 a 2 b 2 b 3 c 3 c d La f è una funzione non iniettiva perché 1 e 2 hanno la

stessa immagine; la g è una funzione iniettiva perché gli elementi del dominio hanno immagini distinte.

Funzione suriettivaUna funzione si dice suriettiva se ogni elemento del codominio ha una controimmagine. Es:

f: A ------>B g: A------> B 1 a 1 a 2 b 2 b 3 c 3 La f è una funzione non suriettiva perché c no ha una

controimmagine; la g è una funzione suriettiva perché tutti gli elementi del codominio hanno una controimmagine.

Funzione biunivocaUna funzione si dice biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva. Es:

f: A ------>B g: A------> B h: A------>B 1 a 1 a 1 a 2 b 2 b 2 b 3 c c

La f non è biunivoca perchè non è iniettiva, la g non è biunivoca perché non è suriettiva, la h è biunivoca perché è sia iniettiva che suriettiva.

Funzione inversa

Una funzione biunivoca ha una funzione inversa che si ottiene scambiando dominio e codominio e prendendo le coppie in ordine inverso. Se la funzione si indica con f la sua inversa si indica con f-1

Es: f: A B f-1 : B A

1 a a 1 2 b b 2 3 c c 3