Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) GLI INSIEMI 2^PARTE LE...

Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO “EINSTEIN” MOTTOLA (TA)

GLI INSIEMIGLI

INSIEMI2^PARTE

LE OPERAZIONI

2^PARTELE OPERAZIONI


INTERSEZIONE “A B”

A

B

è l’insieme degli elementiche appartengono contemporaneamente

ad A e a Bcioè gli elementi in comune

Scriveremo:

A B

A B = xx A x B ^ simbolo di congiunzione , si legge: e contemporaneamente simbolo di congiunzione , si legge: e contemporaneamente^


A Ba d

c

b e f

g

h

l

i

C

m n

esempio - intersezione fra tre insiemi

A = a; b; c; d; e; f

B = d; e; f; g; h; i; l

C = m; n; d

Dati gli insiemi:

Trovare: A B C

Solo l’elemento d appartiene contemporaneamente ai tre insiemi,

quindi: A B C = {d}


CASI PARTICOLARI di INTERSEZIONE

A A = A

A =

se B A allora A B = B

A Ā =

A U = A

se A B = , A e B si dicono DISGIUNTI


UNIONE “A B”

AB

A B

è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B,

cioè ad almeno uno dei due insiemi dati

A B = xx A v x B V simbolo di disgiunzione si legge: “o” – “oppure” V simbolo di disgiunzione si legge: “o” – “oppure”

Scriveremo:


CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE

A A = A

A = A

se B A allora A B = A

A Ā= U

se A e B sono insiemi disgiunti

allora A B è formata da tutti gli

elementi di A e di B


AB

a d

c

b e f

g

h

l

i

A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l

A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

A B esempi A B


DIFFERENZA. “A - B”

A B

si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B (cioè A B)

è l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B

Scriveremo:

A - B = xx A x B ^


A B

esempi: differenza A - B e B - A

A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l

a d

c

b e

f

g

h

l

i

A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

si noti che A - B ≠ B-A


A - A =

A - = A

se A B = allora A - B = A e B - A = B

se B A allora B - A =

CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA


INSIEME DELLE PARTI “P(A)”

Aa

c b

A = a; b; c;

a; b; c

dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A e si

indica con P(A)l’insieme di tutti i SOTTOINSIEMI

propri e impropri di A.

a b c a; b a; c b; c

P(A) = ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c

Si noti che gli elementi di P(A) sono INSIEMI

Se A contiene n elementi, P(A) contiene 2n sottoinsiemi

dato l’insieme A di fig. tutti i suoi sottoinsiemi sono:

quindi:

Nell’es. di fig. si ha: n =3 → 23 =8


PARTIZIONE DI UN INSIEME

A

Ai A e Ai , i

A1

A2

A3

A4

A5

ogni sottoinsieme è proprio

Ai Ak = con i ki sottoinsiemi sono

a due a due disgiunti

A1 A2 A3 A4 A5 = Al’unione di tutti i

sottoinsiemi dà l’insieme A

1

2

3

dato un insieme A, si consideri un certo numero n di suoi sottoinsiemi (che

indichiamo con Ai)si dice che questi sottoinsiemi formano una

partizione di A se:


PRODOTTO CARTESIANO

dato due insiemi A e B, considerati gli elementi x A e y B, si definisce prodotto cartesiano dei due insiemi A e B (si indica A x B, si legge A cartesiano B), l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate (x; y)

A x B = (x; y)x A e y B

es. Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1; 2

A a

b

c

B

1

2

A x B = (a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)

Scriveremo:

avremo:

(è un insieme di coppie di elementi)

IL NUMERO DELLE COPPIE ORDINATE CHE COMPONGONO IL PRODOTTO CARTESIANO E’ UGUALE AL PRODOTTO FRA I NUMERI DEGLI ELEMENTI DI CIASCUN INSIEME Nell’es. rappresentato avremo: 3x2 =6 coppie.

IL NUMERO DELLE COPPIE ORDINATE CHE COMPONGONO IL PRODOTTO CARTESIANO E’ UGUALE AL PRODOTTO FRA I NUMERI DEGLI ELEMENTI DI CIASCUN INSIEME Nell’es. rappresentato avremo: 3x2 =6 coppie.


RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO

Rappresentazione SAGITTALE

Rappresentazione CARTESIANA

a

b

c

1 2

AB

a c

1

2

b A

B

x

y

•sull’asse x si rappresentano nell’ordine gli elementi di A•sull’asse y si rappresentano nell’ordine gli elementi di BOGNI PUNTO RAPPRESENTA UNA COPPIA ORDINATA DI ELEMENTI

1 (a;1) (b;1) (c;1)

2 (a;2) (b;2) (c;2)

B/A a b c

Rappresentazione mediante TABELLE A DOPPIA ENTRATA

RAPPRESENTAZIONE DELL’ES. PRECEDENTE:


OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO

ogni coppia è una coppia ordinata di elementi, quindi: (x; y) (y; x)

A x A = A2

di conseguenza: A x B B x A

A x B x C B x A x C B x A x C A x C x B ….

se m, n, p sono il numero degli elementi degli insiemi A, B, C allora l’insieme prodotto cartesiano dei tre insiemi conterrà mxnxp elementi.


il diagramma ad alberoEsso è utile per determinare l’insieme di tutte le possibili “coppie” ordinate di un prodotto cartesiano. Es. Siano dati gli insiemi: B = ; C = 1; 2; 3A = a; b

a

123

e si voglia determinare il prodotto cartesiano A x B x C

123

b

123

123

(a; ; 1)(a; ; 2)(a; ; 3)

(a; ; 1)(a; ; 2)(a; ; 3)

(b; ; 1)

(b; ; 2)(b; ; 3)

(b; ; 1)(b; ; 2)(b; ; 3)

SI DISPONGONO GLI ELEMENTI DI OGNI INSIEME, IN ORDINE, COME IN FIG.

Nel nostro caso non avremo delle “coppie” ma delle “terne” ordinate di elementi.

Per la determinazione è sufficiente seguire il percorso delle frecce

ESERCIZIO: ESEGUIRE IL PROD. CARTES.

C x B x A


A Ba d

c

b e f

g

h

l

i

C

m n

Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi

A = a; b; c; d; e; f

B = d; e; f; g; h; i; l

C = m; n; d

Dati gli insiemi:

Trovare: C – ( A B)

C – (A B ) = {m; n}

A B = d; e; ftroviamo prima A B :

quindi:


A B

C

Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi

Dati gli insiemi A, B, C

Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area

evidenziata:

(B C ) – A

Notiamo che è una parte fra l’intersezione di B con C (C B) ma

che non appartiene ad A … quindi


A B

C

Esercizio - unione e differenza fra insiemi



evidenziata:

(A B ) – C

Notiamo che è una parte fra l’unione di A con B (A B) ma

che non appartiene ad C … quindi


A

B

C

Esercizio - intersezione, unione e differenza fra insiemi



evidenziata:

C – (A B )Notiamo che: una 1^parte rappresenta C meno gli elementi di A e B

(A B ) – Cuna 2^parte rappresenta gli elementi in comune fra A e B ma che non appartengono a C

Quindi la l’area evidenziata è l’unione fra le due parti [C – (A B )] [(A B ) – C]


A B = B A

LE PROPRIETA’ DEGLI INSIEMI

A B = B A

Propr. COMMUTATIVA

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

Propr. ASSOCIATIVA

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Propr. DISTRIBUTIVA

A (A C) = A

A (A C) = A

Propr. dell’ ASSORBIMENTO

A B = A B

A B = B A

LEGGI di DE MORGAN

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