Elementi di teoria degli insiemi e funzioni tra insiemi · 2016. 1. 22. · Elementi di teoria...
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Elementi di teoria degli insiemi e
funzioni tra insiemi
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Il concetto di insieme
Si considera il concetto di insieme come primitivo, cioè non
riconducibile a nozioni più elementari. Più precisamente:
• Un insieme si può pensare come una collezione di oggetti,
determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro
pensiero, concepiti come un tutto unico.
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Elementi di un insieme
Generalmente, indichiamo gli insiemi con le lettere maius-
cole
A,B,C,D, · · ·mentre per i suoi elementi useremo le lettere minuscole
a,b,c,d, · · ·
Se a è un elemento di A scriviamo
a ∈ A (a appartiene a A)
Se invece b non appartiene a A, si scrive:
b /∈ A
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Simboli e notazioni
• Quando un insieme A possiede un numero finito di el-
ementi, chiameremo questo numero cardinalità di A, e lo
indicheremo con il simbolo
#(A) = numero degli elementi dell’insieme A
Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli
: tale che
∃ esiste
∀ per ogni
⇒ implica
⇔ se e solo se
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Come definire un insieme
• Un insieme si può definire in modo estensivo, cioè esi-
bendo i suoi elementi.
Esempio: l’insieme A dei numeri naturali da 0 a 5 si scrive
come
A = {0,1,2,3,4,5}In questo esempio #(A) = 6
• Un insieme può essere definito in modo intensivo, cioè
a partire da una proprietà comune a tutti i suoi elementi.
Esempio: se denotiamo con N l’insieme dei numeri natu-
rali, allora l’insieme A definito sopra si può ridefinire come
A = {n ∈ N : n ≤ 5}5 / 50
• L’insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si
indica con /0.
Esempio: l’insieme A formato da tutti i numeri naturali si-
multaneamente maggiori e minori di 5
A = {n ∈ N : n > 5 e n < 5}= /0
Esempio: l’insieme A formato da tutti i gli uomini che sono
padri dei loro padri
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Inclusione
Si considerino gli insiemi
A = {a,b,c,d}, B = {a,b,d}Si ha
x ∈ B ⇒ x ∈ A
Questo può essere riscritto nel modo seguente:
B ⊆ A
e dice che l’insieme B è contenuto nell’insieme A
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Operazioni tra insieme
Consideriamo gli insiemi
A = {1,2,3,5,7} B = {0,2,3,6,8}
Unione: A∪B = {x : x ∈ A oppure x ∈ B}
Esempio: A∪B = {0,1,2,3,5,6,7,8}
Intersezione: A∩B = {x : x ∈ A e x ∈ B}
Esempio: A∩B = {2,3}
Differenza: A\B = {x ∈ A : x /∈ B}
Esempio: A\B = {1,5,7}
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Complementare
Sia
A ⊆ B
• il complementare di A rispetto a B è:
CB(A) = {x ∈ B : x /∈ A}= B\A
Esempio:
A = {1,2,3,5,7} B = {1,2,3,5,7,9,11}
CB(A) = {9,11}
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Diagrammi di Venn
A BB IntersezioneA∩B
A B UnioneA∪B
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Diagrammi di Venn
A B DifferenzaA\B
A B ComplementareCB(A)
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Esercizio
Siano A,B ⊆ C. Dimostrare le formule di De Morgan:
CC(A∪B) = CC(A)∩CC(B)
CC(A∩B) = CC(A)∪CC(B)
N.B. Dati due insieme A e B si ha che
A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊆ A
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CC(A∪B) = CC(A)∩CC(B) Soluzione
C
A BA∪B
CC(A∪B)
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CC(A∪B) = CC(A)∩CC(B) Soluzione
A B
C
CC(A) A B
C
CC(B)
CC(A)∩CC(B)A B
C
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Prodotto cartesiano
Dati due insiemi A e B indichiamo con
(a,b)
una coppia ordinate dove a ∈ A e b ∈ B.
• Il prodotto cartesiano di A e B è l’insieme
A×B = {(a,b) : a ∈ A e b ∈ B}
di tutte le coppie ordinate.
Se #(A) e #(B) sono finite, allora
#(A×B) = #(A) ·#(B)
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Esempio
Se
A = {1,2}, B = {a,b,c}
A×B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
A
b b
1 2
B
b
b
b
a
b
c
b(1,a)
b
b
b
b
b
A×B
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Insiemi numerici fonamentali
I numeri naturali
N= {0,1,2, . . . ,n, . . .}
I numeri interi
Z= {. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}
I numeri razionali
Q={ m
n: m,n ∈ Z, n 6= 0, m e n sono primi tra loro
}
• primi tra loro vuol dire che il M.C.D. tra m e n è 1
6
9=
2
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I numeri reali
Un insieme numerico fondamentale è quello dei numeri re-
ali indicati con
R
Non diamo una definizione formalmente rigorosa dell’insieme
dei numeri reali.
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I numeri reali
Qui ci accontentiamo di dire che operativamente possiamo
identificare l’insieme dei numeri reali R con i punti di una
retta su cui sono fissati l’origine O, corrispondente al valore
0, l’unità di misura u ed il verso.
0
bu
b
1 2 3−1−2−3
b
4
7
b b
√2 π
√2, π /∈Q
I numeri reali non razionali si chiamano irrazionali19 / 50
√2 è irrazionale
Supponiamo che
√2 =
a
b, a,b primi tra loro
⇒ 2 =a2
b2⇒ 2 b2 = a2 ⇒ a2 è pari
⇒ a è pari ⇒ a = 2c ⇒ 2b2 = 4c2 ⇒ b2 = 2c2
⇒ b2 è pari ⇒ b è pari
Quindi a e b sono entrambi divisibili per 2 il che è in con-
traddizione con l’ipotesi cha a e b siano primi tra loro
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I numeri reali
Sull’insieme R sono definite due operazioni: la somma ed
il prodotto
a,b 7→ a+b
a,b 7→ a b
• Le due operazioni soddisfano le seguenti proprietà:
commutativa a+b = b+a ab = ba
associativa a+(b+ c) = (a+b)+ c a(bc) = (ab)c
elemento neutro a+0 = a a 1 = a
inverso a+(−a) = 0 se a 6= 0, a
(
1
a
)
= 1
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I numeri reali
• Vale inoltre una proprietà che coinvolge le due oper-
azioni:
distributiva (a+b)c = ac+bc
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Ordinamento dei numeri reali
• In R è definito un ordinamento totale indicato con il sim-
bolo
6
tale che ∀ a,b ∈ R:
a 6 b oppure b 6 a
• Questo ordinamento verifica le seguenti proprietà:
riflessiva a 6 a
antisimmetrica se a 6 b e b 6 a allora a = b
transitiva se a 6 b e b 6 c allora a 6 c
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Ordinamento dei numeri reali
• Valgono le seguenti relazioni tra l’ordinamento di R e le
operazioni di somma e prodotto:
• se a 6 b ⇒ a+ c 6 b+ c ∀c ∈ R
• se a 6 b e c > 0 ⇒ a c 6 b c
• se a 6 b e c < 0 ⇒ a c > b c
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Definizione di funzione
Una funzione possiamo intenderla come un apparecchio
di
Input-Output (Ingresso-Uscita)
Input → Output
Questo avviene secondo una legge univoca:
gli stessi Input danno sempre gli stessi Output
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Esempio
• Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal
valore di un’altra grandezza, si ha una funzione.
• La natura e la nostra vita sono piene di questo tipo di
dipendenze.
• Si consideri un termometro in una posizione fissa.
La temperatura segnata non sarà sempre la stessa, ma
varierà con il tempo, ad esempio con l’escursione termica
giornaliera o stagionale.
Quindi la temperatura dipende dall’istante in cui viene mis-
urata. Ciò rappresenta una funzione:
Istante → Temperatura
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Definizione di funzione
Siano A, B due insiemi
• Una funzione
f : A → B
è una legge che a ogni elemento a ∈ A associa un unico
elemento b ∈ B. Si scrive
f (a) = b
• b si chiama immagine di a attraverso f
• L’insieme A è detto dominio di f
• L’insieme B si chiama codominio di f
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Esempio
Siano
A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3}
Definiamo f : A → B come
f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 1 , f (d) = 2
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Diagramma di una funzione
f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 1 , f (d) = 2
A B
a b c d 1 2 3
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Esempio di non funzione
A B
a b c d 1 2 3
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Funzioni surgettive
• Sia
f : A → B
una funzione. Diremo che f è surgettiva (o suriettiva) se:
∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A t.c. f (x) = y
In altre parole f è surgettiva se
Im(f ) = f (A) = {y ∈ B : y = f (x) per qualche x ∈ A}= B
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Funzione non surgettiva
f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 1 , f (d) = 2
A B
a b c d 1 2 3
Im(f ) = {1, 2} 6= B
Quindi f non è surgettiva32 / 50
Funzioni iniettive
• Sia
f : A → B
una funzione. Diremo che f è iniettiva se:
∀ x1,x2 ∈ A f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
• Equivalentemente se
∀ x1,x2 ∈ A x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)
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Funzione non iniettiva
f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 1 , f (d) = 2
A B
a b c d 1 2 3
a 6= c mentre f (a) = f (c) = 1
Quindi f non è iniettiva.34 / 50
Esercizio
Siano
A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3}
(i) Definire una funzione f : A → B surgettiva
(ii) Definire una funzione f : B → A iniettiva
(iii) ∃ una funzione f : B → A surgettiva?
(iv) ∃ una funzione f : A → B iniettiva?
(v) Definire una funzione f : A → A iniettiva e surgettiva
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Definire una funzione f : A → B surgettiva
A B
a b c d 1 2 3
f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 3 , f (d) = 2
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Definire una funzione f : B → A iniettiva
B A
1 2 3 a b c d
f (1) = b , f (2) = c , f (3) = a
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∃ una funzione f : B → A surgettiva?
No Affinché la funzione f : B→A sia surgettiva ci dovrebbe
essere almeno un elemento di B per ogni elemento di A,
cioè si dovrebbe avere:
#(B)≥ #(A)
B A
1 2 3 a b c d
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∃ una funzione f : A → B iniettiva?
No poiché
#(A)> #(B)
Infatti, dovendo ogni elemento di A avere un’immagine in
B, necessariamente almeno due elementi di A dovranno
avere la stessa immagine.
A B
a b c d 1 2 3
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Definire una funzione f : A → A iniettiva e
surgettiva
A A
a b c d a b c d
f (a) = d , f (b) = c , f (c) = b , f (d) = a
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Funzioni bigettive
• Sia f : A → B. Diremo che f è bigettiva (o corrispon-
denza biunivoca) se f è surgettiva e iniettiva.
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Funzioni definite tra gli insieme numerici
• Sia
f : N→ N
definita da:
f (n) = 2n
• Questa funzione è surgettiva?
No Infatti 2n è sempre un numero pari, quindi l’immagine
della funzione non contiene numeri dispari
• Questa funzione è iniettiva?
Si
f (n1) = f (n2) ⇒ 2n1 = 2n2 ⇒ n1 = n2
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Composizione di funzioni
Ag−−→ B
f−−→ C
x 7→ g(x) 7→ f (g(x))
• Si chiama funzione composta
f ◦g : A → C
la funzione definita da:
(f ◦g)(x) = f (g(x))
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Esempio
Sia
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
e siag : R → R
x 7→ g(x) = x+1
• (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x+1) = (x+1)2
• (g◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2 +1
(f ◦g)(x) 6= (g◦ f )(x)
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Esempio
Sia
f : R → R
x 7→ f (x) = x+2
e siag : R\{0} → R
x 7→ g(x) =1
x
• f ◦g : R\{0} g−−→ Rf−−→ R
x 7→ 1
x7→ 1
x+2
• g◦ f : Rf−−→ R
g−−→ R
−2 7→ −2+2 = 0 ✟✟7→
g◦ f non si può definire45 / 50
Funzione inversa
Sia A un insieme. La funzione identità di A, generalmente
indicata col simbolo IA, è la funzione
IA : A → A
x 7→ IA(x) = x
• Sia
f : A → B
Diremo che f ammette funzione inversa (o è invertibile) se
esiste
g : B → A
(i) g◦ f = IA (ii) f ◦g = IB
Se tale inversa g esiste, viene indicata con il simbolo f−1
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Funzione inversa
Proprietà Sia
f : A → B
Allora f è invertibile se e solo se f è bigettiva
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Esempio
Sia A = {a,b,c,d}. Definiamo f : A → A come segue:
f (a) = b, f (b) = c, f (c) = d, f (d) = a
A A
a b c d a b c d
La sua inversa f−1 : A → A è
f−1(a) = d, f−1(b) = a, f−1(c) = b, f−1(d) = c48 / 50
Esempio
f : R → R
x 7→ x2
Questa funzione non è invertibile.
Non è ingettiva:
f (x) = f (−x)
Non è surgettiva:
Im(f ) = {x ∈ R : x ≥ 0} 6= R
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Esempio
Denotiamo con
R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}
Allora la funzione
f : R+ → R+
x 7→ x2
è bigettiva e quindi invertibile
L’inversa, f−1 : R+ → R+ è tradizionalmente indicata col
nome di radice quadrata e simbolo√
x
• R+ f−−→ R+ f−1
−−→ R+
x 7→ x2 7→√
x2 = x
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