20 Capitolo 0. Insiemi, funzioni, numeri...

20 Capitolo 0. Insiemi, funzioni, numeri c! 978-88-08-06255-0

Possiamo quindi riformulare la nostra definizione nel modo seguente.

0.5.2. Definizione. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Chiamiamo funzioneda X a Y una relazione f da X a Y , che gode della seguente proprieta:

!x " X , #!y " Y : (x, y) " f .

L’insieme X viene dettodominio dominio (oppure, con una terminologia un po’ datata,insieme di definizione) della funzione f .

Ricordiamo che il simbolo #! significa “esiste ed e unico”. Il generico elementox " X viene dettoargomento, valore

di una funzioneargomento della funzione, mentre la seconda coordinata della

coppia in f , che ha x come prima coordinata, viene detta il valore di f in x e siindica con f(x) . Si usano anche i termini variabile indipendente per la x e variabiledipendente per f(x) . Pertanto,

!

x, f(x)"

" f ; anzi

f = { (x, y) " X $ Y | y = f(x)} .

Come sinonimo di funzione si usano anche i termini applicazione, corrispondenza,mappa, trasformazione.

Figura 0.5.1

Una funzione f puo essere rappresenta-ta come un’unita dotata di un ingresso eun’uscita.

x! f ! y

Dalla definizione segue che il concetto di funzione e puramente insiemistico; none richiesta, cioe, alcuna proprieta agli insiemi X e Y (tranne quella di essere nonvuoti) perche si possa definire una funzione da X a Y .

Abbiamo detto che una funzione e nota quando ne sono noti il dominio e i valori

in tutti gli elementi del dominio. E necessario chiarire che, in questo contesto, direche un oggetto e noto non significa necessariamente averne una conoscenza esplicita,ma e su!ciente che esso sia determinato in maniera certa. Ad esempio, supponendonoto da parte dello studente il fatto che l’insieme dei numeri primi e infinito, risultaperfettamente definita la funzione che a ogni numero naturale positivo n associa l’ n -esimo numero primo (considerato secondo la relazione di % in N ); pero oggi nessunone conosce esplicitamente il valore corrispondente a n = 10100 .

Prima di proseguire, vorremmo rassicurare lo studente che ha sempre pensato cheuna funzione sia rappresentata da un’equazione, ad esempio y = x2 , della qualee possibile fare il grafico nel piano, che stiamo cercando di inquadrare quanto egliconosce in un contesto suscettibile di certezze e di indispensabili generalizzazioni.

Figura 0.5.2

La parabola di equazione y = x2 . Ogniparallela all’asse delle ordinate incontra taleparabola in uno e un solo punto.

1

1

x

x2 (x, x2)

Cosa significa y = x2 ? Consideriamo un piano euclideo e in esso introduciamo unsistema di coordinate cartesiane ortogonali. Come e a tutti noto, l’equazione y = x2

c! 978-88-08-06255-0 0.5. Funzioni 21

rappresenta una parabola P , avente il vertice nell’origine delle coordinate e per assedi simmetria l’asse delle ordinate. Questo significa che la parabola e il sottoinsiemedel piano che puo essere rappresentato, nel sistema di riferimento scelto, nella forma

P =#

(x, y) " R2$$ y = x2

%

;

qui con R abbiamo indicato l’insieme dei numeri reali, di cui pensiamo che lo stu-dente abbia gia qualche nozione dalle scuole secondarie: noi ce ne occuperemo nellaSezione 0.6.

E evidente che l’insieme P , essendo formato da coppie ordinate di numeri reali, euna relazione da R a R . Poiche imponiamo solamente che sia soddisfatta l’equazio-ne y = x2 , e chiaro che ogni x " R e primo elemento di una coppia in P . Inoltre,se (x, y1), (x, y2) " P , allora y1 = x2 e y2 = x2 , da cui segue y1 = y2 . Abbiamoquindi verificato che la parabola di equazione y = x2 e una funzione da R a R ,secondo la definizione precedente.

Vogliamo sottolineare che l’insieme che talora viene chiamato il grafico di unafunzione

grafico della fun-zione f coincide con la funzione stessa, secondo la definizione che abbiamo dato.

Mostriamo con un esempio che non tutte le equazioni di un “curva” individuanofunzioni. Consideriamo infatti l’insieme

P1 =#

(x, y) " R2$$ x = y2

%

.

Anche P1 e una parabola con vertice nell’origine delle coordinate, ma il suo asse disimmetria e l’asse delle ascisse. Tale insieme e ovviamente una relazione da R a R ,ma non e una funzione della variabile x , perche (4, 2), (4,&2) " P1 : abbiamo quindidue coppie di P1 che hanno le stesse prime coordinate, ma seconde coordinate diverse.

1 2 3 4

2

1

1

2(4, 2)

(4,"

"

" 2)

Figura 0.5.3

La parabola di equazione x = y2 . Le pa-rallele all’asse delle ordinate, costituite dapunti di ascissa positiva, incontrano taleparabola in due punti distinti.

Il fatto che P1 non sia una funzione dipende essenzialmente dalla scelta di rap-presentare il dominio di una funzione sull’asse delle ascisse e i valori su quello delleordinate. Tale scelta e dovuta a una convenzione e non a motivi sostanziali. Pertantol’insieme P1 puo essere pensato come una funzione “della variabile y ”, di dominio R .Questo significa che a ogni y " R possiamo associare in maniera ben determinata unaltro numero reale e precisamente y2 .

Non sempre una relazione da R a R che non e una funzione in una variabile euna funzione nell’altra variabile. Ad esempio, l’insieme

U =#

(x, y) " R2$$ x2 + y2 = 1

%

e la circonferenza di centro l’origine delle coordinate e raggio 1 . L’insieme U euna relazione da R a R , ma non puo essere pensato ne come una funzione dellavariabile x , perche, ad esempio, (0,&1), (0, 1) " U , ne come una funzione dellavariabile y , perche, ad esempio, (&1, 0), (1, 0) " U .


Figura 0.5.4

La circonferenza di equazione x2 + y2 = 1 .Essa contiene punti distinti di uguale ascis-sa (ad esempio (0,!1) e (0, 1) ) e pun-ti distinti di uguale ordinata (ad esempio(!1, 0) e (1, 0) ).

(0, 1)

(0, -1)

(1, 0)( 1, 0)-

Dobbiamo adesso fissare una opportuna terminologia e delle convenienti notazioniper le funzioni. Sia f una funzione da X a Y ; essa verra quasi sempre indicata conla scrittura

f : X ' Y . (0.5.1)

Talora, soprattutto per mettere in evidenza la forma esplicita di una funzione equando e chiaro quale sia il dominio, si usa la scrittura x (' f(x) . Ad esempio, perla funzione P considerata poco fa, potremmo usare la scrittura x (' x2 . Si noti lapiccola di"erenza tra la freccia qui usata e quella utilizzata nella (0.5.1).

La lettera con cui si indica l’argomento di una funzione e del tutto irrilevante; essapuo essere sostituita da una qualunque altra che non abbia gia un significato nellostesso contesto.

L’insieme Y viene dettocodominio codominio di f . Si noti che, nonostante l’assonanzadelle denominazioni, dominio e codominio di f hanno caratteristiche molto diverse:il dominio e costituito da tutte e sole le prime coordinate delle coppie che formanola funzione f , mentre il codominio, oltre a contenere tutte le seconde coordinatedi f , puo contenere anche elementi che non sono valori della funzione. Sul ruolo delcodominio torneremo piu avanti in questa Sezione.

L’insieme che svolge un ruolo simmetrico del dominio, cioe l’insieme delle secondecoordinate delle coppie di f , viene dettoimmagine immagine o insieme dei valori di f o ancheinsieme trasformato di X mediante f .3

Se A ) X , chiamiamo immagine di A mediante f l’insieme dei valori che lafunzione f assume negli elementi di A e lo indichiamo con f(A) . Pertanto,

f(A) = { f(x) " Y | x " A} .

Naturalmente, f(X) indica l’immagine di f . Si usano anche i simboli

dom f e im f

per indicare il dominio di f e l’immagine di f , rispettivamente.

Le notazioni introdotte distinguono chiaramente fra la funzione, indicata col sim-bolo f , e il valore della stessa funzione nell’elemento x del suo dominio, indicato colsimbolo f(x) . Sopravvive in alcuni testi la notazione f(x) per indicare una funzione;sarebbe preferibile non utilizzare tale notazione, anche se talvolta puo essere utile perindicare una funzione di cui si conosce la forma esplicita, ad esempio “la funzione x2 ”per indicare la funzione “parabola”, di cui abbiamo parlato prima.

Se f : X ' Y , si ha f(X) ) Y . Mostriamo che puo risultare f(X) *= Y .

0.5.3. Esempio Sia

f1 : Z' Z , f1(n) = n2 .

E evidente, poiche il quadrato di un numero intero e non negativo (e quindi e unnumero naturale), che vi sono moltissimi numeri interi che non sono valori di f1 equindi non appartengono all’immagine di f1 .

3In alcuni testi, l’insieme qui chiamato immagine di f viene detto codominio di f .

c! 978-88-08-06255-0 0.5. Funzioni 23

Questo fatto suggerisce un’altra considerazione. Sia

f2 : Z' N , f2(n) = n2 .

Le funzioni f1 e f2 sono diverse o sono la stessa funzione? Per rispondere a questadomanda, dobbiamo tornare alla definizione di funzione: una funzione e un insiemedi coppie ordinate e quindi due funzioni sono uguali quando, e solo quando, con-tengono le stesse coppie. Come gia ricordato, gli insiemi { (x, y) " Z2 | y = x2}e { (x, y) " Z$ N | y = x2} contengono gli stessi elementi e quindi sono uguali.Allora le due funzioni f1 e f2 sono uguali, anche se indicate con scritture diverse.

Vogliamo qui rilevare esplicitamente che, se avessimo usato come definizione difunzione una espressione imprecisa come “una funzione da X a Y e una legge cheassocia a ogni elemento di X uno e un solo elemento di Y ”, sarebbe una questioneestremamente opinabile stabilire se le funzioni f1 e f2 siano uguali.

Generalizzando le considerazioni svolte in questo esempio, possiamo a"ermare chedue funzioni f e g sono uguali quando, e solo quando, hanno uguali domini e as-sumono, in ogni elemento del comune dominio, lo stesso valore. Quindi f = g se, esolo se:

(1) dom f = dom g ;

(2) !x " dom f , f(x) = g(x) .

Da quanto ora messo in evidenza, risulta chiaro che il codominio di una funzionenon e una caratteristica della funzione, ma una nostra scelta; possiamo utilizzare comecodominio un qualunque insieme che contenga l’immagine della funzione. Sembra al-lora lecito chiedersi perche non scegliere come codominio esattamente l’immagine dellafunzione considerata; tale scelta, a prima vista molto ragionevole, si scontra imme-diatamente col problema concreto di determinare esplicitamente quale sia l’immaginedella funzione considerata. Anche nel caso di funzioni molto semplici, il problema puoessere tutt’altro che ovvio.

0.5.4. Esempio Si consideri la funzione

f3 : R' R , f3(x) =1

1 + x2.

E possibile con strumenti elementari, ma non e certo immediato, riconoscere che l’im-

magine della funzione f3 e l’insieme { y " R | 0 < y % 1} . E su!ciente considerarefunzioni anche di poco piu complicate per accorgersi come possa risultare impossibi-le con strumenti elementari determinare l’immagine di una funzione. Nel seguito diquesto corso stabiliremo dei risultati che consentiranno di determinare, in numerosicasi, quale sia e"ettivamente l’immagine di una data funzione; in altri casi, tuttavia,cio non e possibile.

Sia f : X ' Y ; qualora l’insieme utilizzato come codominio coincida con l’imma-gine di f , cioe Y = f(X) , si dice che la funzione f e funzione suriettivasuriettiva,4 oppure che f esu Y (da quanto detto, questa non e una proprieta della funzione, ma solo del modoin cui la indichiamo); in tal caso usiamo la notazione

f : Xsu&' Y .

Pertanto, dire che f : X ' Y e suriettiva equivale a dire che

!y " Y , #x " X : f(x) = y .

4In alcuni testi si usa il termine surgettiva, anziche suriettiva.


0.5.5. Esempio La funzione

f4 : R' R , f4(x) = 3x& 5 ,

e suriettiva. Cominciamo con l’osservare che la funzione e correttamente definita,perche ne conosciamo il dominio (l’insieme R ) e il valore in ogni elemento x " R .Per verificare se essa e suriettiva, cioe se la sua immagine coincide con l’insieme R ,dobbiamo provare che

!y " R , #x " R : 3x& 5 = y .

L’ultima uguaglianza scritta e un’equazione di primo grado, in cui y e nota e l’in-cognita e x . Pertanto, risolvendo questa equazione, si ottiene x = (y + 5)/3 . Permaggior sicurezza, verifichiamo che f4

!

(y + 5)/3"

= y . Infatti, si ha

f4

&1

3(y + 5)

'

= 3

&1

3(y + 5)

'

& 5 = (y + 5)& 5 = y ,

come si voleva.

0.5.6. Esempio Abbiamo gia mostrato che la funzione f1 , introdotta nell’Es. 0.5.3,

non e suriettiva. Anche se ne restringiamo il codominio all’insieme N (con questascelta l’abbiamo chiamata f2 ), essa rimane non suriettiva; basta osservare che 2 " N ,ma 2 non e il quadrato di alcun numero intero.

restrizione di una

funzioneSiano f : X ' Y una funzione assegnata e X0 + X un sottoinsieme proprio

di X . Diciamo che la funzione g e la restrizione di f all’insieme X0 se

g : X0 ' Y , !x " X0 , g(x) = f(x) ;

per la restrizione di f all’insieme X0 si usa il simbolo f|X0

.

La restrizione di una funzione f a un sottoinsieme proprio del dominio e unafunzione diversa da f , perche ha un dominio diverso, anche se la “legge” che a xassocia il suo corrispondente e la stessa in entrambi i casi. Dalla definizione segue cheuna restrizione di una funzione e un sottoinsieme della funzione originaria: f|X0

+ f .

prolungamento diuna funzione

Se g e h sono due funzioni tali che g sia una restrizione di h , si dice che h eun prolungamento di g .

Vediamo ora come, sotto certe condizioni, si possono combinare due funzioni per ot-tenerne una terza. L’idea consiste sostanzialmente in questo: si considera un genericoelemento x del dominio della funzione f e se ne trova il corrispondente f(x) ; si cercapoi il corrispondente di f(x) attraverso la seconda funzione g e si ottiene g

!

f(x)"

;ebbene, quest’ultimo risultato e il valore della nuova funzione nell’elemento x . Ri-sulta subito chiaro che, a!nche questa procedura funzioni, dobbiamo richiedere chei valori f(x) assunti dalla prima funzione appartengano al dominio della secondafunzione. A questo punto possiamo formalizzare la nostra definizione.

0.5.7. Definizione.funzione composta Siano X , Y , Z , W insiemi non vuoti e siano

f : X ' Y , g : Z 'W .

Supponiamo poi che sia f(X) ) Z , cioe che l’immagine di f sia contenuta in Z ,dominio di g . Per ogni x " X e dunque lecito considerare il valore che g associaa f(x) , cioe g

!

f(x)"

, costruendo cosı una funzione da X a W . Chiamiamofunzione composta (oppure, con terminologia un po’ datata, funzione di funzione)di g e f la funzione

g , f : X 'W , (g , f)(x) = g!

f(x)"

.

Tale funzione viene indicata col simbolo g , f (si legge: “ g composta f ”).

c! 978-88-08-06255-0 1.2. Successioni convergenti 65

E molto importante che lo studente si convinca fin da ora che la risposta alla primadomanda e negativa e che cio succede non tanto per successioni piu o meno complicateescogitate dai matematici, quanto perche nella definizione di successione e insita unatale generalita che, tranne casi eccezionali, mal si concilia con le particolarissimerichieste imposte dalla definizione di limite.

1.2.8. Esempio La successione!

(&1)n"

n"N, gia incontrata nell’Es. 1.1.4, ha come

termini solo numeri interi; pertanto, le loro rappresentazioni decimali hanno tutte lecifre dopo il punto uguali a 0 . Allora, per quanto detto sopra, anche l’eventualelimite dovra avere una rappresentazione decimale con tutte le cifre dopo il puntouguali a 0 e quindi dovra essere un numero intero. Ma, poiche l’unica cifra prima delpunto di ogni termine della successione e alternativamente 1 e &1 , la successionenon puo avere limite, perche la cifra prima del punto del termine n -esimo “non sistabilizza”, cioe non coincide con quella di un eventuale limite da un certo termine inpoi. Torneremo, comunque, su tale questione nella Sezione successiva.

Quanto alla seconda domanda ha anch’essa risposta negativa. Qualche studentepotrebbe giustificare tale risposta semplicemente ricorrendo al buon senso, qualcunaltro adducendo considerazioni ragionevoli, ma forse non completamente motivate,sulla diversita della rappresentazione decimale di due diversi numeri reali, qualcunaltro infine, forse piu abile dal punto di vista dialettico, potrebbe aver notato che,parlando di limite di una successione abbiamo sempre usato l’articolo determinativoe, pertanto, il limite di una successione deve essere unico.

Prima di dimostrare l’unicita del limite di una successione reale, e opportuno ri-formulare la definizione stessa di limite, esprimendola in una forma piu maneggevole.Abbiamo finora utilizzato delle disuguaglianze in cui il valore assoluto della di"erenzafra il termine n -esimo della successione e il numero reale candidato a esserne il limiteveniva maggiorato con numeri reali del tipo 1/10k e tale operazione veniva ripetuta!k " N . Tali disuguaglianze possono essere sostituite con altre in cui il valore asso-luto viene maggiorato con un numero reale positivo ! e l’operazione viene ripetutaper ogni ! . Questa condizione e apparentemente piu restrittiva della precedente; inrealta non e cosı, perche vale la seguente proprieta:

!! " R#+ , #k " N :

1

10k% ! .

Infatti, l’ultima disuguaglianza scritta e equivalente a 10k - 1/! e cioe si richiede lapossibilita di trovare una potenza di 10 che superi l’assegnato numero positivo 1/! .Cio e sicuramente possibile se

#

10k " R$$ k " N

%

e superiormente illimitato. Maquesto segue subito, ad esempio, dalla semplice disuguaglianza

!k " N , 10k - k ,

che lo studente puo dimostrare per induzione. Questo prova che le due condizionisono equivalenti.

Pertanto la definizione di limite puo essere riformulata nel modo seguente.

1.2.9. Definizione. limite di unasuccessione

Siano (an)n"Nuna successione reale e l " R . Diciamo che

la successione (an)n"Nha limite l (o che tende a l ), per n' +. , se

!! " R#+ , #m! " N : !n " N , tali che n - m! , si ha |an & l| % ! .

Ricordiamo (v. Teor. 0.6.9) che la disuguaglianza |an & l| % ! e equivalente a

l & ! % an % l + ! .

c! 978-88-08-06255-0 1.4. Limiti di successioni e relazione d’ordine 77

Dal Teorema sulla limitatezza delle successioni regolari 1.3.12, segue allora chel’insieme { |a|2n | n " N} e superiormente illimitato. Analogamente, si mo-stra che anche l’insieme { |a|2n+1 | n " N} e superiormente illimitato. Nesegue allora che l’insieme {&|a|2n+1 | n " N} e inferiormente illimitato. Dallostesso teorema segue infine che la successione, in questo caso, non puo averelimite.

10 20

1

10 20

1

10 20

1

10 20

1

a = 0.9 a = 1.03

a = "0.8 a = "1.02

00

Figura 1.4.2

Andamento di alcune successioni esponenziali con diverse basi.

Per l’importanza di questa successione, riassumiamo i risultati ottenuti.

limn$+%

an =

(

)))*

)))+

+. , se a > 1 , limite delle

successioniesponenziali

1 , se a = 1 ,

0 , se |a| < 1 ,

non esiste, se a % &1 .

1.4.14. Esempio Sia a " R#+ e consideriamo

!n/a"

n"N!, cioe la successione

a ,/a , 3/a , 4/a , . . .

Segnaliamo esplicitamente che anche questa successione risultera utile nel seguito.

Anche in questo caso, cominciamo con lo studio sperimentale di questa successioneper alcuni valori di a , come e mostrato nella Tab. 1.4.2.

Esaminiamo ora analiticamente il comportamento di questa successione.

• a = 1 . In questo caso, la successione e costantemente uguale a 1 .

• a > 1 . Risulta anche n/a > 1 , !n " N# ; quindi, per la disuguaglianza di

Bernoulli (v. Es. 0.7.10), si ha

a =!

1 +!

n/a& 1

""n - 1 + n!

n/a& 1

"

,

da cui segue

0 < n/a& 1 % a& 1

n.

Poiche, per l’Es. 1.2.14, (a& 1)/n' 0 , per il Teorema dei due carabinieri 1.4.7n/a& 1' 0 , quindi n

/a' 1 .

c! 978-88-08-06255-0 1.8. Successioni monotone 95

1.7.1. Teorema. Siano k " N# \{ 1} , (an)n"Nuna successione in R+ regolare,

l " R e si abbia an ' l . Allora la successione ( k/an )n"N

e regolare e si ha

limn$+%

k/an =

,k/l , se l " R+ ,

+. , se l = +. .

1.7.2. Osservazione Si noti che, per il Teorema del confronto 1.4.1, risulta l - 0 .

Dimostrazione. Proviamo l’a"ermazione solo nel caso k = 2 , cioe per le radici qua-drate. Il caso generale si dimostra con ragionamenti analoghi, anche se tecnicamenteun po’ piu complicati.

Supponiamo, dapprima, l = +. . Per ipotesi,

!M " R , #pM " N : !n " N , tali che n - pM , si ha an -M .

Sia ora L " R#+ . Allora, !n " N , tali che n - pL2 , risulta an - L2 . Ne consegue

che (v. Teor. 0.6.13) !n " N , tali che n - pL2 , si ha/an -

/L2 = L .

Da quanto precede, possiamo concludere che/an ' +. , perche, avendo dimostrato

la proprieta richiesta dalla definizione di limite per tutti gli L " R+ , essa e vera ancheper gli L " R#

& .

Supponiamo ora l = 0 . Per la definizione di limite e poiche an - 0 , otteniamoche

!! " R#+ , #q! " N : !n " N , tali che n - q! , si ha 0 % an % ! .

Sia ora ! " R#+ ; allora, !n " N , tali che n - q!2 , si ha 0 % an % !2 . Applicando

nuovamente il Teor. 0.6.13, si ha, per gli stessi valori di n ,

0 %/an %

/!2 = ! .

Questo prova che/an ' 0 .

Supponiamo, infine, l " R#+ . Per ipotesi,

!! " R#+ , #q! " N : !n " N , tali che n - q! , si ha |an & l| % ! .

Moltiplicando numeratore e denominatore per il numero reale positivo/an+ l , si ha

allora, !n " N , tali che n - q! ,

$$$

/an &

/l$$$ =

$$$$$

!/an &

/l"!/

an +/l"

/an +

/l

$$$$$=

|an & l|/an +

/l%

|an & l|/l%

!/l.

Poiche 1//l e positivo e non dipende ne da ! ne da n , per l’Oss. 1.5.7 ne consegue

che/an '

/l .

1.8. Successioni monotone

Abbiamo ampiamente illustrato con esempi nelle Sezioni precedenti il fatto che nume-rose successioni, anche semplici, non hanno limite. In questa Sezione vogliamo invecemettere in evidenza che vi e una classe molto ampia di successioni, il cui limite esistesempre, indipendentemente dal fatto che sappiamo riconoscere se esso e uguale a unnumero reale che “gia conosciamo”. Quello che e particolarmente sorprendente e chequesta classe di successioni possiede una definizione del tutto elementare. Il motivodi questo e insito nel ruolo fondamentale che la relazione d’ordine in R svolge neiconfronti dei limiti.

Esaminiamo subito le definizioni in questione.

96 Capitolo 1. Successioni e loro limiti c! 978-88-08-06255-0

1.8.1. Definizione.successionecrescente,

decrescente,monotona

Sia (an)n"Nuna successione reale.

• Diciamo che (an)n"Ne crescente se

!n " N , an % an+1 .

• Diciamo che (an)n"Ne decrescente se

!n " N , an - an+1 .

• Diciamo che (an)n"Ne monotona se essa e crescente oppure e decrescente.

1.8.2. Osservazione Osserviamo esplicitamente che, se una successione (an)n"Ne

crescente, allora

!n,m " N , tali che n < m , si ha an % am .

Analoga proprieta sussiste per le successioni decrescenti. Per dimostrarlo, e su!cientescrivere m = n+ p , con p " N# e ragionare per induzione rispetto a p .

1.8.3. Osservazione La successione (an)n"Ne crescente se, e solo se, la successione

(& an)n"Ne decrescente. Questo fatto segue subito dalle proprieta della relazione

d’ordine in R .

Esibiamo alcuni esempi di successioni monotone.

1.8.4. Esempio La successione (bn)n"N=!

n2"

n"Ne crescente. Infatti si ha,

!n " N ,bn+1 = (n+ 1)2 = n2 + 2n+ 1 > n2 = bn .

1.8.5. Esempio La successione (cn)n"N! =!

1/n"

n"N!e decrescente. Infatti si ha,

!n " N# ,

cn+1 =1

n+ 1<

1

n= cn .

1.8.6. Esempio La successione (dn)n"Ndove

dn =

(

)*

)+

n

2, se n e pari,

n& 1

2, se n e dispari,

e crescente. I termini di questa successione sono

0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , . . . .

Infatti, se n e pari, risulta n+ 1 dispari e, quindi

dn+1 =n

2= dn ,

mentre, se n e dispari, risulta n+ 1 pari e, quindi,

dn+1 =n+ 1

2>

n& 1

2= dn .

1.8.7. Esempio La successione

(en)n"N! =

-n.

k=1

1

10k

/

n"N!

e crescente. I termini di questa successione sono

1

10= 0.1 ,

1

10+

1

100= 0.11 ,

1

10+

1

100+

1

1000= 0.111 , . . . .

c! 978-88-08-06255-0 1.8. Successioni monotone 97

Infatti, poiche, !k " N# , risulta 1/10k > 0 , si ha, !n " N# ,

en =n.

k=1

1

10k<

n+1.

k=1

1

10k= en+1 .

1.8.8. Esempio La successione (fn)n"N! =!

(1 + 1/n)n"

n"N!e crescente. Infatti

si ha, !n " N# ,

fn+1

fn=

&

1 +1

n+ 1

'n+1

&

1 +1

n

'n =

&n+ 2

n+ 1

'n+1

&n+ 1

n

'n =

=n+ 1

n

&n+ 2

n+ 1

'n+10 n

n+ 1

1n+1=

n+ 1

n

&n2 + 2n

(n+ 1)2

'n+1

=

=n+ 1

n

&

1& 1

(n+ 1)2

'n+1

- n+ 1

n

&

1& 1

n+ 1

'

=n+ 1

n

n

n+ 1= 1 .

Si noti che l’ultima minorazione e conseguenza della disuguaglianza di Bernoulli(v. Es. 0.7.10). Tenendo presente che, !n " N# , fn > 0 , ne consegue che, !n " N# ,si ha fn % fn+1 .

1.8.9. Esempio Sia (gn)n"Nuna successione in R+ . Allora la successione-

n.

k=0

gk

/

n"N

e crescente. Infatti, posto, !n " N ,

hn =n.

k=0

gk ,

si ha

hn =n.

k=0

gk %n+1.

k=0

gk = hn+1 .

Vogliamo fare un’osservazione utile sulle successioni monotone. Se (an)n"Ne una

successione crescente, allora essa e inferiormente limitata. Infatti, si ha an - a0 ,!n " N . Analogamente, una successione decrescente e superiormente limitata.

L’importanza delle successioni monotone deriva dal seguente teorema, che e difondamentale importanza.

1.8.10. Teorema. Sia (an)n"Nuna successione reale monotona. Allora (an)n"N

e regolare.

Prima di analizzare piu in dettaglio questo teorema, facciamo alcune osservazio-ni. Innanzitutto, notiamo che una successione crescente puo essere superiormentelimitata oppure superiormente illimitata: un esempio del primo tipo e la successione!

n/(n+ 1)"

n"N(v. Es. 1.2.6), in quanto !n " N , risulta n/(n+ 1) < 1 , mentre un

esempio del secondo tipo e!

n2"

n"N. Se una successione regolare e superiormente

illimitata, per il Teorema sulla limitatezza delle successioni regolari 1.3.12 essa devetendere a +. ; invece, una successione regolare, crescente e superiormente limitatae convergente, perche, per quanto detto in precedenza, essa e anche inferiormentelimitata.

c! 978-88-08-06255-0 1.11. Alcuni importanti esempi di successioni - parte 2 111

i termini della successione sono positivi,

a1a0% m, a1 % ma0 ;

a2a1% m, a2 % ma1 , a2 % m2a0 ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

ap+1

ap% m, ap+1 % map , . . . , ap+1 % mp+1a0 ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si ha allora, !n " N ,0 < an % a0 m

n .

Poiche m < 1 , la successione esponenziale mn &&&&&'n$+%

0 ; quindi anche a0 mn ' 0 ;

dal Teorema dei due carabinieri 1.4.7 segue allora che anche an ' 0 .

Sia ora (an)n"Nuna generica successione in R#

+ , tale che an+1/an ' l < 1 esia poi m " R , tale che l < m < 1 . Allora, per il Teorema della permanenza delsegno 1.4.6, #q " N : !n " N , tali che n - q , risulta an+1/an < m . Per quantodetto nell’Oss. 1.3.9, la successione (an)n"N

ha lo stesso comportamento al limite dellasuccessione che si ottiene cancellando da essa i primi q termini; ma quest’ultima, perquanto gia provato, e infinitesima e pertanto anche la successione (an)n"N

lo e.

La dimostrazione di (2) e analoga, ma, in questo caso, si sceglie un numero realeminore del limite l e maggiore di 1 e si sfrutta il fatto che le successioni esponenzialicon base maggiore di 1 sono divergenti a +. .

1.11.2. Osservazione Il limite limn$+%

an+1/an puo non esistere, anche se la suc-

cessione (an)n"Ne regolare. Ad esempio, consideriamo la successione (an)n"N! ,

introdotta nell’Es. 1.2.4, che abbiamo riconosciuto essere infinitesima. Pero si ha,!n " N# ,

an+1

an=

(

)))))))))*

)))))))))+

1

n+ 11

n2

=n2

n+ 1, se n e dispari,

1

(n+ 1)2

1

n

=n

(n+ 1)2, se n e pari.

Questa successione non puo essere regolare. Infatti, essa e superiormente illimitata,in quanto lo e il sottoinsieme dei suoi termini { n2/(n+ 1) | n " N , n dispari} .Pertanto, se fosse regolare, per il Teorema sulla limitatezza delle successioni rego-lari 1.3.12, dovrebbe tendere a +. . D’altra parte, poiche, per tutti gli n pari,n/(n + 1)2 < 1 , la successione dei rapporti ha infiniti termini minori di 1 e quindinon puo tendere a +. .

1.11.3. Osservazione Se limn$+%

an+1/an = 1 , il criterio del rapporto e ine!cace,

cioe la successione puo avere i comportamenti piu vari.

Ad esempio, posto cn = 1/n , dn = n , en = n/(n+ 1) , si ha, evidentemente, checn ' 0 , dn ' +. , en ' 1 . Pero,

cn+1

cn=

1

n+ 11

n

=n

n+ 1' 1 ,

dn+1

dn=

n+ 1

n' 1 ,

116 Capitolo 2. Funzioni di una variabile reale c! 978-88-08-06255-0

Detto in altre parole, l’insieme dei punti interni a I e l’insieme I \ { inf I, sup I} .Ad esempio, i punti interni a [0, 4] sono i punti appartenenti a ]0, 4[ , mentre tutti ipunti di ]2, 5[ sono interni ad esso.

Gli intervalli i cui punti sono tutti interni meritano un nome.

2.1.5. Definizione.intervallo aperto Sia I un intervallo di R ; diciamo che I e un intervalloaperto se i tutti i suoi elementi sono punti interni a I , il che equivale a dire cheinf I /" I e sup I /" I .

Fra i tipi di intervallo descritti in precedenza sono intervalli aperti gli intervalli limi-tati e aperti ]a, b[ , gli intervalli aperti superiormente illimitati e inferiormente limitati]a,+.[ , gli intervalli aperti inferiormente illimitati e superiormente limitati ]&., b[e l’unico intervallo tanto superiormente quanto inferiormente illimitato, cioe R .

2.1.6. Definizione.interno di un

intervalloSia I un intervallo di R ; chiamiamo interno di I l’insieme

dei suoi punti interni, cioe l’insieme I \ { inf I, sup I} e lo indichiamo con int I .Osserviamo che int I e un intervallo aperto.

Spieghiamo ora che cosa sia un intervallo forato. Si tratta di un sottoinsieme di Rottenuto togliendo a un intervallo un punto diverso dagli estremi; l’insieme ottenutonon e un intervallo, perche abbiamo, in sostanza, creato al suo interno un “buco”.

In termini piu formali, diamo la seguente definizione.

2.1.7. Definizione.intervallo forato Sia J un sottoinsieme non vuoto di R , che non sia unintervallo; diciamo che J e un intervallo forato quando esiste c " R \ J , tale cheJ 0 {c} e un intervallo di R .

Pertanto, un intervallo forato rassomiglia molto a un intervallo (gli manca solo unpunto per essere un intervallo), ma, come vedremo nel seguito, quell’unico punto chee stato tolto ha notevoli conseguenze.

2.1.8. Esempio Sono intervalli forati i seguenti insiemi:

R#; [0, 1[ 0 ]1, 2[ ; ]&., 3[ 0 ]3, 4[ ; ]&1, 5[ 0 ]5, 9[ .

2.1.9. Osservazione L’unione di due intervalli non e di solito un intervallo; ad

esempio, [0, 1] 0 [2, 3] non e un intervallo. E pero sempre un intervallo l’unionedi due intervalli che non siano disgiunti. Invece, l’unione di due intervalli disgiuntipuo essere un intervallo, oppure un intervallo forato, oppure ne l’una ne l’altra cosa.Infatti, [0, 1[0[1, 2] = [0, 2] e un intervallo, [0, 1[0]1, 2] e un intervallo forato, mentre[0, 1]0 [2, 3] non e ne un intervallo, ne un intervallo forato (il “buco” non e costituitosolo da un punto, ma da infiniti punti).

L’intersezione di due intervalli e l’insieme vuoto oppure un intervallo, eventual-mente degenere.

La definizione di intervallo si basa sulla relazione d’ordine % in R ; poiche abbia-mo prolungato tale relazione a R (v. Def. 1.3.10), possiamo utilizzare in tale insiemesimboli simili a quelli introdotti per gli intervalli di R , ponendo:

!a " R , ]a,+.] = ]a,+.[ 0 {+.} , [a,+.] = [a,+.[ 0 {+.} ,

!b " R , [&., b[ = ]&., b[ 0 {&.} , [&., b] = ]&., b] 0 {&.} ,

]&.,+.] = R 0 {+.} , [&.,+.[ = R 0 {&.} ;

questiintervallo di R insiemi vengono detti intervalli di R .


2.3.7. Definizione. Siano a " R#+ \ {1} e x " R#

+ ;logaritmo di unnumero reale

positivo

chiamiamo logaritmo inbase a di x il valore della funzione logaritmo in base a nel punto x .

Pertanto, il logaritmo in base a di x e il numero reale y (che esiste ed e unico,per il Teor. 2.3.4) che verifica l’equazione

ay = x .

Poiche, !a " R#+ , a0 = 1 , a1 = a , ne segue che

!a " R#+ , loga 1 = 0 , loga a = 1 . (2.3.6)

2.3.8. Osservazione Si puo definire il logaritmo di x in una base fissata solo sex > 0 , poiche il dominio della funzione loga coincide con l’immagine della funzioneexpa , che e R#

+ . Inoltre, la base del logaritmo deve essere un numero reale positivoe diverso da 1 : questo segue dal fatto che abbiamo definito la funzione esponenzialesolo per basi di questo tipo. Non sarebbe possibile dare una definizione ragionevoledi logaritmo in base 1 , perche la “funzione esponenziale in base 1 ” e la funzionecostantemente uguale a 1 e quindi non e iniettiva.

Componendo una funzione esponenziale con la sua inversa si ottiene, a secondadell’ordine con cui le funzioni vengono composte, la funzione identita in R oppure lafunzione identita in R#

+ (v. formula (0.5.6)):

!x " R , loga(ax) = x ; !y " R#

+ , aloga y = y .

Figura 2.3.5

Le funzioni esponen-ziale e logaritmo so-no una l’inversa del-l’altra.

x

ya( )

a( ) loga( )

loga( )

.

. .

.x # R

y # R*+

Rispetto a un sistema monometrico, le funzioni esponenziale e logaritmo nella stessabase hanno grafici simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, comemostrato in Fig. 2.3.6.

Dalle proprieta delle funzioni esponenziali contenute nel Teor. 2.3.3 seguono leproprieta fondamentali per i logaritmi.

2.3.9. Teorema.proprieta dellafunzione logaritmo

Sia a " R#+ \ {1} ; allora:

(1) !x, y " R#+ , loga(xy) = loga x+ loga y ;

(2) !x, y " R#+ , loga

&x

y

'

= loga x& loga y ;

(3) !x " R#+ , !z " R , loga(x

z) = z loga x .

Dimostrazione. Proviamo la (1). Si ha, per la (2) del Teor. 2.3.3,

aloga(xy) = xy = aloga xaloga y = aloga x+loga y .

Poiche il primo e l’ultimo membro della precedente catena di uguaglianze sono valoriuguali della funzione esponenziale in base a e questa e una funzione iniettiva, allora


Immaginiamo che il punto P si trovi nella posizione (1, 0) e inizi a ruotare su Ucon velocita costante, descrivendo innanzitutto il quarto di circonferenza contenuto nelprimo quadrante; diciamo che il moto di P e circolare uniforme e in senso antiorario(cioe nel verso contrario a quello delle lancette dell’orologio). Se la sua velocita e 1metro al secondo, il punto percorre in t secondi un arco di lunghezza t metri.

Sappiamo che si indica con " (numero ! pi greca) il numero reale che esprime la lunghezzadella semicirconferenza di raggio unitario (v. Es. 0.6.27); dunque, se l’unita di misuradella lunghezza e il metro, la lunghezza dell’intera circonferenza e uguale a 2" metrie il punto P impiega 2" secondi a percorrerla. Immaginiamo che il nostro lettoresappia che un valore approssimato di " e 3.14159 . . . e dunque 2" = 6.28318 . . . .

Se t " [0, 2"[ , indichiamo con cis(t) la posizione di P dopo t secondi; pertantola lunghezza dell’arco percorso da P per andare da (1, 0) (detto origine degli archi)a cis(t) (muovendosi in senso antiorario) e uguale a t metri.

In particolare, dopo "/2 secondi il punto ruotante ha descritto un quarto di cir-conferenza e quindi occupa la posizione (0, 1) , dopo " secondi occupa la posizione(&1, 0) , dopo 3"/2 secondi occupa la posizione (0,&1) .

1

0 1 2 3 4 5

1

0 1 2 3 4 5

1

0 1 2 3 4 5

1

0 1 2 3 4 5

P P

P

P

t

t

t

t

� /2

3 /2

�!

! !

Figura 2.4.1

Il punto P ruota in senso antiorario sulla circonferenza unitaria a partire dalla posizione(1, 0) , percorrendo in t secondi un arco di lunghezza t metri.

Dopo 2" secondi P ritorna nella posizione iniziale; se immaginiamo che continuia ruotare, sempre nello stesso verso, e chiaro che al tempo 2" + t (dove t " ]0, 2"[ )ha compiuto un giro e si trova nuovamente nella posizione occupata al tempo t , cioecis(t) ; analogamente, dopo 2 · 2"+ t secondi, dopo 3 · 2"+ t secondi ecc., il punto si

trova in cis(t) . E pertanto naturale utilizzare la notazione cis(t) anche per t - 2" .

Per dare un significato a cis(t) anche per valori negativi di t , supponiamo che ilmoto uniforme di P fosse in atto anche prima dell’istante 0 . Se &2" < w < 0 , allorala posizione di P all’istante w e tale che esso impiega |w| secondi per arrivare alpunto (1, 0) , percorrendo un arco di lunghezza |w| . Detto in altre parole, la posizionedi P al tempo w e quella occupata all’istante |w| da un punto Q , che parte ancoradalla posizione (1, 0) , ma ruotando in senso orario. Indichiamo anche in questo casocon cis(w) la posizione occupata da P all’istante w . Osserviamo che all’istantew & 2" , w & 4" ecc. P occupava la stessa posizione che all’istante w ; utilizziamoquindi la notazione cis(w) anche per ogni altro w negativo.


Figura 2.4.3

Il coseno e il seno di t sono l’ascissa e l’ordi-

nata del punto P all’istante t .

P (cos t, sin t)

A (1, 0)

cos t

sin t

!

"

#

$

=

I valori che la funzione cis assume in numeri reali opposti, t e &t , sono eviden-temente punti della circonferenza U simmetrici rispetto all’asse delle ascisse: questoimplica che

!t " R , cos(&t) = cos t, sin(&t) = & sin t .

Cio significa che la funzione coseno e una funzione pari, mentre la funzione seno e unafunzione dispari (v. Def. 2.2.23).

(t) = (cos t, sin t)

(t + ) =%

%cos(t + ), sin(t + )

�

cis(t)cis

cis

cis("t)

!!!

Figura 2.4.4

In corrispondenza di valori del tempo t tra loro opposti il punto ruotante P occupa posizionisimmetriche rispetto all’asse delle ascisse (figura a sinistra). Le posizioni agli istanti t e t+!sono diametralmente opposte (figura a destra).

Un’altra proprieta di simmetria consiste nel fatto che la posizione occupata dalpunto mobile all’istante t e diametralmente opposta a quella occupata all’istantet+ " , essendo " il tempo impiegato per compiere mezzo giro. Ne viene che

!t " R , cos(t+ ") = & cos t , sin(t+ ") = & sin t . (2.4.2)

Una migliore comprensione di quanto abbiamo fatto si puo avere considerando igrafici cartesiani delle funzioni seno e coseno, di cui la Fig. 2.4.5 mostra la costruzione.

Occupiamoci dapprima del grafico del seno: per ogni posizione occupata dal puntoruotante P , riportiamo in ascissa il valore di t , lunghezza dell’arco descritto da P ,e in ordinata la corrispondente ordinata del punto P stesso. Nel caso del coseno, sifa la stessa cosa, ma si porta in ordinata l’ascissa del punto P : ecco perche abbiamoruotato di un angolo retto la circonferenza U .

A causa della rilevanza per la funzione cis dei numeri reali che sono multiplidi "/2 , sono altrettanto rilevanti i corrispondenti valori del seno e del coseno. Dalla


Figura 2.4.10

Grafico della funzione cotangente.

-

1

1

!!

2.4.7. Teorema.formuleparametriche

Per ogni x " R tale che x *= (2k + 1)" , k " Z , si ha

sinx =2 tan

0x

2

1

1 + tan20x

2

1 ; cosx =1& tan2

0x

2

1

1 + tan20x

2

1 . (2.4.7)

Avremo bisogno nel seguito di alcune importanti disuguaglianze in cui interven-gono le funzioni circolari e che possono essere dimostrate per via geometrica. NellaFig. 2.4.11 riprendiamo e completiamo la Fig. 2.4.8.

Figura 2.4.11

Alcune disuguaglianze possono essere lette

in figura.

P

O A

T

H

La lunghezza del segmento AH e minore di quella del segmento AP , perche il

primo segmento e un cateto del triangolo rettangolo"

APH , di cui AP e l’ipotenusa.

A sua volta la lunghezza del segmento AP e minore della lunghezza dell’arco!AP ,

in quanto corda che lo sottende.

Se x " ]0,"/2[ , allora la lunghezza del segmento AH e 1& cosx e la lunghezza

dell’arco!AP e x ; pertanto si ha

!x "2

0,"

2

3

, 0 < 1& cosx < x ;

per x = 0 i tre membri della disuguaglianza precedente coincidono; si ha quindi

!x "3

0,"

2

3

, 0 % 1& cosx % |x| ;

c! 978-88-08-06255-0 2.4. Funzioni circolari 151

tenendo presente che il coseno e il valore assoluto sono funzioni pari, l’ultima disu-guaglianza scritta vale per tutti gli x " ]&"/2,"/2[ .

Ricordiamo poi, dalla geometria elementare, che l’area di un settore circolare siottiene moltiplicando la lunghezza dell’arco (che funge da “base”) per il raggio (chefunge da “altezza”) e dividendo il prodotto per 2 . Nel nostro caso, se x " ]0,"/2[ :

(area del triangolo"

OPA) = 1 · sinx ·1

2=

sinx

2,

(area del settore OPA) = x · 1 ·1

2=

x

2,

(area del triangolo"

OTA) = 1 · tanx · 12=

tanx

2.

Dunque,

0 <sinx

2<

x

2<

tanx

2,

da cui segue0 < sinx < x < tanx (2.4.8)

e quindi|sinx| % |x| % |tanx| .

Le funzioni seno e tangente sono dispari, quindi sostituendo x con &x in queste disu-guaglianze tutti i membri che vi compaiono non cambiano; percio esse sono vere anche!x " ]&"/2, 0[ . Visto che in 0 vale l’uguaglianza, otteniamo la seconda delle seguenti,importantissime, disuguaglianze; la prima era stata dimostrata in precedenza:

!x "2

& "2,"

2

3

, 0 % 1& cosx % |x| , (2.4.9)

!x "2

&"

2,"

2

3

, | sinx| % |x| % | tanx| . (2.4.10)

Le funzioni circolari, in quanto periodiche, inversione delle

funzioni circolarinon sono iniettive e dunque non hanno

inversa. Tuttavia esse sono strettamente monotone in opportuni intervalli contenutinei rispettivi domini; e dunque le restrizioni a tali intervalli sono iniettive.

Piu precisamente, per ciascuna funzione g si sceglie una cosiddetta regione

fondamentaleregione fonda-

mentale, cioe un insieme B in cui la funzione sia iniettiva e tale che g(B) coincidacon l’immagine di g . In altri termini: una regione fondamentale per una funzione eun sottoinsieme proprio del dominio “abbastanza piccolo” perche la restrizione dellafunzione ad esso sia iniettiva, ma “abbastanza grande” perche tale restrizione assumatutti i valori della funzione data.

La scelta di una regione fondamentale e convenzionale; si e pero soliti scegliere,per la funzione seno, l’intervallo [&"/2,"/2] , in cui essa e strettamente crescente:la funzione inversa viene detta arcosenoarcoseno e si indica con arcsin ; essa e strettamentecrescente in [&1, 1] e ha come immagine l’intervallo [&"/2,"/2] (v. Fig. 2.4.12).

Per la funzione coseno si sceglie l’intervallo [0,"] , in cui essa e strettamente decre-scente: la funzione inversa viene detta arcocosenoarcocoseno e si indica con arccos ; essa e stret-tamente decrescente in [&1, 1] e ha come immagine l’intervallo [0,"] (v. Fig. 2.4.13).

Per la funzione tangente si sceglie l’intervallo aperto ]&"/2,"/2[ , in cui essae strettamente crescente: la funzione inversa viene detta arcotangentearcotangente e si indicacon arctan ; essa e strettamente crescente in R e ha come immagine l’intervallo]&"/2,"/2[ (v. Fig. 2.4.14).

Per la funzione cotangente si sceglie l’intervallo aperto ]0,"[ , in cui essa e stret-tamente decrescente: la funzione inversa viene detta arcocotangentearcocotangente e si indica conarccot ; essa e strettamente decrescente in R e ha come immagine l’intervallo ]0,"[(v. Fig. 2.4.15).

226 Capitolo 4. Continuita e limiti di funzioni c! 978-88-08-06255-0

Teor. 4.4.16, esiste limx$d

f13(x) = f13(d) = sin d , !d " R . Rimangono quindi da

considerare i limiti per x' +. e per x' &. . Sia (kn)n"Nla successione in R ,

definita da kn = (n+ 1/2)" ; e evidente che kn ' +. e che

f13(kn) = sin

&&

n+1

2

'

"

'

= (&1)n .

Poiche la successione!

(&1)n"

n"Nnon e regolare, non esiste lim

x$+%sinx . In modo

del tutto analogo, si mostra che non esiste nemmeno limx$&%

sinx .

(8) La funzione f14 e definita in R+ , che e un intervallo: ha senso chiedersi sene esiste il limite per x ' c , !c " [0,+.] . Sappiamo dal Teor. 4.3.6 che essa econtinua; pertanto, per il Teor. 4.4.16, esiste

limx$d

f14(x) = f14(d) =/d ,

!d " R+ . Rimane quindi da considerare solo il limite per x ' +. . Sia dunque(an)n"N

una successione in R+ , an ' +. . Si ha

f14(an) =/an ' +. ,

per il Teor. 1.7.1. Pertanto, esiste limx$+%

/x = +. .

(9) La funzione f15 e definita in R ; ha senso chiedersi se ne esiste il limite per

x' c , !c " R . Sappiamo dal Teor. 4.3.6 che essa e continua; pertanto, per ilTeor. 4.4.16, esiste lim

x$df15(x) = f15(d) = ed , !d " R . Rimangono quindi da

considerare i limiti per x' +. e per x' &. . Dalla disuguaglianza di Bernoulli(v. Es. 0.7.10) sappiamo che, !n " N , si ha en - (e & 1)n e quindi anche en - n .Sia dunque (an)n"N

una successione in R , an ' +. . Si ha, !n " N tali chean - 0 , e quindi definitivamente

ean - e[an] - [an] - an & 1 &&&&&'n$+%

+. .

Per il Teorema del carabiniere isolato 1.4.10, esiste allora limn$+%

ean = +. e quindi

esiste anche limx$+%

ex = +. . Sia ora (bn)n"Nuna successione in R , bn ' &. . Si

ha, !n " N ,

ebn =1

e&bn.

Poiche &bn ' +. , per quanto gia provato e&bn ' +. e quindi, per il Teor. 1.5.10,ebn ' 0 . Percio esiste lim

x$&%ex = 0 .

4.4.19. Esempio Esaminiamo la funzione potenza x (' xb . Sappiamo che essa e

continua nel suo dominio, qualunque sia b . Pertanto, limx$c

xb = cb se c e punto del

dominio. Rimangono da esaminare i casi seguenti.

(1) Se b " N# , i limiti per x' +. e per x' &. . Se (an)n"Ne una successione

che tende a +. , essa e definitivamente maggiore di 1 e quindi abn - an . DalTeorema del carabiniere isolato 1.4.10 otteniamo che anche abn ' +. e quindi esistelim

x$+%xb = +. .

Sia ora (cn)n"Nuna successione che tende a &. ; poiche cbn = (&1)b |cn|b defi-

nitivamente e |cn|b ' +. per quanto gia provato, allora esiste

limx$&%

xb =

,

+. , se b e pari,

&. , se b e dispari.

246 Capitolo 4. Continuita e limiti di funzioni c! 978-88-08-06255-0

considerato esiste ed e uguale a 0 . Infatti, posto

f1 : R' R , f1(y) = &y , g1 : R' R , g1(x) = |x|ba&x ,

si ha:

limy$&%

(&y) = +. , limx$+%

|x|ba&x = 0 ,

(g1 , f1) (y) = |y|bay .Infine la seconda ipotesi aggiuntiva del teorema citato e evidentemente verificata.Pertanto, si ha lim

y$&%|y|bay = 0 , il che equivale a ay = o

!

1/|y|b"

, per y ' &. ,

!b " R#+ e !a " ]1,+.[ .

Questo esempio ci mostra come un opportuno cambiamento di variabili, oltre allarisoluzione di molti altri problemi in matematica, consenta il calcolo di limiti.

(3) Lo studente mostri, utilizzando i risultati precedenti, che esistono i limiti

limx$+%

xbdx = 0 , limx$&%

dx

|x|b= +. ,

!b " R#+ e !d " ]0, 1[ .

(4) Confrontiamo ora logaritmi e potenze. Abbiamo visto che, in un confrontoall’infinito tra esponenziali e potenze, e l’esponenziale a prevalere. Poiche i loga-ritmi sono le funzioni inverse degli esponenziali, mentre l’inversa di una funzionepotenza e ancora una funzione potenza, e prevedibile che, questa volta, siano lepotenze a prevalere. Infatti il grafico di una funzione esponenziale e della corri-spondente funzione logaritmo sono simmetrici rispetto alla retta di equazione y = x(v. Fig. 2.3.6).

Siano a " ]1,+.[ e b " R#+ . Allora, esiste il limite

limx$+%

loga x

xb= 0 ,

in quanto, usando il cambiamento di variabile y = loga x , il limite considerato sitrasforma in

limy$+%

y

(ay)b=

1

blim

y$+%

by

aby= 0 .

Inoltre,

limx$0

xb loga x = 0 ,

in quanto, usando il cambiamento di variabile y = loga x , il limite considerato sitrasforma in

limy$&%

y (ay)b =1

blim

y$&%(by)aby = 0 .

Quanto ottenuto puo essere espresso dicendo che loga x = o!

xb"

per x ' +. ,

!a " ]1,+.[ e !b " R#+ e che loga x = o

!

1/xb"

, per x ' 0 , !a " ]1,+.[ e!b " R#

+ . Lo studente formuli gli analoghi risultato nel caso a " ]0, 1[ .

(5) La funzione y (' (1+y)1/y ha come dominio naturale ]&1,+.[\{0} . Pertantopossiamo chiederci se esiste lim

y$0(1+y)1/y . La successione

!

1/n"

n"N!ha i suoi termini

in ]&1,+.[ \ {0} ed e infinitesima; la sua trasformata tramite la funzione in esame

e!

(1 + 1/n)n"

n"N!, che converge a e ; pertanto, se esiste lim

y$0(1 + y)1/y , esso deve

essere uguale a e . La dimostrazione dell’e"ettiva esistenza di questo limite, anche se

286 Capitolo 5. Calcolo differenziale c! 978-88-08-06255-0

5.5.10. Osservazione Dal Teorema di Fermat segue che gli estremanti locali di

una funzione f (avente come dominio un intervallo I ) possono trovarsi tra:

• gli estremi di I appartenenti a I stesso;

• i punti interni a I in cui f non e derivabile;

• i punti interni a I in cui f e derivabile con derivata nulla.

Sottolineiamo che il Teorema di Fermat da una condizione solo necessaria per l’e-sistenza di un estremante locale: sotto opportune ipotesi, riguardanti la posizione delpunto c e la derivabilita di f , se c e un estremante locale per f , allora neces-sariamente f '(c) = 0 . L’annullarsi della derivata in un punto non e su!ciente perconcludere che tale punto e un estremante locale, come mostrano i seguenti esempi.

5.5.11. Esempio Consideriamo la funzione

f5 : R' R , f5(x) = x3 ,

gia considerata nell’Es. 5.4.5 con il nome di f4 (v. Fig. 5.4.2). Essa e derivabile,con f '

5(x) = 3x2 e quindi f '5(0) = 0 . Poiche f5(0) = 0 e in ogni intorno di 0 la

funzione f5 assume valori sia positivi che negativi, 0 non e estremante locale.

5.5.12. Esempio Consideriamo la funzione (v. Fig. 5.5.5)

f6 : R' R , f6(x) =

(

*

+

x2 sin1

x, se x *= 0 ,

0 , se x = 0 .

Studiamone la derivabilita in 0 , esaminandone il rapporto incrementale. Si ha

Rf6(x, 0) =x2 sin

1

xx

= x sin1

x&&&'x$0

0 ,

in quanto prodotto di una funzione infinitesima e di una limitata (v. Teor. 1.5.8).Percio esiste f '

6(0) = 0 . Pero, il punto 0 non e un estremante locale per f6 , perchein ogni intorno U di 0 la funzione f6 assume sia valori positivi che negativi. Poichela successione definita da

an =2

(2n+ 1)"

e infinitesima, an " U definitivamente; si ha inoltre

f6(an) =

&2

(2n+ 1)"

'2

sin

&&

n+1

2

'

"

'

= (&1)n&

2

(2n+ 1)"

'2

.

Enunciamo ora delle condizioni su!cienti per l’esistenza di un estremante locale.

5.5.13. Teorema (condizione su!ciente per l’esistenza di un estremante localecondizione

su!ciente perl’esistenza di un

estremante locale

).Siano I un intervallo di R , c " int I e f : I ' R .

(1) Se esistono a, b " I tali che a < c < b e f e crescente in [a, c] e decrescentein [c, b] , allora c e punto di massimo locale per f .

(2) Se esistono a, b " I tali che a < c < b e f e decrescente in [a, c] e crescentein [c, b] , allora c e punto di minimo locale per f .

Dimostrazione. Dimostriamo solo la (1); la dimostrazione di (2) e del tutto analoga.

Per ipotesi, se a % x % c si ha f(x) % f(c) , mentre se c % x % b , si haf(x) % f(c) . Scegliendo opportunamente # " R#

+ , e [c& #, c+ #] ) [a, b] , quindi ladisuguaglianza f(x) % f(c) vale !x " [c& #, c+ #] ; percio c e punto di massimolocale per f .


&1

1

3

f1

&1 1

&3

f2

&6

6

6

&6

f3

Figura 5.7.3

Alcune rette tangenti ai grafici delle funzioni f1 , f2 e f3 .

5.7.2. Definizione.funzione convessa,concava

Siano I un intervallo di R e f : I ' R derivabile;

• diciamo che f e convessa quando !c, x " I si ha

f(x) - f(c) + f '(c) (x & c) ; (5.7.1)

• diciamo che f e concava quando !c, x " I si ha

f(x) % f(c) + f '(c) (x & c) . (5.7.2)

Osserviamo che l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto!

c, f(c)"

e y = f(c)+ f '(c) (x& c) ; pertanto i due membri della (5.7.1) sono le ordinate di duepunti aventi ascissa x , il primo appartenente al grafico di f e il secondo appartenentealla retta tangente. Percio la condizione di convessita di f a"erma che, data unaqualunque tangente al grafico di f , essa si trova “al di sotto” del grafico stesso, nelsenso che dati due punti con la stessa ascissa, uno appartenente alla tangente e l’altroal grafico, l’ordinata di quello appartenente alla tangente e minore dell’ordinata diquello appartenente al grafico.

Evidentemente la condizione (5.7.2) a"erma il contrario: ogni retta tangente e “aldi sopra” del grafico della funzione.

Osserviamo che una funzione f e convessa se, e solo se, la funzione &f e concava.

Figura 5.7.4

Il grafico di una funzione convessa e “al disopra” di una retta tangente.Con g(x) = f(c) + f !(c)(x ! c) e indica-ta l’ordinata del punto di ascissa x appar-tenente alla retta tangente al grafico di fin

!

c, f(c)"

.c

f(c)

x

f(x)

, g(x)

5.7.3. Osservazione Questa definizione di funzione convessa e la piu adatta peri nostri scopi, ma non e quella piu usata. Solitamente la convessita viene definitarichiedendo che, dati due punti appartenenti al grafico della funzione, il segmentoavente come estremi tali punti sia “al di sopra” del grafico.

c! 978-88-08-06255-0 5.7. Derivata seconda e convessita 297

Per tradurre in termini analitici questo fatto, osserviamo che, dati due punti a e cnel dominio di una funzione f , la retta passante per i punti

!

a, f(a)"

e!

c, f(c)"

haequazione

y = f(a) +Rf (c, a)(x& a) ;

quindi la condizione geometrica enunciata si puo scrivere come: !a, b, c " I , cona < b < c , si ha

f(b) % f(a) +f(c)& f(a)

c& a(b& a) (5.7.3)

(v. Fig. 5.7.5). Visto che

f(a) +f(c)& f(a)

c& a(b& a) =

f(a)(c& a) +!

f(c)& f(a)"

(b& a)

c& a

=f(a)(c& b) + f(c)(b& a)

c& a,

la disuguaglianza (5.7.3) e equivalente a

f(b) % c& b

c& af(a) +

b& a

c& af(c) . (5.7.4)

a

f(a)

b

g(b)

f(b)

c

f(c)

Figura 5.7.5

Il grafico di una funzione convessa stacca suuna retta secante un segmento che e “al disopra” del grafico stesso.Con g(b) e indicata l’ordinata del punto diascissa b appartenente alla retta passanteper

!

a, f(a)"

e!

c, f(c)"

.

Si puo dimostrare che il fatto che (5.7.4) valga !a, b, c " I , con a < b < c eequivalente alla convessita, nel caso che f sia derivabile.

5.7.4. Esempio Consideriamo la funzione

f4 : R' R , f4(x) = x2 .

Verifichiamo che f4 e convessa. Poiche e derivabile e, !x " R , f '4(x) = 2x , si ha,

!c, x " R ,

f4(x)&!

f4(c) + f '4(c) (x& c)

"

= x2&!

c2 +2c(x& c)"

= x2& 2cx+ c2 = (x& c)2 - 0 ;

percio f4 e convessa.

La verifica diretta che, come suggerito dai ragionamenti precedenti, la funzione f1e convessa e la funzione f2 e concava e piuttosto complessa, come lo studente puoconstatare di persona. Il teorema seguente e un primo strumento utile per verificarein pratica la convessita di una funzione.

5.7.5. Teorema (test di convessita, prima forma). test di convessitaSiano I un intervallo di R ef : I ' R derivabile;


Si verifica facilmente che, !x " R+ , si ha f ''3 (x) > 0 e che f3(1) > 0 ; quindi,

scegliendo a0 = 1 , il metodo delle tangenti consente di costruire una successioneconvergente a 10&1 . I primi termini sono:

a0 = 1 a1 = 0.875 000 001 a2 = 0.765 625 004

a3 = 0.669 921 887 a4 = 0.586 181 672 a5 = 0.512 909 015

a6 = 0.448 795 522 a7 = 0.392 696 423 a8 = 0.343 610 238

a9 = 0.300 661 168 a10 = 0.263 084 150 a11 = 0.230 212 962

a12 = 0.201 472 817 a13 = 0.176 381 482 a14 = 0.154 569 160

a15 = 0.135 841 009 a16 = 0.120 325 397 a17 = 0.108 707 738

a18 = 0.102 086 929 a19 = 0.100 143 367 a20 = 0.100 000 716 .

Notiamo che questa successione converge abbastanza lentamente; ad esempio, andi"erisce dal limite meno di 10&1 solo quando n - 13 .

5.9. Derivate di ordine superiore e formula di Taylor

Nella Sezione 5.7 abbiamo definito la derivata seconda di una funzione; data unafunzione f derivabile 2 volte, e naturale chiedersi se f '' e a sua volta derivabile; incaso a"ermativo si puo proseguire cercando di derivare ulteriormente la funzione cosıottenuta ecc.

Chiamiamo allora derivata terza di f la derivata di f '' , derivata quarta la derivatadella derivata terza ecc. Formalizziamo quanto detto nella definizione seguente.

5.9.1. Definizione.funzione derivabilen volte, derivata

n -esima

Siano I un intervallo di R , f : I ' R , c " I en " N# \ { 1} . Supponiamo f derivabile n & 1 volte in I . Diciamo che fe derivabile n volte in c quando la funzione derivata (n & 1) -esima di f ederivabile in c . In tal caso, chiamiamo derivata n -esima di f (o derivata diordine n ) in c la derivata in c della funzione derivata (n& 1) -esima di f .

Per indicare la derivata n -esima si usano varie notazioni:

f (n)(c) (si legge “f n-esimo di c”),

Dnf(c) (si legge “di n f di c”),

dnf(x)

dxn

$$$$x=c

(si legge “di n f di x su di x n, calcolata in c”).

Nel caso in cui non sia necessario precisare in quale punto e calcolata la derivata, si

usano anche le notazioni f (n)(x) , Dnf(x) ednf(x)

dxn.

Confrontando queste notazioni con quelle relative alla derivata e alla derivata se-conda, osserviamo che la notazione f (n) ha preso il posto di f ' ed f '' ; la notazionecon gli apici non e pratica per indicare una derivata di ordine alto e si utilizza al mas-simo per la derivata terza. Facciamo notare che la derivata n -esima di una funzioneviene indicata mettendo l’ordine di derivazione all’esponente tra parentesi: attenzionea non confondersi con l’elevamento a potenza!

Per scrivere formule in modo compatto, si utilizza anche la notazione f (0) perindicare la funzione f stessa; la notazione e del tutto naturale perche si tratta dellafunzione derivata “ 0 volte”.

Se una funzione e derivabile n volte in ogni punto di un sottoinsieme A del suodominio, diciamo che essa e derivabile n volte in A ; se e derivabile n volte in ognipunto del suo dominio, diciamo solamente che essa e derivabile n volte.

362 Capitolo 6. Calcolo integrale c! 978-88-08-06255-0

Pertanto,

s(f2;$) =n.

i=1

1

1 +i

n

1

n=

n.

i=1

1

n+ i,

S(f2;$) =n.

i=1

1

1 +i& 1

n

1

n=

n.

i=1

1

n+ i& 1.

Con l’aiuto di un calcolatore, possiamo calcolare le somme inferiori e superioriconsiderate, per alcuni valori di n . I risultati, troncati alla sesta cifra decimale, sonoriportati nella Tab. 6.2.2.

Si ha

S(f2;$)& s(f2;$) =n.

i=1

&1

n+ i& 1& 1

n+ i

'

=

=1

n& 1

n+ 1+

1

n+ 1& 1

n+ 2+ · · ·& 1

2n& 1+

1

2n& 1& 1

2n=

=1

n& 1

2n=

1

2n&&&&&'n$+%

0 .

In questo caso, non e pero agevole dimostrare la convergenza di una delle successioniconsiderate.

Evidentemente, per ogni scomposizione $ , si ha

s(f ;$) % S(f ;$) .

L’interpretazione geometrica delle somme inferiori e superiori, nel caso delle funzionipositive, ci fa inoltre sospettare che ogni somma inferiore sia minore o uguale a ognisomma superiore, cioe che si abbia

!$1,$2 " #[a,b] , s(f ;$1) % S(f ;$2) .

In e"etti cio e vero. Chiediamoci innanzitutto che cosa accade se sira!namento diuna scomposizione

ra!na unascomposizione $ , cioe se si aggiungono ad essa uno o piu punti. Utilizzando il linguag-gio degli insiemi, diciamo che la scomposizione $# e piu fine della scomposizione $ ,se $ + $# .

Figura 6.3.2

Date le scomposizioni "1 = {0, 1/2, 1} e "2 =

{0, 1/3, 2/3, 1} dell’intervallo [0, 1] , la lorounione e piu fine di entrambe.

0 1

Uno sguardo alla Fig. 6.3.3 ci convince che, se $ + $# , allora S(f ;$) - S(f ;$#) .Analogamente, da $ + $# segue s(f ;$) % s(f ;$#) .

Date $1,$2 " #[a,b] , posto $ = $1 0 $2 , chiaramente $ e piu fine sia di $1 chedi $2 . Percio

s(f ;$1) % s(f ;$) % S(f ;$) % S(f ;$2) .

Abbiamo dunque il seguente risultato.

c! 978-88-08-06255-0 6.3. L’integrale di Riemann 363

xi xixi!1xi!1

Figura 6.3.3

Ra!nando la scomposizione dell’intervallo di definizione, le somme superiori diminuiscono(o al piu restano invariate).

6.3.5. Teorema. Sia f : [a, b]' R limitata; allora !$1,$2 " #[a,b] si ha

s(f ;$1) % S(f ;$2) .

Pertanto gli insiemi numerici delle somme inferiori e delle somme superiori sonoseparati (v. Def. 0.6.1), quindi

sup#

s(f ;$)$$ $ " #[a,b]

%

% inf#

S(f ;$)$$ $ " #[a,b]

%

.

A questo punto si possono presentare due eventualita:

(1) I due insiemi costituiti dalle somme inferiori e dalle somme superiori sono conti-gui, oltre che separati, cioe essi ammettono un unico elemento di separazione chee, al tempo stesso, l’estremo superiore delle somme inferiori e l’estremo inferioredelle somme superiori:

sup#

s(f ;$)$$ $ " #[a,b]

%

= inf#

S(f ;$)$$ $ " #[a,b]

%

.

Tenendo presente la caratterizzazione degli estremi di un insieme (v. Oss. 0.6.25),questo equivale a dire che

!! " R#+ , #$1,$2 " #[a,b] : S(f ;$1)& s(f ;$2) % ! .

(2) I due insiemi in esame non sono contigui:

sup#

s(f ;$)$$ $ " #[a,b]

%

< inf#

S(f ;$)$$ $ " #[a,b]

%

.

Nel primo caso, e molto ragionevole che il valore comune dell’estremo superiore dellesomme inferiori e dell’estremo inferiore delle somme superiori rappresenti qualcosa disignificativo e intrinseco per la funzione f , mentre nel secondo caso cosı non e.

Formuliamo pertanto la seguente definizione.

6.3.6. Definizione. funzione

integrabile,integrale

Sia f : [a, b] ' R limitata. Diciamo che f e integrabilesecondo Riemann (o, brevemente, integrabile) quando

sup#

s(f ;$)$$ $ " #[a,b]

%

= inf#

S(f ;$)$$ $ " #[a,b]

%

. (6.3.3)

In tal caso, chiamiamo integrale di f il numero reale definito dalla (6.3.3) e loindichiamo col simbolo

4 b

af(x) dx ,

che si legge “integrale da a a b di f di x in di x ”.


Per quanto riguarda l’origine storica del simbolo di integrale, rimandiamo al-l’Oss. 6.2.9.

La lettera usata per indicare lavariabiled’integrazione

variabile d’integrazione (si tratta dell’argomentodella funzione integranda, cioe della funzione che stiamo integrando) puo essere sceltaarbitrariamente tra quelle che non sono gia impegnate con altro significato; dunquele scritture

4 b

af(x) dx ,

4 b

af(t) dt ,

4 b

af(u) du ,

indicano tutte lo stesso numero. Si potrebbe addirittura scrivere

4 b

af , senza speci-

ficare alcun nome per la variabile d’integrazione; qualche Autore dice che si tratta diuna variabile muta.

6.3.7. Osservazione Se la funzione f e positiva, riprendiamo l’analogia geome-trica illustrata per le somme inferiori e superiori. Una proprieta fondamentale diqualunque misura di un insieme, ad esempio l’area di un poligono, e la monotonia: seA + B , allora Area(A) % Area(B) . Pertanto, se fosse possibile attribuire un’areaal sottografico di una funzione, questa dovrebbe essere un numero reale maggiore ouguale a ogni somma inferiore e minore o uguale a ogni somma superiore. Pertanto,se f e positiva e integrabile, l’unico numero reale candidato a individuare l’area delsuo sottografico e il suo integrale.

Una trattazione adeguata delle aree dei sottoinsiemi limitati del piano potra esseresvolta solo nell’ambito dello studio delle funzioni di piu variabili. Possiamo pero find’ora rilevare la di!colta che puo sorgere nel definire l’area di una regione limitata delpiano: se una funzione non negativa non e integrabile, quale numero reale e ragionevolechiamare area del suo sottografico? Vedremo, nell’Es. 6.3.10, che tali funzioni esistono.

6.3.8. Esempio Sia k " R e poniamo

f3 : [a, b]' R , f3(x) = k .

Con le notazione della Def. 6.3.2, !$ = { xi | i = 0, 1, . . . , n} " #[a,b] si ha:

S(f3;$) =n.

i=1

Ei (xi & xi&1) =n.

i=1

k(xi & xi&1) = k(b& a) ,

s(f3;$) =n.

i=1

ei (xi & xi&1) =n.

i=1

k(xi & xi&1) = k(b& a) .

Percio ogni funzione costante e integrabile e si ha

4 b

ak dx = k (b&a) . In particolare,

4 b

a0 dx = 0 ,

4 b

a1 dx = b& a .

6.3.9. Esempio Poniamo

f4 : [0, 2]' R , f4(x) = x .

Scomponiamo l’intervallo [0, 2] in n intervalli congruenti, mediante la scomposi-zione $n = { 2i/n | i = 0, 1, . . . , n} ; in questo caso, xi & xi&1 = 2/n , i =1, 2, . . . , n . Poiche f4 e strettamente crescente, con le notazioni della Def. 6.3.2si ha ei = f4(xi&1) e Ei = f4(xi) ; pertanto, usando la formula

5ni=1 i = n(n+1)/2

(v. Es. 0.7.6), si ha

s(f4;$n) =n.

i=1

2(i& 1)

n

2

n=

4

n2

n.

i=2

(i & 1) =4

n2

(n& 1)n

2= 2

n& 1

n&&&&&'n$+%

2 .


Dunque sup#

s(f4;$)$$ $ " #[0,2]

%

- 2 , in quanto 2 e l’estremo superiore della

successione crescente!

s(f4;$n)"

n"N!. Analogamente,

S(f4;$n) =n.

i=1

2i

n

2

n=

4

n2

n.

i=1

i =4

n2

(n+ 1)n

2= 2

n+ 1

n&&&&&'n$+%

2 ;

quindi inf#

S(f4;$)$$ $ " #[0,2]

%

% 2 , in quanto 2 e l’estremo inferiore della

successione decrescente!

S(f4;$n)"

n"N!. Allora

2 % sup#

s(f4;$)$$ $ " #[0,2]

%

% inf#

S(f4;$)$$ $ " #[0,2]

%

% 2 ;

ne segue che f4 e integrabile e il suo integrale vale 2 .

6.3.10. Esempio funzione nonintegrabile

Consideriamo la funzione (v. Es. 4.1.6-(11))

f5 : [0, 1]' R , f5(x) =

,

0 , se x /" Q ,

1 , se x " Q .

Dunque se x e razionale, f5 vale 1 , altrimenti vale 0 .

Abbiamo dimostrato (v. Teor. 0.7.14) che ogni intervallo aperto di R contieneinfiniti numeri irrazionali e infiniti razionali. Dunque !$ = { x0, x1, . . . xn} " #[0,1] ,si ha ei = 0 , Ei = 1 , per ogni i , e di conseguenza,

s(f5;$) =n.

i=1

ei (xi & xi&1) = 0 , S(f5;$) =n.

k=1

Ei (xi & xi&1) = 1 .

Gli insiemi delle somme inferiori e superiori sono ridotti, rispettivamente, a { 0}e { 1} : tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1 sono elementi di separazione tra diessi. Conclusione: f5 non e integrabile.

Si osservi che f5 e discontinua in ogni punto del suo dominio. Il suo sottografico eun “pettine per pidocchi”: esso e formato dal segmento di estremi (0, 0) e (1, 0) , cuisi aggiunge, per ogni punto di ascissa razionale, un segmento verticale di lunghezzaunitaria.

La Def. 6.3.6 a"erma che una funzione limitata f : [a, b] ' R e integrabile se, esolo se, gli insiemi numerici costituiti dalle somme inferiori e dalle somme superioridi f sono contigui. Cio significa che, !! " R#

+ , esistono una somma inferiore e unasomma superiore, siano s(f ;$1) e S(f ;$2) , tali che

S(f ;$2)& s(f ;$1) % ! .

D’altra parte, come sappiamo dalle considerazioni che precedono il Teor. 6.3.5, per lascomposizione $ = $1 0 $2 , piu fine di entrambe, abbiamo

s(f ;$1) % s(f ;$) % S(f ;$) % S(f ;$2) ,

e dunqueS(f ;$)& s(f ;$) % S(f ;$2)& s(f ;$1) % ! .

Possiamo a questo punto formulare una condizione necessaria e su!ciente a!ncheuna funzione limitata sia integrabile.

6.3.11. Teorema. condizione diintegrabilita di

Riemann

Sia f : [a, b]' R limitata; condizione necessaria e su!cientea!nche essa sia integrabile e che, !! " R#

+ , #$! " #[a,b] , dipendente da ! , taleche

S(f ;$!)& s(f ;$!) % ! .


Figura 6.3.4

Una funzione limitata e inte-grabile se, e solo se, il suo gra-fico puo essere ricoperto da unnumero finito di rettangoli coni lati paralleli agli assi coordi-nati, di area complessiva “arbi-trariamente piccola”.

a bxixi !1

[xi !1, xi ] [ei , Ei ]

6.3.12. Osservazione Poiche, !$ " #[a,b] , si ha

s(f ;$) %4 b

af(x) dx % S(f ;$) ,

se % " #[a,b] e tale che S(f ; %)& s(f ; %) % ! , allora si ha anche

s(f ; %) + ! -4 b

af(x) dx , S(f ; %)& ! %

4 b

af(x) dx .

Valgono le seguenti proprieta dell’integrale.

6.3.13. Teorema (di linearita dell’integrale).linearitadell’integrale

Siano f, g : [a, b]' R integrabili ek " R . Allora:

(1) f + g e integrabile e

4 b

a(f + g)(x) dx =

4 b

af(x) dx +

4 b

ag(x) dx ;

(2) kf e integrabile e

4 b

a(kf)(x) dx = k

4 b

af(x) dx .

Dimostrazione. Per dimostrare la linearita, premettiamo l’osservazione seguente.Si ha

!x " [a, b] , (f + g)(x) = f(x) + g(x) % sup f + sup g ;

pertanto,

sup(f + g) % sup f + sup g . (6.3.4)

Analogamente, si ha

inf(f + g) - inf f + inf g . (6.3.5)

Poiche f e g sono integrabili, per il Teor. 6.3.11, !! " R#+ , #$! " #[a,b] , tale che

S(f ;$!)& s(f ;$!) % ! , S(g;$!)& s(g;$!) % ! . (6.3.6)

Non e restrittivo considerare la stessa scomposizione per le due funzioni f e g : seavessimo due distinte scomposizioni, la loro unione sarebbe piu fine di entrambe e siadatterebbe tanto a f quanto a g . Per le (6.3.4) e (6.3.5), si ha allora

S(f + g;$!)& s(f + g;$!) % S(f ;$!) + S(g;$!)& s(f ;$!)& s(g;$!) % 2! .

Questo prova l’integrabilita di f + g .


Sia ora ! " R#+ ; se $! " #[a,b] e tale che per essa valga la (6.3.6), si ha:

4 b

a(f + g)(x) dx % S(f + g;$!) % S(f ;$!)+S(g;$!) %

4 b

af(x) dx+

4 b

ag(x) dx+2! ;

4 b

a(f + g)(x) dx - s(f + g;$!) - s(f ;$!) + s(g;$!) -

4 b

af(x) dx+

4 b

ag(x) dx& 2! .

Pertanto, !! " R#+ ,

&2! %4 b

a(f + g)(x) dx &

4 b

af(x) dx &

4 b

ag(x) dx % 2! .

Questo prova che l’integrale di una somma e uguale alla somma degli integrali.

Il punto (2) si dimostra in modo analogo.

6.3.14. Osservazione Si noti che nelle (6.3.4) e (6.3.5) non vale necessariamentel’uguaglianza; ad esempio, posto

f : [0, 1]' R , f(x) = x , g : [0, 1]' R , g(x) = 1& x ,

si ha!x " [0, 1] , (f + g)(x) = 1 ,

e quindi sup(f + g) = 1 ; pero, sup f + sup g = 1 + 1 = 2 > 1 .

6.3.15. Osservazione Il Teor. 6.3.13 implica che l’insieme delle funzioni integrabili

in [a, b] , munito delle operazioni di somma e di moltiplicazione per numeri reali, euno spazio vettoriale su R e che l’integrale e una trasformazione lineare da talespazio a R .

6.3.16. Teorema (di monotonia dell’integrale). monotoniadell’integrale

Siano f, g : [a, b]' R integrabili.Se, !x " [a, b] , si ha f(x) % g(x) , allora

4 b

af(x) dx %

4 b

ag(x) dx .

In particolare, se !x " [a, b] , si ha g(x) - 0 , allora

4 b

ag(x) dx - 0 .

Dimostrazione. Poiche, !x " [a, b] , abbiamo f(x) % g(x) , per ogni scomposizione$ = { x0, x1, . . . , xn} " #[a,b] , si ha

s(f ;$) =n.

i=1

!

inf f!

[xi&1, xi]""

(xi & xi&1) %

%n.

i=1

!

inf g!

[xi&1, xi]""

(xi & xi&1) = s(g;$) %4 b

ag(x) dx .

Ne consegue che

4 b

af(x) dx %

4 b

ag(x) dx , come si voleva.

6.3.17. Teorema (di additivita dell’integrale). additivitadell’integrale

Siano f : [a, b] ' R limitata ec " ]a, b[ . Allora f e integrabile se, e solo se, lo sono le restrizioni di f aisottointervalli [a, c] e [c, b] e, in tal caso, si ha

4 b

af(x) dx =

4 c

af(x) dx +

4 b

cf(x) dx .


Dimostrazione. Se % = { x0, x1, . . . , xn} " #[a,b] e tale che c " % , poniamo

%1 = % 1 [a, c] , %2 = % 1 [c, b] ;

si ha %1 " #[a,c] e %2 " #[c,b] e inoltre risulta

s(f ; %) = s0

f|[a,c] ; %11

+ s0

f|[c,b] ; %21

.

Stabilito questo, supponiamo che f sia integrabile; se ! " R#+ , sia $! " #[a,b] tale

che c " $! e S(f ;$!)&s(f ;$!) % ! . Allora, ricordando quanto precisato sopra, si ha:

S0

f|[a,c] ;$! 1 [a, c]1

& s0

f|[a,c] ;$! 1 [a, c]1

% S(f ;$!)& s(f ;$!) % ! ,

S0

f|[c,b] ;$! 1 [c, b]1

& s0

f|[c,b] ;$! 1 [c, b]1

% S(f ;$!)& s(f ;$!) % ! .

Questo prova, per il Teor. 6.3.11, che le restrizioni di f considerate sono integrabili.

Viceversa, supponiamo integrabili le due restrizioni; se ! " R#+ , siano $1,! " #[a,c]

e $2,! " #[c,b] , tali che

S(f ;$1,!)& s(f ;$1,!) % ! , S(f ;$2,!)& s(f ;$2,!) % ! .L’insieme $! = $1,! 0 $2,! e una scomposizione di [a, b] e si ha

S(f ;$!)& s(f ;$!) = S(f ;$1,!) + S(f ;$2,!)& s(f ;$1,!)& s(f ;$2,!) % 2! ;

questo prova, per il Teor. 6.3.11, che anche f e integrabile.

Si ha poi4 b

af(x) dx % s(f ;$!) + 2! = s(f ;$1,!) + s(f ;$2,!) + 2! %

%4 c

af(x) dx +

4 b

cf(x) dx + 2! .

Analogamente,4 b

af(x) dx - S(f ;$!)& 2! = S(f ;$1,!) + S(f ;$2,!)& 2! -

-4 c

af(x) dx +

4 b

cf(x) dx & 2! .

Ne consegue che, !! " R#+ , si ha

&2! %4 b

af(x) dx&

4 c

af(x) dx &

4 b

cf(x) dx % 2! ,

il che prova che l’integrale in tutto l’intervallo e uguale alla somma degli integrali neidue sottointervalli.

La proprieta di monotonia dell’integrale implica i due risultati seguenti.

6.3.18. Teorema (disuguaglianza triangolare per l’integrale).disuguaglianzatriangolare per

l’integrale

Sia f : [a, b] ' Rintegrabile. Allora anche |f | e integrabile e si ha

$$$$

4 b

af(x) dx

$$$$%4 b

a|f(x)| dx .

6.3.19. Osservazione Il nome del teorema deriva dall’omonima disuguaglianza per

le somme (v. Teor. 0.6.8), che a"erma che il valore assoluto di una somma e maggio-rato dalla somma dei valori assoluti. Questo risultato asserisce la stessa cosa, se sisostituiscono alle somme gli integrali.


Dimostrazione. Limitiamoci a dimostrare la disuguaglianza, ammettendo l’integra-bilita di |f | . Poiche, !x " [a, b] , si ha &|f(x)| % f(x) % |f(x)| (v. Teor. 0.6.6), peri Teoremi di linearita e di monotonia dell’integrale 6.3.13 e 6.3.16, si ha

&4 b

a|f(x)| dx =

4 b

a

!

& |f(x)|"

dx %4 b

af(x) dx %

4 b

a|f(x)| dx .

Posto & =

4 b

a|f(x)| dx " R+ , si ha dunque && %

4 b

af(x) dx % & , cioe, come

asserito,

$$$$

4 b

af(x) dx

$$$$% & .

6.3.20. Teorema (della media integrale). teorema dellamedia integrale

Sia f : [a, b]' R integrabile. Allora:

(1) inf f % 1

b& a

4 b

af(x) dx % sup f ;

(2) se f e continua, allora esiste c " [a, b] , tale che

1

b& a

4 b

af(x) dx = f(c) .

Dimostrazione. Proviamo (1). Poiche f e integrabile, essa e limitata; pertanto, fha estremi superiore e inferiore reali. Si ha allora, !x " [a, b] ,

inf f % f(x) % sup f ,

da cui segue, per il Teorema di monotonia dell’integrale 6.3.16,

inf f (b& a) =

4 b

ainf f dx %

4 b

af(x) dx %

4 b

asup f dx = sup f (b& a) ,

cioe

inf f % 1

b& a

4 b

af(x) dx % sup f .

Proviamo ora (2). Per i Teoremi dei valori intermedi 4.2.8 e di Weierstrass 4.2.13,l’immagine di f e un intervallo limitato e chiuso; tale intervallo e necessariamente[min f,max f ] . Da quanto gia dimostrato segue che

1

b& a

4 b

af(x) dx " [min f,max f ] ;

pertanto, esiste c " [a, b] , tale che1

b& a

4 b

af(x) dx = f(c) .

6.3.21. Osservazione Il numero reale

1

b& a

4 b

af(x) dx

viene detto media integralemedia integrale di f ; esso e il valore della funzione costante che haintegrale uguale a quello di f . Si veda, al riguardo, la Fig. 6.2.2.

Nel seguito risultera utile dare significato al simbolo

4 b

af(x) dx


non solo per a < b , ma anche quando b % a . Vogliamo fare in modo che, se f eintegrabile nell’intervallo I , si abbia l’uguaglianza

4 c

af(x) dx +

4 b

cf(x) dx =

4 b

af(x) dx , (6.3.7)

!a, b, c " I ; essa e stata stabilita nel Teorema di additivita dell’integrale 6.3.17, nelcaso a < c < b .

Se la (6.3.7) vale con c = a , deve risultare4 a

af(x) dx +

4 b

af(x) dx =

4 b

af(x) dx

e quindi poniamo4 a

af(x) dx = 0 .

Se poi nella (6.3.7) si sceglie a = b , si e condotti all’uguaglianza4 c

af(x) dx+

4 a

cf(x) dx =

4 a

af(x) dx = 0 ,

che e soddisfatta soltanto se si pone4 a

bf(x) dx = &

4 b

af(x) dx .

E utile la seguente definizione.

6.3.22. Definizione.funzionelocalmente

integrabile

Siano I un intervallo di R e f : I ' R . Diciamo che fe localmente integrabile se, !a, b " I , con a < b , f|[a,b] e integrabile.

6.3.23. Osservazione Sappiamo che le funzioni integrabili secondo Riemann sononecessariamente limitate; questo non vale, in generale, per le funzioni localmenteintegrabili. Infatti, la funzione identita su R , x (' x e sicuramente integrabile inogni intervallo limitato e chiuso [a, b] di R (si puo ragionare come fatto nell’Es. 6.3.9),ma evidentemente non e limitata.

Formalizziamo ora la definizione di integrale fra due numeri reali qualunque.

6.3.24. Definizione. Siano I un intervallo di R e f : I ' R localmenteintegrabile. Poniamo, se a, b " I , con a < b :

4 a

af(x) dx = 0 ,

4 a

bf(x) dx = &

4 b

af(x) dx .

Vale allora il risultato seguente.

6.3.25. Teorema (di additivita generalizzata).additivita

generalizzatadell’integrale

Siano I un intervallo di R ,f : I ' R localmente integrabile e a, b, c " I . Allora

4 c

af(x) dx +

4 b

cf(x) dx =

4 b

af(x) dx .

La dimostrazione di questo teorema e semplice, ma noiosa; si tratta di esaminaretutti i casi possibili, riconducendosi, tramite la Def. 6.3.24, al Teorema di additivitadell’integrale 6.3.17.


6.3.26. Osservazione Con la Def. 6.3.24 che abbiamo appena dato, i risultaticontenuti nel Teorema della media integrale 6.3.20 valgono anche se a > b , cioe:

inf f (b & a) %4 b

af(x) dx % sup f (b& a) ,

1

b& a

4 b

af(x) dx = f(c) ;

infatti, scambiando a con b tanto il numeratore quanto il denominatore della mediaintegrale cambiano segno.

Esponiamo ora un metodo molto comodo e, in qualche modo, alternativo di appros-simare l’integrale. Abbiamo visto che le somme inferiori e superiori di un’assegnatafunzione integrabile f : [a, b]' R costituiscono delle approssimazioni, rispettivamen-te per difetto e per eccesso, dell’integrale di f . Possiamo procedere anche in un altromodo per approssimare tale integrale; fissata, come in precedenza, una scomposizio-ne $ = { x0, x1, . . . , xn} dell’intervallo [a, b] , scegliamo un punto ad arbitrio ci inciascuno degli intervalli [xi&1, xi] individuati dalla scomposizione $ ,

ci " [xi&1, xi] , i = 1, 2, . . . , n , (6.3.8)

e “campioniamo” la funzione f in tale punto, cioe scegliamo il valore f(ci) come rap-presentante dei valori che la funzione stessa assume nell’intervallo [xi&1, xi] . Questosuggerisce di considerare la somma

n.

i=1

f(ci) (xi & x&1)

come approssimazione dell’integrale

4 b

af(x) dx .

a b

xc

ixi !1

i Figura 6.3.5

La somma di Riemann si puo inter-pretare come somma algebrica del-le aree (con segno) dei rettango-li aventi base xi ! xi"1 e altez-za f(ci) .

6.3.27. Definizione. somma diRiemann

Sia f : [a, b]' R limitata. Se $ = { x0, . . . , xn} " #[a,b] euna scomposizione dell’intervallo [a, b] , indichiamo con c($) una n -pla di punti(c1, c2, . . . , cn) che verifica la (6.3.8); chiamiamo somma di Riemann di f , relativaalla scomposizione $ e alla scelta di punti c($) , il numero reale

SR

!

f ; $, c($)"

=n.

i=1

f(ci) (xi & xi&1) . (6.3.9)

Si osservi che, detti, come al solito, ei ed Ei gli estremi della restrizione di fall’intervallo [xi&1, xi] , si ha

ei % f(ci) % Ei , i = 1, 2, . . . , n ,


da cui, moltiplicando tutti i membri per (xi&xi&1) e sommando rispetto all’indice i ,otteniamo

s(f ;$) % SR

!

f ;$, c($)"

% S(f ;$) . (6.3.10)

A parole: fissata la scomposizione $ , ogni somma di Riemann ad essa relativaappartiene all’intervallo [s(f ;$), S(f ;$)] .

Se f e integrabile, in virtu del Teor. 6.3.11, !! " R#+ esiste una scomposizione $!

per cuiS(f ;$!)& s(f ;$!) % ! . (6.3.11)

Dalle (6.3.10) e (6.3.11) segue allora che ogni somma di Riemann relativa alla scom-posizione $! approssima l’integrale a meno di ! , cioe

!c($!) ,$$$$SR

!

f ;$!, c($!)"

&4 b

af(x) dx

$$$$% ! . (6.3.12)

Infatti, per l’Oss. 6.3.12, si ha4 b

af(x) dx& ! % s(f ;$!) % SR

!

f ;$!, c($!)"

% S(f ;$!) %4 b

af(x) dx + ! ,

che equivale alla (6.3.12).

Si osservi che se si ra!na la scomposizione $! , cioe si passa da $! a $# , con$! + $# , la (6.3.12) vale a maggior ragione, in quanto l’intervallo [s(f ;$#), S(f ;$#)]e contenuto in [s(f ;$!), S(f ;$!)] .

Fissiamo il risultato ottenuto.

6.3.28. Teorema. Sia f : [a, b] ' R integrabile; allora, !! " R#+ , esiste una

scomposizione $! " #[a,b] per cui si ha$$$$SR

!

f ; $!, c($!)"

&4 b

af(x) dx

$$$$% ! ,

per ogni scelta di punti c($!) . La stessa relazione vale per ogni scomposizione $#

piu fine di $! .

Una proprieta interessante delle somme di Riemann consiste nel fatto che ciascunadi esse e lineare rispetto alla funzione integranda, vale a dire se f1 e f2 sono duefunzioni integrabili e d1, d2 " R , si ha

SR

!

d1 f1 + d2 f2; $, c($)"

= d1 SR

!

f1; $, c($)"

+ d2 SR

!

f2; $, c($)"

,

per la semplice ragione che!

d1 f1 + d2 f2"

(ci) = d1 f1(ci) + d2 f2(ci) .

6.4. Quali funzioni sono integrabili?

Nella Sezione precedente abbiamo definito l’integrale di Riemann e ne abbiamo sta-bilito le prime proprieta. Abbiamo anche dimostrato una condizione necessaria esu!ciente di integrabilita (v. Teor. 6.3.11); tale condizione e tuttavia di di!cile ap-plicazione a casi concreti. In questa Sezione esponiamo alcune condizioni su!cienti,utilizzabili anche in pratica, a!nche una funzione sia integrabile.

Una prima classe di funzioni integrabili e quella delle funzioni monotone.

6.4.1. Teorema (integrabilita delle funzioni monotone).integrabilita delle

funzioni monotoneSia f : [a, b]' R ; se f

e monotona, allora essa e integrabile.

c! 978-88-08-06255-0 6.4. Quali funzioni sono integrabili? 373

Dimostrazione. Supponiamo, per fissare le idee, f crescente. Se n " N# \ { 1} ,consideriamo la scomposizione $n = { x0, x1, . . . , xn} , tale che

xi & xi&1 =b& a

n, i = 1, 2, . . . , n ;

allora, risulta ei = f(xi&1) , Ei = f(xi) . Dunque,

S(f ;$n)& s(f ;$n) =n.

i=1

!

f(xi)& f(xi&1)"b & a

n=

=b& a

n

!

f(x1)& f(x0) + f(x2)& f(x1) + · · ·+ f(xn)& f(xn&1)"

=

=b& a

n

!

f(b)& f(a)"

;

l’ultimo membro puo rendersi arbitrariamente piccolo, a patto di scegliere n conve-nientemente grande, quindi f e integrabile (v. Teor. 6.3.11).

Osserviamo che, se si combina il teorema precedente con il Teorema di additivitadell’integrale 6.3.17, si ottiene l’integrabilita di ogni funzione che sia monotona atratti nell’intervallo [a, b] , nel senso che esiste una scomposizione { x0, x1, . . . , xn}dell’intervallo stesso tale che sia monotona la restrizione di f a ogni sottointerval-lo [xi&1, xi] .

Passiamo a considerare le funzioni continue.

6.4.2. Teorema. integrabilita dellefunzioni continue

Sia f : [a, b]' R ; se f e continua, allora essa e integrabile.

Dimostrazione. Per il Teorema di Heine-Cantor 4.2.29, !! " R#+ esiste una scom-

posizione $! =#

x0, x1, . . . , xn(!)

%

, tale che in ciascun sottointervallo [xi&1, xi] siha Ei & ei % ! . Allora

S(f ;$!)& s(f ;$!) =

n(!).

i=1

(Ei & ei) (xi & xi&1) % !n(!).

i=1

(xi & xi&1) = !(b& a) ;

data l’arbitrarieta di ! , f e integrabile (v. Teor. 6.3.11).

a b

"f(a)

f(b)

a b"

Figura 6.4.1

Integrabilita delle funzioni continue (a sinistra) e integrabilita delle funzioni monotone (adestra). In entrambi i casi il grafico di f puo essere ricoperto con l’unione di un numerofinito di rettangoli di area complessiva “arbitrariamente piccola”.


Vogliamo ora indicare una classe di funzioni discontinue e integrabili, che com-prende le funzioni continue a tratti (v. Def. 4.7.6). Cominciamo col seguente risultatopreliminare.

6.4.3. Teorema. Sia f : [a, b] ' R limitata; se f e localmente integrabilein ]a, b[ , allora essa e integrabile.

Dimostrazione. Poiche f e limitata, essa ha estremi superiore e inferiore reali. Sia! " R#

+ . Scegliamo a1, b1 " ]a, b[ , tali che a1 < b1 e che

(sup f & inf f) (a1 & a) % ! , (sup f & inf f) (b& b1) % ! .

Poiche f e localmente integrabile in ]a, b[ , essa e integrabile in [a1, b1] e quindi esiste$ " #[a1,b1] , tale che

S0

f|[a1,b1],$1

& s0

f|[a1,b1],$1

% ! .

Posto % = $ 0 { a, b} , % e una scomposizione di [a, b] e si ha

S(f ; %)& s(f ; %) =!

sup f!

[a, a1]"

& inf f!

[a, a1]""

(a1 & a) +

+ S0

f|[a1,b1];$1

& s0

f|[a1,b1];$1

+!

sup f!

[b1, b]"

& inf f!

[b1, b]""

(b& b1) %

% (sup f & inf f) (a1 & a) + !+ (sup f & inf f) (b& b1) % 3! .

Per l’arbitrarieta di ! , f e integrabile.

Possiamo ora dimostrare il risultato annunciato.

6.4.4. Teorema. Sia f : [a, b]' R limitata; se f e continua, a eccezione di uninsieme finito di punti, allora essa e integrabile.

Dimostrazione. Siano c1, c2, . . . , cp i punti di discontinuita di f , con

a % c1 < c2 < · · · < cp % b .

Se i " { 2, . . . , p} , f e continua in ]ci&1, ci[ e quindi e localmente integrabile in taleintervallo; inoltre essa e limitata in [ci&1, ci] . Cio vale anche relativamente agli inter-valli [a, c1] e [cp, b] , qualora non risultino degeneri. Per il Teor. 6.4.3, f e integrabilein ciascuno degli intervalli [a, c1] , [cp, b] e [ci&1, ci] , con i = 2, 3, . . . , p . Dal Teoremadi additivita dell’integrale 6.3.17 segue che f e integrabile anche in [a, b] .

Il seguente risultato e un caso particolare del precedente.

6.4.5. Teorema. Sia f : [a, b]' R ; se f " PC!

[a, b] ,R"

(v. Def. 4.7.10), alloraessa e integrabile.

Concludiamo questa Sezione con un risultato importante per gli integrali di funzionidiscontinue.

6.4.6. Teorema. Siano f, g : [a, b] ' R ; se f e integrabile e l’insieme{ x " [a, b] | f(x) *= g(x)} e finito, allora anche g e integrabile e risulta

4 b

af(x) dx =

4 b

ag(x) dx .

c! 978-88-08-06255-0 6.5. I teoremi fondamentali del calcolo integrale 375

Dimostrazione. La dimostrazione dell’integrabilita di g e del tutto analoga alladimostrazione del Teor. 6.4.3.

Proviamo che gli integrali di f e di g sono uguali, nel caso in cui queste funzionidi"eriscano solo in a . Il caso generale si tratta con un ragionamento analogo. Sia! " R#

+ ; allora esiste $ = { x0, x1, . . . , xn} " #[a,b] , tale che

4 b

af(x) dx - S(f ;$)& ! ,

4 b

ag(x) dx - S(g;$)& ! .

Poiche f e g sono limitate, possiamo scegliere a1 " ]a, x1[ , tale che!

sup |f |+ sup |g|"

(a1 & a) % ! .

Posto $1 = $0{ a1} " #[a,b] , $1 e piu fine di $ . Poiche i contributi alle somme su-periori di f e g sono uguali in tutti gli intervalli individuati dalla scomposizione $1 ,a eccezione di quello relativo all’intervallo [a, a1] , si ha

4 b

af(x) dx &

4 b

ag(x) dx % S(f ;$1)& S(g;$1) + ! =

=0

sup!

f!

[a, a1]""

& sup!

g!

[a, a1]""1

(a1 & a) + ! %

%!

sup |f |+ sup |g|"

(a1 & a) + ! % 2! ;

scambiando il ruolo di f e di g , otteniamo4 b

ag(x) dx&

4 b

af(x) dx % 2!

e quindi$$$$

4 b

af(x) dx &

4 b

ag(x) dx

$$$$% 2! ,

che, per l’arbitrarieta di ! , prova l’a"ermazione.

6.5. I teoremi fondamentali del calcolo integrale

Nelle precedenti Sezioni abbiamo definito in modo rigoroso il concetto di integrale,abbiamo stabilito l’integrabilita di ampie classi di funzioni e abbiamo anche calcolato

l’integrale di alcune funzioni particolarmente semplici. E chiaro, tuttavia, che di!cil-mente si possono usare i metodi fin qui mostrati su esempi piu complessi. In questaSezione vogliamo mostrare un legame insospettato e profondo tra il calcolo integralee il calcolo di"erenziale: ne scaturira anche uno strumento potente per il calcolo dinumerosi integrali.

Vale infatti il risultato seguente, la cui importanza e indicata dal nome stesso.

6.5.1. Teorema (primo teorema fondamentale del calcolo integrale). primo teoremafondamentale delcalcolo integrale

Sia f " C1!

[a, b] ,R"

(v. Def. 5.9.2). Allora

4 b

af '(x) dx = f(b)& f(a) .

Dimostrazione.2 Poiche, per ipotesi, f " C1!

[a, b] ,R"

, la funzione derivata f '

e continua. Se $ = { x0, x1, . . . , xn} " #[a,b] , applicando il Teorema di Lagran-ge 5.6.2 a ciascuno degli intervalli [xi&1, xi] , otteniamo che esiste una scelta di punti

2Gli studenti che hanno studiato la Sezione 6.2 vedano la dimostrazione successiva.


c($) = (c1, c2, . . . , cn) , con ci " [xi&1, xi] , per cui

f(b)& f(a) =n.

i=1

!

f(xi)& f(xi&1)"

=n.

i=1

f '(ci)(xi & xi&1) .

L’ultima somma scritta e una somma di Riemann per la funzione continua f ' ; per-tanto, !! " R#

+ , #$! " #[a,b] , tale che, qualunque sia la scelta di punti c($!) si abbia$$$$

4 b

af '(x) dx & SR

!

f ';$!, c($!)"$$$$% ! .

Ne consegue che, !! " R#+ , si ha$$$$

4 b

af '(x) dx &

!

f(b)& f(a)"$$$$% ! .

Per l’arbitrarieta di ! , il teorema e dimostrato.

Dimostrazione.3 Poiche, per ipotesi, f " C1!

[a, b] ,R"

, la funzione derivata f ' econtinua. Se $n = { x0, x1, . . . , xn} e la suddivisione di [a, b] in n intervalli con-gruenti, applicando il Teorema di Lagrange 5.6.2 a ciascuno degli intervalli [xi&1, xi] ,otteniamo che esiste una scelta di punti (c1, c2, . . . , cn) , con ci " [xi&1, xi] , per cui

f(b)& f(a) =n.

i=1

!

f(xi)& f(xi&1)"

=n.

i=1

f '(ci)(xi & xi&1) = SR(f ; c1, c2, . . . , cn) .

Quindi, con questa scelta di punti, la successione!

SR(f '; c1, c2, . . . , cn)"

n"N!e co-

stante, percio ogni termine coincide con il limite della successione, cioe !n " N# , si ha

SR(f '; c1, c2, . . . , cn) =

4 b

af '(x) dx . Cio prova che f(b)& f(a) =

4 b

af '(x) dx .

Di solito ci si trova pero di fronte all’integrale di una funzione assegnata e nonall’integrale della derivata di una funzione nota. Si pone quindi naturalmente il pro-blema di risalire a una funzione di cui si conosca la funzione derivata. Risulta pertantoopportuno formulare la definizione seguente.

6.5.2. Definizione.primitiva Siano I un intervallo di R , oppure l’unione di un numerofinito di intervalli disgiunti, e f : I ' R . Diciamo che la funzione F : I ' R euna primitiva di f se F e derivabile e

!x " I , F '(x) = f(x) .

In breve: una primitiva di f e una funzione F derivabile, che ha f come funzionederivata; F e continua in quanto derivabile.

La Tabella 5.3.1, che contiene le derivate delle funzioni elementari, ci fornisce ancheun certo numero di primitive: basta leggerla “a rovescio”, cioe considerando come datele funzioni che compaiono nella colonna delle derivate.

Si noti che abbiamo detto “una” primitiva della funzione f e non “la” primiti-va: e chiaro infatti che, se F e una primitiva di f , anche ciascuna delle funzionix (' F (x) + c , !c " R , e una primitiva di f , in quanto la derivata di una funzionecostante e nulla. Ad esempio, x (' x2/2 + 3 e x (' x2/2 & 2 sono primitive dellafunzione identita, al pari di x (' x2/2 .

Ma noi sappiamo anche che, in base al Teorema sulle funzioni a derivata nul-la 5.4.10, se una funzione, definita in un intervallo, ha derivata ovunque nulla, allora

3Questa e la versione della dimostrazione del Teor. 6.5.1 per gli studenti che hanno studiato laSezione 6.2.


6.5.8. Esempio Poiche la funzione

F5 : R' R , F5(x) =x3

3,

e una primitiva della funzione

f5 : R' R , f5(x) = x2 ,

si ha, se a " R#+ ,

4 a

0x2 dx =

6x3

3

7a

0

=a3

3.

A questo punto ci chiediamo: sotto quali condizioni possiamo essere certi che unafunzione f sia dotata di primitive?

Nella restante parte di questa Sezione vogliamo dimostrare che, se I e un intervallodi R e f " C(I,R) , allora essa e dotata di primitive.

Cominciamo con un esempio ispirato dalla Fisica.

6.5.9. Esempio Nell’Es. 6.1.1 abbiamo visto come lo strumento per determinarelo spazio percorso da un punto materiale in un intervallo assegnato di tempo, notala velocita in ogni istante, coincida con la procedura successivamente utilizzata perdefinire l’integrale. Poniamoci ora il problema di ricostruire la legge del moto di unpunto materiale a partire dalla velocita.

Supponiamo quindi di conoscere, !t " [0, b] , la velocita v(t) all’istante t e laposizione s0 occupata all’istante iniziale 0 . Poiche lo spostamento all’istante t e

4 t

0v(%) d% ,

la corrispondente posizione del punto e

s(t) = s0 +

4 t

0v(%) d% . (6.5.2)

D’altra parte, dalla definizione di velocita otteniamo s'(t) = v(t) , !t " [0, b] , il chefa ipotizzare che

d

dt

4 t

0v(%) d% = v(t) ,

cioe la funzione V , definita da V (t) =

4 t

0v(%) d% , ottenuta considerando variabile

il secondo estremo di integrazione, ha come derivata la funzione integranda v .

L’esempio precedente lascia intravvedere un interessante risultato: se integriamouna funzione tra un estremo fisso e uno variabile t , otteniamo una funzione di t lacui derivata restituisce la funzione da cui siamo partiti.

Generalizziamo le considerazioni precedenti.

6.5.10. Definizione. funzione integraleSiano I un intervallo di R , f : I ' R , localmente inte-grabile4 e a " I . Chiamiamo funzione integrale di f la funzione

F : I ' R , F (x) =

4 x

af(t) dt .

4Gli studenti che hanno studiato la Sezione 6.2 sostituiscano qui, e nel seguito della Sezione, gliaggettivi “integrabile” e “localmente integrabile” con l’aggettivo “continua”.


Ovviamente la funzione F cosı definita dipende anche dalla scelta di a ; tuttaviail punto a , una volta scelto, restera fisso in tutto il discorso. D’altra parte, vediamoche cosa accade se operiamo una diversa scelta del punto iniziale d’integrazione, cheindichiamo con b . Avremmo allora la funzione integrale G , per cui, per il Teoremadi additivita generalizzata 6.2.21 o 6.3.25,

G(x) =

4 x

bf(t) dt =

4 a

bf(t) dt+

4 x

af(t) dt = F (x) +

4 a

bf(t) dt ;

dunque, la nuova funzione integrale G e uguale alla funzione integrale F , a meno diuna costante additiva.

Il risultato seguente e noto come Teorema fondamentale del calcolo integrale, op-pure come Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale; oltre a mettere inevidenza il legame strettissimo esistente fra calcolo di"erenziale e integrale, esso con-sente di a"ermare che ogni funzione continua e dotata di primitive, fornendone ancheun’espressione “esplicita”.

6.5.11. Teorema (secondo teorema fondamentale del calcolo integrale5).secondo teoremafondamentale del

calcolo integrale

Siano Iun intervallo di R , f : I ' R localmente integrabile e a " I ; consideriamo lafunzione integrale

F : I ' R , F (x) =

4 x

af(t) dt .

Allora:

(1) F e continua;

(2) se c " I e f e continua in c , allora F e derivabile in c e si ha F '(c) = f(c) ;

(3) se f " C(I,R) , allora F e una primitiva di f .

Dimostrazione. Supponiamo c " int I e sia K intorno di c , con K + I . Allo-ra f|K e limitata, perche essa e integrabile in K . Se x " K \ { c} , si ha, per il

Teorema di additivita generalizzata 6.3.25 e il Teorema della media integrale 6.3.20,

|F (x)& F (c)| =$$$$

4 x

af(t) dt&

4 c

af(t) dt

$$$$=

$$$$

4 x

af(t) dt+

4 a

cf(t) dt

$$$$=

=

$$$$

4 x

cf(t) dt

$$$$% sup

!

|f |(K)"

|x& c| &&&'x$c

0 .

Questo prova che F e continua in c . Il caso in cui c sia un estremo di I si trattain modo analogo, con modifiche solo formali.

Supponiamo ora f continua in c ; ragionando come sopra, si ha, se x " I \ { c} ,

F (x) & F (c)

x& c=

1

x& c

&4 x

af(t) dt&

4 c

af(t) dt

'

=1

x& c

4 x

cf(t) dt . (6.5.3)

Se Ix e l’intervallo di estremi c e x , dal Teorema della media integrale 6.3.20 si ha

inf!

f(Ix)"

% 1

x& c

4 x

cf(t) dt % sup

!

f(Ix)"

;

la continuita di f in c assicura che

!! " R#+ , ##! " R#

+ : !y " I , tali che |y & c| % #! , si ha |f(y)& f(c)| % ! .

Ne consegue che, se |x& c| % #! , allora

f(c)& ! % inf!

f(Ix)"

% sup!

f(Ix)"

% f(c) + ! ;

5Gli studenti che hanno studiato la Sezione 6.2 leggano il successivo Teor. 6.5.11-bis.


percio si ha anche$$$$

1

x& c

4 x

cf(t) dt& f(c)

$$$$% ! .

Dalla (6.5.3) segue che F e derivabile in c e che F '(c) = f(c) .

Se poi f " C(I,R) , allora, per quanto gia provato, si ha che F e derivabile in x ,!x " I , e F '(x) = f(x) , cioe F e una primitiva di f .

0 1 2 3 4 5

0.5

1

0 1 2 3 4 5

0.5

1

Figura 6.5.3

La funzione integrale F della funzione f mostrata a sinistra e la “rampa unitaria” relativaall’intervallo [1, 3] . Si tratta di una funzione continua in R , nulla per x # 1 , polinomialedi grado 1 in [1, 3] , uguale a 1 per x $ 3 . Per ogni x % R , diverso da 1 e da 3 , si haF !(x) = f(x) .

6.5.11-bis. Teorema secondo teoremafondamentale delcalcolo integrale

(secondo teorema fondamentale del calcolo integrale6). Sia-no I un intervallo di R , f " C(I,R) e a " I . Consideriamo la funzione integrale

F : I ' R , F (x) =

4 x

af(t) dt ;

allora F e una primitiva di f .

Dimostrazione. Sia c " I e consideriamo il rapporto incrementale di F in c . Peril Teorema di additivita generalizzata 6.2.21 si ha

F (x)& F (c)

x& c=

4 x

af(t) dt&

4 c

af(t) dt

x& c=

4 x

af(t) dt+

4 a

cf(t) dt

x& c=

4 x

cf(t) dt

x& c.

Per il Teorema della media integrale 6.2.18, esiste un punto kx appartenente all’in-tervallo di estremi c e x , tale che

F (x) & F (c)

x& c= f(kx) ;

la continuita di f in c assicura che

!! " R#+ , ##! " R#

+ : !y " I , tali che |y & c| % #! , si ha |f(y)& f(c)| % ! .

Se |x& c| % #! , allora anche |kx & c| % #! ; percio$$$$

F (x)& F (c)

x& c& f(c)

$$$$= |f(kx)& f(c)| % ! .

6Questa e la versione del Teor. 6.5.11 per gli studenti che hanno studiato la Sezione 6.2.


Se si confronta con la (6.7.7) si constata che il risultato e del tutto simile, salvo che ildenominatore e raddoppiato: 24 in luogo di 12 . Al pari della formula dei trapezi, laformula del punto medio fornisce dunque un metodo del secondo ordine (per h' 0 )per l’approssimazione dell’integrale di f ; cio significa che, se si dimezza h , l’erroresi divide per 4 , se si riduce h di un fattore 10 , l’errore si riduce di un fattore 100e cosı via.

Possiamo anche utilizzare polinomi di secondo grado per l’approssimazione della

funzione integranda f . E conveniente suddividere l’intervallo [a, b] in un numeropari, sia 2n , di intervalli di ugual ampiezza, dunque porre

h =b& a

2n, x0 = a , xi = xi&1 + h = x0 + i · h , i = 1, 2, . . . , 2n .

Risulta dunque x2n = b . In ognuno degli n intervalli “doppi” [x2i&2, x2i] possiamosostituire f con il polinomio di secondo grado pi che interpola f stessa nei trepunti x2i&2 , x2i&1 , x2i .

Esaminiamo, ad esempio, il primo intervallo [x0, x2] ; utilizzando la formula d’in-terpolazione di Lagrange (v. Teor. 6.7.1), in base al fatto che x1& x0 = x2 & x1 = h ,x2 & x0 = 2h , si trova

L0(x) =1

2h2(x& x1)(x& x2) , L1(x) =

&1h2

(x & x0)(x & x2) ,

L2(x) =1

2h2(x& x0)(x& x1) ;

ricordando che fi = f(xi) , si ha

p1(x) =1

2h2

!

f0 (x& x1)(x& x2)& 2f1 (x& x0)(x& x2) + f2 (x& x0)(x& x1)"

.

Per l’integrale di p1 si trova allora, con qualche calcolo,4 x2

x0

p1(x) dx =h

3(f0 + 4f1 + f2) . (6.7.10)

Infatti si ha4 x2

x0

(x& x1)(x& x2) dx =

4 x2

x0

(x& x0)(x & x1) dx =2h3

3,

mentre4 x2

x0

(x& x0)(x& x2) dx = & 4h3

3.

A titolo di esercizio, calcoliamo il primo integrale. Integrando per parti, si ha4 x2

x0

(x& x1)(x& x2) dx =

61

2(x& x1)(x & x2)

2

7x2

x0

& 1

2

4 x2

x0

(x& x2)2 dx =

=1

2h (2h)2 & 1

6(2h)3 =

2

3h3 .

Se si scrivono le formule analoghe alla (6.7.10) per ciascuno dei restanti interval-li [x2i&2, x2i] e se ne fa la somma per i da 1 a n , si ottiene il seguente valoreapprossimato per l’integrale di f in [a, b] :

S(f ;h) =h

3(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + . . .+ 2f2n&2 + 4f2n&1 + f2n) .formula di

Simpson(6.7.11)

Abbiamo ottenuto la cosiddetta formula di Simpson, dal nome dell’inglese ThomasSimpson (1710-1761).

c! 978-88-08-06255-0 7.7. Proprieta algebriche delle serie 443

10 20 30 40 50 60 70

1

0 10 20 30 40 50 60 70

0.5

1

Figura 7.6.1

I primi 70 termini della serie armonica

a termini di segno alterno (sopra) e lecorrispondenti somme parziali (sotto).

7.7.1. Esempio Siano cn = 1/n2 & 1/n e dn = 1/n ; allora, la serie somma

+%.

n=1

(cn + dn) =+%.

n=1

1

n2

e convergente. Le due serie5+%

n=1 cn e5+%

n=1 dn non sono invece convergenti: laseconda perche e la serie armonica, mentre la prima e a termini non positivi e risultacn 2 &1/n , per n ' +. ; allora, per il Criterio del confronto asintotico 7.5.7, essanon converge.

Questo inconveniente non accade se le due serie hanno tutti i termini non negativi;infatti, in tal caso, si ha 0 % an % an + bn ; per il Criterio del confronto 7.5.4 la serie5+%

n=0 an converge. Analogo ragionamento si puo fare per l’altra serie.

Un altro problema interessante riguarda la proprieta commutativa delle serie, cioeci chiediamo se, modificando l’ordine dei termini di una serie convergente, la nuovaserie e ancora convergente e ha la stessa somma della serie precedente. La risposta eovviamente positiva nel caso banale in cui tutti i termini della serie di posto maggioredi un numero naturale fisso p , mantengono la loro posizione.

Per dare una risposta in generale, deve essere pero chiaro che cosa si intenda percommutativita delle serie. Cominciamo con una definizione.

7.7.2. Definizione. Chiamiamo permutazione in N una qualunque funzione

biunivoca di N su se stesso, cioe g e una permutazione in N se g : N su&&'1-1

N .

Vale allora il seguente risultato.

7.7.3. Teorema. Sia5+%

n=0 an una serie in R . Se essa e assolutamente con-

vergente e g e una permutazione in N , allora anche la serie5+%

n=0 ag(n) e

452 Capitolo 8. Equazioni differenziali lineari c! 978-88-08-06255-0

E importante considerare equazioni in forma normale, poiche per queste valgonorisultati di carattere generale, mentre per le altre bisogna sempre tener conto dellaparticolare forma del termine che contiene la derivata di ordine piu elevato. Si pensial caso dell’equazione (8.1.3), che per t = 0 si riduce a y(0) = 1 .

Finora non abbiamo detto esplicitamente che cosa sia una soluzione di un’equazionedi"erenziale; rinviando alle Sezioni successive per le definizioni formali, limitiamocia dire, ad esempio, che una soluzione dell’equazione (8.1.2) e una funzione v diclasse C1 , tale che

v(t)!

v'(t)"2

+ sin t+ ev(t) = 0 ,

per tutti i t appartenenti a un intervallo di R , cioe v e soluzione quando, sostituitaalla funzione incognita nell’equazione, trasforma questa in una identita.

E opportuno tenere presente che il piu delle volte un’equazione di"erenziale possie-de infinite soluzioni (oppure nessuna!); e pertanto spesso di grande importanza a!an-care all’equazione delle condizioni aggiuntive, che consentano di selezionare un’unicasoluzione fra le infinite possibili.

Segnaliamo che lo studente ha gia incontrato equazioni di"erenziali: ecco dueesempi.

8.1.1. Esempio Sia f : R' R e consideriamo l’equazione di"erenziale

y' = f(t) ; (8.1.5)

vogliamo determinare le funzioni la cui derivata e uguale a una funzione nota. Si trat-ta della ricerca delle primitive di f , che abbiamo studiato nel Capitolo 6. Sappiamoche tale equazione di"erenziale puo non avere soluzioni (v. Oss. 6.5.13) oppure, se fe continua, averne infinite, per il Secondo Teorema fondamentale del calcolo integra-le 6.5.11. In quest’ultimo caso, possiamo selezionare una soluzione richiedendo cheessa assuma, in un punto t0 " R , il valore assegnato y0 . Ad esempio, se f(t) = sin t ,le soluzioni dell’equazione di"erenziale (8.1.5) sono le funzioni t (' & cos t+ c , dovec " R e qualunque. Aggiungendo la condizione y(") = 3 , otteniamo

3 = & cos" + c = 1 + c ,

da cui ricaviamo c = 2 ; pertanto l’unica soluzione dell’equazione di"erenziale cheverifica la condizione aggiuntiva e la funzione t (' 2& cos t .

8.1.2. Esempio Esaminiamo ora un esempio di origine fisica; come lo studente bensa, se un punto materiale di massa m , che si puo muovere solo su una retta, e soggettoall’azione di una forza F , la Seconda Legge della Dinamica asserisce che il punto simuove soddisfacendo l’equazione

F = ma , (8.1.6)

dove a indica l’accelerazione del punto materiale. Se x(t) e la legge del moto delpunto, cioe la funzione che ne indica la posizione al variare del tempo, allora l’acce-lerazione all’istante t e la derivata seconda della funzione x nel punto t ; pertanto,possiamo riscrivere la (8.1.6) nella forma

F = mx'' . (8.1.7)

La massa m e, almeno in meccanica non relativistica, una costante positiva, mentrela forza e una funzione. Da che cosa dipende la forza? Di solito dalla posizione delpunto materiale cui e applicata, in alcuni casi anche dalla velocita del punto (si pensiagli attriti o alla forza di Lorentz) e, nei casi piu realistici, anche dal tempo. Pertanto,esplicitando la dipendenza da queste grandezze, possiamo scrivere la (8.1.7) in formanormale nel modo seguente

x'' =1

mF (t, x, x') ,

480 Capitolo 8. Equazioni differenziali lineari c! 978-88-08-06255-0

perche sinh(2t) e cosh(2t) sono linearmente indipendenti. Questo sistema ha l’u-nica soluzione (A,B) = (1/15, 2/15) e quindi l’integrale generale della non omoge-nea e

8

t (' c1et + c2 cos t+ c3 sin t+

1

15sinh(2t) +

2

15cosh(2t)

$$$$c1, c2, c3 " R

9

.

Risolviamo il problema di Cauchy

(

)))*

)))+

y''' & y'' + y' & y = sinh(2t) ,

y(0) = 1 ,

y'(0) = &1 ,y''(0) = 0 .

(8.4.15)

Imponendo le condizioni iniziali nell’integrale generale, otteniamo il sistema

(

)))))*

)))))+

c1 + c2 +2

15= 1 ,

c1 + c3 +2

15= &1 ,

c1 & c2 +8

15= 0 ,

la cui soluzione e (c1, c2, c3) = (1/6, 7/10,& 13/10) ; pertanto, la soluzione del pro-blema di Cauchy (8.4.15) e

z1 : R' R , z1(t) =1

6et +

7

10cos t& 13

10sin t+

1

15sinh(2t) +

2

15cosh(2t) .

8.5. Soluzioni complesse di equazioni di!erenziali

Nella dimostrazione del Teor. 8.3.2 abbiamo utilizzato delle funzioni complesse pertrattare il caso in cui l’equazione caratteristica ha discriminante negativo. Questosuggerisce che sia possibile e, in alcuni casi, piu naturale trattare equazioni di"erenzialilineari per funzioni a valori complessi.

Procediamo in modo contrario a quanto fatto nelle Sezioni precedenti, cioe enun-ciamo dapprima i risultati generali, entrando poi nel dettaglio per i casi particolaripiu interessanti.

Siano I un intervallo di R e a0, a1, . . . , an&1, f " C(I,C) . Consideriamo l’equa-zione di"erenziale a coe!cienti complessi

y(n) +n&1.

k=0

ak(t) y(k) = f(t) (8.5.1)

e l’equazione omogenea associata

y(n) +n&1.

k=0

ak(t) y(k) = 0 . (8.5.2)

Chiamiamo soluzione dell’equazione di"erenziale (8.5.1) una funzione v " Cn(I,C) ,tale che, !t " I ,

v(n)(t) +n&1.

k=0

ak(t) v(k)(t) = f(t) .

Elenco dei simboli

I simboli sono elencati nell’ordine in cui compaiono nel testo.

" appartenenza, 1

) inclusione, 2

+ inclusione propria, 2

N insieme dei numeri naturali, 2, 42

3 insieme vuoto, 3

0 unione, 3

1 intersezione, 3

\ di"erenza di insiemi, 3

" complementare, 3

(a, b) coppia ordinata, 5

A$B prodotto cartesiano, 5

An prodotto cartesiano di A per se stesson volte, 6

¬ negazione, 6

4 congiunzione, 7

5 disgiunzione, 7

=6 implicazione, 7

76 equivalenza, 8

! quantificatore universale, 9

# quantificatore esistenziale, 9

#! esiste un solo, 9

N# insieme dei numeri naturali positivi, 10

f : X ' Y funzione da X a Y , 22

f(A) immagine di A mediante f , 22

dom dominio di una funzione, 22

im immagine di una funzione, 22

f : Xsu&' Y funzione da X a Y suriettiva, 23

f : X &&'1-1

Y funzione da X a Y iniettiva, 27

R insieme dei numeri reali, 30

R# insieme dei numeri reali non nulli, 33

R+ insieme dei numeri reali non negativi, 33

R#+ insieme dei numeri reali positivi, 33

R& insieme dei numeri reali non positivi, 33

R#& insieme dei numeri reali negativi, 33

[x] parte intera, 39

n! fattoriale, 43

Z insieme dei numeri interi, 48

Q insieme dei numeri razionali, 48

Z# insieme dei numeri interi non nulli, 48

Z& insieme dei numeri interi non positivi,48

Z#& insieme dei numeri interi negativi, 48

Q# insieme dei numeri razionali non nulli,48

Q+ insieme dei numeri razionali nonnegativi, 48

Q#+ insieme dei numeri razionali positivi, 48

Q& insieme dei numeri razionali nonpositivi, 48

Q#& insieme dei numeri razionali negativi, 48&n

k

'

coe!ciente binomiale, 56

(an)n"Nsuccessione, 59

R insieme esteso dei numeri reali, 68

o(kn) o piccolo, 88

an 2 bn equivalenza di successioni, 91

[a, b] intervallo limitato e chiuso, 114

[a, b[ intervallo limitato, chiuso a sinistra eaperto a destra, 115

]a, b] intervallo limitato, aperto a sinistra echiuso a destra, 115

]a, b[ intervallo limitato e aperto, 115

484 Elenco dei simboli c! 978-88-08-06255-0

[a,+.[ intervallo chiuso, superiormenteillimitato e inferiormente limitato, 115

]a,+.[ intervallo aperto, superiormenteillimitato e inferiormente limitato, 115

]&., b] intervallo chiuso, inferiormenteillimitato e superiormente limitato, 115

]&., b[ intervallo aperto, inferiormenteillimitato e superiormente limitato, 115

int interno di un intervallo, 116

C insieme dei numeri complessi, 162

C# insieme dei numeri complessi non nulli,164

Re parte reale, 166

Im coe!ciente dell’immaginario, 166

z# complesso coniugato, 166

Arg argomento principale, 175

C(A,R) insieme delle funzioni da A a Rcontinue, 196

o!

g(x)"

o piccolo, 232

f(x) 2 g(x) equivalenza di funzioni, 233

PC(I,R) insieme delle funzioni da I a Rcontinue a tratti, 240

C(A,C) insieme delle funzioni da A a Ccontinue, 252

Rf (d, c) rapporto incrementale, 262

f '(x) derivata di f , 263

Df(x) derivata di f , 263

df(x)

dxderivata di f , 263

f (n)(x) derivata n -esima di f , 310

Dnf(x) derivata n -esima di f , 310

dnf(x)

dxnderivata n -esima di f , 310

Cn(I,R) insieme delle funzioni da I a Rderivabili n volte con continuita, 311

C%(I,R) insieme delle funzioni da I a Rindefinitamente derivabili, 311

Tc,n(x) polinomio di Taylor, 314

Cn(I,C) insieme delle funzioni da I a Cderivabili n volte con continuita, 346

$f sottografico di f , 349

SR(f ; c1, c2, . . . , cn) somma di Riemann, 3514 b

af(x) dx integrale definito, 355, 363

#[a,b] insieme delle scomposizioni di [a, b] ,360

S(f ;$) somma superiore, 360

s(f ;$) somma inferiore, 360

SR

!

f ; $, c($)"

somma di Riemann, 371:

F (x);b

aincremento da a a b di F , 378

4

f(x) dx integrale indefinito, 383

5+%n=0 an serie, 430

W (y1, y2) determinante wronskiano, 463

Alfabeto greco

A & alfa I ' iota P (, ) ro

B * beta K ! kappa # $ sigma

$ + gamma % , lambda T % tau

& # delta M µ mi ' - ipsilon

E ! epsilon N . ni ( /,0 fi

Z 1 zeta ) 2 xi X 3 chi

H 4 eta O o omicron * 5 psi

+ 6,7 teta , " pi - 8 omega

Indice analitico

C non e un campo ordinato, 167Q— e denso in R , 49— e numerabile, 52— non e completo, 48R— e completo, 33— non e numerabile, 53R \Q e denso in R , 49Z e numerabile, 52

Aadditivita— dell’integrale, 356, 367— generalizzata dell’integrale, 358, 370antiperiodo, 105argomento— di un numero complesso, 171— di una funzione, 20— principale, 175asintoto, 336— obliquo, 336— orizzontale, 336— verticale, 337asse— immaginario, 166— reale, 166assioma, 13— di completezza, 33assiomi— dei numeri reali, 31— di campo, 32— di ordine, 32

Ccambiamento di base del logaritmo, 139caratterizzazione— degli estremi, 41— della continuita, 202— delle funzioni derivabili, 264circonferenza goniometrica, 141classe di equivalenza, 17codominio, 22coe!ciente— binomiale, 56— dell’immaginario, 166— direttivo, 184

combinazione, 54concetto primitivo, 13condizione— di integrabilita di Riemann, 365— necessaria, 11— — e su!ciente, 12— — per l’esistenza di un punto di flesso, 302— — per la convergenza di una serie, 431— su!ciente, 11— — per l’esistenza di un estremante locale, 286,

287, 304— — per l’esistenza di un punto di flesso, 302congiunzione, 6coniugato, 166coordinata, 5coordinate polari, 172coppia ordinata, 5costante di lipschitzianita, 212criterio— del confronto, 419, 433— — asintotico, 420, 435— del rapporto, 110, 435— — asintotico, 436— della radice asintotico, 437— di Abel-Dirichlet, 449— di Leibniz, 441— integrale, 438

Ddecomposizione in frazioni parziali, 394definitivamente, 69definizione, 11— per induzione, 42derivata, 263, 343— n -esima, 310— seconda, 299determinante wronskiano, 464di"erenza di insiemi, 3dimostrazione, 11— per assurdo, 13— per induzione, 43disgiunzione, 6disposizione— con ripetizioni, 54— semplice, 54disuguaglianza— di Bernoulli, 47

486 Indice analitico c! 978-88-08-06255-0

— triangolare, 36, 168— — per l’integrale, 357, 368, 411divisione, 32dominio, 20— naturale, 117

Eelemento, 1enunciato, 11equazione— caratteristica, 461— di secondo grado, 133— — in campo complesso, 178— di"erenziale— — a derivate parziali, 451— — in forma normale, 451— — lineare, 453— — lineare del primo ordine, 455— — lineare del secondo ordine, 460— — lineare di ordine n , 477— — ordinaria, 451— omogenea associata, 461equivalenza, 8esiste, 9— unico, 9esistenza— della radice n -esima complessa, 177— e unicita della radice n -esima, 38esponenziale complesso, 180estremante locale, 282estremo— inferiore, 41— — di una funzione, 122— — di una successione, 71— locale, 282— superiore, 41— — di una funzione, 122— — di una successione, 71

Ffattoriale, 43forma— algebrica, 166— di indecisione, 87— indeterminata, 87— — del tipo 0/0 , 327— — del tipo &/& , 327— polare, 169— trigonometrica, 172formula— dei trapezi, 405— del binomio, 57— del punto medio, 406— di de Moivre, 172— di Simpson, 408— di Taylor, 315— — col resto nella forma di Lagrange, 316— — col resto nella forma di Peano, 315formule

— di addizione, 147— di bisezione, 147— di duplicazione, 147— di Eulero, 171frase aperta, 9funzione, 19, 20— arcocoseno, 151— — iperbolico, 159— arcocotangente, 151— — iperbolica, 159— arcoseno, 151— — iperbolico, 159— arcotangente, 151— — iperbolica, 159— assolutamente integrabile in senso generalizzato,

422, 428— biunivoca, 29— caratteristica, 121— complessa— — continua, 252— — derivabile, 343— — di una variabile reale, 250— — integrabile, 410— composta, 24— concava, 296— continua, 196— — a tratti, 239, 240— — in un insieme, 196— — in un punto, 195— convergente, 222— convessa, 296— coseno, 143— — iperbolico, 155— cotangente, 149— — iperbolica, 158— crescente, 124— decrescente, 124— derivabile— — 2 volte, 299— — n volte, 310— — in un insieme, 263— — in un punto, 263— derivata, 263— — seconda, 299— di classe— — C# , 311— — Cn , 311, 346— di Dirichlet, 197— di Heaviside, 194— discontinua in un punto, 195— dispari, 129— divergente, 222— esponenziale, 136— — immaginaria, 171— gaussiana, 383— identita, 26— illimitata, 122— indefinitamente derivabile, 311— inferiormente

c! 978-88-08-06255-0 Indice analitico 487

— — illimitata, 122— — limitata, 122— infinitesima, 222— iniettiva, 27— integrabile— — elementarmente, 383— — in senso generalizzato, 413, 415, 416, 427— — secondo Riemann, 363— integrale, 379— integralseno, 423— integranda, 355, 364— inversa, 27— limitata, 122— lipschitziana, 212— localmente— — integrabile, 370— — trascurabile, 232— logaritmo, 137— monotona, 124— non integrabile, 365— pari, 129— parte intera, 126— periodica, 130— polinomiale, 133— potenza, 140— prodotto, 121— quoziente, 121— segno, 118— seno, 143— — iperbolico, 155— somma, 121— strettamente— — crescente, 125— — decrescente, 125— — monotona, 125— superiormente— — illimitata, 122— — limitata, 122— suriettiva, 23— tangente, 148— — iperbolica, 157— uniformemente continua, 211funzioni— circolari inverse, 151— elementari, 133— iperboliche inverse, 159— localmente equivalenti, 233

Ggrado sessagesimale, 145grafico di una funzione, 21, 119

Iimmagine, 22— della funzione esponenziale, 180implicazione, 7iniettivita delle funzioni strettamente monotone, 127insieme, 1— complementare, 3

— con n elementi, 50— dei numeri complessi, 162— dei termini, 70— delle parti, 3— esteso dei numeri reali, 68— finito, 50— illimitato, 40— — inferiormente, 40— — superiormente, 40— induttivo, 42— infinito, 50— limitato, 40— — inferiormente, 40— — in C , 190— — superiormente, 40— numerabile, 51— ordinato, 18— periodico, 129— potenza, 3— quoziente, 17— simmetrico rispetto all’origine, 129— vuoto, 2insiemi— disgiunti, 3— equipotenti, 50— separati, 33integrale, 363— definito, 383— di una funzione— — continua, 355— — illimitata, 416— generale di un’equazione di"erenziale, 455, 460,

477— generalizzato, 414— indefinito, 383interno di un intervallo, 116interpolazione polinomiale, 403intersezione, 3intervallo, 114— aperto, 116— degenere, 114— di R , 116— forato, 116intorno— di +& , 222— di !& , 222— di un numero complesso, 254— di un numero reale, 201ipotesi, 11— induttiva, 43

Llegge— degli esponenti, 134— di annullamento del prodotto, 33leggi di De Morgan, 4limite— da destra, 236— da sinistra, 236


— delle successioni esponenziali, 77— di una funzione, 221— — complessa, 254— di una successione, 64, 65— — complessa, 189— unilatero, 236linearita dell’integrale, 356, 366logaritmo— di un numero reale positivo, 138— naturale, 140— principale, 181

Mmaggiorante, 40massimo, 39— assoluto, 283— di una funzione, 122— locale, 282— tra due numeri reali, 34media— aritmetica, 45— integrale, 357, 369metodo— del secondo ordine, 406— della riduzione dell’ordine, 476— della variazione delle costanti, 462— delle tangenti, 306, 406— di Newton, 306minorante, 40minimo, 39— assoluto, 283— di una funzione, 122— locale, 282modulo, 167molteplicita di uno zero, 185monotonia— dell’integrale, 356, 367— della funzione potenza, 141— di coseno e seno, 147

Nnegazione, 6numeri— interi, 30— irrazionali, 30— naturali, 30— razionali, 30numero— ! , 41, 142— e , 108— immaginario puro, 166— successivo, 42

Oo piccolo, 88, 232operatore di"erenziale, 457, 461operazioni, 30— in R , 82— sulle successioni, 79

Pparabola osculatrice, 313parte— intera, 39— negativa, 359— positiva, 359— reale, 166per ogni, 9periodicita— della funzione esponenziale, 180— di un insieme, 129periodo, 105permutazione, 55piano di Gauss, 169polinomio— coniugato, 187— di Maclaurin, 315— di Taylor, 314potenza— con esponente— — intero, 134— — naturale, 134— — razionale, 135— — reale, 135— di un insieme, 6primitiva, 376principio— di identita dei polinomi, 186— di induzione, 43problema— di Cauchy, 455— di interpolazione, 402prodotto cartesiano, 5progressione aritmetica, 60prolungamento di una funzione, 24proposizione, 6proposizioni equivalenti, 6proprieta— algebriche delle funzioni continue, 214— del coniugato, 166— del modulo, 168— del valore assoluto, 36— della funzione— — coseno, 147— — coseno iperbolico, 157— — cotangente, 149— — cotangente iperbolica, 158— — esponenziale, 136— — logaritmo, 138— — seno, 147— — seno iperbolico, 157— — tangente, 149— — tangente iperbolica, 158— delle disuguaglianze, 34— delle operazioni, 33— delle radici, 38— valida definitivamente, 69punto— di discontinuita di prima specie, 238

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— di flesso, 301— di massimo, 123— — locale, 282— — locale forte, 282— di minimo, 123— — locale, 282— — locale forte, 282— interno, 115

Qquantificatore— esistenziale, 9— universale, 9

Rradiante, 145radice n -esima, 38— complessa, 176radici n -esime dell’unita, 177ra!namento di una scomposizione, 362rapporto incrementale, 262rappresentazione decimale dei numeri reali, 102regione fondamentale, 151regola— dei segni, 34— di Ru!ni-Horner, 184relazione, 15— antisimmetrica, 17— d’ordine, 17— — in R , 70— — totale, 18— di appartenenza, 1— di equivalenza, 16— fondamentale— — fra coseno e seno, 146— — fra coseno iperbolico e seno iperbolico, 156— in un insieme, 15— riflessiva, 15— simmetrica, 16— transitiva, 16resto della formula di Taylor, 315restrizione di una funzione, 24retta tangente, 265

Sscelta di punti, 354, 371scomposizione— di un intervallo, 360— piu fine, 362serie, 430— a termini— — di segno alterno, 441— — non negativi, 432— — positivi, 432— armonica— — a termini di segno alterno, 442— — generalizzata, 430, 434— — semplice, 430— assolutamente convergente, 440

— complessa, 446— — assolutamente convergente, 447— — convergente, 446— — non regolare, 446— convergente, 430— divergente, 430— esponenziale, 437— geometrica, 101, 429, 446— in C , 446— non regolare, 430— semplicemente convergente, 440significato geometrico del rapporto incrementale, 262simbolo— di integrale, 355— di prodotto, 45— di somma, 45singoletto, 2sistema monometrico, 119soluzione di un’equazione di"erenziale lineare— del primo ordine, 455— del secondo ordine, 460— di ordine n , 477somma— della serie, 430, 446— di Riemann, 354, 371— inferiore, 360— parziale, 429, 430, 446— superiore, 360sottografico, 349sottoinsieme, 2— proprio, 2sottrazione, 32successione, 59— complessa, 188— — limitata, 190— convergente, 66, 189— crescente, 96— decrescente, 96— divergente, 68— esponenziale, 75— illimitata, 71— inferiormente— — illimitata, 71— — limitata, 71— infinitesima, 63— limitata, 71— monotona, 96— prodotto, 79— quoziente, 79— reale, 60— regolare, 69— somma, 79— strettamente— — crescente, 100— — decrescente, 100— — monotona, 100— superiormente— — illimitata, 71— — limitata, 71


— tendente— — a +& , 68— — a !& , 68— trascurabile, 88— trasformata tramite una funzione, 193successioni equivalenti, 91suddivisione di un intervallo, 354

Tteorema, 11— degli incrementi finiti, 294— — per funzioni complesse, 345— degli zeri, 204— dei due carabinieri, 74, 229— dei valori intermedi, 207— del carabiniere isolato, 75— del confronto, 72— del valor medio, 290— della media integrale, 357, 369— della permanenza del segno, 74— — per funzioni continue, 203— di banalita— — degli integrali generalizzati complessi, 428— — dei limiti delle funzioni complesse, 254— — dei limiti delle successioni complesse, 191— — della continuita delle funzioni complesse, 253— — della derivabilita delle funzioni complesse, 344— — delle serie complesse, 447— di de L’Hopital— — forma 0/0 , 327— — forma &/& , 328— di Fermat, 284— di Heine-Cantor, 213— di integrabilita— — delle funzioni continue, 373— — delle funzioni monotone, 372— di integrazione— — per parti, 386— — per parti negli integrali generalizzati, 426— — per sostituzione, 389— di Lagrange, 290— di localita— — dei limiti, 228— — della continuita, 201— di regolarita delle serie a termini non negativi, 433— di Rolle, 289— di unicita del limite, 66, 72, 227— di Viete, 187— di Weierstrass, 209— fondamentale

— — del calcolo integrale, primo, 375, 377— — del calcolo integrale, secondo, 380, 381— — dell’algebra, 182— sui limiti— — delle funzioni monotone, 237— — delle successioni monotone, 98— sul limite— — del prodotto, 83— — della composizione, 230— — della funzione derivata, 291— — della somma, 82— — di una restrizione, 228— sull’algebra delle derivate, 270— sulla continuita— — della composizione, 215— — della composizione delle funzioni complesse,

253— — della funzione inversa, 216— — delle funzioni derivabili, 267— sulla derivata— — della composizione, 272, 343— — della funzione inversa, 274— sulla limitatezza delle successioni regolari, 71— sulle funzioni a derivata nulla, 281termine— di una serie, 430, 446— di una successione, 59— successivo, 60tesi, 11test— di convessita, 297, 299— di monotonia, 279— — stretta, 280triangolo aritmetico, 57

Uunicita di massimo e minimo, 39unione, 3unita immaginaria, 165

Vvalore— assoluto, 35, 36— di una funzione, 20variabile d’integrazione, 355, 364

Zzero— di un polinomio, 182— di una funzione, 304

20 Capitolo 0. Insiemi, funzioni, numeri...

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