Teoria degli insiemi
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1
LA TEORIA DEGLI INSIEMI
OPERAZIONI TRA INSIEMI
IntersezioneUnione DifferenzaProdotto cartesiano
2
3
5 4
6 8
7
A = {4, 5, 6, 7,8}
A = {x x N e 4 x 8}
Rappresentazioni di insiemi
Tabulare o per elencazione
Grafica o diagrammi di Eulero – Venn
Caratteristica
INSIEME INTERSEZIONE
Dati due insiemi, A e B, si chiama intersezione l’insieme degli elementi comuni sia ad A sia a B.
BΑ
A B
A B = {x x A e x B}
Con i diagrammi di Eulero-Venn
.1 .2 .34. 5.
A B
Dati gli insiemi A 1;2;3;4 e B 3;4;5 ,
l'intersezione tra A e B è data
dal seguente insieme
A B 3;4
Il simbolo è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A intersezione B”.
Autore: A
ngela T. G
allo
INSIEME DISGIUNTI
Se due insiemi A e B non hanno elementi in comune si dicono disgiunti.
BA
A BInsieme differenza
SI DICE UNIONE DI DUE INSIEMI A E B L’INSIEME DEGLI ELEMENTI APPARTENENTI AD A O A B. CIOÈ L’INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE APPARTENGONO AD ALMENO UNO DEGLI INSIEMI DATI
BA
Insieme unione
BA
A
B
A B = {x x A o x B}Il simbolo è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si legge“A unione B”
INSIEME UNIONE
Con i diagrammi di Eulero-Venn
.1 .3 .46. 2.
A B
A 1;3;4;6 e B 2;4;6 ,
l'unione tra A e B è data dal seguente insieme
A B 1;2;3;4;6
U
INSIEME DIFFERENZASi dice differenza fra l'A e B considerati nell’ordine, l’insieme , che indicheremo con A-B, costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.
Si definisce differenza complementare fra l’insieme U e il suo sottoinsieme A, l’insieme degli elementi che stanno in U ma non in A
A B
A
BxAx/xB-A
A-B
U-ASi ha, per definizione:
U – A = {x x U e x A}
10
Dati ad esempio i due insiemiU = {1,2,3,4,5,6,7,8} e A = {2,4,6,8}, il complementare di A è dato dal seguente
insieme:
.1 .3
.5
U.7
.8 .4 .2 .6
U - A = {1,3,5,7}
A è un sottoinsieme di U:A U
11
N Z Q R C
Insiemi e sottoinsiemi
della teoria dei numeri:
PRODOTTO CARTESIANODati due insiemi A e B non vuoti, si
chiama prodotto cartesiano di A x B, l’insieme di tutte le coppie ordinate (x;y), dove x appartiene ad A e y appartiene a B ByAxyxBA ,/);
;1 ; ;2 ; ;3 ; ;1 ; ;2 ; ;3A B a a a b b b
;A a b1;2;3B
E
Le operazioni di unione ed intersezione fra gli insiemi godono delle seguenti proprietà:
EE EFFE
PROPRIETÀ COMMUTATIVA DELL’UNIONEEFFE PROPRIETÀ COMMUTATIVA
DELL’INTERSEZIONEEEE
PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA DELL’UNIONEEEE
PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA DELL’INTERSEZIONE
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELL’UNIONE RISPETTO ALL’INTERSEZIONE
HEFEHFE
HFEHFE
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA DELL’INTERSEZIONE
15 Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplementA C
Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplement A
niproposizio tranedisgiunzio di Simbolo
niproposizio tranecongiunzio di Simbolo
che Tale /
vuotoInsieme
insiemi tradifferenza di Simbolo -
insiemi traneintersezio di Simbolo
insiemi traunione di Simbolo
zaappartenennon di Simbolo
zaappartenen di Simbolo
U
Simboli