+Una metafisica alla prova:la teoria dei tropi applicata alla teoria degli insiemi Tesi di laurea

di Costanza Brevini

SELP

Seminario di logica permanente

30 settembre 2011

Università degli Studi di Milano

+Alcune questioni preliminari

Qualunque indagine sul mondo che pretenda di essere coerente, dall’etica alla sociologia, dalla matematica all’arte, si trova necessariamente ad assumere un iniziale impegno ontologico relativo ai tipi di enti che sceglie di assegnare agli individui coinvolti nella teoria.

+Questioni preliminari alle questioni preliminariL’ontologia è quella parte della filosofia che isola gli elementi ultimi dell’essere. Ciò non significa semplicemente risalire nella classificazione di tutto ciò che c’è fino a raggiungere gli enti non ulteriormente divisibili. Vuol dire anche assicurarsi che questi individui, oltre a essere ultimi, siano in grado di descrivere esaustivamente l’intera pluralità dell’essere.

Definiamo invece metafisica la disciplina che classifica gli enti ultimi, assegnando ciascuno a uno dei tipi ammessi da ogni diversa teoria.

+Ancora questioni preliminari

Il sistema metafisico platonico-aristotelico ha permeato a lungo tutti i campi del sapere, con maggiore o minore consapevolezza da parte degli scienziati.

Segue che necessariamente molti degli strumenti e dei paradigmi culturali e sociali di cui ci serviamo si fondano su questo modello metafisico.

L’analisi filosofica del secolo scorso ha però rivelato i limiti del sistema metafisico tradizionale e proposto modelli più coerenti e completi.

+Nuove prospettive per la metafisica

Nel corso del Novecento l’indagine filosofica ha evidenziato i limiti della metafisica platonico-aristotelica. Attraverso i tentativi di superamento di questi limiti e spinti dalla ricerca di una risposta al problema dei fondamenti posto dalla matematica, alle domande che provenivano dagli studi di filosofia analitica circa i fondamenti dell’essere, alle questioni relative la validità del linguaggio e, conseguentemente, della logica, i filosofi hanno formulato nuovi sistemi metafisici.

+Domanda:

Cosa dire della traduzione dei paradigmi e strumenti formulati in una metafisica platonico-aristotelica? È coerente abitare in un mondo popolato da enti creati fondamentalmente basandosi sull’idea di una sostanza materiale informata da proprietà che esemplificano enti universali, rifiutando però questa metafisica e adottandone un’altra?

+Ipotesi di risposta:

Provo a superare la valutazione formale e squisitamente filosofica delle nuove teorie metafisiche, per provare la loro efficacia nel ruolo di supporto ontologico e nel sostegno di quei metodi conoscitivi di cui tradizionalmente si servono il filosofo e lo scienziato.

+C’è sempre un ma…

Per quanto una metafisica possa esporsi a limiti e contraddizioni, è evidente che se essa si rivelasse l’unica metafisica che permette di avvalersi dei nostri modelli matematici e scientifici, allora difetti e incoerenza si rivelerebbero niente più che un male necessario allo scopo di continuare a usufruire degli strumenti e dei paradigmi di cui fino ad oggi si è servita l’impresa conoscitiva.

+

In questo lavoro ho scelto di mettere alla prova la teoria dei tropi e verificare se sia coerente con l’utilizzo di uno strumento matematico, ma soprattutto concettuale, che vanta grande applicabilità e impatto: la teoria degli insiemi.

La mia tesi

+Perché tropi e perché insiemi

Le ragioni che rendono la teoria degli insiemi la più adatta, tra tutte le teorie matematiche, sono diverse. Innanzitutto, benché vi siano a oggi punti non cristallini, la teoria può godere di una generale solidità. Inoltre, la teoria degli insiemi è un modello che ha saputo rappresentare buona parte dei concetti della matematica e che senza dubbio offre una base di partenza privilegiata per l’analisi della matematica in generale. Se si riuscisse quindi a dimostrare che la teoria degli insiemi è compatibile con un’ontologia dei tropi, si potrebbe ampliare il risultato a tutta la matematica.

+Cos’è la teoria dei tropi?

La teoria dei tropi è un tipo di metafisica proposta sia per gli enti materiali, sia per la realtà in generale.

Tra i principali filosofi che si occuparono di questo tipo di metafisica, il più famoso e influente fu certamente Donald Cary Williams, professore e direttore del dipartimento di Filosofia di Harvard. Egli sostenne che l’intera struttura del mondo consiste esclusivamente ed esaustivamente di tropi.

+Tropi astratti…

Un filosofo dei tropi costruisce la propria teoria basandosi sui concetti di astrattezza e di particolarità. Con «astrattezza» si intende la caratteristica di un ente che si trova a essere ontologicamente dipendente dal concreto in senso fisico, ma indipendente in senso concettuale.

Un tropo dunque è un oggetto assolutamente astratto, la cui esistenza può dipendere in qualche modo da un oggetto concreto.

+…e tropi particolari.

Con «particolarità» invece ci si riferisce a entità di qualsiasi tipo in possesso della caratteristica di essere ancorate a un solo oggetto concreto. Un tropo è un ente particolare perché è legato a un solo ente concreto attraverso una relazione di inerenza. Questa relazione di inerenza sussiste anche tra il tropo e tutti gli oggetti concreti che a loro volta contengono l’oggetto con il quale il tropo è in relazione di inerenza.

+Tropi o particolari astratti (a)

Un tropo è l’istanza di una proprietà o di una relazione.

Un oggetto concreto nasce quindi quando un certo numero di tropi o particolari astratti vanno a comporre un fascio e a condividere una porzione determinata di spazio-tempo.

Il processo è messo in atto grazie alla relazione di compresenza. Questa relazione permette l’individuazione di un oggetto concreto, in quanto fascio dei tropi compresenti che determinano le qualità e le relazioni di cui è in possesso l’oggetto concreto.

+

Accanto alla relazione di compresenza, si trova la relazione di somiglianza.

Una qualsiasi coppia di tropi, logicamente, intreccia o non intreccia una relazione di somiglianza. Le relazioni di somiglianza possono essere di diversi tipi, in quanto necessariamente con «somiglianza» si intende «gradi di somiglianza», da più a meno perfetta.

Le relazioni di somiglianza compongono fasci di tropi che corrispondono agli universali della tradizione.

Tropi o particolari astratti (b)

+Un mondo di tropi

Un mondo di tropi risulta popolato da particolari concreti, i cui costituenti sono di tipo particolare astratto: la rosa del mio giardino è un particolare concreto, mentre il suo colore è un particolare astratto.

Questo particolare astratto concorre alla costituzione dell’oggetto concreto «rosa del mio giardino», insieme agli altri particolari astratti con cui è in relazione di compresenza.

Inoltre, insieme alla totalità dei tropi che sono in una relazione di somiglianza col tropo del colore della rosa del mio giardino, il particolare astratto forma l’universale astratto, mentre la totalità degli oggetti concreti «rosa» va a formare l’universale concreto corrispondente alla rosa.

+Semplice, semplice, semplice

Williams e i successivi teorici dei tropi arricchiscono la teoria dei tropi con una triplice richiesta di semplicità. Infatti, i tropi sono:

strutturalmente semplici

categorialmente semplici

qualitativamente semplici

+Tirando le somme sui tropi

La teoria dei tropi tratta ogni oggetto, evento, stato di cose come un fascio di tropi compresenti. L’utilizzo di un’ontologia a una sola categoria permette comunque di fornire un interessante descrizione del fenomeno metafisicamente complesso del divenire.

Inoltre, la teoria dei tropi fornisce una trattazione delle entità tradizionalmente universali senza presupporre l’esistenza di sostanze diverse.

+Tropi per gli enti matematici

La teoria dei tropi è in primis un’ontologia per gli enti concreti, e in secundis un’ontologia generale.

Com’è possibile utilizzarla per gli enti matematici?

Ecco alcune proposte.

+Cosa intendo con “enti matematici”

Innanzitutto, gli enti matematici sono le entità di cui si occupa la matematica, ovvero oggetti numerici, geometrici, e proprietà e rapporti tra questi due tipi di enti.

Se infatti gli enti numerici e quelli geometrici sono per così dire i «mattoncini» della matematica, teoremi, assiomi e dimostrazioni sono la vera e propria essenza del sapere matematico.

+Differenze tra enti numerici ed enti geometrici

Un numero è una proprietà astratta, associata a un gruppo di oggetti determinato e numerabile con la quale il numero intrattiene una relazione di corrispondenza biunivoca.

Gli enti geometrici invece possono essere sia astratti sia concreti.

Un oggetto triangolare è un ente geometrico concreto, mentre l’ente che perfettamente soddisfa i requisiti perché vi si possa dimostrare il teorema di Pitagora è un ente astratto.

+Enti geometrici come tropi

Circolarità e triangolarità sono universali astratti, in quanto proprietà possedute da più particolari concreti.

Un oggetto triangolare o circolare è un particolare concreto, un semplice oggetto che annovera, tra i tropi che lo compongono, il tropo della triangolarità.

Un cerchio o un triangolo sono particolari astratti, cioè tropi. Essi sono una proprietà semplice e solo in quanto tali vengono considerati.

+Come fare con gli enti numerici?

Nonostante i teorici dei tropi non abbiano a oggi fornito una trattazione ufficiale per gli enti numerici, la spiegazione degli enti geometrici fornita da Williams può essere applicata agli enti numerici con lievi modifiche.

+Ente numerico universale astratto

Corrisponde all’universale e si riferisce alla proprietà comune a più enti di essere composti da diverse parti o avere aspetti con caratteristiche numerabili.

Intendendo con unicità la proprietà condivisa dagli elementi che sono in numero di uno, si isola la proprietà di avere un unico elemento o un unico aspetto di un certo tipo.

+Ente numerico particolare concreto

Corrisponde all’oggetto concreto o a quantità numerabili di oggetti concreti.

In conseguenza all’esistenza di un universale astratto per la numerazione, esistono oggetti concreti che possiedono quei tropi che vanno a costituire l’universale corrispondente.

Così come a ogni oggetto concreto corrisponde una forma, a ogni tropo appartenente a un oggetto concreto corrisponde anche una proprietà numerica.

+Ente numerico particolare astratto

Corrisponde all’ente numerico astratto e manipolato dalla matematica.

Esso è un semplice tropo, cioè un particolare astratto.

Infatti, l’ente numerico è particolare perché è l’evenienza di un simbolo.

Inoltre, è astratto perché non occupa regioni di spazio-tempo, non ha forma ed è frutto della creazione di un sistema formale da parte dell’uomo.

+Proprietà e relazioni degli enti matematici

«Il concetto di numero è solo ciò che è comune a tutti i numeri, la forma generale del numero. Il concetto di numero è il numero variabile. E il concetto d’eguaglianza numerica è la forma generale di tutte le eguaglianze numeriche

speciali.»

Asserzione 6.022

WITTEGENSTEIN, LUDWIG, Tractatus Logico-philosophicus, Einaudi, Torino 1964.

+Proprietà e relazioni degli enti matematici

Assegnare uno statuto ontologico al numero quindi è una questione che necessariamente riguarda il concetto di numero, cioè, nelle parole di Wittgenstein, una questione che riguarda ciò che è comune a tutti i numeri e che generalmente si può predicare di ognuno di essi.

+Numeri in serie

Se si considera un ente numerico isolato e indipendentemente dalla serie di cui fa parte, allora questo numero è un tropo semplice, privo di proprietà o relazioni.

Quando però si inserisce questo ente nel posto che occupa nella successione di numeri, esso intreccia immediatamente un certo numero di relazioni. I rapporti con gli altri numeri e con le operazioni algebriche definiscono le proprietà di un numero in quanto semplice membro della serie.

+Serie di numeri

Possiamo definire ontologicamente la successione numerica N come il fascio costituito dai tropi corrispondenti ai particolari astratti ai quali ci riferiamo quando compiamo operazioni di tipo matematico o quando osserviamo le relazioni che intercorrono tra i numeri.

Un numero infatti rende possibile l'operazione di contare solo se intreccia la relazione di successore con il numero che lo precede e la relazione di predecessore con il numero che lo segue.

+Tropi e insiemi, ma quali insiemi?

Com’è noto sono disponibili diverse versioni della teoria degli insiemi, a partire dalla teoria ingenua di Cantor. Siccome ciò che fa confluire queste diverse teorie matematiche sotto il nome di teoria degli insiemi è la fedeltà ai principi formulati da Cantor all’atto di nascita di tale sistema e al dominio richiesto dalle teorie, ritengo sia sufficiente provare la conciliabilità di tali principi all’interno della teoria dei tropi, per verificare se la teoria possa essere utilizzata coerentemente con l’adozione di una metafisica dei tropi.

+Cos’è un insieme

Per Cantor l’insieme è la riunione di un tutto di oggetti che appartengono all’intuizione o al pensiero.

Zermelo definisce l’insieme come quell’oggetto astratto che possiede almeno un elemento e gli assegna il ruolo di elemento primitivo della teoria.

Russell presuppone un’infinita quantità di oggetti individuali, a partire dai quali è possibile costruire gli insiemi.

Weyl postula un dato numero di categorie fondamentali di enti in possesso di proprietà e relazioni primitive.

+Elementi come tropi

La teoria dei tropi ammette l’esistenza di infiniti enti astratti e particolari. A tali enti viene assegnato un tipo ontologico assolutamente conciliabile con quello assegnato dalla teoria degli insiemi agli elementi. Gli elementi infatti, oltre che infiniti e particolari, devono essere anche semplici, ovvero non ulteriormente scomponibili. Anche i tropi sono infiniti, particolari e non ulteriormente scomponibili.

A prima vista quindi sembra accettabile assegnare agli elementi lo statuto ontologico dei tropi semplici.

+1: principio di comprensione

Data una qualunque proprietà, esiste sempre l’insieme di tutti e soli gli oggetti che godono di quella proprietà.

Per il principio di comprensione, un insieme esiste in corrispondenza a ogni agglomerato di elementi. Tale agglomerato si forma grazie a una condizione. Poiché ogni agglomerato di tropi, o meglio, ogni fascio di tropi, è un oggetto, si può ipotizzare che gli elementi-tropi, aggregandosi, formino un insieme.

+Anche qui c’è un ma…

La teoria degli insiemi afferma che gli elementi possono essere astratti o concreti, ma l’insieme che essi formano è sempre un oggetto astratto. I tropi invece sono assolutamente ed esclusivamente oggetti astratti, ma sono in grado di costituire sia entità concrete, come gli oggetti materiali, sia entità astratte, come gli universali.

+2: principio di estensionalità

Se due insiemi contengono gli stessi elementi, allora sono lo stesso insieme.

Non sono dunque rilevanti né l’ordine in cui si presentano gli elementi, né il modo attraverso cui gli elementi caratterizzano gli insiemi.

Per la teoria dei tropi, un oggetto è determinato esclusivamente dai tropi che lo compongono, invariabilmente dall’ordine.

+Punti di accordo…

Per la teoria dei tropi due oggetti distinti non possono essere costituiti dagli stessi tropi, ma un tropo può appartenere a due oggetti distinti.

Per la teoria degli insiemi, due insiemi distinti non possono essere costituiti dagli stessi elementi, ma un elemento può appartenere a due insiemi distinti.

Un elemento che appartiene a due insiemi è, ad esempio, come un tropo che appartiene al fascio astratto del suo universale e al fascio concreto dell’oggetto che costituisce.

+...e di disaccordo

Per il principio di estensionalità, gli elementi determinano l’insieme ma non lo caratterizzano.

Sembra invece che i tropi caratterizzino l’oggetto concreto che costituiscono.

+3: sostanzialità come individualità e assolutezza

Il concetto di insieme può godere di proprietà ed è indipendente da ogni caratterizzazione e comprensione

dell’uomo.

Ciò significa che insiemi e elementi esistono, godono di determinate proprietà e intrecciano relazioni particolari indipendentemente dall’attività del matematico o del filosofo.

+Individualità:

Ogni insieme può godere di proprietà.

Assegnare all’insieme lo statuto ontologico di oggetto astratto nel senso precisato, non solo permette all’insieme di godere di proprietà, ma lo determina come sostanzialmente costituito da esse.

+Assolutezza:

Il concetto di insieme è indipendente dal linguaggio e da ogni caratterizzazione dell’insieme, delle sue proprietà e

dei suoi elementi.

La realtà si costituisce di tropi indipendentemente dall’esistenza di esseri che pensino i tropi o che pensino la realtà in termini di tropi.

+Si può fare?

Sembra di sì.

La realtà che i teorici dei tropi propongono è costituita da individui ultimi, semplici e senza limitazioni quantitative. Tali elementi dell’essere si aggregano e costituiscono entità diverse da essi stessi non problematicamente. Anzi, proprio da tale aggregazione si originano gli oggetti materiali e gli enti astratti che abitano il mondo.

+Ma l’insieme vuoto?

Tra gli assiomi formulati dalle teorie assiomatiche degli insiemi, è sempre annoverato l’assioma dell’insieme vuoto. L’insieme vuoto è unico, non ha sottoinsiemi diversi da esso stesso ed è sempre presente come sottoinsieme in ogni qualunque altro insieme.

+I soliti sospetti

Per quanto ormai tale insieme sia stato accettato dalla comunità matematica, esso desta ancora alcuni sospetti. Già intuitivamente risulta difficile capire come sia possibile costruire un insieme, cioè una collezione, senza contare elementi. L’insieme vuoto infatti, secondo i teorici degli insiemi, pur non avendo elementi, è assolutamente un insieme e non va dunque considerato come «nulla» o «non essere».

+Insieme… vuoto?

L’insieme vuoto non rispetta le definizioni basilari del concetto di insieme.

Nella formulazione di Cantor, l’insieme è la riunione di un tutto di oggetti. L’insieme vuoto pretende di essere un tutto privo di oggetti.

Zermelo definisce l’insieme come quell’oggetto astratto che possiede almeno un elemento. L’insieme vuoto però per definizione non ha elementi.

+Soluzioni

L’insieme vuoto, nonostante le precedenti osservazioni e nonostante complichi orrendamente le cose dal punto di vista ontologico, è estremamente utile.

Vi sono alcune soluzioni, l’adozione di ciascuna delle quali deve essere ponderata alla luce della sua validità, della sua coerenza e dell’uso che si intende fare della teoria degli insiemi.

+Prima proposta

Invalidare l’assunzione dell’insieme vuoto, in quanto in contraddizione con la definizione di insieme, ed eliminare

senza indugi tale entità dall’assiomatizzazione.

+Pro:

La teoria degli insiemi acquisterebbe coerenza e assegnarle un’ontologia si rivelerebbe forse un compito più semplice ed economico.

Da un punto di vista ontologico infatti l’insieme vuoto è assolutamente sospetto per l’indefinitezza della sua natura, causata dalla peculiarità di essere un insieme ma non avere elementi. Uno degli assiomi del sistema, da una parte, definisce indubbiamente l’insieme vuoto come appunto un insieme. Dall’altra parte, l’assioma afferma che tale insieme non possiede elementi.

+Contra:

La teoria degli insiemi perderebbe una delle sue più potenti armi di calcolo e molti risultati non potrebbero essere dimostrati. Inoltre, non sarebbe più possibile costruire alcuni insiemi finiti e non varrebbero più le rappresentazioni dei numeri naturali che prendono spunto proprio dall’insieme vuoto per generare la serie infinita dei numeri naturali.

+Seconda proposta

Accettare l’assioma dell’insieme vuoto come oggetto fittizio, senza che un qualche oggetto della teoria

corrisponda all’entità «insieme vuoto».

+Pro:

Questa soluzione è piuttosto semplice dal punto di vista matematico, perché permette di ignorare il problema dell’insieme vuoto e continuare a servirsi di tutte le armi di calcolo che offre. Può quindi essere adottata da una ricerca sulla teoria degli insiemi che si disinteressi della sua componente ontologica.

+Contra:

Affermare che l’insieme vuoto non esiste e non ha significato, ma è un concetto utile e perciò viene introdotto, è espressione di confusione. Così argomentando infatti non si prende una vera posizione sull’argomento. Sembra piuttosto che l’insieme vuoto sia assunto ma non del tutto. Dal punto di vista dell’analisi ontologica, cedere a una simile ammissione parziale è una grave complicanza, in quanto comporta l’assunzione di diversi modi di esistenza per gli enti, i quali quindi parteciperebbero all’essere in gradazioni diverse.

+Terza proposta

L’insieme vuoto si costituisce secondo i dettami del principio di comprensione, con l’applicazione di una

condizione che non viene soddisfatta da nessun elemento, in quanto generalmente definisce caratteri

impossibili per definizione.

+Pro:

Le proprietà autocontraddittorie si possono pensare ma non si possono predicare di alcun ente. Simili proprietà sono ad esempio la proprietà «essere diverso da se stesso», oppure «essere un numero primo pari diverso da 2». Tali proprietà possono, in accordo con il principio di comprensione, generare insiemi. Ovviamente però non possono possedere elementi perché, per soddisfare la condizione definente l’insieme, essi dovrebbero essere enti autocontraddittori.

+Contra:

Le proprietà autocontraddittorie sono viste con molto sospetto dagli ontologi.

Anche se potessero esistere, la loro introduzione sarebbe un ulteriore complicazione ontologica e dunque sconsigliabile nella prospettiva di una metafisica riduzionista.

+Oppure…

Oppure si può provare a spiegare l’insieme vuoto come la porzione di spazio-tempo “svuotata” dai principi logici.

Ponendo condizioni in violazione dei principi logici, si può definire un insieme. Tale insieme però è vuoto, in quanto nessun elemento può soddisfare la condizione definente.

+Riformulare l’insieme vuoto

Questa proposta in corollario richiede una riformulazione dell’assioma dell’insieme vuoto:

Esiste un tipo di insieme la cui condizione definente è autocontraddittoria e perciò tale insieme non contiene

elementi.

+Quarta (e ultima) proposta

Attraverso l’introduzione dei mondi possibili, l’insieme vuoto si costituisce secondo i dettami del principio di comprensione, con l’applicazione di una condizione

possibile, ma non attuale.

+Pro:

Attraverso l’utilizzo di siffatta strategia, l’insieme vuoto avrebbe caratteristiche ontologiche del tutto identiche a quelle degli insiemi con elementi. Sia il primo sia i secondi sarebbero definiti da una condizione, ma per un caso, ovvero l’attualità o meno della condizione in questione, alcuni insiemi rimarrebbero vuoti.

+Contra:

L’adozione di questa strategia complica non poco l’impegno ontologico preso dalla teoria degli insiemi. Una possibile semplificazione è considerare i mondi possibili solo in funzione euristica, senza veramente impegnarsi sulla loro esistenza.

+In conclusione:

Le prime due soluzioni non intervengono sull’ontologia dell’insieme vuoto, in quanto la prima lo nega mentre la seconda lo assume esclusivamente in quanto ente fittizio.

La terza soluzione non convince, perché richiede il riferimento a proprietà sospette, oltre a generare un infinità di problemi solo per risolvere il problema dell’insieme vuoto.

La quarta soluzione infine sembra realizzabile, per quanto preveda una complicazione ontologica e potrebbe portare a un indebolimento della teoria dei tropi.

+Osservazioni:

Questa analisi ha evidenziato chiaramente che una metafisica che voglia candidarsi al ruolo di supporto ontologico per la teoria degli insiemi deve:

prevedere una trattazione degli universali in senso concettualista o nominalista.

ridurre l’essere a entità di un solo tipo.

+

Grazie dell’attenzione.