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Teoria degli Insiemi

Angelica Malaspina

Dipartimento di Matematica, Informatica ed EconomiaUniversita degli Studi della Basilicata, Italy

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A. Malaspina Teoria degli Insiemi

Generalita

Il concetto di insieme e assunto come primitivo, ovvero non sidefinisce.Considereremo quindi la nozione di insieme dal punto di vistaintuitivo.

Un insieme e un agglomerato di oggetti di qualsiasi natura(numeri, piante, elementi chimici...)Tali oggetti sono detti elementi dell’insieme.


Esempi

Il mazzo di 52 carte da poker e un insieme, i suoi elementisono le singole carte;

una popolazione di insetti, una foresta di abeti, un gregge dipecore sono insiemi. I loro elementi sono, rispettivamente, gliinsetti, gli abeti, le pecore;

i numeri interi da 1 a 10 sono un insieme; gli elementi diquesto insieme sono i singoli numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10;

la totalita dei numeri pari;

i possibili risultati del lancio di un dado sono un insieme; i suoielementi sono i numeri da 1 a 6.


Notazioni

Usualmente, gli insiemi si indicano con le lettere maiuscoledell’alfabeto

A, B, C , . . .

Useremo le lettere minuscole dell’alfabeto: a, b, c, x , y , . . . perindicare gli elementi di un insieme:


Rappresentazione tabulare

Se l’insieme e composto da pochi elementi e possibile descriverecompletamente l’insieme elencando tutti gli elementi che locompongono. In tal caso si racchiudono tra parentesi graffe glielementi.Per esempio:

I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

e l’insieme dei numeri da 1 a 10.

InveceS = {vista, udito, olfatto, gusto, tatto}

e l’insieme dei cinque sensi.


Rappresentazione mediante graficigrafici di Eulero-Venn

E’ possibilerappresentaregraficamente uninsieme racchiudendogli elementi entro unalinea chiusa continua enon intrecciata comedalla figura cherappresenta l’insieme Acomposto dalle vocali:{a, e, i , o, u}.

e

au

o

iA


Simbolo di appartenenza

Per esprimere che un oggetto appartiene ad un insieme si usa ilsimbolo

∈che si legge

”appartiene a”

Ad esempio, per dire che il senso dell’olfatto e un elementodell’insieme S dei cinque sensi scriveremo

olfatto ∈ S

Invece, per dire che un elemento non fa parte di un insieme si usail simbolo

/∈che si legge

non appartiene a

Ad esempiointelligenza /∈ S


Rappresentazione caratteristica

Talvolta e sconveniete o impossibile elencare tutti gli elementi diun insieme. In questi casi, gli insiemi vengono definiti enunciandola proprieta che tiene ”assieme” gli oggetti.Ad esempio l’insieme di tutti i numeri positivi si rappresenta inquesto modo

P = {x tali che x > 0}

Si usa, poi, il simbolo: oppure /

invece della scrittura ”tali che”.


Singleton e vuoto

L’insieme costituito da un solo elemento si chiama singleton.

Consideriamo l’insieme

M = { mesi dell’anno formati da 33 giorni}

Tale insieme non ha alcun elemento, perche non vi sono mesidell’anno con 33 giorni. Nasce l’esigenza di definire l’insieme privodi elementi, che si indica con

∅ oppure {}

e chiamato insieme vuoto.


Implicazione

Il simbolo⇒

si usa per esprimere in forma abbreviata che

se succede P allora capita anche Q

e scriveremoP ⇒ Q

che si leggeP implica Q

P ⇒ Q P e sufficiente perche si verifichi QQ e necessaria perche si verifichi P


Esempio

Consideriamo la frase

”Se Mario e uno studente italiano allora Mario e uno studenteeuropeo”

Questo abbreviando si puo scrivere

”Mario e uno studente italiano ⇒ Mario e uno studente europeo”

P ⇒ Q

Se P ⇒ Q non e detto che Q ⇒ P.

Il fatto che Mario sia uno studente europeo non implica che egli sianecessariamente italiano.


Equivalenza

Quando accade che si abbia

P ⇒ Q e allo stesso tempo anche Q ⇒ P

diremo che P e Q sono equivalenti e useremo il simbolo

P ⇔ Q

P ⇔ Q P e verificata se, e solo se, Q e verificataP e equivalente a Q

(P ⇒ Q) ⇔ (non e vera Q ⇒ non e vera P)


Esempio

P = ”Luca ha superato l’esame di Istituzioni di Matematiche”Q = ”Luca ha ottenuto un voto almeno pari a 18/30 all’esame diIstituzioni di Matematiche”Ovviamente

P ⇒ Q

come pureQ ⇒ P

QuindiP ⇔ Q


Uguaglianza tra insiemi

Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A e ancheun elemento di B e viceversa. In simboli si scrive

A = B.

In caso contrario, si scrive

A 6= B

per indicare che i due insiemi non hanno gli stessi elementi.


Sottoinsiemi di un insieme

Un insieme A si chiamasottoinsieme di un insiemeS qualora tutti gli elementidi A appartenganoall’insieme S . Si scrive

A ⊆ S

e si legge l’insieme A e’contenuto nell’insieme S .


Se A ⊆ S e se esiste un elemento di S che non sia in A si dice cheA e un sottoinsieme proprio di S e si scrive

A ⊂ S .

A = S ⇔ A ⊆ S e S ⊆ A

L’insieme vuoto e un sottoinsieme di un qualunque insieme.


Esempi di sottoinsiemi

1 Quali sono i sottoinsiemi di S = {1, 2, 3}?

{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅.

2 Le carte del medesimo seme (picche, cuori, quadri e fiori)rappresentano un sottoinsieme dell’insieme delle 52 carte dapoker.


Cardinalita

Il numero di elementi che compongono un insieme S e dettocardinalita dell’insieme e si indica con

|S |

Un insieme ha cardinalita finita se ha un numero finito dielementi, ha cardinalita infinita se ha infiniti elementi.

Se A ⊆ S , tutti gli elementi di A appartengono anche a S , quindi|A| ≤ |S |.


Esempi di cardinalita

1 La cardinalita di {0, 1} e 2. In simboli scriveremo: |{0, 1}| = 2

2 La scrittura|{1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}| = 7

indica che la cardinalita dell’insieme {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21} e 7.

3 L’insieme dei numeri naturali

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}

ha cardinalita infinita, perche e composto da infiniti elementi.

4 La cardinalita dell’insieme vuoto e zero: |∅| = 0, perche essonon ha elementi.


Unione

L’unione e l’operazione che associa a due insiemi A e B l’insiemeA ∪ B (che si legge A unito B) i cui elementi appartengono adalmeno uno di questi insiemi (cioe o solo ad A, o solo a B o adentrambi). In simboli, si scrive

A ∪ B = {x : x ∈ A oppure x ∈ B}.


Intersezione

L’intersezione e l’operazione che associa a due insiemi A e Bl’insieme A ∩ B (che si legge A intersecato B) i cui elementiappartengono sia ad A che a B. In simboli, si scrive

A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}.

Due insiemi A e B si dicono disgiunti quando A ∩ B = ∅.


Proprieta delle operazioni insiemistiche

Proprieta commutativa: A ∪ B = B ∪ A;

Proprieta associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C );

Proprieta di idempotenza: A ∪ A = A;

Proprieta dell’insieme vuoto: A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A.

Proprieta commutativa: A ∩ B = B ∩ A;

Proprieta associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C );

Proprieta di idempotenza: A ∩ A = A;

Proprieta dell’insieme vuoto: A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅.


Differenza

La differenza tra due insiemi A e B e l’insieme indicato

A \ B

i cui elementi sono elementi di A che non appartegono ad B. Insimboli

A \ B = {x ∈ A : x /∈ B }.


Complementare

Nel caso particolare in cui A ⊆ S , la differenza S \ A si chiamacomplementare di A rispetto ad S e si indica con

Ac

Accade spesso che tutti gli insiemi du cui si tratta sianosottoinsiemi di un determinato insieme U , detto insieme universo.La famiglia di tutti i sottoinsiemi (propri e non) di U si chiamainsieme delle parti e si indica con

P(U) = {A : A ⊆ U}


Proprieta distributive

dell’unione rispetto all’intersezione:A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );

dell’intersezione rispetto all’unione:A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C );

Proprieta di assorbimento:A ∪ (A ∩ B) = A;A ∩ (A ∪ B) = A.


Coppia ordinata

Siano A e B due insiemi non vuoti. Si chiama coppia ordinatal’insieme indicato con

(a, b)

avente come prima componente l’elemento a ∈ A e come secondacomponente l’elemento b ∈ B.Dalla definizione segue che (a, b) 6= (b, a). In particolare,

(a, b) = (a′, b′)⇔ a = a′ e b = b′.


Prodotto cartesiano fra due insiemi

Definiamo prodotto cartesiano tra gli insiemi A e B l’insieme ditutte le le coppie ordinate che hanno come prima componente unelemento di A e come seconda componente un elemento di B. Insimboli:

A× B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Se A = B si indica solitamente

A× A = A2


Proprieta del prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi distinti non gode dellaproprieta commutativa, cioe A× B 6= B × A;

A× ∅ = ∅ × A = ∅;proprieta distributiva rispetto all’unione:A× (B ∪ C ) = (A× B) ∪ (A× C );

proprieta distributiva rispetto all’intersezione:A× (B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A× C ).


Esempio: lancio di due dadi

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e l’insieme dei possibili risultati del lancio diun dadoL’insieme che rappresenta i possibili risultati del lancio simultaneodi due dadi e

D × D = D2 = {(a, b) / a, b ∈ D}

D2 =

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)


Il simbolo si legge

= uguale

6= diverso

∈ appartiene

/∈ non appartiene

⊆ incluso

⊂ incluso strettamente

: or / tale che

∀ per ogni

∃ esiste

@ non esiste

∃! esiste uno e uno solo

⇒ or ⇐ implica

; or : non implica

⇔ equivalente; se, e solo, se

∅ insieme vuoto


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