GLI INSIEMI - dp · 2006. 8. 15. · Nella teoria ingenua degli insiemi, e per i ﬁni tutti...

Laboratorio apprendimenti logico matematici MOD. 2

GLI INSIEMI

Laboratorio per apprendimenti logico - matematici

Dispensa a cura del prof.

Domenico Perrone

Maggio 2005

1


I problemi

2

Perché gli Insiemi?Cos’è un insieme?Cantor, Frege, RussellQuale ruolo riveste nella consapevolezza matematica di uno studente?

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I problemi

3

La attuale epistemologia della Matematica ha accettato in pieno i risultati della scuola fondazionista.La Matematica è un edificio i cui pilastri sono:

la Logica e l’Insiemistica

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I problemi

4

i Problemi che hanno portato alla rifondazioneTeoria ingenua degli insiemiDefinizione di Insieme

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I problemi

5

Un Percorso minimo per comprendere l’importanza semantica ed operativa dell’insiemistica:

DefinizioniSimbologiaRappresentazioniOperazioni in un insiemeOperazioni tra insiemi

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I problemi

6

Nella teoria ingenua degli insiemi, e per i fini tutti dell’educazione matematica nella scuola secondaria, definiamo Insieme un aggregato di elementi che godono di una stessa proprietà. (e consapevolmente abbandoniamo tutti i problemi di Russell)

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RAPPRESENTAZIONEPer rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amici

di Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina.

Con i diagrammi di Eulero Venn:1 AAndrea •

Matteo •

Marta •

Anna•

Martina•

2Attraverso la

rappresentazione tabulare (estensiva):

3 Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva):

A = {Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna}

A = {xx è amico di Marco}

Simone •

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APPARTENENZA “∈”A

U

a •

b •B

c •

e •

d•f •

A = {a; b; d; e; f}

a ∈ A, a ∈ U, a ∉ B,

B = {b; d}

b ∈ B, b ∈ A, b ∈ U c ∈ U, c ∉ B, c ∉ A

U = {a; b; c; d; e; f}

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SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “⊆, ⊂”B è un SOTTOINSIEME

IMPROPRIO di A

A è un SOTTOINSIEME DI U

Ogni insieme è un SOTTOINSIEME

(IMPROPRIO) di sé stesso

A

Ua •

b •B

c •

d•

B ⊆ A

A⊂ UA ⊆ A, B ⊆ B,…..

L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME

(IMPROPRIO) di ogni insieme

∅ ⊆ C, ∅ ⊆ B, …..

C

C è un SOTTOINSIEME DI B C⊂ B

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SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE

A

U

a •

b •B

c •

e •

d•f •

U = {a; b; c; d; e; f}

A = {a; b; d; e; f}

B = {b; d}

{a; b; d} ⊂ A

{d} ⊂ B

{b; d} ⊆ B

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APPARTENENZA e INCLUSIONE

∈

INCLUSIONEAPPARTENENZA

b ∈ A

⊆

{b} ⊂ A

L’elemento b appartiene

all’insieme A

L’insieme {b} è strettamente

incluso nell’insieme A

b •A

d•⊂

L’insieme {d;b} è uguale ad A

{d;b} ⊆ Aoppure{d;b} = A

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INSIEME COMPLEMENTARE. A

A

U

a •

b •

c • e •f •

g •

d •

A ={a; b; g}

E’ l’insieme deglielementi di U

Che non appartengono ad A

A = CuA= {xx ∈U e x ∉ A }

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INSIEME COMPLEMENTARE. CBA

A

B

a •

b •

c • e •f •

g •

d •

CBA ={a; b; g}

E’ l’insieme deglielementi di B

Che non appartengono ad A

CBA= {xx ∈B e x ∉ A }

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INTERSEZIONE “A ∩ B”

AB

A ∩ B

E’ l’insieme degli elementiche appartengono sia ad A

sia a B A ∩ B = {xx ∈A e x ∈ B }

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CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE

A ∩ A = AA ∩ ∅ = ∅

Se B ⊂ A allora A ∩ B = B

A ∩ A = ∅

A ∩ U = A

Se A ∩ B = ∅, A e B si dicono DISGIUNTI

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UNIONE “A ∪ B”

A

B

A ∪ B

E’ l’insieme degli elementiche appartengono ad A

“o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.

A ∪ B = {xx ∈A o x ∈ B }

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UNIONE di insiemi DISGIUNTI

A B

L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad

almeno uno dei due insiemi dati.

A ∪ B17

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CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE

A ∪ A = A

A ∪ ∅ = A

Se B ⊂ A allora A ∪ B = A

A ∪ A = U

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A ∩ B A ∪ B

AB

a • d •

c •b • e •

f •

g •

h •l •

i •

A = {a; b; c; d; e; f} B = {d; e; f; g; h; i; l}

A ∩ B = {d; e; f} A ∪ B = {a; b; c; d; e; f; g; h; i; l}

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DIFFERENZA. “A - B”

A B

A - B Si tolgono ad A tutti gli

elementi che appartengono a B

E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B

E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B

A - B = {xx ∈A e x ∉ B }

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DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.

AB

a • d •

c •b • e •

f •

g •

h •l •

i •

A = {a; b; c; d; e; f} B = {d; e; f; g; h; i; l}

A - B = {a; b; c}B - A = {g; h; i; l}

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DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.

A Ba • d •c •b • e •

f •

g •h •

l •i •

A - B = {a; b; c}

B - A = {g; h; i; l}A B

a • d •c •b • e •

f •

g •h •

l •i •

A

Ba • d •c •b • e •

f •

g •h •

l •i •

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CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI

A - A = ∅A - ∅ = A

Se A ∩ B = ∅ allora A - B = A e B - A = B

Se B ⊆ A allora B - A = ∅

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INSIEME DELLE PARTI “P(A)”

A a •

c •b •

A = {a; b; c;}

{a; b; c}

Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI propri

e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A)

I possibili SOTTOINSIEMI di A sono:

∅ {a} {b} {c} {a; b} {a; c} {b; c}

P(A) = { ∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c} }

Gli elementi di P(A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n

L’insieme delle parti di A è:

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PARTIZIONE DI UN INSIEMEA Si consideri un numero “n”

di sottoinsiemi di A.

Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se:

Ai ⊂ A e Ai ≠ ∅, ∀ i

A1

A2 A

3A4

A5

Ogni sottoinsieme è proprio

Ai ∩ Ak = ∅ con i ≠ kI sottoinsiemi sono a due a due disgiunti

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 = A L’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A

1

2

3

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PRODOTTO CARTESIANOSi definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B

A x B = {(x;y)x ∈ A e y ∈ B }

Si legge A cartesiano B

Dati gli insiemi: A = {a; b; c;} e B = {1;2}

A a •

b •

c •

B

1 •

2 •A x B = { (a ;1), (a ;2), (b ;1),

(b ;2), (c ;1), (c ;2) }

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RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO

L’insieme A x B = {(a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)}può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:

A a •

b •

c •

B

1 •

2 •

Rappresentazione SAGITTALE

Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA

a b c

1

2 • • •

• • •

Rappresentazione CARTESIANA

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OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO

La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)

Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie

A x A = A2

A x B ≠ B x A

Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.

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Se A e B sono insiemi si dice relazione fra A e B , e la si indica con R, un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB:

La proposizione si scrive anche xRy e si legge " x e' in relazione con y ".

Se A = B si dice che R è una relazione su A


RELAZIONE tra INSIEMI

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Data una relazione R tra due insiemi A e B si dice

dominio di R, e lo si indica D(R), il seguente sottoinsieme di A:

codominio di R, e lo si indica C(R), il seguente sottoinsieme di B:



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Una relazione R si dirà d’ordine se gode delle seguenti proprietà:

Riflessiva se

Anti-Simmetrica se

Transitiva se

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Una relazione d'ordine si dice relazione d'ordine totale se vale la seguente proprieta':

Un insieme con una relazione d'ordine totale si dice insieme totalmente ordinato.

L’insieme dei numeri Reali è totalmente ordinato

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Dati due insiemi non vuoti A e B, diremo che una relazione fra A e B è un’ applicazione da A a B, e la indicheremo con

se ogni elemento di A e' in relazione con uno ed un solo elemento di B, cioe' se: La proposizione xfy si scrive anche y=f(x)


Applicazioni

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Laboratorio apprendimenti logico matematici MOD. 2 34

Dall’Insieme al numero

E’proprio il concetto di applicazione, e quindi tutta la teoria degli insiemi che ne ha permesso la genesi, lo strumento con cui possiamo costruire il numero nel senso operativo che gli è proprio.

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Una delle prime attività matematiche che viene esercitata è il “contare” gli elementi di un dato insieme.I numeri con cui si conta: 0,1,2,3…. sono i numeri naturali, e vengono indicati con N.

È definita in N un’operazione, detta addizione, che ai numeri naturali x e y, associa il numero naturale somma di x e y, che si scrive x+y.

Valgono le seguenti proprietà:

1. a + b = b + a per ogni a, b (proprietà commutativa dell’addizione);

2. (a + b)+ c = a + ( b + c) per ogni a, b, c (proprietà associativa dell’addizione);

3. a + 0 = a = 0 + a per ogni a (si dice che il numero naturale 0 è elemento neutro per l’addizione);

4. a = b a + c = b + c ( legge di semplificazione)



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E’ definita in N anche la moltiplicazione, che associa ai numeri a, b il numero naturale a · b, detto prodotto di a e b.

Valgono le seguenti proprietà:

1. ab = ba per ogni a,b (proprietà commutativa);

2. (ab)c = a(bc) per ogni a,b,c (proprietà associativa);

3. a · 1 = a = 1 · a , per ogni a (1 è elemento neutro per la moltiplicazione);

4. se almeno uno dei numeri a,b è nullo, tale è pure a · b; se a · b è nullo, lo è pure almeno uno dei due numeri a,b;

in simboli (a = 0 b = 0) (a · b = 0) (legge di annullamento del prodotto)

5. se c diverso da 0, a = b a · c = b · c ( legge di semplificazione).



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Vi è inoltre in N una proprietà che si riferisce alla moltiplicazione e alla addizione:

(a + b) · c = (a · c) + (b · c) (proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione).

E’ la proprietà comunemente usata nella moltiplicazione per esempio di un polinomio per un monomio.

È importante fare attenzione al fatto che, nella legge di semplificazione della moltiplicazione, si suppone c¹0. Dimenticarsene porta spesso a relazioni assurde (tipo 0=1).

In N vi è inoltre un ordinamento totale, nel senso che presi due naturali qualunque è sempre possibile confrontare due elementi e stabilire quale sia il maggiore.



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Rappresentazione dei numeri Naturali

Data una retta r, fissiamo su di essa un verso. Una retta su cui sia stato fissato un verso si dice orientata. Ora sulla retta orientata r fissiamo un punto O a cui associamo il numero 0, segniamo poi a ugual distanza l’uno dall’altro i punti A,B,C, …. Al numero 1 associamo il punto A, al numero 2 il punto B, e così via. In tal modo otteniamo una corrispondenza tra l’insieme N e i punti della retta r. Naturalmente vi sono punti di r che non sono immagine di alcun elemento di N: fra il punto O e il punto A c’è almeno un punto X di r, ma non c’è nessun numero naturale al quale sia associato X. I numeri 0, 1, 2, 3, 4, … sono le ascisse rispettivamente dei punti 0, A, B, C, D, …



Numeri razionali

I numeri razionali sono quei numeri che si possono scrivere sotto forma di “frazioni”, della forma a/b con a, b appartenenti a Z, b diverso 0. Osserviamo che due frazioni distinte possono rappresentare lo stesso numero.

L’insieme di tali numeri si indica con Q. In Q si può sempre seguire la divisione tra due elementi qualunque, a patto che il secondo sia diverso da zero (Cosa che non era possibile in Z)

Eseguendo la divisione fra due interi si possono ottenere o un numero decimale finito o un numero decimale illimitato periodico.

Nell’insieme dei razionali valgono tutte le proprietà viste per i numeri interi, inoltre per ogni elemento di Q che sia diverso da zero, esiste un numero razionale che si indica con 1/q o con , detto reciproco di q: tale che q(1/q) =1.



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Per evitare cadute di attenzione, possiamo evitare di re-indagare le proprietà delle operazioni dei numeri razionali come abbiamo fatto per i relativi perché di sicura memoria in chi ci ascolta.

Rappresentazione dei numeri Razionali

Sulla retta orientata r fissiamo un punto O a cui associamo il numero razionale 0, e un punto A, che segue O nel verso positivo fissato, a cui associamo 1. Come trovare il punto B di r da associare al numero razionale assoluto m/n? Si tratta di dividere la lunghezza di |OA| in n parti uguali per poi costruire il multiplo secondo m di una di queste parti. r si dice l’ascissa di B.

Come nel caso dei naturali e degli interi i numeri razionali non “esauriscono” tutti i punti della retta: questo però è un po’ più difficile da vedere che non nel caso di N e Z.



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Confronto ed Ordinamento

Dal numerare al numerabile

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LE STRANEZZE DEGLI INSIEMI INFINITI

Possiamo quindi rimandare a qualunque testo universitario di Algebra chi sia interessato ad approfondire, oppure ad un ipertesto con brevi note teoriche, alcuni esempi ed esercizi presente su internet all’url http://www.dm.unibo.it/matematica/AlgebraLineare/diz1/insiemi.htm

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LE STRANEZZE DEGLI INSIEMI INFINITI

Dopo aver ricordato le principali operazioni con gli insiemi occorrerebbe affrontare le più importanti “patologie” della teoria ingenua degli insiemi.

Tale attività, necessaria per un carattere completo ed ordinato delle conoscenze di base della matematica, può sicuramente essere trascurato nella formazione iniziale di un soggetto in difficoltà

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