TEOREMA DI TEOREMA DI PITAGORA

Contenuti

1. Particolari terne numeriche e teorema di PITAGORA

2. Le terne pitagoriche

3. Applicazioni del teorema di Pitagora

Competenze

1. Sapere il significato di terna pitagorica

2. Sapere il teorema di Pitagora

3. Applicare il teorema di Pitagora

4. Risolvere problemi geometrici con l’uso del teorema di Pitagora

5. Sapere e usare il linguaggio inerente ai contenuti esposti

Particolari Terne Numeriche

Gli antichi Egizi per costruire con precisione un angolo retto prendevano una fune e in essa facevano 13 nodi alla stessa distanza uno dall’alto (ottenendo così 12 tratti di corda ); con dei paletti , poi, tendevano la corda in modo da formare un triangolo che avesse i lati lunghi rispettivamente 3 volte, 4 volte e 5 volte la distanza fra due nodi successivi. L’angolo formato dai due lati più corti era un angolo retto. Noi partiremo proprio da questa terna di numeri , 3, 4 e 5, così importante presso gli egizi da essere considerata sacra, per arrivare a uno dei più importanti teoremi della geometria : il Teorema di Pitagora.

Gli antichi popoli, oltre agli Egizi, conoscevano questo sistema ma usavano altre terne di numeri ; i Cinesi pare usassero le terne: 5,12,13 e 8, 15, 17

Consideriamo queste terne: 3,4 e 5, 5, 12 e 13, 8, 15 e 17 ed esaminiamone una caratteristica comune, nota fin dall’antichità.

222

222

222

1728922564158

1316914425125

52516943

Dicesi terna pitagorica qualunque terna di numeri naturali che sono le misure dei lati di un triangolo rettangolo; ovvero: tali che il quadrato del più grande è uguale alla somma dei quadrati degli altri due.

Q1

Q2

Q3

Q3 = Q1 +Q3

NUMERICAMENTE : 25cm2= 16cm2 + 9cm2

       

       

       

       

       

       

       

       

     

     

     

     

     

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

9

25

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.Quest’ultimo modo di enunciare il Teorema di PITAGORA ci permette di ricavare le formule esplicative:

i2 = C2+c2 da cui: C2 = i2-c2 e anche: c2 = i2+C2

Sono queste le tre formule che ci permetteranno di utilizzare il Teorema di PITAGORA in un qualsiasi triangolo rettangolo. Da esse, infatti, conoscendo la misura di due lati si può trovare la misura del terzo lato estraendo la radice quadrata da ciascun membro delle tre uguaglianze:

22 cCi 22 ciC 22 Cic

Applicazioni del Teorema di PITAGORAPROBLEMA 1Le dimensioni di un rettangolo sono 12cm e 5cm .Determinare la lunghezza della diagonale. AB= 12cm ; BC= 15cm

B

A

C

D

Sappiamo che la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli congruenti, ciascuno dei quali ha per cateti le dimensioni del rettangolo stesso e per ipotenusa la diagonale.Possiamo applicare il Teorema di Pitagora ad uno dei due triangoli per esempio ABC :

cmcmcmcmABBCAC 1316925144512 2222

In generale, indicando le misure di base, altezza e diagonale con b,h,d, si ha che

Il lato di un quadrato è lungo 10cm. Calcolare la lunghezza della diagonale. La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli congruenti, ad uno dei quali applichiamo il teorema di Pitagora:(vedi fig.)

A B

C D

PROBLEMA 2

cmADABBD 2222 1010

cmcm 210100100

cmcm 1,1441,110

L’uguaglianza BD=10 ci dice che la lunghezza della diagonale del quadrato è uguale al prodotto della lunghezza del lato per ;quindi indicando con d è l tali lunghezze, possiamo scrivere la seguente formula:

ovvero,dato che (valore approssimato ):d=1,41lformula inversa:

2ld

2

2

41,12

41,1:

2

dlovvero

dl

Tale terna gode di due importanti proprietà :1. Rispetto a una qualsiasi unità di misura, sono le misure dei lati di un triangolo che è necessariamente rettangolo;2. Sono tali che la somma dei quadrati delle due misure più piccole è uguale al quadrato della misura più grande.Interpretiamo la seconda proprietà da un punto di vista geometrico. Assumiamo come unità di misura il cm. e osserviamo che:32=9cm2 rappresenta l’area del quadrato costruito sul cateto minore. 42=16cm2 rappresenta l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa cateto maggiore.52=25cm2 rappresenta l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa Geometricamente tale proprietà ci dice:L’area del quadrato sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

Si può dimostrare tale relazione sperimentalmente con il metodo della pesata.Consideriamo un triangolo rettangolo e i tre quadrati costruiti rispettivamente sui due cateti e sull’ipotenusa, come in figura .Disegniamo , e poi ritagliamo, i tre quadrati su uno stesso cartone a spessore uniforme e mettiamo Q1 e Q2 sul piatto di una bilancia e Q3 sull’altro piatto della bilancia.Noteremo il perfetto equilibrio della bilancia; e ciò ci dice che Q1 e Q2 hanno lo stesso peso di Q3 e noi ne deduciamo che Q1 e Q2 hanno la stessa estensione di Q3: Q1 + Q2 = Q3

Un po’ di storiaUn po’ di storiaPitagora nacque a Samo, un’isola della Grecia, probabilmente nel 570 a.C., Pitagora nacque a Samo, un’isola della Grecia, probabilmente nel 570 a.C., fu il primo filosofo-matematico della storia. Intorno a Pitagora e alla sua fu il primo filosofo-matematico della storia. Intorno a Pitagora e alla sua scuola sorsero parecchie leggende che esaltarono il carattere filosofico, scuola sorsero parecchie leggende che esaltarono il carattere filosofico, religioso e scientifico della sua grande figura e resero ancora più misteriosa religioso e scientifico della sua grande figura e resero ancora più misteriosa l’attività della scuola stessa . Il nucleo fondamentale su cui Pitagora basava la l’attività della scuola stessa . Il nucleo fondamentale su cui Pitagora basava la sua concezione della matematica è il “NUMERO”:”I numeri sono il principio sua concezione della matematica è il “NUMERO”:”I numeri sono il principio di tutte le cose”, recitava la sua dottrina filosofica.di tutte le cose”, recitava la sua dottrina filosofica.Parecchie sono le scoperte che vengono attribuite alla scuola pitagorica, Parecchie sono le scoperte che vengono attribuite alla scuola pitagorica, anche se il merito veniva sempre dato all’illustre maestro. Per quanto anche se il merito veniva sempre dato all’illustre maestro. Per quanto riguarda la geometria, ai pitagorici vengono attribuiti, fra le altre scoperte .riguarda la geometria, ai pitagorici vengono attribuiti, fra le altre scoperte .a) Il teorema sulla somma degli angoli del triangolo.a) Il teorema sulla somma degli angoli del triangolo.b) Il cosiddetto “teorema di Pitagora”.b) Il cosiddetto “teorema di Pitagora”.c) La risoluzione di parecchi problemi sulle aree,allora ancora insoluti.c) La risoluzione di parecchi problemi sulle aree,allora ancora insoluti.d) la costruzione dei poliedri regolarid) la costruzione dei poliedri regolari..I pitagorici studiarono, con particolare interesse , i poligoni e i solidi regolari; I pitagorici studiarono, con particolare interesse , i poligoni e i solidi regolari; il pentagono e la stella pentagonale a cinque punte pare che avessero il pentagono e la stella pentagonale a cinque punte pare che avessero affascinato talmente tanto il grande maestro che li pose a simbolo della scuolaaffascinato talmente tanto il grande maestro che li pose a simbolo della scuola