Tensioni e deformazioni interne -...
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Tensioni e deformazioni interne
Una trave soggetta a carichi ortogonali, si inflette
spazzando il piano di inflessione
La direzione di inflessione, se c’è simmetria rispetto al
piano xy, è diretta secondo y
Si ha flessione pura se la sola sollecitazione
è dovuta al momento flettente, senza taglio
Si ha flessione non uniforme se alla flessione
viene associato un taglio Fless. pura
F. Non unif.F. Non unif.
Come si vedrà, in genere le zone della
sezione più sollecitate a flessione sono
lontane da quelle sollecitate a taglio e quindi si
disaccoppiano gli effetti
CURVATURA DI UNA TRAVE (piccoli spostamenti)
La trave si oppone al momento incurvandosi, e ciò è responsabile dell’insorgere di tensioni
Il centro di curvatura O’ è identificato dalla normale a
due punti m1 e m2 distanti dx
Il raggio di curvatura (ed il suo inverso ) rendono
la trave tanto meno rettilinea quanto maggiore è M
1
d ds 1d
ds
Nell’ambito dei piccoli spostamenti
si può confondere ds con dx
1d
dx
Altro modo di vedere le cose: curvatura positiva se il centro di curvatura
si pone verso la direzione positiva delle y
In questa trattazione si assumerà la curvatura positiva (derivata seconda
positiva) che si instaura per effetto di un momento flettente positivo
Basandosi solo su considerazioni di
simmetria si può dimostrare che:
CONSIDERAZIONI DI CONGRUENZA
L’angolo d è dunque il medesimo per
la fibra e-f e quella neutra s-s 1
xdx dx
dy
x
y
Sezioni piane e perpendicolari alla linea
d’asse rimangono piane anche dopo
deformazione
La perpendicolarità con la linea d’asse si
mantiene anche dopo la deformazione
Alcune linee d’asse si comprimeranno
TOP ed altre si allungheranno BOTTOM
Esiste una linea d’asse particolare
ASSE NEUTRO per la quale le fibre non
si allungano né si accorciano
La sollecitazione che ci si aspetta è quindi assiale, in quanto alcune fibre (estradosso) si
allungheranno, le altre (intradosso) si accorceranno.
Dato che la sollecitazione è monodimensionale (σx) si
osserverà anche una deformazione nelle altre due direzioni
y x
z x
y
y
Centro curvatura principale
Quindi le travi prismatiche si incurvano in tutti e
tre i piani, ma si tensionano solo sul piano x-y
Curvatura secondaria
y z
Centro curvatura secondarioz
Per il calcolo delle tensioni che si creano per effetto del momento applicato, si hanno a
disposizione le due equazioni di equilibrio, longitudinale e dei momenti
0 ;x xA A
dA y dA M
Se l’asse di sollecitazione è di simmetria (y) l’asse baricentrico appartiene al piano neutro
Per la simmetria su y il piano neutro è
piano principale d’inerzia
Il momento statico della sezione rispetto al piano
neutro è nullo – l’asse neutro (traccia piano
neutro su piano di simmetria) è baricentrico
TENSIONE NORMALE
= ; 0 ; 0x x y z
yE E
L’equazione di Hooke, applicata al caso monodimensionale, fornisce l’andamento della tensione
Quindi anche la tensione, come la curvatura,
segue un andamento lineare con la distanza
dall’asse neutro
Dalla I: 0A
n
Ey dA
0A
y dA
Dalla convenzione dei segni adottata, un
momento positivo sposta il centro di
curvatura nel semispazio delle y positive
Dalla II:2
x zA A
E EM y dA y dA J
1
z
M
E J
Jz è il momento di inerzia che viene detto z in quanto misura la distanza y dall’asse neutro z
Il termine EJz per analogia con la sollecitazione di trazione, viene anche indicato come
rigidezza flessionale
Combinando le due equazioni si ottiene lo stato di sollecitazione che risulta variabile
linearmente (farfalla)
z
M yy
J
Per una sezione simmetrica e
bilanciata rispetto baricentro
La tensione risulta massima dove massima è la distanza dall’asse neutro di flessione
SEZIONE CIRCOLARE PIENA E CAVA
Piena:
4
64zJ D
Cava:
4 4
64zJ D d
Il massimo valore si ha in corrispondenza del raggio massimo
, 3
32
2 x D
z
M D M
J D
, 4 4
32
2 x D
z
M D M D
J D d
Il massimo valore si ha in corrispondenza della massima distanza dall’asse neutro
, 2
6
2 x h
z
M h M
J b h
, 33
6
2 2 2x h
z
M D M h
J bh b s h s
SEZIONE RETTANGOLARE PIENA E CAVA
Piena:
31
12zJ bh
Cava:
331
2 212
zJ bh b s h s
O
Ripasso: Leggi per il trasporto dei momenti d’inerzia
di sezione
O
O
X x X
Y y Y
Su un nuovo SdR (XY) spostato
in O di coordinate XO YO:
2 2 2 2X O O O
A A A A
J y Y dA y dA Y dA Y ydA
22X x O x OJ J Y S Y A 22Y y O y OJ J X S X A
XY O O xy O y O x O O
A
J x X y Y dA J X S Y S X Y A Momento
centrifugo:
Se il riferimento xy ha per origine il baricentro (O G), le trasformazioni sono:
2
2
g
g
g
X x G
Y y G
XY xy G G
J J Y A
J J X A
J J X Y A
L’utilità di queste trasformazioni è notevole, in
quanto il calcolo dei momenti di inerzia si semplifica
molto suddividendo la sezione in parti elementari,
ciascuna delle quali viene sommata dopo averla
riportata al baricentro dell’intera struttura
Trasformazioni di Huygens
O
Esempio
Sezione resistente
La struttura in acciaio è montata a sbalzo e presenta un carico distribuito
Calcolare i valori massimo e minimo della tensione assiale
Soluzione:
Dato che la sezione è costante, i valori
massimi e minimi di tensione si avranno là
dove risulta massimo il momento flettente
3375 N 10125 N
0 N
Diagramma del taglio
Diagramma del momento 0
0
x
M M V x dx
Bisogna innanzitutto calcolare il baricentro
della sezione (mediante la media pesata)
1 2 3
1 2 3
40 74 40 G
A A Ay
A A A
z
yg
y
80
27612 12
68
61.52 Gy mm
I momenti di inerzia baricentrici delle 3
aree sono:
3 4
1
112 80 512000
12I mm
3 4
2
1276 12 39744
12I mm
4
3 512000 I mm
Utilizzando il teorema di Huygens si
calcola il momento di inerzia totale
2 2 6 42 512000+ 80 12 61.52 - 40 39744 + 276 12 74 - 61.52 = 2.469 10 totI mm
Tensione al TOP 2
6
3375 = 80 - 61.52 = 25.3 N
2.469 10Top mm
z
M yy
J
2
6
3375 = -61.52 = 84.2 N
2.469 10Bot mm
Tensione al BOT
A1 A3
A2
Massima trazione al Bottom 47.3 MPa
Tensione al TOP 2
6
1898 = 80 -61.52 = 14.2 N
2.469 10Top mm
z
M yy
J
2
6
1898 = -61.52 = 47.3 N
2.469 10Bot mm
Tensione al BOT
Massima compressione al Bottom - 84.2 MPa
MODULO DELLA SEZIONE
Ciascuna sezione può anche essere caratterizzata da un modulo, che consente il passaggio
immediato dal momento applicato alla tensione normale (Top o Bottom)
top
Top
z
M y
J Top
z Top
M
S
Bot
Bot
z
M y
J Bot
z Bot
M
S
zz
JS
y
4
64z
dJ
3
32z
dS
3
12z
bhJ
2
6z
bhS
Top Bot
PROGETTO DI UNA TRAVE
In genere è noto il momento massimo applicato e si sceglie la beam che soddisfa lamax
amm
MS
Se la beam non è simmetrica rispetto piano neutro oppure se il materiale non ha
comportamento simmetrico trazione-compressione, occorrerà estendere la verifica a entrambe
le posizioni Top e Bottom
In genere sono disponibili travi di molteplici forme e materiali:
In acciaio: per lo più laminate, di carpenteria o saldate se di grandi dimensioni
Travi ottenute per piegatura Saldatura e taglio
In alluminio: per lo più estruse
Sfruttando la bassa temperatura di fusione si otten-
gono forme anche non semplicemente connesseAlcune forme tratte da catalogo
In legno: per lo più incollate in strutture lamellari
Pezzo unico Travi lamellari Struttura portante in legno
In cemento armato: per lo più colate in forma
Vista a parziale riempimento Tiranti pretensionati e bloccati dopo colatura
In compositi a fibra: estruse, injection molding, pressofusione, …
EFFICIENZA RELATIVA TRA TRAVI
2
0.1676 6
z
bh AhS Ah A parità di area conta solo l’altezza
3
0.125 32
cerchio
dS A d
3 2
0.1477 6 12 4
quadrato
h dS d A d
Nella sezione quadrata si ha meno inutile materiale sull’asse neutro
La soluzione migliore prevederebbe l’uso di materiale nelle
sole flangie, per cui:
2
22 4
ideale
A hI
0.5 idealeS A h
0.35 effettivoS A h
Questo valore in realtà non può essere raggiunto perché
è necessaria un’anima che tiene lontane le due flange e
che non può essere troppo sottile per non andare
incontro ad instabilità
Prendendo un cerchio di
pari area ad un quadrato
2d h
2h d
Esempio
Una barriera temporanea all’acqua è realizzata da tavole
orizzontali sostenute da pali verticali infissi nel terreno.
Calcolare la dimensione dei pali a livello massimo dell’acqua se
la tensione ammissibile del legno è pari a 8.0 MPa.
Soluzione:
Ciascun palo supporta un carico per unità
di lunghezza crescente (triangolare) che
agisce per una larghezza s
0q hs
Il massimo momento si ha alla base e vale
3
0max
2 3 6
q h h h sM
Il modulo della sezione necessario risulta
3
max
6 amm amm
M h sS
3
6
bS 3
amm
sb h
assumendo
310000 /N m 0.8 s m
2.0 h m3
6
10000 0.82.0 0.200
8 10b m
TRAVI A SEZIONE VARIABILE
In molte applicazioni, risparmio di
materiale ed ottimizzazione inducono a
realizzare forme a sezione variabile lungo
l’asse, come negli esempi a lato
Ovviamente, la zona più sollecitata può
non corrispondere al punto ove è
massimo il momento
In genere si usa la variazione di sezione
proprio per minimizzare il peso in favore
di una sollecitazione uniforme
TRAVI A FLESSIONE DI UNIFORME RESISTENZA
Vediamo le possibili configurazioni per
una trave incastrata-libera (clamped)
P
M P x
x
In questo caso è necessario che Jz o Sz varino linearmente
con x
LARGHEZZA VARIABILE
0
cost
2z
P x h
J x
0
cost
z
P x
S x 2
6
lastz
b xS x h
L
P
ALTEZZA VARIABILE
Ora la variabilità lineare di Sx sarà affidata alla variazione della sola altezza
0
cost
z
P x
S x
0
2 6
x
b Ph x
6
amm
Pxh x
b
Ne risulta un profilo parabolico
Ovviamente si potrebbero ancora
impostare modifiche contemporanee di
spessore ed altezza …
Tensioni dovute al taglio
In linea teorica si può avere sollecitazione di solo taglio, ma in
realtà essa si accompagna sempre a momento flettente
x
y
V
V
Ciononostante, anche in presenza di taglio il momento flettente si calcola allo stesso modo
in quanto esso fornisce tensioni normali, mentre il taglio dà tensioni tangenziali, nel
riferimento adottato
Il calcolo della tensione di taglio su una sezione è in realtà assai più
complesso, esso varia sia secondo x che y (in forma parabolica per
una sezione rettangolare)
Proprio per effetto delle forze di
taglio la flessione di due travi
sovrapposte e di un’unica trave di
spessore doppio differiscono
sensibilmente
Spesso, in I approssimazione, si considera il taglio
uniformemente distribuito sulla sezione resistenteV
A
In modo più esatto, ma sempre approssimato (Jourawsky) , il taglio viene mediato lungo la
direzione dello spessore (z), e considerato variabile lungo y
sup yxF b y dx
Si consideri l’equilibrio del parallelepipedo ii - rr - ss - jj in direzione x
Sulla faccia superiore agisce una risultante:
Sulla faccia inferiore agisce una risultante nulla (Non sono applicate forze)
Sulle facce laterali – lungo x – agiscono le tensioni dovute ai momenti flettenti M e M+dM
1
z
My y
J
2
z
M dMy y
J
x
xy
Si considera di isolare un elementino assiale (lunghezza dx)
V V
MM+dM
i
i
j
j
r
r
s
s
yx
xy
bdx
y
xy
z
Ricordando che
1 2 z z z z
M M dM dM Vdxy y y y y y
J J J J
1 2( ) ( )
dx 0yxA rr ii A ss jj
y dA y dA b y
Sommando i tre contributi, con il segno dato dall’asse x:
12
yx
x
uguali
Portando fuori dall’integrale le grandezze che rimangono costanti
( ) ( )
yx yx
A i j A i jz z z
V S yVdx Vy dA b y dx y dA
J J b y J b y
Quindi lungo y (essendo costante in z) il taglio varia secondo il momento statico S(y) e lo
spessore della sezione b(y)
Asse baricentrico
yI momenti statici delle due sezioni,
superiore ed inferiore sono uguali!
b y
sup infS S
1
3H
2
3H
2
211 1 1
2
2 2 2 4
h yh b hS y b y y
2
2
2 4yx
V hy y
J
SEZIONE RETTANGOLARE
Il momento statico si può calcolare come area della parte sottesa alla corda ii per la distanza
del suo baricentro dall’asse neutro
Il valore massimo (y=0)
2 3
8 2yx
Vh Vy
J A
Pertanto, il taglio presenta, lungo y, un andamento dominato dal
momento statico – esso si annulla al top/bottom e risulta massimo nella
sezione baricentrica
taglio
y
x
Rispetto al taglio mediato su tutta la sezione, il taglio al baricentro è
superiore del 50 % nella sezione rettangolare
Con alcune cautele la formula di
Jourawsky è applicabile anche a
sezioni non regolari
Tensioni ribaltate
Il tensore delle tensioni dovrà comunque
risultare sempre tangente al profilo esterno,
pertanto, occorre sovrapporre alle tensioni di
taglio di Jourasky un’altra componente xz
(antisimmetrica) che riorienti localmente le .
0
0
sin
R
xA
S y dA r r d dr
3
2 3
00
2cos
3 12
R
x
DS r dr R
3
2
2 3 4
1 2 3
xG
S Ry R
A R Da cui si può ricavare anche l’ordinata del baricentro:
( , ) dA r r d dr Calcolo del momento statico
G
3
max 4
0 64 1 4
0 12 3
V S D VV
J b D D A
SEZIONE CIRCOLARE
La tensione media può calcolarsi anche per una sezione
circolare, tenendo conto le limitazioni sul riorientamento delle
nei bordi non paralleli a y. In particolare sul diametro:
Dato che esiste il semplice legame
= / G tra taglio e scorrimento,
questo ultimo sarà massimo al
centro e nullo al top / bottom
Le sezioni, inizialmente ortogonali all’asse,
si ingobbano visto che varia dal Top al Bot
Tuttavia, lo scorrimento è uguale per ogni
fibra assiale, per cui non si instaurano (per
sezioni costanti) sollecitazioni o deformazioni
assiali (taglio puro senza flessione)
Lo sforzo di taglio induce l’elemento a
variare di forma (ma non di volume)
secondo un angolo di scorrimento
DEFORMAZIONE A TAGLIO
Lo spostamento tra due sezioni può essere valutato
mediante la deformazione (scorrimento) media
mediad dx media
T
GA
Fattore di taglio
Taglio medio
Il lavoro di deformazione, in accordo al teorema di Clapeyron, è pari all’integrale, lungo la
linea, della metà della tensione di taglio per lo scorrimento medio
1
2meddW V dx
od anche
sul volume
V S y
J b y
2 2
2 2
S y 1
J 2 A
VdW dA dx
b y G
22
2 2
S y 1
2 G JA
VdW dAdx
b y
21
2
VdW dx
GA
dA b J
SA
A 2
i
2
2
i
Il fattore di taglio può essere calcolato
analiticamente per ogni sezione
In sollecitazioni di momento non uniforme
(presenza di taglio) l’andamento delle
nelle flangie presenta due componenti
(ma quella orizzontale è più importante)
TENSIONI DI TAGLIO IN TRAVI FLANGIATE
Area sezione flangia:
11
2 2
hhA b
Area sezione parziale anima:
12 1
2
hA t y
Momento statico:
1 1 1 11 1 2 1
2
2 4 2
h h h h yS y A A y
2 2 2 2
1 1 1 148 8
b tS y h h h y Sostituendo e semplificando
Le tensioni sull’anima si possono calcolare utilizzando la formula di
Jourawsky:
V S y
J b y
1 2 2 2 2
1 1 1
1
4
8
V S y Vb h h t h y
J b y J t
L’unica variabile è y1 , in modo quadratico
1
2 2 2
max 1 10
8 y
Vbh bh th
J t
1 1
2 2
min 12
8 y h
Vbh bh
J t
Generalmente, per le travi flangiate, è l’anima a supportare quasi tutto lo sforzo del taglio
verticale applicato (90-98 %)
In genere si trascura il contributo delle flangie, e si considera il taglio mediato su tutta
l’anima con la semplicissima formula
1
anima
V
t h
Il semplice metodo utilizzato non può essere esteso al calcolo del taglio verticale sulle
flangie, e si trascura la presenza del raccordo circolare, che pure è determinante per
abbassare i picchi di tensione
TRAVI COMPOSTE
In molte applicazioni si ricorre a travi ottenute dall’assemblaggio di più elementi, anche in
materiali differenti, per ottenere ottime performance leggerezza / costo / dimensioni
Il calcolo di queste travi necessita di due passaggi:
Verifica del comportamento della trave a flessione-taglio composta come se
fatta di un sol pezzo
Verifica delle connessioni presenti (chiodature, incollaggi, bullonature, spine,
saldature, …) attraverso il concetto del flusso di taglio
( ) ( )
yxA i j A i j
Vdx dMb y dx y dA y dA
J J
Riprendiamo l’equilibrio introdotto per il taglio, evidenziando la variazione del momento:
Il flusso del taglio f è definito:
1
yx
dM Vf b y y dA y dA
dx J J
Tale flusso (per unità di lunghezza) è utilizzato per verificare le
saldature longitudinali
Nel caso a fianco, il flusso viene calcolato per il tramite del
momento statico esteso a tutta la flangia superiore
(comprensiva delle alette verticali)
Il flusso così calcolato si scaricherà in modo discreto sui rivetti
di connessione
In questo caso il flusso va calcolato in corrispondenza di cc – dd.
L’area evidenziata serve per il calcolo del momento statico.
Il flusso così calcolato si scaricherà in modo discreto sui chiodi
di connessione
V V
f y dA S yJ J
In questo caso il flusso va calcolato alla fine dell’anima, in
corrispondenza delle saldature, ottenendo S(y) dall’area evidenziata
TRAVI SOGGETTE ANCHE A SFORZO NORMALE
In molti casi le travi sono contemporaneamente sollecitate a trazione/compressione e a
forze laterali (flessione semplice o composta)
Se la trave non è troppo sottile il calcolo si può fare sovrapponendo gli effetti
x
N x
A
xy
z
V x S yy
J b y
x
z
M xy y
J
Queste due tensioni sommano i rispettivi contributi
Sovrapposizione delle tensioni
assiale e flessionale
Crescendo ancora il momento M
l’asse neutro può comparire e traslare x
z
N My y
A J
Questa combinazione viene ad esempio utilizzata nel cemento armato precompresso
P Q S
M x Q L x
V x Q
N x S
TRAVI SOGGETTE A CARICO ECCENTRICO
Si tratta di travi nelle quali il carico assiale non è applicato al baricentroMomento di trasporto
x
z
P Pey y
A J
La sovrapposizione comporta in pratica lo
spostamento dell’asse neutro che si ritrova
ponendo nulla la tensione assiale0
zJy
Ae
È di un certo interesse definire la zona entro la quale l’eccentricità del carico non induca un
cambio nel segno della tensione: materiali non resistenti a trazione/compressione
Considerando anche
l’eccentricità nell’altra direzione
si delimita una zona (rombo)
detto nocciolo della sezione
Sez. rettang.: la condizione limite si ha quando y0 = -h/2
3 1 2
12 6
bh he
bh h
Nel caso ancor più generale di spostamento del carico
secondo due direzioni, l’asse neutro non è più normale
all’asse di sollecitazione né è parallelo agli assi
principali di inerzia
yzx N M
y z
Pe yP Pe z
A J J
L’asse n-n si ricava dall’equazione della retta
che si ottiene annullando la σ:
z z z
y y y
J e Jy z
J e A e
Nei calcoli si è implicitamente assunto che le deformate siano tali da non modificare
l’azione dei carichi stessi
Si è anche assunto che le tensioni fossero sempre sovrapponibili e quindi disaccoppiate
fra loro, ciò non è vero se la trave diviene sottile e la distribuzione dello sforzo normale si
modifica
Finora si è sempre trattato di travi ad asse baricentrico rettilineo, in caso contrario
un’altra trattazione è necessaria
CONCENTRAZIONI DI TENSIONE
Valgono le medesime considerazioni fatte per il caso
assiale circa la validità delle soluzioni di St. Venant
Si fa sempre riferimento alle tensioni nette per il calcolo
delle tensioni nominali
3 3
6nom B
My Md
J b h d
La tensione massima si ricava dal fattore K “puramente
geometrico” tabellato e ricavabile in letteratura
Max nom BK
Caso di due intagli simmetrici su
lastra inflessa