ELEMENTI MONODIMENSIONALI -...

Costruzione di Macchine 1

ELEMENTI

MONODIMENSIONALI PROGETTO STRUTTURALE


Classificazione

• Una classificazione degli elementi delle macchine può essere fatta, in modo sufficientemente esauriente, dividendo gli elementi in base al numero delle variabili spaziali da cui dipende lo stato di sforzo e deformazione.

• In questo modo è possibile definire gli elementi monodimensionali, bidimensionali e tridimensionali


Teoria della trave

• Quando una della dimensioni, per

esempio la x, è prevalente sulle altre si

possono studiare un numero notevole di

casi di pratico interesse

• In tali casi si applicano le equazioni

fondamentali della “teoria della trave” per

studiare lo stato di sforzo e di

deformazione.


Teoria della trave

• Le ipotesi fondamentali sono: – Il materiale è elastico lineare, omogeneo e ed

isotropo

– L’elemento è rettilineo con dimensioni trasversali trascurabili rispetto alla lunghezza

– I carichi provocano una distribuzione di spostamenti w(x) tali che la curvatura della deformata è:

– Le sezioni piane rimangono piane dopo la deformazione

2

21

dx

wd

R


Teoria della trave

• Detto I il momento di inerzia della sezione

retta della trave intorno all’asse di

flessione e se M(x) è la distribuzione del

momento flettente, si ottiene:

)(2

2

xMdx

wdEI )(xT

dx

dMdato che )(

)(xp

dx

xdT

Si ottiene )(4

4

xpdx

wdEI

Detta equazione fondamentale della

teoria della trave


Teoria della trave

• Assumendo che il corpo abbia una sezione

circolare si hanno le seguenti relazioni

fondamentali:

f

y

y

y

W

xMd

I

xM )(

2

)(max FLESSIONE

16

2 3d

d

IW

p

t

FORZA NORMALE A

NN

2

4dA

TAGLIO

TORSIONE

)()(

)(zS

zbI

xT

y

xy A

xTxy

3

)(4(max)

t

t

p

txy

W

Mz

I

M

32

2 3d

d

IW

y

f


Teoria della trave

• Integrando l’equazione fondamentale della trave è possibile, con le condizioni al contorno, ricavare l’andamento della deformata w(x).

• Questo procedimento è valido finché la lunghezza della trave è superiore a 5/10 volte la massima dimensione trasversale.

• Altrimenti la trave è da considerarsi tozza ed è necessario considerare anche l’abbassamento dovuto al taglio.

• I risultati qui riassunti possono essere anche ottenuti direttamente trovando la soluzione esatta del problema elastico.


Elementi monodimensionali

• I principali elementi monodimensionali

presenti nella costruzione delle macchine

sono classificati come:

– PERNI (elementi che non ruotano)

– ASSI (elementi che ruotano ma non

trasmettono potenza)

– ALBERI (elementi che ruotano e

trasmettono potenza)


I perni

• I perni sono elementi che realizzano

solitamente cerniere cilindriche. Essi sono

a forma di cilindro retto e sono sollecitati a

taglio e flessione.


I perni


I perni

http://www.oleomeccanicalosi.it/csa2c.html


I perni


I perni b c g b g

Tenuta

Foro

Lubrificazione

Cuscinetto

Dispositivo di

fissaggio del

perno


I perni

• I passi da seguire per progettare un perno

possono essere riassunti nel seguente elenco:

1. Determinare lo schema statico del perno: cioè si

deve determinare la condizione di vincolo della

trave che rappresenta il comportamento

strutturale del perno.

2. Determinare la, o le condizioni, di carico agenti.

3. Determinare gli sforzi massimi presenti nel

materiale.

4. Eseguire le verifiche di resistenza.


I perni

• E’ da notare che per eseguire i passi 3. e

4. devono essere note tutte le dimensioni

del perno che, a loro volta, devono essere

determinate sulla base del dimensiona-

mento ancora da eseguire. Per risolvere

questo problema si è soliti scindere il

passo 3 in alcune attività elementari,


I perni

3.1 Assumere le dimensioni principali del

perno, eccetto il suo diametro, in base a

considerazioni diverse dalla resistenza.

3.2 Determinare la dimensione del diametro

nel punto più sollecitato imponendo la

condizione di resistenza.

3.3 Determinare gli sforzi negli altri punti

caratteristici del perno.


I perni

• Per quanto riguarda i punti nei quali è

possibile che la resistenza del materiale

sia messa in crisi, si può assumere che sia

necessario determinare:

– Lo sforzo massimo di flessione

– Lo sforzo massimo di taglio

– Lo sforzo massimo di contatto in

corrispondenza o dei vincoli o della zona di

applicazione del carico


I perni

f

b g b c g

d

fc / b fc / b

SEZ. A

SEZ. A

Vista la deformata del perno, il materiale che costituisce gli appoggi sarà

schiacciato maggiormente nella parte interna del perno e lo schiacciamento

diminuirà verso l’estremità del perno stesso. Pertanto, in prima approssimazione,

si può assumere che il carico sugli appoggi sia distribuito con legge lineare.


I perni

Condizione di carico

Diagramma del taglio

Diagramma del momento


I perni

• Lo sforzo massimo di flessione si verifica

nel centro del perno, avendo supposto di

concentrare le reazioni vincolari nel

baricentro della distribuzione triangolare

432max

cg

bfcM

Ad esso corrisponde lo sforzo massimo:

43

163max

cg

b

d

fc


I perni

• Lo sforzo massimo di taglio si verifica

invece tra il baricentro della distribuzione

triangolare sugli appoggi e l’inizio della

zona caricata in corrispondenza al

cuscinetto

2max3

8

d

fc


I perni

• Lo sforzo massimo di contatto si calcola

considerando che:

– Lungo l’asse la distribuzione è lineare

– Lungo il contorno la distribuzione e

cosinusoidale

– In realtà il problema è più complesso e quella

vista è solo una prima approssimazione

bd

fc

bd

fcac

424

2)(


I perni

• In conclusione, viste le relazioni scritte e

considerando di poter assumere c in base ad

altri dimensionamenti indipendenti da quello del

perno, b in base a considerazioni di ingombro e

g in base all’esperienza di realizzazioni consimili

funzionanti correttamente, è possibile usare la

definizione dello sforzo massimo di flessione

come relazione di progetto impiegando

successivamente le altre per eseguire la verifica.


I perni

• Questo “disaccoppiamento” del problema è valido perché:

– Il massimo dello sforzo di flessione è in mezzeria alla periferia della sezione

– Il massimo dello sforzo di taglio è nel tratto tra il vincolo e l’inizio della zona caricata, nel centro della sezione

– Il massimo dello sforzo di contatto è al termine della zona di appoggio sulla superficie esterna.


I perni

• Pertanto si deve ricavare il valore del diametro dalla relazione

• Dove af è la tensione ammissibile a fatica calcolata applicando la UNI 7670

• Qualora il carico esterno sia statico, il valore ammissibile è pari allo sforzo di snervamento diviso per il coefficiente di sicurezza

3max32

af

Md


I perni

• In generale il valore del diametro calcolato sarà un numero con decimali. La realizzazione pratica del perno impone invece di partire da un semilavorato commerciale

• Deve quindi risultare

Deff = Dcomm-2tlav > dcalcolato

tlav spessore da asportare durante la lavorazione di finitura.


I perni

• Esempio:

dcalcolato= 26.5 mm (risultato del calcolo di

resistenza)

tlav = 1 mm (lavorazione di sgrossatura e

finitura)

• Dcomm (20,25,30,35,40,...) mm

Dcomm = 30 mm

Deff = Dcomm-2tlav >= 28 mm > 26.5 mm = dcalcolato


Gli Assi

• Gli assi sono elementi monodimendionali

rotanti

• Essi non trasmettono potenza

• Sono soggetti ad una sollecitazione di

fatica, anche se i carichi sono costanti nel

tempo, a causa del movimento rotatorio

• Sono dotati di cuscinetti e di altri elementi

che trasmettono il carico.


Gli Assi

Schema di asse per un vagoncino ferroviario


Gli assi


Gli Assi

• Anche agli assi, vista la forma e le dimensioni, è possibile applicare la teoria della trave.

• La sollecitazione prevalente è quella di flessione, anche se deve comunque essere eseguita nei punti più critici la verifica a taglio

• Rispetto ai perni perde invece di significato la verifica delle tensioni di contatto.

• In molti casi può essere importante determinare la freccia massima e la rotazione sugli appoggi. Tale problema è analogo a quello che si affronta nella verifica a deformazione degli alberi, che verrà trattata più avanti.


Gli Assi

• Da un punto di vista operativo la sequenza delle

operazioni per il progetto è analoga a quella già

vista per i perni:

– Determinare lo schema statico associato all’asse che

consente di definire il suo comportamento strutturale.

– Determinare la, o le, condizioni di carico agenti.

– Determinare gli sforzi massimi presenti nel materiale.

– Eseguire le verifiche di resistenza.


Gli Assi

• Nel caso degli assi la difficoltà essenziale sta nelle limitazioni della teoria della trave per calcolare lo stato di sforzo di un elemento monodimensionale di forma non regolare.

• Infatti in corrispondenza delle ruote e dei cuscinetti, l'asse presenta brusche variazioni di forma.

• Le singolarità di forma inducono una profonda variazione nello stato tensionale rispetto a quello ideale competente all’elemento di forma regolare, in base alla teoria della trave. Questa variazione genera una vera e propria concentrazione delle tensioni con valori massimi che possono essere varie volte quelli nominali.


Gli Assi

• Dal punto di vista del calcolo degli sforzi

questo problema si risolve introducendo il

fattore di concentrazione delle tensioni kt

• Tale fattore dipende dalla sollecitazione

agente, dalla geometria della singolarità e

dalle dimensioni

• Tale dipendenza è evidenziata mediante

relazioni numeriche approssimate o grafici


Gli Assi

• E’ evidente allora che questo fatto introduce un’ulteriore complicazione nel processo di progetto di un asse.

• Infatti, anche se sono note tutte le dimensioni eccetto il diametro minimo, quest’ultimo non può essere determinato con certezza in quanto non è possibile conoscere con esattezza il valore di kt.

• Per risolvere operativamente il problema si procede utilizzando un processo iterativo di operazioni di progetto e verifica che giunge, di solito, a rapida convergenza.


Gli Assi

1) Determinare lo schema statico associato all’asse che

consente di definire il suo comportamento strutturale.

2) Determinare la, o le, condizioni di carico agenti

3) Risolvere la struttura cioè calcolare le reazioni vincolari e i

diagrammi delle sollecitazioni agenti


Progetto degli assi

• Supponendo di conoscere in base a considerazioni di ingombro o ad altri dimensionamenti, le dimensioni l e b, nella generica sezione i-esima si può porre, detta 0 la resistenza di riferimento del materiale

0 f

i

iW

Mcioè 30 32

d

Pb

Da cui si ottiene

3

0

32

Pd


Progetto degli assi

• E’ evidente che in tal modo si trascura l’effetto della concentrazione delle tensioni conseguente alla presenza della brusca variazione di sezione presente in A.

• Per ovviare a tale inconveniente si è soliti assumere per 0 un valore congruemente minore (3 o 4 volte) della resistenza effettivamente resa disponibile dalle caratteristiche del materiale.

• In tal modo si determina d ; in base ad esso è possibile definire tutte le grandezze geometriche caratteristiche dell’asse.


Progetto degli assi

• È possibile anche scegliere il cuscinetto

volvente e quindi determinare l’entità dello

spallamento necessario e del raggio di

raccordo compatibile con l’anello interno

del cuscinetto stesso.

• Ciò consente, tra l’altro, di valutare

mediante gli appositi diagrammi il valore di

kt e di eseguire la verifica della sezione


Progetto degli assi

• La relazione da utilizzare è quindi la seguente:

k

nTK

Ifdc

Daf KKK

KKKK

11

Fd

Pb03

32

Dove 0F è la tensione ammissibile a fatica che

dipende, tra l’altro dal fattore di concentrazione

delle tensioni

11'

102N 102

102N 102

2

6

'/16

6

/16

cc

NK

NK

c

n

c

n

max

min

10

3

5

11

3

5

0k1- 23

5

k

k

kR

K

kK

f

K

K

DRc

loglog

108log102log 36


Progetto degli assi

• Se la verifica è soddisfatta, il processo di progetto ha termine, altrimenti è necessario variare opportunamente il diametro d per ottenere il superamento della verifica di resistenza.

• La verifica deve essere eseguita nuovamente anche nel caso che la sia soddisfatta al primo tentativo con un margine eccessivo. Infatti in tal caso si avrebbe uno spreco di materiale.

• L’iter progettuale ora esposto definisce, da un punto di vista progettuale, un “modus operandi” di riferimento per il progetto a resistenza di un asse.


Gli Alberi

• Gli alberi sono elementi meccanici impiegati per il trasferimento di potenza.

• Per tale funzione essi sono soggetti a taglio, forza normale, flessione e torsione.

• Essendo elementi rotanti essi sono soggetti a fatica anche in presenza di carichi esterni costanti.

• Spesso però la sollecitazione di fatica trae origine anche dalla variabilità ciclica dei carichi esterni.


Gli Alberi

• Gli alberi sono gli elementi ad asse rettilineo più complessi tra quelli fin qui esaminati. Tale complessità deriva dalle caratteristiche dei carichi agenti e dalla forma e dalle dimensioni.

• Per quanto riguarda la forma si è sempre in presenza di variazioni di sezione, fori, cave, scanalature che alterano profondamente, come già accennato nel paragrafo relativo agli assi, la distribuzione delle tensioni.

• Anche le dimensioni sono motivo di complessità. È infatti assai frequente che le dimensioni assiali e trasversali non siano quelle per cui la teoria della trave fornisce risultati esatti.


Gli Alberi


Il progetto degli alberi

• Il processo di progetto e verifica è complesso ed articolato. I passi essenziali sono i seguenti: 1. Determinare lo schema statico associato all’albero.

2. Determinare la, o le, condizioni di carico agenti in base alla condizioni operative ed alla tipologia degli organi calettati sull’albero.

3. Risolvere la struttura determinando le reazioni vincolari ed i diagrammi delle sollecitazioni.

4. Eseguire il dimensionamento preliminare dell’albero e il suo disegno di primo tentativo.

5. Eseguire il dimensionamento degli organi calettati o desumere le dimensioni interessanti l’albero dai dimensionamenti già eseguiti.

6. Individuare le sezioni più sollecitate ed eseguire le verifiche di resistenza.


Progetto degli alberi

• Se il passo finale fornisce risultati con esito positivo, cioè verifica che siano soddisfatte le relazioni di resistenza (con margini non eccessivi), il procedimento si può considerare concluso;

• Altrimenti si deve iterare il procedimento modificando le dimensioni delle parti insufficienti o sovrabbondanti.

• Una volta definita la soluzione finale è possibile produrre il disegno costruttivo dell’albero e la relativa relazione di calcolo


Schema statico

• Per quanto riguarda lo schema statico, esso è essenzialmente di tipo isostatico salvo qualche caso particolare. Supponendo di voler analizzare l’albero intermedio del riduttore lo schema statico è il seguente


Condizioni di carico

• Le condizioni di carico agenti vengono

solitamente determinate:

– analizzando le condizioni funzionali del

meccanismo, per conoscere la potenza da

trasmettere attraverso l’albero

– considerando la tipologia degli organi calettati

per conoscere le forze che vengono

trasmesse effettivamente.



• Una volta determinate le forze agenti e lo

schema statico, essendo quest’ultimo

quasi sempre isostatico, è possibile:

– risolvere la struttura

– determinare le reazioni vincolari, necessarie

per il calcolo dei supporti

– Calcolare la distribuzione delle sollecitazioni

necessarie per la valutazione degli sforzi

massimi presenti nel materiale.


Dimensionamento preliminare

• Il dimensionamento preliminare dell’albero si esegue in modo approssimato.

• Considerando la sezione minima che trasmette il momento torcente, la resistenza del materiale sarà sfruttata per la presenza della torsione e per la presenza delle altre sollecitazioni (flessione, forza normale, ecc.) nonché per l’effetto della concentrazione delle tensioni.

• A questo stadio del progetto gli ultimi due contributi non possono ancora essere valutati numericamente e pertanto appare inevitabile trascurarli.


Dimensionamento preliminare

• L’unica strada è quella già percorsa per il calcolo degli assi cioè ridurre il valore della resistenza di confronto del materiale e trascurare i contributi incogniti.

• Nei calcoli pratici si è soliti assumere un valore di 0 = 2070 Mpa, a seconda del tipo di materiale usato per realizzare l’albero e dell’importanza dei contributi trascurati.

• In definitiva il primo dimensionamento della sezione minima dell’albero sollecitata a torsione si esegue con la relazione:

3

0

16

tMd


Verifica finale

• A questo punto, grazie al dimensionamento

degli elementi collegati all’albero, quali

cuscinetti, pulegge, volani, giunti, ecc., è

possibile eseguire un disegno dell’albero

corredato di tutte le dimensioni.

• Tale configurazione sarà sottoposta a verifica di

resistenza individuando, grazie all’andamento

delle sollecitazioni agenti e delle sezioni

reagenti, le zone critiche in quanto più

sollecitate.


Verifica finale

• A proposito di queste ultime si devono sottolineare alcuni aspetti particolari: – Le sezioni da verificare sono di solito scelte in

corrispondenza di concentrazioni di tensione. Lo stato tensionale massimo agisce spesso su un piano a priori incognito per effetto della sovrapposizione di forze non appartenenti allo stesso piano.

– E’ indispensabile analizzare la struttura su due piani perpendicolari, salvo poi determinare la risultante vettoriale delle sollecitazioni agenti.

– Lo stato tensionale è sempre complesso per cui è indispensabile calcolare una tensione totale equivalente mediante un’adeguata ipotesi di resistenza.


Organi calettati

• Uno dei passi fondamentali per il progetto a resistenza degli alberi è la valutazione delle forze trasmesse dagli organi calettati.

• Nei calcoli che verranno eseguiti si usa l’ipotesi conservativa di trascurare i rendimenti.

• Gli elementi che vengono solitamente considerati sono: – Pulegge per trasmissioni ad attrito

– Ruote per catene

– Ruote dentate

– Volani

– Giunti


Trasmissione a cinghie


Pulegge per trasmissioni ad attrito

• Le pulegge per la trasmissione di potenza mediante attrito vengono utilizzate quando l’elemento che consente il trasferimento è un flessibile reale, costituito da una cinghia piatta o trapezoidale o da una fune.

T

t

b

b w1

a

w2

2)(

pdtT

W

w

afeqvt

qvT

2

2

v = w .(dP /2)


Pulegge per trasmissioni ad attrito

• Le due forze T e t provocano flessione su due piani ortogonali. Scegliendo tali piani secondo gli assi x e y rispettivamente coincidente con la congiungente i centri di rotazione e perpendicolare ad essa, si ottiene:

)sen()(

)cos()(

b

b

tTF

tTF

y

x

22

ab


Trasmissioni per catena


Ruota dentata con catena

• In una trasmissione per catena si può supporre che la trazione sul ramo lento sia nulla e pertanto

pd

WT

w

2

22

)(2

)cos(2

ab

bw

bw

send

WF

d

WF

p

y

p

x


Volani

• I volani sollecitano l’albero, oltre che con il peso, che, per la specifica funzione, non è trascurabile, con i momenti delle forze di inerzia durante i transitori. Detta dw/dt l’accelerazione angolare ed IP il momento d’inerzia di massa, si ha

dt

dIM pt

w

dt

db

dM t

w

32

4


Giunti

w

WM t

I giunti sollecitano

solitamente l’albero

applicando un

momento torcente


Ruote dentate

• Le ruote dentate sono l’elemento più

frequentemente usato per la trasmissione

di potenza tra alberi.

• La trasmissione avviene per il contatto di

profili coniugati

• Le forze trasmesse dipendono dalle

dimensioni e dalla tipologia delle ruote

(elicoidali, coniche, sghembe, ecc.)


Ruote dentate


Ruote dentate

)tan(2

)cos(

)tan(2

2

a

a

p

ta

n

p

t

r

p

t

t

d

MF

d

MF

d

MF

w

WM t

)tan(atf MM

Fr

Fa

Ft

Ruote elicoidali per assi paralleli


Ruote dentate

)cos()tan(2

2

m

tr

m

tt

d

MF

d

MF

)sen()tan(

)sen()tan(2

tf

m

t

a

MM

d

MF

Ruote coniche a denti dritti


Ruote Coniche a denti elicoidali

dove il segno dipende dal confronto tra il verso di rotazione e quello di

inclinazione della direttrice: se concorde si usa +, se discorde si usa -.

)cos()tan()cos(

)()tan(

)cos()tan()cos(

)()tan(

2 ;)()tan(

)cos(

)cos()tan(

2

2

bb

bb

b

b

senMM

sen

d

MFsen

d

MF

d

MF

tf

m

ta

m

tr

m

tt


Calcolo a deformazione In tutti i casi fin qui esaminati, gli elementi quali perni, assi e

alberi, sono stati analizzati dal punto di vista della resistenza.

Esistono invece alcune condizioni in cui non è il calcolo a

resistenza quello che fornisce la condizione più limitante per il

dimensionamento.

Infatti può verificarsi che gli elementi calettati sugli alberi

impongano di limitare la freccia sotto carico per evitare, ad

esempio, un errato accoppiamento; ancora, è spesso necessario

limitare la rotazione in corrispondenza dei cuscinetti che

costituiscono i supporti per evitare un funzionamento non

corretto.

In tutti questi casi si deve calcolare la deformata della trave,

associata all’elemento come schema statico, sotto l’azione dei

carichi agenti nelle diverse condizioni di funzionamento.


Calcolo a deformazione

• In questi casi è necessario stabilire prima quali siano i valori ammissibili delle deformazioni, in analogia a quanto fatto per i valori ammissibili degli sforzi

Tipo l=f/L

Grossolano 1/1000

Comune 1/2000

Riduttori 1/3000

Macchine utensili 1/5000

Tipo f

Cuscinetti corti 1/500

Cuscinetti lunghi 1/1000

Macchine utensili 1/2000

Valori limite delle frecce Valori limite delle rotazioni



• Per quanto riguarda le modalità di calcolo è possibile

applicare la relazione fondamentale della teoria della

trave che, integrata due volte, consente di calcolare la

f(x), andamento delle rotazioni, e la w(x), andamento

delle frecce.

• L’integrazione può essere perfezionata calcolando le

costanti di integrazione sulla base delle condizioni al

contorno, rappresentate dalle condizioni di vincolo.

)(2

2

xMdx

wdEI

Per travi tozze è necessario tenere conto del contributo della deformabilità a taglio



• È chiaro che il calcolo espresso dall’integrazione dell’equazione fondamentale della trave è sempre teoricamente significativo, ma diventa rapidamente complesso quando l’albero è sollecitato da più di un carico o quando è formato da tratti di dimensione diversa. Infatti il valore di I varia per ciascun tratto e quindi è necessario spezzare l’integrazione in più parti. Ciò complica la determinazione delle costanti di integrazione ed impone la necessità di scrivere le equazioni di continuità ad ogni estremo dei tronchi omogenei.

• In queste condizioni l’unica via percorribile è il calcolo numerico.


Calcolo dinamico di assi e alberi

• Il problema del progetto di assi ed alberi è stato fin qui esaminato come un problema statico, cioè senza effetti dinamici conseguenti al moto di rotazione o alla variazione nel tempo dei carichi esterni.

• È’ ben noto invece che fenomeni di amplificazione dinamica si verificano con grande frequenza come conseguenza da un lato della variabilità delle condizioni di carico e dall’altro dell’elasticità del sistema strutturale costituito dall’albero (o dall’asse), dagli organi calettati o collegati e dai supporti. Tali fenomeni possono portare, qualora non adeguatamente previsti, alla rottura del sistema e pertanto devono essere approfonditamente studiati per poter eseguire in modo completo ed affidabile il progetto.



• Il primo passo dell’analisi del comportamento dinamico di assi e alberi è il calcolo della frequenza propria per accertare l’assenza di fenomeni di risonanza.

• Questi ultimi avvengono infatti quando la frequenza dell’eccitazione esterna è coincidente o prossima alla frequenza propria del sistema



• Per poter valutare il

comportamento di

sistemi complessi è

necessario usare dei

modelli.

• Il più semplice

modello per l’analisi

dinamica è quello

detto a 1 Grado di

Libertà

m

c k

F(t)

x(t)

)(tFkxxcxm

m

kn w

Tf nn

1

2

w



• La risonanza deve essere evitata perché in corrispondenza ad essa si verificano amplificazioni inaccettabili

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0

2

4

6

8

10

I H

(w)

Iww

0

Elemento Forzante

Motore elettrico kwR k = 1,2,3

Ruota dentata ( Z = numero

di denti)

kZwR k = 1,2,3

Elica (Z = numero di pale) kZwR k = 1,2

Alternatori (wel pulsazione

elettrica)

2wel

M. C. I. (Z = numero cilindri) kwRZ k=1,2,3,4

wn* = wn (1 - 2)0.5

= c/ccrit

kMccr 2



• Per calcolare la frequenza propria del

sistema è necessario valutare la rigidezza k

ai bi

i

l

22

1

6

i

iba

lEIk

l

3

3

l

EIki

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