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UN PROGRAMMA NONLINEARE AD ELEMENTI FINITI PER L’ANALISI DI

STRUTTURE DI SOSTEGNO FLESSIBILI

GIUGNO 2014

MODULO PARATIE - TEORIA

CeAS C E N T R O D I A N A L I S I S T R U T T U R A L E S . R . L .

viale Giustiniano 10

20129 Milano

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PARATIE PLUS 2014 - Giugno 2014

2 Ce.A.S. s.r.l.

Modulo PARATIE - Teoria

Ce.A.S. s.r.l. 3

INDICE

1111 PREMESSAPREMESSAPREMESSAPREMESSA ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 5555

2222 LA STRUTTURA DI PARALA STRUTTURA DI PARALA STRUTTURA DI PARALA STRUTTURA DI PARATIETIETIETIE ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 7777

3333 FASI TIPICHE DELL’ANFASI TIPICHE DELL’ANFASI TIPICHE DELL’ANFASI TIPICHE DELL’ANALISIALISIALISIALISI ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9999

3.1 LA FASE ZERO ................................................................................................................................... 9

3.2 UNA FASE DI SCAVO ........................................................................................................................... 9

3.3 LA SIMULAZIONE DI UN RINTERRO ....................................................................................................... 9

3.4 L’APPLICAZIONE DI TIRANTI O DI PUNTONI .......................................................................................... 10

3.5 APPLICAZIONE DI CARICHI ESTERNI E VINCOLI .................................................................................... 11

4444 IL MODELLO DEL TERREIL MODELLO DEL TERREIL MODELLO DEL TERREIL MODELLO DEL TERRENONONONO ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 13131313

4.1 CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA SCELTA DEI PARAMETRI. ............................................................... 13

4.2 PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO IL MODELLO ................................................................................. 14

4.3 MODELLO PER TERRENI GRANULARI CON O SENZA COESIONE EFFICACE. ............................................. 16

4.4 MODELLO PER ARGILLE IN CONDIZIONI DRENATE O NON DRENATE ....................................................... 20

4.4.1 Il criterio di rottura in termini efficaci ...................................................................................... 20

4.4.2 Comportamento in condizioni drenate ................................................................................... 21

4.4.3 Comportamento in condizioni non drenate ............................................................................ 22

4.4.4 Passaggio da condizioni non drenate a drenate.................................................................... 23

4.4.5 Comportamento semplificato in condizioni non drenate ........................................................ 24

4.4.6 Come iniziare l’analisi se si usa il modello per argille ............................................................ 24

4.5 RIASSUNTO DEI MODELLI PER LA SIMULAZIONE DEL TERRENO ............................................................. 25

5555 LALALALA PRESENZA DI ACQUA NEPRESENZA DI ACQUA NEPRESENZA DI ACQUA NEPRESENZA DI ACQUA NEL TERRENOL TERRENOL TERRENOL TERRENO .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 26262626

5.1 CALCOLO DELLE PRESSIONI INTERSTIZIALI NEL CASO DI FILTRAZIONE ................................................. 26

5.2 CALCOLO DELLE PRESSIONI INTERSTIZIALI IN PRESENZA DI TERRENO IN CONDIZIONI NON DRENATE....... 30

5.3 CONDIZIONI DI STABILITÀ DEL FONDO SCAVO E USO DELLA “LINING OPTION” ........................................ 33

5.3.1 Simulazione di un tampone di fondo attraverso uno strato impervio. .................................... 33

5.3.2 Utilizzo della “Lining Option” .................................................................................................. 34

5.4 UTILIZZO DELLE PRESSIONI INTERSTIZIALI DATE PER PUNTI ................................................................. 34

5.4.1 Interfaccia con il modulo di filtrazione 2D .............................................................................. 36

6666 VALUTAZVALUTAZVALUTAZVALUTAZIONE DEI CEDIMENTI VIONE DEI CEDIMENTI VIONE DEI CEDIMENTI VIONE DEI CEDIMENTI VERTICALIERTICALIERTICALIERTICALI ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 37373737

7777 L’EFFETTO DI CARICHIL’EFFETTO DI CARICHIL’EFFETTO DI CARICHIL’EFFETTO DI CARICHI NASTRIFORMINASTRIFORMINASTRIFORMINASTRIFORMI .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 39393939

7.1 CARICHI PREESISTENTI ALLO SCAVO ..................................................................................... 39

7.1.1 Descrizione del metodo di simulazione ................................................................................. 39

7.1.2 Avvertenza importante ........................................................................................................... 43

7.2 CARICHI NASTRIFORMI APPLICATI IN UNA FASE SUCCESSIVA ........................................... 44

7.3 RIMOZIONE DI CARICHI NASTRIFORMI .................................................................................... 44

8888 EFFETTO ARCO NEL TEREFFETTO ARCO NEL TEREFFETTO ARCO NEL TEREFFETTO ARCO NEL TERRENORENORENORENO ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 45454545

9999 OPZIONE ELEMENTI SLAOPZIONE ELEMENTI SLAOPZIONE ELEMENTI SLAOPZIONE ELEMENTI SLAVEVEVEVE ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 47474747

10101010 VALUTAZIONE DEL COEFVALUTAZIONE DEL COEFVALUTAZIONE DEL COEFVALUTAZIONE DEL COEFFICIENTE DI SICUREZZFICIENTE DI SICUREZZFICIENTE DI SICUREZZFICIENTE DI SICUREZZAAAA .................................................................................................................................................................................................................................................... 50505050

11111111 ANALISI SISMICHEANALISI SISMICHEANALISI SISMICHEANALISI SISMICHE .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 52525252

11.1 PREMESSA .................................................................................................................................. 52

11.2 SCELTA DELL'ACCELERAZIONE DI PROGETTO ................................................................................. 53

11.2.1 Eurocodice 8 ...................................................................................................................... 53

11.2.2 NTC2008 ............................................................................................................................ 54

11.2.3 Metodi basati sul controllo delle deformazioni ................................................................... 55

11.3 CALCOLO DELLE SPINTE IN CONDIZIONI SISMICHE ........................................................................... 57

11.3.1 Spinte Attive secondo il metodo di Mononobe e Okabe .................................................... 58

11.3.2 Coefficienti di spinta passiva sismici .................................................................................. 59

11.3.3 Caso di terreno stratificato ................................................................................................. 60

11.3.4 Terrapieno parzialmente immerso ..................................................................................... 60


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11.3.5 Presenza di un invaso ....................................................................................................... 60

11.4 SPINTE SU MURI RIGIDI: IL METODO DI WOOD ................................................................................ 62

11.5 APPLICAZIONE DELLE SPINTE SISMICHE PSEUDO-STATICHE ............................................................ 63

11.5.1 Applicazione spinte sismiche attive ................................................................................... 63

11.5.2 Applicazione spinte sismiche elastiche (Wood) ................................................................ 63

11.5.3 Commenti .......................................................................................................................... 64

11.6 IL METODO DI CALCOLO AUTOMATICO DI PARATIE .......................................................... 64

11.6.1 Premessa .......................................................................................................................... 64

11.7 LA PROCEDURA AUTOMATICA PASSO DOPO PASSO ........................................................................ 64

12121212 RIFERIMENTI BIBLIOGRRIFERIMENTI BIBLIOGRRIFERIMENTI BIBLIOGRRIFERIMENTI BIBLIOGRAFICIAFICIAFICIAFICI................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 67676767


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1111 PREMESSAPREMESSAPREMESSAPREMESSA

Questo manuale descrive sinteticamente i metodi di calcolo implementati nel modulo PARATIE, il motore di calcolo non lineare di PARATIE PLUS. Nello stesso tempo sono proposti suggerimenti sull'uso del programma con riferimento al diverse situazioni che possono presentarsi nella pratica.

Ogni capitolo ha un taglio monografico: non è quindi necessario leggere in modo sequenziale tutto il manuale, ma è possibile di volta in volta consultare la parte riguardante il singolo problema. Le eventuali ripetizioni vanno quindi giustificate alla luce di questa impostazione.

È importante sottolineare quanto segue:

• L'utente di PARATIE PLUS deve possedere una discreta preparazione nel campo della Meccanica del Terreno. Alcuni tipi di analisi possibili con PARATIE PLUS richiedono una buona padronanza della Geotecnica, soprattutto per quanto riguarda la simulazione di terreni in presenza di falda.

• L'utilizzo del programma da parte di persone non consce di questa problematica può portare a conclusioni prive di riscontro fisico ed a un progetto inaffidabile.

• Le indicazioni qui riportate sui criteri per la valutazione dei parametri geotecnici e, più in generale, sui metodi di calcolo delle opere di sostegno, vanno comprese ed accettate dall’utilizzatore del programma che è titolare esclusivo di ogni responsabilità su qualunque conseguenza che ne può derivare.

In questo manuale, utilizzeremo il termine PARATIE per riferirci al modulo di analisi non lineare con il metodo delle molle monodimensionali, facente parte del più ampio ambiente di calcolo offerto da PARATIE PLUS.


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2222 LA STRUTTURA DI PARATIELA STRUTTURA DI PARATIELA STRUTTURA DI PARATIELA STRUTTURA DI PARATIE

PARATIE è un codice agli elementi finiti che simula il problema di uno scavo sostenuto da diaframmi flessibili e permette di valutare il comportamento della parete di sostegno durante tutte le fasi intermedie e nella configurazione finale.

Il problema è visto ad un problema piano in cui viene analizzata una “fetta” di parete di larghezza unitaria, come mostrato nella Figura 2-1. PARATIE non è quindi idoneo a studiare problemi in cui vi siano importanti effetti tridimensionali.

Figura Figura Figura Figura 2222----1111

La modellazione numerica dell’interazione terreno-struttura è del tipo “TRAVE SU SUOLO ELASTICO”: le pareti di sostegno vengono rappresentate con elementi finiti trave il cui comportamento è definito dalla rigidezza flessionale EJ, mentre il terreno viene simulato attraverso elementi elastoplastici monodimensionali (molle) connessi ai nodi delle paratie: ad ogni nodo convergono uno o al massimo due elementi terreno.


PIANO CAMPAGNA INIZIALE

SCAVO INTERMEDIO PER POSA TIRANTE

FONDO SCAVO FINALE

ELEMENTO MOLLA CHE SIMULA IL TIRANTE ATTIVO

TERRENO DI MONTE

CUNEO DI VALLE

ELEMENTI BEAM CHE SIMULANO LA PARETE FLESSIBILE IN C.A. O ACCIAIOTERRENO RIMOSSO PRIMA

DI INSTALLARE IL TIRANTE

TERRENO RIMOSSO DOPO L'INSTALLAZIONE DEL TIRANTE

TIRANTE

SCAVO INTERMEDIO PER POSA TIRANTE

FONDO SCAVO FINALE

PROBLEMA REALE MODELLO DI CALCOLO CON PARATIE

⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒


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Il limite di questo schema sta nell’ammettere che ogni porzione di terreno, schematizzata da una “molla”, abbia comportamento del tutto indipendente dalle porzioni adiacenti; l'interazione fra le varie regioni di terreno è affidata alla rigidezza flessionale della parete.

La realizzazione dello scavo sostenuto da una o due paratie, eventualmente tirantate, viene seguita in tutte le varie fasi attraverso un'analisi STATICA INCREMENTALE: ogni passo di carico coincide con una ben precisa configurazione caratterizzata da una certa quota di scavo, da un certo insieme di tiranti applicati, da una ben precisa disposizione di carichi applicati. Poiché il comportamento degli elementi finiti è di tipo elasto-plastico, ogni configurazione dipende in generale dalle configurazioni precedenti e lo sviluppo di deformazioni plastiche ad un certo passo condiziona la risposta della struttura nei passi successivi. La soluzione ad ogni nuova configurazione (step) viene raggiunta attraverso un calcolo iterativo alla Newton-Raphson (Bathe (1996))

L'analisi ha lo scopo di indagare la risposta strutturale in termini di deformazioni laterali subite dalla parete durante le varie fasi di scavo e di conseguenza la variazione delle pressioni orizzontali nel terreno. Per far questo, in corrispondenza di ogni nodo è necessario definire due soli gradi di libertà, cioè lo spostamento orizzontale e la rotazione attorno all’asse X ortogonale al piano della struttura (positiva se antioraria)

Ne consegue che con questo strumento non possono essere valutati:

• cedimenti o innalzamenti verticali del terreno in vicinanza dello scavo1.

• condizioni di stabilità generale del complesso parete+ terreno+tiranti

In questa impostazione particolare, inoltre, gli sforzi verticali nel terreno non sono per ipotesi influenzati dal comportamento deformativo orizzontale, ma sono una variabile del tutto indipendente, legata ad un calcolo basato sulle classiche ipotesi di distribuzione geostatica.

Queste e altre osservazioni che verranno qua e là evidenziate devono mettere in guardia l’utilizzatore sui limiti intrinseci di questo approccio ed invitare ad un’analisi critica dei risultati che il codice produce.

1 Esistono diversi metodi per correlare cedimenti verticali alle deformazioni laterali: si veda Nova,

Becci (1987) o il capitolo 6 di questo manuale.


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3333 FASI TIPICHE DELL’ANALISIFASI TIPICHE DELL’ANALISIFASI TIPICHE DELL’ANALISIFASI TIPICHE DELL’ANALISI

Si elencano, nel seguito, le fasi tipiche di una modellazione di scavo affrontata con PARATIE. La grande flessibilità del programma permette anche altre possibilità di simulazione.

3.13.13.13.1 La fase zeroLa fase zeroLa fase zeroLa fase zero

La simulazione numerica di un generico problema geotecnico richiede generalmente che sia prevista una fase zero coincidente con la configurazione a riposo nella quale viene riprodotto lo stato tensionale supposto esistente nel terreno prima di ogni intervento. In PARATIE, la configurazione zero deve prevedere uno step di carico in cui tutti gli elementi terreno siano presenti e bilanciati tra monte e valle; la quota di scavo coincide inoltre con la quota del piano di campagna e la freatica a monte e a valle sono alla stessa quota.

La soluzione nel primo step porta ad un campo di spostamenti nodali ovunque nullo e quindi ad uno stato tensionale nullo negli elementi trave che simulano i diaframmi. Negli elementi terreno vi sarà per contro uno stato tensionale non nullo ma relativo a condizioni indisturbate, cioè la pressione verticale funzione della quota del piano di campagna e dei sovraccarichi ed una pressione orizzontale legata alla precedente attraverso il coefficiente di spinta a RIPOSO.

Alla pressione orizzontale così calcolata si sommano gli effetti di pressioni iniziali dovute a sovraccarichi concentrati calcolate sulla base di formule della teoria dell'Elasticità.

Si suppone in pratica che l’inserimento della parete, prima dello scavo, perturbi di poco lo stato tensionale nel terreno.

Il solutore risolve la fase zero impiegando al massimo due iterazioni di equilibrio: se al primo passo sono necessarie più iterazioni, i dati di input normalmente non sono corretti.

3.23.23.23.2 Una fase di scavoUna fase di scavoUna fase di scavoUna fase di scavo

Un passo dell'analisi incrementale coincidente con l'abbassamento della quota di fondo scavo viene simulato come segue. Viene assegnata—per questo passo—una quota di fondo scavo inferiore a quella dei passi precedenti; PARATIE rimuove automaticamente gli elementi terreno al di sopra della quota di fondo scavo, perturbando la configurazione di equilibrio nella fase precedente. L’equilibrio viene ristabilito, con una procedura iterativa, a prezzo di una variazione del quadro deformativo. Se non è possibile raggiungere una nuova configurazione rispettosa sia dell’equilibrio sia della condizione di rottura del terreno, il processo iterativo non converge.

Durante una fase di scavo, può essere prescritto l’abbassamento della freatica all’interno dello scavo.

Inoltre può essere simulata la realizzazione di un tampone di fondo tramite il miglioramento del terreno naturale con tecnologie quali il jet-grouting o simili.

3.33.33.33.3 La simulazione di un rinterroLa simulazione di un rinterroLa simulazione di un rinterroLa simulazione di un rinterro

Una porzione di terreno, dopo essere stata rimossa, in seguito ad un scavo, può essere riattivata: in questo modo viene simulato un rinterro. Lo stato di sforzo negli elementi finiti appena riattivati viene calcolato nel seguente modo:

la componente verticale efficace viene calcolata tenendo conto della componente geostatica, del sovraccarico uniformemente distribuito e degli effetti di eventuali fondazioni nastriformi, secondo i criteri esposti nel capitolo 7;

la componente orizzontale efficace viene calcolata moltiplicando per il coefficiente di spinta a riposo K0

NC, lo sforzo verticale efficace dovuto alla componente geostatica ed al sovraccarico uniformemente distribuito, ma non agli effetti di eventuali carichi nastriformi;

la pressione dell’acqua viene valutata come in qualsiasi altro elemento.

Tutto questo alla prima iterazione del passo in cui avviene la riattivazione: alla fine del processo iterativo che porta alla soluzione equilibrata, lo sforzo efficace orizzontale può differire dal valore di spinta a riposo, se in terreno appena riattivato subisce delle deformazioni.


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Per specificare un rinterro, è sufficiente assegnare una quota di fondo scavo (o di piano campagna), superiore a quella della fase precedente.

È possibile simulare—in via approssimata—anche l’effetto di una compattazione, applicando, e poi rimuovendo, un sovraccarico uniformemente distribuito equivalente al rullaggio stesso.

3.43.43.43.4 L’applicazione di tiranti o di puntoniL’applicazione di tiranti o di puntoniL’applicazione di tiranti o di puntoniL’applicazione di tiranti o di puntoni

La messa in opera di un ordine di tiranti va generalmente simulata con uno step a se stante, se non altro per poter valutare le conseguenze di questa variazione, al netto di altri effetti collaterali di disturbo.

L’applicazione di un tirante, di solito, viene preceduta da una fase nella quale lo scavo è approfondito appena al di sotto della quota di inserimento dell’ancoraggio. In questo modo il vero processo realizzativo è simulato in modo abbastanza fedele. Invece, attivando il tirante contemporaneamente all’approfondimento dello scavo, si perde la possibilità di valutare una fase intermedia che talora potrebbe essere critica.


Il tirante applicato è un elemento finito che diviene attivo a partire da questo step e che può eventualmente essere rimosso in seguito. La sua “nascita” provoca nel modello due effetti:

1. sorge una forza al nodo di applicazione del tirante, forza dovuta allo stato di coazione (la pretensione) con cui l'elemento nasce;

2. la rigidezza globale della struttura riceve un contributo dovuto alla rigidezza estensionale del tirante stesso. Quando, nelle fasi successive, il nodo ove il tirante è connesso, subirà ulteriori spostamenti, la forza nel tirante subirà mutamenti.

Un tirante attivo viene caratterizzato anche da una rigidezza assiale data da un’espressione del tipo:

K=E×(A/L)

ove E è il modulo elastico della barra, A l’area per unità di larghezza della barra nel tratto deformabile e L la lunghezza del tratto deformabile del tirante, che può essere stimata come indicato nella figura che segue.


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Calcoliamo, per esempio, il rapporto A/L per un tirante da 600 kN disposto, in orizzontale ogni 2.5 m: sia

σamm=800 MPa (tensione ammissibile del trefolo, valore tipico); L=15 m;

si avrà quindi: A=(600×103)/(2.5×103×800)=0.3 mm2/mm; A/L=0.3/15000=2.×10-5 (adimensionale)

Se il tirante viene imposto senza una pretensione iniziale, nel modello non si hanno ripercussioni. In modo analogo, la simulazione della messa in opera di un puntone (un elemento TRUSS) o di una soletta (elemento SLAB) che collega punti di due diaframmi opposti, non provoca di per se stessa variazioni e quindi non vale la pena prevedere uno step dell'analisi per questo solo motivo.

Per l'elemento TRUSS che collega due nodi, è possibile definire un comportamento “gap”, cioè prevedere resistenza nulla a trazione.

3.53.53.53.5 Applicazione di carichi esterni e vincoliApplicazione di carichi esterni e vincoliApplicazione di carichi esterni e vincoliApplicazione di carichi esterni e vincoli

Generalmente la simulazione del processo realizzativo di un diaframma non necessita la definizione di forze esterne. La struttura è sollecitata dalla differente distribuzione di coazioni negli elementi terreno a monte e a valle della paratia.

È comunque possibile definire anche forze laterali esterne, concentrate e distribuite, facendole variare durante le varie fasi.

Infine conviene ricordare che i sovraccarichi verticali non vengono trattati come carichi esterni, ma servono esclusivamente a determinare uno stato geostatico nel terreno.

Quanto all’imposizione di condizioni di vincolo, PARATIE permette di specificare condizioni al contorno che impongono un ben preciso valore di spostamento o rotazione (assoluta o incrementale rispetto al passo di attivazione del vincolo) ad una generica quota. Questa opzione può essere usata per svariati scopi, tra i quali:

* simulazione di puntelli rigidi;

* simulazione di tiranti attivi, in una fase di predimensionamento.

L bond

α L free

L = Lfree + L bond × η ( η < 1)


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4444 IL MODELLO DEL TERRENOIL MODELLO DEL TERRENOIL MODELLO DEL TERRENOIL MODELLO DEL TERRENO

4.14.14.14.1 Considerazioni generali sulla scelta dei parametri.Considerazioni generali sulla scelta dei parametri.Considerazioni generali sulla scelta dei parametri.Considerazioni generali sulla scelta dei parametri.

Il problema dell'interazione tra terreno e struttura nel caso di paratie a mensola o tirantate si presenta come molto complesso e può essere affrontato a diversi livelli di sofisticazione. Il metodo forse più comunemente usato è quello di schematizzare il problema come piano nelle deformazioni e di condurre un'analisi tensionale con elementi finiti bidimensionali. Questo metodo consente di descrivere adeguatamente la variabilità locale del terreno, nonché cambiamenti di geometria anche complessi e di tener conto della presenza di sovrastrutture nelle vicinanze della paratia. Ha però il limite di essere oneroso, per cui esso può di fatto venire impiegato solo come verifica a posteriori di una struttura altrimenti progettata. Inoltre, affinché il costo dell'analisi sia abbordabile, la legge costitutiva del terreno che viene impiegata nell'analisi deve essere semplice. In genere vengono usate leggi del tipo elastico perfettamente plastico che danno del terreno un quadro assai lontano dalla realtà sperimentale.

La strategia seguita nella definizione del programma PARATIE è diversa: si è voluto infatti produrre uno strumento utile anche in fase progettuale, che consentisse un'analisi delle azioni su una paratia in “tempo reale”. A questo scopo si è schematizzato il terreno come un letto di molle, come già fatto da molti autori, vedi ad esempio Bowles (1988). La novità rispetto a precedenti lavori consiste nella legge costitutiva che tiene conto dei più importanti aspetti del comportamento sperimentale osservato.

Il limite dei modelli a molle tradizionali consiste infatti nella semplificazione eccessiva che essi danno del comportamento del terreno. Perché questi modelli forniscano risultati in buon accordo con l'evidenza sperimentale, è necessario che la rigidezza delle molle dipenda non solo dalle caratteristiche meccaniche del terreno, ma anche dal grado di vincolo della paratia e dalle sue caratteristiche di snellezza e deformabilità: vedi ad esempio Jamiolkowski e Pasqualini (1979). Poiché queste quantità sono note solo a progetto ultimato, è ovvio che la soluzione non può che essere ottenuta iterativamente e che per utilizzare questo metodo è necessario avere una buona esperienza che permetta di scegliere correttamente il valore della rigidezza delle molle.

In PARATIE, malgrado la legge costitutiva tenga conto di fenomeni complessi quali la storia geologica e il conseguente stato tensionale iniziale, il differente comportamento in fase di carico vergine o di scarico-ricarico, il comportamento a rottura, l'utente deve utilizzare come dati di ingresso solo parametri consueti per un ingegnere che si occupi di problemi geotecnici. La rapidità di esecuzione dei calcoli e la semplicità formale dei dati di ingresso non devono però trarre in inganno: la legge costitutiva utilizzata è relativamente complessa perché complesso è il comportamento meccanico del terreno. La scelta dei parametri deve quindi essere fatta da una persona che ne abbia chiaro il significato fisico. Va da sé che se i dati di ingresso sono forniti in modo formalmente corretto ma concettualmente improprio, i risultati del programma possono essere anche lontani da quelli osservati sulla struttura reale.

Per facilitare il compito dell'utente verranno brevemente richiamati il tipo dei parametri impiegati, il loro significato fisico e il campo di variabilità dei valori. Si noti a questo proposito che poiché i terreni possono essere caratterizzati da valori di resistenza e deformabilità assai diverse, l'intervallo dei valori dei parametri può essere molto ampio. Specialmente per opere importanti è indispensabile che la scelta dei parametri sia effettuata sulla scorta di un'indagine geotecnica correttamente condotta.


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4.24.24.24.2 Parametri che caratterizzano il modelloParametri che caratterizzano il modelloParametri che caratterizzano il modelloParametri che caratterizzano il modello

I parametri che identificano il tipo di legge costitutiva possono essere distinti in due sottoclassi: parametri di spinta e parametri di deformabilità del terreno.

I parametri di spinta sono il coefficiente di spinta a riposo K0, il coefficiente di spinta attiva KA e il

coefficiente di spinta passiva KP.

Il coefficiente di spinta a riposo fornisce lo stato tensionale presente in sito prima delle operazioni di scavo. Esso lega la tensione orizzontale efficace σ'h a quella verticale σ'v attraverso la relazione:

σ σ' 'h vK= 0

K0 dipende dalla resistenza del terreno, attraverso il suo angolo di attrito efficace φ' e dalla sua storia

geologica. Si può assumere che:

K K OCRNC m0 0= ( )

dove:

K sinNC0 1= − φ '

è il coefficiente di spinta a riposo per un terreno normalconsolidato (OCR=1). OCR è il grado di sovraconsolidazione e m è un parametro empirico, di solito compreso tra 0.4 e 0.7. Ladd et al. (1977), Jamiolkowski et al. (1979) forniscono valori di m per argille italiane.

Il coefficiente di spinta attiva e passiva sono dati secondo Rankine per una parete liscia, da

( )

( )

K

K

A

P

= °−

= °+

tan ' /2

tan ' /2

2

2

45

45

φ

φ

Attraverso valori opportuni di KA e KP si può tener conto dell'angolo di attrito δ tra paratia e terreno e della

pendenza del terreno a monte ed entro la luce di scavo; si possono usare a questo scopo i valori desunti da NAVFAC (1986)) o quelle elaborate da Caquot e Kerisel (1948)

Il valore limite della tensione orizzontale sarà dato da

σ σ

σ σh A v A

h P v P

K c K

K c K

' ' '

' ' '

= −

= +

2

2

a seconda che il collasso avvenga in spinta attiva o passiva rispettivamente. c' è la coesione drenata del terreno.

I parametri di deformabilità del terreno compaiono nella definizione della rigidezza delle molle. Per un letto di molle distribuite la rigidezza di ciascuna di esse, k, è data da

k E L= /

ove E è un modulo di rigidezza del terreno mentre L è una grandezza geometrica caratteristica. Poiché nel programma PARATIE le molle sono posizionate a distanze finite ∆, la rigidezza di ogni molla è

KE

L= ∆

Il valore di ∆ è fornito dalla schematizzazione ad elementi finiti. Il valore di L è fissato automaticamente dal programma. Esso rappresenta una grandezza caratteristica che è diversa a valle e a monte della paratia perché diversa è la zona di terreno coinvolta dal movimento in zona attiva e passiva. Si è scelto, in zona attiva (uphill):

( )LA A= °−23 45l tan ' /2φ


Ce.A.S. s.r.l. 15

e in zona passiva (downhill):

( )LP P= °+23 45l tan ' /2φ

dove lA e lP sono rispettivamente:

{ }

{ }

l

l

A

P

l H

l H H

=

= −

min , ;

min ,

2

e dove l = altezza totale della paratia e H = altezza corrente dello scavo. La logica di questa scelta è illustrata nella pubblicazione di Becci e Nova (1987).

Si assume in ogni caso un valore di H non minore di 1/10 dell’altezza totale della parete.

Il parametro E dipende dalla storia tensionale del sito nonché dall'incremento locale dello stato tensionale come illustrato in Becci e Nova (1987).

Il modulo E può essere considerato dipendente dalla pressione media ( )p v h= +σ σ' ' / 2 secondo la

legge

( )E R p pa

n=

in cui pa è la pressione atmosferica mentre R e n sono quantità determinabili sperimentalmente. È ovvio

che ponendo n=0 si può considerare il caso di modulo costante, mentre se n è posto pari a 1, si ha il caso, tipico delle argille normalconsolidate, in cui il modulo varia linearmente con la profondità.

Il valore R è diverso in condizioni di carico vergine o di scarico-ricarico. Valori indicativi di R e n sono dati da Janbu (1963). La variabilità di questi parametri è grandissima. Per una sabbia n può variare tra 0.2 e 1.0 e R tra 8 e 200 MPa (un esempio di utilizzo di PARATIE per terreni sabbiosi si può trovare in BARLA e altri, (1988)). Per un'argilla normalmente consolidata n≅1. I valori di R per argille italiane possono essere dedotti da Jamiolkowski et al. (1979).

Si noti inoltre che, poiché lo stato tensionale iniziale vergine non è isotropo, la rigidezza del terreno in condizioni di carico vergine è minore di quella che si può misurare in prove triassiali drenate isotropicamente consolidate.

Nel caso in cui n=0, il valore del modulo R in condizioni di carico vergine può essere considerato identico al valore del modulo elastico inteso tradizionalmente. Per una correlazione con i risultati delle più comuni prove in sito si veda ad esempio Bowles (1988). Per terreni sabbiosi, una stima di del modulo elastico E può essere ottenuta attraverso una delle seguenti relazioni.

( ) (MPa) NE SPT⋅÷≈ 32 ,

oppure

( ) 0180 G.E ⋅÷≈ ,

in cui Nspt è il numero di colpi ricavato per mezzo della prova SPT e G0 è il modulo di taglio a piccolissime deformazioni.

Il modulo di scarico-ricarico è da 3 a 10 volte maggiore nel caso di argille, mentre è in genere da 1.5 a 3 volte più grande nel caso di sabbie.

Si noti infine che il programma può essere utilizzato, rinunciando peraltro a buona parte delle sue possibilità, anche per esaminare paratie su letto di molle alla Winkler. I valori della costante di sottofondo da utilizzare sono ad esempio indicati nel testo di Cestelli-Guidi (1984),in quello di Scott (1981) oppure in Bowles (1988).

PARATIE PLUS mette a disposizione dell'utente alcuni suggerimenti per la stima dei parametri, a seconda della natura del terreno e delle caratteristiche delle prove disponibili. Ulteriori indicazioni, sulla scorta di confronti con i casi reali, sono contenute nel manuale degli esempi.


16 Ce.A.S. s.r.l.

4.34.34.34.3 Modello per terreni granulari con o senza coesione efficace.Modello per terreni granulari con o senza coesione efficace.Modello per terreni granulari con o senza coesione efficace.Modello per terreni granulari con o senza coesione efficace.

Le due componenti di sforzo efficace, verticale ed orizzontale, σ’v e σ’h, vengono intese come sforzi principali. In un piano a due dimensioni i cui assi rappresentano le componenti di sforzo, viene definita una funzione di plasticità che esprime i confini di una regione entro la quale il generico punto tensione deve trovarsi. Una legge di incrudimento inoltre definisce le modalità secondo le quali questa regione può mutare (vedi figura 4-1).

h∆σ'

v∆σ' <0

G

V-C

V-C

UL-RLv∆σ' >0

∆σ'h F

D

C E

B

A

hσ'

v

σ' v,m

ax

σ'h,max

σ' v

hσ'

P=stress point

Figura Figura Figura Figura 4444----1111: il pi: il pi: il pi: il piano delle tensioni per un elemento terreno (SOIL) in condizioni drenateano delle tensioni per un elemento terreno (SOIL) in condizioni drenateano delle tensioni per un elemento terreno (SOIL) in condizioni drenateano delle tensioni per un elemento terreno (SOIL) in condizioni drenate

A seconda della regione in cui il punto tensione si trova, si definisce un determinato stato (o fase) che stabilisce caratteristiche di rigidezza dell’elemento.

Sono possibili tre situazioni:

Fase elastica: l'elemento si comporta elasticamente; questa fase corrisponde ad una porzione di terreno in fase di scarico-ricarico, sollecitato a livelli di sforzo al di sotto dei massimi livelli precedentemente sperimentati (si pensi al comportamento di un terreno sovraconsolidato). Questa fase viene identificata con la sigla UL-RL (Unloading- Reloading). Generalmente, a questo stato, corrisponde la rigidezza più elevata.

Fase incrudente:l'elemento viene sollecitato a livelli di tensione mai ancora sperimentati. È questo per esempio il caso di terreni durante la fase di deposizione del banco di materiale a cui appartengono. Secondo la teoria della plasticità, questo comportamento può essere visto come incrudente. La rigidezza con cui reagisce il terreno è inferiore a quella relativa alla fase precedente, ma non nulla. Inoltre, qualora il processo di carico tendesse ad invertirsi, il terreno andrebbe in fase di scarico-ricarico. La fase incrudente è identificata dalla sigla V-C (Virgin Compression).

Collasso: il terreno è sottoposto ad uno stato di sollecitazione coincidente con i limiti minimo o massimo dettati dalla resistenza del materiale (espressi attraverso coesione e coefficienti di spinta). Questa fase corrisponde a quelle che solitamente vengono chiamate condizioni di spinta attiva o passiva. Non sono tanto importanti i valori delle singole componenti principali di sforzo, quanto la differenza fra essi (che rappresenta il massimo sforzo di taglio). Il collasso viene identificato attraverso la parola ACTIVE o PASSIVE.


Ce.A.S. s.r.l. 17

Per caratterizzare lo stato tensionale all'inizio dell'analisi, viene calcolato lo sforzo verticale efficace ad ogni quota in base alla configurazione geometrica (quota del piano campagna), alla stratigrafia, al livello di falda ed all'eventuale sovraccarico. Lo sforzo orizzontale è quindi calcolato moltiplicando lo sforzo verticale per il coefficiente di spinta a riposo K0. Ad esso vengono sommati gli eventuali contributi provenienti da distribuzioni di sforzi iniziali provocati da carichi concentrati.

Per stabilire se l'elemento, inizialmente, è in compressione vergine (V-C) oppure in fase elastica (UL-RL), si confronta lo sforzo a riposo con i valori massimi di sforzo:

( )σ σ

σ σ

v v step

hNC

v

OCR

K

,max'

,'

,max'

,max'

=

=

1

0

Nelle fasi successive, lo stato tensionale della molla generica è calcolato come segue:

La pressione verticale è sempre ricalcolata tenendo conto della configurazione geometrica al passo (della quota del piano campagna se la molla simula il terreno “a monte”; della quota del fondo scavo se essa simula il terreno all'interno della luce di scavo), della falda, dell'eventuale moto di filtrazione e del sovraccarico.

Lo sforzo orizzontale invece è calcolato indipendentemente come conseguenza della deformazioni che il generico elemento ha subito, a partire dalla fase iniziale. I limiti di plasticizzazione minimo (spinta attiva) e massimo (spinta passiva) dipendono poi dallo sforzo verticale corrente: essi quindi variano ad ogni passo.

Allo sforzo orizzontale efficace è sommata la pressione dell'acqua alla quota corrispondente alla posizione dell'elemento.

Tra σ’h e σ’v (le due componenti efficaci di sforzo (orizzontale e verticale) il legame dipende dallo stato in cui l’elemento si trova:

• in condizioni iniziali il legame dipende da K0;

• in condizioni di equilibrio limite, σ’h e σ’v sono legate dall'esigenza di rispettare il criterio di rottura.

• nel generico passo, per un percorso di carico all’interno del dominio e corrispondente ad

incrementi nulli di deformazioni laterali, l’incremento di sforzo orizzontale efficace ∆σ’h è legato

all’incremento di sforzo verticale efficace ∆σ’v attraverso K0NC , σ’v,max e σ’h,max. A tal proposito si

faccia riferimento alla Figura 4-2 2, in cui sono rappresentati alcuni stress path a deformazione

laterale bloccata: se ∆σ’v è positivo ed il punto tensione, corrispondente ad uno stato

normalmente consolidato, si trova sul dominio elastico delimitato dalle rette σ’v = σ’v,max e

σ’h =σ’h,max, ∆σ’h è calcolato come ∆σ’h = K0NC×∆σ’v; questa condizione si verifica per gli stress

path da 0 a 2, oppure da 4 a 5 oppure da 7 a 8. Se il punto tensione corrisponde ad un terreno sovraconsolidato che viene ricompresso (stress path da 3 a 4 oppure da 6 a 7), oppure nel caso

di scarico (da 0 a 1), ∆σ’h è valutato attraverso una relazione non lineare che, nel caso di situazione edometrica, riproduca la condizione

σ’h = K0NC(σ’v,max/σ’v )

n × σ’v cioè σ’h = K0NC(OCR)n × σ’v

Nel caso infine di compressione partendo da uno stato sovraconsolidato, si ha un legame misto fra i due sopra descritti (stress path da 6 a 8, passando per 7, oppure da 3 a 5 passando per 4).

2 Nella figura σ’v,max= σ’v,0 e σ’h,max= σ’h,0


18 Ce.A.S. s.r.l.

0

hσ'

vσ'

σ'h,0

v,0

σ'

1

σ' v,1

σ'v,0

σ'v,1

2

5

4

3

6

7

8

K 0,NC

K 0,NCK 0

K 0,NC

K 0,NC n

=

Figura Figura Figura Figura 4444----2222: percorsi di carico a deformazione laterale bloccata: percorsi di carico a deformazione laterale bloccata: percorsi di carico a deformazione laterale bloccata: percorsi di carico a deformazione laterale bloccata

Nella versione precedente, il comportamento era diverso, perché, nel caso di ∆σ’v≠0, ad incrementi nulli

di deformazioni laterali, corrispondevano incrementi nulli ∆σ’h, a meno di variazioni necessarie per rispettare la condizione di rottura: in altre parole gli stress path erano verticali.

Questo comportamento era un limite del modello, chiaramente indicato dagli autori del programma e, di fatto, scarsamente influente sui risultati nella maggioranza dei casi. L’utente di PARATIE può attivare, volendo, un comportamento identico a quello implementato nelle versioni precedenti la 6.0.

Seguono ora alcuni altri esempi che dovrebbero chiarire ancor meglio il legame costitutivo implementato.

σ'h

vσ'

hσ'

1 1

2

3

4, 6

2

4

3

σ'h v/ σ' = KP

0= K/ σ'vhσ'

A= K/ σ'vhσ'

URK

VCK

URK

δ

55

6Vergin Compression

Unloading-Reloading


Seguiamo, tramite la Figura 4-3, un percorso di carico nel piano σ’v-σ’h e nel piano δ-σ’h con δ = spostamento orizzontale del punto (positivo se comprime l’elemento terreno). Il punto 1 corrisponde a condizioni a riposo per un elemento di materiale incoerente sovraconsolidato (infatti il punto 1 è all’interno della frontiera che divide la fase elastica da quella di compressione vergine). I successivi punti

rappresentano un’evoluzione dello stato di sforzo a parità di σ’v: comprimendo l’elemento viene dapprima raggiunta la frontiere della compressione vergine (punto 2) e da 1 a 2 la rigidezza della molla è quella a


Ce.A.S. s.r.l. 19

scarico-ricarico. Continuando a comprimere si ha, da 2 a 3, una risposta in termini di rigidezza in compressione vergine, quindi da 3 a 4 un puro scorrimento plastico perché il punto tensione si mantiene in condizioni di spinta passiva; il percorso da 4 a 5 rappresenta uno scarico (con rigidezza elastica) mentre quello da 5 a 6 un successivo ricarico.

Unloading-Reloading

Vergin Compression

44

K VC

K URσ'h v/ σ' = KA

σ'h v/ σ' = K0

P= K/ σ'vhσ'

3

2

5

3

2

11

σ'h

σ'v

hσ'

δ

K UR

5


Nella Figura 4-4 è rappresentato un percorso analogo al precedente, con la sola differenza che lo scarico (da 3 a 4) avviene prima che il punto tensione raggiunga la condizione limite di spinta passiva: nel successivo ricarico da 4 a 5 si ha un tratto elastico (da 4 a 3), un tratto incrudente (da 3 al raggiungimento del limite) ed un tratto perfettamente plastico.

Unloading-Reloading

Vergin Compression

K VC

K URσ'h v/ σ' = KA

σ'h v/ σ' = K0

P= K/ σ'vhσ'

2

11

σ'h

σ'v

hσ'

δ

URK

3 3

44

2


Nella Figura 4-5 è rappresentato un percorso di carico in cui il punto 1 corrisponde a condizioni a riposo per un elemento di materiale incoerente normalmente consolidato: infatti il punto 1 stabilisce la frontiera tra fase elastica e fase di compressione vergine. I successivi punti 2 e 3 rappresentano un’evoluzione

dello stato di sforzo a parità di σ’v in cui si comprime l’elemento portandolo in condizioni di spinta passiva

(punto 3); il percorso da 3 a 4 rappresenta uno scarico in termini di σ’v ed un allentamento (con rigidezza elastica) fino al raggiungimento di condizioni attive.

Altri dettagli ed esempi sono contenuti nell'articolo di Becci e Nova (1987).


20 Ce.A.S. s.r.l.

4.44.44.44.4 Modello per argille in condizioni drenate o non drenateModello per argille in condizioni drenate o non drenateModello per argille in condizioni drenate o non drenateModello per argille in condizioni drenate o non drenate

Il legame costitutivo previsto in PARATIE per le argille esprime il criterio di rottura in termini dei soli parametri efficaci e permette di modellare il comportamento sia in condizioni drenate che non drenate, nonché il passaggio dalle une alle altre e viceversa.

Nel caso di comportamento drenato, il modello si differenzia assai poco dal modello adatto ai terreni granulari: l’unica differenza consiste nel fatto che non viene utilizzata una coesione c’ fissa, ma questa evolve al variare della pressione di preconsolidazione.

Nel caso di comportamento non drenato, viene monitorato sia lo stato di sforzo efficace, che deve soddisfare il proprio criterio di rottura, sia lo stato di sforzo totale. Il percorso del punto tensione efficace (ESP) è molto diverso dal percorso che seguirebbe il punto in condizioni drenate perché viene imposto un vincolo cinematico che esprime la condizione di variazione nulla di volume. Potendo seguire l’evoluzione sia dello sforzo totale (TSP) che efficace (ESP), è possibile calcolare per differenza, l’evoluzione delle pressioni interstiziali, la cui variazione, in condizioni non drenate, dipende dalle deformazioni subite dallo scheletro solido.

4.4.14.4.14.4.14.4.1 Il criterio di rottura in termini efficaciIl criterio di rottura in termini efficaciIl criterio di rottura in termini efficaciIl criterio di rottura in termini efficaci

Analizziamo dapprima il criterio di rottura in termini efficaci. Il dominio è rappresentato nella Figura 4-6: sostanzialmente dipende da quattro parametri di spinta (KA,cv, KA,peak, KP,cv, KP,peak) e dal livello di

preconsolidazione (σ’v,max, σ’h,max).

hσ'

v'

K P,cv

K A,cv

σ'h,max

v,m

axσ'

ELASTIC DOMAIN EVOLUTION

ELASTIC DOMAIN

ELASTIC DOMAIN EVOLUTION

INTERCEPTS ON AXES PROPORTIONAL

TO APPARENT COHESION

K A,peak

K P,peakP

A 0

P'

A'

O

Figura 4-6: dominio di rottura per le argille

Al variare di σ’v,max o σ’h,max, si determinano i punti A e P sulle rette rispettivamente σ’h= KA,cv σ’v e σ’h=

KP,cv σ’v.

Da questi punti vengono determinate le intersezioni A’ e P’, sugli assi (σ’h= 0 e σ’v=0), di due rette che si dipartono da A e P con pendenza rispettivamente KA,peak e KP,peak ). Il dominio elastico è l’esagono irregolare (A’A0PP’O) così determinato. I segmenti O-A’ e O-P’ rappresentano la presenza di coesione

(capacità di resistenza a taglio a sforzo normale nullo). Al crescere di σ’v,max o σ’h,max, i punti A o P traslano: il dominio si espandeva ma non può contrarsi.


Ce.A.S. s.r.l. 21

Le rette σ’h= KA,cv σ’v e σ’h= KP,cv σ’v sono analoghe alla retta dello stato critico ed esprimono, in termini di parametri spinta, la condizione di rottura ultima (a grandi deformazioni). KA,cv e KP,cv sono i coefficienti di spinta attiva e passiva funzione dell’angolo di attrito φ’cv e dell’angolo di attrito terra-muro KA,peak e KP,peak sono i coefficienti angolari di rette che linearizzano il dominio di rottura in prossimità dell’origine e sono i coefficienti di spinta attiva e passiva funzione di un angolo di attrito φ’p (e dell’angolo di attrito terra-muro) minore di φ’cv. Il concetto è illustrato, per analogia, riferendosi al piano di Mohr, nella seguente figura.

τ

σ'

τ=σ' tan (φ' )cv

pτ=c'+σ' tan (φ' )

Figura Figura Figura Figura 4444----7777: dominio di rottura nel piano di Mohr: dominio di rottura nel piano di Mohr: dominio di rottura nel piano di Mohr: dominio di rottura nel piano di Mohr

Si noti che la caratterizzazione dell’argilla può, in prima approssimazione, essere completata fornendo solamente φ’cv che di norma è funzione dell’indice di plasticità PI; in questo caso, PARATIE calcola φ’p ponendo:

tan(φ’p)=tan(φ’cv)/1.5

e determina i coefficienti di spinta relativi ai due angoli utilizzando le classiche formule di Rankine.

4.4.24.4.24.4.24.4.2 Comportamento in condizioni drenateComportamento in condizioni drenateComportamento in condizioni drenateComportamento in condizioni drenate

Nel caso di comportamento drenato, come già detto, non si hanno particolari differenze rispetto al legame costitutivo per terreni granulari (con o senza parametro di coesione c’ costante). In particolare, valgono tutte le avvertenze fatte nel paragrafo 4.3.

Nella figura seguente si illustrano alcuni percorsi di carico (stress path) nel caso di comportamento drenato.

σ' v,0

h,0σ'

σ'v

σ'h

0

34

1 2

5 6

DRAINED STRESS PATHS

stress path at null lateralincremental deformation

stress path at σ' =const.v

K 0,NCK A,cv

K A,peak

P,cvKK P,peak

Figura Figura Figura Figura 4444----8888: alcuni stress path, caso drenato: alcuni stress path, caso drenato: alcuni stress path, caso drenato: alcuni stress path, caso drenato

In condizioni drenate si utilizzano i moduli elastici efficaci, come forniti dall’utente.


22 Ce.A.S. s.r.l.

4.4.34.4.34.4.34.4.3 Comportamento in condizioni non drenateComportamento in condizioni non drenateComportamento in condizioni non drenateComportamento in condizioni non drenate

Nel caso di condizioni non drenate, il vincolo di variazione nulla di volume determina il comportamento del generico punto tensione, come brevemente descritto nel seguito.

• Si assume che inizialmente si abbiano comunque condizioni drenate:

σh,0=K0(σv,0 – uuuu) + uuuu + effetti fondazioni preesistenti

• nelle fasi successive, se la deformazione laterale è bloccata, ogni incremento di sforzo verticale totale provoca un eguale incremento di sforzo orizzontale totale ed una variazione nulla dello sforzo efficace: l’incremento di carico grava esclusivamente sulla pressione dell’acqua.

• Quando si hanno incrementi nelle deformazioni laterali e conseguenti variazioni dello sforzo orizzontale totale (a variazione nulla di sforzo verticale totale), all’interno del dominio elastico, deve verificarsi la condizione:

∆σ’v+∆σ’h =0

affinché la deformazione volumetrica elastica sia nulla. Questa condizione determina la pendenza di uno stress path efficace all’interno del dominio elastico.

• Quando si raggiunge la frontiera del dominio, possono aversi diversi comportamenti a seconda dei casi e l’entità delle deformazioni plastiche è determinata ipotizzando la legge di normalità. Senza entrare eccessivamente nei dettagli del legame, possono verificarsi percorsi di carico quali

quelli illustrati nella Figura 4-9 (nella quale si evidenzia una pendenza ∆σ’v/∆σ’h = -1 all’interno del dominio elastico ed una pendenza diversa in caso di evoluzione verso condizioni di

compressione vergine,in cui ∆σ’v/∆σ’h = -α oppure -1/α , a seconda dei casi, con α=Eur/Evc)

• la pressione dell’acqua viene calcolata per differenza tra lo sforzo totale e quello efficace (vedi Figura 4-10, in cui si può notare che, ad esempio, nel punto C, la pressione uc è negativa)

• il terreno ha permeabilità nulla.

EFFECTIVE STRESS PATHS DURING UNDRAINED CONDITIONS AT

0

hσ'

v

K P,cv

K A,cv

σ'h,0

v,0

σ'

σ'

1

4

5

6

7

8

910

2

3

1

1

1

1

∆σ = 0vK A,peak

K P,peak

K 0,NC

α

1

1

12

11

13 α

Figura Figura Figura Figura 4444----9999: alcuni stress path, caso non drenato: alcuni stress path, caso non drenato: alcuni stress path, caso non drenato: alcuni stress path, caso non drenato

Si noti che, in linea di principio, non è necessario specificare una resistenza al taglio non drenata Su. È tuttavia possibile fare in modo che, contemporaneamente allo sforzo efficace, PARATIE controlli anche lo sforzo totale, confrontandolo con la resistenza al taglio non drenata Su fornita dall’utente. Il programma arresterà il percorso di carico quando il primo fra i due avrà raggiunto la propria frontiera.

Guardando la Figura 4-10, possiamo notare, ad esempio, che il punto tensione 0 potrebbe evolvere fino ad A’, ma si deve arrestare in A, poiché lo stress path totale (TSP), raggiunge la frontiera stabilita dallo coesione non drenata Su (indicata con linea spessa); per contro lo stress path efficace (ESP), partendo da


Ce.A.S. s.r.l. 23

1, evolve fino a raggiungere la frontiera stabilita dai parametri efficaci (percorso 1-B-C), mentre il relativo stress path totale raggiunge il punto C ancora all’interno del dominio funzione di Su.

Perché il percorso di carico non sia condizionato da Su, è necessario specificare un valore molto elevato della resistenza a taglio.

v∆σ = 0

A'

, σ

u2s

v

0

0

A

ATSP

ES

P

1

B

C1

CESP

TSP

0u

u 0

1u

u1

u C

Cu

u A

uA

2su

TS BOUNDARY

ES BOUNDARY

vσ'

h, σσ'h

1

1

α

Figura Figura Figura Figura 4444----10101010: esempi di evoluzione dello stress path in condizioni non drenate: esempi di evoluzione dello stress path in condizioni non drenate: esempi di evoluzione dello stress path in condizioni non drenate: esempi di evoluzione dello stress path in condizioni non drenate

La rigidezza delle molle, in condizioni non drenate, è calcolata internamente da PARATIE, in base ai moduli elastici efficaci.

4.4.44.4.44.4.44.4.4 Passaggio da condizioni non drenate a drenatePassaggio da condizioni non drenate a drenatePassaggio da condizioni non drenate a drenatePassaggio da condizioni non drenate a drenate

Uno strato di argilla può passare da comportamento iniziale non drenato a comportamento drenato e viceversa: in queste circostanze, PARATIE opera come segue:

Passaggio da comportamento non drenato a drenato:

Durante le fasi in cui si assume comportamento non drenato, PARATIE può calcolare sia l’evoluzione degli sforzi totali che di quelli efficaci e di conseguenza l’evoluzione delle pressioni interstiziali che, in condizioni non drenate, dipendono dalle deformazioni subite dal terreno.

Il passaggio da condizioni non drenate a drenate consiste quindi semplicemente nel cambio di logica alla base della valutazione degli incrementi di sforzo. In particolare, le pressioni dell’acqua non dipendono più dalla deformazioni subite dal terreno, ma dalle sole condizioni idrauliche.

OSSERVAZIONE IMPORTANTEOSSERVAZIONE IMPORTANTEOSSERVAZIONE IMPORTANTEOSSERVAZIONE IMPORTANTE: nel caso in cui l’utente abbia disattivato l’opzione che indica a PARATIE di stimare l’evoluzione degli sforzi efficaci in condizioni non drenate (vedi paragrafo 4.4.5), non è possibile simulare passaggio a condizioni drenate.

Passaggio da comportamento drenato a non drenato:

all’inizio della fase i-esima in cui è avvenuto il passaggio, PARATIE calcola lo sforzo orizzontale totale σh,i ponendolo uguale allo sforzo totale nell’elemento nella fase precedente:

σh,i=σh,i-1 con

σh,i-1=σ’h,(i-1) + uuuui-1

ove

σ’h,(i-1) sforzo orizzontale efficace nell’elemento terreno alla fine del passo precedente (i-1), nel quale l’elemento si trovava in condizioni drenate

uuuui-1 pressione interstiziale nel terreno funzione della configurazione nel passo precedente


24 Ce.A.S. s.r.l.

Durante il processo iterativo nella fase i-esima, σh,i verrà poi aggiornato in funzione degli incrementi di deformazione che l’elemento subirà.

4.4.54.4.54.4.54.4.5 Comportamento semplificato in condizioni non drenateComportamento semplificato in condizioni non drenateComportamento semplificato in condizioni non drenateComportamento semplificato in condizioni non drenate

In condizioni non drenate non è necessario fornire la coesione non drenata Su (fatte salve le avvertenze sopra riportate), né il modulo elastico Eu.

È tuttavia possibile fare un’analisi semplificata specificando i soli parametri Su ed Eu. In questo caso PARATIE controllerà il solo stato di sforzo totale, ignorando il criterio di rottura in termini di parametri efficaci. In questo caso non è tuttavia possibile simulare il passaggio da condizioni non drenate a drenate.

4.4.64.4.64.4.64.4.6 Come iniziare l’analisi se si usa il modello per argilleCome iniziare l’analisi se si usa il modello per argilleCome iniziare l’analisi se si usa il modello per argilleCome iniziare l’analisi se si usa il modello per argille

Con questo modello, è necessario simulare il più correttamente possibile le condizioni iniziali dell’argilla, perché da queste dipende la resistenza a taglio, sia in condizioni drenate che non drenate.

Nel caso un banco di argilla normalmente consolidata, si può iniziare l’analisi del processo di scavo senza particolari accorgimenti.

Nel caso di argilla sovraconsolidata, si deve assegnare il grado di sovraconsolidazione (OCR). In questo caso si può operare in due modi:

1. si assegna un valore di OCR>1 valevole per tutto il banco di argilla e si inizia l’analisi senza ulteriori accorgimenti (in condizioni drenate o non drenate, a seconda dei casi) oppure,

2. si assegna un valore OCR=1 , ma prima di iniziale la simulazione del processo di scavo vero e proprio, si deve simulare il vero processo di consolidazione e cioè:

a. si definisce un passo iniziale in cui l’argilla è in condizioni drenate e si assegna un sovraccarico tale da riprodurre, nelle fasi successive, il grado di sovraconsolidazione

b. si definisce un secondo passo nel quale si rimuove detto sovraccarico, assicurandosi che l’argilla si trovi ancora in condizioni drenate

c. si inizia l’analisi di scavo attuale, mantenendo condizioni drenate, oppure attivando l’opzione di comportamento non drenato, in funzione di quel che l’utente vuole simulare.

Il secondo modo di operare è nettamente preferibile al primo in quanto riproduce con maggior precisione la variazione di OCR con la profondità, fornendo una distribuzione più realistica della resistenza a taglio.

ZSC ZPC ZWT

Clay in drained conditions

Q>0 Q=0

Clay in drained conditions

ZWTZPCZSC

1 2 3 4

OCR

5

OCR=1

σ'v vσ'

STEP 1 STEP 2 STEP 35

OCR

4321

ZSC

ZPC ZWT

Clay in undrained conditions

Q=0

Figura Figura Figura Figura 4444----11111111: procedura per la simulazione di condizioni iniziali in argille: procedura per la simulazione di condizioni iniziali in argille: procedura per la simulazione di condizioni iniziali in argille: procedura per la simulazione di condizioni iniziali in argille

Nella Figura 4-11, lo step 1 rappresenta condizioni passate nelle quali il banco di argilla era sottoposto a pressioni verticali efficaci maggiori rispetto a quelle attuali. Lo step 2 rappresenta le condizioni attuali in situ, nelle quali la rimozione del sovraccarico Q riproduce il fenomeno geologico che ha portato alle condizioni odierne (ad esempio un fenomeno di erosione). Dallo step 3 in poi inizia la simulazione dello scavo vero e proprio. Se il processo di scavo avvenisse in condizioni drenate (diversamente da quanto


Ce.A.S. s.r.l. 25

previsto in figura), si potrebbe passare direttamente dallo step 1 allo step 3. Viceversa, assumendo condizioni non drenate durante le fasi di scavo, la simulazione dello step 2 è necessaria, altrimenti le condizioni iniziali attuali (ovviamente drenate) non sarebbero riprodotte correttamente.

4.54.54.54.5 Riassunto dei modelli per la simulazione del terrenoRiassunto dei modelli per la simulazione del terrenoRiassunto dei modelli per la simulazione del terrenoRiassunto dei modelli per la simulazione del terreno

Nella seguente tabella riportiamo molto sinteticamente le possibilità offerte dai tre tipi di modello per la simulazione del comportamento dei terreni, nonché una guida che orienta alla scelta più adatta al problema in esame.

modello per terreni granulari

modello per argille modello semplice per argille non

drenate

condizioni drenate �� —

condizioni non drenate — ��

passaggio da drenato a non drenato — ��

passaggio da non drenato a drenato — �� ————

parametri di resistenza in condizioni drenate c’, φ’ φ’cv , φ’p ————

parametri di resistenza in condizioni non drenate ———— φ’cv , φ’p , Su Su

parametri di deformabilità in condizioni drenate Eur, Evc Eur, Evc ————

parametri di deformabilità in condizioni non drenate

———— Eur, Evc Eu

modifica parametri di resistenza durante l’analisi �� ———— ��

modifica parametri di deformabilità durante l’analisi

��

calcolo delle pressioni interstiziali �� ————

permeabilità �� ———— ————

simulazione di terreni incoerenti (sabbie, ghiaie) �� ————

simulazione di argille in condizioni drenate semplificatasemplificatasemplificatasemplificata �� ————

simulazione di argille in condizioni non drenate ———— �� semplificatasemplificatasemplificatasemplificata

simulazione di sabbie cementate �� ———— ————

simulazione di tamponi di fondo (jetgrouting o simile)

consigliatoconsigliatoconsigliatoconsigliato

simulazione di rocce caratterizzate dalla resistenza a rottura non confinata

consigliatoconsigliatoconsigliatoconsigliato


26 Ce.A.S. s.r.l.

5555 LA PRESENZA DI ACQUA NEL TERRENOLA PRESENZA DI ACQUA NEL TERRENOLA PRESENZA DI ACQUA NEL TERRENOLA PRESENZA DI ACQUA NEL TERRENO

Nel tenere conto della presenza di acqua nel terreno PARATIE assume che il terreno immerso sia saturo (grado di saturazione 100%).

Il calcolo della pressione dell’acqua nei pori è, per ipotesi, del tutto indipendente da qualsiasi deformazione e conseguente stato di sforzo nello scheletro solido del terreno. Nel solo caso in cui uno strato di terreno (immerso nella falda) venga dichiarato come non drenato, in questa zona la pressione dell’acqua non viene definita.

Sono ignorati effetti quali la consolidazione (trasferimento graduale di sforzi dall'acqua allo scheletro solido).

Possono darsi due condizioni da intendersi come stazionarie:

1. condizioni di acqua in quiete, in cui la distribuzione delle pressioni è idrostatica;

2. condizioni di moto stazionario di acqua in un mezzo poroso, in cui la distribuzione delle pressioni non è idrostatica ma tiene conto della dissipazione di energia potenziale causata dalla filtrazione.

Il primo caso è banale, mentre nel secondo caso si ricorre ad uno schema semplificato illustrato nel paragrafo seguente.

5.15.15.15.1 Calcolo delle pressioni interstiziali nel caso di filtrazioneCalcolo delle pressioni interstiziali nel caso di filtrazioneCalcolo delle pressioni interstiziali nel caso di filtrazioneCalcolo delle pressioni interstiziali nel caso di filtrazione

Nel caso in cui l'utente specifichi un abbassamento della freatica a valle (parametro DZWT), si instaura un regime di filtrazione stazionario. Le pressioni interstiziali ed i gradienti idraulici sono calcolati attraverso lo schema semplificato qui di seguito illustrato.

LAYER 1 ZWT-DZWT

ZWT

LAYER 2

LAYER 3 LAYER 3

LAYER 4 LAYER 4

ZBALANCE

DZ

WT

u(Z) = pore pressure

ZPC

ZSC

Z

Figura Figura Figura Figura 5555----1111:lo schema di filtrazione in PARATIE:lo schema di filtrazione in PARATIE:lo schema di filtrazione in PARATIE:lo schema di filtrazione in PARATIE

Si assume che il flusso sia verticale, da monte verso valle e che la lunghezza totale L del tubo di flusso sia pari alla lunghezza del tratto di diaframma immerso nel terreno in falda a monte più la lunghezza del tratto a valle: si noti che PARATIE assume, come tratto impervio, un diaframma ipotetico, di spessore trascurabile, fino alla profondità ZBALANCE in cui si ipotizza che il flusso si inverta. Questa approssimazione mette in conto il minimo possibile percorso di flusso (sulla validità di tale scelta, per altro obbligata, si consulti Lancellotta (1988)).

Sia:


Ce.A.S. s.r.l. 27

DH= perdita totale di carico idraulico (DH = DZWT)

v= velocità del fluido

Ki = permeabilità del generico strato i-esimo attraversato dal tubo di flusso

Li = altezza del generico strato i-esimo attraversato dal tubo di flusso

DHi = perdita di carico dissipata nello strato i-esimo

Gli strati attraversati a monte e a valle vanno contati due volte. Si imponga la legge di Darcy, l’equazione di continuità e la condizione approssimata che il gradiente idraulico sia costante all’interno del generico strato: per ogni tratto i-esimo, possiamo dire che:

v KDH

Lii

i

= ed osservando che:

DH DH jj=∑ , si elimina l'incognita v e si risolve rispetto alla generica perdita di carico DHi

DH DH

LK

L

K

i

i

i

j

jj

=∑

La sommatoria va estesa a tutti i tratti a monte, fino al piede impermeabile, e per tutti gli strati a valle, dal piede impermeabile, fino alla quota più alta del terreno in falda.

Nota, in ogni punto, la perdita di carico, possiamo calcolare la pressione dell'acqua, applicando il teorema di Bernoulli:

u u Z ZWT Z DH w k k = = − − ∑ ( ) ( ) γ

in questa relazione la sommatoria deve essere estesa a tutti i tratti attraversati dal flusso per giungere in questa posizione.

PARATIE assume che la filtrazione sia impedita da uno strato in condizioni non drenate: in questo caso si determinano condizioni di tipo idrostatico e le pressioni interstiziali sono calcolate secondo i criteri esposti nel paragrafo 5.2.

Alcune osservazioni:

• Questa soluzione è di prima approssimazione ma è accettabile, soprattutto nel caso di una sola parete, perché in genere è in favore di sicurezza in quanto sovrastrima i gradienti idraulici, quindi le forze di filtrazione; è pertanto pessimistica riguardo a condizioni di sifonamento (quick conditions) a valle.

• D'altra parte, si può dimostrare che la distribuzione delle pressioni interstiziali sul diaframma è meno gravosa che non nella soluzione esatta: ma questo fattore, di solito, gioca un ruolo meno importante della componente efficace delle forze sulla parete.

• Se per uno strato non è definita la permeabilità, PARATIE considera tale strato praticamente impermeabile (poiché assume un valore di default molto basso). Se non è mai definita la permeabilità, per tutti gli strati è messo in conto il valore di default cosicché la filtrazione avviene in un mezzo omogeneo (si noti che PARATIE assume che il moto di filtrazione si instauri comunque).

• Non è strettamente necessario che le unità di misura per la permeabilità siano congruenti con le unità di misura della altre grandezze ma è necessario che siano rispettati i rapporti fra i valori relativi ai diversi strati.


28 Ce.A.S. s.r.l.

• L'utente può esplicitamente definire il valore di ZBALANCE, modificando la scelta di default di PARATIE (il programma assumerebbe, per ZBALANCE, la quota corrispondente all’estremità inferiore della paratia): agendo su questo dato, si possono simulare varie situazioni, tra le quali:

a) Ponendo ZBALANCE ad una quota molto bassa, si ricostituisce una situazione in cui il regime delle pressioni è totalmente disaccoppiato fra monte e valle (come se il piede del diaframma fosse immerso in uno strato impermeabile): infatti, in questo caso la lunghezza L del tubo di flusso tende ad un valore molto elevato, quindi il gradiente idraulico tende a zero; in definitiva il fenomeno della filtrazione diviene trascurabile.

b) Ponendo ZBALANCE ad una quota più bassa rispetto al piede del diaframma, è possibile “allungare” arbitrariamente il tubo di flusso: in tal modo è possibile riprodurre, con un po' di tentativi, la distribuzione delle pressioni interstiziali nota attraverso un reticolo di filtrazione.

• Nel caso in cui esistano elementi SOIL al di sotto di ZBALANCE, a queste quote la pressione dell'acqua viene calcolata ridefinendo, di volta in volta, la lunghezza del tubo di flusso (si suppone che il tubo di flusso cambi direzione alla quota corrente in cui si trova l'elemento).

La figura 5-2 illustra alcune situazioni tipiche.

È necessario specificare, per tutti gli strati di terreno, il peso dell'acqua tenendo presente che PARATIE non fa alcun controllo sul valore introdotto dall’utente.


Ce.A.S. s.r.l. 29

ZWT

ZPC

DZWT = 0

ZSC

In questo caso le pressioni dell’acqua sono le medesime a monte e valle: potrebbero essere ignorate nel bilancio delle forze orizzontali sulla parete.

ZBALANCE

ZSC DZ

WT

ZWT-DZWT

ZPC

ZWT

La pressione interstiziale è uguale a monte e a valle a Z=ZBALANCE

ZWT-DZWT ZSC

DZ

WT

>0

ZPC

ZWT

IMPERVIOUS SOIL

Una situazione del genere si può simulare ponendo ZBALANCE=-∞

IMPERVIOUS SOIL

ZWT-DZWT

ZWT

BY IMPROVEMENT

k << k

Nel caso si specifichi una permeabilità molto bassa in una zona del terreno, le perdite di carico si concentrano essenzialmente nello strato impervio ed altrove si mantiene una distribuzione idrostatica. Lo strato impervio, di norma, deve possedere una buona coesione.

Figura Figura Figura Figura 5555----2222: alcuni casi tipici affrontabili con PARATIE


30 Ce.A.S. s.r.l.

5.25.25.25.2 Calcolo delle pressioni interstiziali in presenCalcolo delle pressioni interstiziali in presenCalcolo delle pressioni interstiziali in presenCalcolo delle pressioni interstiziali in presenza di terreno in condizioni non drenateza di terreno in condizioni non drenateza di terreno in condizioni non drenateza di terreno in condizioni non drenate

In generale, PARATIE assume che la presenza di una o più regioni di terreno in condizioni non drenate impedisca l’instaurarsi di un moto di filtrazione.

Analizziamo dapprima il caso in cui esista una sola regione di terreno non drenato nel tratto interessato dall’ipotetico tubo di flusso: è questo il caso in cui sono state attivate condizioni non drenate in un solo strato, da una sola parte della parete.

In questo caso lo strato non drenato funge da barriera di separazione fra due regioni, una in diretta comunicazione idraulica con il pelo libero a monte e l’altra con il pelo libero a valle.

In una generica regione di terreno in condizioni drenate, la pressione dell’acqua verrà calcolata mettendo in conto il battente idraulico relativo alla parte on cui la regione è in diretta comunicazione. Nella figura seguente sono illustrati alcuni casi possibili in questa situazione.

Figura Figura Figura Figura 5555----3333: casi in cui esiste una sola regio: casi in cui esiste una sola regio: casi in cui esiste una sola regio: casi in cui esiste una sola regione non drenatane non drenatane non drenatane non drenata

Nel caso 1, ad esempio la regione 3 di terreno è a monte ma in comunicazione idraulica con la freatica di valle; nel caso 2 viceversa, la regione 2 di valle è in comunicazione idraulica con il battente di monte; nel caso 3 le regioni 3, 4 e 5 sono in comunicazione idraulica con la freatica di valle ed in particolare nella regione 3 la pressione negli interstizi è ovunque nulla. Nel caso 4 infine si hanno ovunque le medesime condizioni di battente idraulico.

Ovviamente nelle regioni in condizioni non drenate la pressione interstiziale è nulla, o meglio non è definita.

Analizziamo ora il caso in cui vi siano più regioni in condizioni non drenate: in questo caso, in generale, potranno esistere regioni di terreno drenato comprese fra due regioni non drenate e quindi non in diretta comunicazione né con la freatica di monte né con quella di valle.

ZWT-DZWT

ZWT

NON DRENATESTRATO IN CONDIZIONI

CASO 3

ZWT-DZWT


ZWT-DZWT


CASO 1

ZWT

CASO 2

ZWT

STRATO IN CONDIZIONINON DRENATE

ZWT

CASO 4

ZWT


Ce.A.S. s.r.l. 31

In linea di principio non è quindi possibile calcolare, per queste regioni, la pressione idrostatica. In questo caso tuttavia PARATIE opera nel seguente modo:

• se si tratta del primo step dell’analisi (T=0), e quindi alle condizioni iniziali dell’analisi, PARATIE attribuisce a queste regioni una quota della freatica corrispondente alla media tra la freatica di monte e quella di valle.

==

STRATO

NON DRENATEIN CONDIZIONI STRATI IN CONDIZIONI

NON DRENATE

ZWT

CASO 3 - T = 0

STRATO

NON DRENATEIN CONDIZIONI

ZWT - DZWT/2

==

ZWT

ZWT - DZWT

STRATI IN CONDIZIONINON DRENATE

CASO 4 - T = 0

ZWT (DZWT=0)

STRATO IN CONDIZIONI

STRATO


NON DRENATE

CASO 1 - T = 0

ZWT (DZWT=0) ZWT

STRATOIN CONDIZIONINON DRENATE NON DRENATE

STRATO IN CONDIZIONI

CASO 2 - T = 0

ZWT

ZWT - DZWT

ZWT - DZWT/2

Figura Figura Figura Figura 5555----4444: pressioni interstiziali iniziali, caso con più regioni di terreno non drenate: pressioni interstiziali iniziali, caso con più regioni di terreno non drenate: pressioni interstiziali iniziali, caso con più regioni di terreno non drenate: pressioni interstiziali iniziali, caso con più regioni di terreno non drenate

• se si tratta di uno step successivo al primo, PARATIE attribuisce a queste regioni un valore di pressione corrispondente allo step precedente.

STRATO


ZWT (DZWT=0) ZWT

STRATI IN CONDIZIONINON DRENATE

ZWT - DZWT

IN CONDIZIONINON DRENATE

STRATO

CASO 1 - T = i ( i >1)

NON DRENATESTRATI IN CONDIZIONI

ZWT

CASO 2 - T = i ( i >1)

si conservano le pressioniinterstiziali del passo i-1

si conservano le pressioniinterstiziali del passo i-1

Figura Figura Figura Figura 5555----5555: pressioni interstiziali nel generico passo i, caso con più regioni di terreno non drenate: pressioni interstiziali nel generico passo i, caso con più regioni di terreno non drenate: pressioni interstiziali nel generico passo i, caso con più regioni di terreno non drenate: pressioni interstiziali nel generico passo i, caso con più regioni di terreno non drenate

È vivamente consigliato imporre, nelle condizioni iniziali, lo stesso battente idraulico a monte ed a valle.


32 Ce.A.S. s.r.l.

Consideriamo infine la situazione in cui esistono regioni di terreno in condizioni non drenate non interferenti con il tubo di flusso.

STRATO IN CONDIZIONINON DRENATE

ZWT-DZWT

ZWT

Figura Figura Figura Figura 5555----6666: strato non drenato che non impedisce la filtrazi: strato non drenato che non impedisce la filtrazi: strato non drenato che non impedisce la filtrazi: strato non drenato che non impedisce la filtrazioneoneoneone

In questo caso la filtrazione non è bloccata.


Ce.A.S. s.r.l. 33

5.35.35.35.3 Condizioni di stabilità del fondo scavo Condizioni di stabilità del fondo scavo Condizioni di stabilità del fondo scavo Condizioni di stabilità del fondo scavo eeee uso della “Lining Option”uso della “Lining Option”uso della “Lining Option”uso della “Lining Option”

La simulazione dell’impermeabilizzazione del fondo scavo da parte di un elemento impervio può essere fatta sostanzialmente in due modi:

1. simulando un “tampone”, cioè una porzione di terreno con permeabilità molto bassa rispetto alla permeabilità del terreno naturale.

2. utilizzando la “Lining Option"

5.3.15.3.15.3.15.3.1 Simulazione di un tampone di fondo attraverso uno strato impervio.Simulazione di un tampone di fondo attraverso uno strato impervio.Simulazione di un tampone di fondo attraverso uno strato impervio.Simulazione di un tampone di fondo attraverso uno strato impervio.

Assumiamo che, a partire da una certa fase in poi, sia stata simulata la realizzazione di un tampone impervio; per semplicità assumiamo che il terreno naturale sia incoerente.

L’acqua all’interno dello scavo viene “rimossa” specificando un abbassamento DZWT>0 della freatica di valle.

Nel caso in cui la freatica di valle sia portata al di sotto dell’intradosso del tampone (caso A in Figura 5-7), vi sarà filtrazione nel solo terreno naturale e non vi saranno pressioni dell’acqua tali da vincere il peso del tampone, il quale di per sé sarà stabile; il terreno al di sotto del tampone potrà contribuire alla resistenza della parete se le forze di filtrazione (verso l’alto) non annullano lo sforzo verticale efficace.

Se la freatica a valle è al di sopra dell’intradosso del tampone (caso B in Figura 5-7), la perdita di altezza piezometrica si dissiperà essenzialmente all’interno del tampone; nel terreno naturale vi sarà il battente idrostatico di monte, ma le forze di filtrazione saranno trascurabili; questa situazione è fisicamente possibile solo se la risultante delle pressioni dell’acqua all’intradosso del tampone non supera il peso totale del tampone. Ponendo:

γt= peso specifico totale del tampone,

detta condizione si verifica se:

γt·ht ≥ γw·zt

Se il peso del tampone è inferiore alla pressione dell’acqua all’intradosso del tampone stesso, questo va stabilizzato con una zavorra o con tiranti, il cui effetto va introdotto in PARATIE attraverso un sovraccarico equivalente qs a fondo scavo: tale sovraccarico deve essere maggiore o uguale a (γw·zt−γt·ht)

IMPERVIOUS SOIL

ZWT-DZWT

ZWT

ZPC

ZWT

ZSCDZWT > 0

DZWT > 0 ZWT-DZWT

IMPERVIOUS SOIL

ZSC

ZWT

ZPC

A B

u

z

ht

t

Figura Figura Figura Figura 5555----7777: presenza di un tampone di fondo: presenza di un tampone di fondo: presenza di un tampone di fondo: presenza di un tampone di fondo


34 Ce.A.S. s.r.l.

5.3.25.3.25.3.25.3.2 Utilizzo della “Lining Option”Utilizzo della “Lining Option”Utilizzo della “Lining Option”Utilizzo della “Lining Option”

Attivando l’opzione Lining Option, PARATIE rimuove le pressioni dell’acqua degli elementi sopra quota fondo scavo e non considera il peso dell’acqua al di sopra di tale quota, quando valuta lo sforzo verticale totale nel terreno sotto il fondo scavo.

DZWT = 0

ZSC

ZWT ZWT

ZPC

IMPERVIOUS BOUNDARY

Lining Option

Figura Figura Figura Figura 5555----8888: la "lin: la "lin: la "lin: la "lining option"ing option"ing option"ing option"

Affinché tale modellazione corrisponda ad una situazione realistica, è necessario applicare da parte dell’utente un sovraccarico qs a fondo scavo maggiore o uguale alla pressione idrostatica alla quota del fondo scavo stessa, calcolata con il battente di monte.

Questa opzione va usata con grande cautela.

5.45.45.45.4 Utilizzo delle pressioni interstiziali date per puntiUtilizzo delle pressioni interstiziali date per puntiUtilizzo delle pressioni interstiziali date per puntiUtilizzo delle pressioni interstiziali date per punti

In alternativa a tutto quanto descritto in precedenza, è possibile fornire il profilo delle pressioni interstiziali, per punti lungo l’altezza della parete, a monte ed a valle.

ui

Monte (Uphill)

zi

u1 z1

un zn

Valle (Downhill)

A monte e valle la quota della freatica è posta in corrispondenza della massima quota a cui è assegnata una pressione interstiziale

Profilo delle pressioni interstiziali assegnate per punti: le coppie di valori (zi, ui) vanno introdotte ordinandole per valori crescenti della quota z; possono essere assegnati al massimo 100 punti per ogni lato

u1 z1

z

y

Figura Figura Figura Figura 5555----9999: definizione delle pressioni interstiziali per punti: definizione delle pressioni interstiziali per punti: definizione delle pressioni interstiziali per punti: definizione delle pressioni interstiziali per punti


Ce.A.S. s.r.l. 35

In questo caso, PARATIE fa le seguenti assunzioni (vedi Figura 5-9):

• Per ogni lato, la quota della freatica è assunta pari alla massima quota in cui è definito un valore tabellare

• Al di sotto della quota della freatica così definita, il terreno è pensato saturo, anche nei tratti in cui sono date pressioni interstiziali nulle

• Al di fuori dell’intervallo di definizione dei valori tabellari, le pressioni interstiziali sono considerate nulle

PARATIE non fa alcun controllo di merito sui valori introdotti dall’Utente, che è quindi totalmente responsabile della modellazione prodotta con questa opzione. Pertanto questa opzione va usata con molta cautela, da parte di utilizzatori sicuramente esperti.

Si osservi che la definizione delle pressioni interstiziali in modo tabellare prevale sulla definizione del regime di falda introdotto secondo le modalità standard; per ogni fase per la quale si desidera assegnare le pressioni in modo tabellare, è necessario introdurre esplicitamente i valori, anche se non differiscono dai quelli relativi alla fase precedente: in altre parole, PARATIE utilizza i parametri standard di definizione della freatica a meno che non trovi l’esplicita definizione delle pressioni in forma tabellare. È poi possibile passare, da uno step all’altro, dalla definizione tabellare a quella standard e viceversa.

Questa modalità di introduzione delle pressioni interstiziali può essere utile, ad esempio, nei seguenti casi:

• simulazione della filtrazione studiata per altra via: si pensi ad esempio al caso di un moto di filtrazione analizzato con la tecnica del flow net;

• simulazione di particolari situazioni non riproducibili con le modalità standard offerte da PARATIE: si pensi ad esempio alla simulazione di una falda sospesa (Figura 5-10) o di una falda artesiana (Figura 5-11).

Falda sospesa u1 z1

u2 z2

z

y Strato impermeabile

Figura 5-10: la simulazione di una falda sospesa

Falda artesiana

u1 z1

u2 z2

z

y Strati impermeabili

Figura 5-11: la simulazione di una falda artesiana

In ogni punto lungo la parete, all'interno dell'intervallo lungo quale sono assegnati i valori tabellari, PARATIE valuta il gradiente idraulico locale nel seguente modo: si calcolano le pressioni uA e uB in due punti A e B vicini al punto in esame, tali che ZA < ZB. Il gradiente idraulico nel punto di coordinata Z compresa tra ZA e ZB è dato dalla seguente espressione

( ) ( )( )ABw

ABwBA

ZZ

ZZuui

−⋅γ−⋅γ−−=

Localmente si possono evidenziare discontinuità.


36 Ce.A.S. s.r.l.

5.4.15.4.15.4.15.4.1 Interfaccia con il modulo di filtrazione 2D Interfaccia con il modulo di filtrazione 2D Interfaccia con il modulo di filtrazione 2D Interfaccia con il modulo di filtrazione 2D

L'opzione che consente di assegnare le pressioni neutre viene anche utilizzata, dall'interfaccia grafica, per assegnare a PARATIE le pressioni calcolate con il modulo di filtrazione 2D.

La procedura è la seguente

1. PARATIE PLUS, sulla base della geometria bidimensionale e delle condizioni al contorno idrauliche, genera un reticolo ad elementi finiti lineari a quattro o tre nodi per mezzo del quale risolve il problema di campo relativo ad un moto di filtrazione stazionario in mezzo non omogeneo. Le equazioni risolventi del sistema sono descritte, ad esempio, in Bathe (1996) e sono implementate nel codice ad elementi finiti Xfinest. Grazie ad un particolare algoritmo (Bathe & Khoshgoftaar (1979)) il codice permette di determinare anche condizioni relative a moti non confinati, vale a dire moti di filtrazione con freatica non predeterminata.

2. Una volta svolto, per ogni passo richiesto, il calcolo ad elementi finiti, PARATIE PLUS determina le pressioni totali agenti lungo le linee corrispondenti alle facce della parete e le trasmette a PARATIE

3. PARATIE legge in forma tabellare tali pressioni e ne tiene conto nel calcolo. Alla generica quota PARATIE valuta anche il gradiente idraulico locale, successivamente diagrammabile tramite PARATIE PLUS.

Si deve tenere presente quanto segue:

a) Ai fini del calcolo della filtrazione, si assume sempre che la paratia, a tutta altezza, rappresenti una barriera impermeabile. In ogni step il programma considera impermeabile il diaframma che si forma a seconda degli elementi di parete attivi in quello step.

b) Una volta determinate le pressioni, PARATIE PLUS assegna pressioni (eventualmente nulle) a tutto il tratto compreso tra la freatica e il piede del diaframma. Nel caso di falda libera (condizioni non confinate le pressioni sono applicate a tutta la quota parte di parete immersa nel terreno: con riferimento alla figura seguente, le pressioni sono assegnate lungo tutti i segmenti tratteggiati. Al di sopra della freatica verrà assegnato un valore di pressione nullo, ma il terreno sarà comunque considerato saturo.


Ce.A.S. s.r.l. 37

6666 VALUTAZIONE DEI CEDIMENTI VERTICALIVALUTAZIONE DEI CEDIMENTI VERTICALIVALUTAZIONE DEI CEDIMENTI VERTICALIVALUTAZIONE DEI CEDIMENTI VERTICALI

PARATIE si limita ad analizzare il comportamento orizzontale nell'interazione terreno-struttura: è infatti tale componente che condiziona, per lo più, lo stato tensionale nella parete, in tiranti e puntoni e nel terreno stesso.

Per altro, se la struttura in esame è in area urbana e comunque in adiacenza ad edifici, è importante avere una stima dei cedimenti (spostamenti verticali) conseguenti alle deformazioni laterali della parete. Nell'ambito dell'approccio proposto, tale risposta non può essere ricavata in quanto la deformabilità verticale viene trascurata. Si deve ricorrere perciò ad elaborazioni successive: indicazioni utili ad una stima dei cedimenti verticali del piano campagna correlati a spostamenti orizzontali di paratie possono essere trovati in Becci, Nova (1987). In questo articolo si fa riferimento a lavori precedenti (essenzialmente Bransby e Milligan (1975)) basati su prove sperimentali e interpretazioni meccaniche su modelli in scala.

Proponiamo inoltre, nel seguito, un metodo semplificato che permette una stima dei cedimenti verticali in modo molto semplice: si noti che questa procedura vale solo per terreni non coesivi (sabbie e ghiaie).

Facendo riferimento alla simbologia in figura 6-1, relativa ad una paratia a mensola, i cedimenti della superficie libera del terreno a monte e a valle possono essere stimati calcolando il volume di terreno che subisce uno spostamento orizzontale.

Si calcoli l'area A del triangolo ABC sulla base degli spostamenti laterali (interpolando linearmente tra il punto C di spostamento nullo e il punto di spostamento massimo). In prima approssimazione si può ammettere che il terreno oltre le linee CD e CE non subisca deformazioni. Se il volume rimanesse costante durante la deformazione, si potrebbe pensare di distribuire il cedimento linearmente tra B e D in modo tale che l'area BB'D = A, per cui .

BB'= 2A m/ λ

E

δδδδmA B

um

D

B'

FG

G'

C

π/4+ϕ/2π/4+ϕ/2π/4+ϕ/2π/4+ϕ/2 π/4−ϕ/2π/4−ϕ/2π/4−ϕ/2π/4−ϕ/2

λλλλv

λλλλm

llllm

llllv

Figura Figura Figura Figura 6666----1111 : valutazione dei cedimenti in terreni incoerenti


38 Ce.A.S. s.r.l.

Discorso analogo potrebbe essere ripetuto per la zona EGC facendo riferimento all'area di valle.

In realtà però il terreno, deformandosi, tende a dilatare. Definito ψ l'angolo di dilatanza, tra la

deformazione volumetrica v v h= +( ) /ε ε 2 e lo scorrimento massimo γ ε ε= −( ) /v h 2 esiste una

semplice relazione di proporzionalità:

( ) ( )v v h= − → = − − +γ ψ ε ε ψ ψtan tan tan 1 1

Se si assume che la deformata sia lineare, si può calcolare la deformazione media di monte:

ε δ λhM

m m= =/ costante

si ha allora

( ) ( )ε ε ψ ψvM

hM= − − +1 1tan tan

il cedimento verticale in superficie, fra B e D varierà linearmente da un valore massimo in B, pari a:

um vM

m= ε l

ed un valore nullo in D.

Il valore di ψ da assumere nei calcoli è il valore della dilatanza a collasso. In mancanza di dati più precisi si può assumere

ψ φ φ= − cv

ove φcv è l'angolo di attrito a volume costante che per terreni sabbiosi può essere assunto uguale a 30°;

ψ non può mai essere negativo.

Questo approccio ingegneristico non può essere generalizzato: quando l'interazione terreno-struttura è complessa, uno schema semplice come quello proposto da PARATIE può non essere aderente alla realtà; in tal caso è bene ricorrere ad una schematizzazione del continuo bidimensionale con un approccio agli elementi finiti piani, o con un metodo alle differenze finite.

Va infine segnalata l’esistenza di correlazione empiriche che permettono di legare le deformazioni laterali della parete di sostegno ai cedimenti del piano campagna a monte dello scavo. Questi metodi sono assai spesso usati nella pratica progettuale e sono certamente molto utili anche solo per un raffronto con risultati ottenuti tramite strumenti in teoria più raffinati: in proposito si citano i lavori di Clough e O’Rourke (1990) ed il lavoro di Kung et al. (2007).


Ce.A.S. s.r.l. 39

7777 L’EFFETTO DI CARICHI NASTRIFORMIL’EFFETTO DI CARICHI NASTRIFORMIL’EFFETTO DI CARICHI NASTRIFORMIL’EFFETTO DI CARICHI NASTRIFORMI

7.17.17.17.1 CARICHI PRCARICHI PRCARICHI PRCARICHI PREESISTENTI ALLO SCAVOEESISTENTI ALLO SCAVOEESISTENTI ALLO SCAVOEESISTENTI ALLO SCAVO

7.1.17.1.17.1.17.1.1 Descrizione del metodo di simulazioneDescrizione del metodo di simulazioneDescrizione del metodo di simulazioneDescrizione del metodo di simulazione

Lo sforzo verticale efficace σ’v nel terreno è calcolato, in PARATIE, indipendentemente dalle deformazioni alle quali la parete va incontro: è cioè ricavato attraverso semplici formule che tengono conto, fase per fase, della quota del piano campagna, di un sovraccarico uniformemente distribuito, ecc.

Nella fase iniziale, lo sforzo orizzontale efficace nel generico elemento terreno è calcolato come::::

σ’h= K0 σ’v (step 1)

in cui K0 è il coefficiente di spinta a riposo. Nelle fasi successive, σ’h si modifica tenendo conto della deformazione laterale subita.

Questa impostazione cade in difetto se lo stato tensionale all'inizio non è descrivibile con le semplici formule sopra illustrate. Questa situazione si verifica se esistono fondazioni di dimensioni ridotte molto vicine alla parete.

In tal caso, il contributo allo stato tensionale verticale e orizzontale nel terreno, dovuto al solo plinto, è rappresentato da una distribuzione complessa. Sforzi verticali ed orizzontali di intensità significativa perturbano lo stato di sforzo geostatico in una zona di influenza limitata.

Per tener conto di questo effetto, in PARATIE si può operare in due modi:

1. Se il plinto è sufficientemente distante dalla parete e l'entità del carico trasmesso al terreno non è troppo elevata, è bene, da parte dell'utente, schematizzare tale effetto attraverso un carico Q equivalente ridotto pensato applicato ad una quota più bassa rispetto all'imposta della fondazione. (vedi figura 7-1). In questo modo si ricade nel caso di sovraccarico uniforme; in genere, così facendo, si sottostimano le pressioni laterali a quote prossime a quella ove è impostata la fondazione, ma si sovrastimano gli effetti della fondazione in profondità.

2. Si può assumere che il carico concentrato induca, nel terreno, prima dello scavo, uno stato di sforzo addizionale, calcolabile ad esempio attraverso note formule della Teoria dell'Elasticità (vedi Lancellotta (1988), Nova (1978) e più in generale Timoshenko e Goodier (1970)). Questo sforzo, sommato a quello geostatico (dipendente da K0), consente di calcolare lo sforzo efficace presente negli elementi molla, all'inizio dell'analisi, cioè a spostamenti nulli.

Q

B1

B

Qeq=QB/B1

FFFFigura igura igura igura 7777----1111: sovraccarico uniforme equivalente ad una fondazionesovraccarico uniforme equivalente ad una fondazionesovraccarico uniforme equivalente ad una fondazionesovraccarico uniforme equivalente ad una fondazione


40 Ce.A.S. s.r.l.

In questa seconda ipotesi, nella prima fase dell'analisi (vedi cap. “LA FASE ZERO”), in tutti gli elementi

molla (sia a monte che a valle), σ’h è calcolato come:

σ’h= K0 σ’v (step 1)+ ∆σ’h

σ’v, nella formula precedente, non tiene conto dell'incremento di tensione verticale dovuto alla

fondazione. ∆σ’h è calcolata attraverso la soluzione del semispazio elastico sollecitato da un carico

nastriforme sulla superficie libera. σ’h così calcolato stabilisce solamente lo sforzo iniziale nella molla generica: lo sforzo orizzontale in seguito varierà, in accordo con le deformazioni subite. In particolare, se

la parete subisce deformazioni molto elevate, l'effetto di ∆σ’h può azzerarsi.

Negli elementi a valle, σ’v non risente della presenza di fondazioni nastriformi; a monte, invece, si tiene

conto, in tutte le fasi, di un incremento di σ’v, a partire da una quota opportuna.

Il profilo degli sforzi orizzontali iniziali è calcolato secondo la formula che fornisce la distribuzione di sforzi in un semispazio elastico caricato da una striscia di carico di lunghezza indefinita. La formula implementata è riportata nella figura 7-2: lo sforzo attribuito alle molle è lo sforzo orizzontale valutato su tutti i punti di una linea verticale distante DY dal bordo più vicino della fondazione di larghezza B.

Y

Z

q

β α β/2

∆σ∆σ∆σ∆σ h,el '

( )αββσ π cos2senq'elh, −=∆

( )αββσ π cos2senq'elv, +=∆

Figura 7-2:::: soluzione del semispazio elastico omogeneosoluzione del semispazio elastico omogeneosoluzione del semispazio elastico omogeneosoluzione del semispazio elastico omogeneo

La formula è applicata ipotizzando il piano libero del semispazio elastico coincidente con la quota di imposta della fondazione: questa approssimazione è tanto più grave quanto minore è ZF rispetto alla quota del piano campagna (ZPC).

Ad una quota ZETA > ZF, non vengono considerati incrementi di sforzo.

Alla pressione geostatica SIGMA-V, solo per gli elementi a monte, in tutte le fasi dell'analisi, è sommato un incremento di sforzo verticale DSIGV, calcolato come segue (vedi figura 7-3):


Ce.A.S. s.r.l. 41

QFZF

ββββ

BDY

ZETA

QF(y)

L(y)

ββββ

dyy


Si calcola dapprima la grandezza ∆σ’v,1 come segue:

se ZETA > ZF - DY tg(ββββ) allora

∆σ’v,1 = 0

se ZETA < ZF - DY tg(ββββ)

∆σ’v,1 = QF(y)

L(y)dy

DY

DY B+

∫

ove

QF(y)=QF se y ≥(ZF-ZETA)/tg(ββββ)

QF(y)=0 se y<(ZF-ZETA)/tg(ββββ)

L(y) = y + (ZF-ZETA)/tg(ββββ)

L’integrale è valutato suddividendo l’intervallo di integrazione in 100 tratti.

Si confronta tale valore con quello fornito dalla relazione in figura 7-2 e si sceglie il massimo fra i due valori. Cioè:

∆σ’v =max(∆σ’v,1, ∆σ’v,el)

Si osservi che l'incremento di sforzo verticale dovuto al plinto si riduce con la profondità; in genere, ∆σ’v,1

prevale su ∆σ’v,el. Infatti, il modo secondo il quale viene calcolato ∆σ’v,1 sottintende che la parete agisca, in qualche modo, da superficie riflettente (o rigida), mentre ∆σ’v,el deriva dall’ipotesi di semispazio elastico privo dell’ipotesi di superficie riflettente. È semplice rendersi conto che la soluzione del semispazio elastico con piano verticale rigido può essere ottenuta semplicemente raddoppiando i valori di ∆σ’v,el e


42 Ce.A.S. s.r.l.

∆σ’h,el. In questo modo possiamo mettere a confronto ∆σ’v,1 con la soluzione del semispazio elastico privo (∆σ’v,el) e munito di piano verticale riflettente (2× ∆σ’v,el). Un confronto del genere è riportato nella seguente figura, per il caso di una fondazione nastriforme di larghezza B=2m, posta ad una distanza Dy=2m dalla parete.

DISTRIBUZIONE DI SFORZI VERTICALI DOVUTI AD UN CARICO NASTRIFORME

B=2m; Dy=2m ββββ =45°

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4

∆σ∆σ∆σ∆σ 'v /q

Z [m

] ∆σ’v,el / q - soluzione semispazio elastico - senza piano riflettente

2∆σ’v,el / q - soluzione semispazio elastico - con piano riflettente

∆σ’v 1 / q - distribuzione approssimata in base ad angolo di diffusione β=45°

Figura Figura Figura Figura 7777----4444: confronto fra le diverse distribuzioni di sforzo verticale dovute ad un carico nastriforme (le : confronto fra le diverse distribuzioni di sforzo verticale dovute ad un carico nastriforme (le : confronto fra le diverse distribuzioni di sforzo verticale dovute ad un carico nastriforme (le : confronto fra le diverse distribuzioni di sforzo verticale dovute ad un carico nastriforme (le crocette indicano la distribuzione messa in conto da PARATIE)crocette indicano la distribuzione messa in conto da PARATIE)crocette indicano la distribuzione messa in conto da PARATIE)crocette indicano la distribuzione messa in conto da PARATIE)

Si può notare che ∆σ’v,1 ha un picco molto vicino a quello fornito dalla soluzione del semispazio elastico con piano riflettente in corrispondenza della parete; a profondità maggiori si pone all’incirca nel mezzo fra le due soluzioni elastiche estreme. La scelta fatta da PARATIE sembra pertanto ragionevole: ovviamente questa modellazione è comunque grossolana e, ove permanessero dubbi sulla significatività di questo approccio, si dovrebbe fare ricorso a metodi di simulazione più realistici.

La formulazione implementata in PARATIE assume poi che la fondazione, perfettamente flessibile, trasmetta al terreno una pressione uniforme. Se la fondazione è rigida, le pressioni si distribuiscono invece come illustrato qualitativamente in figura 7-5. In questo caso, se la base della fondazione è molto estesa rispetto all’altezza della parete, l’errore commesso assumendo una distribuzione uniforme può non essere trascurabile. In questo caso, potrebbe essere in favore di sicurezza approssimare la reale distribuzione con una serie di fondazioni uniformemente caricate accostate.


Ce.A.S. s.r.l. 43

B B

⇒⇒⇒⇒

Distribuzionevera

Approssimazionepossibile

Figura Figura Figura Figura 7777----5555: : : : pressioni sul terreno trasmesse da una fondazione rigida

7.1.27.1.27.1.27.1.2 Avvertenza importante Avvertenza importante Avvertenza importante Avvertenza importante

Quando applica, dall’inizio, la distribuzione di pressioni laterali e verticali aggiuntive sopra descritte, PARATIE non controlla, nella fase iniziale, il rispetto del criterio di rottura. In altre parole, in fase iniziale, le pressioni laterali conseguenti al peso del terreno ed ai carichi potrebbero violare il criterio di rottura in termini di spinta attiva o passiva.

D’altra parte, ciò è coerente con l’assunzione secondo la quale ogni effetto dovuto a carichi esterni di tal genere possa essere introdotto attraverso una distribuzione elastica.

Il rispetto del criterio di rottura è tuttavia garantito a partire dalla fase successiva: se alla prima fase (in cui non è stato controllato il rispetto del criterio di rottura) si fa seguire una fase in cui nulla cambia nel modello, PARATIE potrebbe ottenere una soluzione a prezzo di un processo iterativo, nel tentativo di ristabilire il rispetto del criterio di rottura, precedentemente violato. Se, nella fase iniziali, la distribuzione delle pressioni elastiche non viola il criterio di rottura, PARATIE non farebbe iterazioni in una fase successiva a pari configurazione di modello.

Questo comportamento potrebbe comportare qualche difficoltà di convergenza in problemi nei quali:

- sono applicati carichi rilevanti molto vicini alla parete e

- la base della fondazione è molto superficiale

- il terreno ha resistenza modesta.

Questa opzione, pertanto, va utilizzata con cautela e richiede, più di altre, un esame critico dei risultati.


44 Ce.A.S. s.r.l.

7.27.27.27.2 CARICHI NASTRIFORMI APPLICATI IN UNA FASE SUCCESSIVACARICHI NASTRIFORMI APPLICATI IN UNA FASE SUCCESSIVACARICHI NASTRIFORMI APPLICATI IN UNA FASE SUCCESSIVACARICHI NASTRIFORMI APPLICATI IN UNA FASE SUCCESSIVA

È possibile assegnare una carico nastriforme, a monte del diaframma, in una fase successiva alla prima. In questo caso il comportamento di PARATIE differisce da quello descritto nel paragrafo 7.1, come segue:

Per i soli elementi terreno a monte della parete:

- allo sforzo verticale geostatico viene aggiunto ∆σ’v = max(∆σ’v,1, ∆σ’v,el) valutato secondo i criteri esposti nel paragrafo 7.1 (Figura 7-2 e Figura 7-3);

- lo sforzo laterale σ’h varia di conseguenza, in funzione dell’incremento di carico verticale, secondo i

criteri esposti nel paragrafo 4.3: in pratica l’incremento di sforzo orizzontale è legato ∆σ’v attraverso un coefficiente che dipende da K0 o dai coefficienti di spinta a rottura.

In pratica, l’applicazione di un sovraccarico nastriforme, in una fase successiva alla fase zero, determina, a monte della parete, un incremento di sforzo verticale secondo una distribuzione particolare. Gli incrementi di sforzo laterale seguono il medesimo criterio applicato agli incrementi dovuti, ad esempio, ad una variazione di sforzo litostatico.

Applicando un carico in una fase successiva alla prima, PARATIE controlla il rispetto del criterio di rottura

7.37.37.37.3 RIMOZIONE DI CARICHI NASTRIFORMIRIMOZIONE DI CARICHI NASTRIFORMIRIMOZIONE DI CARICHI NASTRIFORMIRIMOZIONE DI CARICHI NASTRIFORMI

Un carico nastriforme, sia presente dall’inizio, sia applicato in una fase successiva, può essere rimosso. La sua scomparsa determina la rimozione, a monte della paratia, della distribuzione di sforzi verticali aggiuntivi a quelli geostatici. Di conseguenza, a causa di un decremento di σ’v, lo sforzo σ’h decresce secondo i criteri esposti nel paragrafo 4.3


Ce.A.S. s.r.l. 45

8888 EFFETTO ARCO NEL TERRENOEFFETTO ARCO NEL TERRENOEFFETTO ARCO NEL TERRENOEFFETTO ARCO NEL TERRENO

Il calcolo delle spinte limite attive e passive basato sul classico approccio descritto nel cap. 4, spesso richiamato come metodo del fluido equivalente (Equivalent fluid method) può talvolta comportare una sovrastima delle reali spinte, specie nei tratti intermedi fra due successivi ancoraggi, nel caso di pareti molto flessibili. Di conseguenza, anche le azioni flettenti nella parete possono essere sovrastimate.

Questo limite, quando ritenuto eccessivamente gravoso, può essere oggi superato affrontando il calcolo con simulazioni numeriche avanzate, tramite simulazione del continuo (bi- o tridimensionale) vero e proprio. In alternativa possono essere apportate correzioni a posteriori ai risultati in conformità a metodi empirici e convenzionali disponibili in letteratura, a discrezione del progettista e delle tradizioni di calcolo locali.

Un'altra possibilità è rappresentata dal metodo proposto da Pappin et al. (1985) brevemente descritto nel seguito.

In sostanza, il rispetto delle condizioni limite attive e/o passive sono imposti lungo tratti finiti di parete piuttosto che in ciascun elemento terreno. Più in particolare, come per ogni elemento terreno a quota Z, la pressione limite minima (limite attivo) viene calcolata in modo da garantire le seguenti due condizioni (Figura 8-1):

1. La spinta complessiva tra la parte superiore della parete e la quota Z deve essere maggiore o uguale alla spinta attiva complessiva calcolata secondo la classica assunzione del fluido equivalente;

( ) dzK'c2)z((Kdz)z(S0

Z

A'vA

0

Z

'AMIN,A ⋅−σ⋅=⋅σ= ∫∫

2. Prendendo in esame ogni possibile porzione di terreno tra la quota Z e una generica quota Zj> Z, occorre garantire che la risultante delle spinte sulla parete verticale di questo cuneo sia compatibile con le condizioni di equilibrio limite del cuneo stesso, assumendo che alla quota superiore di questo agisca uno sforzo verticale (diverso da quello calcolato secondo l'ipotesi del fluido equivalente) ma che sia in grado di rispettare le condizioni limite attive tra lo sforzo orizzontale (noto) e quello verticale a quota Zj. La risultante attiva che rappresenta il valore minimo "locale" da garantire è calcolata attraverso la seguente espressione:

( )[ ]dzK'c2)Z()z(qKSjZ

Z

Aj'v

'vminAj,MIN,A ∫ ⋅−σ−σ+⋅=

con qmin calcolato come indicato in (Figura 8-1) (2):

Figura Figura Figura Figura 8888----1111 : arching effects: arching effects: arching effects: arching effects

Z

σ'h

σ'v

0

σ'h(h) h Z τ

0

qmin=KA·σ'h(Zj)-2 c' √KA Zj

σ

σ'h(Zj)

q min

c'

φ'

σ'A(h)

(1) (2)


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La pressione limite attiva alla generica quota viene quindi determinata come il minimo valore in grado di soddisfare entrambe le condizioni. Si noti che il rispetto della seconda condizione comporta il calcolo della risultante delle spinte attive relative a tutti i possibili conci che si possono formare tra il piano campagna e la quota in esame. L'algoritmo comporta quindi un onere di calcolo maggiore e in genere un maggior numero d'iterazioni rispetto al metodo classico. L'algoritmo impone che tutti gli elementi SOIL relativi a un lato della parete appartengano ad un solo gruppo e che siano ordinati dall'alto verso il basso.

Il progettista deve inoltre ricordare che le azioni interne nella parete stimate con questo metodo sono in genere minori di quelle valutate con l'approccio classico.

L'utente può specificare un valore minimo oltre al quale non ridurre la spinta limite: tale valore viene espresso come una percentuale della spinta attiva classica.

Tra le limitazioni all'uso di questo metodo, la più importante è l'impossibilità di attivarlo in presenza di elementi CLAY in condizioni non drenate.

Diamo infine atto che questi criteri sono stati proposti dagli Autori citati (Pappin et al. (1985)) i quali, oltre ad avere presentato tale proposta in diversi pubblicazioni, hanno anche incluso tale metodo in un loro programma di analisi per opere di sostegno, Frew, un concorrente riconosciuto del nostro codice. Tuttavia, facciamo notare che esistono differenze piuttosto rilevanti tra PARATIE e Frew, in modo da rendere l'implementazione di tali algoritmi differenti così come i risultati ottenuti non uguali. Per quanto di nostra conoscenza, tali algoritmi non sono coperti da alcun brevetto.


Ce.A.S. s.r.l. 47

9999 OPZIONE ELEMENTI SLAVEOPZIONE ELEMENTI SLAVEOPZIONE ELEMENTI SLAVEOPZIONE ELEMENTI SLAVE

Ad ogni nodo della parete, vengono generati due entità geometriche cinematicamente indipendenti, il nodo master e il nodo slave. Master e slave condividono la stessa posizione geometrica (e lo stesso numero di nodo), ma hanno spostamenti laterali rotazioni indipendenti.

In questo modo si può modellare un semplice contatto tra nodo master e nodo slave. Si noti che di default il contatto viene considerato olonomo, cioè la forza scambiata tra i due nodi può essere di contatto ma anche di trazione.

Tuttavia, attivando l'opzione GAP (CONTROL NOTENSIONCONTROL NOTENSIONCONTROL NOTENSIONCONTROL NOTENSION), ), ), ), il vincolo diviene monolatere, vale a dire viene rimosso quando la azione tra i due nodi è di trazione, vale a dire quando i due nodi tendono ad allontanarsi.

Definiamo il gap tra i due nodi in questo come la differenza tra i due spostamenti laterali y , proiettata sulla normale uscente dalla parete

( ) nyyg masterslave

rrr×−=

Chiamando λ la forza di contatto, devono essere rispettate le seguenti condizioni

g≥0

λ≤0

g·λ=0

Per imporre nodo per nodo questa condizione di vincolo non lineare, PARATIE utilizza una tecnica numerica nota come metodo dei moltiplicatori di Lagrange, sia nel caso di vincolo bilatero che monolatero. Nel caso bilatero non è importante definire in modo appropriato la direzione della normale uscente.

Master node

Y

Z

Slave node

Wall

n

Figura Figura Figura Figura 9999----1111 : opzione gap: opzione gap: opzione gap: opzione gap

Il modello master-slave può essere utile per modellare un comportamento simile a quello mostrato nella figura che segue: parete esterna (1a fase) e parete interna hanno gli stessi spostamenti laterali, ma rotazioni indipendenti. In questo modo, si ottengono diagrammi di momento continui in entrambe le pareti. Le due pareti adiacenti interagiscono attraverso i vincoli interni tra nodo master e slave. Si noti che la prima parete, quella contro-terra, deve essere collegata ai nodi master, mentre le strutture interne sono collegate ai nodo slave.

Figura Figura Figura Figura 9999----2222: construction method requiring master/slave logic: construction method requiring master/slave logic: construction method requiring master/slave logic: construction method requiring master/slave logic

1st

stage

temporary

wall

2nd stage permanent

structure progressively

built up by underpinning


48 Ce.A.S. s.r.l.

q1 q2

constraint g= q2- q1=0

F1 F2

LEJ1 EJ2

Si raccomanda in generale di condurre un calcolo preliminare disattivando l'opzione GAP non lineare, la quale andrà eventualmente utilizzata solo successivamente, se necessario.

Il manuale degli esempi comprende un esempio molto semplice che illustra la logica di questo algoritmo.

Il metodo dei MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE è un metodo matematico largamente in uso nella Meccanica Razionale, per imporre dei vincoli lineari o non lineari. Se applicato nell'ambito di un programma strutturale agli elementi finiti, il metodo richiede l'attivazione, tra i gradi di libertà nel modello, di nuove variabili corrispondenti con le forze di vincolo. Per una brevissima introduzione a questo metodo, consideriamo un semplice modello strutturale di 2 nodi, e supponiamo che per ogni nodo la sola traslazione laterale qqqq sia attiva come grado di libertà. Se dovessimo voler imporre che lo spostamento laterale dei due nodi sia lo stesso, potremmo scrivere:

012 =−= qqg

Supponiamo ora che le equazioni di equilibrio possano essere ottenute imponendo la stazionarietà di una certa funzione potenziale W (ad esempio, nella classica Scienza delle Costruzioni, questo funzionale corrisponde all'energia potenziale totale) Se vogliamo che valga la condizione g = 0, possiamo considerare una funzione "aumentata" WL = W + λ • g, in cui abbiamo introdotto l'ulteriore parametro ignoto λ. Nulla viene aggiunto a W a patto che condizione vincolo g = 0. sia garantita. Se assumiamo che λ sia anch'essa una variabile indipendente (un nuovo grado di libertà) del problema, dobbiamo imporre la stazionarietà della funzione aumentata rispetto anche a questa variabile. Otteniamo in questo modo un'equazione in più che permette di determinare simultaneamente gli spostamenti q, rispettosi del vincolo, e la variabile λ, che assume il significato di reazione nel vincolo stesso.

Esempio:

L'energia potenziale totale W = E -U = energia elastica meno potenziale carichi, è:

2211223

2212

131

21 33

qFqFqL

EJq

L

EJW ⋅−⋅−

⋅+

⋅=

La funzione aumentata WL è

( )122211223

2212

131

21 33

qqqFqFqL

EJq

L

EJWL −⋅λ+⋅−⋅−

⋅+

⋅=

Le condizioni di stazionarietà sono

( ) 0qq0W

0FqL

EJ30

q

W

0FqL

EJ30

q

W

12L

2232

2

L

1131

1

L

=−→=λ∂

∂

=λ+−⋅→=∂∂

=λ−−⋅

→=∂

∂

In forma matriciale il sistema risolvente è

=

λ⋅

−

⋅

−⋅

0011

13

0

103

2

1

2

1

32

31

F

F

q

q

L

EJL

EJ


Ce.A.S. s.r.l. 49

Lo Jacobiano (matrice di rigidezza) è ancora simmetrico, ma un termine diagonale nullo appare in corrispondenza della terza equazione. Tuttavia il sistema può essere risolto facilmente, se il modello strutturale è stabile. Occorre notare che la terza non è un'equazione di equilibrio, ma una condizione di congruenza.

In analisi non lineari con il contatto, sorgono molti altri aspetti delicati a causa della natura altamente non lineare dei vincoli. Tale metodo deve quindi essere utilizzato in forma incrementale, nei processi iterativi. In alcuni casi, secondo la natura del vincolo, la simmetria della matrice Jacobiana viene persa e la quantità di memoria per memorizzare le matrici può crescere significativamente.

Per modellare condizioni di vincolo complesse, nei codici di calcolo general purpose vengono spesso preferiti altri metodi (Penalty method e Augmented Lagragian Method ) principalmente perché non richiedono l'introduzione di ulteriori incognite.

Il PENALTY METHOD impone le condizioni di vincolo volute correggendo opportunamente la matrice di rigidezza del sistema privo di vincoli; è un modo molto semplice ed efficace soprattutto se si tratta di applicare dei vincoli esterni, ma può comportare difficoltà numeriche specie quando devono essere forzati vincoli interni. In PARATIE questo metodo viene utilizzato per applicare condizioni di vincolo esterne.

L'AUGMENTED LAGRAGIAN METHOD è un algoritmo che consente di forzare le condizioni di vincolo con una tecnica assimilabile al PENALTY METHOD senza peggiorare il condizionamento numerico delle matrici del sistema risolvente.

Maggiori dettagli di questi algoritmi sono disponibili in diversi testi specialistici dedicati all'analisi numerica: si può fare ad esempio riferimento a Belytschko et al (2000) oppure a Zavarise et al (2010).


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10101010 VALUTAZIONE DEL COEFFICIENTE DI SICUREZZAVALUTAZIONE DEL COEFFICIENTE DI SICUREZZAVALUTAZIONE DEL COEFFICIENTE DI SICUREZZAVALUTAZIONE DEL COEFFICIENTE DI SICUREZZA

Per mezzo delle possibilità offerte da PARATIE, è possibile determinare il grado di sicurezza dell'opera, a seconda dell'ambito in cui si opera.

Occorre in primo luogo chiarire che cosa si intende per coefficiente di sicurezza, nel caso di un'opera di sostegno come una paratia. Si può ad esempio (limitatamente a paratie a mensola o mono-tirantate) calcolare la profondità minima di infissione mettendo in gioco il coefficiente di spinta passiva affetto da un opportuno coefficiente riduttivo. È per contro più comune valutare la profondità di infissione introducendo nelle equazioni (che esprimono l'equilibrio a collasso) i coefficienti di spinta reali ed in seguito incrementare la profondità così calcolata. Talora, il coefficiente di sicurezza non è applicato al coefficiente di spinta passiva, ma alla differenza tra spinte attive e passive. A seconda di come viene introdotto, il coefficiente di sicurezza, a parità di geometria dell'opere e di parametri di resistenza del terreno, può assumere valori notevolmente diversi (Vedi Simpson (1992))

Vi sono poi opere per le quali la determinazione del coefficiente di sicurezza rispetto al collasso non ha di fatto interesse pratico. Tipico è il caso delle paratie multitirantate per le quali il parametro di progetto più rilevante è la deformabilità della struttura di sostegno in relazione a ciò che le sta intorno.

Per le tipologie più semplici (paratie a mensola o monotirantate) è possibile, con PARATIE, una procedura che può portare alla definizione del coefficiente di sicurezza nei confronti del collasso.

Si studia la struttura (in una o meglio in più fasi) nella configurazione di progetto. La paratia è spinta alla profondità reale di infissione.

Da questo momento in poi vengono analizzate fasi successive nelle quali la profondità dello scavo, i sovraccarichi ecc. vengono mantenuti costanti; per contro vengono progressivamente rimossi elementi di paratia a partire dalla quota di infissione iniziale.

Per attivare questa procedura, l’utente deve:

attivare l’opzione Find Safety FactorFind Safety FactorFind Safety FactorFind Safety Factor

definire, ad ogni passo, la “quota di taglio”, dando il valore nel campo Z cutZ cutZ cutZ cut.

In una certa fase, il programma troverà una labilità generale (tutta la risorsa plastica degli elementi terreno non riesce a garantire condizioni di equilibrio); oppure gli spostamenti laterali subiranno un incremento abnorme (e solitamente il processo iterativo non converge). La profondità di infissione relativa all'istante nel quale è raggiunto il collasso può quindi essere confrontata con la profondità di infissione reale.

In modo analogo si può cercare di raggiungere il collasso incrementando il sovraccarico, oppure abbassando ulteriormente la quota di fondo scavo, oppure variando la quota di falda ecc.

È possibile poi raggiungere il collasso di una struttura anche ridefinendo i parametri di resistenza: questo approccio assume un particolare significato quando si opera secondo il metodo agli Stati Limite.

Quando lo schema è iperstatico, è impossibile definire un meccanismo di collasso ammettendo che il solo terreno si plasticizzi: è necessario in questo caso ipotizzare condizioni limite anche per tiranti o puntoni. Solo così la struttura diventa isostatica (condizione necessaria per impiegare il metodo dell'equilibrio limite).

Un approccio diverso, in queste situazioni, consiste nel definire un coefficiente di sicurezza in termini di rapporto di mobilitazione della spinta passiva. Non ci si preoccupa tanto dell'equilibrio globale dell'opera (quando sono previsti almeno due tiranti o puntelli, questa condizione è sempre possibile, a prezzo di un maggior impiego di materiale), quanto di valutare la percentuale di spinta passiva mobilitata nel tratto infisso.

Il rapporto:

effettive spinte risultante

passive spinte risultante


Ce.A.S. s.r.l. 51

nel tratto di parete infisso dà un'idea di quanto la struttura disti da condizioni limite. Naturalmente tale rapporto deve essere maggiore o uguale a 1 (affinché non sia violato il criterio di resistenza): valori accettabili devono essere stabiliti di volta in volta, tenendo conto delle ipotesi fatte nell'introdurre i parametri di calcolo.

Nel valutare il grado di sicurezza del progetto, non ci si deve comunque limitare a questo tipo di verifiche. È necessario garantire anche la stabilità dell'insieme parete-terreno, analizzando meccanismi di collasso quali quello nella figura seguente.

Figura Figura Figura Figura 10101010----1111: meccanismo di collasso : meccanismo di collasso : meccanismo di collasso : meccanismo di collasso non individuabilenon individuabilenon individuabilenon individuabile da PARATIEda PARATIEda PARATIEda PARATIE

A questo proposito, si dovrà ricorrere ai noti metodi dell'equilibrio limite usualmente impiegati per la stabilità dei pendii (come proposti in PARATIE PLUS) oppure a codici di calcolo alle differenze finite o agli elementi finiti, in grado di affrontare questo tipo di analisi.

Analogamente PARATIE non dà, per esempio, informazioni sul grado di sicurezza dei tiranti: a questo proposito si ricorda che il progetto di questi elementi richiede un'attenta valutazione di aspetti al di fuori dello scopo di questo programma.

Nel caso in cui lo scavo preveda operazioni di abbassamento della falda, dovranno essere analizzati ulteriori aspetti quali, ad esempio:

• il rischio di sollevamento del fondo scavo

• la verifica a sifonamento

• il dimensionamento del sistema di emungimento delle acque.


52 Ce.A.S. s.r.l.

11111111 ANALISI SISMICHEANALISI SISMICHEANALISI SISMICHEANALISI SISMICHE

11.111.111.111.1 PremessaPremessaPremessaPremessa

PARATIE consente analisi sismiche secondo il metodo pseudo-statico, del quale daremo nel seguito brevi cenni, fornendo, per prima cosa, una brevissima anteprima degli aspetti salienti.

L'Analisi sismica pseudo-statica è un metodo ampiamente utilizzato nella progettazione di opere di sostegno. Trae origine dalla proposta pionieristica di Mononobe & Okabe (M-O nel seguito), a cui si sono aggiunte, nel corso degli ultimi decenni, diverse estensioni pubblicate, al fine di poter comprendere la maggior parte degli aspetti che possono sorgere nella pratica. In sostanza il metodo consiste nell'applicare staticamente alla parete e alla massa di terreno che interagisce con essa, un'accelerazione sismica uniforme con componenti orizzontali e verticali. Il metodo M-O e sue estensioni offrono una soluzione in forma chiusa della spinta totale terreno sulla parete, assumendo che la massa di terreno spingente subisca scorrimenti plastici durante evento sismico, considerando così una parete sottoposta a deformazioni rilevanti.

Per rendersi conto immediatamente dell'entità delle spinte sismiche previste da questo metodo, è conveniente riferirsi alla proposta da Seed & Whitman ( 1970), secondo cui l'incremento sismico alle pressioni statiche attive può essere approssimato da una distribuzione di pressione costante data dalla seguente espressione

Hg

a375.0p OM,E ⋅γ⋅⋅≈∆ −

((((11111111----1111))))

dove H è l'altezza della parete , γ il peso specifico medio del riempimento e a/g l'accelerazione sismica normalizzata. La (11-1) vale rigorosamente per un riempimento granulare secco con un angolo di attrito φ'= 35 ° ed un angolo di terreno - parete δ = ½ φ'

Altri metodi, incluso il metodo di Wood ampiamente utilizzato nella pratica (Wood, 1973) ), forniscono invece l'incremento sismico della spinta del terreno su una parete rigidamente vincolata in modo da impedire apprezzabili deformazioni dell'insieme. Tale incremento è rappresentato da una distribuzione costante di pressione data da:

Hg

ap Wood,E ⋅γ⋅=∆

((((11111111----2222))))

Confrontando le formulazioni di cui sopra, ci si rende conto che, a parità di accelerazione, l'incremento sismico della spinta per pareti rigide (11-2) può superare l'incremento di M-O (11-1) di un fattore superiore a 2.5.

Alla luce di queste brevissime considerazioni, ci si rende immediatamente conto di quanto sia importante selezionare il metodo appropriato per valutare le spinte sismiche, alla luce del comportamento parete in esame; ma prima ancora è necessario stabilire il più appropriato valore dell'accelerazione da introdurre nel calcolo, che nel seguito chiameremo ac, in rapporto all'accelerazione massima amax sismica attesa per il sito in cui è posta l'opera.

Grazie alle opere fondamentali di Richard & Elms (1979), Whitman e Liao (1985) e in seguito altri lavori, è stato chiaramente messo in luce il fatto che l'accelerazione di calcolo ac , minore di amax , deve essere associata alle prestazioni richieste al muro piuttosto che alla massima intensità sito. La prestazione richiesta, a sua volta, è stata identificata con il massimo valore tollerabile della deformazione irreversibile subita dal muro in occasione dell'evento sismico di progetto.

Da allora, la maggior parte degli standard di progettazione come l'Eurocodice sono conformi a questo approccio, noto come Metodo Prestazionale (Performance Design). Gli sforzi della ricerca sono stati dedicati a estendere questo metodo, originariamente proposto per muri a gravità e, prima ancora, per il pendii, ad altri tipi di strutture di sostegno, quali paratie a sbalzo o ancorate.

Questo aspetto pone problemi non trascurabili ad istituire criteri di calcolo generali, perché il metodo di progettazione prestazionale, ossia quello appena definito, richiede il calcolo di una capacità ultima


Ce.A.S. s.r.l. 53

dell'opera: in altre parole, operando secondo quest'approccio, dovrebbero essenzialmente essere applicati metodi di analisi rigido-plastica , come ad esempio il metodo Blum o estensioni simili ( ad es. Conti & Viggiani , (2013 ) , Callisto ( 2014) ). In altre parole, l'accelerazione ridotta ac dovrebbe essere applicata solo se gli incrementi sismici sono determinati attraverso un metodo come quello di M-O (11-1), ma non, ad esempio, tramite la (11-2) o qualsiasi altro metodo elastico. A questo proposito, è evidente che, per molti tipi di pareti, come le paratie multi-ancorate un'analisi sismica secondo il metodo prestazionale con approccio pseudo-statico richiede particolare attenzione e, probabilmente, alcuni chiarimenti teorici che dovranno giungere dalla ricerca applicata.

Infine, nell'ambito della progettazione con approccio prestazionale:

c

max

OM,E

Wood,E

aa

67.2p

p⋅≈

∆∆

−

((((11111111----3333))))

Pertanto le spinte incrementali sismiche attive possono ridursi fino a una percentuale piuttosto bassa delle spinte elastiche: per esempio, assumendo ac / amax ≈ 0,70 , secondo l'equazione (11-3) , l'incremento sismico di spinta attiva è solo il 26 % dell'incremento basato su un'ipotesi elastica.

Per affrontare un'analisi sismica pseudo-statica, occorre quindi chiarire due aspetti, in successione logica:

1) quale valore di accelerazione deve essere considerata?

2) una volta stabilito il livello di accelerazione di progetto, come può essere applicata l'azione sismica?

Nei successivi paragrafi illustreremo brevemente i criteri per rispondere a queste domande.

11.211.211.211.2 Scelta dell'accelerazione di progettoScelta dell'accelerazione di progettoScelta dell'accelerazione di progettoScelta dell'accelerazione di progetto

L’accelerazione orizzontale da applicare, staticamente, al sistema terreno+opera di sostegno, è legata principalmente a due fattori:

1. l’intensità e durata del sisma atteso in rapporto alla sismicità del sito;

2. la tipologia dell’opera di sostegno in termini di maggiore o minore capacità di adattamento a deformazioni permanenti.

Operando nell'ambito normativo (secondo Eurocodice 8, NTC2008 ecc.) è possibile stabilire direttamente l'accelerazione di progetto in termini sommari, attraverso l’introduzione di coefficienti correttivi dell’accelerazione massima del terremoto di progetto, come discusso nei seguenti punti 11.2.1e 11.2.2.

È tuttavia possibile ricorrere a correlazioni più generali (sulle quali per altre si basano anche le indicazioni delle Normative) che permettono di stimare l'accelerazione per la quale progettare un'opera di sostegno affinché la deformazione che essa accumulerà in caso di sisma sia inferiore al limite desiderato. Alcune delle formulazioni più utilizzate sono discusse al punto 11.2.3.

È opportuno sottolineare che l'introduzione di accelerazioni di calcolo minori di amax presuppone il fatto che la parete possa registrare notevoli deformazioni plastiche durante il sisma, ossia che l'azione sismica attivi meccanismi di dissipazione energetica. Quanto la tipologia di parete o l'insieme parete+terreno sia tale da rendere incerto o poco verosimile un apprezzabile comportamento del genere, è bene non tenere conto di tali riduzioni.

11.2.111.2.111.2.111.2.1 EuEuEuEurocodice 8rocodice 8rocodice 8rocodice 8

In accordo con la simbologia dell’EC8, la componente orizzontale ah dell’accelerazione ac a cui è assoggettato, staticamente, l’ammasso di terreno direttamente interagente con l’opera di sostegno è espressa come ah= ±kh·g , con

r

)g/a(Sk g

h

⋅= cioè

r

aSa g

h

⋅= (11-4)


54 Ce.A.S. s.r.l.

Il termine S·ag è l’accelerazione amax al piano campagna (dove si pensa sia posta più o meno l’opera di sostegno) legata all’intensità sismica del sito (ag) ed al coefficiente d’amplificazione S funzione della stratigrafia locale.

Il coefficiente rrrr ≥1 è un parametro che permette di scalare l’intensità dell’azione sismica nel calcolo delle azioni di progetto della struttura, e può assumere valori compresi fra 1 e 2, a seconda della tipologia dell’opera in relazione al comportamento durante il sisma ed al danno permanente tollerabile.

Nel caso di opere di sostegno, EC8 propone alcune correlazioni che permettono di legare rrrr all’entità della deformazione accettabile dr. Allo scopo, è possibile utilizzare l’abaco della Figura 11-1, ricordando tuttavia che, in presenza di terreni incoerenti saturi, si dovrà assumere comunque r=1r=1r=1r=1.

Figura 11-1: legame tra il coefficiente rrrr e lo spostamento ammissibile (tratta da Simonelli (2004))

11.2.211.2.211.2.211.2.2 NTC2008NTC2008NTC2008NTC2008

L'accelerazione di calcolo ah è legata all'accelerazione massima amax = S·ag dalla relazione:

2.0 agka maxhh ≥β⋅α⋅β⋅α=⋅= (11-5)

nella quale

α= coefficiente che tiene conto dell'asincronicità del moto lungo la parete

β=coefficiente che tiene conto della duttilità della struttura:

]m[u

80.1ln12658.0

s

⋅=β

(11-6)

gag /=α


Ce.A.S. s.r.l. 55

con

us = deformazione anelastica che l’opera può tollerare senza riduzioni di resistenza, il cui valore deve essere stabilito dal Progettista ma non deve superare lo 0.5% dell'altezza della parete.

11.2.311.2.311.2.311.2.3 Metodi basati sul controllo delle deformazioniMetodi basati sul controllo delle deformazioniMetodi basati sul controllo delle deformazioniMetodi basati sul controllo delle deformazioni In alternativa alle indicazioni sommarie riportate da normative o linee guida progettuali, è possibile

calcolare la massima accelerazione di progetto con un metodo analitico, in funzione del massimo spostamento ammesso.

Richards ed Elms (1979) forniscono una correlazione del tipo:

4y

3max

2max

perm a

av087.0d ⋅=

(11-7)

con

dperm = spostamento irreversibile del muro

vmax e amax = rispettivamente velocità ed accelerazione di picco del moto sismico alla base

ay = accelerazione che determina condizioni d’equilibrio limite del muro

ay potrà essere usato in luogo del valore di ah da introdurre nel calcolo delle spinte sismiche. In analogia con NTC2008, il rapporto tra accelerazione di calcolo e massima accelerazione è dato dalla seguente espressione

==βmax

y

a

a4

1

permmax

2max

dav

087.0

⋅ (11-8)

Per l’uso di questa relazione, è necessario valutare vmax , mentre amax può essere eguagliata ad S·ag. Per una prima valutazione di vmax, è possibile fare riferimento alla Tabella 11-1.

Tabella Tabella Tabella Tabella 11111111----1111: valori orientativi del rapporto v: valori orientativi del rapporto v: valori orientativi del rapporto v: valori orientativi del rapporto vmaxmaxmaxmax/a/a/a/amaxmaxmaxmax

Stratigrafia vmax / amax

roccia pressoché affiorante >0.05 sec

terreno deformabile su substrato rigido

0.10÷0.15 sec

(crescente al crescere della potenza dello strato deformabile)

In alternativa può essere usata la correlazione fornita da NTC2008:

vg = 0.16 · S ·Tc· ag (11-9)


56 Ce.A.S. s.r.l.

con vg velocità massima del suolo e Tc [sec] parametro di definizione dello spettro elastico, dipendente, come S, dalla categoria del terreno di fondazione.

Successivamente, Whitman e Liao (1985), proposero la seguente correlazione:

−

⋅⋅= max

y

a

a4.9

max

2max

perm ea

v37d (11-10)

Gli stessi Whitman e Liao (1985), introdussero dei coefficienti correttivi per tenere conto delle varie sorgenti d’incertezza. Assumendo un coefficiente di sicurezza pari a 4, equivalente ad una probabilità del 95% di non superamento della soglia desiderata, proposero la seguente correlazione

v

adln

4.9

166.0

a

a2max

maxall

max

y

⋅−≅=β (11-11)

è bene ricordare che entrambe le formule qui riportate si riferiscono a muri di sostegno a gravità. Sono da ritenersi pertanto puramente indicative se utilizzate per il calcolo di opere flessibili.

Rampello e Callisto (2008) propongono il seguente legame tra β e lo spostamento sismico, chiamato questa volta us:

A

B

uln

a

as

max

y

==β (11-12)

Le costanti A e B nell'espressione precedente, discusse in dettaglio in Rampello e Callisto (2008),

sono parzialmente riportate per comodità nella Tabella 1. In base a questi valori si sono determinati i coefficienti βm indicati da NTC2008 per i muri di sostegno.

Tabella Tabella Tabella Tabella 11111111----2222: : : : Coefficienti A e B per Coefficienti A e B per Coefficienti A e B per Coefficienti A e B per Rampello e Callisto (2008)Rampello e Callisto (2008)Rampello e Callisto (2008)Rampello e Callisto (2008)

sottosuolo� Cat A Cat B Cat C, D, E ag / g A B [m] A B [m] A B [m]

0.3 – 0.4 -7.50 1.69 -7.90 1.59 -7.40 0.75 0.2 – 0.3 -7.42 1.79 -7.79 1.66 -7.54 0.78 0.1 – 0.2 -7.48 0.91 -7.86 1.09 -8.05 1.16

≤ 0.1 -7.87 0.39 -7.86 0.45 -8.07 0.59 Per le paratie, Callisto & Aversa (2008) raccomandano di porre A = -7.90 e B = 1.80 m, valori in base

ai quali è stato ricavato il grafico in figura 7.11.3 delle NTC2008, la cui espressione analitica è quella riportata al paragrafo 11.2.2.

Un’ampia discussione sulla validità di questi e altri metodi simili è ritrovabile nel testo di Kramer (1996), nelle Linee Guida dell’AGI (2005), nel Commentario ANIDIS-SSN (1998) oppure in Steedman (1998).


Ce.A.S. s.r.l. 57

11.311.311.311.3 Calcolo delle spinte in condizioni sismicheCalcolo delle spinte in condizioni sismicheCalcolo delle spinte in condizioni sismicheCalcolo delle spinte in condizioni sismiche

L'approccio di calcolo su cui si basa PARATIE consente di introdurre le spinte in condizioni sismiche in vari modi. Osservando, come vedremo in seguito, che i coefficienti di spinta attiva e passiva, in condizioni sismiche, si modificano, le due modalità classiche sono le seguenti

a) vengono semplicemente ridefiniti i coefficienti KA e KP a monte e a valle della parete, oppure

b) solo a valle (cuneo resistente) viene ridotto il coefficiente di spinta passiva KP, mentre a monte viene applicata , come azione esterna, una distribuzione di pressioni rappresentante la differenza tra la spinta attiva sismica e la spinta attiva statica, entrambe calcolate prendendo in considerazione l'intera parete.

Il metodo a) è in genere sconsigliato perché dà luogo a sollecitazioni sismiche accettabili solo in quei casi in cui gran parte delle spinte sulla parete, in condizioni antecedenti all'evento sismico, si trovi già in condizioni attive. Per queste ragioni, si raccomanda in genere il ricorso al secondo metodo nel quale, tuttavia, la scelta di quale spinta introdurre va fatta a priori e quindi implica il non poter considerare il comportamento deformativo della parete.

PARATIE prevede inoltre un metodo alternativo, che permette invece di legare l'entità delle spinte alla deformabilità della parete.

Indipendentemente dal metodo che si adotterà, è necessario in via preliminare, definire in termini generici, richiamare i metodi classici di calcolo delle spinte sismiche pseudo-statiche, in base ai quali vengono definiti i valori dei coefficienti di spinta, o le spinte complessive, utilizzati da PARATIE.


58 Ce.A.S. s.r.l.

11.3.111.3.111.3.111.3.1 Spinte Attive secondo il metodo di Mononobe e OkabeSpinte Attive secondo il metodo di Mononobe e OkabeSpinte Attive secondo il metodo di Mononobe e OkabeSpinte Attive secondo il metodo di Mononobe e Okabe

Nel caso di un rilevato con superficie rettilinea (orizzontale o inclinata) composto da terreno omogeneo, asciutto e puramente granulare, assoggettato ad un’azione sismica con componenti orizzontale e verticale, in aggiunta al peso proprio, la soluzione al problema posto in questi termini è fornita dal metodo di Mononobe e Okabe (Mononobe e Matsuo (1929), Okabe (1926)). Questo metodo consiste in un semplice problema di equilibrio limite la cui soluzione è ottenuta esattamente come nel metodo di Coulomb (risalente alla seconda metà del XVIII secolo), di cui il metodo di Mononobe e Okabe (chiamato nel seguito con la sigla M-O) altro non è che una ovvia estensione. Il metodo M-O, proprio come il metodo Coulomb fornisce le spinte sia in condizioni attive che in condizioni passive. Per queste ultime si ricorre però ad altre e più recenti formulazioni perché la soluzione di M-O può non essere conservativa.

Nell’ambito del medesimo schema concettuale, sono state proposte estensioni al metodo di M-O in modo da introdurre la presenza di acqua nel terrapieno: attraverso diversi studi, per la maggior parte di ricercatori giapponesi come il lavoro di Matsuzawa et al. (1985), si è giunti all’approccio recepito da EC8 stesso, nell’Annesso F della parte 5. Nel seguito di questo manuale, l’insieme di queste formule saranno ancora richiamate come il metodo di M-O (generalizzato).

La spinta complessiva sulla parete di altezza pari ad H, è data da un espressione del tipo

wdws2

E),P(Av*

21

d EEHK)k1(E ++±γ= (11-13)

Il primo termine è la spinta attiva (o passiva) dovuta allo scheletro solido, il secondo termine Ews è la risultante delle pressioni idrostatiche ed il terzo Ewd è la risultante delle sovrappressioni interstiziali.

I coefficienti di spinta attiva sono dati dalle seguenti espressioni:

2

2

A,E

)(sen)(sen

)(sen)(sen1)(

)(senK

β+ψδ−θ−ψθ−β−φδ+φ+δ−θ−ψψθ

θ−φ+ψ=θ−φ≤β

sensencos

:2

δ)θψsen(ψθsencos

θ)(ψsen :

2

2

−−−φ+=θ−φ>β A,EK ((((11111111----14141414))))

β

ψ

δ

Operando nell’ambito del metodo agli stati limite, nelle formule precedenti, va introdotto l’angolo d’attrito di calcolo, cioè tan(φd)=tan(φk) / γM.

A seconda della definizione del peso specifico γ∗ del cuneo e dell’angolo θ definito come l’angolo, rispetto alla verticale, fra le azioni esterne orizzontali e quelle verticali agenti sul cuneo di spinta, l’espressione generale può essere utilizzata per tre diverse condizioni nelle quali può trovarsi il rilevato.

Rilevato asciutto

Non c’è alcuna azione dovuta all’acqua: corrisponde alla configurazione originale ipotizzata da M-O. Come peso specifico γ∗ si deve assumere il peso secco γd ; la forza orizzontale Fh è pari alla massa del terreno moltiplicata per l’accelerazione orizzontale mentre la forza verticale Fv è il peso del cuneo incrementato o decrementato dall’accelerazione sismica verticale; quindi:

γ∗= γd

k1

k

V)k1(

Vk

F

Ftan

v

h

dv

dh

v

h

±=

γ⋅⋅±γ⋅⋅

==θ (11-15)

Εws = Ewd=0


Ce.A.S. s.r.l. 59

Rilevato saturo a grana fine (dinamicamente impervio: k<5·10-4 m/s)

In sostanza si assume che l’acqua, imprigionata negli interstizi, si muova insieme con il terreno: l’accelerazione sismica agirà quindi sulla massa unitaria complessiva (terreno+acqua) del cuneo, pari a γsat. Si ammette che le pressioni interstiziali non subiscano variazioni ai fini del calcolo delle azioni sulla parete. In questo caso l’equilibrio limite del cuneo è fatto al netto della risultante delle azioni idrostatiche e quindi, nelle formule generali, si assumerà:

γ∗= γ’

k1

k

V)k1(

Vk

F

Ftan

v

h'

sat'

v

sath'

'

v

h

±γγ

=γ⋅⋅±

γ⋅⋅==θ (11-16)

Alla spinta efficace dovrà essere aggiunta la spinta idrostatica dell’acqua, mentre, per ipotesi, la componente idrodinamica non può svilupparsi. Quindi:

Εws =2

w21 Hγ

Ewd=0

Rilevato saturo a grana grossa (dinamicamente permeabile: k≥≥≥≥5·10-4 m/s)

Si ammette che l’acqua negli interstizi possa muoversi liberamente, indipendentemente dalle deformazioni subite dal terreno: l’accelerazione sismica agirà quindi sulla massa della sola parte solida del cuneo, pari a γd. L’equilibrio limite del cuneo è fatto al netto della risultante delle pressioni interstiziali e quindi, nelle formule generali, si assumerà:

γ∗= γ’

k1

k

V)k1(

Vk

F

Ftan

v

h'd

'v

dh'

'

v

h

±γγ

=γ⋅⋅±

γ⋅⋅==θ (11-17)

In questo caso dovranno essere aggiunte sia la spinta idrostatica sia la sovraspinta idrodinamica della stessa acqua di falda.

Εws =2

w21 Hγ

Ewd= 2wh12

7 'Hk γ con H’ = altezza della freatica dal piede del muro

I coefficienti di spinta attiva determinati tramite la (11-14) sono usati da PARATIE sostituendoli a quelli statici, nel caso di analisi sismica.

11.3.211.3.211.3.211.3.2 Coefficienti di spinta passiva sismiciCoefficienti di spinta passiva sismiciCoefficienti di spinta passiva sismiciCoefficienti di spinta passiva sismici

I coefficienti di spinta passiva possono essere determinati attraverso il metodo di Soubra (2000) oppure secondo il metodo di Lancellotta (2007), introducendo la distinzione fra terreno secco, saturo impervio o saturo permeabile, esattamente come per il caso attivo.

Entrambi i metodi si basano sullo sviluppo di superficie di scorrimento curve e permettono una stima ragionevole dei coefficienti di spinta passiva anche nel caso di parete scabra, al contrario del metodo di M-O.

Il metodo di Soubra (2000) è da ritenersi un approccio cinematico nell’ambito dell’analisi limite: pertanto i valori determinati da ritenersi stime per eccesso dei valori reali. Per questo motivo si raccomanda cautela, specie nella valutazione dei parametri φ e δ ai cui i coefficienti Kp sono associati.

Il metodo di Lancellotta (2007) corrisponde invece ad un approccio statico che fornisce, quindi, una stima per difetto della capacità portante: quindi una valutazione conservativa. L'interfaccia PARATIE PLUS utilizzata questo metodo.


60 Ce.A.S. s.r.l.

11.3.311.3.311.3.311.3.3 CCCCaso di terreno stratificatoaso di terreno stratificatoaso di terreno stratificatoaso di terreno stratificato

I coefficienti di spinta attiva prodotti dalla teoria di M-O generalizzata illustrata derivano da un equilibrio limite complessivo di un cuneo di terreno omogeneo di altezza finita H.

Nel caso di terreno disomogeneo, si dovrebbe ripercorrere il procedimento generale applicando, alle varie porzioni di terreno, i relativi parametri di resistenza.

Tuttavia, specie in un approccio come quello adottato da PARATIE, è necessario considerare i coefficienti di spinta per calcolare il valori limite puntuali di spinta attiva o passiva.

Sotto ipotesi molto restrittive, nel caso statico, si dimostra che i coefficienti di spinta derivati dall’approccio all’equilibrio limite (secondo Coulomb) coincidono con quelli che dovrebbero essere utilizzati considerando le condizioni di conformità puntuali (secondo la teoria di Rankine, (1857)). Sempre rimanendo al caso statico, in tutte quelle situazioni per le quali non sono disponibili soluzioni che forniscano i coefficienti “locali”, è prassi consolidata introdurre, a livello locale, i coefficienti determinati secondo uno schema di equilibrio o di analisi limite globale.

In modo del tutto analogo, nel caso sismico, i valori di M-O sono utilizzati, in approcci quali quello implementato in PARATIE, per valutare le condizioni limite locali di un elemento di terreno sottoposto ad un valore i sforzo verticale efficace noto.

Pertanto, accettando tale approssimazione, il caso di terreno stratificato è affrontato in modo molto semplice attribuendo alle singole molle i coefficienti KA e KP calcolati, tramite le formule di M-O o attraverso le soluzioni alternative, in funzione dei parametri geotecnici dello strato di pertinenza.

Questo metodo è riconosciuto da vari Autori e linee guida (cfr. ad esempio AGI (2005), oppure Callisto (2006)) ed è esplicitamente delineato anche da Normative Sismiche internazionali, come, ad esempio, la Normativa Turca (NT (1998)); è quindi lo schema adottato anche da PARATIE.

11.3.411.3.411.3.411.3.4 Terrapieno parzialmente immersoTerrapieno parzialmente immersoTerrapieno parzialmente immersoTerrapieno parzialmente immerso Ebeling e Morrison (1992) indicano il modo per utilizzare, anche in questo caso, le equazioni di M-O:

sostanzialmente questo caso può essere assimilato a quello di un terrapieno completamente immerso omogeneo, avente un peso specifico equivalente. Tale metodo fornisce la soluzione esatta della spinta complessiva ma non permette di determinare una distribuzione di pressioni attive "locali" distinguendo le regioni sopra falda da quelle sottofalda, come richiesto per un utilizzo secondo un metodo come quello di PARATIE. D'altra parte si può dimostrare che l'applicazione dei coefficienti relativi a terreno secco per la parte soprafalda e relativi a terreno in falda per la restante parte darebbe luogo ad una distribuzione di pressioni attive discontinue in corrispondenza della freatica, oltre che ad una risultante non corretta.

Si consideri invece la seguente distribuzione di pressioni

( ) ( )zK)k1(z 'VE,A

dv

'A σ⋅±=σ se z≤ zw

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } w'V

'VE,A

ww

'VE,A

dv

'A zzKzK)k1(z σ−σ⋅+σ⋅±=σ se z > zw

((((11111111----18181818))))

in cui z è crescente con la profondità, zw la posizione della freatica, KdA, E e Kw

A, E sono i coefficienti di spinta attiva calcolati dalla (11-14) rispettivamente per rilevato omogeneo completamente secco e completamente sommerso.

Si può dimostrare che tale distribuzione di spinte attive è continua ed ha una risultante che si avvicina con sufficiente approssimazione alla risultante esatta calcolata con il metodo di Ebeling e Morrison.

La (11-18) è utilizzata in PARATIE con l’opzione di calcolo automatico delle spinte sismiche. Nel caso passivo è utilizzata un’ovvia estensione della (11-18) in cui ai coefficienti di spinta attiva sono sostituiti quelli di spinta passiva.

11.3.511.3.511.3.511.3.5 PresePresePresePresenza di un invasonza di un invasonza di un invasonza di un invaso In presenza di acqua libera, si dovrà tenere conto della sovraspinta idraulica che questa esercita sulla

parete. Tale sovraspinta, la cui entità è pari a quello di Ewd prima definito, va sommata alla spinta dell'acqua, nel modo più sfavorevole. Ciò significa che la presenza acqua libera a valle richiede che la sovraspinta sismica Ewd sia applicata da monte verso valle: ad esempio in Figura 11-2 è rappresentato il


Ce.A.S. s.r.l. 61

caso di un'opera di sostegno di un'opera portuale che contiene un rilevato saturo pervio. Mentre le spinte statiche dell'acqua a monte e valle si annullano, le sovraspinte sismiche si sommano.

2,

* H)( EAv21 Kk1±γ

δ Ews Ews

Ewd Ewd

0.4 H'

Ww·kh

H'

z

Figura Figura Figura Figura 11111111----2222 presenza di un invaso a vpresenza di un invaso a vpresenza di un invaso a vpresenza di un invaso a valle della paretealle della paretealle della paretealle della parete

Εwd= 2wh H'γk

12

7 (11-19)

questa spinta viene distribuita usando la seguente distribuzione (da monte verso valle):

qwd(z)= zH'γk8

7wh ⋅± (11-20)

con z = quota del generico punto rispetto la base della parete.

È opportuno ricordare che il valore di kh da introdurre in queste formule non dovrebbe tenere conto delle riduzioni per effetto di eventuali dissipazioni plastiche di cui ai punti 11.2.1, 11.2.2 e 11.2.3.


62 Ce.A.S. s.r.l.

11.411.411.411.4 Spinte su muri rigidi: il metodo di WoodSpinte su muri rigidi: il metodo di WoodSpinte su muri rigidi: il metodo di WoodSpinte su muri rigidi: il metodo di Wood

Questo metodo (Wood (1973)) fornisce la sovraspinta sismica del terreno su una parete interrata soggetta a deformazioni molto contenute, tali da potere assumere che il terreno, si trovi in fase elastica sia in condizioni statiche sia durante il sisma.

In situazioni del genere, relative a manufatti scatolari interrati, pozzi d’aggottamento, manufatti di stazione di metropolitane, la spinta sismica da assumersi (per una parete di sviluppo unitario, come in Figura 11-3.) è data dall’espressione

in cui γ è il peso specifico del terreno.

∆Pd ha punto di applicazione a metà dell'altezza H del muro, il ché equivale ad applicare una pressione uniforme

Questa formulazione ha il pregio di fornire indicazioni, pur approssimate, tuttavia utili per tipologie di pareti per le quali l’applicazione di M-O non ha alcun senso. La formula, in teoria, vale per terreno omogeneo, in assenza d’acqua di falda e per manufatti di altezza contenuta mentre, per manufatti molto profondi, sarebbe opportuna una valutazione con metodi più rigorosi.

Non copre il caso, per altro molto frequente, di manufatto parzialmente in falda. Per questa situazione, di grande rilievo progettuale, crediamo opportuno proporre alcune estensioni che, per lo meno formalmente, sono coerenti con il resto della Norma: se il terreno è dinamicamente permeabile, l’acqua fa da sé e le sovrappressioni alla Westergaard si sommano alle forze d’inerzia dovute alla massa dello scheletro solido (per lo meno è coerente con le indicazioni nel caso di M-O).

La formulazione di Wood ha un ruolo importante nella formulazione del metodo di calcolo automatico previsto da PARATIE.

H

∆ P d H

rigid

o ∆ P d

=

=

Figura 11-3 : il metodo di Wood

EHγSg

a∆P 2g

d =⋅⋅= (11-21)

HγSg

a∆p g

d ⋅⋅= (11-22)


Ce.A.S. s.r.l. 63

11.511.511.511.5 Applicazione delle spinte sismiche pseudoApplicazione delle spinte sismiche pseudoApplicazione delle spinte sismiche pseudoApplicazione delle spinte sismiche pseudo----statichestatichestatichestatiche

Una volta stabilita l'accelerazione di calcolo e la tipologia di spinta più coerente con il comportamento atteso della parete, i metodi suggeriti per introdurre le spinte in un codice di modellazione come PARATIE sono riassunti nei seguenti punti

11.5.111.5.111.5.111.5.1 Applicazione spinte sismiche attiveApplicazione spinte sismiche attiveApplicazione spinte sismiche attiveApplicazione spinte sismiche attive

TERRENO A MONTE (RILEVATO SOSTENUTO DALLA PARETE): TERRENO A MONTE (RILEVATO SOSTENUTO DALLA PARETE): TERRENO A MONTE (RILEVATO SOSTENUTO DALLA PARETE): TERRENO A MONTE (RILEVATO SOSTENUTO DALLA PARETE):

1. si calcola la spinta attiva in condizioni statiche (SA,S)

2. si calcola spinta attiva sismica SA,E utilizzando le indicazioni contenute

3. si calcola l’incremento di spinta dovuto alla terra in caso di sisma (componente efficace):

∆SA= SA,E - SA,S

3. Si ipotizza una distribuzione sulla parete. In genere si assume una distribuzione trapezia, o uniforme in quest'ultimo caso, si può applicare un carico uniformemente distribuito pari a:

q = ∆SA / H

4. Se il terreno è dinamicamente permeabile (permeabilità k>5×10-4 m/sec), si calcola l’incremento di spinta dell’acqua per il caso di sisma (come descritto al punto 11.3), distribuendola sulla parere da monte verso valle secondo l'equazione (11-20).

NB: avendo applicato le azioni ∆SA , i coefficienti di spinta attiva non vanno ridefinite a monte

TERRENO A VALLE (CUNEO IN SPINTA PASSIVA)TERRENO A VALLE (CUNEO IN SPINTA PASSIVA)TERRENO A VALLE (CUNEO IN SPINTA PASSIVA)TERRENO A VALLE (CUNEO IN SPINTA PASSIVA)

In realtà il cuneo di valle non è quasi mai in condizioni limite. Non ha quindi senso seguire una procedura simile a quella da usare per le spinte a monte. Si può operare come segue:

1. Si valuta il coefficiente di spinta passiva KP,sismico, in funzione dei valori di kh e kv=stabiliti, nonché della presenza o meno di acqua di falda, ponendo δ=0° ;

2. si sostituisce il valore di KP,sismico a quello statico utilizzato nella simulazione delle fasi statiche. In realtà il coefficiente da introdurre è

i. KP,sismico× (1±kv)

Risulterà in genere KP,sismico << KP,statico, specie se si decide di adottare il valore di M-O con angolo δ nullo.

3. Se il terreno è dinamicamente permeabile (permeabilità k>5×10-4 m/sec), si calcola l’incremento di spinta dell’acqua caso di sisma utilizzando le medesime formule utilizzate per il paramento di monte

11.5.211.5.211.5.211.5.2 Applicazione spinApplicazione spinApplicazione spinApplicazione spinte sismiche elastiche (Wood)te sismiche elastiche (Wood)te sismiche elastiche (Wood)te sismiche elastiche (Wood)

TERRENO A MONTE (RILEVATO SOSTENUTO DALLA PARETE): TERRENO A MONTE (RILEVATO SOSTENUTO DALLA PARETE): TERRENO A MONTE (RILEVATO SOSTENUTO DALLA PARETE): TERRENO A MONTE (RILEVATO SOSTENUTO DALLA PARETE):

1. si calcola l’incremento di spinta dovuto alla terra in caso di sisma attraverso la (11-21) e la si applica come distribuzione uniforme.

2. Se il terreno è dinamicamente permeabile si aggiunge la soprappressione dell'acqua come diescritto al punto 11.5.1

TERRENO A VALLE (CUNEO IN SPINTA PASSIVA)TERRENO A VALLE (CUNEO IN SPINTA PASSIVA)TERRENO A VALLE (CUNEO IN SPINTA PASSIVA)TERRENO A VALLE (CUNEO IN SPINTA PASSIVA)

Si opera esattamente come per il caso precedente, punto 11.5.1


64 Ce.A.S. s.r.l.

11.5.311.5.311.5.311.5.3 CommentiCommentiCommentiCommenti

Tutte le azioni qui descritte possono essere applicate al modello di PARATIE come carichi esterni. Nel caso di applicazioni di sovraspinte sismiche attive (M-O), gli incrementi sismici possono essere valutati, nel caso di rilevato asciutto, utilizzando direttamente l'approssimazione di Seed e Whithman (1970) (eq. (11-1)). PARATIE PLUS permette di applicare tale spinta con una distribuzione trapezia generica.

11.611.611.611.6 IL METODO DI CALCOLO AUTOMATICO DIL METODO DI CALCOLO AUTOMATICO DIL METODO DI CALCOLO AUTOMATICO DIL METODO DI CALCOLO AUTOMATICO DI PARATIE I PARATIE I PARATIE I PARATIE

11.6.111.6.111.6.111.6.1 PremessaPremessaPremessaPremessa

In alternativa all’introduzione di azioni esterne aggiuntive, PARATIE propone una procedura semiautomatica per il calcolo sismico di opere di sostegno flessibili (Becci & Carni (2014))

La procedura intende avvalersi dello schema logico d’interazione terreno-struttura per istituire una sorta di raccordo fra le due situazioni di spinta estreme (M-O e Wood) indotte da un sisma.

Va sottolineato che questa proposta intende migliorare il calcolo delle paratie con un approccio molto semplice, rimanendo nell’ambito del metodo pseudo-statico: proprio per questo motivo, i confronti sono da farsi con calcoli più sofisticati, ma comunque sempre di tipo statico.

Benché il metodo automatico proposto da PARATIE renda molto semplice il calcolo, riducendo al minimo i calcoli manuali per la preparazione dei dati di input richiesti invece dai metodi basati sull’introduzione di azioni aggiuntive, si raccomanda tuttavia di valutare con estrema cautela i risultati che questo metodo produce, specie nelle prime occasioni del suo utilizzo.

11.711.711.711.7 La procedura automatica passo dopo passoLa procedura automatica passo dopo passoLa procedura automatica passo dopo passoLa procedura automatica passo dopo passo L’idea di base è la seguente: consideriamo una porzione di terreno dal lato di monte della paratia, in

condizioni di equilibrio statico nella configurazione raggiunta al termine dello scavo oppure nella fase intermedia critica in corrispondenza della quale si pensa intervenga l’azione sismica. Nel brevissimo lasso di tempo tra l’intervento dell’azione sismica e la risposta dell’insieme terreno-parete, possiamo pensare che le deformazioni incrementali siano trascurabili. Questo breve intervallo, difficilmente valutabile, può essere assimilato, con grande approssimazione, alla prima iterazione del metodo di Newton Raphson in base al quale PARATIE cerca di determinare, la soluzione conforme con la nuova sollecitazione imposta.Ne consegue che, per questo breve periodo transitorio, la sollecitazione sismica può essere assimilata alla spinta che si determinerebbe su un muro rigido, spinta per la quale è disponibile, ad esempio, la soluzione di Wood (11-21). Il successivo sviluppo di deformazioni addizionali deve tuttavia consentire una diminuzione di questa sollecitazione, fino a che, esattamente come nel caso statico, non si determinino condizioni d’equilibrio limite al di sotto di cui le spinte non possono scendere.

Quindi, in estrema sintesi, è pensabile di operare nel seguente modo:

1. relativamente ad ogni molla di monte, congelando momentaneamente le deformazioni, è applicato un incremento di sforzo orizzontale efficace pari a quello fornito dalla teoria di Wood: poiché questo è un incremento di sforzo a deformazione nulla, può essere assimilato ad una coazione anelastica;

2. all’iterazione successiva, è rimosso il vincolo sull’incremento di deformazione e, contemporaneamente, è ridefinito il limite attivo, portandolo dal valore statico a quello dinamico.

Il processo iterativo farà in modo che la coazione, impressa alla prima iterazione, si sfoghi in modo più o meno rilevante in funzione dell’elasticità del sistema e delle deformazioni incrementali, assicurando tuttavia che la spinta non scenda al di sotto del valore limite attivo sismico di M-O.

In Figura 11-4 sono riportati alcuni stress path percorsi da elementi molla a monte di una parete, all’atto dell’applicazione delle sollecitazioni sismiche con il metodo automatico.


Ce.A.S. s.r.l. 65

Percorso A-B-C-D: corrisponde al caso di un elemento di terreno che, pur soggetto ad un allentamento verso valle (∆<0), prima del sisma è in fase elastica (punto A); l’applicazione della coazione, cioè dell’incremento di sforzo a deformazione nulla, è rappresentata dal segmento A-B; il successivo rilascio elastico è il tratto B-C mentre la deformazione plastica una volta raggiunta la nuova condizione limite attiva sismica è il segmento C-D. Si osservi che, a parità di sforzo verticale efficace, la condizione limite di minima spinta aumenta rispetto al caso statico.

Percorso E-F-G-H: corrisponde al caso di un elemento terreno già in condizioni di spinta attiva statica (punto E); l’applicazione della coazione è rappresentata dal segmento E-F, che determina un temporaneo ritorno in fase elastica; il successivo rilascio elastico è il tratto F-G mentre la deformazione plastica una volta raggiunta la nuova condizione limite attiva sismica è il segmento G-H.

Percorso I-J-K: corrisponde al caso di un elemento terreno che, pur trovandosi dal lato di monte, ha subito una compressione (∆>0, punto I); l’applicazione della coazione è rappresentata dal segmento I-J,ed il successivo rilascio elastico è J-K.

Il calcolo delle condizioni limite attive sismiche è fatto in accordo con i criteri esposti nel §11.3.1, utilizzando in particolare l’espressione (11-18), nella quale tuttavia lo sforzo verticale efficace σ’v tiene conto anche del sovraccarico e degli eventuali effetti di fondazioni nastriformi valutati secondo la normale procedura implementata nel codice.

Nel caso in cui sia prescritto un coefficiente d’incremento dinamico delle pressioni neutre ru inteso come rapporto fra la sovrappressione interstiziale ue e lo sforzo verticale efficace, il valore di σ’v è valutato stimando ue sulla base dello sforzo verticale efficace σ’v,0 precedente all’applicazione del sisma e quindi ricalcolando il nuovo valore sulla base delle nuove pressioni interstiziali; in altri termini la procedura è la seguente:

( )

( ) ( ) )z(uzz

)z(u)z(u)z(u

zr)z(u

v'V

e0

'0,Vue

−σ=σ

+=σ⋅=

il ché equivale a porre

( ) ( ) ( )u'

0,V'V r1zz −⋅σ=σ

Va osservato che il decremento di sforzo verticale

( ) ( )zrz '0,Vu

'V σ⋅−=σ∆

determina anche un decremento elastico dello sforzo orizzontale efficace, secondo la procedura standard prevista da PARATIE.

Spinta attiva statica

Spinta passiva

∆pd

Spinta attiva Sismica (M-O)

∆

σ’h

A

B

C D

E

F G

H

I

J

K ∆pd

∆pd = coazione (Wood) alla 1^ iterazione

∆=deformazione della molla, positiva se comprime la molla σ’h

∆

Figura Figura Figura Figura 11111111----4444: alcuni stress path di elementi molla di monte in : alcuni stress path di elementi molla di monte in : alcuni stress path di elementi molla di monte in : alcuni stress path di elementi molla di monte in accordo con la procedura sismica autoaccordo con la procedura sismica autoaccordo con la procedura sismica autoaccordo con la procedura sismica automatica di PARATIEmatica di PARATIEmatica di PARATIEmatica di PARATIE


66 Ce.A.S. s.r.l.

Le eventuali sovrappressioni dinamiche alla Westergaard, sono aggiunta dall’interfaccia come carico esterno, come anche le azioni d’inerzia associate alla massa della parete.

La procedura automatica è attivata solo per modelli nei quali non sono presenti strati di terrenonon sono presenti strati di terrenonon sono presenti strati di terrenonon sono presenti strati di terreno a cui è associato il modello CLAY.

Riguardo alle molle di valle, la procedura implementata prevede la semplice sostituzione dei coefficienti di spinta passiva con i corrispondenti valori sismici, che sono ridefiniti da PARATIE in accordo con i criteri discussi al punto 11.3.2. Anche in questo caso deve essere eventualmente aggiunta tramite carichi esterni, la distribuzione delle sovrappressioni dinamiche alla Westergaard, in modo tale da assicurare la condizione di carico più gravosa ai fini della stabilità complessiva della parete. La Figura 11-5 riassume la procedura.

RIDEFINIZIONE RESISTENZA PASSIVA

APPLICAZIONE COAZIONI INIZIALI

+

RIDEFINIZIONE LIMITE ATTIVO

Figura Figura Figura Figura 11111111----5555: rappresentazione sintetica della procedura sismica di PARATIE: rappresentazione sintetica della procedura sismica di PARATIE: rappresentazione sintetica della procedura sismica di PARATIE: rappresentazione sintetica della procedura sismica di PARATIE

È possibile osservare come questo modo di procedere permetta di sollecitare sismicamente tutte le tipologie di parete lasciando all’algoritmo di calcolo la valutazione dell’azione sismica intermedia fra le due ipotesi estreme; nel caso di parete molto flessibile, l’applicazione della spinta di M-O è comunque garantita, in linea, per tutto quanto detto in precedenza, con le ipotesi usuali adottate nella grande maggioranza dei casi pratici. Nel caso di pareti per le quali, precedentemente al sisma, non si erano instaurate condizioni limite, questo algoritmo consente in ogni caso di sollecitare il sistema. La ridistribuzione delle azioni iniziali è condotta utilizzando le rigidezze statiche, il ché è certamente un’approssimazione che rende tuttavia il calcolo coerente con le analisi statiche. Infine, accettando le approssimazioni dell’algoritmo, il metodo permette di studiare anche pareti che sostengono scavi in terreni coesivi, in condizioni non drenate, cosa non possibile con un’applicazione del metodo di M-O.

Per contro, con questo metodo non è possibile imporre un punto d’applicazione della risultante delle sovrappressioni sismiche, la cui distribuzione dipende, per lo meno nelle condizioni di equilibrio limite, dalla distribuzione degli sforzi verticali efficaci e dall’andamento stratigrafico dei parametri di calcolo.

La procedura sismica va attivata come ultimo passo dell’analisi incrementale e, preferibilmente, in una fase nella quale non vengono prescritte altre variazioni alla configurazione della parete.


Ce.A.S. s.r.l. 67

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