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1 STRUTTURE MONODIMENSIONALI

1.1 TEORIA ELASTICA DELLA TRAVE PRISMATICA

1.1.1 Il problema di De Saint Venant.

Si chiama

solido di De Saint Venant

(DSV) una traveprismatica elastica sollecitata soltanto in corrispondenza delle basi, mentre il cosiddetto mantello èscarico. Il grande interesse applicativo che risiede nello studio del problema elastico per il solidosuddetto (detto problema di DSV) è dato dal

principio di DSV

il quale, applicato al solido omo-nimo, stabilisce che: a una conveniente distanza dalle basi lo stato di tensione e di deformazionedel solido dipende soltanto dalle CS agenti sulle basi stesse e non dalla particolare distribuzionedelle forze superficiali. Quindi per ottenere la soluzione lontano dalle basi non ci si deve preoc-cupare di come sono applicate le forze sulle basi stesse, ma, sfruttando il principio di sovrappo-sizione degli effetti, basterà studiare una volta per tutte l’effetto delle singole CS. Tenuto presenteche lo sforzo di taglio non può sussistere da solo, si hanno così 4 classici problemi, detti di

sol-lecitazione semplice

:1) sforzo normale,2) flessione retta,3) flessione e taglio,4) torsione;

per composizione dei precedenti si considerano anche i casi importanti di

sollecitazione composta

:5) flessione deviata,6) sforzo normale eccentrico.Il problema 6) può peraltro essere studiato direttamente, col vantaggio che da esso discendo-

no come casi particolari sia il 5) sia il 2) e l’1). Il

problema di DSV

, che consiste nel ricercarela soluzione dell’insieme delle equazioni (38), (41), (52), (42), (43), si può utilmente affrontarecol

metodo semi-inverso

, il quale consiste nel formulare ipotesi sulla natura della soluzione, dette

ipotesi di lavoro

(IL), salvo verificarne poi la validità. Comune a tutti i casi è la IL

σ

x

=

σ

y

=

τ

xy

= 0. Sulle

basi

, poiché si rinuncia a conoscere il particolare andamento della soluzio-ne in prossimità di esse (cioè si ignorano gli

effetti locali

), si impongono soltanto

condizioni diequilibrio globali

, anziché le (43). Sul

mantello

, essendo

f

x

=

f

y

=

f

z

= 0, le (43) si riducono allasola equazione:

τ

zx

α

n

+

τ

zy

β

n

= 0.

1.1.2 Sforzo normale eccentrico.

Una prima ipotesi di lavoro, a suo tempo formulata da Ber-noulli come vera e propria ipotesi, afferma la

conservazione delle sezioni piane

; ne segue che le

z

, quindi le

σ

z

, sono lineari nella sezione. Una seconda IL pone

τ

zx

=

τ

zy

= 0. Ciò premesso,avendo scelto gli assi come in figura 1, con

x

e

y

assi centrali d’inerzia della sezione, si ottienelo stato di tensione:

(59)

con

M

x

=

Ny

c

,

M

y

= –

Nx

c

. Ponendo

σ

z

= 0 si ottiene l’equazione della retta nel piano

xy

luogo deipunti della sezione a tensione nulla, detta

asse neutro

n

(AN):

(60)

L’AN stacca sugli assi

x

e

y

rispettivamente i segmenti:

(61)

Le (60) (61) mostrano che l’AN

n

è la retta

antipolare

del

centro di sollecitazione C

. La retta

s

per

C

uscente dall’origine è detta

asse di sollecitazione

e individua la

direzione coniugata

σzN

A -------

Mx

I x----------- y

My

I y----------- x–+

N A ------- 1

yc y

ρx2

----------xc x

ρy2

---------- + + = =

xc

ρy2

-------- x yc

ρx2

-------- y 1+ + 0=

p ρy2 xc⁄–= q – ρx

2 yc⁄=

001-054_CAP_01_C Friday, March 9, 2012 10:15 AM

C-2

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

dell’AN. Lo stato di tensione si rappresenta efficacemente come indicato nella figura 2, ossia ri-baltando sul piano del disegno la sezione del diagramma spaziale delle tensioni ottenuta con unpiano ortogonale all’AN. Detta

η

la distanza della generica fibra dall’AN, la corrispondente ten-sione si può esprimere mediante la formula monomia

(62)

con

S

n

momento statico della sezione calcolato rispetto all’AN. La direzione dell’asse

n

può esse-re determinata dalla relazione (30), e la sua distanza

η

c

dal centro di sollecitazione

C

dalla

(63)

dove

n

′

è l’asse per

C

parallelo a

n.

Le (62) (63) sono particolarmente utili nello studio dellapressione eccentrica di solidi non reagenti a trazione. Facendo variare la posizione di

C

lungo

s

,

n

si sposta con continuità mantenendosi parallelo alla direzione originaria. Per

C

→

G

, (

p

,

q

)

→

∞

e l’AN tende alla retta impropria del piano. La sollecitazione diviene di

sforzo normale centrato

e il corrispondente diagramma delle

σ

z

diviene uniforme, di intensità

σ

x

=

N

/

A

. La variazione dilunghezza dell’intero solido è data dall’espressione approssimata, che prescinde dagli effetti localivicino alle basi:

(64)

ove

L

/

EA

e

EA

/

L

sono le costanti rispettivamente di deformabilità assiale e rigidezza assiale dellatrave. Allontanando

C

da

G

lungo la retta

s

l’AN si avvicina a

G

. Il punto

C

≡

K

s

per il quale laretta

n

è tangente alla sezione prende il nome di

punto di nocciolo

(fig. 3). Al variare della di-rezione

s

i punti

K

s

descrivono una curva chiusa che racchiude una regione del piano detta

noc-ciolo centrale d’inerzia

che, per sua stessa costruzione, è il luogo dei centri di pressione che pro-ducono in tutta la sezione

tensioni di ugual segno

.

1.1.3 Solidi non reagenti a trazione.

Si consideri un materiale il cui legame costitutivo siaquello di figura 4. Il comportamento è elastico lineare solo per tensioni

σ

z

< 0, di compressione;per tensioni di trazione la resistenza è nulla. Un solido di DSV costituito da tale materiale, solle-citato da sforzo normale di compressione eccentrico, può essere in equilibrio solo se il centro dipressione è interno alla sezione; possono poi verificarsi due casi:

a

) il centro di pressione appartiene al nocciolo centrale d’inerzia; la sezione è interamentecompressa e valgono i risultati già ottenuti;

Fig. 1.

Fig. 2.

σzN

Sn --------- y=

ηc In Sn⁄ In ′ Sn ′⁄= =

∆LNL

EA -----------=


TEORIA ELASTICA DELLA TRAVE PRISMATICA C-3

b) il centro di pressione è esterno al nocciolo centrale d’inerzia; in tal caso l’AN taglia la se-zione; per l’equilibrio sarebbero richieste tensioni di trazione alle quali il materiale non può resi-stere. La sezione effettivamente resistente si riduce in maniera tale da essere tutta compressa, ilche avviene allorquando il centro C coincide con un punto di nocciolo della sezione ridotta stes-sa. Su tale sezione, a priori incognita, si applicano poi tutti i risultati precedenti. La ricerca dellasezione resistente è semplificata nel caso in cui l’asse s coincida con un asse di simmetria dellasezione. In tal caso, infatti, è nota la direzione dell’AN, normale a s, e rimane incognita la solaposizione; assunta allora quale incognita ηc , ed espressi In e Sn (o In′ o Sn′ ) come funzioni di ηc ,dalla (63) si ottiene l’equazione risolvente:

(65)

La ricerca della radice richiede in genere procedimenti numerici di calcolo che possono agevol-mente essere programmati su calcolatrici da tavolo. Se l’asse s non coincide invece con un assedi simmetria la questione è assai più complessa e occorre procedere per tentativi.

1.1.4 Flessione retta. La sollecitazione semplice di flessione retta si può ottenere come casoparticolare della sollecitazione di sforzo normale eccentrico, portando C su un asse centrale, peresempio Y, poi allontanandolo verso l’infinito e facendo variare N in modo tale che il prodottoNyc tenda a un limite finito pari a Mx , momento flettente applicato. La (59) si riduce all’espres-sione, detta di Navier,

(66)

e l’AN coincide con l’asse (baricentrico) x. Stante la linearità della distribuzione, le tensioni mas-sima e minima si hanno ai lembi della sezione. Si definiscono moduli di resistenza a flessione re-lativi ai due lembi le grandezze geometriche (fig. 5):

(67)

Le tensioni max e min si esprimono poi, in valore assoluto:

(68)

I valori dei momenti d’inerzia relativi alle sezioni di più comune impiego sono immediatamentericavabili dalla tabella 1.

Le (68) possono essere riscritte in funzione dei raggi di nocciolo Ki e Kc

(69)

Fig. 3. Fig. 4.

ηc Sn ηc( ) In ηc( )– 0=

σz

Mx

I x----------- y=

W x i, I x yi ⁄= W x e, I x ye ⁄=

σz i, Mx W x i,⁄= σz e, Mx W x e,⁄=

σz i, Mx AKi⁄= σz e, Mx AKe⁄=


C-4 STRUTTURE MONODIMENSIONALI

essendo Ki = /yi = Wx, i /A e Ke = Wx, e /A. Le (69) permettono di valutare come, a parità diarea A e di altezza h, sezioni di forma differente offrano una diversa resistenza. In partico-lare il valore di K/h è pari a 0,167 per la sezione rettangolare, a 0,125 per la sezione circo-lare, mentre per i profilati a doppio T in acciaio ha valori dell’ordine di 0,36 ÷ 0,37 per itipi HE (ali larghe) e 0,33 ÷ 0,34 per i tipi IPE (ali strette). Il valore massimo di K/h è paria 0,5 ed è relativo a una sezione ideale, detta a doppio T limite. I profilati a doppio T ri-sultano quindi essere i più idonei a sopportare la flessione nel piano di maggiore inerzia, ma,stante il piccolo rapporto Iy /Ix , hanno scarsa resistenza nel piano ortogonale. Le suddetteconsiderazioni sono poi limitate al comportamento elastico della trave e prescindono dai fe-nomeni di instabilità.

Lo studio della deformazione del solido conduce ai seguenti risultati (fig. 6):

(70)

(71)

La linea d’asse si dispone secondo un arco di circonferenza di lunghezza immutata L e di curva-tura χ. L’andamento nel piano xy, ossia la deformata della trave, è descritto dall’equazione diffe-renziale

(72)

la quale fornisce, mediante itegrazione, una parabola anziché una circonferenza. La differenza èdovuta all’approssimazione χ – ∂2v/∂z2 …, ed è inessenziale nel campo dei piccoli spostamenti.

Fig. 5.

ρx2

zy

R -------= χ 1

R ------- tcos

Mx

EI x ------------= = =

βx

Mx L

EI x-----------------=

Fig. 6.

∂2v ∂z2

------------–Mx

EI x ------------=



Tabella 1. Momenti d’inerzia delle sezioni di più comune impegno.

SEZIONE d A Ix

b h

– 2,598 a2 0,541 a4

R πR2

(segue)

h 2 ------ b h 3

12--------------

2 3 ------ h

b h 2

------------ b h3 36

--------------

h 3 ------

a 2 b +a b+

--------------------- a b +2

---------------- h h3

36 ---------

a2 4ab b2+ +a b+

---------------------------------

πR4 4

-------------

4 3π ---------- R πR2

2-------------

R4 16

---------- π128---------

118π--------- –


C-6

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

1.1.5 Flessione deviata.

Si porti il centro

C

all’infinito lungo l’asse di sollecitazione

s

facendotendere

N

a zero in modo tale da far tendere i prodotti

Ny

c

e

Nx

c

a

M

x

e –

M

y

assegnati. Si ot-tiene così la sollecitazione composta di flessione deviata. La (59) si riduce a:

e l’AN

n

diventa baricentrico. Gli assi

s

e

n sono coniugati e la direzione dell’AN è ancora for-nita dalla (30). Lo stato tensionale può essere alternativamente descritto dalla

(74)

(seguito tabella 1)

SEZIONE d A Ix

π R s

–

bh0 + b0h1

bh – b1h1

2 π ------- R R2 s π

2 ------ 4

π -------–

2bs 1 +

+ 8

3 ------

h

b

------

2

32

5---------

h

b

------

4

–

2b 8

15 --------- s h2 1 +

+ 8

7 ------

h

2

b

2

--------- 32

21 ---------

h

4

b

4

---------

–

bh2 b1h12–

2 bh b1h1–( )---------------------------------

b 3 ------ h d–( )2

b1

3--------- ×–

× h 1 d – ( ) 3 b b 1 – ( )

d

3

3---------+

h 2 ------

bh3 b1h13–

12--------------------------

σz

Mx

I x----------- y

My

I y----------- x–=

σz M cos δ

In------------------------ η=


T

EORIA

ELASTICA

DELLA

TRAVE

PRISMATICA

C-7

in cui

δ

è

l’angolo di deviazione

di

s

dalla normale

r

all’AN (fig. 7),

I

n

è il momento d’inerziadella sezione rispetto all’AN. Lo studio della deformazione può essere condotto sovrapponendo glieffetti di due flessioni rette; poiché tutte le sezioni ruotano attorno all’AN, lo spostamento di ungenerico punto appartenente all’asse della trave avviene nella direzione di

r

e l’intera deformata ècontenuta in un piano normale a

n

.

1.1.6 Energia potenziale elastica.

Applicando la definizione (54) e trascurando gli effetti loca-li in prossimità delle basi si ottiene, per il caso di

sforzo normale eccentrico

, la seguente espres-sione della EPE:

(75)

Anziché in termini di CS e costanti di deformabilità, la EPE si può esprimere in termini dideformazione e costanti di rigidezza:

(76)

Le due espressioni si utilizzano rispettivamente nel metodo delle forze e nel metodo deglispostamenti. Infine la EPE si può interpretare come lavoro esterno:

(77)

Si può osservare che non vi sono termini misti (

NM

x

, …); la EPE globale risulta quindi som-ma della EPE relativa alle singole sollecitazioni semplici. Tale proprietà è legata alla scelta degliassi (centrali d’inerzia), tale che le sollecitazioni risultano tra loro «ortogonali» nel senso cheognuna di esse non compie lavoro nelle deformazioni prodotte dalle altre due.

1.1.7 Torsione.

Due le ipotesi di lavoro:

σ

z

= 0 (

τ

zx

e

τ

zy

≠

0, incognite) e

w = w (x, y) ≠ 0 →ingobbamento delle sezioni, uguale per tutte. Le sezioni ruotano le une rispetto alle altre, di modoche gli spostamenti u e v sono del tipo:

(78)

dove Θ è la rotazione relativa di due sezioni a distanza unitaria. Si introduce una funzione di ten-sione φ (x, y) tale che sia:

(79)

Fig. 7.

Li1

2 ------

N 2L EA

-------------- 1 2 ------

Mx2L

EI x--------------- 1

2 ------

My2L

EI y---------------+ +=

Li1

2 ------

EA L

----------- ∆ L 2 1

2 ------

EI

x

L

------------ β x 2 1

2 ------

EI

y

L

------------ β y 2 + +=

Li Le1

2 ------ N ∆ L

1 2 ------ M x β x

1 2 ------ M y β y + += =

u Θ yz –= v Θ xz =

τzx∂φ

∂y ----------= τzy –= ∂φ

∂ x

----------


C-8

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

Le equazioni del problema elastico si riducono alla equazione differenziale nella

φ

:

(80)

Le condizioni sul mantello permettono di stabilire che

φ

è costante sul contorno della sezione, co-stante che si può porre uguale a zero (attenzione alle sezioni

pluriconnesse

, trattate più in là). Lecondizioni sulle basi forniscono:

(81)

Le (80) (81) e la condizione

φ

= 0 sul contorno definiscono il problema matematico; trovata la so-luzione (che dipende dal tipo di contorno), si hanno le seguenti proprietà: componendo in ognipunto

τ

zx

e

τ

zy

, si ottiene la tensione tangenziale risultante

τ

, la quale risulta tangente alla curva

φ

=

cost

passante per quel punto; inoltre l’intensità di

τ

è pari al valore assoluto della derivata di-rezionale di

φ

rispetto alla normale alla curva

φ

=

cost

nel punto. In conseguenza di quanto soprala rappresentazione di

φ

mediante curve di livello a intervalli costanti fornisce una visione globaletanto dell’andamento direzionale della

τ

quanto della intensità in ogni punto (curve più«fitte» = intensità maggiore).

Nel caso di

sezione circolare

la soluzione è agevole e si ottiene:

(82)

con

r

raggio nel punto,

I

p

momento d’inerzia polare

della sezione,

τ

tangente alla circonferenzadi raggio

r

(fig. 8); l’angolo

Θ

è pari a:

(83)

Nel caso di

sezione rettangolare stretta

(

b

/

a

1) la

φ

risulta cilindrica con sezione paraboli-ca, tranne le zone prossime ai lati corti della sezione (fig. 9); escluse tali zone, si ha:

(84)

Nel caso di

sezione rettangolare

(

b

/

a

qualunque) la soluzione si può ottenere sotto forma disviluppi in serie e i risultati si presentano in forma tabellare, fornendo i due coefficienti

K

1

e

K

2

(tab. 2), funzioni soltanto di

b

/

a

, che permettono di calcolare

τ

max

e

Θ

:

(85)

Fig. 8. Fig. 9.

∂2φ ∂x2 ------------ ∂2φ

∂y2 ------------+ 2 G Θ –=

2 φ dx dyA∫ Mz=

τ Mz

I p----------- r=

ΘMz

G π

2 ------ R4

--------------------------=

τ τzx 2 Mz

1

2 ------ ba3

---------------------- y= = ΘMz

G 1

3 ------ ba3

-----------------------------=

τmax

Mz

K2 ba2 ---------------------= Θ

Mz

K1 G ba3 ----------------------------=


T

EORIA

ELASTICA

DELLA

TRAVE

PRISMATICA

C-9

La figura 10 indica l’andamento delle tensioni tangenziali con la rappresentazione a curve di li-vello. Nel caso di

sezioni aperte di spessore sottile

(fig. 11) la

φ

risulta cilindrica in ogni tratto

i

(supposto di spessore costante), cosicché si ha, in via approssimata:

(86)

Il caso di

sezioni pluriconnesse

(ossia forate) presenta la proprietà della

φ

di essere costante suogni contorno ma con valori diversi: la formula (81) è ancora valida, ma l’integrale va esteso allasezione intera, priva dei fori; la differenza di comportamento che ne risulta rispetto alle sezioniaperte si può capire dalla figura 12: nel caso di sezioni con foro le

τ

«girano» attorno al foro esono relativamente modeste; nel caso di sezione aperta, ottenuta dalla precedente con un semplicetaglio, le

τ

sono costrette a «girare» in uno spazio ristretto e diventano assai più elevate. Partico-larmente interessante è il caso della

sezione cava

(biconnessa) di

spessore sottile

, per la quale siottiene la

formula di Bredt

:

(87)

con

τ

parallela alla linea media tra i due contorni,

s

spessore della parete nel punto considerato,

Ω

area racchiusa dalla linea media suddetta (fig. 13). Si ha poi:

(88)

Tabella 2. Coefficienti per il calcolo di

τ

max

e

Θ

b

/

a K

1 K

2 b

/

a K

1 K

2 1,0 0,1406 0,208 3 0,263 0,2671,2 0,166 0,219 4 0,281 0,2821,5 0,196 0,231 5 0,291 0,2912,0 0,229 0,246 10 0,312 0,3122,5 0,249 0,258 ∞ 0,333 0,333

Fig. 10. Fig. 11.

τi max,Mz

1

3 ------ b j a j

3 j

∑--------------------------------- ai= Θ

Mz

G 1

3 ------ b j a j

3 j

∑----------------------------------------=

τMz

2 Ωs ----------------=

Fig. 12.

ΘMz

G 4 Ω2 ----------------------

d

l

s --------- ∫° =


C-10

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

Altri risultati interessanti sono riassunti in tabella 3; in tutti i casi si pone:

(89)

con

W

t

modulo di resistenza alla torsione,

GI

t

rigidezza torsionale della sezione. L’energia poten-ziale elastica per il solido di DSV soggetto a torsione risulta in generale pari a

(90)

con

GI

t

rigidezza torsionale sopra definita, fornita caso per caso dalla tabella o apposito studio. Ilproblema di torsione sin qui considerato, detto anche

torsione libera

, suppone che sia vincolato sol-tanto un elemento infinitesimo di sezione in corrispondenza dell’origine degli assi, cosicché l’ingob-bamento delle sezioni è libero. Qualora in una sezione le condizioni di vincolo impongano la plana-rità, l’

ingobbamento

si trova a essere

impedito

e occorre una apposita nuova trattazione; si destanotensioni

σ

z

e

τ

xy

e lo stato di tensione può risultare alquanto diverso da quello della torsione libera.

1.1.8 Flessione e taglio.

Ove si segua, nel caso più generale, la trattazione alla DSV, questocaso di sollecitazione risulta assai complesso. Si ricorre pertanto, ai fini tecnici applicativi, a unatrattazione approssimata. La soluzione tipo DSV si può però dedurre agevolmente nel caso parti-colare della

sezione rettangolare stretta

; con riferimento alla figura 14 le IL sono:

τ

zx

= 0;

τ

zy

≠

0incognita, funzione della sola

y

;

σ

z

fornita in ogni sezione dalla formula di Navier (66), ossia:

(91)

La trattazione fornisce per

τ

zy

l’espressione parabolica:

(92)

Nel caso di

sezione qualunque monoconnessa

(fig. 15), in particolare anche rettangolare «larga»,con

b

/

h

non piccolo, la

τ

zy

risulta funzione anche di

x

oltre che di

y

, mentre è

τ

zx

≠

0; in tali con-dizioni la trattazione approssimata rinuncia alla determinazione esatta di

τ

zy

ricercando soltanto ilvalore medio sulla larghezza: all’equazione di equilibrio puntuale [la 3ª delle(41)] si sostituisce una condizione di equilibrio globale del concio tratteggiato in figura 16, laquale fornisce:

(93)

Fig. 13.

τmax

Mz

W t ----------= Θ

Mz

GIt ------------=

Li1

2 ------

Mz2 L

GIt -------------=

σz

Mx

I x----------- y

T y

I x--------- yz= =

τzy

T y

I x---------

1 2 ------

h 2 ------

2

y2–=

τzy τzy = y( ) τyz;=

qT y S y( )

I x---------------------= τyz

T y S y( )I x b y( )---------------------=



Tabella 3. Valori di Wt e It per alcune sezioni soggette a torsione.

SEZIONE Wt It

K2 b a2

(vedi tab. 2)K1 b a3

(vedi tab. 2)

(segue)

π R3 2

--------------- π R4 2

---------------

b j a j 3

j ∑

3amax---------------------

1 3

------ b j a j3

j∑

12 Ω smin--------------------- 4 Ω2

dl s⁄----------------

π R3 2

--------------- 1 α4–( ) π R4 2

--------------- 1 α4–( )


C-12

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

(seguito tabella 3)

SEZIONE

W

t

I

t

1,037

a

4

2,599

a

3

3,66

a

4

K

2

R

3

K

1

R

4

α

K

1

K

2

α

K

1

K

2

0,10 0,81 1,56 0,60 0,66 0,920,20 0,80 1,46 0,80 0,52 0,63

0,40 0,76 1,22 1,00 0,38 0,38

a3

20 --------- a4

46,2 -------------

π a2 b 2

-------------------- π a3 b3 a2 b2+

----------------------

a3

1,024 ----------------


T

EORIA

ELASTICA

DELLA

TRAVE

PRISMATICA

C-13

con

S

(

y

) momento statico, rispetto all’asse

x

, dell’area tratteggiata in figura 16a,

q sforzo

di scor-rimento

, pari al prodotto di per la larghezza. A commento delle (93) si comprende il ruolodi (e quindi di

q

), che deve assicurare l’equilibrio degli incrementi di tensione

σ

z

.Nel caso di

sezione a parete sottile aperta

, quale quella di figura 17, è opportuno definire il con-cio

∆

z

con un piano normale alla linea media; si possono infatti ritenere trascurabili le tensionitangenziali dirette secondo lo spessore e si perviene ancora alla prima delle (93); dividendo poi

q

per lo spessore si ottiene la tensione

τ

parallela alla linea media, all’incirca costante secondo lospessore. Questa trattazione conduce, per le sezioni a T, a doppio T, a C, ai risultati riportati sin-teticamente in figura 18. Risultati analoghi si ottengono nel caso di

sezioni cave a parete sottile

ove

y

sia

asse di simmetria

(fig. 19).

Fig. 14.

Fig. 15.

Fig. 17.

Fig. 18.

τyzτyz

Fig. 16.


C-14

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

L’esame dei risultati ottenuti per le sezioni a parete sottile conduce al concetto di

centro di ta-glio

. Se si considera per esempio la sezione a L di figura 20 sollecitata da

T

y

, le tensioni tangen-ziali hanno l’andamento indicato in figura e ammettono sì come risultante la

T

y

, ma

applicata alpunto C

anziché al baricentro

G

; ne segue che i risultati della teoria sopra delineata sono validi,in questo caso, solo se la forza tagliante giace in un piano parallelo a

zy

passante per

C

, dettocentro di taglio. Qualora invece

T

y

passi per il baricentro, si può pensare di spostare la forza finoa farla passare per

C

, dopodiché la sollecitazione è somma della flessione e taglio e di una tor-sione con

M

z

pari al momento di trasporto. Il risultato sopra esemplificato è generale; per esem-pio nel caso di sezioni a

C

il centro di taglio si trova spostato all’esterno dell’anima (fig. 21).Nel caso vi siano due assi di simmetria,

C

coincide con

G

.L’

energia potenziale elastica

del solido di DSV soggetto a flessione e taglio si può valutare invia approssimata, con risultato che è valido per sezioni non troppo larghe:

(94)

oppure:

(95)

C

t

è il

fattore di taglio

. Nel caso di sezione rettangolare si ha

C

t

= 6/5; nel caso di sezione a dop-pio T

A

* risulta all’incirca uguale all’area della sola anima. Anche per le deformazioni si hannorisultati approssimati, che possono essere desunti, per quanto riguarda

l’influenza del taglio sulla

Fig. 20.

Fig. 21.

Fig. 19.

Li1

1 ------

T y2L

G A*--------------= con A*

I x2

S 2 y ( ) b

y

( )

------------------- d y y

s

y

i ∫

-------------------------------------=

Li1

2 ------ Ct

T y2L

GA--------------= con Ct

A A* ----------=


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-15

deformata

v

(

z

), dall’espressione (94). La sezione si

ingobba

, con andamento a S come indicatoin figura 22, e con una rotazione media

γ

m

pari a:

(96)

Con la (96) si ammette implicitamente che la base vincolata impedisca la rotazione media diquella sezione; maggiori precisazioni non sono possibili in sede tecnica, ove le condizioni di vin-colo non possono essere assicurate con il grado di raffinatezza voluto dalla teoria dell’elasticità.

1.2 TRAVI E SISTEMI DI TRAVI

1.2.1 Estensione dei risultati di De Saint Venant.

Mentre il solido DSV è prismatico e sol-lecitato soltanto sulle basi, una

trave generica

è in generale: ad asse curvilineo, a sezione varia-

bile, con carichi distribuiti o concentrati applicati sul mantello, con forze di volume. Pretendere,in queste condizioni, di impostare e risolvere il problema elastico in termini rigorosi sarebbe:

a

) in molti casi impossibile o scarsamente dotato di significato;

b

) in ogni caso difficile;

c

) nella maggior parte dei casi poco utile per quanto riguarda il comportamento d’assiemedella trave.

Circa il punto

a

) si deve osservare che in

sede tecnica

le condizioni di vincolo delle travi,che la teoria dell’elasticità richiede di precisare in maniera puntuale, sono poco conosciute, sia apriori (fase di progetto), sia a posteriori; circa il punto

b

) si può osservare che l’avvento deglielaboratori elettronici ha in molti casi mutato l’aggettivo impossibile in difficile od oneroso; circail punto

c

) si può dire che lo spirito del principio di DSV si estende alle travi in generale percui gli

effetti locali

, anche se poco noti o sconosciuti del tutto, non hanno il più delle volte in-fluenza sensibile sulla soluzione nel suo insieme. Con tali osservazioni ci si avvia verso l’indivi-duazione di trattazioni approssimate, o

soluzioni tecniche

, dei problemi riguardanti la trave elasti-ca, trattazione basata sull’estensione ragionata dei risultati della teoria di DSV, con il supporto deirisultati forniti sia dagli studi più approfonditi sia da apposite prove sperimentali. Procedendo intal modo non si fa altro che mutare i modelli di riferimento per lo studio dei problemi, adattan-doli via via alla natura dei problemi stessi, in particolare sfruttando la forma dei solidi considerati(travi) nonché un altro importante aspetto del problema fisico, fornito dalle proprietà dei materialida costruzione. Infatti l’importanza degli effetti locali, ossia della conoscenza approfondita deglistati di tensione nelle zone «difficili» (carichi o vincoli concentrati, brusche variazioni di sezione,intagli), è legata al comportamento del materiale: se questo è

elastico fragile

, un’eventuale

puntadi tensione

può compromettere la

sicurezza

della trave ed è quindi importante conoscerla; se in-vece il materiale è

elasto plastico

, la punta di tensione prevista dalla teoria elastica rigorosa potrà

γ m

T y

GA* ---------------=

Fig. 22.


C-16

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

essere «tagliata» da un comportamento locale elasto plastico, ovvero

duttile

, con limitazione delletensioni ai valori di snervamento e soddisfazione delle condizioni di congruenza grazie a scorri-menti plastici; in definitiva:

adattamento locale

senza sensibile influenza sulla soluzione (elastica)nelle rimanenti parti della trave. Ciò ha fatto dire, con apparente paradosso, che sarebbe «la pla-sticità a legittimare i risultati della teoria dell’elasticità»; in realtà, in modo più corretto si può di-re che la

plasticità del materiale legittima le soluzioni tecniche

, ottenute sfruttando risultati ap-prossimati della teoria dell’elasticità. Implicita nel modo di procedere ora indicato è la separazio-ne dei problemi: ottenuta la soluzione globale, valida in media e in grande, si passa ove necessa-rio a esaminare le singole zone «difficili», per le quali si sfruttano altri risultati della teoriadell’elasticità (esempio tipico: effetto di un carico ripartito su una zona molto piccola, studiato co-me se il mezzo fosse indefinito), oppure

criteri tecnici

dettati da Norme, a loro volta basate sustudi teorici o sperimentali, tenuto conto delle proprietà del materiale impiegato (per esempio re-gole sugli spessori e collocazione di appositi rinforzi locali, nel caso di costruzioni di acciaio).Ciò premesso,

l’estensione dei risultati di DSV

si realizza calcolando le CS in ogni sezione, poi

valutando le tensioni come se ogni concio di trave fosse un solido DSV

soggetto ai vari tipi disollecitazione, e infine sovrapponendo gli effetti; lo stesso procedimento si applica alle deforma-zioni. Ciò richiede che la trave sia

isostatica

, ma il procedimento stesso apre la strada, come sidirà oltre, alla trattazione dei

sistemi iperstatici. L’estensione richiede però alcune precauzioni: va-lidità dell’ipotesi di trave (risultati poco attendibili per travi «corte»), raggi di curvatura «grandi»(rispetto alle dimensioni della sezione), variazioni graduali della sezione.

1.2.2 Deformata delle travi ad asse rettilineo. Si consideri una trave ad asse rettilineo solle-citata nel piano yz, con taglio (Ty = T) e momento (Mx = M) variabili con z secondo leggi note,isostatica. La sola flessione dà alla deformata il contributo (72):

(97)

il taglio dà il contributo (96):

(98)

Si tratta di equazioni differenziali molto semplici, ridotte come sono alle quadrature. L’esame deivalori numerici che possono intervenire nei secondi membri mostra che nella maggiore parte deicasi il contributo del taglio è modesto, spesso trascurabile; diventa più importante in travi corte eper sezioni con elevato coefficiente di taglio (travi ad anima sottile). Per indagare su tale influenza,fornendo così un esempio di applicazione delle (97), (98), si può considerare il caso della mensolacorta con carico concentrato all’estremità (fig. 23); integrando una prima volta la (97) si ottiene:

v f″ = – M

x ( )

EI

x -------------------

vt′ = T z ( ) GA

*

-----------------

v ′f = PL EI

x

------------ z 1 2 ------

z

2

L --------– C 1 +

Fig. 23.


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-17

con

C

1

costante d’integrazione; integrando una seconda volta si ha:

le due costanti

C

1

e

C

2

si determinano imponendo le

condizioni di vincolo

, in questo caso in

A

:

v

A

=

v

(0) = 0

v

′

A

=

v

′

(0) = 0 (99)

Risulta pertanto

C

1

=

C

2

= 0 e si ottiene la

deformata dovuta alla flessione

:

(100)

Integrando la (98) si ha:

v

t

= (

P

/

GA

*)

z

+

C

3

, la condizione

v

A

=

v

(0) = 0 fornisce

C

3

= 0; somman-do i due contributi si ottiene la deformata dovuta a flessione e taglio:

(101)

Fissando l’attenzione sulla

freccia di estremità

,

v

B

, si può scrivere, tenuto conto delle (53) (95):

(102)

La tabella 4 presenta i valori del termine 6 (1 +

v

)

C

t

(

ρ

x

/

L

)

2

, moltiplicati per 100, nei 3 casi disezione rettangolare, IPE200, HE300, calcolati per

L/h

(

h

altezza della sezione) pari a 10, 5, 3;quest’ultimo valore è il limite al di sotto del quale non si può più ritenere valida la teoria diDSV. I risultati in tabella 4 sono significativi; mostrano come possa essere lecito trascurare l’in-fluenza del taglio sulla deformazione nella maggioranza dei casi di travi a sezione compatta, men-tre errori sensibili possono intervenire in alcuni casi ove si sommino le circostanze di trave cortae

C

t

elevato.L’equazione (97) si integra in forma chiusa in tutti i casi in cui si conosca la doppia primi-

tiva della funzione a secondo membro. Le condizioni ai limiti da soddisfare sono due con la pre-cisazione che, se vi sono punti della linea d’asse della trave ove la presenza di vincoli ovvero diforze attive è causa di discontinuità di alcune derivate della deformata, oppure nel caso di cam-biamento della legge analitica del 2° membro della (97), la linea d’asse va suddivisa in campicompresi tra i punti suddetti e le condizioni ai limiti sono due per ogni campo. La tabella 5 elen-ca le condizioni in corrispondenza dei diversi tipi di vincolo delle travi.

Una serie di casi utili per le applicazioni è riportata nella tabella 6: si considerano varie si-tuazioni di carico e di vincolo, fornendo taglio e momento flettente nonché, nell’ipotesi

EI

x

=

cost

,rotazione e deformata, valutate trascurando l’influenza di

T

; alcune travi sono iperstatiche (

C-1.2.3

).Nei casi in cui il secondo membro della (97) non si presti all’integrazione in forma chiusa

(

M

definito in forma numerica, oppure

I

x

variabile) si può ricorrere all’integrazione numerica,

Tabella 4. Contributo del taglio nel calcolo di

v

B

(%)

L

/

h

Rettangolare IPE 200 HE 300

10 0,8 3,7 7,65 3,1 14,8 30,33 8,7 41,1 84,1

v fPL

EI x ------------ z2

2--------

1 6 ------

z3 L

--------– C1 z C2+ +=

v fPL

6EI x ---------------- z3 3 z

L -------–

=

vPL

6EI x ---------------- z2 3 z

L -------–

P GA* --------------- z+=

vBPL3

3EI x ---------------- 1 6 1 v+( ) C t

ρ

x

L

---------

2

+=


C-18

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

agevolata dall’impiego di una calcolatrice, possibilmente programmabile. Il calcolo, basato sullaregola dei trapezi, è presentato in figura 24, dove si mostra anche un esempio di applicazione,sviluppato in forma tabellare; la traduzione in programma per il calcolo automatico non presentadifficoltà.

Si può osservare la perfetta identità formale tra l’equazione (97) e la (33) che lega il momen-to al carico ripartito; ove vengano considerate correttamente anche le condizioni ai limiti, questaosservazione consente di istituire un’utile analogia, detta

analogia di Mohr

, riconducendo il calco-lo della deformata alla determinazione del

diagramma dei momenti

prodotto dal

carico fittiziop

* =

M

/

EI

x

agente sulla stessa trave della quale si siano opportunamente modificati i vincoli in

Tabella 5. Dati per calcolo di deformate di travi ad asse rettilineo.

Vincolo Posizione Condizione Discontinuità

Cerniera o pendoloEXT.INT.

v

= 0

V

sin

=

V

des

–

v

′

Incastro continuitàEXT.INT.

v

= 0,

v

′

= 0

v

s

=

v

D

, v

′

S

= v

′

D

–no

GlifoEXT.INT.

v

′

= 0

v

′

S

=

v

′

D

–

v

Sez. Z M EI

C

j

v

i

′

v

i

′

v

i

0 0 – 2 8 15,625 1 0 0 01 0,125 – 1,625 5,359 18,952 2 34,577 2,161 0,0022 0,25 – 1,25 3,375 23,148 11 76,677 4,792 0,0093 0,375 – 0,875 1,953 28,008 2 127,883 7,990 0,0224 0,5 – 0,5 1 31,250 11 187,091 11,693 0,0425 0,625 – 0,375 1 23,437 2 241,778 15,111 0,0686 0,75 – 0,25 1 15,625 11 280,840 17,553 0,1017 0,875 – 0,115 1 7,812 2 304,277 19,173 0,1388 1 0 1 0 1 312,089 19,506 0,176

×

L

×

PL

×

EI

0

–

Fig. 24.

– M

EI

---------- ∆ 2 ------ ∆

2 ------

× 10 3– PL

2

EI

0

--------- × 10 3– PL

2

EI

0

--------- × 10 3– PL

2

EI

0

--------- × PL

2 EI

0

---------


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-19T

abel

la 6

.T

ravi

ad

asse

ret

tilin

eo, d

ati p

er v

arie

sit

uazi

oni d

i car

ico

e vi

ncol

o

(seg

ue)

YA

0;

=M

A

–=

mY

AP

;=

MA

–=

PL

YA

PL

;=

MA

–1 2

----

--

=

PL

2Y

A1 2

----

-- P

L;

MA

1 6

------

– P

L2

==

Tco

st0

==

Tco

stP

==

Tp

L ζ

=T

1 2

------

pL

ζ2

=

Mco

st

–=

=

mM

–=

PL

ζM

–=

1 2

------

pL

2 ζ

2M

–=

1 6

------

pL

2

ζ3

ϕ m

L

EI

--------

---- ξ

=ϕ

1 2

------

PL

2

EI

--------

-----

ξ

1

ζ

+

()

=ϕ

1 6

------

pL

3

EI

--------

-----

1ζ3

–(

)=

ϕ1 24------

pL

3

EI

--------

-----

1ζ4

–(

)=

ϕ B m

L

EI

--------

----=

ϕ B1 2

----

-- P

L2

EI

--------

-----

=ϕ B

1 6

------

pL

3

EI

--------

-----

=ϕ B

1 2

4

--------

- p

L3

EI

--------

-----

=

v1 2

----

-- m

L2

EI

--------

------

ξ2=

v1 6

----

-- P

L3

EI

--------

-----

ξ2

3ξ

–(

)=

v1

24

----

-----

= p

L4

EI

--------

-----

3ζ

–4

ζ3–

()

[]

v1

120

----

--------

pL

4

EI

--------

- 4

ζ –

5ζ4

–(

)[

]=

v B1 2

----

-- m

L2

EI

--------

------

=v B

1 3

------

PL

3

EI

--------

-----

=v B

1 8

------

pL

4

EI

--------

-----

=v B

1 3

0

--------

- p

L4

EI

--------

-----

=



(seg

uito

tabe

lla

6)

– tr

onco

AC

:–

tron

co C

B:

(seg

ue)

YA

1 2

------

pL

;M

A

–1 3

----

--

pL

2

==

YA

–

Y

B

m

L--------

==

YA

P β

=Y

BP

α=

T 1

2------

pL

ζ

2ζ

–(

)=

Tco

stm L

----

---=

=T

cost

Pβ

==

MP

L

β

ξ

=

Tco

st

–

P

α

==

MP

L

α

ζ

=

M

max

M

C

PL

α

β

==

M

–1 6

----

--

pL

2

3

ζ–

()

ζ2=

M

–

m ζ

=ϕ

1 6

------

PL

2

EI

--------

-----

β 1

β2–

3 ξ

2–

()

=ϕ

1 6

----

--–

PL

2

EI

--------

-----

α

1α

2–

3 ζ

2–

()

=

ϕ1

24

----

-----

pL

3

EI

--------

-----

3ζ3

4

ζ–

()

–[

]=

ϕ1 6

----

-- m

L

EI

--------

----

13

ζ2

–(

)=

ϕA

1 6

------

PL

2

EI

--------

-----

β 1

β2–

()

=ϕ B

1 6

----

--–

PL

2

EI

--------

-----

α

1α

2–

()

=

ϕ B1 8

----

-- p

L3

EI

--------

-----

=ϕ

A

1 3

------

mL

EI

--------

----–

=ϕ C

1 3

------

PL

2

EI

--------

-----

α β

β

α–

()

=

v1

120

----

--------

pL

4

EI

--------

-----

1115

ζ–

ζ4

5ζ

–(

)+

[]

=ϕ B

1 6

------

mL

E

I----

--------

=v A

1 6

------

PL

3

EI

--------

-----

β ξ

1β2

–ξ2

–(

)=

v B1 6

----

-- P

L3

EI

--------

-----

α ζ

1

α2

–ζ2

–(

)=

v B11

120

----

--------

pL

4

EI

--------

-----

=v

1 6---–

mL

2

EI

--------

------

ζ 1

ζ2–

()

=v C

1 3

------

PL

3

EI

--------

-----

α2 β

2=


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-21

(seg

ue)

(seg

uito

tabe

lla

6)

YA

YB

1 2

------

pL

==

YA

1 6

------

pL

;=

YB

1 3

------

pL

=Y

A

–

Y

B

3 2

------

m L

-------

==

YA

3 8

------

pL

;=

Y

B

5 8

------

pL

=

T1 2

----

-- p

L

12

ξ–

()

=T

1 6

------

pL

1

3 ξ

2–

()

=M

B1 2

----

-- m

=M

B

–1 8

----

--

pL

2

=

M1 2

----

-- p

L2 ζ

ξ=

M1 6

----

-- p

L2 ζ

ξ

1ξ

+(

)=

Tco

st3 2

----

--

m L

-------

==

Tp

L

3 8

------

ξ–

=

ξ1 2

----

-- :

MM

max

1 8

------

pL

2=

==

ξ

3

3----

-------

:M

Mm

ax

3

27--------

--- p

L2

==

=M

–=

1 2

------

m

2

3

ξ–

()

M1 8

----

-- P

L2 ξ

3

4 ξ

–(

)=

ϕ1

24

----

-----

pL

2

EI

--------

-----

12

ξ2

2 ξ

3–

()

+[

]=

ϕ1

360

----

--------

pL

2

EI

--------

-----

715

ξ2

2ξ2

–(

)–

[]

=ϕ

1 4

------

mL

E

I----

--------

ζ

23

ζ–

()

=ϕ

1 4

8

--------

- p

L3

EI

--------

-----

ζ 1

ξ8

ξ2

–+

()

=

ϕA

–ϕ B

1 2

4

--------

- p

L3

EI

--------

-----

==

ϕA

7 3

60

--------

---- p

L3

EI

--------

-----

=ϕ

A

–=

1 4

------

mL

EI

--------

----ϕ

A1

48

----

-----

pL

3

EI

--------

-----

=

v1

24

----

-----

pL

4

EI

--------

-----

ζ ξ

1ζ

ξ+

()

=

ξ1 2

----

-- :

=v

v max

5 3

84

--------

---- P

L4

EI

--------

-----

==

ϕ B

–8

360

----

--------

pL

3

EI

--------

-----

=

v

1 3

60

--------

----

pL

4

EI

--------

-----

ζ

ξ 1

ξ+

()

73

ξ2

–(

)=

v

–=

1 4

------

mL

2

EI

--------

------

ξ ζ2

ξ

1 3

------

:=

vv

min

–=

1 2

7

--------

-

mL

2

E

I----

--------

--=

v1

48

----

-----

pL

4

EI

--------

-----

ξ ζ2

1

2 ξ

+(

)=


C-22

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

– tr

onco

AC

:–

tron

co C

B:

/2

(seg

ue)

(seg

uito

tabe

lla

6)

YA

1 2

----

-- P

β2

2α

+(

)=

YB

1 2

----

-- P

α

3α

2–

()

=Y

A1

10

----

-----

pL

;Y

B2 5

----

-- p

L=

=Y

A11 4

0

--------

- p

L;

YB

9 4

0

--------

- p

L=

=

Tco

stY

A=

=

MB

–1 2

----

--

PL

α

=1

α2

–(

)

Tco

stY

–

B=

=M

B

–1 15------

pL

2

=M

B

–7

120

----

--------

pL

2

=

M1 2

----

-- P

L ξ

β2

2α

+(

)=

M1 2

----

-- P

L α

3

ζα

2 ξ

1–

+(

)=

MC

PL

α β

2

2α

+(

)=

T1

10

----

-----

pL

1

5 ξ

2–

()

=T

1 4

0

--------

- p

L

20 ζ

29

–(

)=

ϕ1 4

----

-- P

L2

EI

--------

-----

β2

=α

2α

+(

) ξ2

–[

];

ϕA

1 4

------

PL

2

EI

--------

-----

α β

2=

ϕ1 4

----

-- P

L2

EI

--------

-----

αζ

α2

2ζ

–(

)3

ζ2

–+

[]

=M

1 1

0

--------

- p

L2 ξ

3

5 ξ

2–

()

=M

1 1

20

--------

---- p

L2 ξ

20

ζ220

ζ7

–+

()

=

ϕ C1 4

----

-- P

L2

EI

--------

-----

α β

2

12

α–

α2

–(

)=

ϕ1

120

----

--------

pL

3

EI

--------

-----

ζ 1

ξ+

()

15

ξ2–

()

⋅=

ϕ1

240

----

--------

pL

3

EI

--------

-----

ζ 27(

ζ +

=

10

ζ3

–14

)–

v1

12

----

-----

PL

3

EI

--------

-----

ξβ2

3α

2α

+(

) ξ2

–[

]=

v1

12

----

-----

PL

3

EI

--------

-----

αζ2

3

1α

2–

()

+

[

= –

3

α2

–(

)ζ]

ϕA

1 1

20

--------

---- p

L3

EI

--------

-----

=ϕ

A1

80

----

-----

pL

3

EI

--------

-----

=

v C1

12

----

-----

PL

3

EI

--------

-----

α2 β

3

3α

+(

)=

v1

120

----

--------

pL

4

EI

--------

-----

ξ ζ2

1

ξ+

()2

=v

1 2

40

--------

---- p

L4

EI

--------

-----

ξζ2

72

ζ–

2ζ2

–(

)=


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-23

– tr

onco

AC

:–

tron

co C

B:

(seg

uito

tabe

lla

6)

YA

P

β

2

12

α

+(

)=

YB

P

α

2

12

β

+(

)=

YA

YB

1 2

------

=

=p

LY

A3

20

----

-----

pL

;Y

B7

20

----

-----

pL

==

MA

P–L

α β

2=

Tco

stY

A=

=

MB

– PL

α2 β

=

Tco

st

–

Y

B

==

MA

MB

–1

12

----

-----

pL

2

==

MA

–1

30

----

-----

pL

2

;

MB

1 2

0

--------

- p

L2

==

MP

L

β

2

ξ 1

2 α

+(

)α

–[

]=

MP

L α

2

ζ 1

2 β

+(

)β

–[

]=

T1 2

----

-- p

L

12

ξ–

()

=T

1 2

0

--------

- p

L

310

ξ2

–(

)=

MC

2

PL

α2 β

2=

M –

1 1

2

--------

- p

L2

16

ξ ζ

–(

)=

M

–1

60

----

-----

pL

2

2

9

ξ–

10 ξ

3+

()

=

ϕ1 2

----

-- P

L2

EI

--------

-----

β2ξ

2α

ξ –

12

α+

()

[]

=ϕ

–1 2

----

-- P

L2

EI

--------

-----

α2ζ

2β

ζ –

12

β+

()

[]

=ξ

1 2

------

:=

M

1

24

----

-----

p

L2

=ϕ

1 1

20

--------

---- p

L3

EI

--------

-----

ξζ

45

ξ–

5 ξ

2–

()

=

ϕ c1 2

----

-- P

L2

EI

--------

-----

α2 β

2

12

α–

()

=ϕ

1 1

2

--------

- p

L2

EI

--------

-----

ξ ζ

12

ξ–

()

=v

1 1

20

--------

---- p

L4

EI

--------

-----

ξ2 ζ

2

2ξ

+(

)=

v1 6

----

-- P

L3

EI

--------

-----

β2ξ2

3

αξ

–1

2α

+(

)[

]=

v1 6

----

-- P

L3

EI

--------

-----

α2ζ2

3

βζ

–1

2β

+(

)[

]=

v1

24

----

-----

pL

4

EI

--------

-----

ξ2 ζ

2=

v C1 3

----

-- P

L3

EI

--------

-----

α3 β

3=

ξ1 2

----

--

:

v

1 3

84

--------

----

pL

4

EI

--------

-----

==


C-24

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

modo da rispettare le condizioni ai limiti del problema deformativo. L’analogia può essere utile,e lo era soprattutto in tempi passati quando vi erano maggiori difficoltà nell’affrontare i calcolinumerici, in quanto riconduce il problema a un altro, quello di tracciare un diagramma dei mo-menti, che è già familiare. Per quanto riguarda le condizioni ai limiti, rimangono le stesse per latrave appoggiata mentre, vi è scambio tra estremo libero e incastro nel caso della mensola, comeillustrato in figura 25.

1.2.3 Studio delle travi ad asse rettilineo iperstatiche con il metodo degli spostamenti. La(97) si può scrivere (omettendo ora l’indice

f

, nell’intesa di ritenere trascurabile l’influenza del ta-

glio):(103)

Derivando due volte e tenendo conto della (33), si ottiene:

(104)

Nel caso particolare di sezione costante si ha poi:

(105)

L’equazione differenziale (104), oppure (105), lega direttamente la deformata al carico ripartitotrasversale; integrando tale equazione, tenuto conto delle condizioni ai limiti, si ottiene la defor-mata senza aver determinato le CS, le quali possono essere dedotte successivamente mediante la(103) e la derivazione:

(106)

Questo modo di procedere, che assume quale incognita primaria del problema la deformata, non èaltro che una formulazione, per la trave ad asse rettilineo, del

metodo degli spostamenti

, formula-zione che ha la proprietà di essere indifferente al fatto che la trave sia eventualmente

iperstatica

.Infatti le condizioni ai limiti della (104) o (105), in numero di 4 per ogni campo d’integrazione nelquale si debba dividere la trave, esprimono tanto condizioni di

equilibrio

, quanto condizioni

geome-triche

, ovvero di

congruenza

esterna; ciò è illustrato dalla figura 26, che pone a confronto 2 traviisostatiche e 2 travi iperstatiche. La figura 27 presenta invece un caso complesso, a titolo dimostra-tivo, nel quale è necessario dividere la trave in ben 9 campi per 36 costanti d’integrazione incogni-te, e che mostra i svariati tipi di condizioni ai limiti. Infine la figura 28 presenta i risultati dellostudio per la trave incastro-appoggio; gli sviluppi analitici sono i seguenti:

Fig. 25.

EI x v″ – M =

EI x v″( )″ pt=

EI x vIV pt=

T – EI x v ″( )′ =

vp

24EI --------------- z4 C1z3 C2z2 C3z C4+ + + +=


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-25

Imponendo le 4 condizioni ai limiti di figura 26 si ottiene:

(107)

Si ha poi derivando:

I valori

T

,

M

in alcune ascisse interessanti sono indicati in figura.

1.2.4 Formula generale dello spostamento.

Lo studio della deformata sopra proposto si limitaalle travi ad asse rettilineo e, seppure in grado di affrontare i casi di travi isostatiche o iperstati-che indifferentemente, comporta calcoli eccessivamente complessi non appena il numero dei campida considerare supera le poche unità. Uno strumento analitico molto più generale è la

formula ge-nerale dello spostamento

(FGS), che fornisce la componente dello spostamento di una sezionequalsiasi di un generico SMI secondo una data direzione orientata

r

; con opportuna applicazionedel teorema dei LV, specializzando gli integrali (45) e (46) e considerando quali cause di defor-mazione tanto forze esterne quanto variazioni di temperatura (VT) lineari nel piano delle singole

Fig. 26.

Fig. 27.

vpL2

48EI --------------- z2 3 5 –

z L------ 2 +

z2

L2 ---------

=

M – EI v ″ – pL

2 8

------------- 1 5 – z

L

------- 4 +

z

2

L

2

---------

= = T – EI v ′″

pL 8

----------- 5 8 – z

L

-------

= =


C-26

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

sezioni, si ottiene per la FGS l’espressione:

(108)

N

,

M

x

, … sono le CS prodotte dalle forze attive applicate;

N

′

,

M

x

′

,

… sono le CS,

Q

′

l

le reazioni,prodotte da una forza unitaria disposta, nella sezione considerata, secondo

r

; se poi si applicauna coppia unitaria si ottiene la corrispondente rotazione; se si applica una coppia di braccionullo si ottiene una componente di spostamento relativo, se si applicano due coppie uguali e con-trarie si ottiene una rotazione relativa (fig. 29); sono gli eventuali cedimenti vincolari imposti;

T

m

,

∆

T

x

,

∆

T

y

sono i parametri della VT lineare nella generica sezione (fig. 30);

A

x

*,

A

y

*,

I

t

sonodefiniti in

C-1.1

. Con la FGS il calcolo di una qualsiasi componente di spostamento è ricondotto al calcolo di

un integrale, calcolo che potrà eventualmente essere condotto per via numerica, con formule tipotrapezi o Simpson, ricorrendo utilmente a calcolatrici o elaboratori.

1.2.5 Sistemi di travi iperstatici. Metodo delle forze.

La FGS è strumento utile per affrontarelo studio dei sistemi di travi iperstatici (STI). Per tali sistemi, alle equazioni della statica, in nu-mero insufficiente per far fronte alle incognite, si aggiungono altrettante

condizioni di congruenza

quanti sono i

vincoli sovrabbondanti

; la FGS serve nel formulare tali condizioni, nel modo se-

Fig. 28.

ηr S

∫ N

EA

----------- α + T m

N ′ M

x

EI

x

------------ α +

∆

T

x

h

-------------- M ′ x +

M

y EI

y

------------ α –

∆

T

y

b

-------------- + M ′ y +=

+ T

x

T

′

x

G A

x *

---------------- T

y T

′

y

G A

y

*----------------

M

z

M

z ′

GI

t

------------------ d s Q ′ l q l

l

∑ –+ +

ql


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-27

guente. Dato il sistema si scelgono i vincoli da considerare sovrabbondanti (VS), siano in numerodi

n

(detto

grado di iperstaticità

), e si immagina di sopprimerli, ottenendo un

sistema isostatico

,detto sistema ridotto o

sistema principale

(SP); in corrispondenza a ogni vincolo soppresso si po-ne una forza incognita, detta

incognita iperstatica

X

i

(

i =

1, 2, …

n

); si esprimono gli spostamentiassociati alle

X

i

quali funzioni delle forze attive note, delle eventuali VT, degli eventuali cedimen-ti vincolari imposti, nonché delle stesse

X

i

; si impone a tali spostamenti di essere

nulli

, o even-tualmente uguali ai cedimenti imposti, nel sistema effettivo, ai corrispondenti vincoli; si ottengonocosì

n

equazioni nelle

n

incognite

X

i

, che risolvono il problema iperstatico. In base a quanto dettole

Q

l

,

N

,

M

, … che figurano nella (108) si esprimono per sovrapposizione degli effetti:

(109)

Le grandezze contrassegnate con (0) sono gli effetti, nel SP, delle forze attive (note); quelle contrasse-gnate con l’apice e l’indice

j

sono gli effetti, nel SP, della forza unitaria posta in luogo di

X

j

(se il vin-colo corrispondente è di quelli che impediscono una rotazione la

X

j

è una coppia e la corrispondenteforza unitaria è una coppia unitaria; se il vincolo è

interno

, la

X

j

è o una coppia di braccio nullo oppureè costituita da due coppie uguali e contrarie: si veda figura 31, che illustra i quattro casi). Le grandezze

N

′

,

M

x

′

, … Q

′

l

da introdurre nella FGS sono, quando si impone la condizione

i

-esima, proprio gli effettidella forza unitaria FGS posta in luogo di

X

i

, ossia sono le sopra definite

N

i

′

,

M

xi

′

, …, Q

′

l

i

. Ciò postosi ottiene, per il

sistema delle equazioni di congruenza

, la seguente formulazione generale:

(110)

Fig. 29.

Fig. 30.

Ql

Ql0( )= Q

l j′ X jj 1=

n

∑+

N N 0( )= N j′ X jj 1=

n

∑+

Mx Mx0( )= Mxj′ X j

j 1=

n

∑+

………………………

S∫

Ni′ N j′

EA-------------------

M ′xi M ′xj

EI x------------------------ …+ +

dS X j

j 1=

n

∑ – S

∫ N

04

( )

EA ---------------- α + T m

N ′ i +=

+

M

x

0

( )

EI

x

--------------- α +

∆

T

x

h

-------------- M ′ xi + … d S Q

l i ′ q

l q i +

l

∑ + i 1 2 … n , , , =


C-28

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

La

∑

l

si estende ai soli vincoli del SP, mentre con si indica il cedimento eventualmente impo-sto al VS

i-

esimo. Risolto il sistema di equazioni (110), ricorrendo eventualmente a integrazioninumeriche ove necessario, le sollecitazioni nel sistema effettivo si ottengono applicando le (109).L’applicazione di (110) offre una problematica vasta, con questioni relative alla scelta dei SP econ interessanti formulazioni specializzate per particolari problemi (per esempio archi incastrati,travi continue ecc.). La figura 32 offre un esempio circa la pluralità delle scelte possibili del SP;la figura 33 fornisce, per la stessa trave, la soluzione a un problema che comprende le varie cau-se possibili di sollecitazione nel sistema iperstatico.

Gli eventuali

difetti di montaggio

degli elementi componenti un STI si possono ricondurrea cedimenti vincolari imposti, esterni o interni, consentendo così il calcolo degli effetti dei di-fetti stessi. In tali casi, come nel caso di VT, lo stato di sollecitazione indotto dipende dallesole incognite iperstatiche, cioè è uno

stato di coazione

. Un esempio è presentato in figura 34;il risultato ivi indicato è generale, ossia il cedimento vincolare da imporre è di segno contrarioal difetto.

La libertà di scelta del SP può essere sfruttata per semplificare i calcoli di risoluzione del si-stema (110). Un esempio classico in tal senso è offerto dall’

arco incastrato

per il quale si è svi-luppato nel passato la teoria dell’ellisse di elasticità; scegliendo quale SP l’arco incastrato su unabase e libero all’altra, quale polo di riferimento delle iperstatiche un particolare punto, detto

cen-tro elastico

, e opportune direzioni di riferimento (assi dell’ellisse suddetta), si ottiene un sistemadi equazioni del tipo (110) caratterizzato da una

matrice

dei coefficienti

diagonale

. La figura 35illustra la scelta; il triangolo tratteggiato rappresenta un ideale elemento rigido per evidenziare il

Fig. 31.

qi

Fig. 32.


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-29

fatto che le iperstatiche sono applicate alla sezione

B

. Un altro esempio importante è offerto dalla

trave continua

trattata nel seguito.I coefficienti delle incognite, a primo membro della (110), hanno un evidente significato fisi-

co, discendente dalla stessa FGS: il coefficiente

ij

non è altro che la componente di spostamentosecondo

i

(o

j

) dovuta alla forza unitaria applicata secondo

j

(o

i

); si ricorre pertanto all’espres-sione

coefficienti d’influenza

. La proprietà di reciprocità

i

↔

j

, qui evidente, non è altro che uncaso particolare del teorema di reciprocità, o di Betti; essa ha validità generale, valendo anche peri STI, e va sotto il nome di

teorema di Maxwell

.Le (110), ove private dei termini dovuti alle VT, si possono interpretare (e ottenere) quali

condizioni di minimo

della ECT

, facendole cioè derivare dal relativo teorema energetico; se poimancano i cedimenti imposti si tratta dell’applicazione del

teorema di Menabrea

.

1.2.6 Sistemi reticolari iperstatici.

Nel caso di SR la FGS e il sistema (110) si specializzanonel modo seguente:

(111)

Fig. 34.

Fig. 35.

Fig. 33.

ηr h 1=

na

∑ Nh

Eh Ah ------------------ αh + T h

Nh′ Lh Q ′lq

l

l

∑–=


C-30

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

E

h

,

A

h

,

T

h

s’intende costandi lungo l’asta

h

;

∆

T

x

=

∆

T

y

= 0;

(112)

Qui gli eventuali difetti di montaggio si riconducono alla maggiore o minore lunghezza delle aste,la quale può essere utilmente assimilata a un’opportuna VT nelle aste interessate. Il SP si ottieneo sopprimendo vincoli esterni o eliminando vincoli interni (o entrambe le operazioni); la 2ª ope-razione, tipica dei SR, si indica talvolta col termine sbrigativo «taglio di un’asta»; la figura 36 in-dica cosa si debba intendere, correttamente, con tale espressione.

1.2.7 Trave continua. Equazione dei tre momenti.

Per la trave continua a

n

+ 1 campate, equindi con grado di iperstaticità

n

, il SP più opportuno si ottiene ponendo cerniere sugli appoggiintermedi e adottando quali incognite iperstatiche i momenti di continuità su detti appoggi (fig.37). Nel caso di momento d’inerzia costante in ogni campata e trascurando l’influenza del tagliosi ottiene la seguente generica equazione di congruenza, relativa alla coppia di campate tra gli ap-poggi

i

– 1 e

i + 1 (equazione dei 3 momenti), indicate rispettivamente con i e i + 1:

(113)

N ′ ih N ′ jh

h

∑ L

h

E

h

A

h

----------------

X j ⋅

j

1=

n

∑ –

h

∑ N

h

0

( )

E

h

A

h

---------------- α h T h + L h N ′ ih + Q ′ l i q l

l

∑ = i 1 2 … n , , , = ( )

Fig. 36.

Fig. 37.

Li

6EIi -------------- Xi 1– 2 +

Li

6EIi --------------

Li 1+

6EIi 1+ --------------------+

Xi

Li 1+

6EIi 1+ -------------------- Xi 1+ =+

= ϕ i s , 0 ( ) ϕ i d , 0 ( )

v

i

1–

L

i

-------------- 1

L

i

-------- 1

L

i

1+

---------------+ v i –

v

i

1+

L

i

1+

---------------+ + +


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-31

sono le rotazioni in

i

, assunte come indicato in figura 38, dovute ai carichi agenti sullecampate appoggiate e a eventuali VT tipo

∆

T

x

; per i casi più comuni di carico tali rotazioni sononote: in questo manuale sono fornite dalla tabella 6. Si può notare che la matrice dei coefficientidel sistema (113) è

bandata

, ossia con coefficienti diversi da zero soltanto sulla diagonale principalee le due diagonali adiacenti; ciò costituisce un elemento di semplificazione dei calcoli. Se la sezioneè variabile nell’ambito di ciascuna campata, l’equazione dei 3 momenti rimane valida nella sua strut-tura matematica; cambiano soltanto i valori dei coefficienti a 1° membro, da calcolarsi caso percaso con gli appositi integrali. Se la prima campata (o l’ultima) è incastrata, l’equazione di con-gruenza relativa all’incastro si scrive facilmente considerando una campata fittizia oltre l’incastro,caratterizzata da rigidezza flessionale infinita (e quindi coefficienti nulli). Se la prima campata (ol’ultima) è preceduta (seguita) da uno sbalzo, l’equazione di congruenza relativa alla prima (l’ultima)coppia di campate si scrive introducendo il momento, noto, applicato dallo sbalzo. L’esempio difigura 39 illustra i vari casi possibili; le due equazioni di congruenza sono le seguenti:

Nel caso di trave continua a 2 campate, soggetta a soli carichi trasversali, si ha (fig. 40):

(114)

nel caso particolare di carichi uniformemente ripartiti sulle 2 campate,

p

1

e

p

2

, la (114) fornisce:

Fig. 38.

Fig. 39.

ϕi s,0( ) e ϕ i d , 0 ( )

L2

3EIx --------------- X1

L2

6EIx --------------- X2+

1 EI x ------------

FL22

16--------------

vB

L2 ---------+=

L2

6EIx --------------- X1

L2 L3 +

6EIx--------------------- X2

L3

6EIx ---------------

1 2 ------ p L4

2–+ +1

EI x ------------

FL22

16--------------

p L 33

24---------------+

1

L

2

--------- 1

L

3

---------+

v

B

–=

X3

1 α +-----------------

ϕB s,0( ) ϕB d,

0( ) +

L-------------------------------=

X1

8 1 α+( ) --------------------------- p1 L2 p2 α2 L2+( )=


C-32

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

1.2.8 Deformata dei STI. Linee d’influenza.

Il calcolo della deformata di un STI non poneparticolari problemi: note le incognite iperstatiche, si procede per sovrapposizione degli effetti,operando sul SP; in particolare si può utilizzare la FGS nella quale le CS dovute alla forza ge-neralizzata unitaria si valutano sul SP, mentre quelle dovute ai carichi sono la somma del contri-buto, sul SP, di questi e delle iperstatiche; si introducono cioè, nella (108), le espressioni (109).Alcune deformate di travi iperstatiche sono indicate nella tabella 6.

Per quanto riguarda le

linee d’influenza

, analoghe considerazioni si possono svilupparecon i STI. Data una trave, o sistema di travi, iperstatica o meno, la

LI di una componente dispostamento

si può determinare, o applicando direttamente la definizione oppure, più oppor-tunamente, applicando il

teorema di reciprocità

nella

versione Maxwell

: la LI, relativa al ca-rico mobile viaggiante mantenendosi parallelo alla direzione

s

, della componente di sposta-mento secondo la direzione

r

di una sezione

S

(in particolare rotazione), coincide con la de-formata della trave secondo

s

, dovuta alla forza unitaria applicata in

S

secondo

r

(eventual-mente coppia unitaria) (fig. 41). Grazie a tale proprietà le deformate già note, per esempioquelle della tabella 6, possono essere interpretate quali LI delle corrispondenti componenti dispostamento.

La LI di una

caratteristica di sollecitazione

o di una

reazione vincolare

si può invece de-terminare, oltre che applicando direttamente la definizione, mediante ricorso al secondo

teore-

Fig. 40.

Fig. 41.


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-33

ma di reciprocità

, o

teorema di Land

(o ancora di Land-Colonnetti): la LI, relativa al caricomobile viaggiante mantenendosi parallelo alla direzione

s

, di una GS nella sezione generica

S

(o di una reazione vincolare

Q

), coincide con la deformata della trave secondo

s

, cambiata disegno, dovuta alla distorsione unitaria in

S corrispondente alla CS cercata (o al cedimento vin-colare unitario corrispondente a Q). Per sistemi isostatici: nel caso di LI di reazioni vincolarisi ricade nei risultati di cap. 1, mentre nel caso di LI di CS si tratta ancora di cinematica deicorpi rigidi, in quanto la distorsione unitaria, che si può vedere come cedimento vincolare diun vincolo interno, opera su un sistema labile a 1 GL (vedi per esempio la fig. 42). Per siste-mi iperstatici la soppressione di un vincolo lascia il sistema ancora iperstatico o tutt’al piùisostatico; la distorsione provoca una deformata elastica, che si può valutare con i metodi notie in alcuni casi può rientrare tra le deformate note dalle tabelle (si veda per esempio la figura43). Altri esempi sono riportati nella figura 44 (arco a 3 c) e nella figura 45 (trave continua,con andamenti qualitativi); tabelle di LI per le travi continue si trovano in testi specia-lizzati.

Fig. 42.

Fig. 43.



1.2.9 Sistemi di travi iperstatici – Metodo degli spostamenti. L’opportunità di individuare, inalternativa al metodo delle forze sopra formulato, un metodo degli spostamenti per lo studio deiSTI, si può evidenziare con un esempio significativo quale il seguente. Si considera il SR ipersta-tico di figura 46a, costituito da n + 1 aste concorrenti in un nodo vincolato da un carrello, e quin-di di iperstaticità n; con il metodo delle forze si ha quale SP quello di figura 46b, e occorre im-porre n condizioni di congruenza. Tornando alla figura 46 a si può cambiare impostazione, assu-mendo quale incognita, in questo caso unica, lo spostamento del nodo A, uA; in funzione di uA sipossono esprimere le variazioni di lunghezza di tutte le aste (fig. 47) e da qui gli sforzi normaliNi ; qualunque sia uA la congruenza del sistema di figura 46 rimane assicurata, ma non l’equilibrio

Fig. 44.

Fig. 45.


TRAVI E SISTEMI DI TRAVI C-35

tra la forza esterna e gli sforzi interni; occorre quindi, per individuare la soluzione, imporre unacondizione di equilibrio (figg. 47 e 48):

Il calcolo di uA, e successivamente delle Ni , è immediato. L’esempio ora illustrato è chiaramente unesempio limite, che esalta la differenza tra i due metodi, a vantaggio di quello degli spostamenti. Sipuò notare il perfetto dualismo: con il metodo delle forze si cerca la soluzione tra le configurazioniequilibrate, individuando l’unica che sia anche congruente; con il metodo degli spostamenti si cercala soluzione tra le configurazioni congruenti, individuando l’unica che sia anche equilibrata.

1.2.10 Telai piani. I telai piani a maglie rettangolari, formati da montanti verticali e traviorizzontali (non vi sono difficoltà concettuali sostanziali a trattare i casi di maglie non rettango-lari; aumenta soltanto la complessità formale), sono caratterizzati da un elevato grado di iperstati-cità, non appena il numero delle maglie, supera le pochissime unità (nel caso di 1 maglia si uti-lizza il termine portale). Tale circostanza rende opportuno il ricorso al metodo degli spostamentiil quale, grazie all’ipotesi che siano trascurabili gli effetti sulla deformazione dello sforzo norma-le, comporta un numero di incognite generalmente inferiore a quello associato al metodo delleforze. Per esempio per il telaio di figura 49, soggetto a carichi applicati in generale sia alle travisia ai montanti, sono sufficienti a definire la generica configurazione deformata i seguenti 28 pa-rametri: le 20 rotazioni di nodo (1 ÷ 20), i 5 spostamenti di piano (16 ÷ 20, 11 ÷ 12, 13 ÷ 15, 6 ÷ 10,1 ÷ 5) e i 3 spostamenti di colonna (3 ÷ 18, 5 ÷ 10, 15 ÷ 20). Viceversa il grado di iperstaticità è 36.

Fig. 47. Fig. 48.

Fig. 46.

∆Li –= u A cos Θ i N i –

E

i

A

i

L

i

---------------- cos Θ i u A =

E

i

A

i

L

i

---------------- cos

2

Θ

i

u

Ai

1=

n

1+

∑

X

=


C-36

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

Se però lo stesso telaio si modifica portando a terra le colonne 3

÷

18 e 5

÷

10, unendo 10

÷

15 e12

÷

13 e aggiungendo 4 vincoli che impediscano gli spostamenti di piano, il grado di iperstaticitàsale a 52, mentre il numero dei parametri di deformazione scende a 20.

La formulazione generale del metodo, mediante scrittura delle condizioni di equilibrio, richiede si-stematicità e opportune convenzioni; si assumono le rotazioni e i momenti alle estremità delle aste

posi-tivi se antiorari

(si noti la diversità rispetto alle consuete convenzioni della S.d.C., legate al concetto disforzo); gli spostamenti relativi dei nodi si assumono positivi se producono nelle aste rotazioni antiora-rie; idem per i tagli; convenzioni e simboli sono riassunti in figura 50 nonché 51. Lo stato di ogni asta

(trave o montante, tra due nodi adiacenti) si considera quale sovrapposizione: dello stato associato aivincoli di incastro, sotto l’azione dei carichi agenti direttamente sull’asta (fig. 51a), dello stato associatoalla rotazione

γ

h

, con

γ

i

= 0 e

δ

hi

= 0, idem con

γ

i

≠

0,

γ

h

= 0,

δ

hi

= 0, e idem con

γ

h

=

γ

i

= 0,

δ

hi

= 0 (vedifig. 51b, c, d, dove sono indicate le grandezze associate ai valori unitari dei parametri di deformazione).Le reazioni vincolari che si debbono applicare all’asta al fine di ottenere le deformate di figura 51b, c, d,dette

costanti dell’asta

(rigidezze), si calcolano facilmente studiando l’asta incastrata come indicato neiparagrafi precedenti; nel caso di sezione a momento d’inerzia variabile si dovranno effettuare i calcolicaso per caso, oppure utilizzare tabelle fornite da fonti specializzate; nel caso di

sezione costante

si ot-tiene una volta per tutte il risultato seguente:

(115)

anche i

momenti d’incastro

e i corrispondenti tagli di estremità si determinano facilmente casoper caso, ovvero si reperiscono nelle tabelle (vedi tabella 6 in questo manuale). Ciò posto,nell’asta

hi

pensata prima incastrata ai due estremi (come se si applicassero temporaneamente deivincoli fittizi), poi lasciata libera di ruotare agli estremi (

→ γ

h

,

γ

i

), nonché di subire uno sposta-mento trasversale relativo

δ

hi

, si ha uno stato di sollecitazione caratterizzato dalle seguenti espres-sioni dei momenti e tagli di estremità:

(116)

Ove le rotazioni

γ

h

,

γ

i

e lo spostamento

δ

hi

venissero imposti dall’esterno, le (116) fornirebbero ivalori di momenti e tagli; viceversa, nel telaio effettivo per il quale tale imposizione non è usual-mente presente,

γ

h

,

γ

i

e

δ

hi

sono incognite e le

equazioni di equilibrio

suscettibili di condurre allaloro determinazione si individuano come condizioni di

equilibrio dei nodi

(equilibrio di momenti)e di

equilibrio dei piani

ovvero delle

colonne

. Per i nodi si ha, detto

M

h

l’eventuale momento ap-

Fig. 49.

ahi aih 4EI

L ------------= = b

hi b

ih 2 EI

L------------= =

chi cih 6EI

L

2 ------------= = d

hi 12 EI

L

3 ---------------=

mhi µhi= ahi γ h bih γ i chi δhi–+ +

mih µih= bhi γ h aih γ i cih δhi–+ +

τhi T hi chi γ h cih γ i dhi δhi+––=

τih T ih chi γ h cih γ i dhi δhi+––=


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-37

plicato dall’esterno al nodo

h

:

(117)

il segno meno dipende dal fatto che i momenti

m

hi

sono stati definiti come applicati alle aste,

mentre ora si considerano i loro opposti,

applicati al nodo

(fig. 52); la sommatoria si estende aivalori di

i

associati ai nodi adiacenti a quello considerato e a esso collegati con una trave. Espli-citando la (117) per mezzo delle (116) si ottengono le

equazioni dei nodi

:

(118)

Per i

piani

si ha, indicando con l’indice

p

la travata generica e con

F

p

la forza orizzontale even-tualmente applicata direttamente a detta travata, la situazione illustrata dalla figura 53; imponendol’equilibrio alla traslazione si ottiene:

(119)

Per i segni vale una osservazione analoga a quella fatta per i momenti; le sommatorie sono esteserispettivamente alle aste verticali poste al di sopra e al di sotto della travata considerata (s’intendeche variando

h

variano corrispondentemente

i

o j). Esplicitando la (119) per mezzo delle (116) siottengono le equazioni dei piani:

(120)

Fig. 50. Fig. 51.

Mh mhii

∑– 0=

ahi γ h bih γ i chi δhii

∑–i

∑+i

∑ Mh µhii

∑–= h 1 2 …, ,=

F p τhj τhih

∑–h

∑+ 0=

chi chi–( ) γ h c jh γ j cih γ i dhj δ jh dhi δhih

∑+h

∑–h

∑–h

∑+h

∑ F p T hj T hih

∑–h

∑+=



Per le colonne interrotte si ha una situazione analoga a quella dei piani, ruotando di 90° (fig. 54),e si ottengono relazioni identiche alle (119) (120), sostituendo soltanto l’indice p con c. L’insiemedelle equazioni, dei nodi (118), dei piani e delle colonne (120), in numero pari alle incognite, co-stituisce il sistema risolvente del problema.Nel caso vi siano nel telaio aste con un’estremità incernierata anziché incastrata, tutta l’imposta-zione rimane valida purché si sostituiscano alle costanti delle aste, nonché ai momenti e taglid’incastro, i valori corrispondenti alle nuove condizioni di vincolo, così come indicato in figura55: , = 0, , ; , = 0, = / , = / . Nel caso particolare di asta asezione costante si ha:

Per quanto riguarda la risoluzione del sistema di equazioni (118) (120), che nel caso di telai im-portanti raggiunge l’ordine delle molte decine di incognite, la situazione odierna è molto mutatarispetto al passato, quando la difficoltà di risolvere direttamente i grossi sistemi di equazioni ave-va portato allo sviluppo di numerosi metodi ad hoc, i quali sfruttavano alcune caratteristiche pe-culiari di questi sistemi. In particolare si può notare, osservando le (118), che i coefficienti postisulla diagonale principale sono sistematicamente maggiori dei rimanenti, i quali a loro volta sonoin buona parte uguali a zero; in tali condizioni hanno particolare efficacia i metodi di risoluzioneper rilassamento, suscettibili tra l’altro di interessanti interpretazioni meccaniche, quale quella delnoto metodo di Cross, valido per i telai a nodi fissi (sono presenti le sole equazioni dei nodi),oppure dei vari metodi di Cross generalizzati validi per i telai a nodi spostabili.

I principali parametri di risoluzione (incognite iperstatiche) per alcuni telai semplici (portali)di impiego corrente sono riportati nella tabella 7.

Fig. 52. Fig. 53.

Fig. 54. Fig. 55.

µhi° µih° T hi° T ih° ahi° bhi° chi° ahi° Lhi dhi° ahi° Lhi2

ahi° = 3

EI

L

----------3

4 ------ a hi =


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-39

Tabella 7.

a

,

b

,

c

,

d

,

e

,

f

,

g

,

h

. Principali parametri di risoluzione per alcuni telai semplici

a

) PORTALE INCERNIERATO CON TRAVE AD ASSE RETTILINEO

1.

2.

(segue)

K1 H L

-------- I t

Im ---------=

K2 2 12

3 ------ + K1

=

X A XB P = =L

H --------

α β K2

-------------

Y A P β= Y B P α=

MC MD PL α β

K2-------------= =

X A XB p = = α2 L2

6H ------------------

3 2 α –K2

----------------------

Y A p α L 2 α –

2----------------= Y B P α2

L 2 ------=

MC MD p α2 L2

6------------------

3 2 α –K2

----------------------= =


C-40

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

(seguito tabella 7a)

3.

4.

5.

(segue)

X A – p H

4 ------ 3

K

1 3

K

2

--------------– X B + p

H 4 ------ 1

K

1 3

K

2

--------------+ = =

Y A – Y B – p H

2

2 L

----------= =

MC – p H

2

4----------- 1

K

1 3

K

2

--------------– = M D + p

H

2

4----------- 1

K

1 3

K

2

--------------+ =

X A – p H

180 ------------ 75 7

K

1

K

2

----------– X B + p

H 180 ------------ 15 7

K

1

K

2

----------+

= =

Y A – Y B – pH

2

6 L

------------= =

MC – p H

2

180 ------------ 15 7

K

1

K

2

----------– = M D + p

H

2 180 ------------ 15 7

K

1

K

2

----------+ =

X A XB

2 E α ∆t I t

K2 H2----------------------------------= =

Y A Y B 0= =

MC MD

2 E α ∆t I t

K2 H----------------------------------= =


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-41

6.

7.

(seguito tabella 7a)

χ1 K1 + 1 1 3 β 2 ⁄ – ( )

K

2

--------------------------------------------------=

X A – P 1 β χ – ( ) = XB P β χ=

Y B – Y A P H

L -------- β = =

MC – P β H 1 χ – ( ) = MD P β H χ=

M0 – X A β H =

X A XB 2 Pd

H-----------

1 K1 + 1 β2–( )

K2------------------------------------------= =

Y A Y B P= =

MC MD – Pd X A + H = =

M1 X A β H= M2 Pd= X A β H–


C-42

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

Tabella 7

b

b

) PORTALE INCERNIERATO CON TRAVE AD ASSE SPEZZATO

1.

2.

(segue)

K1 H S

-------- I t

Im ---------=

K2 3 K1+( ) ϕ 3 ϕ+( )+=

X A XE P α L

4

H -------------------

1

K

2

---------- 6 β ϕ + 3 4 α 2 – ( )[ ] = =

Y A P β= Y E P α=

MB MD X A H= =

MC – P α L

2------------------- X A + H 1 ϕ+( )=

M0 Y A α L X A – H 1 2 ϕ α+( )=

XE P β

4-------------

1 K2 ---------- K1 3 β2–( ) 3 + 2 ϕ+( )[ ]=

X A XE P–=

Y E – Y A P β H L ⁄ = =

MB XE H P β – H= MC XEH 1 ϕ + ( ) P β H 2----–=

MD XE H= M0 – X A β H=


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-43

(seguito tabella 7b)

3.

4

.

5.

X A XEpL2

32H ---------------

1 K2 ---------- 8 5 ϕ+( )= =

Y A Y E P L

2 ------= =

MB MD X A H= =

MC X A H 1 ϕ+( ) p – L2

8---------=

XE p H

16 ---------

1 K2 ---------- 5 K1 6 + 1 ϕ+( )[ ]= X A XE pH–=

Y E – Y A p H2

2L ----------= =

MB XE H p – H2

2-----------= MC XE H 1 ϕ+( ) p –

H2 4

-----------=

MD XE H=

X A XE32---

Pd H

----------- = =1

K2 ---------- K1 1 β2–( ) 2 ϕ+( )+[ ]

Y A Y E P= =

MB MD X A H Pd–= = MC X A H 1 ϕ+( ) Pd–=

M1 X A β H= M2 Pd X A β H–=



Tabella 7c

c) PORTALE INCERNIERATO CON TRAVE AD ASSE PARABOLICO

ϕ 1

1.

(segue)

K1H L -------

I t

Im ---------=

K2 5 2K1 3+( ) 4ϕ 5 2 ϕ + ( ) +=

X A XD p L2

4H ------------

1 K2 ---------- 5 4 ϕ+( )= =

Y A Y D p L

2 ------= =

MB MC X A H = =

M0 p L

2

8

--------- X A H – 1 ϕ + ( ) =


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-45

(seguito tabella 7c)

2.

3.

XD5

8 ------ pH

1 K2 ---------- 5 K1 6+( ) 4 ϕ+[ ]=

X A XD pH–= Y A Y D p H2

2L ----------= =

MB XD H p – H2

2-----------=

MC XD H=

X A XD 5 Pd

H-----------

1 K2 ---------- 3 K1 1 β2–( ) 3 2 ϕ+( )+[ ]= =

Y A Y D P= =

MB MC X A H Pd–= =

M1 X A β H= M2 Pd X A β H–=


C-46

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

Tabella 7

d

d

) PORTALE INCASTRATO CON TRAVE AD ASSE RETTILINEO

1.

2.

(segue)

K1H L -------

I t

Im ---------=

χ11

2 K1 +-------------------- χ2

β α– 1 6K1 +-----------------------= =

X A XB3

2 ------ P

L H -------- α β χ1= =

Y A P β 1 α χ2+( ) Y B P α 1 β χ2–( )= =

M A – P L

2 ------ α β χ 1 χ 2 – ( ) M B – P

L 2 ------ α β χ 1 χ 2 + ( ) = =

MC + P L

2 ------ α β 2 χ 1 χ 2 + ( ) M D + P

L 2 ------ α β 2 χ 1 χ 2 – ( ) = =

χ1 3 2α –2 K1+

-------------------- χ2 1 α–( )2 1 6K1+

------------------------= =

X A XB p α2 L2

4H------------------ χ1= =

Y A p α L 1 α 2

------- – 1 χ2–( ) Y B p α2 L

2 ------ 1 χ2–( )= =

M A – p α

2

L

2

12

------------------ χ 1 3 χ 2 – ( ) M B – p α

2

L

2

12

------------------ χ 1 3 χ 2 + ( ) = =

MC + p α

2

L

2

12------------------ 2 χ 1 3 χ 2 + ( ) M D + p

α

2

L

2

12

------------------ 2 χ 1 3 χ 2 – ( ) = =


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-47

(seguito tabella 7d)

3.

4.

5.

(segue)

χ1

9 3K1 +

2 K1+----------------------- χ2

12K1

1 6K1 +----------------------- χ3

K1

2 K1+----------------===

X A – p H 8 ------

13 6

K

1 +

2

K

1

+-------------------------- X B p H

8 ------

3 2

K

1 +

2

K

1

+-----------------------= =

Y A – Y B – p

H

2

L -----------

K

1

1 6

K

1

+-----------------------= =

M A p H2

2 ------- p –

H2 24 ----------- χ1 χ2+( ) MB – p

H

2

24 ----------- χ 1 χ 2 – ( ) = =

MC + p H2

24 ------- χ3 χ2–( ) MD + p

H

2 24 --------- χ 3 χ 2 + ( ) = =

χ1

12 7K1 +

2 K1+-------------------------- χ2

15K1

1 6K1 +----------------------- χ3

2K1

2 K1 +--------------------===

X A – p H 40 ---------

36 17

K

1 +

2

K

1

+----------------------------- X B p H

40 ---------

4 3

K

1 +

2

K

1

+-----------------------= =

Y A Y– B – p H2

4L ----------

K1

1 6K1 +-----------------------= =

M A p H 2

6

----------- p – H

2

120 ------------ χ 1 χ 2 + ( ) M B – p

H

2 120 ------------ χ 1 χ 2 – ( ) = =

MC + p H2

120 ------------ χ3 χ2–( ) MD + p

H

2 120 ------------ χ 3 χ 2 + ( ) = =

X A XB

3E α ∆t I t

H2-------------------------------

1 2K1+

K1 2 K1+( ) ----------------------------------= =

Y A Y B 0= =

M A MB – 3E α ∆t I t

H-------------------------------

1 K1+

K1 2 K1+( ) ----------------------------------= =

MC MD + 3E α ∆t I t

H-------------------------------

1 2 K1+ --------------------= =

y0 H K1

1 2K1 +-----------------------=


C-48

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

6.

7.

(seguito tabella 7d)

χ1

1 2 β–( ) 1 K1+( ) +

2 K1+-----------------------------------------------------= χ2

3K1

1 6K1 +-----------------------=

χ3

1 β–( ) K1

2 K1+------------------------------= χ4

3 1 K1+( ) β – 1 2K1+( )

2 K1+------------------------------------------------------------------=

X A – PP

2 ------ β2 χ4+= XB

P 2 ------ β2 χ4=

Y A – Y B – P H

L

------- β 2 χ 2 = =

M A PH β PH 2

------------ β2 – χ1 χ2+( )=

MB – PH

2

------------ β 2 χ 1 χ 2 – ( ) = MC PH

2------------ β2 χ3 χ2–( )=

MD P H 2 ------ β2 χ3 χ2+( )= M0 – M A X A β – H =

X A XB 3 Pd

H-----------

2β K1 1 β–( ) β 2 β–( ) +

2 K1+--------------------------------------------------------------------= =

Y A Y B P= =

M A MB – Pd

K

1 4

β

3

β

2

– 1–

( )

6

β

3

β

2

– 2–

( )

+

2

K

1

+-------------------------------------------------------------------------------------------= =

MC MD M A X A H Pd–+= =

M1 M A X A β H+= M2 – M A X A β H– Pd+=


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-49

Tabella 7

e

e

) PORTALE INCASTRATO CON TRAVE AD ASSE SPEZZATO

1.

(segue)

K1H S ------

I t

Im ---------=

K2 K1 ϕ+( )2 4 K1 ϕ2 ϕ 1+ +( )+=

χ11

K2 ---------- 2β K1 3ϕ 2 α K 1 + ( ) ϕ 2 1 4 α + ( ) +–+ [ =

– 4 α 2 ϕ 2 K 1 + ( ) 4 α 2 ϕ 2 ] –

χ2 β β α–( ) 1 3K1+( )⁄=

X A XE p α L

H --------

1 K2 ---------- 3K1 1 ϕ+( ) 4α2 ϕ 1 K1+( )– 3– α K1 ϕ–( )+[ ]= =

Y A P β M A ME–( ) L⁄+= Y E P α M A ME–( ) L⁄–=

M A – P

α

L

2

------------------- χ 1 χ 2 – ( ) = ME – P

α

L

2

------------------- χ 1 χ 2 + ( ) =

MB M A X A H+=

MC ME X A H 1 ϕ + ( ) Y E L

2 ------–+=

MD ME X A H+=

M0 – M A X A H 1 2 ϕ α + ( ) – Y A α L +=


C-50

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

(seguito tabella 7e)

2.

3.

(segue)

χ11

K2 ---------- K1 4 K1 2β K1– 6β– 6 ϕ+ +( ) β2 K1 K1 2 ϕ+ +( ) ++ [ =

+ 2 ϕ K 1 2 ϕ βϕ – 3 β – ( ) ϕ 2 ] +

χ2

2 3K1 2 β–( ) +

2 6K1+-------------------------------------------=

XE P β

2-------------

1 K2 ---------- 6K1 1 ϕ+( ) 6α β K1

2 4β2 K1 1 K1+( ) ++ +[=

– 3 β K 1 2 K 1 + ( ) 3 ϕ K 1 1 α + ( ) ] –

X A XE P–= Y E – Y A P β H L -------

M A ME –

L--------------------------–= =

M A P β H

2-------------------- χ1 χ2+( )= MB

P β H 2

-------------------- χ1 χ2–( )=

MC ME XE H 1 ϕ+( ) Y E L

2 ------–+=

MD ME XE H += M0 – M A X A β H –=

X A XE P L2

8H ------------

1 K2 ---------- K1 4 5ϕ+( ) ϕ+[ ]= =

Y A Y E P L

2 ------= =

M A ME – P L

2

48 ---------

1

K

2

---------- K 1 8 15 ϕ + ( ) ϕ 6 ϕ – ( ) + [ ] = =

MB MD M A X A H+= =

MC – P

L

2

8--------- M A X A H 1 ϕ + ( ) + +=


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-51

4.

5.

(seguito tabella 7e)

χ11

K2 ---------- K1 6 K1+( ) K1 ϕ 15 16ϕ+( ) 6 ϕ2+ +[ ]=

χ2 12K1 6+( ) 1 3K1+( )⁄=

XE p H 4 ------

1 K2 ---------- K1

2 K1 3 2ϕ+( )+[ ]= X A XE p H –=

Y E – Y A p H

2

2

L

----------

M

A

M

E –

L

--------------------------–= =

M A p H2

24 --------- χ1 χ2+( )= ME p

H2

24 --------- χ1 χ2–( )=

MB M A p H2

2-----------– XE H+= MD ME XE H+=

MC ME XE H 1 ϕ+( ) Y E L 2

-------–+=

X A XE 6 Pd

H-----------

1 K2 ---------- K1 1 ϕ α+ +( ) α α K1 α ϕ+ +( )–[ ]= =

Y A Y E P= =

M A ME – Pd 1

K2 ---------- K1 2α K1 2 3ϕ+ +( ) α ϕ K1 ·– [ = =

· 6 3 α 4 ϕ + + ( ) 3 α 2 K 12 6 α 2 K 1 ϕ 2 + + ( ) ] –

MB MD M A Pd– X A H+= =

MC M A Pd– X A H 1 ϕ+( )+=

M1 M A X A β H+=

M2 – M A Pd X A β H–+=


C-52

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

Tabella 7

f

f

) PORTALE CON TIRANTE, INCERNIERATO

1.

2.

K1H S ------

I t

Im ---------= K2 1

3 2 ------

E I t

E* A -----------------

L

ϕ 2 H s 2 -----------------+

1–

=

K

2

E * A ∞→ lim 1=

X

A

X

E

p

L

2

16

H

---------------

16 15

K

2

–

( )

10

ϕ

1

K

2

–

( )

+

4

K

1

12 9

K

2

–+

( )

12

ϕ

1

K

2

–

( )

4

ϕ

2

1

K2–( ) + +------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= = Y A Y E p

L 2 ------= =

N5

32 --------- p

L2

ϕ H -------------- K2

3 2 ------

1 ϕ ------- 1+

K2 X A–=

MB MD X A H= = MC – p L2

8--------- X A H 1 ϕ+( ) N H ϕ+ +=

K1H L -------

I t

Im ---------= K2

5 4 ϕ+ 5 3 2K1+( ) 4ϕ 5 2ϕ+( ) +-----------------------------------------------------------------------= K3 1 2 ϕ K2–=

K4

E I t

E* A -----------------

1 ϕ 2 H 2 ------------------- 1

K 22 3 2 K 1 + ( ) 2 K 2 K 3 – 0,4 K 3

2 +------------------------------------------------------------------------------------

⋅

=

K

4

E * A ∞→ lim 0=

X

A

X

D

p

L

2

4

H

------------

K

2

K

4

1

K

4

+--------------------= =

Y

A

Y

D

p

L

2 ------= = N

pL2

8H ϕ ------------------

1 1 K4 +--------------------=

MB MC X A H= = M0 p L2

8--------- X A H 1 ϕ+( )– N H ϕ–=


T

RAVI

E

SISTEMI

DI

TRAVI

C-53

Tabella 7

g

g

) TELAIO CHIUSO RETTANGOLARE

1.

2.

K1H L -------

I2

I1--------=

K2 3 2K1+( ) K1 2 K1+( )+=

MB MC PH α β

3------------------------

K1

K2 ---------- 1 α+( ) 3 2K1+( ) K1 1 β+( )–[ ]= =

M A MD PH α β

3------------------------

K1

K2 ---------- 1 β+( ) 3 2K1+( ) K1 1 α+( )–[ ]= =

M0 PH α β M A β– MB α–=

N AD – P β M A MB –

H--------------------------–= N AB NCD 0= =

NBC – P α

M

A

M

B –

H

--------------------------+=

M A MB MC MD –p

12 ---------

L2 H2 K1 +

1 K1+--------------------------------= = = =

M1 p H2

8----------- M A+= M2 p

L2 8

--------- M A+=

N AB NCD p L 2

-------= =

N AD NBC p H 2 ------= =


C-54

S

TRUTTURE

MONODIMENSIONALI

Tabella 7

h

h

) PORTALE A SHED

Kab---

I

2 I

1 ----=

X A XB

pL12

8HL ---------------

4L2 K L 4L2+( ) +

1 K+--------------------------------------------------= =

X A XB pH–=

XB pH 8L

------------ 4L2 K L1 5L2+( ) +

1 K+----------------------------------------------------=


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