COMPORTAMENTO DINAMICO DI ASSI E...
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Costruzione di Macchine 3 1
COMPORTAMENTO DINAMICO
DI ASSI E ALBERI
VIBRAZIONI TORSIONALI
Costruzione di Macchine 3 2
VIBRAZIONI TORSIONALI
• I sistemi costituiti da alberi con volani hanno, oltre alle vibrazioni flessionali, anche la possibilità di vibrare torsionalmente.
• Supponiamo pertanto di avere un sistema del tipo di quello in figura in cui l’albero ha inerzia trascurabile rispetto ai volani e questi possono essere considerati, a loro volta, rigidi.
I1 I2 I3 In-2 In-1 In Ii
Costruzione di Macchine 3 3
VIBRAZIONI TORSIONALI
• Il sistema descritto ha la particolarità, rispetto a quelli fin qui esaminati, di essere strutturalmente labile in quanto libero di ruotare attorno al proprio asse. Vedremo più avanti come questa proprietà consente di mettere a punto un metodo particolarmente efficace per determinare le velocità critiche torsionali.
• Dal punto di vista dei modi propri questa caratteristica determina il fatto che il primo modo è sempre nullo, corrispondendo ad un moto rigido di rotazione (Deformata senza nodi).
Costruzione di Macchine 3 4
Sistema a 2 volani
• Il sistema più semplice da esaminare è quello riportato in figura. Definite f1 e f2 le rotazioni in corrispondenza dei due volani, è possibile scrivere le equazioni di equilibrio tra i momenti delle forze inerzia e i momenti delle reazioni elastiche:
l I2 I1
G,J
0)(
0)(
1222
2111
fff
fff
kI
kI
Dove k è la costante elastica
torsionale del tratto di albero
compreso tra i due volani ed è
pertanto pari a: l
GJk
Costruzione di Macchine 3 5
Sistema a 2 volani
• Se, in analogia con quanto già visto per i
sistemi elastici in generale, si ricavano
soluzioni del tipo f1= F1 sin (w t + d) si
ricava, manipolando il sistema scritto:
• che ammette soluzioni non banali se il
determinante dei coefficienti è nullo.
0)(
0)(
2
2
21
21
2
1
FF
FF
w
w
Ikk
kIk
Costruzione di Macchine 3 6
Sistema a 2 volani
• Esplicitando tale condizione si ottiene
l’equazione:
• che fornisce, per la velocità critica
torsionale, la soluzione espressa dalla
relazione
02
21
214
wwII
IIk
2121
21 11
IIl
GJ
II
IIkw
Costruzione di Macchine 3 7
Sistema a 2 volani
• In realtà l’equazione scritta ammette anche la soluzione w = 0 che corrisponde ad un moto rigido di rotazione. Questa condizione è tipica di tutti i sistemi labili.
• Con le opportune modifiche ai sistemi torsionali a 2 volani si applicano tutte le conclusioni già viste in generale per i sistemi a 1 gdl
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
2
4
6
8
10
d
d
d
I H
(w)
I
ww0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
d
Angolo
di fa
se
ww
Costruzione di Macchine 3 8
Sistema a 2 volani
• In particolare se si
inserisce nelle
equazioni il valore
calcolato di w, si può
calcolare il valore di
FF che possiamo
chiamare autovettore
del sistema
0)(
0)(
2
2
21
21
2
1
FF
FF
w
w
Ikk
kIk
l I2 I1
G,J
Costruzione di Macchine 3 9
Sistema a 3 volani
• Se si esamina poi il
sistema di figura, che
ha tre volani, e si
applica lo stesso
procedimento è
possibile definire
l’equazione di
secondo grado
I1 I2 I3
1 2
k
1
k
2
02
2
21
3
2
2
2
2
1
1
1
3
2
2
2
2
1
1
124
I
kk
I
k
I
k
I
k
I
k
I
k
I
k
I
k
I
kww
FF
FFF
FF
0
0
0
3
2
3222
322
2
22111
211
2
11
w
w
w
Ikk
kIkkk
kIk
Costruzione di Macchine 3 10
Sistema a 3 volani
• Le soluzioni dell’equazione si ottengono
ponendo
• Le frequenze proprie risultano allora pari a
• Analogamente al sistema a 2 volani si
possono calcolare gli autovettori
o
oo
o
o
o
o
I
KK
I
K
I
KB
2
21
3
2
1
1
2
1 ooo
ooo
oo
IIIIII
KKC 321
321
21
CBBf 2
2,12
1
Costruzione di Macchine 3 11
Sistema a 3 volani
• È da notare che i due autovettori presenta no due diverse distribuzioni degli angoli massimi di torsione f, caratterizzati rispettivamente, da uno e due punti in cui gli angoli sono identicamente nulli. Tali punti vengono detti a “nodi“ mentre i punti cui la deformata raggiunge un massimo sono chiamati “ ventri “. Il risultato raggiunto è generalizzabile nel senso che la prima velocità critica ammette una deformata caratterizzata da un nodo, la seconda da due e così via.
I1 I2 I3
1 2
k
1
k
2
Costruzione di Macchine 3 12
Sistemi reali e sistemi di calcolo
• . I sistemi, per i quali è necessario calcolare la
velocità critiche torsionali, non sempre sono
immediatamente riconducibili ad elementi ad
asse rettilineo su un unico allineamento. D’altra
parte disporre di un sistema equivalente di tali
caratteristiche è indispensabile per eseguire
calcoli. Ciò comporta la necessità di stabilire i
criteri per ricavare da un certo sistema reale
comunque complesso un sistema equivalente
semplificato.
Costruzione di Macchine 3 13
Sistemi reali e sistemi di calcolo
Riduzione delle lunghezze. • Si tratta di ricavare un sistema a sezione costante di
lunghezza incognita con rigidezza uguale a quello reale. La condizione è ovviamente la seguente
• Dove KR è la rigidezza torsionale del sistema reale, da cui si ricava immediatamente:
• Pertanto per calcolare la lunghezza lx si stabilisce arbitrariamente il materiale (G) e la sezione (J) del tronco equivalente. Applicando infine la relazione di equivalenza ora scritta si ottiene lx.
• Questo procedimento si applica quando si vuole trasformare un sistema comunque complesso, per esempio un albero a sezione variabile o un albero a gomiti, in un tratto rettilineo a sezione costante equivalente.
x
eqRl
GJkk
R
xk
GJl
Costruzione di Macchine 3 14
Sistemi reali e sistemi di calcolo
Riduzione delle inerzie.
• Quando si hanno volani che ruotano a velocità
diverse, la conversione si ottiene imponendo
che l’energia cinetica dei due sistemi, quello
reale e quello equivalente, sia la stessa. Si
ottiene pertanto:
• Da cui si ricava immediatamente, detto
• Che il momento di inerzia equivalente è
22
2
1
2
1eqeqRR II ww
eq
Rrw
w
2rII Req
Costruzione di Macchine 3 15
Sistemi reali e sistemi di calcolo
Riduzione delle inerzie.
• Nel caso di due alberi connessi da ruote dentate, quindi, le inerzie sull’albero condotto possono essere riportate all’albero motore, moltiplicandole per il quadrato del rapporto di trasmissione. Cioè si assume weq = wm
• Nel caso di riduttori essendo r<1 le inerzie equivalenti, ridotte all’albero motore sono inferiori a quelle reali.
Costruzione di Macchine 3 16
Sistemi reali e sistemi di calcolo
Riduzione delle inerzie.
• È da notare infine che nel caso di sistemi con ingranaggi anche la rigidezza dell’albero condotto deve essere corretta per riportarlo all’albero motore mediante la relazione:
• Anche in questo caso, nei riduttori, le rigidezze equivalenti sono inferiori a quelle reali
2rkk Req
Costruzione di Macchine 3 17
Sistemi a n volani
• Per un sistema a n volani, si può scrivere il sistema di equazioni differenziali che descrivono il moto. Ad esse, in modo del tutto analogo a quanto visto per i sistemi semplificati, si possono associare le equazione algebriche di seguito riportate
FF
FFF
FFF
FF
0
........................
0
........................
0
0
2
111
1
2
111
322
2
22111
211
2
11
nnnnnn
iiiiiiii
Ikkk
kIkkk
kIkkk
kIk
w
w
w
w
Costruzione di Macchine 3 18
Sistemi a n volani
• Il sistema scritto ammette soluzioni non
banali se il determinante dei coefficienti è
nullo e, in tal modo, si ricava la condizione
necessaria per il calcolo degli (n - 1) valori
delle velocità critiche essendo la prima,
come già detto più volte, nulla.
• Il sistema scritto, inoltre, è adatto per una
procedura di soluzione iterativa.
Costruzione di Macchine 3 19
Sistemi a n volani
• Se si dividono tutte le equazioni per f1, è
possibile, in generale scrivere:
.......
.......
1
1
,1
2
1,11,2
1
2
,1
1,2
1
1
2
23
2
22312
23
12
1
3
12
2
112
1
2
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
i
ii
iiiiii
ii
iii
K
IKK
K
K
K
IKK
K
K
K
IK
w
w
w
Costruzione di Macchine 3 20
Sistemi a n volani
Alle relazioni scritte è possibile poi aggiungere l’equazione che si ottiene sommando tutte le equazioni del sistema algebrico fondamentale; si ricava quindi:
La funzione M può essere rappresentata in funzione di w ed ha l’andamento riportato in figura, in cui si hanno gli zeri in corrispondenza alle velocità critiche.
0......11
2 FFF nnii IIIM w
w 0
M
w
w
w3
Costruzione di Macchine 3 21
Sistemi a n volani
• Risulta quindi possibile definire una procedura risolutiva di tipo iterativo da eseguire:
• a) Si assume F1 = 1
• b) Si assume un valore di primo tentativo per w
• c) Si calcolano i valori Fi
• d) Si impone la condizione che consente il calcolo di M; esso, in generale sarà diverso da zero, si corregge allora il valore di w finché non si ottiene un cambiamento di segno per M: in tal caso il valore della velocità critica cercata è compreso tra wk e wk-1 (essendo k l’indice del tentativo) e può essere ottenuto con una opportuna formula d’interpolazione.
• Assumendo successivamente diversi valori iniziali per w si possono determinare tutte le velocità critiche del sistema. La loro identificazione completa va fatta valutando le deformate attraverso il calcolo dei rapporti Fi/F1individuando così il numero e la posizione dei nodi.
Costruzione di Macchine 3 22
Sistemi a 4 volani
• Per comprendere
meglio il
procedimento
esplicitiamo le
relazioni per un
sistema a 4 volani
• Le equazioni sono
quindi
I1 I2 I3 I4
K1
2
K2
3
K3
4
0
0
0
0
4
2
434334
4343
2
33423223
3232
2
22312112
2121
2
112
FF
FFF
FFF
FF
w
w
w
w
IKK
KIKKK
KIKKK
KIK
Costruzione di Macchine 3 23
Sistemi a 4 volani
• Il determinante dei coefficienti risulta allora
• Il sistema si può risolvere attraverso l ‘uso di
una procedura iterativa che inizia con il
dividere tutte le equazioni per F1 e con il
sommare tutte le equazioni del sistema.
0
00
0
0
00
2
43434
34
2
3342323
23
2
2231212
12
2
112
w
w
w
w
IKK
KIKKK
KIKKK
KIK
Costruzione di Macchine 3 24
Sistemi a 4 volani
• Si ottengono le relazioni
• In cui si è assunto F1 = 1
• L’ultima equazione si ottiene
sommando tutte le equazioni
del sistema.
0
1
1
1
44332211
3
2
33423223
34
4
2
2
22312112
23
3
12
2
1122
1
FFFF
FFF
FFF
F
F
IIII
IKKKK
IKKKK
K
IK
w
w
w
Costruzione di Macchine 3 25
Sistemi a 4 volani
• Ponendo allora
F1 = 1 si
calcolano i valori
di F2, F3, F4 e si
possono allora
trovare i valori di
w che annullano
l’ultima
equazione.
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
omega
Test