A09141

Livio Medda

ELEMENTI DI

MECCANICADELLE VIBRAZIONI

TEORIA GENERALE, VIBRAZIONI LIBERE, VIBRAZIONI FORZATEISOLAMENTO, ENERGIA DISSIPATA, SISTEMI CONTINUI

STRUTTURE SOTTOPOSTE AD AZIONI SISMICHEVIBRAZIONI TRASVERSALI, VIBRAZIONI TANGENZIALI

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via Raffaele Garofalo, 133/A–B00173 Roma(06) 93781065

ISBN 978–88–548–3557–3

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con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.

Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.

I edizione: ottobre 2010

ringraziamenti

all’amico Williams Troiano, architetto e ricercatore (nell’animo e nelle intenzioni) che mi ha fornito aiuto e sostegno nella organizzazione e pubblicazione del testo.

Il Tacoma Narrows Bridge era un ponte sospeso costruito nel 1940 sul ca-nale Tacoma Narrows (Washington USA). I lavori iniziarono il 23 novem-bre 1938 e la struttura fu aperta al traffi co il 1 luglio 1940. Presentava una lunghezza complessiva di 1524 metri per circa 12 metri di larghezza. Già dai primi giorni dall'inaugurazione uffi ciale, il ponte, sotto l'effetto, anche solo di venti deboli, oscillava già tanto che alcuni lo attraversavano solo per provare l'esperienza da brivido, mentre altri deviavano di diversi chilometri dal percorso prestabilito per evitare quel passaggio. Tuttavia, nessuno si preoccupò del comportamento anomalo della struttura pen-sando che comunque era stato progettato per resistere ad un vento di 200 km/h.

Invece, la mattina del 7 novembre 1940 verso le 10,00 iniziò un fenomenovibratorio consistente nella torsione del tratto centrale del ponte, sotto l'azione di un vento costante di circa 60 km/h. Il ponte collassò un'ora e dieci minuti dopo e le immagini del disastro furono riprese da un docente di ingegneria che stava studiando la dinamica della della struttura. Le cause del crollo furono dovute alle oscillazioni torsionali indotte dal di-stacco periodico di vortici di aria che si formavano attraverso le strutture orizzontali del ponte per differenza di portanza tra la parte superiore e quella inferiore. I vortici detti anche di von Karman (che studiò i feno-meno di instabilità aeroelastica) trasmettevano alla struttura delle coppie torcenti pulsanti alla stessa frequenza propria torsionale del ponte, inne-scando un fenomeno di risonanza con ampiezze via via crescenti e non compensate da un adeguato smorzamento.

... a mio padre

PREFAZIONE

Gli Elementi di Meccanica delle Vibrazioni che vengono presentati in questo libro hanno la capacità di essere stati esposti in una chiarezza unica rapportata alla diffi coltà della materia. Nel settore specifi co esistono molte pubblicazioni, ma raramente in esse sono esposte le dimostrazioni per arrivare alla formula fi nale che a volte viene presentata come una espressione magica da imparare a memoria.La chiarezza e la completezza delle rappresentazioni matematiche possono essere di grande aiuto agli studenti che si apprestano allo studio della materia, ma possono essere di aiuto anche a coloro che vogliono rinverdire i ricordi universitari arricchendoli con qualche particolare in più.Iniziative di questo genere, che dimostrano un attaccamento alla tecnica non più molto frequente in questo periodo storico della cultura, dovrebbero fi orire per ripristinare la vera frontiera fra scienza ed il facile utilizzo dei suoi risultati senza comprenderne le vere origini e le premesse di base. Occorre ricordare agli studenti che è più gratifi cante approfondire uno studio comprendendone le basi e la evoluzione assieme ai modelli matematici che ne rappresentano l’evoluzione ed i limiti, piuttosto che conquistare qualche credito in più nella propria storia scolastica per arrivare ad una laurea con qualche mese di anticipo.Errori strategici nella propria preparazione tecnica si riveleranno tragici nel seguito della vita professionale quando non sarà più suffi ciente rispondere ad una domanda per superare un esame, ma occorrerà assumere decisioni e responsabilità che, se prese con leggerezza, possono mettere a repentaglio la vita degli altri.Troppe strutture collassano mostrando ai soccorritori una preoccupante assenza di valutazioni tecniche che hanno portato a scarse armature o sezioni non appropriate perché non si è tenuto conto della importanza che le vibrazioni indotte possono avere sulla resistenza strutturale delle opere.La tecnica non deve mai cedere di fronte alla necessità né alle urgenze.Le leggi della natura non sono infl uenzabili dalle ragioni, né i corpi ed i materiali cambiano le loro caratteristiche su richieste di compromesso.Il rigore matematico della progettazione manifesta sia la sua forza e sia i suoi limiti e non accetta interpretazioni diverse al di fuori delle sue condizioni al contorno.Il risultato di iniziative che si manifestano con la volontà di scrivere su questioni tecniche cercando di dimostrare ogni risultato, nasce dalla scuola dei professori che si sono dedicati all’insegnamento come missione di vita e non come ripiego occupazionale.Mi corre l’obbligo di ricordare mio fratello Luigi che della Meccanica Applicata aveva fatto una sua ragione di vita e dell’insegnamento della materia il suo obiettivo primario. I risultati di quel modo di insegnare, dove nulla era lasciato alla libera interpretazione, si ritrovano in questo libro da parte di suoi alunni.

Prof. Ing. Angelo PapaPresidente della Commissione Nucleare

presso l’Ordine degli Ingegneri della Provincia di Roma

PREMESSA

Come è possibile che una struttura pur progettata per resistere a tutte le condizioni di carico sia statico che dinamico venga mandata in frantumi da sollecitazioni esterne an-che di piccola entità? Ogni struttura, proprio per il fatto di possedere delle caratteristiche elastiche, se sottoposta a sollecitazione esterna ha la capacità di entrare in oscillazione con frequenze ben determinate e caratteristiche della struttura stessa. Tali frequenze caratteristiche sono chiamate frequenze naturali di vibrazione (oppure frequenze proprie di vibrazione nel caso di smorzamenti nulli) e quindi ad ogni sollecita-zione la struttura risponde con una oscillazione. Se però la sollecitazione esterna è di tipo alternato e la sua frequenza corrisponde ad una delle frequenze naturali della struttura, la risposta è una oscillazione con ampiezza crescente nel tempo.Questa è la condizione di risonanza che se dovesse perdurare a lungo provocherebbe il collasso della struttura per effetto delle deformazioni eccessive. Risulta evidente che in fase di progetto la determinazione delle frequenze naturali è necessaria per comprendere il comportamento oscillatorio della struttura e per potere poi predisporre soluzioni tec-nologiche che abbiano la funzione di limitare le grandi ampiezze di vibrazione durante questa pericolosa condizione.In queste poche righe abbiamo semplicemente raccontato che cosa è un fenomeno vi-bratorio e quale è l’effetto che può provocare su una struttura. Tuttavia, per avere una spiegazione completa dei fenomeni vibratori, è necessario affrontare uno studio analitico vero e proprio. A tale proposito gli innumerevoli testi specialistici esistenti forniscono tutti gli elementi necessari per il completo studio della materia, ma la diffi coltà insita proprio nella materia stessa e la quasi impossibilità di poterla spiegare in modo semplice ne fanno un argomento di non immediata comprensione. Questa particolare condizione mi ha spronato nel voler concepire un testo dove la teoria base e gli argomenti scelti della meccanica delle vibrazioni e della dinamica delle strut-ture fossero illustrati nel modo più semplice possibile, nell’intento di fornire un supporto didattico anche per coloro che si apprestano ad affrontare questa materia per la prima volta.

l’autore

Indice

1. Introduzione1.1. Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Classifi cazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Defi nizioni e concetti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Sistemi liberi ad 1 grado di libertà2.1. Tipologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Oscillazioni libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. Pulsazioni proprie di alcuni semplici sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Oscillazioni libere smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Schemi utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5. Forze agenti durante la vibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Smorzamento e decremento logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Sistemi forzati ad 1 grado di libertà3.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Oscillazioni con forzante armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1. Calcolo dell’integrale particolare nei sistemi forzati ad 1GdL . . . . . . . .3.3. Oscillazioni con forzante periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Oscillazione con forzante impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1. Impulso unitario, funzione delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Oscillazioni con forzante generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1. Integrale di Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.2. Integrazione diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.3. Cenno sul metodo delle differenze centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Trasmissione delle vibrazioni4.1. Trasmissione delle vibrazioni dal basamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Trasmissione delle vibrazioni al basamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Isolamento dalle vibrazioni interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Isolamento dalle vibrazioni esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5. Considerazioni sull’isolamento delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6. Isolamento con sospensioni ad aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12 INDICE

5. Energia e vibrazioni5.1. Equilibrio energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1. Energia dissipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.2. Risonanza, forza eccitante e forza smorzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Sistemi con n gradi di libertà6.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Pulsazioni proprie e modi di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3. Studio del sistema a 2 gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1. Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.2. Calcolo delle pulsazioni proprie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.3. Determinazione dei modi di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.4. Signifi cato dell’autovettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Fenomeni di non linearità7.1. Comportamento elasto-plastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Duttilità e rigidezza equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3. Decadimento meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4. Smorzamento non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.1. Viscosità equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4.2. Dissipazione strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4.3. Dissipazione coloumbiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Strutture intelaiate sottoposte ad azioni sismiche8.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2. Analisi modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.1. Calcolo delle pulsazioni proprie (autovalori) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2.2. Determinazione della deformata (autovettori) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2.3. Normalizzazione degli autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2.4. Modi di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3. Risposta a condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4. Moto di trascinamento da azione sismica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4.1. Vettore di trascinamento e coeffi ciente di partecipazione . . . . . . . . . . .8.4.2. Coeffi cienti di partecipazione modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.5. Determinazione degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5.1. Analisi tramite integrale di Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5.2. Analisi tramite spettro di risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Sistemi continui9.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2. Oscillazioni longitudinali (assiali) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.1. Condizioni al contorno e pulsazioni assiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Oscillazioni tangenziali (torsionali) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13INDICE

9.3.1. Condizioni al contorno e pulsazioni torsionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.4. Oscillazioni trasversali (fl essionali) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.1. Condizioni al contorno e pulsazioni fl essionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.4.2. Formula generalizzata per ωn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Cenni di meccanica analitica10.1. Coordinate generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.1. Applicazione dell’equazione di Lagrange ad un sistema con 1 GdL . .10.2.2. Applicazione dell’equazione di Lagrange ad un sistema con 2 GdL . .

11. Metodo energetico11.1. Metodo di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1.1. Metodo approssimato per i sistemi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . (deformata analitica)

11.1.2. Metodo approssimato per i sistemi discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . (deformata statica)

12. Vibrazioni trasversali su alberi rotanti12.1. Velocità critiche fl essionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.1.1. Trattazione semplifi cata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.1.2. Limiti della trattazione semplifi cata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.1.3. Velocità critica come fenomeno di vibrazione forzata . . . . . . . . . . . .

12.2. Albero rotante con n masse concentrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2.1. Equazione delle frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2.2. Metodo della linea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2.3. Metodo di Dunkerley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2.4. Costruzione della linea elastica e rapporto di affi nità . . . . . . . . . . . . .12.2.5. Velocità critica di un albero su 2 appoggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3. Albero rotante con massa continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.4. Albero rotante su n appoggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.4.1. Costruzione della linea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.4.2. Velocità critica di un albero su 4 appoggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Vibrazioni tangenziali13.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2. Teoria generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Sistema con n-1 gradi di deformabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.3.1. Sistema con 2 gradi di deformabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3.2. Sistema con 1 grado di deformabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.4. Assi con distribuzione continua di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.5. Procedimento base per i metodi approssimati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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14. Richiami di algebra delle matrici14.1. Defi nizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14.2. Operazioni fra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliografi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capitolo 1

1Elementi Introduttivi

1.1. Introduzione

Le vibrazioni, escluse quelle impiegate nelle terapie mediche per i benefi ci del corpo e quelle utilizzate nella riproduzione musicale che provocano effetti gradevoli per l’udito oltre che per lo spirito umano, sono dannose per tutti i sistemi meccanico-strutturali.

Sotto l’effetto delle vibrazioni questi vengono sottoposti a sollecitazioni variabili nel tempo che tendono a disconnettere le connessioni provocando talvolta il collasso del sistema meccanico strutturale. Per questo motivo lo studio delle vibrazioni e dei fenomeni connessi è di primaria importanza nel progetto dei sistemi meccanico-strutturali ed è fi nalizzato a garantire nel tempo una maggiore affi dabilità e durabilità degli stessi.

Volendo riassumere le casistiche più comuni, le vibrazioni sono prodotte: dalle macchine rotanti, dalle macchine utensili, dai veicoli in transito, dall’azione del vento, dall’azione delle onde, dall’azione del terreno (evento sismico) dai motori.

Nella presente trattazione la teoria generale delle vibrazioni inizia con lo studio del moto dell’oscillatore semplice esaminando progressivamente i sistemi a più gradi di libertà fi no ai sistemi continui. Si continua poi con lo studio dei fenomeni legati alla trasmissione delle vibrazioni, all’isolamento delle stesse e alle dissipazioni energetiche.Viene infi ne illustrata passo passo l’applicazione dell’analisi modale ad una struttura intelaiata allo scopo di spiegarne il comportamento dinamico strutturale.

Il testo prosegue con la esposizione del metodo energetico utile alla determinazione in prima approssimazione della frequenza fondamentale di un sistema strutturale.E infi ne termina con le vibrazioni trasversali fl essionali fl essionali e con le vibrazioni tangenziali torsionali.

16 Elementi Introduttivi

Nello studio delle vibrazioni è sempre necessaria la scelta dello schema di calcolo che dovrà rappresentare il sistema reale. E su questo schema si affronta normalmente lo studio dal quale si ricavano i risultati che dovranno rappresentare il comportamento del sistema reale. La scelta dello schema non è sempre immediata e spesso la diffi coltà è proprio quella di scegliere il modello di calcolo più semplice e più rappresentativo.

Nel corso della trattazione si mostrerà anche come i risultati ottenibili scegliendo modelli di calcolo semplifi cati possono essere utilizzati per interpretare, seppure in prima approssimazione, il comportamento di complicate strutture reali.

1.2. Generalità

Ogni sistema meccanico-strutturale che sia una macchina oppure una costruzione civile possiede una propria massa e una propria rigidezza.La massa è intuitivamente comprensibile e come sappiamo dalla fi sica è una proprietà intrinseca che non dipende dalla sua posizione ed è misurata in Kg. La massa m sottoposta al campo gravitazionale terrestre sviluppa una forza peso pari a mg (dove g è l’accelerazione di gravità).

Di diffi cile interpretazione e comprensibilità è la rigidezza k. Questa caratteristica è legata alla capacità di deformazione del corpo o della struttura sotto l’azione delle forze per cui una struttura con una rigidezza più elevata si deformerà meno di una struttura che possiede una rigidezza più bassa.Dato che la rigidezza non può essere infi nita, tutti i corpi o le strutture si deformeranno sotto l’effetto delle forze agenti.

Le deformazioni potranno essere molto piccole e quindi di tipo elastico se al cessare dell’azione (delle forze) c’è il ritorno allo stato indeformato senza deformazioni residue.Quando invece le deformazioni saranno eccessive al cessare dell’azione (delle forze) non c’è più il ritorno allo stato indeformato ma sarà presente una deformazione residua permanente.Quando l’azione delle forze non sarà statica ma di natura dinamica di tipo armonica, periodica o comunque alternata, la struttura si deformerà seguendo l’andamento delle forze variabili nel tempo.

Sotto l’effetto oscillante provocato dall’azione delle forze la struttura risponderà con una deformazione variabile nel tempo, oscillando intorno alla posizione di equilibrio.Normalmente la struttura è dotata di un proprio effetto smorzante che tenderà a diminuire le ampiezze massime di oscillazione. Questo effetto smorzante a volte non è suffi ciente per garantire la limitazione delle ampiezze di oscillazione e quindi può accadere che la struttura nel senso più generale, e quindi, una macchina oppure un edifi cio, pur progettata,

171.4. Defi nizioni e concetti fondamentali

ottimizzata e realizzata per sopportare le condizioni di esercizio statiche e dinamiche può comunque collassare a causa dell’effetto della risonanza meccanica.

La risonanza meccanica si ha quando la frequenza della oscillazione imposta dalle forze agenti è uguale ad una delle frequenze proprie della struttura.

La frequenza propria della struttura dipende unicamente dalla rigidezza e dalla massa della struttura.

1.3. Classificazione

I sistemi vibranti possono essere classifi cati in due grandi famiglie:

• sistemi lineari per i quali vale il principio di sovrapposizione degli effetti

• sistemi non lineari per i quali non vale il principio di sovrapposizione degli effetti

Un sistema reale si comporta in modo da appartenere ad entrambi le tipologie e più precisamente:

per piccole ampiezze di oscillazione si comporta come un sistema lineare mentre all’aumentare dell’ampiezza di oscillazione si comporta come un sistema non lineare.

1.4. Definizioni e concetti fondamentali

Per lo studio delle pagine seguenti è utile richiamare alcune defi nizioni in uso:

Moto armonico

Un moto armonico è descritto da un vettore rotante intorno ad un punto. Durante la rotazione del vettore OP che descrive l’angolo θ = ωt le proiezioni dell’estremo libero P sugli assi verticale e orizzontale in funzione dell’angolo ωt descritto, sono rispettivamente le funzioni y =A sin ωt e x =A cos ωt che sono rappresentate nel grafi co (fi g.1) :

asse verticale: y = A sin ωt asse orizzontale: x = A cos ωt

18 Elementi Introduttivi

• il periodo T è il tempo per compiere un ciclo• la frequenza f è il numero di cicli al secondo• il picco A è l’ampiezza di oscillazione

• l’angolo ωt è l’angolo descritto dal vettore rotante

Le funzioni sin ωt e cos ωt sono quelle che vengono impiegate per descrivere un moto armonico.

Fig.1: Vettore rotante e proiezione del moto del punto P sugli assi orizzontale e verticale.

Moto periodico

Un moto periodico non è armonico perchè non è descritto da una funzione sinusoidale semplice come quelle già dette, ma si può comunque esprimere come la somma di moti armonici utilizzando la serie di Fourier.

Oscillazioni libere

Le oscillazioni libere avvengono in assenza di forze esterne e il sistema vibra con la sua (o le sue) pulsazioni proprie.

191.5. Simbologia

Oscillazioni forzate

Le oscillazioni forzate avvengono sotto l’effetto di forze esterne eccitanti.In questo caso si ha anche la possibilità che la forze non siano direttamente applicate al sistema, ma indotte da un moto di trascinamento come nel caso delle azioni sismiche.

Risonanza

Quando la frequenza della forza eccitante (di tipo armonico) coincide con una delle frequenze di vibrazione proprie del sistema (sistemi a più gradi di libertà) si ha la condizione di risonanza. Condizione da evitare in quanto (come si vedrà nelle pagine successive) le amplifi cazioni delle ampiezze di oscillazione possono diventare eccessive e quindi fatali per la struttura.

1.5. Simbologia

Si riportano di seguito i simboli usati per rappresentare le varie grandezze e relative unità di misura:

F = forza Nm = massa kgE = modulo di elasticità N/m²k = rigidezza N/mφ = angolo di fase generico radω = pulsazione propria rad/st = tempo sT = periodo sf = frequenza 1/sξ = coeffi ciente di smorzamento adimensionaleg = gravità m/s²v, x' = velocità m/ss, x = spazio ma, x" = accelerazione m/s²Ω = pulsazione della forzante rad/s