TemaD - WordPress.com · 2017-11-21 · de, nei suoi Elementi , ... 3 I triangoli ABC e ABP hanno...

Congruenza nei triangoli

1. Triangoli e criteri di congruenza

Terminologia

In questa Unita ci occuperemo principalmente di studiare la relazione di congruenza

applicata ai triangoli, cioe ai poligoni di tre lati. Prima di entrare nel «vivo» della que-

stione, introduciamo qualche nuova definizione.

Premettiamo che un triangolo di vertici A, B e C verra indicato con il simbolo ABC.

In alcune applicazioni gli angoli (interni) di un triangolo vengono indicati con le

tre lettere greche �, �, e i lati con le lettere a, b e c, come indicato in fig. 12.1.

C

A

a b

c B

α !

γ

Figura 12.1

Inoltre:

Un lato di un triangolo sidice opposto all’angolo ilcui vertice non appartiene allato e adiacenteagli altri due angoli.

Un angolo di un triangolo sidice opposto al lato chenon contiene il suo vertice eadiacente agli altri due lati.

Un angolo si dice compresotra due latidi un triangolo se questiultimi appartengonoai lati dell’angolo.

C

A B

α !

γ

AB e� opposto a

� adiacente ad � e �

C

A B

α !

γ

� e� opposto a BC� adiacente ad AB e AC

C

A B

α !

γ

e compreso tra ilati AC e BC

Classificazione dei triangoli

Si possono classificare i triangoli in base ad alcune caratteristiche dei loro lati oppure

in base ad alcune caratteristiche dei loro angoli.

La classificazione in base ai lati distingue tre casi (fig. 12.2). Un triangolo si dice:

� equilatero se tutti e tre i suoi lati sono congruenti;

� isoscele se due suoi lati sono congruenti;

� scaleno se i suoi lati sono a due a due non congruenti.

triangolo equilatero triangolo isoscele triangolo scaleno

505

12 TemaD

STRUMENTI DIGITALI

APPROFONDIMENTI

RISORSE

IN GEOGEBRA

VIDEOLEZIONI

ESERCIZI INTERATTIVI

GLOSSARIO

MULTIMEDIALE

MATEMATICA

IN LABORATORIO

SCHEDA

PER IL RECUPERO

Figura 12.2

Anche la classificazione in base agli angoli prevede tre casi (fig. 12.3). Un triangolo si

dice:

� acutangolo se ha tutti gli angoli acuti;

� rettangolo se ha un angolo retto;

� ottusangolo se ha un angolo ottuso.

In un triangolo rettangolo il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa del

triangolo, mentre gli altri due lati si chiamano cateti.

tre angoli acuti un angolo retto

triangolo acutangolo triangolo rettangolo

cateto

ipotenusa

cate

to

triangolo ottusangolo

un angolo ottuso

Figura 12.3

Nelle figg. 12.4a e 12.4b e data una rappresentazione, tramite diagrammi di Venn, ri-

spettivamente della classificazione dei triangoli in base ai lati e agli angoli.

poligoni

triangoli

poligoni

triangoli

equilateri

isosceli

scaleni acutangoli

rettangoli

ottusangoli

Figura 12.4a Figura 12.4b

Segmenti notevoli di un triangolo

In un triangolo si possono tracciare alcune corde di particolare importanza, alle quali

si danno dei nomi speciali (fig.12.5). Precisamente:

� si chiama bisettrice di un angolo di un triangolo il segmento costituito dai punti

della bisettrice di quell’angolo che appartengono al triangolo;

� si chiama mediana il segmento che congiunge un vertice del triangolo con il pun-

to medio del lato opposto;

� si chiama altezza relativa a un lato il segmento avente un estremo nel vertice op-

posto a quel lato e l’altro estremo sul lato stesso (o sul suo prolungamento), che

forma con quest’ultimo due angoli retti.

bisettrice di AA

B CK

medianarelativa a BC

A

B CM

A

B CH

altezzarelativa a BC

Figura 12.5


Ricorderai che abbiamo assunto il concetto di congruenza tra figure geometriche co-

me primitivo. Nell’insieme dei triangoli possiamo tradurre l’idea intuitiva che abbia-

mo della nozione di congruenza in una precisa definizione.

506

Tema D Le nozioni di base della geometria

Osserva

La classificazione dei

triangoli in base agli angoli

induce nell’insiemedei triangoli una

partizione; cio non accade

invece per

la classificazione deitriangoli in base ai lati.

Attenzione!

L’altezza di un triangolo

puo cadere esternamente al

triangolo, come nel casodell’altezza AH relativa al

lato BC del triangolo ABC

rappresentato qui sotto.

H

A

altezza

B

C

TRIANGOLI CONGRUENTI

Due triangoli si dicono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre la-

ti e i tre angoli.

La congruenza tra due triangoli viene dunque definita, come e naturale, tramite la

congruenza dei lati e degli angoli. C’e pero un particolare cui devi prestare attenzione,

l’avverbio «ordinatamente»: esso sta a indicare che a ogni elemento del primo trian-

golo corrisponde un elemento a esso congruente nel secondo, e le coppie di elementi

congruenti non possono essere disposte casualmente. Infatti, lati congruenti devono

essere opposti ad angoli congruenti e viceversa (come indicato dall’uso del colore nel-

la fig. 12.6). Chiameremo corrispondenti gli angoli opposti a lati congruenti o i lati

opposti ad angoli congruenti.

A

B C

A'

B' C' Figura 12.6

Per controllare se due triangoli sono congruenti, in base alla definizione precedente,

dovremmo eseguire sei confronti: tra le tre coppie di angoli e tra le tre coppie di lati. E

possibile semplificare il problema? Ovvero, e possibile stabilire delle condizioni «piu

economiche» che garantiscono la congruenza di due triangoli?

Come vedremo, la risposta e affermativa: e sufficiente controllare la congruenza di tre

coppie di elementi, opportunamente scelti. Presta attenzione: non e detto che, in gene-

rale, la congruenza di tre coppie di elementi garantisca la congruenza dei triangoli; gli

elementi devono essere scelti, appunto, opportunamente. Per esempio, se due triangoli

hanno ordinatamente congruenti i tre angoli, non e detto che siano congruenti, come

puoi renderti conto osservando la fig. 12.7: i due triangoli ABC e A0B0C0 hanno i tre an-

goli ordinatamente congruenti manon sono congruenti.

C

A B A' B'

C'

Figura 12.7

Primo criterio di congruenza per i triangoli

Supponiamo che due triangoli ABC e A0B0C0 abbiano ordinatamente congruenti due

lati e l’angolo tra essi compreso (fig. 12.8).

CA

B

C' A'

B'

Figura 12.8

Immaginiamo che i due triangoli siano ritagli di carta. Dal momento che bBB ffi bBB0 pos-

siamo, con un movimento rigido, portare l’angolo AbBBC a sovrapporsi all’angolo

A0 bBB0C0, in modo che:

� B si sovrapponga B0;

� la semiretta di origine B cui appartiene il lato AB si sovrapponga alla semiretta di

origine B0 cui appartiene il lato A0B0;

Unita 12 Congruenza nei triangoli

507

Modi di dire

Gli elementi corrispondenti

di un triangolo vengonochiamati anche elementi

omologhi.

� la semiretta di origine B cui appartiene il lato BC si sovrapponga alla semiretta di

origine B0 cui appartiene il lato B0C0.

Poiche stiamo supponendo AB ffi A0B0, A andra a sovrapporsi ad A0. Analogamente,

poiche BC ffi B0C0, anche C andra sovrapporsi a C0. I tre vertici dei due triangoli si so-

vrappongono: concludiamo che i due triangoli sono congruenti.

I ragionamenti che abbiamo presentato sono sostanzialmente quelli adottati da Eucli-

de, nei suoi Elementi, per «dimostrare» che due triangoli che hanno due lati e l’angolo

compreso ordinatamente congruenti sono congruenti. Abbiamo posto il verbo dimo-

strare tra virgolette poiche, in realta, non si tratta di una vera e propria dimostrazione,

ma solo di ragionamenti intuitivi. La critica moderna ha provato che l’argomentazio-

ne precedente non puo essere accettata come dimostrazione, a meno di non avere

preventivamente fissato un sistema di assiomi che garantisca l’esistenza dei movi-

menti rigidi. Poiche anche noi non abbiamo assunto un tale sistema di assiomi, dob-

biamo accettare la proposizione cui siamo giunti come assioma.

ASSIOMA 12.1 Primo criterio di congruenza per i triangoli

Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi com-

preso sono congruenti.

Attenzione!

L’ipotesi che i due triangoli abbiano congruenti gli angoli compresi tra i due lati congruenti e

essenziale. Infatti esistono triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e un angolo,

ma non sono tra loro congruenti: osserva le figure qui sotto.

COSTRUZIONE 12.1

Secondo e terzo criterio di congruenza per i triangoli

A partire dal primo criterio di congruenza per i triangoli se ne potrebbero dimostrare

altri due, che noi ci limiteremo a enunciare.

TEOREMA 12.1 Secondo criterio di congruenza per i triangoli

Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adia-

centi sono congruenti.

CB

α �

A

C' B'

α' �'

A'

IPOTESI � ffi �0, � ffi �0, BC ffi B0C0

TESI ABC ffi A0B0C0

BA

C

n1 Consideriamo un triangolo ot-

tusangolo ABC con l’angolo BbAAC ot-

tuso.

B A

P

C

n2 Tracciamo la circonferenza

avente centro in A, passante per C e

indichiamo con P il suo punto di in-

tersezione con BC.

BA

C

P

n3 I triangoli ABC e ABP hanno

due lati e un angolo ordinatamente

congruenti (AB e in comune,

AC ffi AP e AbBBC ffi AbBBP) ma non so-

no, evidentemente, congruenti.

508


Terzo criterio di congruenza per i triangoli TEOREMA 12.2

Due triangoli che hanno i tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti.

B C

A

B' C'

A'

IPOTESI AB ffi A0B0, BC ffi B0C0, AC ffi A0C0

TESI ABC ffi A0B0C0

2. Dimostrazioni che utilizzano i criteridi congruenza

I criteri di congruenza sono strumenti che consentono gia di effettuare molte dimo-

strazioni. Analizziamo insieme alcuni esempi, per cercare di prendere confidenza con

l’attivita del «dimostrare».

ESEMPIO Dimostrazione tramite i criteri di congruenza/1

Sia M il punto medio di un segmento AB. Tracciamo una retta passante per M e

consideriamo su di essa, da parti opposte rispetto a M, due punti P e Q equidistan-

ti daM. Dimostriamo che AP ffi BQ.

3 1o passo: l’enunciato

La prima cosa da fare e leggere attentamente l’enunciato del teorema che vogliamo

dimostrare.

3 2o passo: il disegno

Dopo avere letto l’enunciato, e utile fare un disegno che rappresenti l’enunciato

del teorema, contrassegnando con uno stesso simbolo gli elementi che, per ipotesi,

sappiamo essere congruenti.

In questa fase bisogna prestare attenzione a evitare figure che rappresentino dei casi

particolari. Per esempio, se nell’enunciato del teorema si parla di «triangolo», senza

ipotesi aggiuntive, dovremo avere cura di non disegnare un triangolo isoscele o

equilatero! Oppure, se dobbiamo disegnare «due segmenti consecutivi», dobbiamo

avere cura di non disegnarli adiacenti.

Nel caso di questo esercizio, una figura valida puo essere quella a fianco.

3 3o passo: individuare ipotesi e tesi

Dopo avere disegnato la figura, dobbiamo individuare con chiarezza le ipotesi e la

tesi del teorema che vogliamo dimostrare.

IPOTESI A, M e B sono allineati TESI AP ffi BQ

AM ffi MB

P, M e Q sono allineati

PM ffi MQ


509

Esercizi p. 519

A

B M

P

Q

3 4o passo: individuare una «strategia» per effettuare la dimostrazione

Partiamo dal fondo. Vogliamo dimostrare che AP ffi BQ. A tale scopo, e sufficiente

trovare due triangoli congruenti di cui AP e BQ sono elementi corrispondenti.

I due triangoli AMP e BMQ hanno AP e BQ come lati e sembrano congruenti (da

quanto suggerisce la figura). Allora proviamo a seguire questa «strategia»: dimostra-

re che AMP ffi BMQ e dedurre che AP ffi BQ:

3 5o passo: riscrivere la dimostrazione in forma «ufficiale»

In questa fase, devi prestare attenzione a giustificare ogni passaggio in base alle ipo-

tesi, agli assiomi o ai teoremi precedentemente dimostrati, evitando espressioni

quali «dalla figura si vede che...», «e chiaro che...» ecc.

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli AMP e BMQ; essi hanno:

� AM ffi MB per ipotesi

� PM ffi MQ per ipotesi

� A bMMP ffi B bMMQ in quanto angoli opposti al vertice

Dunque i triangoli AMP e BMQ sono congruenti per il primo criterio di congruenza.

In particolare:

AP ffi BQ

in quanto elementi corrispondenti in tali triangoli

Vediamo altri due esempi, che analizziamo ancora secondo i passi di quello precedente.


In un triangolo ABC, sia AK la bisettrice uscente da A. Consideriamo, sui due lati AB

e AC, rispettivamente, due punti P e Q tali che P bKKA ffi QbKKA e dimostriamo che

AP ffi AQ.

3 1o passo: il disegno A

B K

P

Q

C


IPOTESI AK e bisettrice dell’angolo bAA TESI AP ffi AQ

P 2 AB

Q 2 AC

P bKKA ffi Q bKKA


Dobbiamo dimostrare che AP ffi AQ. Ma AP e AQ sono lati dei triangoli APK e AQK,

che, dalla figura, sembrano congruenti. Se riusciamo a dimostrare che APK ffi AQK,

potremo dedurre che AP ffi AQ.

3 4o passo: la dimostrazione

Consideriamo i triangoli APK e AQK; essi hanno:

� AK in comune

� P bAAK ffi Q bAAK perche AK e la bisettrice dell’angolo bAA

� P bKKA ffi Q bKKA per ipotesi

Dunque, i triangoli APK e AQK sono congruenti per il secondo criterio di congruen-

za. In particolare:

AP ffi AQ in quanto elementi corrispondenti in tali triangoli

510


A

B M

P

Q

Rifletti

Avere dimostrato che i due

triangoli APK e AQK sono

congruenti, oltre apermetterci di dedurre che

AP ffi AQ (la tesi) ci dice

anche che PK ffi QK e che

AbPPK ffi A bQQK: quindi unteorema analogo a quello

dell’esempio, ma con tesi

diversa, PK ffi QK o

AbPPK ffi A bQQK, avrebbe avutola stessa dimostrazione. E

questa una caratteristica

delle dimostrazioni che

utilizzano i criteri dicongruenza: in genere si

dimostra «piu di cio che e

richiesto».


Esternamente a un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, consideriamo un punto P,

equidistante da B e da C. Dimostriamo che la semiretta AP e bisettrice dell’angolo

BbAAC.

3 1o passo: il disegno

B C

P

A


IPOTESI AB ffi AC; PB ffi PC TESI AP e bisettrice dell’angolo BbAAC


Anche questa volta, partiamo dal fondo. Dimostrare che la semiretta AP e la bisettri-

ce dell’angolo BbAAC equivale a dimostrare che BbAAP ffi CbAAP. BbAAP e CbAAP sono angoli

corrispondenti nei due triangoli ABP e ACP: quindi se riusciamo a dimostrare che

questi due triangoli sono congruenti, potremo dedurre che BbAAP ffi CbAAP e il nostro

teorema sara dimostrato.

3 4o passo: la dimostrazione

Consideriamo i due triangoli ABP e ACP; essi hanno:

� AB ffi AC per ipotesi

� PB ffi PC per ipotesi

� AP in comune

quindi sono congruenti per il terzo criterio di congruenza.

In particolare:

BbAAP ffi CbAAP in quanto elementi corrispondenti in triangoli congruenti

Cio dimostra che la semiretta AP e bisettrice dell’angolo BbAAC.

Non esistono «ricette generali» per eseguire una dimostrazione, ma e certamente utile

seguire lo schema logico che abbiamo illustrato nei precedenti esempi e che possiamo

cosı riassumere:

� leggere attentamente l’enunciato del teorema;

� individuare l’ipotesi e la tesi;

� rappresentare l’enunciato attraverso un disegno evitando, nel disegno, casi partico-

lari e contrassegnando con lo stesso simbolo gli elementi congruenti;

� elaborare una «strategia» di dimostrazione: questa fase, di solito, si fa mentalmente

(anche se, negli esempi precedenti, l’abbiamo esplicitata);

� mettere ordine nei vari passaggi logici e passare alla stesura «ufficiale» della dimo-

strazione: in questa fase ogni passaggio va giustificato, avvalendosi degli assiomi,

delle ipotesi o dei teoremi precedentemente dimostrati.

Tieni presente, infine, che il percorso che porta a una dimostrazione difficilmente e

immediato: all’inizio si procede per tentativi, si hanno delle intuizioni, si prova a ve-

rificare se funzionano; spesso ci si rende conto che non funzionano e allora bisogna

tentare altre vie. Non scoraggiarti quindi se, soprattutto all’inizio, «dimostrare» ti

sembrera un’attivita «difficile».


511

Matematica in laboratorio

Costruire, congetturaree dimostrare

Esercizi p. 520

3. Proprieta dei triangoli isosceli

Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti

Ora che abbiamo introdotto i tre criteri di congruenza, siamo in grado di dimostrare

alcune proprieta del triangolo isoscele che certamente gia conosci dai tuoi studi pre-

cedenti. Cominciamo con il ricordare che, in un triangolo isoscele, i due lati con-

gruenti si chiamano lati obliqui e il lato rimanente si dice base del triangolo. Quan-

do ci si riferisce a un triangolo isoscele occorre specificare qual e la base: per esempio,

per specificare che un triangolo isoscele ABC ha come base AB, si usa l’espressione

«triangolo ABC, isoscele sulla base AB».

I due angoli adiacenti alla base di un triangolo isoscele si dicono brevemente angoli

alla base e l’ulteriore angolo si dice angolo al vertice.

A base B

C angolo al vertice

lato

ob

liqu

o lato

ob

liqu

o angolo alla baseangolo alla base

Figura 12.9

TEOREMA 12.3 Congruenza degli angoli alla base di un triangolo isoscele

Se un triangolo e isoscele, allora ha due angoli congruenti (gli angoli alla base).

IPOTESI AC ffi BC (fig. 12.10)

TESI CbAAB ffi CbBBA (fig. 12.10)

L’idea chiave che ci consentira di eseguire la dimostrazione e di effettuare una semplice

costruzione preliminare. La costruzione preliminare e una tecnica che utilizzeremo di fre-

quente per effettuare dimostrazioni e consiste nel tracciare un segmento, una retta o

un’altra figura opportuna nel disegno che costituisce il modello di un teorema, per con-

sentire la dimostrazione successiva.

DIMOSTRAZIONE

COSTRUZIONE PRELIMINARE

Tracciamo la bisettrice CH dell’angolo AbCCB del triangolo (fig. 12.11).

I due triangoli AHC e BHC hanno:

� AC ffi BC per ipotesi

� CH in comune

� AbCCH ffi B bCCH per costruzione (CH e la bisettrice di A bCCBÞ

Dunque sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare:

CbAAH ffi CbBBH perche elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Nella dimostrazione del teorema precedente (fai riferimento ancora alla fig. 12.11)

abbiamo dimostrato che i due triangoli AHC e BHC sono congruenti. Dalla congruen-

za di questi due triangoli possiamo dedurre anche che:

� AH ffi HB

Di conseguenza, la bisettrice dell’angolo al vertice di un triangolo isoscele e anche me-

diana relativa alla base.

� A bHHC ffi B bHHC, quindi gli angoli A bHHC e B bHHC, supplementari perche A, H, B sono alli-

neati, sono retti.

Di conseguenza, la bisettrice dell’angolo al vertice di un triangolo isoscele e anche al-

tezza relativa alla base.

Riassumiamo queste considerazioni nel seguente teorema.

512


Osserva

«Isoscele» e una parola che

si utilizza solo in geometria:essa deriva da «iso» che

significa uguale e «scele»,

che significa lato.

A B

C

Figura 12.10

A H B

C

Figura 12.11

Proprieta del triangolo isoscele TEOREMA 12.4

In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice e anche mediana e altezza

relativa alla base.

Il teorema inverso

Il teorema 12.3 e espresso dalla proposizione

«Se un triangolo e isoscele, allora ha due angoli congruenti» [12.1]

cioe da un’implicazione del tipo:

«se p, allora q»

Si chiama inversa di un’implicazione del tipo «se p, allora q» la proposizione «se q, al-

lora p». Quindi la proposizione inversa di [12.1] e:

«Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora e isoscele»

Se una proposizione e vera, non e detto che la sua inversa sia vera.

ESEMPIO

Proposizione:

«Se siamo in Calabria, allora siamo nell’Italia meridionale» VERO

Proposizione inversa:

«Se siamo nell’Italia meridionale, allora siamo in Calabria» FALSO

Di conseguenza, in generale, dato un teorema, non e detto che valga il teorema inver-

so. Nel caso del teorema 12.3, tuttavia, vale anche il teorema inverso, di cui omettia-

mo la dimostrazione.

Inverso del teorema 12.3 TEOREMA 12.5

Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora e isoscele.

IPOTESI bAA ffi bBB

TESI AC ffi BC

A B

C

Quando e vera una proposizione del tipo «se p allora q» ed e vera anche la sua inversa,

«se q allora p», si riassumono le due proposizioni nell’unica proposizione

«p se e solo se q»

oppure, equivalentemente, si dice che

«p e condizione necessaria e sufficiente per q».

I teoremi 12.3 e 12.5 possono percio fondersi nell’unico teorema 12.6.

Fusione dei teoremi 12.3 e 12.5 TEOREMA 12.6

Un triangolo e isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.

In alternativa, potremmo dire che «per un triangolo, avere due angoli congruenti e

condizione necessaria e sufficiente per essere isoscele».


513

Approfondimento

Costruzioni con rigae compasso

Esercizi p. 525

4. Disuguaglianze nei triangoli

Teorema dell’angolo esterno e sue conseguenze

In questo paragrafo studieremo ancora alcune proprieta dei triangoli ma, invece di

considerare problemi di congruenza, enunceremo alcune proprieta che esprimono di-

suguaglianze fra gli elementi del triangolo.

Il primo teorema che enunciamo e un teorema fondamentale, non tanto per il risulta-

to che esprime (che sara migliorato nella prossima Unita), quanto per il fatto che e

uno strumento essenziale per dimostrare molti importanti teoremi.

TEOREMA 12.7 Primo teorema sull’angolo esterno

In un triangolo, ogni angolo esterno e maggiore di ciascuno degli angoli interni non

adiacenti a esso.

IPOTESI ABC e un triangolo

AbCCD e un angolo esterno

A

B C D

del triangolo ABC (fig. 12.12)

TESI AbCCD > BbAAC e AbCCD > AbBBC (fig. 12.12)

Figura 12.12

Dimostriamo che AbCCD > BbAAC. In modo del tutto analogo si puo dimostrare cheAbCCD > AbBBC.

DIMOSTRAZIONE


Detto M il punto medio del lato AC, prolunghiamo BM, dalla parte di M, di un segmen-

toME ffi BM e congiungiamo E con C (fig. 12.13).

A

B C

E

M

DFigura 12.13

Poiche E e interno all’angolo AbCCD, anche la semiretta CE e interna all’angolo AbCCD,

quindi, per come abbiamo definito il confronto tra due angoli (Unita 11, Paragrafo 3),

possiamo affermare che:

AbCCD > A bCCE

Per dimostrare la tesi basta allora dimostrare che

BbAAC ffi AbCCE.

Consideriamo i due triangoli AMB e CME

(fig. 12.14); essi hanno:

� AM ffi MC per costruzione

� BM ffi ME per costruzione

� A bMMB ffi C bMME perche opposti al vertice

A

B C

E

M

D

Figura 12.14

Dunque AMB e CME sono congruenti per il primo criterio di congruenza; in particolare

BbAAM ffi M bCCE e quindi:

BbAAC ffi AbCCE

Per quanto osservato all’inizio, cio conclude la dimostrazione.

514


Un teorema che si puo dedurre in modo quasi immediato da un teorema dimostrato

in precedenza si chiama corollario. Ecco alcuni corollari del teorema dell’angolo

esterno.

Corollari del primo teorema sull’angolo esterno COROLLARI

1. La somma di due qualsiasi angoli interni di un triangolo e sempre minore di un an-

golo piatto.

2. Un triangolo non puo avere piu di un angolo retto o di un angolo ottuso, ne un an-

golo retto e uno ottuso.

3. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.

Giustifichiamo il primo corollario. Fai riferimento alla fig. 12.15.

A

α

�

γ

B C D Figura 12.15

Per il teorema dell’angolo esterno, sappiamo che � < �. Se aggiungiamo a entrambi i

membri di questa disuguaglianza �, la disuguaglianza si conserva nello stesso verso,

quindi: �þ � < �þ �. Ma �þ � ffi , quindi �þ � < .

Lasciamo a te giustificare, come esercizio, il secondo e il terzo corollario.

Relazioni di disuguaglianza tra i lati e gli angoli di un triangolo

Sappiamo che se un triangolo e isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.

Questa proprieta si puo rileggere nel seguente modo: se in un triangolo ci sono due

lati congruenti, allora anche gli angoli opposti sono congruenti (fig. 12.16). Posta in

questi termini, la proprieta si puo estendere nel seguente modo: se in un triangolo

ci sono due lati disuguali, anche gli angoli opposti sono disuguali nello stesso senso (e

viceversa).

Relazioni tra lati e angoli di un triangolo TEOREMA 12.8

Se in un triangolo due lati non sono congruenti, allora anche gli angoli opposti non so-

no congruenti e al lato maggiore sta opposto l’angolo maggiore.

Viceversa, se in un triangolo due angoli non sono congruenti, allora anche i lati a essi

opposti non sono congruenti, e all’angolo maggiore sta opposto il lato maggiore.

Per esempio, in riferimento al triangolo in fig. 12.17:

se sappiamo che BC > AB, in base al teorema precedente possiamo affermare che

BbAAC > AbCCB;

viceversa, se sappiamo che BbAAC > A bCCB, in base al teorema precedente possiamo af-

fermare che BC > AB.

B

A CFigura 12.17

Da questo teorema seguono due corollari, che ti invitiamo a giustificare.


515

Rifletti

Siamo ora in grado digiustificare la

classificazione dei triangoli

in base agli angoli che

abbiamo enunciato nelprimo paragrafo: infatti, se

uno degli angoli di un

triangolo e retto (triangolo

rettangolo) oppure ottuso(triangolo ottusangolo), per

il corollario 2 gli altri due

angoli devono esserenecessariamente acuti. Da

cio segue che non possono

verificarsi altri casi oltre

a quelli previsti dallaclassificazione.

C

A

γ γ

B

Figura 12.16

COROLLARI Corollari del teorema 12.8

1. In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa e maggiore di ciascuno dei due cateti.

2. In ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso e maggiore di ciascu-

no degli altri due lati.

Disuguaglianza triangolare

E piuttosto intuitivo che il percorso piu breve che congiunge due punti B e C e il seg-

mento BC. Questa proprieta si puo rileggere nel seguente modo: dato un triangolo

ABC, risulta BC < ABþ AC (fig. 12.18).

Abbiamo cosı scoperto una delle cosiddette disuguaglianze triangolari, espresse nel

prossimo teorema.

TEOREMA 12.9 Disuguaglianze triangolari

In ogni triangolo ciascun lato e minore della somma degli altri due e maggiore della

loro differenza (calcolando la differenza fra il lato maggiore e il lato minore).

In riferimento al triangolo in fig. 12.18, il teorema precedente ci consente di afferma-

re che:

AB� AC < BC < ABþ AC

BC� AB < AC < BCþ AB

BC� AC < AB < BCþ AC

Una diretta conseguenza del teorema 12.9 e che, dati tre numeri reali positivi a, b, c,

affinche possa esistere un triangolo i cui lati hanno quelle misure, i tre numeri devo-

no soddisfare le disuguaglianze:

a < bþ c b < aþ c c < aþ b

Queste condizioni, oltre che necessarie, sono anche sufficienti per garantire l’esistenza

di un triangolo i cui lati misurano a, b e c.

PER SAPERNE DI PIU Estensione della disuguaglianza triangolare ai poligoni

La disuguaglianza triangolare si estende a poligoni aventi un qualsiasi numero n di lati:

in un poligono ogni lato e minore della somma di tutti gli altri. Inoltre, condizione ne-

cessaria e sufficiente perche esista un poligono di n lati (n � 3), aventi come misure rispettiva-

mente n numeri reali positivi assegnati, e che ciascuno di questi numeri sia minore della somma

di tutti gli altri.

Attenzione, pero: la conoscenza delle misure dei tre lati di un triangolo determina univo-

camente il triangolo, nel senso che tutti i triangoli i cui lati hanno quelle misure sono

congruenti (in forza del terzo criterio di congruenza), mentre cio non e piu vero per poli-

goni aventi piu di 3 lati. Di cio puoi renderti conto con il semplice esperimento descritto

nella didascalia della fig. 12.19.

a. b. c.

Figura 12.19 Se prendiamo tre sbarrette rigide e le incernieriamo agli estremi otteniamouna struttura rigida (a.), cioe una struttura che non e possibile deformare; se inveceincernieriamo quattro sbarrette, otteniamo una struttura deformabile: per esempio, lastruttura rappresentata in c. si puo ottenere deformando quella rappresentata in b.: cambiala forma della struttura, ma le quattro sbarrette sono sempre le stesse. Si comprende quindiche e possibile costruire per esempio due quadrilateri che hanno i lati rispettivamentecongruenti, ma non sono congruenti.

516


B

A

C

Figura 12.18

Figure dinamiche

Costruibilitadi un triangolo datele misure dei tre lati

Matematica e realta

Il fatto che le strutture aforma di triangolo sono

rigide e uno dei motivi per

cui esse trovano cosı largo

impiego nell’edilizia, peresempio nella costruzione

di tralicci e gru.

Risolviamo infine un problema in cui applichiamo le disuguaglianze triangolari appe-

na viste.

PROBLEMA SVOLTO Le fasi di Venere

Venere mostra delle fasi che sono molto simili a quelle della Luna. Galileo Galilei fu il

primo astronomo a scoprire il fenomeno e a notare che la dimensione apparente del

diametro di Venere varia notevolmente durante queste fasi (nella fase paragonabile a

quella di «Luna piena» il diametro apparente e circa un sesto della fase successiva).

La distanza media tra il Sole e la Terra e circa 149 milioni di kilometri; la distanza media

tra il Sole e Venere e circa 108 milioni di kilometri. Che cosa si puo dire della distanza

tra Venere e la Terra? E come si puo giustificare la variazione della dimensione apparen-

te di Venere?

FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA

Facciamo un disegno. I punti S e T rappresentano il Sole e la Terra. Il punto V

rappresenta Venere.

Le orbite della Terra e di Venere intorno al Sole sono, come saprai, ellittiche.

Tuttavia, le distanze tra il Sole e Venere e tra il Sole e la Terra non variano mol-

tissimo lungo l’orbita. Possiamo supporre allora che, nei vari triangoli Sole-Ter-

ra-Venere, VS e ST siano costanti, uguali rispettivamente alle distanze medie tra

il Sole e Venere e tra il Sole e la Terra. Il problema e stabilire tra quali limiti puo

variare VT: come puoi osservare dalla fig. 12.20, anche se VS e ST si mantengo-

no di lunghezza costante, la distanza VT tra Venere e la Terra puo cambiare no-

tevolmente.

COSTRUIAMO IL MODELLO GEOMETRICO DEL PROBLEMA

Geometricamente, possiamo riformulare il problema in questo modo: nel triangolo STV

conosciamo la misura (in milioni di kilometri) di ST e quella di SV. Che cosa si puo dire

della misura di VT (fig. 12.21)?

S

V

149

108 ?

T

Figura 12.21FACCIAMO I CALCOLI

In base alla disuguaglianza triangolare, sappiamo che:

ST SV < VT < ST þ SV

Quindi deve essere:

149 108 < VT < 149þ 108

41 < VT < 257

RISPONDIAMO

Possiamo quindi dire che la distanza di Venere dalla Terra puo variare tra 41 e 257 milioni di kilometri.

Nel percorrere la sua orbita, il pianeta Venere si avvicina effettivamente ai due casi limite previsti dal modello geome-

trico poc’anzi discusso, raggiungendo una minima distanza di circa 42 milioni di kilometri e una massima distanza di

circa 257 milioni di kilometri. Puoi osservare che la distanza minima e circa un sesto della distanza massima: e questa

la principale ragione della variazione delle dimensioni apparenti di Venere.


517

La rappresentazionedelle fasi di Venerein un disegno di Galileo.

S

V

V V

T

Figura 12.20

Esercizi p. 527

Parole chiave

Termini tratti dal glossario e speakerati

Altezza di un triangolo (Height of a triangle [or altitude])

Cateti (Legs [or catheti])

Corollario (Corollary)

Disuguaglianza triangolare (Triangle inequality)

Ipotenusa (Hypotenuse)

Teorema inverso (Converse theorem)

Triangolo acutangolo

(Acute triangle [or acute-angled triangle])

Angoli alla base (Base angles)

Angolo al vertice (Vertex angle)

Base (Base)

Bisettrice dell’angolo di un triangolo

Elementi corrispondenti (Corresponding parts)

Lati obliqui (Legs)

Mediana (Median)

Primo criterio di congruenza

(SAS [Side, Angle, Side] congruence theorem)

Secondo criterio di congruenza

(ASA [Angle, Side, Angle] congruence theorem)

Terzo criterio di congruenza

(SSS [Side, Side, Side] congruence theorem)

Triangolo equilatero (Equilateral triangle)

Triangolo isoscele (Isosceles triangle)

Triangolo ottusangolo

(Obtuse triangle [or obtuse-angled triangle])

Triangolo rettangolo

(Right triangle [or right-angled triangle])

Triangolo scaleno (Scalene triangle)

Teoremi importanti

Criteri di congruenza

Primo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza Terzo criterio di congruenza

A

B C

A'

B' C'

Due triangoli che hannoordinatamente congruenti due lati el’angolo tra di essi compreso sonocongruenti.

A

B C

A'

B' C'

Due triangoli che hannoordinatamente congruenti un lato e idue angoli a essi adiacenti sonocongruenti.

A

B C

A'

B' C'

Due triangoli che hanno i tre latiordinatamente congruenti sonocongruenti.

Proprieta dei triangoli

Tipo di triangolo Proprieta relative ai lati Proprieta relative agli angoli

Qualsiasi In un triangolo ciascun lato e minoredella somma degli altri due e maggioredella loro differenza.

In un triangolo, ogni angolo esterno emaggiore di ciascuno degli angoliinterni non adiacenti a esso.

Isoscele I lati obliqui sono congruenti. Gli angoli adiacenti alla base sonocongruenti.

Equilatero Tutti i lati sono congruenti. Tutti gli angoli sono congruenti.

Relazioni tra lati e angoli

1. Se in un triangolo due lati non sono congruenti, allora anche gli angoli opposti non sono congruenti e al lato maggio-

re sta opposto l’angolo maggiore.

2. Se in un triangolo due angoli non sono congruenti, allora anche i lati a essi opposti non sono congruenti e all’angolo

maggiore sta opposto il lato maggiore.

518

Sintesi Congruenza nei triangoli

Esercizi

1. Triangoli e criteri di congruenza Teoria p. 505

1 Fai riferimento alla figura qui a destra e completa le seguenti proposizioni, scrivendo il lato o l’angolo corretto, op-

pure i termini «opposto» o «adiacente».

a. AB e opposto a ..........

b. AC e ......................... agli angoli bAA e bCC

c. bCC e .................... al lato AB

d. BC e adiacente agli angoli ....................

C

A B

2 Vero o falso?

a. se un triangolo non e isoscele e scaleno V F

b. se un triangolo non e equilatero non e nemmeno isoscele V F

c. se un triangolo non e isoscele, allora certamente non e equilatero V F

d. l’insieme dei triangoli equilateri e un sottoinsieme proprio dell’insieme dei triangoli isosceli V F

e. se un triangolo e equilatero, non e isoscele V F

[3 affermazioni vere e 2 false]

3 Completa la seguente tabella. Per ciascuna coppia di triangoli, supponi di sapere unicamente che sono congruenti

gli elementi indicati con lo stesso simbolo.

A A'

B

B'

C C'

Si puo affermare che sono congruenti?

Sı, in base al ......................... criterio No

A A'

B B'C C'



A A'

B B'C C'



A A'

B B'C C'



4 Vero o falso?

a. se due triangoli non sono congruenti, hanno almeno un angolo non congruente V F

b. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti tre angoli, allora sono congruenti V F

c. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati, ma non sono congruenti, gli angoli compresi tra

i due lati non sono congruenti V F

d. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli adiacenti, allora anche gli angoli

opposti ai lati congruenti sono congruenti V F


Unità

12 TemaD

519

2. Dimostrazioni che utilizzano i criteri di congruenza Teoria p. 509

Esercizi preliminari

Dati i seguenti teoremi, disegna una figura che rappre-

senti l’enunciato e formula, in notazione simbolica,

l’ipotesi e la tesi. Non tentare di effettuare la dimostra-

zione.

5 Il triangolo che ha come vertici i punti medi dei lati

di un triangolo equilatero e equilatero.

6 In un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati

obliqui sono congruenti.

7 In un triangolo in cui i tre angoli sono congruenti,

anche i tre lati sono congruenti.

8 Siano P e Q due punti, appartenenti rispettivamente

ai lati a e b dell’angolo a bOOb, tali che OP ffi OQ. Se R e un

punto appartenente alla bisettrice di a bOOb, allora RP ffi RQ.

9 Se in un triangolo ABC la bisettrice dell’angolo bBB e

anche mediana, il triangolo e isoscele.

Nei seguenti esercizi sono riportati la figura che rap-

presenta un teorema, l’ipotesi e la tesi. Scrivi l’enun-

ciato del teorema corrispondente.

10 A

B C

ED

IPOTESI AB ffi AC, BD ffi CE

A, B e D allineati

A, C ed E allineati

TESI CD ffi BE

11 A

B C E D

IPOTESI AB ffi AC, BD ffi CE

B, C, E, D allineati

TESI AD ffi AE

12A B

C D

E

IPOTESI AD ffi BC, BbAAD ffi AbBBC, AD \ BC ¼ fEg

TESI EC ffi ED

13A

M N

C B

IPOTESI M 2 AB, N 2 AC

AM ffi MB, AN ffi NC

TESI MN ffi1

2BC

14A

B C

ED

F

IPOTESI AbBBC ffi AbCCB, BD ffi CE, BE \ CD ¼ fFg

A, B e D allineati

A, C ed E allineati

TESI BF ffi FC

15 Fai riferimento alla figura qui sotto e supponi, per

ipotesi, che gli elementi contrassegnati con lo stesso sim-

bolo siano congruenti e che siaAC \ BD ¼ fOg.

A B

C D

O

Completa giustificando i passaggi.

1. AO ffi CO per ipotesi

2. DO ffi BO per ..............................

3. A bOOD ffi B bOOC perche .........................

4. AOD ffi BOC per il ............... criterio di congruenza

520


ESERCIZI

16 Fai riferimento alla figura qui a fianco e supponi, per ipotesi, che gli ele-

menti contrassegnati con lo stesso simbolo siano congruenti.

Completa giustificando i passaggi.

A

B

C

D

1. AC e in comune

2. CD ffi CB per .........................

3. AbCCD ffi AbCCB per ..............................

4. ACB ffi ACD per il .............................. criterio di congruenza

17 Fai riferimento alla figura qui sotto e supponi, per ipotesi, che gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sia-

no congruenti. A ogni congruenza nella prima colonna associa con una freccia la sua giustificazione, scelta fra quelle pro-

poste nella seconda colonna (Attenzione: fra le giustificazioni proposte ce ne sono alcune «intruse», cioe alcune che non

vanno utilizzate.)

A B

CD

18 Fai riferimento alla figura a lato e supponi, per ipotesi, che gli elementi contras-

segnati con lo stesso simbolo siano congruenti e che i punti A, P, Q e B siano allineati.

A P Q B

CD

a. I triangoli PDQ e PCQ:

A sono congruenti per il primo criterio

B sono congruenti per il secondo criterio

C non sono congruenti

b. Gli angoli AbPPD e B bQQC sono congruenti perche:

A opposti al vertice B supplementari di angoli congruenti C somme di angoli congruenti

c. I triangoli APD e BQC sono congruenti:

A per il primo criterio B per il secondo criterio C perche rettangoli

d. Gli angoli A bDDQ e P bCCB sono congruenti perche:

A opposti al vertice B supplementari di angoli congruenti C somme di angoli congruenti

Dimostrazioni con il primo criterio di congruenza

19 ESERCIZIO GUIDATO

Dato un segmento AB e indicato con M il suo punto medio, traccia un segmento CD, il cui punto medio e anco-

ra M. Dimostra che i triangoli AMC e BMD sono congruenti.

IPOTESI AM ffi .......... CM ffi ..........

TESI AMC ffi ....................

DIMOSTRAZIONE

I triangoli AMC e BMD hanno:

� AM ffi ..... per ipotesi

� CM ffi ..... per ...............

� A bMMC ffi B bMMD perche ...................................

Quindi sono congruenti per il ...................................

AB ffi CD Per ipotesi

BbAAD ffi DbCCB Per il primo criterio di congruenza

AbBBD ffi C bDDB Per il secondo criterio di congruenza

ABD ffi CBD Perche elementi corrispondenti in triangoli congruenti

AbDDB ffi CbBBD Perche somme di angoli congruenti

AbBBC ffi AbDDC Perche differenze di angoli congruenti

A B A M M B A B

C

D

M A B

C

D

M A B

C

D

1. Tracciamo un

segmento AB

2. Indichiamo

conM il punto

medio di AB

3. Tracciamo un

segmento CD

che abbia come

punto medioM

4. Congiungiamo C

con A

e D con B

5. Contrassegniamo gli

elementi congruenti

per costruzione

521


ESERCIZI


In un triangolo ABC, sia CK la bisettrice dell’angolo A bCCB. Considera, sui lati AC e BC, rispettivamente, due punti

P e Q tali che CP ffi CQ. Dimostra che PK ffi QK.

IPOTESI ..................................................

TESI PK ffi QK

DIMOSTRAZIONE

Considera i triangoli CPK e CQK; essi hanno:

� CP ffi .......... per ...................................................................

� CK e in comune

� P bCCK ffi .......... perche .......................................................

quindi sono congruenti per il .............................. criterio di congruenza. In particolare PK ffi .......... in quanto elementi corri-

spondenti in triangoli congruenti.

21 Sia dato un triangolo ABC; prolunga la mediana AM, dalla parte diM, di un segmento MD ffi AM.

Dimostra che i triangoli AMC e BMD sono congruenti.

22 Due triangoli ABC e A0B0C0 sono tali che AB ffi A0B0, BC ffi B0C0 e uno degli angoli esterni di vertice B e congruente a

uno degli angoli esterni di vertice B0. Dimostra che i due triangoli sono congruenti.

23 Dimostra che se in un triangolo ABC l’altezza AH relativa a BC e anche mediana relativa a BC, allora il triangolo e

isoscele.

24 Due triangoli ABC e A0B0C0 sono tali che AC ffi A0C0, AB ffi A0B0 e bAA ffi bAA0. Dimostra che i due triangoli sono congruen-

ti e che sono congruenti le mediane relative ai lati BC e B0C0.

25 Sui lati a e b di un angolo a bOOb considera, rispettivamente, due punti A e B tali che OA ffi OB. Dimostra che, comun-

que si prenda un punto P appartenente alla bisettrice di a bOOb, i due triangoli OPA e OPB sono congruenti.

Considera poi due punti R 2 a ed S 2 b tali che R =2OA, S =2OB ed RA ffi SB; dimostra che RP ffi SP.

26 Sia ABC un triangolo, in cui AC < AB. Sulla bisettrice dell’angolo BbAAC considera il punto D tale che AD ffi AC e il

punto E tale che AE ffi AB. Dimostra che CE ffi BD.

27 Sia ABC un triangolo in cui AB < BC e sia BD la bisettrice dell’angolo AbBBC del triangolo. Sia E il punto di BC tale

che BE ffi AB.

a. Dimostra che i segmenti AD e DE sono congruenti.

b. Considera un punto P sul segmento BD e dimostra che PbEED ffi P bAAD.

28 Sia ABC un triangolo acutangolo. Sia AH l’altezza relativa al lato BC e BK l’altezza relativa al lato AC. Sul prolunga-

mento di AH, dalla parte di H, considera il punto A0 tale che AH ffi A0H. Sul prolungamento di BK, dalla parte di K, consi-

dera il punto B0, tale che BK ffi B0K. Dimostra che A0B ffi AB0.

(Suggerimento: considera le coppie di triangoli AHB, A0HB e BKA,B0KA)

C

A B

1. Disegna un

triangolo ABC.

...............................................

2. Traccia la

bisettrice CK .

........................................................

3. Considera P 2 AC

e Q 2 BC tali

che CP ffi CQ.

...............................................

4. Congiungi K

con P e con Q.

........................................................

5. Contrassegna gli

elementi congruenti

per ipotesi.

522


ESERCIZI

Dimostrazioni con il secondo criterio di congruenza


Dato un segmento AB e detto M il suo punto medio, traccia una semiretta a di origine A e una semiretta b di origi-

ne B da parti opposte rispetto ad AB in modo che gli angoli formati da tali semirette con il segmento AB siano con-

gruenti. Traccia una retta passante per M che interseca a e b, rispettivamente, in P e Q, e dimostra che il triangolo

APM e congruente al triangolo BQM.

IPOTESI ...........................................................................

TESI ...........................................................................

DIMOSTRAZIONE

Considera i due triangoli APM e BQM; essi hanno:

� P bAAM ffi .......... per ipotesi

� AM ffi .......... perche ...........................................................

� A bMMP ffi .......... perche ........................................................

quindi i due triangoli sono congruenti in base al ................................... di congruenza.

30 Due triangoli ABC e A0B0C0 sono tali che AB ffi A0B0, uno degli angoli esterni di vertice A e congruente uno degli an-

goli esterni di vertice A0 e uno degli angoli esterni di vertice B e congruente uno degli angoli esterni di vertice B0. Dimo-

stra che i due triangoli sono congruenti.

31 Dato un triangolo ABC, traccia una semiretta di origine B, appartenente al semipiano avente come origine la retta

AB che non contiene C, tale da formare con AB un angolo congruente a CbAAB.

Detto C0 il punto d’intersezione del prolungamento della mediana CM con tale semiretta, dimostra che AC ffi BC0.

32 Dimostra che se in un triangolo ABC l’altezza AH relativa a BC e anche bisettrice dell’angolo bAA, allora il triangolo e

isoscele.

33 Dato un angolo a bOOb, considera un punto P sulla sua bisettrice e due punti A 2 a e B 2 b, tali che:

a. ObPPA ffi ObPPB;

b. il prolungamento di BP, dalla parte di P, intersechi la semiretta a in R;

c. il prolungamento di AP, dalla parte di P, intersechi la semiretta b in S.

Dimostra che il triangolo APR e congruente al triangolo BPS.

(Suggerimento: dimostra preliminarmente che il triangolo AOP e congruente a BOP)

34 Due triangoli ABC e A0B0C0 sono tali che AC ffi A0C0, bAA ffi bAA0 e bCC ffi bCC0. Dimostra che i due triangoli sono congruenti e

che sono congruenti le bisettrici uscenti da B e B0.

Dimostrazioni con il terzo criterio di congruenza

35 Dimostra che due triangoli isosceli aventi la base e un lato ordinatamente congruenti sono congruenti.

36 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, considera un punto P interno al triangolo ed equidistante da B e da

C. Dimostra che la semiretta AP e bisettrice dell’angolo BbAAC.

37 Disegna due triangoli isosceli ABC e ABC0, aventi entrambi come base AB e appartenenti a semipiani opposti aventi

come origine la retta AB. Dimostra che la semiretta CC0 e la bisettrice dell’angolo AbCCB e la semiretta C0C e la bisettrice del-

l’angolo AbCC0B.

38 Due quadrilateri ABCD e A0B0C0D0 hanno i lati ordinatamente congruenti e la diagonale AC e congruente alla diago-

nale A0C0: dimostra che i due quadrilateri sono congruenti (cioe che hanno ordinatamente congruenti tutti i lati e tutti

gli angoli).

A B

1. Traccia un

segmento AB.

......................................................

2. Indica conM il

punto medio di AB.

......................................................

3. Traccia le due

semirette a e b.

......................................................

4. Traccia la retta

perM e indica con P

e Q le intersezioni

con a e b.

......................................................

5. Contrassegna

gli elementi

congruenti

per costruzione.

523


ESERCIZI

Esercizi riassuntivi: le dimostrazioni con i criteri di congruenza

40 L’esagono in figura ha tutti i lati congruenti; inoltre

AbFFE ffi C bDDE.

Dimostra che:

A

B

C

DF

E

a. i triangoli AFE

e CDE sono congruenti;

b. i triangoli AEB e BEC

sono congruenti.

41 Nella figura qui sotto si ha AE ffi BE, CE ffi DE e

BC ffi AD. A partire da queste ipotesi e possibile dimostra-

re che tre coppie di triangoli della figura sono congruenti.

A B

CD

E

a. Individua le coppie

di triangoli congruenti.

b. Dimostra la congruenza

delle coppie di triangoli

che hai individuato.

42 Un quadrilatero ABCD e tale che A bDDB ffi B bDDC. Di-

mostra che, se sulla diagonale BD esiste un punto P tale

che AbPPB ffi BbPPC, allora i due triangoli ADC e ABC sono

isosceli.

43 Dato un segmento AB traccia, da parti opposte ri-

spetto ad AB, due segmenti congruenti AP e BQ, che for-

mino angoli congruenti con AB. Sul prolungamento di

AP, dalla parte di P, considera un punto R e sul prolunga-

mento di BQ, dalla parte di Q, un punto S in modo che

PbBBR ffi Q bAAS. Dimostra che AS ffi BR.

44 Due triangoli ABC e A0B0C0 sono tali che AC ffi A0C0,bAA ffi bAA0 e bCC ffi bCC0. Dimostra che i due triangoli sono con-

gruenti e che sono congruenti le mediane relative ai lati

AC e A0C0.

45 Due triangoli ABC e A0B0C0 sono tali che AC ffi A0C0 ebCC ffi bCC0. Dimostra che, se le bisettrici dei due triangoli

uscenti da C e da C0 sono congruenti, allora i due triango-

li sono congruenti.

46 Sia ABC un triangolo e sia BP la bisettrice del trian-

golo relativa ad AbBBC. Sia A0 il punto, sul prolungamento

di AB dalla parte di B, tale che AB ffi BA0 e C0 il punto, sul

prolungamento di CB dalla parte di B, tale che CB ffi BC0.

Traccia la bisettrice BP0 del triangolo A0BC0 relativa ad

A0 bBBC0. Dimostra che i due triangoli BPC e BP0C0 sono con-

gruenti e che i punti P, B e P0 sono allineati.

47 Dati due triangoli ABC e A0B0C0, traccia le mediane

CM e C0M 0 relative, rispettivamente, ad AB e ad A0B0.

Dimostra che, se CM ffi C0M 0; AbCCM ffi A0 bCC0M 0 e

A bMMC ffi A0 bMM 0C0, allora i due triangoli sono congruenti.

48 Due triangoli ABC e A0B0C0 sono tali che AB ffi A0B0,

BC ffi B0C0 e AbBBC ffi A0 bBB0C0. Due punti P e P0, appartenenti

rispettivamente a BC e a B0C0 sono tali che P bAAC ffi P0 bAA0C0.

Dimostra che i due triangoliABP eA0B0P0 sono congruenti.

49 Dimostra che due triangoli aventi ordinatamente

congruenti due lati e la mediana relativa a uno di essi so-

no congruenti.

50 Due quadrilateri ABCD e A0B0C0D0 hanno i lati ordi-

natamente congruenti e bAA ffi bAA0: dimostra che i due qua-

drilateri sono congruenti (cioe che hanno congruenti tut-

ti i lati e tutti gli angoli).

51 Considera due triangoli ABC e A0B0C0 e indica conM

ed M 0, rispettivamente, i punti medi di BC e di B0C0. Sa-

pendo che BC ffi B0C0, A bMMB ffi A0cMM 0B0 e uno degli angoli

esterni di vertice B del triangolo ABC e congruente a uno

degli angoli esterni di vertice B0 del triangolo A0B0C0, di-

mostra che sono congruenti le seguenti coppie di triango-

li: ABM e A0B0M 0; AMC e A0M 0C0; ABC e A0B0C0.


Sui lati a e b di un angolo a bOOb, considera rispettiva-

mente due punti A e B tali che OA ffi OB. Considera

poi, sul lato a, un punto C =2OA e, sul lato b, un punto

D =2OB tali che AC ffi BD. Chiama E il punto d’interse-

zione dei segmenti BC e AD. Dimostra che i triangoli

ACE e BDE sono congruenti.

A

C

a

b B

E

O D

IPOTESI .........................

TESI ...............

DIMOSTRAZIONE

Considera anzitutto i due triangoli OBC e ...............; essi

hanno

� OB ffi ............... per ipotesi

� OC ffi ............... perche .................... di segmenti .........................

� C bOOB ffi............... perche ........................................

Pertanto essi sono congruenti per il ..............................

In particolare ObBBC ffi .......... e ObCCB ffi ..........

Considera ora i triangoli ACE e BDE; essi hanno:

� AC ffi :.......... per .........................

� CbAAE ffi DbBBE perche supplementari degli angoli .......... e

.........., che sono congruenti per la precedente dimostra-

zione

� A bCCE ffi .......... per la precedente dimostrazione

Pertanto essi sono congruenti per il ..............................

524


ESERCIZI

52 Sia ABC un triangolo. Nel semipiano avente come

origine la retta AB, cui non appartiene il triangolo, consi-

dera:

� la semiretta di origine A che forma con AB un angolo

congruente a BbAAC;

� la semiretta di origine B che forma con AB un angolo

congruente ad AbBBC.

Indica con D il punto di intersezione delle due semirette.

a. Dimostra che i triangoli ACD e BCD sono isosceli.

b. Considera un punto P sul lato AB e dimostra che

PC ffi PD.

53 Videolezione Dati due triangoli acutangoli ABC e

A0B0C0, siano CH e C0H 0 le altezze uscenti da C eC0. Dimo-

stra che, se AH ffi A0H 0;BH ffi B0H 0 e bBB ffi bBB0, allora i due

triangoli ABC e A0B0C0 sono congruenti.

54 Dato un segmento AB, sia M il suo punto medio. In

semipiani opposti rispetto alla retta AB, traccia la semiret-

ta r di origine A e la semiretta s di origine B, che formano

con AB angoli congruenti. Traccia quindi una retta pas-

sante per M, che interseca r e s, rispettivamente, in P e Q.

Dimostra che:

a. PM e MQ sono congruenti;

b. AQ e BP sono congruenti.

55 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base BC. Un

triangolo BDC, isoscele sulla base BC, ha il vertice D inter-

no al triangolo ABC. Dimostra che:

a. la semiretta AD e bisettrice dell’angolo BbAAC;

b. la semiretta AD e bisettrice dell’angolo B bDDC;

c. detti E ed F due punti appartenenti rispettivamen-

te ad AB e AC tali che BE ffi CF, il triangolo EDF e iso-

scele.

3. Proprieta dei triangoli isosceli Teoria p. 512


56 In relazione alla figura rappresentata sotto a destra, dove gli elementi congruenti per ipotesi sono contrassegnati

con lo stesso simbolo, giustifica la seguente catena di deduzioni.

1. Il triangolo PCD e isoscele perche ....................

2. P bDDC ffi P bCCD perche ..............................

3. A bDDP ffi B bCCP perche ....................

4. Il triangolo APD e congruente al triangolo BPC in base al ..............................A P B

CD

57 In relazione alla figura sotto a destra, dove gli elementi congruenti per ipotesi sono contrassegnati con lo stesso

simbolo, giustifica la seguente catena di deduzioni.

1. Il triangolo PCD e isoscele perche ...............

2. PD ffi PC perche ....................

3. Il triangolo APD e congruente al triangolo BPC in base al ...................................

4. P bAAD ffi PbBBC perche ............................................. A P B

CD

Dimostrazioni (il teorema sul triangolo isoscele)


Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, indica conM ed N, rispettivamente, i punti medi di AC e di BC, e di-

mostra che AN ffi BM:

IPOTESI .........................

TESI AN ffi BM

DIMOSTRAZIONE M N

BA

C

Considera i triangoli AMB e ...............; essi hanno:

� AM ffi .......... perche meta di .........................

� AB .........................

� M bAAB ffi .......... perche angoli alla base ....................................................................................................................................................................................

Quindi sono congruenti in base al ..............................

In particolare AN ffi BM in quanto elementi ............................................. in triangoli congruenti.

525


ESERCIZI

59 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Considera sulla base AB due punti P e Q tali che AP ffi QB. Dimostra che

il triangolo PQC e isoscele sulla base PQ.

60 Dimostra che il triangolo che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo isoscele e ancora isoscele.

61 Dimostra che le bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti.

62 Dimostra che le mediane relative ai lati obliqui di un triangolo isoscele sono congruenti.

63 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, prolunga AB, dalla parte di A, di un segmento AP e, dalla parte di B,

di un segmento BQ, in modo che AP ffi BQ. Dimostra che il triangolo PQC e isoscele.

64 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, prolunga AB, dalla parte di A, di un segmento AP e, dalla parte di B,

di un segmento BQ, tale che AP ffi BQ. Prolunga poi AC, dalla parte di A, di un segmento AR, e BC, dalla parte di B, di un

segmento BS, in modo che AR ffi BS. Dimostra che il triangolo PRC e congruente al triangolo QSC.

65 In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, siano R 2 AB e S 2 AC due punti tali che AR ffi AS. Considera su BC due

punti P e Q, con P piu vicino a B che a C, tali che BP ffi QC. Dimostra che i due triangoli RPS e RQS sono congruenti.

Dimostrazioni (l’inverso del teorema sul triangolo isoscele)

66 In un triangolo equilatero ABC, sia P il punto di intersezione delle bisettrici di bAA e di bCC. Dimostra che AP ffi PC.

67 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Considera un punto P, interno al triangolo ABC, tale che P bAAC ffi PbBBC.

Dimostra, nell’ordine, che:

a. il triangolo ABP e isoscele sulla base AB; b. P appartiene alla bisettrice di A bCCB.

68 Siano AP e BQ le bisettrici degli angoli bAA e bBB di un triangolo ABC, isoscele sulla base AB. Chiama R il punto d’interse-

zione di queste due bisettrici e dimostra che il triangolo ARB e isoscele.

69 Siano ABC e A0BC due triangoli, appartenenti allo stesso semipiano avente come origine la retta BC, tali che

AB ffi A0C e AbBBC ffi A0 bCCB. Indica con O il punto d’intersezione dei lati AC e A0B e dimostra che il triangolo BOC e isoscele.

70 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera sui lati obliqui AC e BC, rispettivamente, due punti P e Q

tali che AP ffi BQ. Indicato con R il punto d’intersezione di AQ e di BP, dimostra che i due triangoli ARB e PRQ sono iso-

sceli.

71 In un quadrilatero convesso ABCD, AB ffi BC e DbAAB ffi D bCCB. Dimostra che AD ffi CD.

72 Considera, sulla base AB di un triangolo isoscele ABC, due punti M ed N, con M piu vicino ad A che a B, tali

che AM ffi NB. Considera poi un punto P su AC e un punto Q su BC, tali che AP ffi BQ e che AP < AM. Indicato con

R il punto d’intersezione dei prolungamenti di PM e di QN, dimostra che il triangolo MNR e isoscele.

Collegamenti Geometria e logica (la proposizione inversa)

73 Sia ABC un triangolo e siano P e Q due punti, appartenente rispettivamente ai lati AC e BC, tali che AP ffi BQ.

a. Dimostra l’implicazione «se il segmento AQ e congruente al segmento BP, allora il triangolo ABC e isoscele».

b. Scrivi l’implicazione inversa di quella al punto a. e stabilisci se e vera. In caso affermativo, dimostrala.

74 Sia ABC un triangolo e siano P e Q due punti, appartenenti al segmento AB (con AP < AQÞ tali che AP ffi QB.

a. Dimostra l’implicazione «Se il triangolo ABC e equilatero, allora il triangolo PQC e isoscele».


75 Sia ABC un triangolo e siano P e Q due punti, appartenenti rispettivamente ai prolungamenti di AC dalla parte di A

e di BC dalla parte di B, tali che AP ffi BQ. Sia inoltre M il punto medio di AB.

a. Dimostra l’implicazione «Se il triangolo ABC e isoscele sulla base AB, allora il triangolo PMQ e isoscele sulla base

PQ».


76 Sia ABC un triangolo. Costruisci, esternamente al triangolo, i due triangoli BCD e ACE, rettangoli in C, e isosceli ri-

spettivamente sulle basi BD e AE.

a. Dimostra l’implicazione «Se il triangolo ABC e isoscele sulla base AB, allora AD ffi BE».


526


ESERCIZI

4. Disuguaglianze nei triangoli Teoria p. 514


77 In riferimento alla figura qui sotto, rispondi alle se-

guenti domande:

60˚A

B

D

C

E

60˚

62˚

62˚58˚

58˚

a. I due triangoli ABD e BCD sono congruenti?

b. Qual e il lato maggiore del triangolo ABD?

c. Qual e il lato minore del triangolo BCD?

d. Che cosa si puo dire, in base al teorema dell’angolo

esterno, dell’ampiezza dell’angolo BbCCE?

78 Stabilisci quali delle seguenti terne possono rappre-

sentare le lunghezze dei lati di un triangolo.

a. 5 cm, 6 cm, 9 cm

b. 11 cm, 6 cm, 14 cm

c. 3 cm, 6 cm, 10 cm

d. 3 cm, 5 cm, 7 cm

79 Test. In un triangolo ABC, la lunghezza di AC e 10

cm e la lunghezza di BC e 12 cm. Quale delle seguenti

non puo certamente essere la lunghezza di AB?

A 10 cm

B 15 cm

C 20 cm

D 25 cm

80 Vero o falso?

In riferimento alla figura qui sotto, stabilisci quali affer-

mazioni sono vere e quali sono false.

A

60˚

56

116˚

D

B

C

a. AC e il lato piu lungo del triangolo ABC V F

b. BC < AB V F

c. il triangolo ABC e isoscele V F

d. il triangolo BCD non e acutangolo V F

e. BD > AC V F

f. BD < AD AB V F


Problemi

81 Un aeroporto A dista 50 km da una citta X e 80 km

da una citta Y. Quali sono la minima e la massima distan-

za possibili fra X e Y?

82 Videolezione Se x 2 N, quanti triangoli esistono i

cui lati misurano 2, x e 6?

83 Barbara, dalla sua abitazione, per recarsi a piedi a

scuola impiega 15 minuti; per recarsi dalla sua amica Pao-

la impiega 10 minuti. Supponiamo che Barbara e Paola

camminino alla stessa velocita costante. Quali sono il mi-

nimo e il massimo tempo che Paola puo impiegare per re-

carsi a scuola?

84 La stella Alpha Centauri dista circa 4,3 anni-luce

dalla Terra. Sirius dista circa 8,7 anni-luce dalla Terra. Sul-

la base di queste informazioni, che cosa si puo dire della

distanza tra Sirius e Alpha Centauri?

Dimostrazioni

85 Nella figura qui sotto, e noto per ipotesi che < � e

� < �. Dimostra che AD > CB.

A

D

C

B

γ δ

α

86 Considera un triangolo ABC, isoscele sulla base AB,

e traccia la bisettrice AP. Dimostra che AP > PB.

(Suggerimento: basta dimostrare che, nel triangolo APB, l’an-

golo opposto ad AP e maggiore dell’angolo opposto a PB)

87 Nella figura qui sotto, e noto per ipotesi che < � e

� < �. Dimostra che AB > CD.

A O

D

C

B α

γδ

88 Dimostra che in un triangolo rettangolo l’ipotenusa

e maggiore di ciascun cateto.

89 Dimostra che in un triangolo isoscele il lato obliquo

e maggiore della meta della base.

90 Considera un triangolo ABC e traccia la bisettrice BK. Dimostra che AbKKB > AbBBK.

91 In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prolunga il lato AC, dalla parte di C, di un segmento CP. Dimostra che

AbBBC > BbPPC.

527


ESERCIZI

ESERCIZI DI RIEPILOGO

Esercizi interattivi

92 Vero o falso?

a. se due triangoli non sono congruenti, almeno un angolo dell’uno e diverso da tutti gli angoli dell’altro V F

b. se due triangoli non sono congruenti, almeno un lato dell’uno e diverso da tutti i lati dell’altro V F

c. se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti V F

d. se due triangoli hanno i tre angoli ordinatamente congruenti, sono congruenti V F

e. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due angoli e il lato adiacente a essi, i lati opposti agli

angoli congruenti sono congruenti V F


Test

Negli Esercizi 93-94-95-96, fai riferimento alle seguenti figure, supponendo che, in ciascuna coppia di triangoli,

gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo siano congruenti.

a.

c. d.

b.

93 Relativamente alla coppia di triangoli in figura a., possiamo affermare che:

A sono congruenti in base al primo criterio

B sono congruenti in base al secondo criterio

C sono congruenti in base al terzo criterio

D le informazioni assegnate non sono sufficienti per poter affermare che i due triangoli sono congruenti

94 Relativamente alla coppia di triangoli in figura b.,





D le informazioni assegnate non sono sufficienti per

poter affermare che i due triangoli sono congruenti

95 Relativamente alla coppia di triangoli in figura c.,







96 Relativamente alla coppia di triangoli in figura d.,







97 Due lati di un triangolo sono lunghi 5 cm e 6 cm.

Quale dei seguenti non puo essere il perimetro del trian-

golo?

98 In un triangolo ABC, l’ampiezza di bBB e 10 in meno

di quella di bAA e l’ampiezza di bCC e 10 in piu di quella dibAA. Qual e il lato piu lungo del triangolo?

A AB

B BC

C AC

D Le informazioni date non sono sufficienti per stabi-

lirlo

99 In un triangolo ABC, risulta AB = 7 cm, bBB ¼ 50 ebCC ¼ 48 . Quale delle seguenti e una possibile lunghezza

di AC?

A 5 cm

B 6 cm

C 8 cm

D Tutte le lunghezze proposte sono possibili

A 15 cm

B 18 cm

C 21 cm

D 23 cm

528


ESERCIZI

100 Figure impossibili. Ciascuna delle seguenti figure e

impossibile. Spiega perche.

11 c

m

38 cm

25 cm

151˚

30˚

150˚

Dimostrazioni

101 Dato un triangolo ABC, sia K un punto appartenen-

te al lato BC. Sul prolungamento di AK, dalla parte di A,

considera il punto K0 tale che AK0 ffi AK. Sul prolunga-

mento di AB, dalla parte di A, considera il punto B0 tale

che AB0 ffi AB. Dimostra che BK ffi B0K0.

102 In un triangolo isoscele ABC, di base AB, sia CK la

bisettrice di bCC. Considera sui lati obliqui AC e BC, rispetti-

vamente, due punti P e Q tali che AP ffi BQ. Dimostra che

il triangolo PKQ e isoscele.

103 Videolezione Disegna un segmento AB e traccia

una semiretta a, di origine A e una semiretta b, di origine

B, che si trovino da parti opposte rispetto alla retta AB e

che formino con AB angoli congruenti. Detto M il punto

medio di AB, traccia per M due rette r ed s (non parallele

ad a e bÞ e indica:

con P e Q, rispettivamente, i punti in cui r interseca a

e b;

con R ed S, rispettivamente, i punti in cui s interseca a

e b.

Dimostra che i due triangoli PMR e SMQ sono congruenti.

104 Due triangoli ABC e ABC0, che appartengono a se-

mipiani opposti aventi come origine la retta AB, sono tali

che AC ffi BC0 e CbAAB ffi AbBBC0. Sia M il punto medio di AB;

dimostra che il triangolo BMC e congruente al triangolo

AMC0.

105 Due triangoli isosceli hanno congruenti l’angolo al

vertice e la mediana relativa alla base. Dimostra che i due

triangoli sono congruenti.

106 Due triangoli ABC e A0B0C0 hanno i lati ordinata-

mente congruenti. Dimostra che le bisettrici degli angoli

AbBBC e A0 bBB0C0sono congruenti.

107 Dato un triangolo scaleno ABC, prolunga il lato AC,

dalla parte di A, di un segmento AB0 ffi AB e il lato AB, dal-

la parte di A, di un segmento AC0 ffi AC. Indicato con P il

punto d’intersezione della retta BC e della retta B0C0, di-

mostra che:

a. i triangoli ABB0 e ACC0 sono isosceli;

b. i triangoli PBB0 e PCC0 sono isosceli;

c. la retta PA interseca CC0 nel suo punto medio.

108 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Consi-

dera un punto P, interno al triangolo ABC, tale che

P bAAB ffi PbBBA. Dimostra che:

a. AP ffi PB;

b. CP e la bisettrice dell’angolo AbCCB;

c. detti D ed E due punti appartenenti rispettivamente

a BC e AC tali che DC ffi EC, risulta EP ffi DP.

109 Dato il triangolo equilatero ABC, considera sui

suoi lati AB, BC, AC, rispettivamente, i punti P, Q, R ta-

li che AP ffi BQ ffi CR. Dimostra che il triangolo PQR e

equilatero.

110 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Sui due

lati AC e BC, considera rispettivamente due punti P e Q

tali che CP ffi CQ. Traccia quindi le bisettrici degli angoli

AbPPQ e B bQQP, indicando con R il loro punto di intersezio-

ne. Dimostra che:

a. PQR e isoscele;

b. CR e la bisettrice di AbCCB;

c. CR interseca PQ nel suo punto medio.

111 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, co-

struisci esternamente al triangolo i due triangoli equilate-

ri ACD e BCE. Indicato con P il punto di intersezione di

BD e di AE, dimostra, nell’ordine, che:

a. il triangolo ABD e congruente al triangolo ABE;

b. il triangolo ABP e isoscele;

c. il triangolo APC e congruente al triangolo BPC;

d. CP e la bisettrice di AbCCB.

112 Due triangoli ABC e ABC0, che appartengono a se-

mipiani opposti aventi come origine la retta AB, sono tali

che CbAAB ffi AbBBC0 e AbBBC ffi BbAAC0. Sia M il punto di interse-

zione di CC0 con AB. Dimostra, nell’ordine, che:

a. i triangoli ABC e ABC0 sono congruenti;

b. i triangoli ACC0 e BCC0 sono congruenti;

c. i triangoli AMC e BMC0 sono congruenti;

d. M e il punto medio di AB.

113 Considera, sui lati a e b dell’angolo a bOOb, rispettiva-

mente, due punti A e B in modo che sia OA ffi OB. Consi-

dera poi un punto P sulla bisettrice di a bOOb e indica:

con B0 il punto in cui la retta AP incontra la semiretta b

(o il suo prolungamento);

con A0 il punto in cui la retta BP incontra la semiretta a

(o il suo prolungamento).

Dimostra che PB0 ffi PA0.

114 Due quadrilateri ABCD e A0B0C0D0 sono tali che

ABffiA0B0, BCffiB0C0,CDffiC0D0,AbBBCffiA0 bBB0C0, BbCCDffiB0 bCC0D0.

Dimostra che sono congruenti (cioe che hanno tutti gli an-

goli e tutti i lati congruenti).

(Suggerimento: traccia le diagonali AC e A0C0)

529


ESERCIZI

115 Un po’ di ordine. Nel seguente esercizio sono riportati i passi di una dimostrazione del fatto che un triangolo in

cui gli angoli adiacenti a un lato sono congruenti e isoscele.

I passi della dimostrazione riportati, pero, sono forniti in ordine sparso. Riordinali nella sequenza logica corretta.


La dimostrazione fa uso della seguente costruzione preliminare: si prolungano i lati

AB e AC di due segmenti congruenti BD e CE.

IPOTESI BD ffi CE, AbBBC ffi AbCCB TESI AB ffi AC

PASSI DELLA DIMOSTRAZIONE

� Si ricava che i triangoli BDC e BCE sono congruenti per il primo criterio di congruenza.

� Si ricava che i triangoli ADC e AEB sono congruenti per il secondo criterio di congruenza.

� Di conseguenza, AB ffi AC in quanto elementi corrispondenti nei triangoli con-

gruenti ADC e AEB.

� BD ffi CE per costruzione.

A

B C

E D

� BC e in comune.

� CbBBD ffi BbCCE perche supplementari di angoli congruenti.

� BE ffi CD perche elementi corrispondenti nei triangoli BDC e BCE, che abbiamo dimostrato essere congruenti.

� A bDDC ffi AbEEB perche elementi corrispondenti nei triangoli BDC e BCE, che abbiamo dimostrato essere congruenti.

� AbCCD ffi AbBBE in quanto somme di angoli congruenti.

116 E possibile che la misura del perimetro del triangolo ABC disegnato qui sotto sia 25, nell’ipotesi che le misure di PA,

PB e PC siano quelle indicate? Giustifica adeguatamente la risposta.

A

B

C

5

3

4

P

ESERCIZI DALLE GARE DI MATEMATICA

117 Due lati di un triangolo (non degenere) misurano ciascuno 7 cm. La lunghezza del terzo lato e un numero intero di

centimetri. Quanti centimetri puo misurare al massimo il perimetro del triangolo?

A 14 B 15 C 21 D 27 E 28

(Kangourou 2006) [D]

118 Osserva la figura: un ragno con competenze matematiche ha tessuto una ragnatela formata da segmenti rettilinei,

le cui lunghezze sono tutte numeri interi. Quanto vale x?

17

95

5 x

A 11 B 13 C 15 D 17 E 19

(Kangourou 2007) [B]

119 ABC e un triangolo isoscele (non ridotto a un segmento) i cui lati AB e AC misurano 5 cm, e il cui angolo al vertice

BbAAC misura piu di 60�. La lunghezza del suo perimetro, misurata in centimetri, e un numero intero. Quanti triangoli di

questo tipo ci sono?

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5

(Kangourou 2004) [D]

530


ESERCIZI


Test

1 Una delle seguenti affermazioni e falsa. Quale?

A Ogni triangolo equilatero e isoscele.

B Ogni triangolo non scaleno e isoscele.

C Ogni triangolo isoscele non e equilatero.

D Ogni triangolo non isoscele e scaleno.

2 Sapendo che nei due

triangoli ABC e ABC0 nella fi-

gura qui a fianco gli elementi

contrassegnati con lo stesso

simbolo sono congruenti, si

puo dire che:

C

C'

A B

A i due triangoli sono congruenti in base al primo cri-

terio

B i due triangoli sono congruenti in base al secondo

criterio

C i due triangoli sono congruenti in base al terzo crite-

rio

D le informazioni date non sono sufficienti a garanti-

re che i due triangoli siano congruenti

3 Sapendo che nei due triangoli ABC e A0B0C0 nella fi-

gura qui sotto gli elementi contrassegnati con lo stesso

simbolo sono congruenti, si puo dire che:

C

A B

A'

B'

C'

A i due triangoli sono congruenti in base al primo cri-

terio

B i due triangoli sono congruenti in base al secondo

criterio

C i due triangoli sono congruenti in base al terzo crite-

rio

D le informazioni date non sono sufficienti a garanti-

re che i due triangoli siano congruenti

4 In ogni triangolo isoscele:

A ci sono due e due soli lati congruenti

B ci sono almeno due angoli congruenti, entrambi

acuti

C ci sono due e due soli angoli congruenti

D l’angolo al vertice e ottuso

5 Facendo riferimento alla figura qui sotto si puo dire

che:

A

55˚

57˚112˚

B

C

A AB > AC

B BC > AC

C AB > BC

D nessuna delle precedenti affermazioni e corretta

6 Quali delle seguenti possono essere le misure dei lati

di un triangolo?

A 4, 5, 6 B 1, 3, 4 C 2, 3, 5 D 2, 3, 6

7 Vero o falso?

Siano ABC e A0B0C0 due triangoli, in cui si ha: AB ffi A0B0,

AC ffi A0C0 e bAA ffi bAA0.

a. i due triangoli sono congruenti in base

al secondo criterio V F

b. se bAA > bCC, allora B0C0 > A0B0 V F

c. seM ed M 0 sono i punti medi di BC

e di B0C0, allora AM ffi A0M 0V F

d. se bAA0 > bBB0, allora AC > BC V F

8 Dato un segmento AB, conduci, da parti opposte ri-

spetto alla retta AB, due semirette a e b aventi origine ri-

spettivamente in A e in B, che formino angoli congruenti

con AB. Considera poi due punti P e Q, appartenenti ri-

spettivamente ad a e a b, tali che AP ffi BQ, e dimostra

che:

a. il triangolo APB e congruente al triangolo AQB;

b. il triangolo APQ e congruente al triangolo BPQ;

c. PQ interseca AB nel suo punto medio.

Valutazione

Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8 Totale

Punteggio 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 � 4 ¼ 3 1þ 1þ 2 ¼ 4 10

Punteggio

ottenuto

Tempo massimo: 45 min

Risposte p. 675Scheda per il recupero

531

ESERCIZI

Prova di autoverifica

TemaD - WordPress.com · 2017-11-21 · de, nei suoi Elementi , ... 3 I triangoli ABC e ABP hanno...

Documents

Transcript of TemaD - WordPress.com · 2017-11-21 · de, nei suoi Elementi , ... 3 I triangoli ABC e ABP hanno...