Tubi - coefficienti di bordo - Costruzione di Macchine · 2 I due tubi si deformano sotto...

1

Tubi - coefficienti di bordo

Tubi - coefficienti di bordo Molti componenti di macchine sono schematizzabili comecorpi assialsimmetrici connessi tra loro, come mostrano glischizzi qui rappresentati.

Quando le rigidezze dei due corpi connessi tra loro sono diverse, le zone di connessione divengono sede di sollecitazioni localizzate.

montaggio forzato

2

I due tubi si deformano sotto l’azionedella pressione e si portano a diametridiversi, non più congruenti:

Tubi - coefficienti di bordo Ci sono molti componenti di macchine che sonoschematizzabili come corpi assialsimmetrici connessi tra loro,come mostrano gli schizzi qui rappresentati.

Quando le rigidezze dei due corpi connessi tra loro sono diverse, le zone di connessione divengono sede di sollecitazioni localizzate.

L’imposizione della congruenza comportal’insorgere di deformazioni locali nei due tubi.

P P


Q

Q

DFQ

π=

Tubo semi infinito

La forza F è distribuita uniformementelungo il bordo del tubo

F

Q è la forza per unità di lunghezzaapplicata al bordo del tubo

D

D = diametro medio

Applicando una forza uniformemente distribuita al bordo diun tubo si ottiene una deformata assialsimmetrica.

s = spessores << D

s

mN

wϕ

w = spostamento radialedel bordo libero

ϕ = rotazione del bordo libero

3


Tubo semi infinito

M è il momento per unità di lunghezzaapplicato al bordo del tubo

D

Anche applicando un momento uniformemente distribuito albordo di un tubo si ottiene una deformata assialsimmetrica.

M

M

D = diametro medios = spessores << D

s

Il momento Mtot è distribuito uniformementelungo il bordo del tubo

Mtot

DMM tot

π=

mNm

wϕ


Tubo semi infinito

M è il momento per unità di lunghezzaapplicato al bordo del tubo

D

M

M

Q è la forza per unità di lunghezzaapplicata al bordo del tubo

Q

Q

Nel caso siano applicati sia la forza Q che il momento Mla deformata, sempre assialsimmetrica, sarà dovuta allasovrapposizione degli effetti.

F

Mtot

4


Un tubo può essere pensato, infatti, come una serie di travidisposte lungo le generatrici.....

Il tubo si oppone alla deformazione sia con la rigidezzaflessionale della sua parete sia con quella membranale.

......connesse circonferenzialmente da altretravi anulari che si oppongono allavariazione di diametro.

F

F

compressione

trazione+

-

sezione indeformata del tubo

Effetto Poisson

Per congruenza le pareti dell’elementino devono rimanere sui piani radiali

compressione

sezione deformata

trazione

Per rispettare la congruenza, i piani radiali devono rimanere tali.

Di conseguenza, devono nascere coppie di forze in grado di contrastare l’effetto poissone mantenere le sezioni piane e giacenti su piani radiali.


La conseguenza di ciò è che per effetto Poisson la rigidezza a flessione (per unità di larghezza)della parete del tubo è maggiore di quella che avrebbe una trave nella stessa situazione.

( )acc Eνσσε −= 1

ac νσσ =

)1(1 2νσε −= aa E )1( 2ν−=′ EEcon:

[ ]aaa E)(1 νσνσε −=

Indicando con aε la deformazione assiale della parete del tubo e con cε quella circonferenzialelegata alla sola flessione della parete del tubo, senza tener conto del contributo dovuto allavariazione di diametro, si può scrivere:

Ciò ha effetto sulla rigidezza flessionale della parete del tubo,che si comporta in modo analogo ad una piastra.

( )caa Eνσσε −= 1( )0=rσ

aEσν )1( 2−= aE

σ′

= 1

la deformazione circonferenziale deveessere nulla o comunque costanteattraverso lo spessore.

incongruenza congruenza

-+

-+

( ) 01 =−= acc EνσσεPer congruenza si ha:

5

Per rispettare la congruenza, i piani radiali devono rimanere tali.

Di conseguenza, devono nascere coppie di forze in grado di contrastare l’effetto poissone mantenere le sezioni piane e giacenti su piani radiali.


la deformazione circonferenziale deveessere nulla o comunque costanteattraverso lo spessore.

incongruenza congruenza

-+

-+

L’effetto poisson fa quindi nascere unmomento flettente Mac , che vienedetto momento anticlastico, giacentesu un piano normale a quello diinflessione delle generatrici.

Mac

Il momento anticlastico Mac è legato almomento agente sul piano assiale M

tramite il coefficiente di poisson ν

MM ac ν=

Mac

M


ϑdrt caϑdrdtt caa )( +

ccc r

EwE == εσ

cma ht τ=

Consideriamo l’equilibrio alla traslazione radiale di unelementino infinitesimo di parete del tubo:

ϑd

ch

dx crdxhccσ

dxhccσ

crEw

+

-

Componente della tensione circonferenzialedovuta alla variazione di raggio

Componente della tensione circonferenzialedovuta all’effetto poisson e, quindi, legataalla flessione delle generatrici del tubo

Questa componente essendocirconferenzialmente autoequilibratanon influisce sull’equilibrio radiale

forza di taglio per unità di lunghezza

Tensione circonferenziale

w

6

ϑdrt caQuindi, le forze in gioco nell’equilibrio radiale sono:c

cc rEwE == εσ

cma ht τ= forza di taglio per unità di lunghezza


( ) ϑdrdtt caa +−

22 ϑσ dsindxhcc ⋅−

( ) 02

2 =−+− ϑσϑϑ ddxhdrdttdrt cccaaca

forze di taglio

forze di coesionecirconferenziale2

2 ϑσ ddxhcc−≅

Si assume la convenzione chele forze siano positive se diretteverso l’esterno del tubo+

Sommando le forze si ottiene:


ϑdrt caϑdrdtt caa )( +

Consideriamo l’equilibrio alla traslazione radiale di unelementino infinitesimo di parete del tubo:

ϑd

ch

crdxhccσ

dxhccσ

w

dx

02

2 =−− ϑϑ ddxhr

Ewdrdt cc

ca

Equilibrio alla traslazione radiale di un elementino infinitesimo diparete del tubo:

( ) 02


Tubi - coefficienti di bordocσ

02 =−−c

ca

rhEw

dxdt

3

3

dxwdDta =

2

2

dxwdDM =

Il taglio ed il momento flettente sono legatiallo spostamento radiale wcon relazioni analoghea quelle delle travitenendo contodell’incremento dirigidezza dovutoall’effetto poisson

024

4

=+ wrhE

dxwdD

c

c

)1(12 2

3

ν−= cEhD

IED ′=)1( 2ν−

=′ EE12

1 3chI ⋅=

quindi:momento d’inerziaper unità di larghezza

024

4

=+ wrh

DE

dxwd

c

c

dividendo tutto per D si ha:

esprimendo D in termini di E ed hc si ha:

422

2 )1(3

cc rhνλ −=indicando con la quantità:λ

0)1(1223

2

4

4

=−+ wr

EhEhdx

wdc

c

c

ν

0)1(1222

2

4

4

=−+ wrhdx

wdcc

ν

dividendoper rc e dxsi ha:

7

02

2 =−− ϑϑ ddxhr

Ewdrdt cc

ca

Equilibrio alla traslazione radiale di un elementino infinitesimo diparete del tubo:

( ) 02


Tubi - coefficienti di bordocσ

02 =−−c

ca

rhEw

dxdt

3

3

dxwdDta =

2

2

dxwdDM =

Il taglio ed il momento flettente sono legatiallo spostamento radiale wcon relazioni analoghea quelle delle travitenendo contodell’incremento dirigidezza dovutoall’effetto poisson

024

4

=+ wrhE

dxwdD

c

c

)1(12 2

3

ν−= cEhD

IED ′=)1( 2ν−

=′ EE12

1 3chI ⋅=

quindi:momento d’inerziaper unità di larghezza

024

4

=+ wrh

DE

dxwd

c

c

dividendo tutto per D si ha:

esprimendo D in termini di E ed hc si ha:

422

2 )1(3

cc rhνλ −=indicando con la quantità:λ 04 4 =+ wwIV λsi ha:

0)1(1223

2

4

4

=−+ wr

EhEhdx

wdc

c

c

ν

dividendoper rc e dxsi ha:


04 4 =+ wwIV λ

Integrazione dell’equazione differenziale:

)()( ψλλ += − xsinCew xx

La soluzione dell’equazione differenziale è del tipo:

C ψ sono le costanti di integrazionedove e

)cos()( ψλλψλλ λλ +++−= −− xCexsinCedxdw xx

La derivata prima della funzione )(xw vale:

21

4cos

4== ππsin

βαβαβα sinsinsin coscos)( −=−tenendo conto che:

….e ricordando che:

−+−= −

42 πψλλ λ xsinCe

dxdw x

4)cos(2

4cos)(2 πψλλπψλλ λλ sinxCexsinCe

dxdw xx +++−= −−

l’equazione precedente può essere riscrittamoltiplicando e dividendo i termini delsecondo membro per 2

si può scrivere:

8

Tubi - coefficienti di bordo Integrazione dell’equazione differenziale:

)()( ψλλ += − xsinCew xx

La soluzione dell’equazione differenziale è del tipo:

−+−= −


dxdw x

−+= −

22 2

2

2 πψλλ λ xsinCedx

wd x

)(xwla derivata è stata quindi ottenuta cambiando il segno, moltiplicando la funzione per λe per 2 all’argomento della funzione trigonometricae sottraendo

4π

La derivata seconda può essere calcolata dalla derivata prima in modo analogo:

e così anche la derivata terza:

−+−= −

4322 3

3


wd x

04 4 =+ wwIV λ

−+= −

22 2

2


wd x2

2

dxwdDM =

−+= −

22 2

)(πψλλ λ xsinCeDM x

x

−+−= −

4322 3

3


wd x3

3

dxwdDta =

−+−= −

4322 3

)(πψλλ λ xsinCeDQ x

x


dalle derivate seconda e terza possono essere ricavati il momento ed il taglio rispettivamente:

Integrazione dell’equazione differenziale:

9


Consideriamo il solo effetto della forza Q quindi per x=0 deve essere M=0

x

y

zQ

03

3

)0(0=

=

==

xxa dx

wdDtQ

00

2

2

0 =

=

=xdxwdDM

02

2 20 =

−= πψλ CsinDM

2πψ =da cui si ricava che:

La forza Q all’ascissa x=0 è data da:

−−=4

322 30

πψλ CsinDQ

−+= −

22 2

)(πψλλ λ xsinCeDM x

x

per x=0

−+−= −

4322 3

)(πψλλ λ xsinCeDQ x

x

per x=0

−−=4

32

22 3 ππλ CsinD

−−=2

122 3CDλ

CDQ 30 2 λ= da cui si ricava l’altra costante d’integrazione: 3

0

2 λDQC =

Effetti separati della forza Q e del momento M

00 ≠Q

Tubi - coefficienti di bordo Effetti separati della forza Q e del momento M

Consideriamo il solo effetto della forza Q

x

y

zQ

Quando agisce la sola forza Qle costanti di integrazione sono:

30

2 λDQC =

2πψ =

=)(xϕ

2)(

)(

6

c

xxa h

M=σ

xsineQM xx λ

λλ−= 0

)(

Spostamento radiale

Rotazione

Momento assiale

Componente assiale della tensione flessionale

Con i valori dellecostanti possonoessere calcolate legrandezze d’interessein funzione di x

2)(

)(

6

c

xxr h

Mνσ ±=Componente circonf. della tensione flessionale

)()( ψλλ += − xsinCew xx )

2(

2 30

)(πλ

λλ += − xsine

DQw x

x

−+−= −


dxdw x

+− −

422

20 πλ

λλ xsine

DQ x

xsineh

Q x

c

λλ

λ−= 206

xsineh

Q x

c

λλ

ν λ−±= 206

10


Consideriamo il solo effetto della forza Q

x

y

zQ

Quando agisce la sola forza Qle costanti di integrazione sono:

30

2 λDQC =

2πψ =

30

0 2 λDQw =

20

0 2 λϕ

DQ−=

00 =aσ

00 =M

Spostamento radiale

Rotazione

Momento assiale


Al bordo del tubo

si ha:

0=x

300 2 λDwQ =


x

y

z

Consideriamo il solo effetto del momento M quindi per x=0 deve essere Q=0

00 ≠M 00 =Q

43πψ =da cui si ricava che:

−=24

32 20

ππλ CsinDM4

2 2 πλ CsinD= CD 2

22 λ= CD 22 λ=

Il momento M all’ascissa x=0 è dato da:

da cui si ricava l’altra costante d’integrazione:2

0

2 λDMC =

M0

3

3

0=

=

xdxwdDQ 0

4322 3

0 =

−−= πψλ CsinDQ

11


x

y

z

Quando agisce il solo momento Mle costanti di integrazione sono:

)4

3(2 2

0)(

πλλ

λ += − xsineD

Mw xx

+−== −

20

)(πλ

λϕ λ xsine

DM

dxdw x

x

−== −

4266

20

2)(

)(πλσ λ xsine

hM

hM x

cc

xxa

+= −

42 0)(

πλλ xsineMM xx

Spostamento radiale

Rotazione

Momento assiale


Con i valori dellecostanti possonoessere calcolate legrandezze d’interessein funzione di x

M

Consideriamo il solo effetto del momento M

20

2 λDMC =

43πψ =

2)(

)(

6

c

xxa h

Mνσ ±=Componente circonferenziale della tensione flessionale


x

y

z

Quando agisce il solo momento Mle costanti di integrazione sono:

20

0 2 λDMw =

λϕ

DM 0

0 −=

20

06

ca h

M=σ

Spostamento radiale

Rotazione


M

Consideriamo il solo effetto del momento M

Al bordo del tubo

si ha:

0=xλϕ DM 00 −=

20

06

cr h

Mνσ ±=Componente circonferenziale della tensione flessionale

20

2 λDMC =

43πψ =

12

Spostamento radiale


Nel caso siano applicati sia la forza Q che il momento M in corrispondenza del bordo del tubo, per si ha:0=x

20

2 λDM+

λDM 0−Rotazione

30

0 2 λDQw =

20

0 2 λϕ

DQ−=

Effetto complessivo della forza Q e del momento M

Spostamento radiale

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0 50 100 150 200 250 300

Posizione assiale (mm)

w(x

) (m

m)

Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con carico radiale ad un estremo

x

y

zQ

Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = 0

)4

3(2

)2

(2 2

03

0)(

πλλ

πλλ

λλ +++= −− xsineD

MxsineDQw xx

x

13

Rotazione

-3.50E-03

-3.00E-03

-2.50E-03

-2.00E-03

-1.50E-03

-1.00E-03

-5.00E-04

0.00E+00

5.00E-04

0 50 100 150 200 250 300


rot(x

)Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con carico radiale ad un estremo

x

y

zQ

)2

()4

(2

2 020

)(πλ

λπλ

λϕ λλ +−+−= −− xsine

DMxsine

DQ xx

x


ϕ +

Convenzionepositivaϕ-

Forza radiale

-4.00E+04

-2.00E+04

0.00E+00

2.00E+04

4.00E+04

6.00E+04

8.00E+04

1.00E+05

1.20E+05

0 50 100 150 200 250 300


Q(x

) (N/

m)


x

y

zQ

( )xeMxeQQ xxx λλπλ λλ sen2

4sen2 00)(

−− −

−−=


14

Momento as s iale

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 50 100 150 200 250 300

Pos izione as s iale (mm)

M(x

) (Nm

/m)


x

y

zQ

++= −−

42 0

0)(

πλλλ

λλ xsineMxsineQM xxx


Convenzionepositiva

+

Tensioni (superficie interna)

-2.00E+07

0.00E+00

2.00E+07

4.00E+07

6.00E+07

8.00E+07

1.00E+08

1.20E+08

1.40E+08

0 50 100 150 200 250 300


S(x)

(N/m

^2)

+Sf(x)+Sc(x)+Se(x)


x

y

zQ

2)(

)(

6

c

xxa h

M=σ 2

)()(

6)(

c

x

cxc h

Mr

xEw νσ +=


15

Tensioni (superficie esterna)

-1.00E+08

-5.00E+07

0.00E+00

5.00E+07

1.00E+08

1.50E+08

0 50 100 150 200 250 300


S(x)

(N/m

^2)

-Sf(x)-Sc(x)-Se(x)


x

y

zQ

2)(

)(

6

c

xxa h

M−=σ 2

)()(

6)(

c

x

cxc h

Mr

xEw νσ −=


Spos tame nto radiale

-0.01

-0.01

0.00

0.01

0.01

0.02

0.02

0.03

0.03

0.04

0 50 100 150 200 250 300


w(x

) (m

m)

Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Momento assiale ad un estremo

Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 0 N/m Momento M0 = 1000

x

y

zM

)4

3(2

)2

(2 2

03

0)(

πλλ

πλλ


MxsineDQw xx

x

16

Rotazione

-2.00E-03

-1.50E-03

-1.00E-03

-5.00E-04

0.00E+00

5.00E-04

0 50 100 150 200 250 300


Rot(x

)Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Momento assiale ad un estremo


x

y

zM

)2

()4

(2

2 020

)(πλ

λπλ


DMxsine

DQ xx

x

Forza radiale

-2.00E+04

-1.50E+04

-1.00E+04

-5.00E+03

0.00E+00

5.00E+03

0 50 100 150 200 250 300


Q(x

) (N/

m)



x

y

zM


4sen2 00)(

−− −

−−=

17

Momento as s iale

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 50 100 150 200 250 300


M(x

) (Nm

/m)



x

y

zM

++= −−

42 0

0)(

πλλλ


Tensioni (superficie interna)

-1.00E+07

0.00E+00

1.00E+07

2.00E+07

3.00E+07

4.00E+07

5.00E+07

6.00E+07

7.00E+07

0 50 100 150 200 250 300


S(x)

(N/m

^2)

+Sf(x)+Sc(x)+Se(x)



2)(

)(

6

c

xxa h

M=σ 2

)()(

6)(

c

x

cxc h

Mr

xEw νσ +=

x

y

zM

18


-8.00E+07

-6.00E+07

-4.00E+07

-2.00E+07

0.00E+00

2.00E+07

4.00E+07

6.00E+07

8.00E+07

0 50 100 150 200 250 300


S(x)

(N/m

^2)

-Sf(x)-Sc(x)-Se(x)



2)(

)(

6

c

xxa h

M−=σ 2

)()(

6)(

c

x

cxc h

Mr

xEw νσ −=

x

y

zM

Spos tame nto radiale

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 50 100 150 200 250 300


w(x

) (m

m)

Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Forza e Momento

Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = -2000

)4

3(2

)2

(2 2

03

0)(

πλλ

πλλ


MxsineDQw xx

x

x

y

zM

19

Rotazione

-1.00E-03

-8.00E-04

-6.00E-04

-4.00E-04

-2.00E-04

0.00E+00

2.00E-04

4.00E-04

6.00E-04

0 50 100 150 200 250 300


Rot(x

)Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Forza e Momento


x

y

zM

)2

()4

(2

2 020

)(πλ

λπλ


DMxsine

DQ xx

x

Fo rza radiale

-2.00E+04

0.00E+00

2.00E+04

4.00E+04

6.00E+04

8.00E+04

1.00E+05

1.20E+05

0 50 100 150 200 250 300

Po s izio ne as s iale (mm)

Q(x

) (N/

m)

Mome nto as s iale

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

0 50 100 150 200 250 300


M(x

) (Nm

/m)



x

y

zM

20


x

y

zMTensioni (superficie interna)

-1.50E+08

-1.00E+08

-5.00E+07

0.00E+00

5.00E+07

1.00E+08

1.50E+08

0 50 100 150 200 250 300


S(x)

(N/m

^2)

+Sf(x)+Sc(x)+Se(x)


2)(

)(

6

c

xxa h

M=σ 2

)()(

6)(

c

x

cxc h

Mr

xEw νσ +=


-4.00E+07

-2.00E+07

0.00E+00

2.00E+07

4.00E+07

6.00E+07

8.00E+07

1.00E+08

1.20E+08

1.40E+08

0 50 100 150 200 250 300


S(x)

(N/m

^2)

-Sf(x)-Sc(x)-Se(x)


x

y

zM


2)(

)(

6

c

xxa h

M−=σ 2

)()(

6)(

c

x

cxc h

Mr

xEw νσ −=

21

Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assiali

distanzialeanello

distanziale

schema di calcolo: due tubi connessi ad un anello


chaA

cr

ah

aL

ar

Q Q

ω

Sui distanziali agiscono le forze d’inerziadovute alla rotazione.

Anche sull’anello agiscono le forzed’inerzia dovute alla rotazionee, inoltre, agiscono le forze inerzialidella palettatura

In generale l’anello troverà il suoequilibrio dinamico su un raggiodiverso da quello dei distanziali.

La congruenza farà quindinascere delle forze mutue direazione Q

22


ω

Consideriamo la deformazione del distanzialeseparatamente dall’anello, soggetto quindi alle sole forze d’inerzia.

ch

ϑd

ccci rdrhdF 21 ωϑρ=dV a1

cc h1σ cc h1σ

02

121 2 =− ϑσωϑρ dsinhrdrh ccccc

22cc rωρσ =

Equilibrio radiale

Considerazioni analoghe possono essere fatte per l’anello, separato dai distanzialie soggetto unicamente alla propria forza d’inerzia.

La deformazione circonferenziale è data da: E

cc

σε =

Quindi può essere calcolato lo spostamento radiale : cc

ccc rE

rw σε ==E

rc32ωρ

=

aa

aca rE

rw σε ==E

ra32ωρ

=Spostamento radiale:

cr


Oltre alla propria forza d’inerzia l’anelloè soggetto all’ azione delle palette.

pfa

pppp r

rmnf

πω

2

2

=pn = n° di palette

pm = massa di una paletta

pr = raggio del baricentro di una paletta

Er

EArf

w a

a

apa

322 ωρ+=

a

ap

Arf

=σ

= forza inerziale delle palette per unità di lunghezza

Lo spostamento radiale dovuto alla forza vale:pf aaa r

Erw σε ==

La tensione circonferenziale dovuta alla forza si ottiene dall’equilibrio dell’anello:

pf

a

ap

EArf 2

=

Lo spostamento radiale complessivo dell’anello,dovuto sia alla propria forza d’inerzia cheall’effetto delle palette è dato quindi da:

prar

ω

aA a

ap

Arf

22

=σap rf 2

aA aA

23

ω


In generale si avrà pertanto, per rispettare la congruenza, dovranno verificarsiulteriori spostamenti radiali, sia per l’anello che per il distanziale:

Deformazioneconseguente alleforze inerziali

Congruenza traanello edistanziali

ca ww ≠aacc wwww ∆+=∆+

0wcw ( )

Er

EA

rQfw a

a

apa

32202 ωρ

+−

=

Q

Q Q Q

0

32

wE

rw c

c +=ωρ

distanziale

anello

ω


Il distanziale ha una rigidezza flessionale, nel piano radiale, molto minore dell’anello, chepertanto può essere considerato rigido. In conseguenza di questa assunzione si puòaffermare che la rotazione del distanziale in corrispondenza della connessione con l’anellosia nulla.

00 =ϕλD

M 0−20

0 2 λϕ

DQ−= 0=Tangente orizzontale

Deformazioneconseguente alleforze inerziali

Congruenza traanello edistanziali

λλ DM

DQ 0

20

2−=

λ20

0QM −=

0w

24


20

30

0 22 λλ DM

DQw += 3

03

0

42 λλ DQ

DQ −=

λ20

0QM −=La relazione: garantisce, quindi, che le generatrici del distanziale si mantengano

orizzontali in corrispondenza della connessione con l’anello.Lo spostamento radiale può dunque essere scritto come segue:0w

30

4 λDQ=

( )E

rEA

rQfa

a

ap322

02 ωρ+

−=

0

32

wE

rw c

c +=ωρ

Lo spostamento radiale complessivo è dato quindi dalla relazione:cw

30

32

4 λωρ

DQ

Erc +=

Per la congruenza gli spostamenti radiali e devono assumere lo stesso valore. cw aw

30

32

4 λωρ

DQ

Erc +ac ww =

Da questa equazione è possibile calcolare il valore dell’unica incognita 0Q

( )2

3

2332

0

24 a

a

pacaa

rDEA

frrrAQ

+

+−=

λ

ωρ

( )E

rEA

rQf

DQ

Er a

a

apc322

0

30

32 2

4ωρ

λωρ

+−

=+


La relazione esistente tra la forza radiale ed il momento consente di calcolare quest’ultimo:

λ20

0QM −=

( )

+

+−−=

23

2332

24

2 aa

pacaa

rDEA

frrrA

λλ

ωρ

25


Dai valori di ed è possibile calcolare tutte le altre grandezze di interesse

relative al distanziale:

0M0Q


4sen2 00)(

−− −

−−=

++= −−

42 0

0)(

πλλλ


)4

3(2

)2

(2 2

03

032

)(πλ

λπλ

λρω λλ ++++= −− xsine

DMxsine

DQ

Erw xxc

x

2)(

)(

6

c

xxa h

M=σ 2

)()(

6)(

c

x

cxc h

Mr

xEw νσ +=

Componente assiale Componente circonferenziale

Componente relativa alladilatazione inerziale Componente relativa alla

forza radiale 0QComponente relativa almomento flettente 0M

Spostamentoradiale

Dal momento dipende la componente flessionale dello stato di tensione:0M

Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assialiEsempio di calcolo

ch

aL

Dati:

icφ ecφ

crar

ah

eaφ iaφ

60.0=iaφ

62.0=icφ63.0=ecφ

76.0=eaφ

Geometria:(dimensioni in m)

05.0=aL

34.04

=+= iaeaar

φφ

3125.04

=+= iceccr

φφ

08.02

=−= iaeaah φφ

05.02

=−= icecch φφ

aA

004.0== aaa LhA

26


ch

aL

ω

Dati:

icφ ecφ

crar

ah

eaφ iaφ

pf

pf

aA

Velocità angolareω =600 r/s

n° palette np =72

massa paletta mp = 0.15 kg

Raggio centro di massa palettarp = 0.41m

a

pppp r

rmnf

πω

2

2

=

mNf p 9892721=


ch

aL

ω

Dati:

icφ ecφ

crar

ah

eaφ iaφ

pf

pf

aAModulo di YoungE = 200 GPa

Modulo di Poissonν = 0.3

Densitàρ = 7800 kh/m3

Materiale:

27


ch

aL

ω icφ ecφ

crar

ah

eaφ iaφ

pf

pf

aA

( )2

3

2332

0

24 a

a

pacaa

rDEA

frrrAQ

+

+−=

λ

ωρ

mNQ 740880 =

λ20

0QM −=

mNmM 36410 −=


x

trazione

compressione

Posizione assiale

+

–

28


Spostamento radiale distanziale

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0 50 100 150 200


Spos

tam

ento

(mm

)

w(x) centr.

w(x) fless

w(x) total

Spostamento dovuto al solo effetto flessionale

Spostamento dovuto al solo effetto centrifugo

Spostamento complessivo


Rotazione distanziale

-7.00E-03

-6.00E-03

-5.00E-03

-4.00E-03

-3.00E-03

-2.00E-03

-1.00E-03

0.00E+00

1.00E-03

0 50 100 150 200


Rot(x

)

La rotazione all’interfaccia con l’anello è nulla

29


Tensioni sulla superficie interna del distanziale

-4.00E+08

-3.00E+08

-2.00E+08

-1.00E+08

0.00E+00

1.00E+08

2.00E+08

3.00E+08

4.00E+08

5.00E+08

6.00E+08

0 50 100 150 200


Sigm

a(x)

Pa

+S f(x)

+S c (x)

+S e (x)

Tensione equivalente (von Mises)


Tensione assiale


Tensioni sulla superficie esterna del distanziale

-4.00E+08

-3.00E+08

-2.00E+08

-1.00E+08

0.00E+00

1.00E+08

2.00E+08

3.00E+08

4.00E+08

5.00E+08

6.00E+08

0 50 100 150 200

Po s izione as s iale (mm)

Sig

ma(

x) P

a

-S f(x)

-S c (x)

-S e (x)


Tensione assiale

Tensione equivalente (von Mises)

30


Zona di maggiore tensione equivalente σσσσe =592 MPa

Tensione equivalente σσσσe =481 MPa


Tubi - coefficienti di bordo - Costruzione di Macchine · 2 I due tubi si deformano sotto...

Documents

Transcript of Tubi - coefficienti di bordo - Costruzione di Macchine · 2 I due tubi si deformano sotto...