Amplificatori operazionali

Parte 2

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 22-5-2017)

2

Retroazione

● Se si tiene conto del fatto che nella regione lineare il guadagno ad anello aperto A non è finito, si ottengono, per le configurazioni non invertente e invertente, le relazioni seguenti

o21

1ido v

RR

RvAAvv

o21

1i

21

2do v

RR

Rv

RR

RAAvv

Amplificatore non invertente

Amplificatore invertente

3

Retroazione

● Le due equazioni precedenti sono un caso particolare dell’equazione

che può essere rappresentata mediante lo schema a blocchi

● Questo schema mostra che i due amplificatori costituiscono casi particolari di sistemi in retroazione

● La tensione differenziale di ingresso vd è una combinazione del segnale di ingresso vi e del segnale di uscita vo

oio vvAv

21

1

RR

R

invertente oreamplificat

invertente non oreamplificat

21

2

1

RR

R

4

Retroazione

● Il guadagno degli amplificatori può essere espresso come

dove

è detto guadagno ad anello chiuso

Il prodotto A è detto guadagno di anello

● Se A e quindi Af A (come avviene per gli amplificatori invertente e non invertente) si ha una retroazione negativa o controreazione

● Se A e quindi Af A si ha una retroazione positiva o reazione

fi

ov 1

AA

A

v

vA

A

AA

1f

5

Alcuni effetti della retroazione negativa

● Negli amplificatori la retroazione negativa viene utilizzata per ottenere vari effetti quali

Desensibilizzazione del guadagno

Riduzione della distorsione non lineare

Aumento della larghezza di banda

● La retroazione positiva produce effetti opposti e, quindi, di solito non desiderati (esistono comunque anche applicazioni che sfruttano la retroazione positiva)

6

Desensibilizzazione del guadagno

● Se il guadagno dell’amplificatore subisce una variazione dA, la corrispondente variazione del guadagno ad anello chiuso è

● Di conseguenza, la variazione relativa di Af è

Se A le variazioni relative di Af sono inferiori a quelle di A

2f

f )1(

A

dAdA

dA

dAdA

A

dA

AA

A

A

dA

AA

dA

A

dA

1

11

)1(

1

)1( 2f

2f

f

A

dA

A

dA

AA

dA

1

1

f

f

7

Desensibilizzazione del guadagno

● Al limite, se A è molto grande si ottiene una desensibilizzazione totale del guadagno

● In queste condizioni il guadagno ad anello chiuso dipende solo dalla rete di retroazione e risulta indipendente da A

● Questo rappresenta un vantaggio perché , essendo il parametro di trasferimento di una rete passiva, in genere può essere realizzato con una precisione molto superiore a quella con cui può essere un amplificatore con guadagno A

1

11 f A

A

A

AAA

8

Effetto del guadagno ad anello aperto finito

● Nel caso degli amplificatori invertente e non invertente, se A 1 e quindi

si ottiene

● In entrambi i casi lo scostamento relativo del guadagno reale Av da quello ottenuto con l’ipotesi di amplificatore operazionale ideale Avid è

invertente non oreamplificatl' per

invertente oreamplificatl' per

1

2

1

2

vidv

11R

RR

R

AA

AA

1

211

R

RA

21

1vid

vidv

1

1

1

11

RRARA

AA

A

AA

9

Esempio

Amplificatore invertente

Amplificatore non invertente

R1 R2 Avid Av % Avid Av %

10 k 10 k

10 k 100 k

10 k 1 M

10 k 10 M

Guadagno ad anello aperto: A 105

10

Effetto della resistenza di ingresso non infinita

● Idealmente un amplificatore non invertente ha resistenza di ingresso infinita

● Se l’amplificatore operazionale ha una resistenza di ingresso Rin finita, anche la resistenza di ingresso dell’amplificatore non invertente

ha valore finito

● Per determinare R'in, si può notareche valgono le relazioni

i

iin i

vR

io

d 1

1v

AA

vv

io 1v

A

Av

21

1

RR

R

11

Effetto della resistenza di ingresso non infinita

● Quindi si ha

● Di conseguenza la resistenza di ingresso è

● Se A 1 risulta anche R'in Rin, cioè, per effetto della retroazione, la resistenza di ingresso dell’amplificatore non invertente risulta molto maggiore della resistenza dell’amplificatore operazionale non retroazionato

iinin

di 1

1v

ARR

vi

ARi

vR 1in

i

iin

12

Effetto della resistenza di uscita non nulla

● Idealmente la resistenza di uscita di in amplificatore operazionale è uguale a zero

● Per determinare l’effetto di una resistenza di uscita non nulla, sia nel caso dell’amplificatore invertente, sia in quello dell’amplificatore non invertente, si può calcolare la resistenza di uscita R'o dell’amplificatore studiando il seguente circuito(ottenuto annullando la tensione di ingresso vi)

I

VR o

13

Effetto della resistenza di uscita non nulla

● Si può notare che

● Di conseguenza la corrente I è

● Normalmente il secondo termine entro la parentesi è trascurabile rispetto al primo quindi

● Se A1, per effetto della retroazione si ha R'o << Ro

● Per esempio, per un inseguitore di tensione (R1 ) realizzato con un amplificatore operazionale con A 105 e Ro 100 risulta R'o 1 m

21

1

RR

RVv d

21o21o

d 11

RRR

AV

RR

V

R

AvVI

A

R

I

VR

1o

o

14

Linearizzazione

● Si considera il caso in cui l’amplificatore A ha una caratteristica di trasferimento non lineare

● La tensione differenziale di ingresso è

● In queste condizioni la pendenza della caratteristica di trasferimento dell’amplificatore in retroazione (guadagno differenziale) è

cioè

oid vvv

i

o

di

d

dii

o 1fff

dv

dv

dv

d

dv

dv

dv

d

dv

d

dv

dv

)f( do vv

d

d

i

o

f1

f

dvd

dvd

dv

dv

15

Linearizzazione

● La relazione

mostra che in presenza di retroazione negativa, cioè se

la caratteristica ha un andamento “più lineare” rispetto a f(vd)

● Infatti si ha una riduzione maggiore della pendenza della caratteristica nei tratti a pendenza più elevata e minore nei tratti a pendenza minore

● Al limite, nei tratti in cui il guadagno differenziale è molto elevato la pendenza diviene praticamente costante ed è determinata unicamente dalla rete di retroazione

11

f

i

o

d dv

dv

dv

d

d

d

i

o

f1

f

dvd

dvd

dv

dv

0f d dvd

16

Linearizzazione

Con retroazione

Senza retroazione

Esempio

17

Risposta in frequenza di un amplificatore operazionale

● La dipendenza del guadagno ad anello aperto di un amplificatore operazionale dalla frequenza può essere rappresentata dalla relazione

A0 = guadagno ad anello aperto in continua0 = pulsazione dei tagliof0 0(2) = frequenza di taglio

Il guadagno diminuisce con pendenza -20 dB/decade (-6 dB/ottava) a partire da una frequenza f0 relativamente bassa Valori tipici di f0 sono dell’ordine di 10 Hz

● Questo comportamento è dovuto a un condensatore che viene inserito nel circuito dell’amplificatore operazionale ed ha lo scopo di garantire che l’amplificatore sia stabile quando viene collegato in retroazione (compensazione in frequenza)

0

0

1)(

j

AjA Modello a un polo

18

Risposta in frequenza di un amplificatore operazionale

20 dB / decade

19

Risposta in frequenza di un amplificatore operazionale

● In un amplificatore operazionale reale sono presenti numerosi effetti reattivi parassiti

La funzione di trasferimento ha un numero elevato di poli

● I poli dovuti agli effetti parassiti sono posti a frequenze molto maggiori di f0 (in genere il secondo polo corrisponde ad una frequenza maggiore di 1 MHz)

Per frequenze inferiori a quella a cui interviene il secondo polo, il comportamento dinamico dell’amplificatore operazionale è determinato dal primo polo (polo dominante)

20

Banda di guadagno unitario

● La frequenza fUG per cui il guadagno risulta uguale a 1 definisce la banda di guadagno unitario dell’amplificatore operazionale

● Dato che fUG >> f0, si ha

● Inoltre, per fUG >> f0 il guadagno può essere espresso dalla relazione approssimata

● Nota: questi risultati valgono se alla frequenza fUG l’amplificatore operazionale (come avviene normalmente) può essere rappresentato mediante il modello a un polo (cioè se gli altri poli sono a frequenze maggiori di fUG)

00UG0UG

0UG ff1

/ff)f2( A

AjA

f

f

f/ff)2( UG

0

0 A

jA

21

Prodotto guadagno – larghezza di banda

● Per gli amplificatori invertente e non invertente, tenendo conto della dipendenza dalla frequenza del guadagno ad anello aperto, si ottiene

● dove

è il guadagno in continua ad anello chiuso

è la frequenza di taglio ad anello chiuso

f0

f0

00

00

00

00

i

ov

1)1(

1

)1/(

/1/1

/1/

)(1

)()(

j

A

Aj

AA

jA

jA

jA

jAjA

V

V

0

0f0 1 A

AA

)1( 00f0 A

22

Prodotto guadagno – larghezza di banda

● Complessivamente per effetto della retroazione si ottiene

una riduzione del guadagno in continua di un fattore 1 + A0

un aumento della frequenza di taglio (cioè un aumento della larghezza di banda) dello stesso fattore

● Il prodotto guadagno – larghezza di banda (GBW) non cambia

● Inoltre (se alla frequenza di guadagno unitario vale il modello a un polo)si ha anche

0

0f0 1 A

AA

)1( 00f0 A

f0f000 ff AAGBW

UGfGBW

)1(ff 00f0 A

23

Prodotto guadagno – larghezza di banda

o10 1log A

o10 1log20 A

20 dB / decade

)(log20 o10 A

)(log20 f010 A

f0f0f

f

Guadagno (dB)

fA

A

24

Risposta in frequenza degliamplificatori invertente e non invertente

● Sia nella configurazione invertente sia in quella non invertente risulta

● Per A0 1 il guadagno in continua ad anello chiuso è

● Quindi in entrambi i casi la larghezza di banda fb dell’amplificatore è data dalla relazione

21

1

RR

R

1

2f0f0b

1ff

RR

GBWGBW

A

GBW

1

2f0 1

1

R

RA

25

Risposta in frequenza degliamplificatori invertente e non invertente

● Per l’amplificatore non invertente il guadagno in continua Av0 coincide con Af0

● Quindi la larghezza di banda di un amplificatore non invertente con guadagno in continua Av0 è

● Per l’amplificatore invertente, a causa del fattore , il prodotto Av0 fb

diminuisce al diminuire del guadagno in continua Av0

● Per un amplificatore invertente con guadagno in continua Av0 la larghezza di banda è

0v

1

2b

1f

A

GBW

RR

GBWGBW

0v

1

2b 11

fA

GBW

RR

GBWGBW

26

Esempio

Amplificatore non invertente Amplificatore invertente

Av0 fb Av0 fb

1 1 1 MHz 1 0.5 500 kHz

10 0.1 100 kHz 10 0.0909 90.9 kHz

100 0.01 10 kHz 100 0.0099 9.9 kHz

1000 0.001 1 kHz 1000 0.000999 999 Hz

A0 105 GBW 1 MHz

27

Configurazione invertente generalizzata

● Se nella configurazione invertente si sostituiscono le resistenze R1 e R2

con due impedenze Z1(j) e Z2(j) si ottiene un circuito avente funzione di trasferimento

)(

)()(

1

2

i

o

j

jj

Z

Z

V

VH

28

Integratore

● Dato che l’ingresso invertente è virtualmente a massa si ha

● Inoltre

● Quindi, se per t 0 la tensione del condensatore è vC(0) V0, si ricava

L’uscita è –V0 più un termine proporzionale all’integrale dell’ingresso

● RC = costante di tempo dell’integratore

R

tvti i

R

)()(

dxxvRC

VdxxiC

vtvtvtt

CCC 0

i0

0

o )(1

)(1

)0()()(

)()( titi RC

29

Integratore – Risposta in frequenza

● Si pone

● La funzione di trasferimento è

● Quindi si ha

● Il modulo della funzione di trasfe-rimento vale 1 (guadagno = 0 dB)per 1(RC)

CjR

121 ZZ

RCjj

1)(

1

2

i

o

Z

Z

V

VH

RCj

1)(H

90)(arg jH

20 dB / decade

RC

10 dB

|H()| (dB)

30

Integratore – Risposta in frequenza

● Dato che il guadagno aumenta al diminuire della frequenza, l’integratore risulta particolarmente sensibile ai disturbi a bassa frequenza

● In particolare per tendente a 0 Il condensatore tende a comportarsi come un circuito aperto e il guadagno tende a infinito

● Idealmente una piccola componente continua del segnale di ingresso produrrebbe una tensione di uscita infinita

In pratica l’amplificatore operazionale viene portato in saturazione, quindi in queste condizioni non si può rappresentare come amplificatore operazionale ideale

31

Limitazione del guadagno a bassa frequenza

● I problemi relativi al comportamento a bassa frequenza possono essere ridotti collegando un resistore in parallelo al condensatore

● Il comportamento del circuito, però, si discosta da quello dell’integratore ideale (in misura maggiore al diminuire di R2)

● In questo caso si ha

● Quindi la funzione di trasferimento è

CRj

RRj

2

12

1

2

1

/)(

Z

ZH

CRj

R

CjR

2

2

2

2 111

Z

32

Limitazione del guadagno a bassa frequenza

● Con l’inserimento di R2 il polo della funzione di trasferimento si sposta da s 0 a s 1/(R2C)

● In continua il guadagno è finito e vale R2R1

● Per 1(R2C) si ha

e quindi il comportamento del circuito è simile a quello di un integratore ideale

CRjCRj

RRj

12

12 1/)(

H

33

Limitazione del guadagno a bassa frequenza

(dB)H

arg(H)

1

210log20

R

R

CR2

1

90

180

20 dB / decade

34

Filtro passa-basso invertente del 1° ordine

● Questo circuito si comporta come un filtro passa-basso del primo ordine

● La pulsazione di taglio è

● Il guadagno in continua vale

CR20

1

1

20 R

RH

35

Derivatore

● La tensione del condensatore coincide con la tensione di ingresso

● Le corrente del condensatore puòcircolare solo attraverso R

● Quindi si ottiene

L’uscita è proporzionale alla derivata dell’ingresso

● RC = costante di tempo del derivatore

dt

dvCtiti i

CR )()(

dt

dvRCtv i)(o

)()(C tvtv i

36

Derivatore – Risposta in frequenza

● Si pone

● La funzione di trasferimento è

● Quindi si ha

● Il modulo della funzione di trasfe-rimento vale 1 (guadagno = 0 dB)per 1(RC)

RCj

21

1ZZ

RCjj 1

2)(Z

ZH

RCj )(H

90)(arg jH

|H()| (dB)

20 dB / decade

RC

10 dB

|H()| (dB)

37

Limitazione del guadagno ad alta frequenza

● Il derivatore risulta molto sensibile ai disturbi ad alta frequenza Rapide variazioni del segnale di ingresso (dovute per esempio a

rumore) possono produrre dei picchi di ampiezza elevata in uscita Inoltre i derivatori tendono ad avere problemi di stabilità

● Questi problemi possono essere ridotti collegando un resistore in serie al condensatore Il comportamento del circuito, però, si discosta da quello del

derivatore ideale (in misura maggiore all’aumentare di R1)

● In questo caso si ha

CRj

CRjj

1

2

1

2

1)(

Z

ZH

CjR

112Z

38

Limitazione del guadagno ad alta frequenza

● L’inserimento di R1 introduce nella funzione di trasferimento un polo per s 1/(R1C)

● Ad alta frequenza, cioè per maggiore della pulsazione di taglio 1/(R1C), il guadagno vale R2R1

● Per 1(R1C) si ha

e quindi il comportamento del circuito è simile a quello di un derivatore ideale

CRjj 2)( H

39

Limitazione del guadagno ad alta frequenza

(dB)H

arg(H)

1

210log20

R

R

CR1

1

90

180

20 dB / decade

40

Filtro passa-alto invertente del 1° ordine

● Questo circuito si comporta come un filtro passa-alto del primo ordine

● La pulsazione di taglio è

● Il guadagno in continua vale 40

CR10

1

1

20 R

RH

41

Filtro passa-banda

● Combinando i due circuiti precedenti è possibile ottenere un filtro passa-banda

● In questo caso la funzione di trasferimento è

21

10

2211

11

1

2

i

o

11)1)(1(

)(ss

s

HsCRsCR

sCR

R

Rs

V

VH

42

Filtro passa-banda

● Nell’ipotesi che le due pulsazioni di taglio soddisfino la condizione

per compreso tra 1 e 2 il guadagno vale

● Al di fuori della banda passante il guadagno diminuisce con pendenza 20 dB/decade

222

111

11

CRCR

1

20 R

RH (guadagno di centro banda)